Сызба геометриясы

Name: Сызба геометриясы
Author: С.В. Томилова

Оқулық «Сәулет» мамандығы бойынша орта кәсіби білім берудің Федералды мемлекеттік білім стандартымен сәйкес құрастырылған; ОП.02 «Сызба геометриясы». Оқулық мазмұны ортогональ, аксонометриялық және перспективалық проекцияларда сызбаларды жасау бойынша негізгі ережелерді қамтыған. Тәжірибелік бағы...

К

Ә

С І Б И Б І Л І М Б Е Р У

С. В. ТОМИЛОВА

СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯСЫ

О

Қ

УЛЫ

Қ

«Сәулет» мамандығы бойынша орта кәсіби білім беру бағдарламаларын жҥзеге асыратын білім беру ҧйымдарының оқу барысында пайдалану ҥшін оқулық ретінде «Білімді дамытудың Федералды институты» Федералды мемлекеттік автономды мекемесімен ҧсынылған

«БДФИ» ФМАМ 2016 жылғы 18 наурыздағы 65 рецензия тіркеу нӛмірі

М

ә

скеу
«Академия» баспа орталы

ғ ы,

2016 жыл.

УДК 514.18(075.32) ББК 22.151.3я723 Т564

П і к і р б е р у ш і — №13 ПТ ОКБ МББМ ҒӘЖ бойынша директор орынбасары, біліктілігі жоғары санатты оқытушы

О. Н. Гулина

Томилова С. В.

Т564 Сызба геометриясы : орта кәсіби білім берудің студ.мекемелеріне арналған оқулық / С.В. Томилова. – М.:

«Академия» баспа орталығы, 2016. – 212 бет ІSBN 978-5-4468-1567-8 Оқулық «Сәулет» мамандығы бойынша орта кәсіби білім берудің Федералды мемлекеттік білім стандартымен сәйкес қҧрастырылған; ОП.02 «Сызба геометриясы». Оқулық мазмҧны ортогональ, аксонометриялық және перспективалық проекцияларда сызбаларды жасау бойынша негізгі ережелерді қамтыған. Тәжірибелік бағыттылығы бар кӛлеңке теориясының геометриялық негіздері, позициялық және метрлік есептер қарастырылған. Сызбаларды ресімдеу бойынша мәліметтер, кейбір геометриялық қҧрылымдар келтірілген.

Оқулық орта кәсіби білім беру мекемелерінің студенттеріне арналған.
УДК 514.18(075.32) ББК 22.151.3я723

Берілген басылымның түпнұсқа-үлгісі «Академия» Баспа орталығының меншігі болып табылады, және оның құқық иесінің келісімінсіз

кез келген тәсілмен кӛшірмесін жасауға тыйым салынады.

ІSBN 978-5-4468-1567-8

Қҧрметті оқырман!

Берілген оқулық «Сәулет» мамандығы бойынша оқу-әдістемелік жинақтың бӛлігі болып табылады.

Оқулық «Сызба геометриясы» жалпы кәсіби пәнін оқып білу ҥшін арналған. Жаңа ҧрпақ оқу-әдістемелік жинақтарына жалпы білім беретін және жалпы кәсіби пәндер мен кәсіби модульдерді оқып білуді қамтамасыз етуге мҥмкіндік беретін, дәстҥрлі және инновациялық оқу материалдары кіреді. Әрбір жинақ ішінде жҧмыс берушінің талаптарын есепке алумен жалпы және кәсіби қҧзыреттерді меңгеру ҥшін қажет оқулықтар мен оқу қҧралдары, оқыту және бақылау қҧралдары бар. Оқу басылымдары электронды білім беру ресурстарымен толықтырылып отырылады. Электронды ресурстар қҧрамында интерактивті жаттығулар мен тренажерлары бар теориялық және тәжірибелік модульдар, мультимедиялық объектілер, қосымша материалдарға және Интернеттегі ресурстарға сілтемелер бар. Оларға терминологиялық сӛздік және оқу барысының негізгі параметрлері: жҧмыс уақыты, бақылау және тәжірибе тапсырмаларын орындау нәтижелері тіркелетін электронды журнал енгізілген. Электронды ресурстар оқу ҥдерісіне оңай енгізіледі және тҥрлі оқу бағдарламаларына бейімделулері мҥмкін.

Кіріспе

Сызба геометриясы

— кеңістік пішіндерін жазықтықта дәл бейнелеу тәсілдерін, есептерді шешудің графикалық тәсілдерін, сонымен қатар пішіндердің геометриялық қасиеттерін зерттейтін пән.

Берілген оқулықта сызба геометриясының жалпы бӛлімі (1 ...5 тарау), кӛлеңке теориясы (6,7 және 9 тарау), және перспективті бейнелер (8 тарау) қарастырылады. Сызба геометриясын оқып білу кеңістік елес пен дҧрыс логикалық ойлауды дамытуға кӛмектеседі. Пәннің қолданбалы мәні оның сызбаларды сауатты жасауға және оларды дҧрыс оқуға ҥйрететініне негізделген, ол ӛз кезегінде арнайы пәндерді оқуды едәуір жеңілдетеді, студенттерді жобалауға дайындайды. Бҧдан басқа, сызба геометриясының жалпы бӛлімі сәулет объектілері сызбаларында перспектива мен кӛлеңкелерді зерттеу кезінде негізгі болып табылады. Теориялық материал білімдерін студенттер 2 және 3 қосымшаларда келтірілген талаптармен сәйкес рәсімдеу қажет графикалық жҧмыстарды орындау кезінде растайды. Сызбаларды қол графикасында қарындаштармен сызады немесе тушьпен айналдырады. Графикалық жҧмысты орындауға сәйкес тақырыпты оқып білген соң кірісу, сонымен қатар сызбамен жҧмыс жасау уақытын қысқартуға мҥмкіндік беретін механикаландыру қҧралдарын пайдалану ҧсынылады. Бізді қоршаған әлемдегі заттардың ҥш ӛлшемі бар. Нҥкте, сызық (тура немесе қисық), жазықтық немесе бет геометриялық пішін болып табылады. Кез келген затты геометриялық пішіндерден тҧратын деп қарастыруға болады. Геометриялық пішіндерді оларға берілген белгі (әріп, сан) тҥрінде белгілеу сызбада бейімделуге, оқу материалын тҥсіндіру кезінде сӛз болып отырған ақпаратты кӛруге мҥмкіндік береді. Берілген оқулықта қабылданған белгілер 1 қосымшада келтірілген. Ең қарапайым геометриялық пішін – бҧл нҥкте. Нҥктенің (ҧзындығының, енінің, биіктігінің) ӛлшемдері жоқ. Бір ӛлшемі – ҧзындығы бар геометриялық пішін, бҧл сызық. Сызықтардан ең қарапайымы тура сызық (сызбада сызғыш кӛмегімен салуға болады) және шеңбер (циркульмен сызады) болып табылады. Екі ӛлшем (ҧзындығы мен ені) жазықтықта бар.

4

Ғимарат пен қҧрылыстардың, әдетте, қандай да бір геометриялық дененің немесе бірнеше геометриялық дененің тіркесуінің пішіні болады. Геометриялық денелердің бейнелерін оқып тану кезінде бізді осы денелердің сыртында орналасқан геометриялық пішіндер ғана, яғни геометриялық денелердің беті қызықтырады. Сызбаны талдай білуді, яғни ҧштарының, қабырғаның, қырларының, жасаушыларының проекцияларын кӛрсетуді, осы элементтердің ӛзара орналасуын, геометриялық денелердің кӛрінетін және кӛрінбейтін бӛліктерін, геометриялық дененің бетіне тиесілі нҥкте проекцияларын анықтауды ҥйрену қажет. «Геометриялық қҧрылымдарды ҥш ӛлшемді кеңістікте орындау – перспективасы жоқ іс: ауада доғалар мен тура сызықтарды және олардың кездесу нҥктелерін сызуға болатын циркуль мен сызғыштар жоқ», - жҧмысы басында француз әскери инженері, геометр Гаспар Монж міне осылай пайымдаған (1746-1818). Мәселені шешудің кілті – жазықтық. Жазықтық – алғашқы екеуге (нҥкте, сызық) қарағанда, едәуір кҥрделі геометриялық элемент (пішін) болса да, дәл осы пішін кеңістікте нҥктенің едәуір қарапайым кҥйін анықтауға мҥмкіндік береді. Нҥктенің жазықтыққа проекциясы Монжға дейін кӛп уақыт бҧрын әйгілі болған. Оның тек қана екі ғана емес, тіпті ҥш проекцияны білген, соның ішінде орыс лайықты бастамашылары және ҧстаздары болған. Оларды кезек-кезек – біресе біреуімен, біресе екіншісімен пайдаланған, осынысымен сызба мҥмкіндіктерін шектеген. Монждың еңбегі екі проекцияны біріңғай ӛзара байланысқан кешенге біріктіргенінде. «Кешенді сызбада барлығын жасауға: нҥктені, сызықты, берілген ӛлшемдегі геометриялық пішінді, тіпті бірнеше пішіндерді салуға, оларды қиылыстыруға, оларды айналдыруға, қиылысу нҥктелері мен сызықтарын табуға, бҧрыштар мен кесінділердің натурал шамасын анықтауға болады екен. Екі проекция кез келген объектіні толығымен анықтайды және ҥлгілер мен модельдерді пайдаланбай да, арқалық қабырғаға жетпейтін, ал баспалдақ ауада ілініп қалатын «тамаша жӛнсіздіктерге» жол бермей жаңа қҧрылымды жобалауға мҥмкіндік береді» [4]. Сызба геометриясының жалпы бӛлігі қазір де Монж баяндағанға ӛте жақын қарастырылады.

Итальян суретшілері
перспективті

деп атаған теория Қайта ӛркендеу дәуірі суретшілерінің шығармашылық тәжірибесінен пайда болды. «Олардың перспективті қҧбылыстарды зерттегендігі туралы Альбрехт Дюрер (1471-1528) беземелерінің бірі дәлелдейді.

5

Бҧл беземеде біз музыкалық аспап – лютняны салып жатқан, оны бір кӛзімен, кӛзілдірік және тӛртбҧрышты тордан тҧратын торлы жақтау арқылы бақылап тҧрған суретшіні кӛреміз. Торлы жақтау басты бҧрмай жақтау мен лютняны тҧтастай, яғни кӛру нҥктесін ауыстырмай кӛруге болатындай кӛзілдіріктен алыстатылған. Ҥстелде суретші алдында кӛзілдірік арқылы кӛргенді кӛшіретін, тӛртбҧрыштардан тҧратын торлы қағаз парағы бейнеленген» [2]. Кемеңгер суретші, ғалым және инженер Леонардо да Винчи (1452- 1519) перспектива бойынша ӛз трактатында сызықтық перспективаны пайдалану мысалдарын, және әуе перспективасы әрі сәуле мен кӛлеңке теориясы туралы мәліметтерді келтіреді. Жан жақты ғалым мен ӛнер теоретигі Леон Баттиста Альберти (1404-1472) перспективаны тор бойынша қҧру тәсілін, ал неміс кӛркем суретшісі, безеушісі және сәулетшісі А. Дюрер – перспективаны жоспар мен фасад бойынша қҧру тәсілдерін ҧсынды. Қазіргі замандағы сәулетшілер жобаланатын объектіні әзірлеу кезінде ҥш кезеңде перспективті кескіндемелерге жҥгінеді. Егер

бірінші кезеңде қҧрылатын композияцияның перспективті суретін жасаса, онда келесі кезеңдерде перспективаның нақты қҧрылымын орындау қажет. Перспективаны қолданудың

екінші кезеңі нақты сәулет шешімін соңғы таңдаумен және оны ортогонал проекцияларда бекітумен байланысты. Жобалаудың

үшінші кезеңінде сәулет объектісінің қоршаған ортасымен перспективті бейнесі аяқталған тҥрге ие болады, ал сызбада қҧрылған кӛлеңкелер композиция мен ғимараттың сыртқы кескіні, оның иілгіштік шешімі мен бӛлшектері туралы едәуір толық тҥсінік береді.

6

: нҥкте проекциясы — бҧл берілген нҥкте арқылы ӛтетін проекциялаушы сәуленің проекция жазықтығымен қиылысу нҥктесі.

Заттың барлық нҥктелері арқылы К жазықтығымен із қалдырып қиылысатын сәулелер ӛткізеді. Қиылысу нҥктелерін (сәулелер іздерін) қосып,

проекция
деп аталатын бейнені алады.Проекция алынған жазықтықты
проекция жазықтығы
деп атау ескерілген. Сәулелер

проекциялаушы сәулелер
деп аталады.

Проекциялаушы сәулелерді жиі жағдайда ойша жҥргізеді, оларды жарық шоқ сәуле тҥрінде, мысалы, кинотеатрда байқауға болады. 1.1 суретте

К

жазықтығында

В

және

С

нҥктелерінің және заттың басқа да белгіленбеген нҥктелерінің проекциялары оймен проекциялау кезінде алынған. Осылайша, проекциялау операциясы кеңістіктен сызба жазықтығына (проекция

жазықтығына) оймен ӛту тҥрінде ҧсынылады.
Тапсырмаларды шешудің графиктік
1.1. Сурет. Проекциялау
қағидасы

7

тәсілдері
сызбаны жобалау

деп аталатын сызба жазықтығында тҥрлі қҧрылымдарды орындау амалдары тҥрінде ҧсынылады.

1.2 .

ПРОЕКЦИЯЛАУ ТӘСІЛДЕРІ

Проекциялаушы сәулелердің кеңістікте орналасуына байланысты проекциялаудың екі тәсілі бар.

Орталық проекциялау тәсілі
заттарды (геометриялық элементтерді) жазықтыққа

S

нҥктесінен – проекциялау орталығынан шығатын проекциялаушы сәулелермен проекциялауды болжамдайды (1.2 сурет). Проекциялау орталығы К проекция жазықтығынан (немесе суреттен) соңғы, жеткілікті жақын қашықтықта болады. Проекциялау орталығы мен проекция жазықтығы арасында, мысалы

АВС

ҥшбҧрышы тҥрінде, жазық пішін орналасқан.

А

К

В

К

С

К

ҥшбҧрышы АВС ҥшбҧрышының орталық проекциясы болып табылады.

SA

k

, SB

K

және

SC

K

сәулелері – проекциялаушы сәулелер.

Орталық проекциялау тәсілімен алынған суреттер кӛрнекі, ӛйткені орталық проекциялау геометриялық қатынаста адамның кӛзіне барабар. Орталық проекциялау қағидасында фото- және киноаппараттар әрекеті, экрандағы бейнелерді кӛрсету негізделген. Аппарат объективі бҧл жағдайда проекциялау орталығы болып табылады, ал проекция жазықтығы ретінде экран немесе фототаспа қызмет етеді. Орталық проекциялауды сәулет объектілерінің перспективті суреттерін қҧру кезінде қолданады. Затты ӛз ӛзіне параллельді жылжыту кезінде оның орталық проекциясы ҥлкейеді немесе кішірейеді. Орталық проекция заттың ӛз ӛлшемінен ҥлкен немесе кіші болуы мҥмкін болатындықтан, бҧл проекция бойынша заттың натурал шамасын анықтау қиын. Орталық проекциялаудың бҧл кемшілігі параллельді проекциялау тәсілінде жоқ.

Параллельді проекциялау тәсілі заттарды s кейбір бағыттарға параллель проекциялаушы сәулелермен проекциялау тҥрінде ҧсынылады. Бҧл жерде проекциялау орталығы шексіздікке жоғалған деп есептеледі.

АВС

ҥшбҧрышын АА

К

ВB

К

және

СC

К

параллель проекциялаушы сәулелермен

К

проекциясының жазықтығына проекциялау 1.3 суретте кӛрсетілген. Бҧл сәулелердің К проекциясының жазықтығымен қиылысу нҥктелері ҥшбҧрыш тӛбесінің проекциялары, ал

A

K

B

K

A

K

C

K

және

B

K

C

K

тура сызықтары –

АВС

ҥшбҧрышы қабырғаларының проекциялары болады.

8

1.2 Сурет. Орталық проекциялау 1.3 Сурет Параллельді проекциялау

а

— ортогональды;

б

— қиғаш бҧрышты

Ҥшбҧрыш ӛзіне ӛзі параллельді жылжыған кезде оның параллель проекциясының шамасы (

A

K

B

K

C

K

ҥшбҧрышы) ӛзгермейді.
Параллель проекциялау проекция жазықтығына қатысты

s проекциялау бағытына тәуелді ортогональды («орто» - тура, «гональ» - бҧрыш) және қиғаш бҧрышты проекциялауға бӛлінеді. Егер sпроекциялау бағыты проекция жазықтығына перпендикуляр болса, онда параллель проекциялау ортогональды (тікбҧрышты) деп аталады. 1.4 суретте а

проекциялаушы сәуле s Н проекциясының жазықтығымен 90° бҧрышты қҧрайды. Проекциялаушы сәулелердің кӛлбеулену бҧрышы тік бҧрыштан ерекшеленетін параллель проекциялау қиғаш бҧрышты деп аталады (1.4 сурет, б). Параллель ортогональды проекциялау негізінде ортогональды сызбалар: ғимарат жоспарлары, қимасы мен қасбеттері жасалады. Параллель тік бҧрышты және қиғаш бҧрышты проекциялау кӛмегімен аксонометриялық проекциялар деп аталатын заттардың кӛрнекі бейнелері алынады.

9

1.3.

СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯСЫНЫҢ ТУРА ЖӘНЕ КЕРІ ЕСЕПТЕРІ

Студенттерге сызба геометриясының екі: тура және кері есебін меңгеріп алу қажет.

Тура есеп
сызбаны қҧруға, жасауға, яғни зат бейнесін жазықтықта алуға негізделеді.
Кері есеп

сызбаны оқуға, яғни сызбадағы бейнесі бойынша заттардың пішіні мен мӛлшерін елестетуге негізделеді. Нҥктені проекцияның бір жазықтығына ортогональ проекциялауды қарастырайық (1.5, а сурет). Тура есепті шеше отыра, А нҥктесінің проекциясын алу оңай. Кеңістікте орналасқан А нҥктесі арқылы, Н проекциясы жазықтығына перпендикуляр проекциялаушы s сәулесін ӛткізеді. Проекциялаушы сәуленің проекция жазықтығымен қиылысу нҥктесі

А

нҥктесінің проекциясы болып табылады.

AA

H

тура Н проекциясы жазықтығына перпендикуляр болғандықтан,

А

н

(перпендикуляр негізі)

А

нҥктесінің ортогональ проекциясы деп аталады.

В нҥктесінің бір проекциясына ие бола тҧра кері есепті шешуге болмайды, ӛйткені кері бағытта ӛткізілген және

B

H

нҥктесі арқылы ӛткен проекциялаушы сәуледе (1.5, б сурет)

В

нҥктесі

Б

1

, Б

2

3

4

5

6

... B

n

қалпына ие бола алады.

а

— тура есеп;

б

— кері есеп;

в

— сызбаны бір проекция бойынша оқу;

1

— конус;

2

— цилиндр;

3

— шар

10

В

нҥктесі сонымен бірге ӛз проекциясымен

Б = Б

Н

сәйкес келуі мҥмкін. Бҧл жағдайда Б нҥктесі проекция жазықтығына тиесілі:

Б

H-пен.

L

сызығының бір проекциясы бойынша (1.5. сурет) заттың пішінін анықтау мҥмкін емес, ӛйткені проекция жазықтығына шар 3, цилиндр 2, конус 1 бірдей проекцияланады. Демек, бір проекция заттың пішінін және оның кеңістіктегі қалпын анықтамайды. Сызба метрлік анықталған, қайтымды болуы ҥшін қосымша ақпарат қажет.

БАҚЫЛАУ СҦРАҚТАРЫ

мҥмкін?

11

Глава 2

ОРТОГОНАЛЬ ПРОЕКЦИЯЛАР

2.1.

НҤКТЕ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ

2.1.1.
Проекцияның екі жазықтығына проекциялау аппараты. Эпюр Монж

Проекцияның екі жазықтығына нҥктенің ортогональ проекциясын қарастырайық. Кеңістікте

H

проекциясы жазықтығының біреуі кӛлденең, басқа

V

проекциясының жазықтығы – тік орналасады. Проекция жазықтықтары екі жақты бҧрышты қҧрады. Проекция екі жазықтығының кеңістіктік жҥйесі тҥрінде ҧсынылған проекцияның осы жазықтықтарының кӛрнекі бейнесі 2.1, а

суретте кӛрсетілген.

H

жазықтығы
проекцияның кӛлденең жазықтығы

V

жазықтығы –
проекцияның беткі жазықтығы

деп аталады. Проекцияның кӛлденең және беткі жазықтықтары ӛзара перпендикуляр және

проекция ӛсі
деп аталатын

проекция жазықтықтарына және х проекция ӛсіне перпендикуляр жазықтықты қҧрайды. Проекциялаушы сәулелермен қҧрылған жазықтық х осіне перпендикуляр

(А

И

А

х )

және
(АуА

х )

тура сызық бойынша

H

және

V

проекция жазықтықтарын қиып ӛтеді.

Проекция жазықтықтарының кӛрнекі бейнесін проекцияны алу кезінде қолдану әрқашан тиімді болмайды, алайда мҧндай бейнелер тҥсіндіру ҥшін келтіріледі.

12

Сурет. Нҥктені проекцияның екі жазықтығына проекциялау: а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б, в

— эпюр алу қағидасы;

г

— нҥкте эпюрі

Проекция жазықтықтарын сызба жазықтығымен қиыстыру ескерілген. Ол ҥшін проекция жазықтығының біреуін нҥкте проекциясымен бірге проекция ӛсіне қатысты бҧрады. Егер ҥстел ҥстінде орналасқан конспект парағына проекция жазықтығының екі жақты бҧрышы ҥлгісінің Н проекциясы кӛлденең жазықтығын орналастырса, онда

V

проекциясының беткі жазықтығын, проекция жазықтығы парақ жазықтығымен қиысатындай, х

проекция ӛсі айналасында 90°-қа бҧрады (2.1., б суреті).

V

проекциясының фронталь жазықтығын тік қабырғада орналасқан сынып тақтасының жазықтығымен біріктірсе, х проекциясының ӛсіне қатысты Н проекциясының кӛлденең жазықтығын бҧрған жӛн (2.1. в сурет).

Проекцияның сол немесе басқа жазықтығын бҧру нәтижесінде осы
екі жазықтық біреуге қосылады; бҧл кезде
эпюр
деп аталатын сызба алынады (2.1., г сурет). А нҥктесінің эпюрінде

проекциялық байланыс сызығы
деп аталатын, тҥзумен

(A

H

A

V

қосылған екі оның ортогональ проекциясы бар.

13

Проекциялық байланыс сызығы х

проекциясының ӛсіне әрқашан перпендикуляр, ӛйткені (A

H

A

x

)±x және (А^А х )±х. Ӛзара перпендикуляр тҥзулерді қҧруды 4 қосымшадан қараңдар (1,2,3 ҥлгілер). Барлық келесі эпюрлерде проекция жазықтықтарының әріптік белгіленуі болмайды, және оларды шектейтін сызықтар болмайды. Сондықтан х проекциясының ӛсінен тӛмен эпюрінде әрқашан проекцияның кӛлденең жазықтығы (Н) және сәйкесінше нҥктелердің кӛлденең проекциялары орналасатынын еске сақтаған жӛн. Х проекциясы ӛсінен жоғары проекцияның беткі жазықтығы (V) және нҥктелердің беткі проекциялары орналасады. Нҥктенің екі ортогональ проекциясы оның кеңістіктегі қалпын жеткілікті анықтайды. Эпюрдің қайтымдылығын, бір мәнді айқындылығын дәлелдеу ҥшін ойша (немесе ҥлгіде жасау) эпюрді проекция ӛсі бойынша бҥгу,

H

және

V

проекцияларының жазықтықтары арасындағы екі жақты бҧрышты тура жасау жеткілікті.

Содан кейін

А

н

және

A

проекциясының жазықтығымен қиылысқанда я

проекциясының ӛсі алынады.
Х, у, я
проекцияларының ӛсьтері ӛзара перпендикуляр және

О

ортақ нҥктеде қиылысады.
А нҥктесін

W

проекциясының бейіндік жазықтығына ортогональ проекциялау кезінде А нҥктесінің бейіндік проекциясы -

A

W

нҥктесі алынады (2.2, б сурет).
Проекция жазықтықтарының кеңістіктік ҥлгісінен жазық

14

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба алудың қағидасы;

в

— кешенді сызба

кескіндемесіне ӛту ҥшін ҥш жақты бҧрышты у

проекциясының ӛсі бойынша тіледі.
Содан кейін проекцияның барлық ҥш жазықтығы бір жазықтықты қҧратындай,

Н

проекциясының жазықтығын х проекциясының ӛсі айналасында, ал

W

проекциясының жазықтығын z проекциясының ӛсі айналасында айналдырады(2.2, б суретті қара). Проекция жазықтықтарымен бірге, проекцияның сәйкес жазықтықтарында орналасқан нҥкте проекциялары да айналады. Геометриялық пішін проекциясының бейнесі бар ҥш жазықтықтың біріктірілген қалпын

кешенді сызба
деп атау қабылданған.
Кешенді сызбада (2.2, в сурет)

х

проекциясының ӛсін кӛлденең сызады және солға бағыттайды, z

проекциясының ӛсі әрқашан тік жоғары орналасқан.

Х

және z проекцияларының ӛсьтері кешенді сызбада проекцияның беткі жазықтығының орналасуын кӛрсетеді.

У

проекциясының ӛсін екі рет бейнелейді және ӛсь тиесілі болатын проекция жазықтығын белгілеудің жол асты индексін қосады:

15

y

H

c

H, y

W

c

W.Х және y

H

проекция ӛсьтері арасында проекцияның кӛлденең жазықтығы бар, ал z және y

W

ӛсьтері проекцияның бейіндік жазықтығын шектейді.

Кешенді сызбада нҥкте проекциялары ҥнемі проекция ӛсьтерімен тік бҧрыш қҧрайтын проекциялық байланыс сызықтарымен біріктіліген, яғни

A

H

A

V

. Lx
және

A

V

A

W

±z.

Нҥктенің кӛлденең және бейіндік проекциялары арасындағы проекциялық байланыс y

H

және y

W

проекция ӛсьтеріне перпендикуляр байланыс сызығы, сонымен қатар орталығы О нҥктесінде орналасқан шеңбер доғасы кӛмегімен жҥзеге асырылады.

2.1.3 Координат тәсілі. Дербес жағдайдағы нҥкте проекциялары Кеңістікте нҥктелер проекция жазықтықтарынан тҥрлі қашықтықтарда орналасуы, проекцияның бір немесе бірден екі жазықтығына тиесілі болуы мҥмкін. Кеңістікте нҥкте жағдайын проекция жазықтықтарына қатысты ҥш тік бҧрышты координаталармен береді. А нҥктесінен W, V, H сәйкесінше проекция жазықтықтарына дейінгі қашықтықты анықтайтын ҥш сан А

(X

A

; Y

A

; Z

A

) нүктесінің тік бұрышты координаталары деп аталады. Бҧл кезде проекция жазықтықтары координата жазықтықтары деп, ал проекция ӛсьтері – О нҥктесінде басталумен координат ӛсьтері деп есептеледі. 2.3. суретте координат жазықтықтарының кеңістік жҥйесі ҧсынылған және А нҥктесінен проекция жазықтығына дейін қашықтықтар кӛрсетілген.

16

Егер барлық ҥш координата нӛлге тең болмаса, онда нҥкте кеңістікте орналасқан. Нҥктенің барлық координаталары бірдей болса, онда нҥкте проекция жазықтығынан бірдей қашықтықта.

А нҥктесінен

W

жазықтығына дейінгі қашықтық АА^^ кесіндісімен анықталады және

X

A

белгілеумен
абсцисса
деп аталатын координатаға сәйкес келеді.
А нҥктесінен

V

жазықтығына дейінгі қашықтық |ААу| кесіндісімен анықталады және

Y

a

белгілеумен
ордината
деп аталатын координатаға сәйкес келеді.
А нҥктесінен

Н

жазықтығына дейінгі қашықтық |АА н

| кесіндісімен анықталады және Z

A

белгілеумен
аппликата
деп аталатын координатаға сәйкес келеді.

Кешенді сызбада (2.3. б сурет) координаталарды координата ӛсьтерінде немесе сәйкес осьтерге параллель орналасқан проекциялық байланыс сызықтарында

О

нҥктесінен миллиметр жерге шығарып қояды. Мысалы, А нҥктесінің ординатасын

(Y

a )

проекциялық байланыс сызығында х

ӛсінен тӛмен Н проекция жазықтығында шығарып қоюға болады, ӛйткені |А х

А

A

W

| = |OA

A

; Z

A

), A

W

(Y

A

; Z

A

Айталық эпюрде А нҥктесінің (30; 10; 20) проекциясын қҧру қажет (2.4. сурет). Бҧл ҥшін х ӛсінде О нҥктесінен солға қарай

X

A

= 20 координатасына сәйкес келетін |OA x

нҥктесін табады.

А(20; 10; 30)

A

v

Л

Ан

17

Нҥктенің ҥшінші жетіспейтін проекциясын екі белгілі проекциясы бойынша проекциялау ҥшін (2.5, а сурет),

А

н

нҥктесі арқылы y

H

ӛсіне перпендикуляр байланыс сызығын ӛткізу (2.5., б сурет); шеңбер доғасының кӛмегімен y

W

ӛсінде А нҥктесінің

Y

координатасын қҧру; y

W

ӛсіне перпендикуляр байланыс сызығын сызу және z ӛсіне перпендикуляр

A

V

W

), онда нҥктенің жетіспейтін проекцясын проекциялау кезінде байланыс сызығының тҧрған орны ӛзгеріссіз қалады, байланыс сызықтарында нҧсқарлармен кӛрсетілген жобалаудың бағыты ғана ӛзгереді (2.5, г сурет).

а

— бастапқы сызба;

б

—циркуль кӛмегімен;

в

— «сызба тҧрақтысы» кӛмегімен; г,

д

— мысалдар

18

.Нҥктелердің проекциясын қҧрып болған соң, эпюр, кешенді сызба бойынша нҥкте проекцияның қай жазықтығына жақын (алыс) орналасқанын анықтауды ҥйренген жӛн. Егер координаталардың сандық мәндерін немесе проекциялық байланыс сызықтарында қҧрылған қашықтықтарды салыстырса, мҧндай пайымдауды жҥргізу қиын емес. Мысалы, 2.3. б суретте А нҥктесінің

Y

A

координатасы

X

2.1.4 Бәсекелес нҥктелер Сызба геометриясының әдістерімен есептерді шешу кезінде геометриялық пішіндердің кӛрінуін анықтау қажет. Геометриялық пішіндер бақылаушы мен проекция жазықтығы арасында орналасатынын, ал бақылаушының қарау бағыты проекциялау бағытымен сәйкес келетінін есте ҧстаған дҧрыс. Кӛзге кӛрінушілікті бәсекелес нҥктелер кӛмегімен анықтайды. Бір проекциялайтын сәуледе орналасқан екі нҥкте

бәсекелес деп аталады. Екі бәсекелес нҥктеден координатасы ҥлкен нҥкте әрқашан кӛзге кӛрінетін болады. Демек, нҥкте проекция жазықтығынан алыс, ендеше бақылаушыға жақынырақ тҧр. А және В нҥктелері Н жазықтығына бір проекциялаушы сәулемен проекцияланады (2.6, а сурет). Мҧндай нҥктелер олардың кӛлденең проекциялары сәйкес келетіндіктен

A

H

= = B

H

кӛлденең бәсекелес деп аталады. А нҥктесінің аппликатасы В нҥктесінің аппликатасынан ҥлкен болғандықтан

В (Z

A

>Z

B

) А нҥктесі В нҥктесінен жоғары, демек, А нҥктесі бақылаушыға жақын және кӛзге кӛрінеді. Проекцияның кӛлденең жазықтығына қатысты

А

нҥктесі

В

нҥктесін жабады, демек,

В

нҥктесі кӛрінбейді. Кӛрінбейтін В нҥктесінің проекциясын дӛңгелек жақшаға алады.

А және В нҥктелері

V

проекциясының жазықтығына тҥрлі сәулелермен проекцияланады, сондықтан нҥктелердің беткі проекциялары сәйкес келмейді және проекцияның бҧл жазықтығына қатысты екі нҥкте де кӛзге кӛрінеді. Кӛлденең бәсекелес нҥктелер кӛмегімен эпюр немесе кешенді сызба проекцясының кӛлденең жазықтығындағы кӛрінушілікті анықтайды.

19

см. на H

А» В

Z

B

х

X

6

а а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— эпюр

(В

н

). Демек,

V

— кешенді сызба

Сызбада кӛрінушілікті анықтау кӛру бағытына нҧсқайтын нҧсқармен және «

Н

қара (немесе V қара, немесе W қара)» мәтінмен ілестіріледі, ол «Проекцияның сәйкес жазықтығына қарау» дегенді білдіреді. Нҧсқамаға жақын болатын нҥкте проекциясы проекцияның басқа жазықтығында кӛрінетін болады.

2.2.
Тҥзу сызықтар ПРОЕКЦИЯЛАРЫ

2.2.1.
Тҥзу сызық, кесінді ҧғымы

Кез келген сызықты нҥктенің кеңістікте қозғалыс траекториясы ретінде ҧсынуға болады. Сызықтар тҥзу, жазық немесе кеңістіктік қисық болады. Тҥзу сызық екі нҥкте арқылы ӛтеді. Тҥзу сызықтағы екі нҥкте тҥзу кесіндіні анықтайды. Кеңістікте тҥзу сызықтардың проекция жазықтықтарына қатысты тҥрлі орындары болады. Олардың ӛзара орналасу мысалы 2.9. суретте келтірілген. Сол немесе ӛзге тҥзу сызықтың проекциялары қалай пайда болатынын тҥсіне отырып, сызба бойынша тҥзу сызықтарды кеңістікте елестете алса, студенттер нәрселердің сызбалары мен ғимарат қҧрылымдарын оңай қҧрып, оқи алады.

21

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

Тҥзу кесіндісінің екі нҥктесі проекциясы белгілі болса, онда тҥзу кесіндісінің проекциясын алу ҥшін сызбада осы нҥктелерді қосу жеткілікті. Сонымен қатар тҥзу проекциясы берілген тҥзу бойынша ӛтетін проекциялаушы жазықтықты проекция жазығымен қиып ӛтетін сызық тҥрінде ҧсынылған. Мәселен,

AA

H

және

BB

H

проекциялаушы сәулелер тҥзудің

АВ

кесіндісі арқылы ӛтетін проекциялаушы жазықтықты қҧрды. Бҧл жазықтық

Н

проекция жазықтығын, АВ кесіндісінің тік проекциясы болып табылатын,

A

H

B

H

сызығы бойынша қиып ӛтеді. Осындай пайымдауларды АВ кесіндісінің сәйкес беткі және бейінді проекцияларының

A

V

B

V

және

A

W

B

W

кесінділеріне қатысты жҥргізуге болады.

22

2.2.2 Жалпы орнының тҥзу проекциясы. Тҥзу іздері .

Проекция жазықтықтарына параллель емес және перпендикуляр емес орналасқан тҥзу сызық

жалпы жағдайдағы түзу деп аталады (2.9 және 2.10, а суретте АВ тҥзуі). Сызбада жалпы жағдайдағы тҥзу проекциялары (2.10, б сурет) проекция ӛсьтеріне перпендикуляр және параллель емес.

A

H

B

H

, A

V

B

V

және

A

W

B

W

тҥзулері x, y

және z проекцияларының ӛсьтеріне кез келген бҧрыш астынан орналасқан. Жалпы жағдайдағы тҥзу кесіндісінің проекциялары бҧрмалаумен бейнеленеді және кеңістікте |АВ| кесіндісі ҧзындығының табиғи шамасынан ҥнемі кіші болып табылады. Егер кеңістікте тҥзу сызықты проекция жазықтықтарымен қиылысуға дейін жалғастырса (2.11, а сурет), онда нӛлге тең бір бір координатасы бар

M

және

N

нҥктелері пайда болады. Бҧл нҥктелер проекция жазықтықтарына меншікті. Тҥзу сызықтың проекция жазықтығымен қиылысу нҥктесі

түзу сызық ізі
деп аталады.

М

нҥктесі

– АВ тҥзуінің кӛлденең ізі. Оны сызбада жобалау ҥшін (2.11, б сурет)

A

V

N

нҥктесінің кӛлденең проекциясы (2.11, б суретті қар.)

A

H

B

H

ӛсьпен қиылысуы нәтижесінде х проекциясының ӛсінде орналасқан.

N

нҥктесінің беткі проекциясын

N

H

арқылы ӛтетін байланыс сызығының

A

V

B

V

беткі проекциясымен

2.11-сурет. Түзу сызықтың іздері
а – кеңістіктің ҥлгі сызбасы; б – кешенді сызба

23

Дербес жағдайдағы тҥзу сызықтар проекция жазықтықтарына параллель (2.9 суретте

h, f, p
тҥзулері ) немесе перпендикуляр (2.9 суретте
ВС, AD, n
тҥзулері).

Проекцияның қандай да бір жазықтығына параллель тҥзу сызық
деңгей түзуі
деп аталады. Деңгей тҥзулерінің проекциялары келесі қасиеттерге ие:
Проекцияның кӛлденең жазықтығына параллель тҥзу сызық

кӛлденең
деп аталады (h).2.12,

а

суретте h

тҥзуінің

АВ

кесіндісі кӛлденең болып табылады, ӛйткені ол проекцияның кӛлденең жазықтығына параллель. h кӛлденеңінің барлық нҥктелері Н проекциясы жазықтығынан бірдей қашықтықта орналасқан. Демек, проекцияның беткі жазықтығында мҧндай тҥзу х

проекциясының ӛсіне параллель тҥзу тҥрінде бейнеленеді (2.12 сурет).
Кӛлденеңнің кӛлденең проекциясы

х

ӛсімен р еркін бҧрышын және y

H

ӛсімен у бҧрышын қҧрайды. Бҧл h

кӛлденеңінің АВ кесіндісінің сәйкесінше

В

Н

| = = |АВ| = т. ш

2.12-сурет. Көлденең
а – кеңістіктің ҥлгі сызбасы; б – кешенді сызба

24

Проекцияның беткі жазықтығына параллель тҥзу сызық
беткі

деп аталады (f). Беткінің барлық нҥктелері проекцияның беткі жазықтығынан бірдей қашықтықта оналасқан (2.13, а сурет), сондықтан беткінің кӛлденең проекциясы х проекциясының ӛсіне параллель (2.13, б

сурет). Беткінің беткі проекциясы х

проекциясының ӛсіне а еркін бҧрышы астында сол жаққа кӛлбеумен де, сол сияқты он жаққа кӛлбеумен де сызылуы мҥмкін. f

беткісі кесіндісінің

C

Проекция жазықтықтарының біреуіне перпендикуляр орналасқан тҥзулер
проекциялаушы түзулер

деп аталады. Мҧндай тҥзулер перпендикуляр болып табылатын проекция жазықтығына нҥктеге проекцияланады. Проекцияның екі ӛзге жазықтықтарында проекциялаушы тҥзу сызықтар тҥзудің ӛз кесіндісінің табиғи шамасына тең кесінділер тҥрінде проекция ӛсьтеріне перпендикуляр бейнеленеді.

Z Z

2.13. Сурет Беткі: а

— кеңістіктің ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

25

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

Проекцияның кӛлденең жазықтығына перпендикуляр тҥзу сызық кӛлденең проекциялаушы деп аталады (2.15, а сурет). Н проекциясының жазықтығына бҧл тҥзу

A

H

= B

H

нҥктесіне проекцияланады. Тҥзудің кӛлденең проекциялаушысының беткі проекциясы х ӛсіне перпендикуляр, ал оның бейінді проекциясы yW

ӛсіне перпендикуляр(2.15, б сурет) және

A

V

BV

= A

W

BW= |AB| = т. ш.
Проекцияның беткі жазықтығына перпендикуляр

CD

тҥзу сызығы 2.16, а

суретінде ҧсынылған.

26

а

— кеңістіктің ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

а

— кеңістіктің ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

Мҧндай тҥзу сызық
беткі проекциялаушы
деп аталады. Оның беткі проекциясы —

C

V

= D

V

нҥктесі (2.16, б сурет). Беткі проекциялаушы тҥзудің кӛлденең проекциясы х

ӛсіне перпендикуляр, ал бейіндік проекция z ӛсіне перпендикуляр және|C

H

D

H

| = |C

W

D

W

| = = |CD| = т. ш.
Проекцияның бейіндік жазықтығына перпендикуляр тҥзу сызық
бейіндік проекциялаушы
деп аталады (2.17, а сурет). Оның проекциялары 2.17,

б

суретте бейнеленген: бейіндік проекция -

27

E

w

= F

w

нҥктесі ;

беткі проекция — я перпендикуляр ӛсінің тҥзуі тҥрінде; кӛлденең проекция — Ун

ӛсіне перпендикуляр тҥзу және \

E

V

F

V

E

H

F

H

EF

\ = н . в .

2.2.4.
Нҥктенің тҥзуге тиістілігінің белгісі

Сызба геометриясының барлық есептерін шешу кезінде геометриялық пішіндердің ӛзара тиістілігі қасиеттерін пайдалану қажет. Тиістіліктің маңызды қасиеттерінің бірі ретінде тҥзу сызық нҥктесінің тиістілік қасиетін есептеуге болады: егер нҥкте тҥзуге тиісті болса, онда нҥкте проекциялары тҥзудің сәйкес проекцияларында орналасқан.

Осы сызбада (2.18, б сур.қар.)

С

нҥктесінің кӛлденең проекциясы b

тҥзуінің кӛлденең проекциясына тиісті, ал

С

нҥктесінің беткі проекциясы b

тҥзуінің беткі проекциясынан жоғары орналасқан. Демек,

С

нҥктесі b

тҥзуіне тиісті емес (2.18, а сур.қар.).

2.18-сурет. Нүктенің түзуге тиесілігінің белгісі:
а – кеңістіктің ҥлгі сызбасы; б – кешенді сызба

28

2.2.5 Тҥзулердің ӛзара орналасуы Кеңістікте екі тҥзу бір біріне параллель орналасады (2.19, а сурет), қиылысады (2.20, а сурет) немесе айқасады (2.21, а сурет). Тҥзу сызықтардың ӛзара орналасуына тәуелді олардың проекциялары қҧрылады.

Параллель тҥзулердің проекциялары параллель (2.19, б сурет). а

және b тҥзулері кеңістікте параллель болғандықтан, олардың проекциялаушы жазықтықтары да параллель болады. Белгілі болғандай, екі параллель жазықтықтың ҥшінші жазықтықпен (берілген жағдайда проекция жазықтығымен) қиылысу сызығы параллель. Демек, a

H

б

— кешенді сызба

29

а — кеңістіктік ҥлгі сызбасы; б

— эпюр

Параллель тҥзулерді қҧру 4 қосымшада кӛрсетілген (4 ҥлгі) Егер кеңістікте екі тҥзу қиылысса, онда олардың аттас проекцяларының қиылысу нҥктелері проекциялаушы байланыстың бір сызығында орналасқан (2.20, б сурет). с

нҥктесінде қиылысады. А нҥктесінің барлық проекциялары проекциялық байланыс сызықтарымен біріктіріледі. Демек, А нҥктесі с

және d тҥзулері ҥшін ортақ, ал тҥзулер қылысатын болады.

Егер тҥзулердің аттас проекцияларының қиылысу нҥктелері проекциялық байланыстың тҥрлі сызықтарында орналасса, онда мҧндай тҥзулер

айқасушы
деп аталады (2.21, а сурет). Эпюрде (2.21, б сурет)

e

және k

тҥзулерінің кӛлденең проекциялары

1

H

= (2

H

) нҥктесінде қиылысады.

1

V

және

2

V

беткі проекциялары сәйкес келмейді, демек, e

және k

тҥзулері кеңістікте қылыспайды. e

тҥзуіне тиісті 1 нҥкте кӛрінетін болғандықтан, e

тҥзуінің сол жақ шеті k тҥзуінен жоғары орналасқан. e

және k

тҥзулерінің беткі проекциялары

3

V

= (4

V

және

CD

параллель тҥзулердің проекцияларымен және жазық пішін (

АВС

ҥшбҧрышының) проекциясымен берудің басқа тәсілдері сәйкесінше 2.22, в, г, д суретте ҧсынылған. Бҧл бейнелерді анықтап қарасақ, жазықтықты берудің бір нҧсқасынан басқасына ӛту оңай екені кӛрініп тҧрады. Тек қана сызбада жазықтықты оның іздерімен береді (2.23 сурет).

Жазықтық ізі деп берілген жазықтықтың проекция жазықтығымен қиылысу сызығы аталады. 2.23, а

суретте 5 жазықтық кӛрсетілген.Оның іздері: 5

H

кӛлденең із - 5 жазықтықтың Н проекциясы жазықтығымен қиылысу сызығы; 5

V

беткі із - 5 жазықтықтың V проекциясы жазықтығымен қиылысу сызығы; 5

W

бейінді із - 5 жазықтықтың

W

проекциясы жазықтығымен қиылысу сызығы. 5 берілген жазықтықтың
х, у,
және

z

ӛсьтерімен қиылысу нҥктелері
жазықтық іздерінің түсу
нҥктелері деп аталады. Оларды сәйкесінше 5

x , 5 y

және 5 z

деп белгілейді.

Іздермен берілген 5 жазықтығының кешенді сызбасы 2.23, б суретте ҧсынылған. Жазықтық ізі – бҧл берілген жазықтыққа және проекция жазықтығына тиісті тҥзу, сондықтан сызбада із ӛзінің аттас проекциясымен сәйкес келеді, ал оның басқа проекциялары

31

B

v о

а

— бір тҥзуде жатпайтын ҥш нҥкте проекцияларымен;

б

— тҥзу және осы тҥзуден тыс нҥкте проекцияларымен;

в

— қиылысатын тҥзулер проекцияларымен;

г

— параллель тҥзулер проекцияларымен;

д

— жазық пішіндер проекцияларымен.

2.23-сурет. Жазықтықты ізбен беру:
а – кеңістіктің ҥлгі сызбасы; б – кешенді сызба

32

ӛсьтерде орналасқан. Мысалы, 5

V

беткі іздің беткі проекциясы іздің ӛзімен сәйкес келеді, ал кӛлденең оның проекциясы Ох ӛсінде орналасқан. Проекция ӛстерімен сәйкес келетін іздер проекциясын сызбада белгілемейді. Жазықтықта орналасуы бойынша жазықтықтар жалпы және дербес жағдайдағы жазықтықтарға бӛлінеді.

Жалпы жағдайдағы жазықтықтар.
Жалпы жағдайдағы жазықтықтар

– проекцияның негізгі жазықтықтарына параллель емес және перпендикуляр емес жазықтықтар. 2.22 және 2.23, б суретте жалпы жағдайдағы жазықтықтар проекциялары келтірілген. Жалпы жағдайдағы жазықтықтардың барлық проекциялары осы жазықтықтардың табиғи шамасынан ҥнемі кіші болады.

Дербес жағдайдағы жазықтықтар
. Олар Н, V және

W

проекцияларының негізгі жазықтықтарына параллель немесе перпендикуляр болуы мҥмкін. Проекция жазықтықтарына перпендикуляр жазықтықтар

проекциялаушы
деп аталады.
Көлденең проекциялаушы жазықтық

т проекцияның кӛлденең жазықтығына перпендикуляр (2.24, а сурет). Проекцияның басқа жазықтықтарымен ол тік бҧрыштан ерекшеленетін бҧрышты қҧрайды. Н проекциясының жазықтығында (2.24, б сурет) т кӛлденең проекциялаушы жазықтық х ӛсіне р бҧрышы астында орналасқан кӛлденең т н ізімен бейнеленеді. Егер кӛлденең проекциялаушы жазықтықта АВС ҥшбҧрышы тҥрінде жазық пішінді анықтап қараса, оның

А

H

В

H

С

H

кӛлденең проекциясы т н

кӛлденең ізімен сәйкес келеді. Бҧл із жинақтаушы қасиетке ие.
Кӛлденең проекциялаушы жазықтықтың

T

V

беткі ізі х ӛсіне перпендикуляр т х нҥктесі арқылы ӛтеді. Кӛлденең проекциялаушы жазықтықта орналасқан жазық пішін бҧрмалаумен V проекциясының жазықтығына проекцияланады.

Беткі проекциялаушы жазықтық ю проекцияның беткі жазықтығына перпендикуляр және проекцияның басқа жазықтықтарымен тік бҧрыштардан ерекшеленетін бҧрыштарды қҧрайды (2.25, а сурет). Кешенді сызбада (2.25, б сурет) ю беткі проекциялаушы жазықтықты х ӛсімен а бҧрышын, және z

ӛсімен у бҧрышын қҧрайтын ю

V

беткі ізбен береді. Беткі проекциялаушы жазықтықтың ю

V

беткі ізі жинақтаушы қасиетке ие, ӛйткені

33

а — кеңістіктік ҥлгі сызбасы; б

— эпюр

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

жазықтықта орналасқан барлық геометриялық пішіндер a v

ізіне проекцияланады.
Бҧл жазықтықтың

a

H

кӛлденең ізі х ӛсіне перпендикуляр, ал a

W

бейіндік ізі z ӛсіне перпендикуляр, және іздер сәйкесінше a

X

мен a

Z

тҥсу іздері арқылы ӛтеді. Проекцияның кӛлденең жазықтығында

АВС

ҥшбҧрышының проекциясы бҧрмалаумен бейнеленген.
Бейіндік проекциялаушы жазықтық

ф проекцияның бейіндік жазықтығына перпендикуляр орналасқан (2.26, а суреті). Бейіндік проекциялаушы жазықтықтың ф

W

бейіндік ізі ӛзіне тиісті барлық нҥктелер мен тҥзулердің бейіндік проекцияларын жинайды (2.26, б сурет):

A

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

Бейіндік проекциялаушы жазықтық

W

проекция жазықтығына бҧрмалаусыз проекцияланатын проекцияның кӛлденең (а бҧрышы) және беткі (Р бҧрышы) жазықтықтарымен бҧрыштарды қҧрады. Сондықтан

q>

W

бейіндік із z

ӛсімен р бҧрышын, ал y

W

ӛсімен а бҧрышын қҧрайды. Бейіндік проекциялаушы жазықтықтың кӛлденең ф и

және беткі фу

іздері х ӛсіне параллель.

Ары қарай проекциялаушы жазықтықтары проекцияларының негізгі қасиеттері тҧжырымдалған. Жиі жағдайда сызбада проекциялаушы жазықтықтарды тек қана аттас ізге береді.

3.Проекциялаушы жазықтықтың аттас ізі проекция ӛсьтерімен берілген проекциялаушы жазықтықтың проекция жазықтықтарына кӛлбеулену бҧрыштарына тең бҧрыштарды қҧрайды.

Проекция жазықтықтарына параллель жазықтықтар
деңгей жазықтықтары
деп аталады. Мәселен,
е деңгейінің

6

z

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

жазықтығы проекцияның кӛлденең жазықтығына параллель; бҧл кезде ол проекцияның екі басқа: беткі және бейіндік жазықтығына перпендикуляр; (2.27, а сурет).

Кешенді сызбада (2.27, б сурет) деңгейдің кӛлденең жазықтығы х

ӛсіне параллель орналасқан e

V

беткі ізбен және y

W

ӛсіне параллель орналасқан e

W

бейіндік ізбен бейнеленеді. Деңгейдің кӛлденең жазықтығының кӛлденең проекциясы Н проекциясы жазықтығының барлық ауданын алады. Егер е деңгейінің кӛлденең жазықтығында

ААВС

жазық пішін тҥрінде облысты бӛліп алса (2.27 сур.қар.), онда бҧл жазық пішін

Н

проекциясының жазықтығына бҧрмалаусыз, яғни табиғи шамамен (т.ш.) проекцияланады. ААВС беткі және бейіндік проекциялары е деңгейінің кӛлденең жазықтығының сәйкес іздерімен сәйкес келеді.

ст деңгейінің беткі жазықтығы
проекцияның беткі жазықтығына параллель орналасқан (2.28, а сурет):

H

және

W

проекцияларының жазықтықтарына ол перпендикуляр. Деңгейдің беткі жазықтығының ст н

кӛлденең ізін х ӛсіне параллель сызады, ал осы жазықтықтың

CT

W

бейіндік ізі z ӛсіне параллель қҧрады.
Деңгейдің беткі жазықтығында орналасқан шеңбер тҥріндегі жазық пішін

V

проекциясы жазықтығында табиғи шамамен сол сияқты шеңбер тҥрінде проекцияланады (2.28, б сурет).

H

и

W

проекцияларының басқа екі жазықтықтарында С шеңберінің орталығы және оны шектейтін п айналасы ст

жазықтығының іздерімен сәйкес келеді.

Х

деңгейінің бейіндік жазықтығы
(2.29, а сурет) кеңістікте

W

проекциясының жазықтығына параллель және проекцияның екі басқа

36

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;

б

— кешенді сызба

жазықтықтарына перпендикуляр орналасады. Оның беткі

X

V

және кӛлденең

Х

н

проекциялары сызбада х ӛсіне перпендикуляр іздермен беріледі.

Х

деңгейінің бейіндік жазықтығында орналасқан жазық пішіннің бейіндік проекциясы, осы пішіннің табиғи шамасына тең (2.29, б сурет). Деңгейдің беткі жазықтығында орналасқан нҥкте мен сызықтар

Х

н

және

X

V

сәйкес іздерімен сәйкес келетін

H

және

V

проекцияларының жазықтығына проекцияланады.
Ары қарай деңгей жазықтықтары проекцияларының қасиеттері келтірілген.

37

2.23, б суретте 8 жазықтық іздеріне тиісті

M

және N нҥктелерінің проекциялары кӛрсетілген (2.23, а сур.қар.).

М

нҥктесінің кӛлденең проекциясы мен

N

нҥктесінің беткі проекциясы 8 жазықтықтың аттас іздерінде орналасқан, ал нҥктелердің басқа проекциялары х

ӛсінде тҧр.
8 жазықтық іздерінде орналасқан

M

және N нҥктелері нҥктенің тҥзу сызыққа тиістілігінің белгісін растайды. Сол уақытта сызба геометриясы нҥкте мен тҥзу сызықтың жазықтыққа тиістілігінің белгілерін қарастырады. Тҥзудің жазықтыққа тиістілігінің екі белгісі бар.

Бірінші белгісі: берілген жазықтықтың екі нҥктесі арқылы ӛтсе, тҥзу жазықтыққа тиесілі. Шындығында жазықтыққа тиесілі тҥзу жазықтықпен ӛзінің барлық нҥктелерімен сәйкес келеді. Бірақ сызбада есептерді шешу ҥшін тҥзу мен жазықтықтың екі ортақ нҥктесінің проекциясын білу жеткілікті.

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы;;

б

— бірінші белгі;

в

— екінші белгі

38

жазықтыққа тиісті е

ӛткізеді.
Есептерді шешу кезінде сонымен қатар
жазықтық
нүктесінің тиістілік белгісін

білу қажет: егер нҥкте берілген жазықтыққа тиісті тҥзуде жатса, онда ол жазықтыққа тиісті болады. Жазықтыққа тиісті нҥкте проекциясын қҧру ҥшін алдымен жазықтықта жатқан тҥзудің проекциясын қҧру қажет. е

тҥзуінің

1

тҥзуінің беткі проекциясында орналаспаған.

39

2.4 .

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ

2.4.1.
Кӛпжақтылардың бетінің пайда болуы және олардың проекциялары

Кӛпжақтылардың бҥйір беті жазықтықтармен – призмаларда тікбҧрыштар және пирамидаларда ҥшбҧрыштар тҥріндегі қырлармен қҧрылады. Дҧрыс кӛпжақтылардың табандары – дҧрыс кӛпбҧрыштар (дҧрыс кӛпбҧрыштарды сызу 5 кестеде келтіріледі). Қырлар ӛзара қиылысып, қабырғаларды қҧрады. Тҥзу призмалардың қабырғалары табандарға перпендикуляр орналасқан, ал тҥзу пирамидалардың қабырғалары табанмен тең сҥйір бҧрыштарды қҧрады. Кӛпжақтыларды жобалауды ҥнемі табан проекциясын салудан бастайды.Содан соң геометриялық дененің биіктігін (ҧзықтығын) салады, кӛрінушілігін есепке алумен бҥйір қабырғаларының проекцияларын сызады.

Призма проекцияларын дҧрыс тҥзу ҥшбҧрышты призма ҥлгісінде қарастырамыз (2.32, а сурет). Призманың тӛменгі табаны проекцияның кӛлденең жазықтығында орналасқан және

б а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы :

11'2'2, 223'3, 33' Г1

— қырлары;

А123

— тӛменгі табан; А1'2'

3'

1, 2, 3, 1' ,

2

, 3'

— табан ҧштары;

М, L

— ҥстіндегі нҥктелер;

б

— кешенді сызба

40

тең қабырғалы ҥшбҧрыш (Д123) тҥрінде ҧсынылған. Тҥзу призманың бҥйір қабырғалары

11', 22'
және

33' табанға перпендикуляр орналасқан, яғни кӛлденең проекциялаушы тҥзу болып табылады. Дҧрыс тҥзу призманың

1'2'3'
ҥстіңгі табаны тӛменгі табанға параллель және тең. Призманың
11 3 3
бҥйір қыры проекцияның беткі жазықтығына параллель.

Дҧрыс тҥзу ҥшбҧрышты призманың кеңістікте осындай орналасуы кезінде оның кӛлденең проекцясы (2.32, б) тең қабырғалы ҥшбҧрыш тҥрінде ҧсынылады: тӛменгі табанның

1

H

2

H

3

H

кӛлденең проекциясы ҥстіңгі табанның 1'

H

2'

H

3'

H

кӛлденең проекциясымен сәйкес келеді. Призманың тӛменгі табанының беткі және бейінді проекциялары сәйкесінше х и y

W

проекцияӛсьтерімен сәйкес келеді.

Бҥйір қабырғалары кӛлденең проекциялаушы тҥзу болып табылатындықтан, олардың Н жазықтығына проекциялары 1'

H

1

3

V

3

V

беткі проекциясы х проекциясы ӛсіне перпендикуляр орналасады. Бҧл бҥйір қабырғаларының проекциялары табиғи шамамен бейнеленген және призма биіктігіне тең. Призма ҧшының 1V, 2V, және 3' v беткі проекциялары арқылы жоғары табанның беткі проекциясы ӛтеді. Призманың беткі проекциясы тікбҧрыш тҥрінде ҧсынылады.

Белгілі екі проекциясы бойынша призманың барлық ҧштарының
бейіндік проекцияларын қҧрып, призма қабырғаларының

1'

W

1

W

2

W

2

W

и

3

W

3

W

бейіндік проекцияларын алады. Ҥстіңгі табан жақтарының бейіндік проекциясы ҧштарының 1W, 2'

W

и 3'

W

бейіндік проекциялары арқылы ӛтеді. Призманың бейіндік проекциялары де тікбҧрыш тҥрінде болады. Жалпы жағдайда Н проекциясы жазықтығында дҧрыс тҥзу призманың проекцясы дҧрыс кӛпбҧрыш және V мен W проекция жазықтықтарында тікбҧрыш тҥрінде болады. Призма пішініне және оның проекция жазықтықтарына қатысты орналасуына тәуелді тікбқрыштар ішінде бҥйір қабырғаларының проекциялары сызылады. Мысалы: (2

V

) — (2V) —

2 — 2'
қабырғаның беткі проекциясы.

Кӛрінушілікті анықтау ҥшін нҧсқама және жазулармен (Н, Vи W қара) 2.32,б суретте проекциялау бағытымен сәйкес келетін бақылаушы кӛзқарасының бағыты кӛрсетілген. Н проекция жазықтығында жоғары табан проекцясы кӛрінетін, ал тӛменгінікі – кӛрінбейтін болады, сондықтан тӛменгі табан ҧштары проекцияларының белгіленуі жақшаға алынған. Қабырғаның

2

V

2

V

беткі проекциясы штрих сызықпен бейнеленген, ӛйткені 22 қабырға бақылаушыдан басқа қабырғалардан алыс орналасқан және геометриялық денемен жабылған.

41

W

проекция жазықтығында қабырғалардың 1'

W

1

W

и

3

W

3

W

бейіндік проекциялары сәйкес келеді және кӛрінетін қабырғаның 1'

W

1

W

проекциясы кӛрінбейтін қабырғаның

3

W

3

W

проекциясын жабады.

Призма қабырғаларында жатқан нҥкте проекцияларын қҧруды нҥктенің тҥзу сызыққа тиістілігі белгісін пайдалана отырып орындайды. Осы белгімен сәйкес келесі формулаларды жазып алуға болады:

M е 11'

М

нҥктесі

11

қабырғаға тиісті, демек

,M

кӛлденең проекциясын, ол қабырғаның

1

бейіндік проекциясын қҧру ҥшін

M

W

1

W

1'

W

бейіндік проекциясы кӛрінетін болғандықтан, нҥктенің

M

V

және

M

W

проекциялары да кӛрінетін болады.

Призма қырына тиісті нҥкте проекциясын нҥктенің жазықтыққа тиістілігі белгісін қолданумен қҧрады. Мысалы, нҥктенің беткі проекциясы (L

V

) арқылы тҥзудің h

V

беткі проекциясын ӛткізеді. Тҥзудің h

V

кӛлденең проекциясы қырының

2

H

2'

H

3'

H

3

H

кӛлденең проекциясымен сәйкес келетіндіктен нҥктенің

L

H

кӛлденең проекциясын байланыс сызығының қыр проекциясымен қиылысында табады. Проекциялық байланыс сызығы нҥкте проекциясының белгісін кесіп ӛтпеу ҥшін ҥзіледі. Содан кейін тҥзудің

L

H

бейіндік проекциясын қҧрады және проекциялық байланыс сызығының кӛмегімен

H

және

W

проекцияларының жазықтықтары арасында h

W

сызығында нҥктенің

L

W

бейіндік проекциясын табады. Нҥкте проекциясының кӛрінушілігін қыр проекциясының кӛрінушілігі бойынша анықтайды.

Пирамида проекцияларын дҧрыс тҥзу ҥшбҧрышты пирамида ҥлгісінде қарастырайық (2.33, а сурет). Пирамида табаны проекцияның кӛлденең жазықтығында тҧр және 123 тең бҧрышты ҥшбҧрыш тҥрінде ҧсынылған. Тҥзу пирамиданың

1L

бҥйір қабырғасы

V

проекциясы жазықтығына параллель орналасқан, яғни деңгей тҥзуі болып табылады, екі басқа

2L

және

және

42

а

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы:

1L2, 2L3, 1L3

— қырлары;

L

— ҧшы;

L1, L2, L3

— бҥйір қабырғалары;

12, 23, 13

— табан жақтары; 1, 2,

3

— табан ҧштары;

А123

— табан;

4, А, В

— бетіндегі нҥктелер;

б

L

H

және табан жақтарының

1

H

2

H

, 2

H

3

H

, 1

H

3

L

1

V

, 2

және

3

V

L

V

р беткі проекцияларын алады. Қабырғаның

2

V

L

V

беткі проекциясы (бақылаушыдан ең алыстатылған ретінде) кӛрінбейді. Екі басқа қабырғаның беткі проекциялары кӛрінеді.

Табан мен ҧштары нҥктелерінің

1

W

, 2

L

W

және

3

W

L

W

бейіндік проекцияларын алады. Пирамиданың барлық қабырғаларының бейіндік проекциялары кӛрінеді. Дҧрыс ҥшбҧрышты пирамиданың кеңістікте берілген жағдайы кезінде оның проекциялары: Н проекциясының жазықтығында – дҧрыс ҥшбҧрыш;

V

проекциясының жазықтығында – дҧрыс емес ҥшбҧрыш; W проекция жазықтығында – теңбҥйірлі ҥшбҧрышты ҧсынады. Егер еркін дҧрыс пирамида табанымен Н проекциясының жазықтығында орналасса, онда оның осы проекция жазықтығына проекциясы дҧрыс кӛрбҧрыш тҥрінде болады, екі басқа проекциясы – ҥшбҧрыштар. Пирамида қабырғаларына тиісті нҥкте проекцияларын нҥктенің тҥзуге тиістілігі белгісін пайдалан отырып, қҧрады.Айталық,

2L

қабырғасында А нҥктесі берілген және оның беткі проекциясы (A

проекцияларын байланыс сызықтары кӛмегімен қабырғалардың сәйкес проекцияларына қҧрады. А нҥктесінің кӛлденең және бейіндік проекциялары кӛрінеді.

В

нҥктесі

1L3

қырына тиісті болсын. В нҥктесінің проекцияларын нҥктенің жазықтыққа тиістілігі қасиетін пайдалана отырып, қҧруға болады. 2.33 суретте тҥзу сызықтың жазықтыққа тиістілігінің екінші қасиетін пайдалану кӛрсетілген (2.30, в

сур.қара.).

4В

сызығы табанның 13 бетіне параллель болсын.

4

Н

нҥктесін қҧрып,

1

Н

3

Н

параллель етіп сызықтың кӛлденең проекциясын сызады. Одан кейін

В

Н

нҥктесін және

B

W

нҥктесін проекциялайды. В нҥктесінің барлық проекциялары кӛрінеді.

2.4.2.
Айналу денелері бетінің пайда болуы және олардың проекциялары

Айналу денелері жасаушының: тҥзу сызық кесіндісінің немесе шеңбердің (шеңбер доғасының) айналу ӛсі айналасында айналу нәтижесінде пайда болады. Сызбада айналу денелерінің проекцияларын очерктармен береді. Очерк деп геометриялық дененің (оның бетінің) контур сызығының проекциясы аталады. Цилиндрдің контур сызығы жалпы жағдайда тікбҧрыш тҥрінде; конустың контур сызығы – ҥшбҧрыш; шардың контур сызығы – шеңбер болады.

Егер

АА'

кесіндісі

R

радиусқа тең қашықтықта і айналу ӛсіне параллель орналасса беті цилиндрлік деп аталады. (2.34, а сурет). Цилиндр цилиндрлік бетімен және

R

радиусты дӛңгелек тҥріндегі екі табанмен шектеледі (2.34, б

сурет).

44

а

— бетінің қҥрылуы;

б

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы:

і

және

DD'

жасаушылары проекцияның бейіндік жазықтығына қатысты очерктік болып табылады. Очерктік жасаушылардың басқа проекциялары айналу ӛсьтерінің проекцияларымен сәйкес келеді:

іw = A

W

&

W

CwCW), а
іV =

(B

V

BV) =

D

V

D'

v .

проекция жазықтығында цилиндрд ің сол жақ бӛлігінің проекциясы кӛрінетін болып табылады, және ол геометриялық дененің он жақ кӛрінбейтін бӛлігінің проекциясын жауып тҧрады. Цилиндрдің бҥйір бетіне тиісті нҥктелерді қҧруды тҥзу сызық (жасаушы) нҥктесінің тиістілік қасиеті негізінде орындайды. Нҥктелер проекцияларының кӛрінушілігін анықтау ҥшін жасаушылар проекцияларының және солардағы нҥктелердің очерктерге қатысты жағдайын қарастырады. Мысалы,

М

нҥктесінің кӛлденең проекциясы алдыңғы, бақылаушыға қарап тҧрған цилиндр бӛлігіне сәйкес келеді, сондықтан нҥктенің

M

V

беткі проекциясы кӛрінетін болады.

Проекцияның беткі жазықтығында нҥкте проекцияларының кӛрінушілігін Н проекциясының жазықтығы бойынша, сол сияқты W проекциясының жазықтығы бойынша да анықтауға болады. Мысалы, М нҥктесінің

M

V

беткі проекциясы беткі очерктік жасаушылардың бейіндік проекциясынан

D

V

D'

V

= (B

V

B'

v ) оңға қарай орналасқан. Демек, М нҥктесінің бейіндік проекциялары және сол арқылы ӛтетін жасаушы кӛрінетін болады.

46

Жасаушының бейіндік проекциясы штрих сызықпен кӛрсетілген, ал нҥктенің

M

W

бейіндік проекциясының белгіленуі жақшаға алынған.

АК

кесіндісі және і

айналу ӛсі қиылысқанда, яғни ортақ нҥктесі – К ҧшы болғанда бет
конус пішінді

деп аталады (2.35, а сурет). Конус конус пішінді бетімен және у табанымен шектелген (2.35, б). Конус бетіндегі ең қарапайым сызықтар тҥзулер - АК жасаушылары және конус табанына параллель жазықтықтарда орналасқан n параллельдер – шеңберлер болып табылады. Конус бетіне тиісті М нҥктесі бір уақытта

ЕК

жасаушысында және n параллелінде орналасқан.
Конус проекцияларын

і айналу ӛсі кӛлденең проекциялаушы тҥзу болып табылатын тҥзу айналма конус (2.35, б сурет) ҥлгісінде қарастырайық. Конус табаны Н проекциясының жазықтығында орналасқан.

| см.
на V

а

— бетінің қҥрылуы;

б

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы:

і

— айналу ӛсі;

К

— ҧшы; АК,

ЕК

— жасаушылар; у — табан;

R

— табан радиуысы;

n

— параллель;

M

—бетіндегі нҥкте;

в

— кешенді сызба

47

Конус проекциясын қҧруды цилиндр айналу ӛсінің проекцияларын қҧруға ҧқсас айналу ӛсін бейнелеуден (2.35 сурет) бастайды. Ӛсьтің і

H

кӛлденең проекциясы – нҥкте. Айналу ӛсінің і

V

беткі проекциясы және і

W

бейіндік проекциясы сәйкесінше х

және y

W

проекцияларының ӛсьтеріне перпендикуляр. Айналу ӛсінің беткі және бейіндік проекцияларында конус биіктігін салады, бҧл кезде сәйкес келетін конус ҧшының

K

V

және

K

W

проекциялары алынады. Конус ҧшының

К

Н

кӛлденең проекциясы айналу ӛсінің і

H

кӛлденең проекциясымен сәйкес келеді.

Конус табанының кӛлденең проекциясы – конус табанының табиғи шамасына сәйкес келетін дӛңгелек.

Табанның беткі және бейіндік проекциялары сәйкесінше х

және y

W

проекцияларының ӛсьтерімен сәйкес келеді. Олардың ҧзындықтары табан диаметріне тең.

A

V

және

C

V

беткі проекцияларды (шеңбер проекцияларының шеткі нҥктелері) конус ҧшының

K

V

беткі проекциясымен қосып, конустың беткі проекциясын алады

(AA

V

K

V

C

V

Жасаушылардың

A

V

K

V

және

C

V

K

V

беткі проекциялары конустың беткі очеркін береді. Олардың бейіндік проекциялары конус ӛсінің іW

бейіндік проекциясымен сәйкес келеді:

(C

W

K

W

) = A

W

D

W

K

W

және

B

W

K

W

бейіндік проекциялары конустың бейіндік очеркі болып табылады. Олардың беткі проекциялары айналу денесі ӛсінің беткі проекцияларымен сәйкес келеді:

D

V

K

V

= (B

V

K

V

) = і

V

Осылайша, конустың беткі және бейіндік проекциялары бірдей теңбҥйірлі ҥшбҧрыштар тҥрінде ҧсынылады. Егер конусқа ҧшы жағынан қараса, онда конустың барлық бҥйір беті кӛрінетін болады. Сондықтан конус бетіне тиісті кез келген нҥкте немесе сызықтың кӛлденең проекциясы сол сияқты кӛрінетін болады.

Алдынан қарағанда бақылаушыға жақын, яғни

АК

және

СК

беткі очерктік жасаушылар алдында орналасқан конус бетінің бӛлігі кӛрінеді. Конустың бҧл бӛлігінің беткі проекциясы да кӛрінетін болады. Конустың кӛрінетін және кӛрінбейтін бӛліктерінің беткі проекциялары сәйкес келеді. Беткі очерктіктер V проекция жазықтығында кӛрінушілік шекарасы болып табылады.

ВК

және

DK

бейіндік очерктіктерден сол жақта орналасқан конус бетінің бӛлігі (сол жақтан қарағанда бақылаушыға жақын) проекцияның бейіндік жазықтығында кӛрінетін болады. Бақылаушыға қарама-қарсы жақта (бейіндік очерктік жасаушылар артында) орналасқан конус бетінің басқа бӛлігі – кӛрінбейді.

48

Бейіндік очерктіктер проекцияның бейіндік жазықтығында кӛрінушілік шекарасы болып табылады. Конус бетіне тиісті нҥктелер проекцияларын нҥктенің конус бетінде орналасқан ең қарапайым сызыққа тиістілік қасиетін пайдалан отырып, қҧрады. Конус бетінде екі ең қарапайым сызық: жасаушы (тҥзу) және параллель (шеңбер) белгілі. Конус бетінде нҥкте проекцияларын тҥзу сызық кӛмегімен қҧруды қарастырайық (2.35, в

W

проекцияларын алады.
М е ЕК

М

н е Е

Н

К

Н

, M

V

е E

V

K

V

M

W

е

E

W

K

W формулаларын пайдалан отырып, жасаушылардың сәйкес проекцияларына М нҥтесінің беткі және бейіндік проекцияларын жобалайды.

М нҥктесі проекцияның барлық жазықтықтарына қатысты конус бетінің кӛрінетін бӛлігінде орналасқандықтан, оның барлық проекциялары кӛрінеді. Нҥкте проекцияларын параллель проекциялары кӛмегімен қҧру нҧсқасын қарастырайық (2.35, в сурет). Параллель табанға параллель жазықтықта орналасқандықтан, оның проекциясы, табан проекциясы сияқты, Н проекциясы жазықтығында – шеңбер болады. Параллельдің басқа проекциялары – проекция ӛсьтеріне параллель тҥзу сызықтар.

Айталық, конус бетіне тиісті нҥктенің

М

Н

кӛлденең проекциясы берілген. Алдымен параллельдің п н

кӛлденең проекциясын қҧрады. Ол ҥшін нҥктенің

М

Н

кӛлденең проекциясы арқылы і

H

және

М

Н

арасындағы қашықтыққа тең радиуспен шеңбер жҥргізеді.

Р

Н

нҥктесін п н

қҧрылған шеңбердің беткі очерктік жасаушының

С

Н

К

Н

кӛлденең проекциясымен қиылысу нҥктесін табады. Содан кейін нҥктенің

F

V

беткі проекциясын очерктік жасаушының

C

V

K

V

беткі проекциясына жобалайды.

F

V

нҥктесі арқылы табанның беткі проекциясына параллель параллельдің n

V

беткі проекциясы ӛтеді. Ары қарай параллельдің n

W

беткі проекциясын қҧрады және проекциялаушы байланыс сызықтары кӛмегімен параллель проекцияларында

M

V

және

M

W

жетіспейтін проекцияларын табады. .

49

Шеңбер диаметрімен г" сәйкес келетін, і

айналу ӛсі айналасында b

шеңберінің айналуы кезінде пайда болатын бет (2.36, а сурет)
сфера
деп аталады. Сфера шардың беті болыр табылады (2.36,

б сурет). Сфера тҥрлі жазықтықтарда орналасқан кӛптеген шеңберлер тҥрінде келеді. Айналу ӛсіне перпендикуляр жазықтықтарда орналасқан шеңберлер

п параллельдер
деп аталады. Параллельдердің ең ҥлкені –

а экваторы. Жасаушы шеңберлердің әрқайсысы меридиан болып табылады. Проекцияның беткі жазықтығына параллель меридианы

басты меридиан
, ал проекцияның беткі жазықтығына параллель –
бейіндік меридиан
деп аталады.

Шар проекциялары (2.36, в сурет) бірдей диаметр шеңберлері тҥрінде келеді. Шар проекцияларын қҧруды айналу ӛсінің

проекцияларын бейнелеуден бастайды: і

H

— кӛлденең проекция;

і

V

— беткі проекция;

і

W

— бейіндік проекция.

С

C

V

және

C

W

нҥктелері — сәйкесінше Н,
V және W
проекция жазықтықтарында шар орталығының проекциялары.
Шар экваторының кӛлденең проекциясы

а

Н

– шеңбер; экватордың беткі проекциясы

z Ун а

— бетінің қҥрылуы;

б

— кеңістіктік ҥлгі сызбасы:

і

— айналу ӛсі;;

b

— шеңбер;

і

— шеңбер диаметрі;

а

— экватор;

d

— меридиан;

n

— параллель; 1,

2, M

— бетіндегі нҥктелер;

в

— кешенді сызба.

Мысалы,

Е

нҥктесі бас меридианға тиісті, демек:

Е

Н

= b №

E

V

= b

V

и

E

W

= b

W

М нҥктесі экваторға тиісті, демек:

М

н

= ан, M

V

= av и

M

W

= a w .

Егер нҥкте шардың негізгі сызықтарының біреуіне де тиісті болмаса, онда оның проекцияларын осы нҥкте арқылы ӛтетін параллель кӛмегімен қҧрады. Нҥктенің

1

V

= (2

V

) беткі проекциялары берілсін; олардың жетіспейтін проекцияларын қҧру қажет. Ол ҥшін нҥктенің белгілі бір проекциясы арқылы параллель проекциясын ӛткізеді. 2.36, в

суретте нҥктелердің

1

E

V

нҥктесін табады. Нҥктенің кӛлденең проекциясын

Е

Н

қҧрады, сол нҥкте арқылы ӛсьтің і

H

кӛлденең проекциясынан нҥктенің

Е

Параллельдің n

H

кӛлденең проекциясында нҥктелердің

1

Н

және

2

Н

проекциялары орналасады. Нҥктелердің

1

V

= (2

V

беткі проекциялары экватордың a

V

беткі проекциясынан жоғары орналасқандықтан, нҥкте проекцияларының

1

Н

және

2

Н

кӛлденең проекциялары кӛрінетін болады. Содан кейін параллельдің n

W

бейіндік проекциясын қҧрады, онда байланыс сызықтары кӛмегімен нҥктелердің

1

W

және

2

W

бейіндік проекцияларын табады. Нҥктенің

1

V

= (2

V

беткі проекциялары меридианның d

V

беткі проекциясынан солға қарай орналасқандықтан, нҥктелердің

1

W

және

2

W

бейіндік проекциялары кӛрінетін болады.

Егер айналу ӛсі мен шеңбердің тік диаметрі сәйкес келмесе, ал екеуінің арасындағы қашықтық шеңбер радиусынан ҥлкен болса, онда айналу кезінде пайда болған бет

ашық тор
деп аталады. Ашық тор бетінің сыртқы бӛлігі
дӛңгелек білік

деп аталатын сәулет бӛлшегі тҥрінде келеді. Дӛңгелек білікті сонымен қатар і айналу ӛсі айналасында жартылай шеңберді айналдырудан (2.37, а сурет) пайда болған бет ретінде қарастыруға болады. Бҧл кезде b

жартылай шеңбер і'

ӛсі айналу ӛсінен

R

радиус қашықтығында орналасқан.
2.37,

б

суретте дӛңгелек біліктің негізгі сызықтары кӛрсетілген: а

— экватор (ең ҥлкен параллель);

b

— жасаушы жартылай шеңбер (меридиан);

с

— ҥстіңгі параллель. Ҥстіңгі параллель жартылай b шеңбердің

D

нҥктесін айналдыру кезінде алынады.

Е

нҥктесі тек қана дӛңгелек біліктің тӛмеңгі жағында орналасқан параллельді ғана R радиуспен сипаттайды.

N

нҥктесі экваторға, ал

М

нҥктесі – еркін параллельге тиісті.
Дөңгелек білік проекциялары

V

оң және сол

52

а

— бетінің қҧрылуы;

б

— кеңістіктің ҥлгі сызбасы, элементтер:

і

— айналу ӛсі;

b

— жасаушы жартылай шеңбер (меридиан);

і

— жартылай шеңбер диаметрі,

b; а

— экватор;

n

— параллель;

с

— ҥстіңгі параллель;

М, N

— бетіндегі нҥктелер

V

және

K

V

нҥктелері біліктің беткі очеркіне тиісті.

53

Дӛңгелек біліктің кӛлденең проекцияларын қҧру ҥшін айналу ӛсінің і

H

кӛлденең проекциясы арқылы ӛтетін кӛлденең орналасқан штрих- нҥкте сызыққа

К'

Н

және

К

Н

нҥктелерін жобалайды. і

H

K

H

қашықтыққа тең радиуспен экватордың кӛлденең проекциясы және дӛңгелек біліктің кӛлденең очеркі болып табылатын а

Н

шеңберін сызады. Ҥстіңгі с

перпендикуляр тҥзу. Параллельдің бейіндік проекциясы і

W

перпендикуляр тҥзу. Параллельдің n

W

кӛлденең проекциясы – ӛсьтен очеркке дейінгі қашықтыққа тең (қашықтық V және W проекция жазықтықтарында фигуралық жақшамен белгіленген) г радиусты шеңбер. Дӛңгелек білік бетінде бірдей радиусты екі параллель бар. Бҧл параллельдер жазықтықтары экватор жазықтығынан бірдей қашықтықта ір тҥрлі жағынан орналасқан. Нҥктенің сызыққа тиістілігі қасиетін пайдалан отырып, дӛңгелек білік бетінде орналасқан нҥктелердің проекцияларын қҧруға болады.

БАҚЫЛАУ СҦРАҚТАРЫ

54

6.

Кешенді сызбада А(50; 30; 20), 6(30; 20; 40), С(10; 20; 30) нҥктелерінің проекцяларын қҧрыңдар. Проекцияның қай жазықтықтарына нҥктелер жақын орналасқанын анықтаңдар. 20.

Кешенді сызбада А(20;40;60), В(0;18;35), С(60;0;25), D(30;10;0) нҥктелерінің ҥш проекциясын қҧрыңдар. Нҥкте проекцияларын тҥзу сызықтармен қосыңдар. Қандай геометриялық дене проекциялары алынды? Тҥзу сызықтардың жағдайын талдаңдар. Қабырға проекцияларының кӛрінушілігін бәсекелес нҥктелер бойынша анықтаңдар. 21.

№ 1, 2 графикалық жҧмыстарды орындаңдар (10 қосымшаны қараңдар

55

Ч

Глава 3

АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР

3.1.

ЖАЛПЫ ҦҒЫМДАР. АЛУ ПРИНЦИПІ

Ортогональды проекцияларда заттарды бейнелеудің артықшылығы, проекцияның жазықтығына сәйкес келетін параллель екі ӛлшемі, осы жазықтыққа бҧрмаланбастан проекцияланады, ал оған перпендикуляр ҥшінші ӛлшем, жоқ болып кетеді. Осы қасиетінің арқасында ортогональды сызба қарапайым тҥрде қҧрылады, ол бойынша заттың мӛлшері оңай айқындалады және ҥлгі жасалады. Алайда, сызба бойынша заттың нақты нысанын кӛрсету ҥшін тәжірибе және дамыған кеңістіктік ойлау қабілеті талап етіледі. Ортогональды проекцияларға қарағанда, аксонометриялық проекциялар кӛрнекі болады. Аксонометриялық сызбада проекцияның бір жазығында заттың әрбір нҥктесінің ҥш координатын қарапайым қҧру есебінен жазық бейнеге кӛлемділік беріледі. Нәтижесінде, аксонометриялық бейне бізге заттың шынында да қандай тҥрінде болатындығын бейнелейді. Аксонометриялық проекциялар координаттық осьтермен бірге аксонометриялық проекцияларының бір жазықтығында координаттық осьтерге жатқызылған, заттың параллель сәулелерімен жобалау кезінде алынады (3.1-сурет).

K

проекциясының аксонометриялық жазықтығы
кӛрнекі жазықтық,
немесе
кӛрнекілік

деп аталады.

S

векторы жобалау бағытын айқындайды. Барлық жобалаушы сәулелерді s

нҥктесінен бӛлек кӛрнекілікке оның ортогональды проекцияларының бірін (әдетте А н

кӛлденең проекциясы) проекциялайды.

А

нҥктесінің екінші проекциясы Іжәне ІІ рим цифрларымен белгіленген стрелкалармен кӛрсетілген екі жҥйелі қҧрылымның нәтижесінде алынады.

A

H

нҥктесінің толық атауы — «А нҥктесінің кӛлденең проекциясының аксонометриялық проекциясы»; оны сондай-ақ

А

нҥктесінің қосалқы проекциясы деп атайды.

К

жазығындағы
Oxyz
координаттық осьтер жҥйесін проекциялау кезінде
O’xyz’

аксонометриялық осьтердің жазық жҥйесі алынады. Жалпы жағдайда кеңістіктегі координаттар осьтері кесінділерінің ҧзындығы олардың проекцияларының ҧзындығына тең емес. Координаттар осьтерін кескінге проекциялау кезінде олардың кесінділерінің бҧрмалануы бҧрмалану коэффициенттерімен сипатталады.

Бұрмалану коэффициенті ретінде кескіндегі осьтің кесінді проекциясы ҧзындығының кеңістіктегі оның нақты ҧзындығына қатынасын атайды.

Х

осі бойынша бҧрмалану коэффициенті — k x

= O'x/Ox ;

У

осі бойынша бҧрмалану коэффициенті — k y

= = O' у/Oy ;

Z

осі бойынша бҧрмалану коэффициенті — k z

= O z/Oz .

Бҧрмалану коэффициенттерінің қатынастарына байланысты аксонометриялық проекциялар изометриялық, диметриялық және триметриялық болады.

57

Егер барлық ҥш ось бойынша бҧрмалану коэффициенттері ӛзара тең болса (k x

= k y

= k z )

, онда аксонометриялық проекцияларды
изометриялық

A

=О'Ax
=20 мм кесіндісін қояды.

A

x

нҥктесі арқылы у

осьіне параллель тік сызық жҥргізеді және

A

y

нҥктесі арқылы х

осьіне параллель тік сызық жҥргізеді. Қҧрылған тік сызықтардың қиылысында

A

H

нҥктесін алады.

A

H

нҥктесі —

А

нҥктесінің қосалқы проекциясы.

а

— изометрияда;

б

— диметрияда

58

N

Ь.

0

X

И

у

а

— ортогональды сызба;

б

— аксонометриялық сызба

Содан кейін

A

H

нҥктесінің қосалқы проекциясы арқылы z

осьіне параллель тік сызық жҥргізеді. Оның ҥстіне

Z

H

=A'

H

A =

=40мм кесіндісін қояды және А нҥктесінің

А

аксонометриялық проекциясын алады.

A

H

қосалқы проекциясын және

А

нҥктесінің аксонометриясын қосатын сызық
проекциялық байланыссызығы
деп аталады.
Диметриялық проекцияны қҧру (3.2,

б

-сурет) айырмашылығы, оның у

осі бойынша бҧрмалану коэффициентіне кӛбейтілген нҥкте
координатына тең кесінді қояды

(Y

x

k ).

координатын у осьіне параллель және AX нҥктесі арқылы ӛтетін сызықтың тура ҥстіне қойса, қҧрылымды жеңілдетуге болады.

3.2 және 3.3, б

-суреттердегі

ОA

x

A'^'

координатты сынық сызық қалың сызықпен ерекшеленген.

Изометриялық, диметриялық және триметриялық аксонометриялық проекциялар проекциялардың бағытына байланысты тікбҧрышты да (1.4, а-суретін қараңыз), қисықбҧрышты да (1.4, б-суретін қараңыз) болады. Сызбада кӛптеген аксонометриялық осьтердің орналасуы ықтимал, бірақ тәжірибе жҥзінде аксонометриялық проекциялардың бес стандартты тҥрлері қолданылады.

59

3.2.

АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР

ТҤРЛЕРІ

Аксонометриялық проекциялардың тҥрлері МЕМСТ .317—2011 ЕСКД «Аксонометриялық проекциялар» стандартында белгіленген. Аксонометриялық проекциялардың тҥрлері проекциялау бағытымен, проекциялар жазықтығына қатысты координаттардың осьтерінің орналасуымен және бҧрмалану коэффициенттеріне қатысты ерекшеленеді. 3.4-суретте аксонометриялық проекциялардың әртҥрлі тҥрлеріндегі параллелепипедтің бейнесі (мӛлшері 250х120x65 мм кәдімгі қҧрылыс кірпіші) ҧсынылған.

Тікбұрышты изометриялық проекция (тікбҧрышты изометрия, немесе жай изометрия) техникалық сызу және сурет тәжірибесінде кеңінен қолданылады. Изометрияда (3.5, а-сурет)

O'x', O'y, O'z аксонометриялық осьтер бір бірімен 120° бҧрыш қҧрайды. Барлық ҥш осьтер бойынша бҧрмалану коэффициенттері бірдей ( k x =k y =k z

=1).

O'z

осін сызбада ҥнемі тік орналастырады.
O'x'

, O'y аксонометриялық осьтерді қҧруды әртҥрлі әдістермен орындайды: бҧрыштықтар кӛмегімен (3.5, в-сурет), циркульдің кӛмегімен (3.5, б-сурет) торкӛз қағазда (3.5, г-сурет).

Тікбұрышты диметриялық проекция
(тікбҧрышты диметрия, немесе жай диметрия) — бҧл екі ось бойынша (kX =

k' z

= 1), және ҥшінші ось бойынша k y

=0,5 бҧрмалану коэффициенттері бірдей аксонометриялық проекция. Осылайша, x

және z осьтері немесе оларға параллель бағыттары бойынша заттың нақты мӛлшерлерін қояды, ал у

осі бойынша екі есе азайтады.

O'z

осін тік сызады; O'x

осі 7°10' бҧрышымен қисайған, ал O'у осі — сызбаның кӛлденең сызығына қатысты 41°25' бҧрышымен (3.6, а-сурет) кӛрсетеді.

а

— изометрия;

б

— диметрия;

в

— фронтальді диметрия;

г

— фронтальді изометрия;

д

— кӛлденең изометрия

60

Сурет. Тікбҧрышты изометриядағы аксонометриялық осьтер: а

— расположение;

б

— построение с помощью циркуля;

в

— построение с помощью угольников;

г

— построение на листе в клетку

x

және у диметриясының аксонометриялық осьтерін графикалық қҧруды келесі тҥрде орындайды. Координаттар басы арқылы (

O'

нҥктесі) кӛлденең сызық жҥргізеді. Оның ҥстіне сол жағына сегіз бірлік кесінді тартады,

8

нҥктесінен тӛмен бір жалғыз кезінді қҧрайды.

1

нҥктесін координаттардың басымен жалғайды және x

аксонометриялық осьінің бағытын алады.

У

осін қҧру ҥшін кӛлденең сызықта оңға қарай сегіз бірлік кесінді тартады, ал тӛменге қарай осындай жеті сызық тартылады. Сосын

7

-нҥктені

O'

координатыңың басымен жалғайды. Қҧрылған сызық у

аксонометриялық осьінің бағытын кӛрсетеді.
Қиғаш бұрышты фронтальді изометрия проекцияның,
немесе
фронтальді изометрияның бҧлай аталатындығы,

Ox және Oz осьтерімен шектелген проекциялардың фронтальді жазығы кесінді жазықтығына параллель орналасқандықтан. Яғни, проекциялардың фронтальді жазығында немесе оған параллель орналасқан барлық фигуралар кескінде бҧрмаланусыз бейнеленеді.

х O'z
жазығына кірпіштің қыры тікбҧрыш тҥрінде проекцияланған (3.4, г-сурет).

61

3.6 сурет. Ӛстердің орналасуы: а

— тікбҧрышты диметрия;

б

— фронтальді изометрия;

в

— фронтальді диметрия;

г

— кӛлденең изометрия

Фронтальды изометрияның аксонометриялық ӛстері (3.6 б сурет) келесідей орналасқан: Ох

ӛсі — кӛлденең; О'z

ӛсі жоғарыға қарай бағытталған және Ох

ӛсімен 90° бҧрышын қҧрайды;
Оу ӛсі Ох
және

Оz ӛстерімен 135° бҧрышын қҧрайды. Барлық ҥш ӛстің бҧрмалану коэффициенттері бірдей (k' x = k y

= kZ z

= 1).
Қиғаш бұрышты фронтальді диметриялық
проекциясында

, немесе фронтальдік диметрияда (3.6, в сурет), аксонометриялық ӛстердің орналасуы тура фронтальді изометриядағыдай (3.6, б сурет), бірақ бҧрмалану коэффициенті екі ӛстеде бірдей (k x = k z

= 1), ал ҥшінші ӛсте k y

= 0,5. Сондықтан
у ӛсіне параллель

кірпіштің қырларының проекциясын екі есе кішірейтумен бейнелейді (3.4, в сурет).

Қиғаш бұрышты көлденең изометриялық проекцияны
(қысқаша

– кӛлденең изометрия) сәулет қҧрылыс сызбаларында ҥлкен аудандардың аксонометриясын тҧрғызуда қолданады (сәулет жарасымдылықтары, ықшам аудандар).

Кӛлденең изометрияның аксонометриялық ӛстері (3.6, г сурет) келесідей орналасады:

O' z ӛсі – тігінен; Ох
және

Оу

ӛстерінің арасындағы бҧрыш 90° тең;
Оу ӛсі кӛлденең сызықпен

30, 45 немесе 60° қҧрайды. Барлық бқрмалану коэффициенттерді 1 теі деп алады (kX x = k y

= kZ z

= 1). Кӛлденең изометрияны тҧрғызған кезде сурет

62

жазықтығын хОу жазықтығына параллель орналастырады, сондықтан кӛлденең жазықтықта орналасқан пішіндер суретте бұрмалаусыз бейнеленеді. х О у жазықтығына кірпіш қыры тікбұрыш түрінде жобаланады

(3.4, д сурет)

3.3. .

ЖАЗЫҚ ПІШІНДЕРДІҢ

АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ

3.3.1.
Кӛпбҧрыштардың проекциясы

Жазық пішіндердің аксонометриялық проекцияларын әдетте олардың ортогональды сызбаларын қолдана тҧрғызады. Ортогональды сызбада координатты ӛстің (проекция ӛсінің)стандартты орналасуын қолдануға немесе жаңа ӛстер жҥйесін таңдауғаа болады. Кез келген кӛпбҧрыштың аксонометриясын тҧрғызу тәсілдері оның жазықтығының кеңістікте орналасуына және де оның проекциясының ортогональды сызбасында орналасуына байланысты.

Ортогональды проекциялар бойынша кеңістікте жалпы орын алатын АВС
ҥшбҧрышының изометриясын

тҧрғызу керек деп алайық (3.7, а сурет). Қойылған есепті шешу ҥшін координаталық бҥгілме сызықты тҧрғызуды қолданған дҧрыс (3.2, а сурет). X

A

, Y

A

, X

B

, Y

B

, X

c

және Y c координаталары бойынша берілген жазықтық пішіннің шыңдарының қайталама проекцияларын тҧрғыза, х'О'у жазығында АА'

Н

В'

Н

С'

Н

ҥшбҧрышын аламыз – ААБС қайталама проекциясын (3.7, б сурет).

3.7. сурет.жалпы орын алатын
АВС үшбұрышының аксонометриясын

а

— эпюр;

б

— изометрия:

АА!

Н

В'

Н

С'

Н

— қайталама проекция; АЛ'

B' C'

— аксонометриялық проекция

63

Әрі қарай берілген жазықтық пішін шыңының аксонометриясын салады. Нҥктелердің қайталама проекциялары арқылы проекциялық байланыс сызықтарында сәйкес эпюрде ӛлшенетін аппликаттарды қалдырады. А нҥктесінің

Z

A

аппликатасы нӛлге тең болғандықтан, А нүктесінің қайталама және аксонометриялық проекциялары сәйкес келеді; А'

Н

= А'

Н

Н

Вн| > |АНВН| |ВнСн| <|BHCH|.

Н

проекциялар жазықтығында орналасқан

АВСБ

квадраты аксонометриясының
құрылуын қарастырайық. Егер квадраттың бүйірлері
координатты ӛстермен біріктірілсе (3.8, а-сурет),

Ox

және Оу

ӛстерін қҧрады және оларға

О

нҥктесінен бастап квадраттың

(A

H

D

H

= A

H

D

H

и

А'

Н

Б'

Н

= А

Н

Б

Н

) бүйіріне тең
кесінділер тартады.

Б'

Н

және

D'

H

нҥктелерінен аксонометриялық ӛстерге параллель, олардың

С'

Н

нҥктесінде ӛзара қиылысқанға дейін тҥзу ӛткізеді (3.8, б-сурет). Дәл сол квадрат диметрияда 3.8, в-суретте ҧсынылған.

Квадрат

V

проекцияларының жазығында орналасқанда және оның бҥйірлері ӛстермен (3.8, г-сурет) сәйкес болғанда, изометрияны (3.8,

д- сурет)
және диметрияны (3.8,
е-сурет) құру алдында сипатталған ұқсас құрылымдардағыдай орындайды.

Проекциялардың жазығында немесе оған параллель жатқан квадрат изометриясы ромб тҥрінде болады; квадрат диметриясы – параллелограмм (3.8, в-сурет) немесе ромб (3.8, е-сурет). Егер жазық фигурада екі ӛзара-перпендикуляр симметрия ӛсі болса, онда оларды координатты ӛстер ретінде қабылдаған орынды. Проекциялардың кӛлденең жазығында жатқан

дұрыс алтыбұрыш изометриясын
қҧру (3.9, а-сурет), осы қағида бойынша орындалған (3.9, б-сурет).

Ox

аксонометриялық ӛсіне

O'A'

H

=OA

H

және

O'D'

H

=OD

H

кесінділерін және Oy

аксонометриялық ӛсіне

— O'1'=O

H

1

және

O'2= O

H

2

кесінділерін қояды. 1'

және

2

нҥктелері арқылы Ox

параллель ӛсінің тҥзулерін жҥргізеді. Осы тҥзулерде

Г

және

2

нҥктелерінен екі бҥйірінен алтыбҧрыштың бҥйірлері шамасының жартысына тең кесінділер қояды, яғни

ГB'

H

=1B

H

, 2Е'

н

=2Е

Н

және т.с.с.

64

а, г

— ортогональді сызба;

б, д

— изометрия;

в, е

— диметрия

а

— ортогональді сзыба;

б

— изометрия

Изометриядағы

ABCDEF

дҧрыс алтыбҧрышы

A

H

B’

H

C’

H

D’

H

E’

H

F’

H

тҥріндегі дҧрыс емес алтыбҧрыш ретінде бейнеленеді. Бҧл ретте ак- сонометриялық сызбадағы бҥйірлер ӛздерінің параллельдігін сақтайды. Және алтыбҧрыштың тек қана ӛстерге параллель бҥйірлер орто- гональді сызбада және аксонометрияда ҧзындықтар теңдігін сақтайды. Кез-келген кӛпбҧрыштың аксонометриясын орындағанда, оның қосалқы проекциясын қатесіз қҧру қажет. 3.10-суретте проекциялар фронтальді жазығына параллель ф жазығында орналасқан

дұрыс бесбұрыш изометриясын
қҧру кӛрсетілген. Жазық фигураның кӛлденең проекциясы (3.10, а-сурет) ф

Н

ізіне сәйкес келетін және х

координатты ӛсіне параллель тік сызық тҥрінде болады.

65

а

— ортогоналді сызба;

б

— изометрия

Қарастырылған мысалда дҧрыс бесбҧрыш изометриясын қҧру келесі жҥйелікте орналасқан. Координатты сынықтың кӛмегімен қосалқы

және N нҥктелері арқылы ромбтың

АВ

бҥйіріне параллель жҥргізілген сызықтар бастапқы 5, 6,

7

және 8 бастапқы нҥктелеріндегі оның диагональін қиып ӛтеді.

Диагональдарда нҥктелерді қҧрудың сипатталған тәсілі әмбебап болып табылады: ол сипатталған шеңбер айналасындағы аксонометрия

– ромб немесе параллелограмм болған жағдайда аксонометрия кез- келген тҥрінің проекциялар жазығында эллипстерді қҧру ҥшін қолданылады.

Қҧрулардды жеңілдету мақсатында эллипстерді ҥлкейтілген сопақ шеңберлерге ауыстырады, олардың ӛстері эллипс ӛстеріне тең (3.12- сурет). Орталық сызықтар қиылысы нҥктелерінің (О нҥктесі) аксонометриясы арқылы кӛлденең және тік сызықтарды жҥргізеді және

О

нҥктесінен қосалқы шеңберді жҥргізеді, оның радиусы берілген шеңбердің радиусына тең. Бҧл ретте тік сызықта А, В,

С

және D
нүктелерінің орталық сызықтары
аксонометриясында

1

және 2 нҥктелерін алады.
2 нүктесінен

радиусы 2 – А шеңбер доғасын сызады, ол Е нҥктесінде тік сызықты кесіп ӛтеді. Содан кейін

О

нҥктесінен радиусы

ОЕ

жартылай шеңберді

3

және

4

нҥктелеріндегі кӛлденең сызықпен қиылысқанға дейін сызады. Алынған 1, 2,

3

және

4

нҥктелері сопақ шеңбер доғаларының орталықтары болып табылады.

45°

67

Шеңберлер доғаларының тҥйісу нҥктелері тҥйісетін шеңберлердің орталықтарын қосатын сызықтарда жатады. Тҥйісуді қҧру ҥшін алдымен

1

және 2 орталықтарынан радиусы 2 – А

К

1

К

2

және К

3

К

4

доғаларды жҥргізеді, ал сосын

3

және

4

орталықтарынан радиусы

3К

1

К

4

К

1

және К

2

К

3

доғаларды жҥргізеді.

Қҧрылған тӛрт орталықты сопақ шеңбер тікбҧрышты изометриядағы шеңберді бейнелейді. Сопақ шеңбердің кіші ӛсімен Oz

(тік тҥзу

1

2

) бағытымен сәйкеседі, ал ҥлкен ӛс O'z

ӛсімне перпен- дикуляр.
z Оу
және
х Оz

жазықтарында (3.12-сурет) немесе оларға параллель жазықтарда орналасқан сопақ шеңберлерді осылайша қҧрады. Бҧл ретте

Х Оz
жазығындағы сопақ шеңбердің кіші ӛсі

Оу

ӛсіне, ал
z Оу
жазығында –

ОХ

ӛсіне параллель.

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ АКСОНОМЕТРИЯЛЫ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ Геометриялық денелердің аксонометриясын қҧруды, бірқатар жағдайларда геометриялық дене негізінің проекциясы болып табылатын, қосалқы проекцияны қҧрудан бастаған орынды. Геометриялық дене элементтерінің кӛрінгіштігін аксонометриялық проекцияда айқындаған кезде, кӛріну шекарасы ретінде, геометриялық дене негізінің проекциясына жанама ӛтетін қабырғалар (қалыптасатын) болатындығын еске ҧстаған жӛн.

68

Сондай-ақ геометриялық дене бетінде жататын нҥктелер аксонометриясында қҧруды ҥйрену қажет. Бҧл ретте геометриялық дене бетінде жатқан нҥктенің тиесілік белгісін қолдану, және сынық координат сызықты қҧруды пайдалану қажет (3.3, б-сурет).

Призма аксонометриясы.
Эпюрде (3.13, а-сурет) призма координатты ӛстерге

С

нҥктесі арқылы ӛтетін тік қабырға проекциялардың пішінді жазығында, призманың бақылаушыға жақыны қыры проекциялардың фронтальді жазығына параллель орналасатындай тҥрде (геометриялық дене орналасуының басқа нҧсқалары да болуы мҥмкін) орналасқан. Призма аксонометриясын қҧруды (3.13, б-сурет) тӛменгі негізді сызудан бастайды, ол да призманың жоғарғы негізінің қосалқы проекциясы болып табылады (

А'

Н

В'

Н

С'

Н

ҥшбҧрышы
). Сосын
призма биіктігіне тең АНА',

В'

Н

В'

және

С

Н

С

кесінділерді қҧрады.

А

В

және

С

нҥктелерін қоса отырып, жоғары негіздің аксонометриясын алады. Кӛрінетің бҥйірлік қабырғалардың және негіз қабырғалардың проекциялары тҧтас қалың сызықпен, ал кӛрінбейтіндер – ҥзік сызықпен айналдырады.

Қабырғаға тиесілі D нҥктесінің қосалқы және аксонометриялық проекцияларын қҧру ҥшін, тиісті қабырғаның қосалқы проекция- сындағы

Б'

Н

нҥктесінің жағдайын табу жеткілікті (DН=СН), сосын осы қабырғаның аксонометриясына

Z

D

координатын қою қажет. Алынған

D

3.13-сурет. Призманың аксонометриясын тұрғызу:
а – эпюр; б – аксонометрия

69

Қырына тиесілі нҥкте аксонометриясын қҧру, біріншіден, берілген нҥктенің

H

нҥктесін қҧруға болады. Сосын O'z

ӛсіне параллель сызықта

Е

нҥктесінің

Z

E

координатын салады.
Пирамида аксонометриясы

. Дҧрыс ҥшбҧрыш пирамидасының аксонометриясын қҧруды (3.14, а-сурет) негіздің қосалқы проекциясын сызудан бастайды. Пирамиданың негізі проекциялардың кӛлденең жазығында орналасатындықтан, негіздің аксонометриялық және қосалқы проекциялары сәйкеседі (3.14, б-сурет). Сосын L нҥктесінің

C'

H

L'

H

қосалқы проекцияларын сызады.
Сосын,

L'

H

нҥктесінен Оz

ӛсіне параллель тҥзуде

L

нҥктесінің

Z

L

аппликатын қояды және пирамида шыңының

L'

аксонометриясын алады.

А

В'

және

С

нҥктелерін

L

' нҥктесімен жалғастыра отырып,

3.14-сурет. Пирамиданың аксонометриясын тұрғызу:
а – эпюр; б – аксонометрия

70

пирамида бҥйірлік қабырғаларының аксонометриясы алынады. Бейнені айналдырған кезде барлық кӛрінетін қабырғаларды негізгі сызықпен ресімдейді, кӛрінбейтін қабырғаның

ВС

проекциясын – ҥзік сызықпен. 3.14, б

-суретінде кӛрініс шекарасы ретінде

BL

және

CL

қабырғаларының аксонометриясы болып табылады.

Пирамида бетіне жататын нҥктелердің аксонометриялық проекция қҧрылысына кіріспес бҧрын, қабырғалардың орналасу жағдайын талдайды. Осылай, егер нҥкте қабырғада, проекциялар жазықтығына параллель болса (B'HL'H // O'y болғандықтан нҥкте D ∈ BL, BL // W, ), онда конструкциялар келесідей орындалады. Мысалы, екінші проекциясындағы LH нҥктесінен BHLH жиектің қабырғалары диаграмма бойынша ӛлшенетін DHLH бӛлігін жасап, D'H нҥктесі алынды. Содан кейін осы нҥкте арқылы O'z осіне параллель жҥргізеді. Қҧрылған тҥзу сызық D 'нҥктесінде қабырға аксонометриясын қажетті нҥктеде қиып ӛтеді.Сынақ ретінде, D'HD сегментін ZD нҥктесінің координатасымен салыстырыңыз (олар тең болуы керек).

Егер нҥкте жалпы жағдайдың қабырғасында жатса (E нҥктесі ∈ CL), онда бҧзылған координат сызығы (мҥмкін басқа жҥйе бойынша) қҧрылады. 3.14, b суретте, алдымен, YE координаттары Oy осінде орналасқан. Алынған нҥкте арқылы O'x

осіне параллель және

Е’

н

нҥктесінде

C'

H

L'

H

қиылысатын тҥзу сызық сызылды. Содан кейін, E'H қайталама проекциясы арқылы, нҥктелер C’L’ аксонометриясының қабырғаларымен қиылысқанша дейін тікелей O'z осіне тҥзу параллель жҥргізіп, Е нҥктесіңнің E'H деген аксонометриясын алады.

Цилиндрдің аксонометриясы . Тігінен реттелген айналатын ось цилиндрінің аксонометриясын салу ҥшін (3.15, а сурет), координат осінің жаңа жҥйесін таңдаймыз. Z осі цилиндрдің і айналу осімен сәйкес болсын, ал шеңберлермен кӛрсетілген x және y осьтері базаның ортаңғы сызықтарымен сәйкес келсін. Мҧндай координаталық осьтердің жҥйесі

ішкі
деп аталады.

Ішкі координаталық осьтер жҥйесі туралы цилиндрлік конструкциялар изометрияда жасалады (3.15, б сурет). Тҥпнҧсқаға негізделген эллипс (немесе сопақ) тҥріндегі шеңбердің аксонометриясы белгілі әдістердің бірі арқылы жасалады. Содан кейін OH нҥктесінен z осі бойынша биіктігі 1 аппликаторға тең (О'НО'= Z1) және эллипстің жоғарғы табанының негізін сызып, цилиндр биіктігін қояды. Цилиндрдің бҥйірлік бетін кӛрсету ҥшін эллипсінің ҥлкен осімен қиылысу нҥктелері арқылы, цилиндр негіздеріне қатысты

2

Н

2

и 3'

H

3' сызықтары ӛтеді. Бҧл жасаушылар - кӛрінетін ӛзгерістердің шекарасы. Эллипстің негізгі осінен тӛмен орналасқан тӛменгі базаның эллипсінің бӛлігі байқаушыға кӛрінетін болады. Эллипс бӛлігі, оның негізгі осьінен жоғары орналасқан, кӛрінбейді және ол ҧсақ сызықтармен сызылған.

71

а

— эпюр;

б

— изометрия

Цилиндрдің жоғарғы негізі толығымен кӛрінетін болады. Аксонометрияда эпюрдегі очерктік жасаушыға

2

Н

А

Н

қайталама проекциясынан Z

A

координатасын ӛткізу арқылы салады.

Цилиндрдің еркін жасаушыларында орналасқан қайталама проекция мен нҥктенің аксонометриясын бҥгілме координата сызығы арқылы салады. Мысалы, В нҥктесі ҥшін: оның

В'

Н

қайталама проекциясын эпюрдағы бір сызықпен белгіленген кескінді ӛлшеу арқылы және оны у' аксонометриялық ӛсінде шығарып қою арқылы алуға болады. Содан кейін эпюрде екі сызықпен белгіленген кескінді ӛлшейді де оны х

ӛсіне параллель салады.

В'

Н

нҥктесі эллипсте орналасуы керек. Одан кейін координата бҥгілме сызығын

Z

B

аппликатасын салумен аяқтайды да В' аксонометриясын алады.

А'

және

В'

кӛзге кӛрінетін болады, ӛйткені

А

Н

және

В

Н

нҥктелері табанның кӛрінетін бӛлігінде орналасқан.
Конустың аксонометриясы.

Конустың аксонометриялық проекциясын салу ҥшін оны жаңа (ішкі) жҥйенің координата ӛстеріне айналу денесі ӛсі z ӛсімен біріктірілетіндей қылып, ал табан ортасы координат басымен бірдей келетіндей қылып сәйкес келтіреді (3.16, а сурет). Жаңа жҥйенің x пен у

координата ӛстері дӛңгелектерде

72

кӛрсетілген. Тікбҧрышты изометрияның аксонометриялық ӛсін (3.16, б сурет) эллипс тҥрінде салады және конус табаның да эллипс тҥрінде сызады. Содан кейін O z

ӛсінде конустың биіктігіне тең

L

H

L

’ кескінің салады.
Конустың очерктік жасамалары

L’

нҥктесі арқылы эллипске 2 және 3 нҥктелерінде жанама тҥрде ӛтеді. Оларды табу ҥшін

L'

нҥктесінен Z

L

тең радиусы R эллипсті қиып ӛтетін шеңбер доғасын ӛткізеді. Очерктік жасамалар ортасында орналасқан эллипстің бӛлігі кӛрінбейтін болады. Бҧл доғаны штрих сызығымен белгілейді.

2

, 1 ’ , 4’

L'

H

кесіндісін белгілейді. Содан кейін

В’

Н

қайталама проекциясынан O z

ӛсіне параллель

В'

нҥктесінде

1'L'

қиылысқанша

-сурет. Конустың аксонометриясын тҧрғызу: а – эпюр; б – аксонометрия

73

дейін аксонометриялық ӛсті ӛткізеді.

В'

Н

В'

кескіні В нҥктесінде

Z

B

аппликатасына тең болуы керек.
Егер нҥкте еркін жасамада орналасқан болса, мысалы, А нҥктесі конустың

4L

жасамасына тән болса, алдымен табанында жатқан 4 нҥктесінің
4 = 4

Н

проекциясын салу керек. Табандағы нҥктені оның координаталары бойынша салады:

Х

4

абсцисса және Y

4

ордината.

4

Н

және

L'

H

нҥктелерін қосып, оның 4'

H

L'

және ордината

У

А

арқылы салып, нҥктенің

А'

Н

қайталама проекциясының орналасуын анықтайды. Одан кейін

А

Н

нҥктесі арқылы O’z

аксонометриялық ӛсіне параллель А нҥктесінде

4'L'

қилысқанша дейін тҥзуді ӛткізеді. Бҧл сызбалардың нәтижесінде

А'

Н

А'

кескіні А нҥктесінің Zf^

аппликатасына тең болуы керек.

Аксонометриялық проекцияларының кӛрерлігін нҥктелер орналасқан жасамалардың проекцияларының кӛрерлігіне байланысты анықтайды. 1 және 4 нҥктелері табан эллипстің кӛрінетін бӛлігінде орналасқандықтан жасамалардың

1 L

және

4 L

аксонометриялвры және де оларға тиесілі нҥктелерінің

В

және А ' проекциялары кӛзге кӛрінетін болып табылады.

в г а

— эллипс а;

б

— эллипс

b ; в

— эллипс

d

және шеңбер l ; г

—1/8 бӛлігінің қиындысымен

74

Шардың аксонометриясы . 3.17 суретінде шардың тікбҧрышты изометриясын салу жҥйелілігі кӛрсетілген, оның ортасы координат басымен сәйкес келеді. Шар бейнесі кӛрнекті болуы ҥшін аксонометрияда ҥш негізгі шеңбердің проекцияларын сызу керек: экватордың, фронтальді (негізгі) және профильді меридиандардың. Сондықтан аксонометриялық ӛстерді сызып болғаннан кейін (3.17, а сурет) алдымен экватордың изометриясын сызады –

x'O'y жазықтығында орналасқан а эллипсі. Эллипстің немесе оны ауыстыратын сопақтың толықтай салынуы алдында жазылған.

Одан кейін негізгі меридианның изометриясын салады -
x O' z

жазықтығында орналасқан b эллипсі (3.17, б сурет). 3.17 в суретінде а эллипсі профильді меридианның изометриясы болып табылады, ал l

шеңбері – шар изометриясы. l шеңберінің диаметрі 1,22d тең, себебі ол эллипстің ҥлкен ӛстермен қиылысу нҥктелері арқылы ӛтеді.

БАҚЫЛАУ СҦРАҚТАРЫ

75

4 Тарау

ПОЗИЦИЯЛЫҚ ТАПСЫРМАЛАР

ЖАЗЫҚТЫҚТАРДЫҢ

ӚЗАРА ОРНАЛАСУЫ

Параллель жазықтықтар . Бір жазықтықтың екі қиылысатын тік сызықтары басқа жазықтықтағы қиылысатын екі тҥзуге параллель болса, жалпы тәртіптегі жазықтықтардың параллель болатыны белгілі. Қиылысатын тік сызықтар ретіндегі тҥсіруші жазықтықтардың іздерін қарастыра отырып (4.1, б сурет), тҥсіруші жазықтықтардың бір атаулыіздері параллель болса, кеңістіктегі жазықтықтар да параллель болады (4.1, а сурет).

Екі тҥсіруші жазықтықтардың қиылысуы . Біз білетіндей, екі жазықтық тік сызық бойынша қиылысады. Дербес тәртіп жазықтықтарының қиылысу нәтижесінде олардың тегі қиылысы да дербес тәртіпте болады.

4.2, а суретте т және ф кӛлденең тҥсіруші жазықтықтары кӛрсетілге. Бҧл жазықтықтар кӛлденең тҥсіруші тік сызық болатын а тік сызығы бойынша қиылысады. Эпюрадан (4.2, б сурет)т

Н

және ф

Н

кӛлденең сызықтарының қиылысу нҥктесі ретіндегі қиылысу сызығының а

Н

тік тҥсірімін табады. Қиылысу нҥктесінің сызығының a

V

беткі тҥсірімі х тҥсіріінің осіне перпендикуляр. Беткі тҥсірім жазықтықтарының қиылысу сызықтарының тҥсірімдерін ӛз бетімен тҧрғынған жӛн.

Тҥсірім жазықтығы мен жалпы тәртіпті жазықтықтың қиылысуы . Жалпы тәртіпті жазықтық пен тҥсірім жазықтығы жалпы тәртіпті алып тҧрған тік сызық бойынша қиылысады. 43 суретте

а АЛВС

— жалпы тәртіптегі жазықтық; т- кӛлденең тҥсірі жазықтығы;

k(MN)

— екі жазықтықтарды қиылысу сызығы.

Осы жазықтықтардың қиылысу сызықтарының тҥсірімдерінің тҧрғызылуы 4.3, б суретте кӛрсетілген. Жазықтықтарды кӛлденең тҥсіруші т

Н

кӛлденең ізінің жинақтаушы қасиетінің негізінде

76

4.1. сурет Параллель жазықтықтар: а

— кеңістіктегі модельдің сызбалары;

б

— эпюр

а

— кеңістіктегі моделінің сызбасы;

б

— эпюр

а

— кеңістіктегі моделінің сызбасы;

б

— эпюр

77

қиылысу нҥктесінің k

H

сызығының кӛлденең тҥсірімі осы ізбен сәйкес келеді. Себебі, қиылысу сызығы бізмезгілде жалпы тәртіптегі ДАВС жазықтығына жатады, осыған орай, тік сызықтың жазықтыққа жату белгісін қолдана отырып, белгілі

M

H

және

N

H

кӛлденең тҥсірімдері бойынша олардың

M

V

және

N

V

беткі тҥсірімдерін жобалайды. Тҧрғызу бағыты бағыттамалармен кӛрсетілген (4.3, б

суретті қараңыз

). M

V

және

N

V

нҥктесі арқылы ӛтетін k

V

тік сызығы

АЛВС

мен т жазықтығының қиылысу сызығының беткі тҥсірімі болып табылады. Беткі жазықтықтағы тҥсірімнің кӛріну қабілетін анықтау ҥшін Л және D беткі бәсекелесуші нҥктелері қарастырылған.

D

нҥктесі т жазықтығына жатады

(D

H

т н

–де болады). Л және

D (Y

A

<Y

бір бӛлігін жабады. Ҥшбҧрыштың басқа

CMNB

бӛлігі, т жазықтығына дейінгі кеңістікте бола отырып, тҥсірінің беткі жазықтығында кӛрінетін болады.

Н жазықтығына тҥсетін кӛлденең тҥсіруші жазықтық

T

H

тік сызығына тҥсірілгендіктен, ол жалпы тәртіптегі жазықтықты жаппайды. Кеңістікте ҥстінен қарағанда

АЛВС

мен оның кӛлденең тҥсіріі кӛрінетін болады.

4.2

ТІК СЫЗЫҚ ПЕН ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ӚЗАРА ОРНАЛАСУЫ

Егер осы жазықтыққа жататын тік сызыққа параллель болса, тік сызық жазықтыққа параллель орналасқан. 4.4 суретте ф жазықтығына параллель болатын а тік сызығының тҥсірімдері кӛрсетілген, себебі, тік сызық ф жазықтығында орналасқан тікбҧрышты ҥшбҧрыштың 1-2 қырларына параллель. Ф жазықтығының f тік сызығының параллельдігін олардың тҥсірімдерінің қасиетіне сілтене отырып дәлелдеуге болады. Беткі f

H

кӛлденең тҥсірімі деңгейдің беткі жазықтығының ф н

кӛлденең сызығына параллель (4.4 сурет).

4.2.1.
Дербес тәртіпті тік сызықпен жазықтықтың қиылысуы

Тік сызықтың жазықтықты бір нҥктеде қиып ӛтетіні белгілі. Ізделініп отырған нҥктені табу ҥшін қосымша қиюшы жазықтық амалын пайдаланады, оның ережелері осы жазбада кеңістіктегі келесі іс-

«шаралардың кеңістігін біртіндеп орындауға негізделген (4.5 сурет):

78

қиюшы жазықтық жазықтығы

2)т қосымша кию жазықтығының l қиылысу сызығын тҧрғызады (Бҧл сызық осыдан кейін тҧрғызылған тік сызық деп аталады.

1 ... 4 әрекеттер кеңістікте кез-келген тәртіпті (жалпы немесе жеке) алып тҧра алатын тік сызық пен жазықтықтың қиылысу орнындағы есепті шешудің кеңістік алгоритмі (жоспары) болып табылады. Алгоритмнің әрбір әрекетінің сызба геометриясының қарапайым есептері болып табылатындығын айта кеткен жӛн. Тік сызықтың тҥсіруші жазықтықпен қиылысуын қарастырайық. Эпюрада АВ тік сызығы мен ю кӛлденең тҥсіруші жазықтығының тҥсірімі берілген делік (4.6, а сурет). Берілген пішіндердің қиылысу нҥктелерінің тҥсірімдерін тҧрғызу қажет. Қойылған есепті шешу кезіндегі жазықтықтың қосымша қиюшысының амалын қолдануын қарастырамыз.

4.6, б

суретте жалпы тәртіптегі АВ тік сызығы мен оның

А

Н

В

Н

кӛлденең тҥсірімі берілген.

АВ

тік сызығы арқылы кӛлденең тҥсіруші жазықтықты ӛткіземіз(4.6, в

сурет ).

Осы ретте т жазықтығының кӛлденең ізі берілген АВ тік сызығының кӛлденең тҥсірімімен сәйкес келеді. 4.6, в

суреті бойынша модель жасаңыз және

79

а

— ағымдағы эпюра;

б

— кеңістікте берілген тік сызық;

в

— кӛлденең тҥсіруші жазықтыққа салынған тік сызық;

г

— кӛлденең тҥсіруші жазықтыққа салынған тік сызықтың эпюрасы;

д

— кеңістіктегі есептің шешілуі;

е

— эпюрадағы есептің шешілуі.

тҥсіруші жазықтықтың ізінің жинақтау қасиетінің бар екендігіне кӛз жеткізіңіз.

Эпюрада кеңістіктегі алгоритмнің
бірінші іс-әрекетін
орындау қосалқы қиюшы жазықтықтың т

Н

кӛлденең ізін сызып, белгілеуде негізделген (4.6, г суреті).

T

V

ізін одан кейін кӛрсетпеуге болады, себебі, ол есепті шешуге қатыспайды.
Кеңістіктегі алгоритмнің
екінші әрекеті

екі тҥсірім жазықтықтарының қиылысу есебін шешуге алып келеді (4.2 суретті қараңыз). т және ю жазықтығының 4.6, д суретінде 1 тік сызығы бойынша қиылысады. Эпюрадағы кеңістіктіге алгоритмнің осы әрекеті (4.6, е сурет) т қосалқы қиюшы жазықтығы мен ю берілген жазықтықтың

1

қиылысу сызықтарының екі тҥсірімі (1

H

және1

V

) тҧрғызылып, белгіленген кезде орындалған деп есептеледі.
Кеңістіктегі алгоритмнің
үшінші әрекетінде

берілген тік сызық пен тҧрғызылған тік сызықтың қиылысу нҥктесін табу қажет. 4.6, д суреттегі ізделініп отырған нҥкте АВ тік сызығы мен 1 тҧрғызылған тік сызығының қиылысу нҥктесі ретіндегі С нҥктесі болады.

80

Эпюрада (4.6, е

суреті ) С нҥктесінің тҥсірімдерін жазықтықтың қосалқы қиюшысының ізі болмайтын жерде іздеу қажет (бҧл мысалда – тҥсірімдерінің беткі жазықтығында). Шынымен,

A

V

B

V

және l

V

беткі тҥсірімдері C

V

нҥктесінде қиылысады. Ізделініп отырған нҥктенің

С

н кӛлденең тҥсірімін нҥктенің тік сызыққа қатыстылық белгісін пайдалана отырып, байланыс сызығының кӛмегімен тҧрғызады. Осылайша, эпюрадағы кеңістік алгоритмінің ҥшінші әрекеті орындалды.

Одан кейін АВ тік сызығының кӛрінуін анықтайды (

төртінші әрекет
). В нҥктесі ю жазықтығының алдында болғандықтан (4.6,
д суреті),

ВС кесіндісі кӛрінетін болады. С нҥктесінде кӛріну қабілеті ӛзгереді және АС кесіндісі кӛрінбейтін болады. Ҥстінен қарағанда кӛлденең тҥсіруші жазықтығы АВ тік сызығын жаппайды және берілген тік сызық толығымен кӛрінетін болады. 4.6, д суреті бойынша бҧрыштық (ю жазықтығы) пен қарындаштан (АВ тік сызығы) модельдерді жасау ҧсынылады.

Эпюрада (4.6, е суретті қараңыз)

В

V

С

V

және А yG

V

тҥсірімдерінің кӛрінуін мысалы В және D секілді беткі бәсекелес нҥктелердің кӛмегімен анықтайды.

В

нҥктесі кӛрінетіндіктен, тік сызықтың
ВуС^у
беткі тҥсірімі кӛрінетін болады.

С^у

нҥктесінде берілген тік сызықтың беткі тҥсірімінің кӛрінуі ӛзгереді және
АуСу^
кесіндісі кӛрінбейтін болады. Берілген тік сызықтың

А

Н

В

Н

кӛлденең тҥсірімі толығымен кӛрінеді.

4.2.2 Жалпы тәртіптегі тік сызық пен жазықтықтың қиылысуы Жалпы тәртіптегі жазықтықпен тік сызықтың қиылысу есебі жазықтықтың қосалқы қиюшысының амалымен шешіледі. Жалпы тәртіптегі тік сызық пен жазықтықтың қиылысу есебінің сатылы шешімін қарастырамыз (4.7 сурет). Ағымдағы деректер:

MN

тік сызығы мен

AABC

жазықтығының тҥсірімдері 4.7, а

суретте кӛрсетілген.
Эпюрадағы кеңістік алгоритмінің
бірінші әрекетін

тҥсіруші жазықтықтың ізінің жинау қасиетінің негізінде орындайды, яғни, оны алшақ тҧрған сызықтың штрихімен белгілей отырып, жазықтықтың т

Н

қосалқы қиюшысының кӛлденең ізін белгілейді (4.7, б

сурет ).

Есепті шешу кезінде беткі тҥсірім жазықтығын пайдалануға болатынын айта кеткен жӛн.

Кеңістік алгоритмінің
екінші әрекетін

орындау кезінде тҥсірім жазықтығының жинаушы қасиетін қайта пайдаланады және эпюрада қосалқы және берілген жазықтықтардың l

H

қиылысу сызығының кӛлденең тҥсірімін белгілейді.

81

а

— ағымдағы деректер;

б

— қосалқы қиюшы жазықтықтың ізін белгілеу;

в

— қосалқы қиюшы және берілген жазықтықтардың қиылысу сызықтарының тҥсірімін тҧрғызу;

г

— ізделініп отырған нҥктенің тҥсірімін тҧрғызу;

д

Н

тҥсірім жазықтығындағы кӛрінуін анықтау ; е

V

тҥсірім жазықтығындағы кӛрінуін анықтау

82

l

H

кӛлденең тҥсірімі тҥсіруші жазықтықтың т

Н

кӛлденең ізімен сәйкес келеді(4.7, б

сурет ).

Қосымша қиюшы жазықтық пен берілген жазықтықтың қиылысу сызықтары екі жазықтыққа да бірдей жатса, тік сызықтың жазықтыққа қатыстылық белгісінің негізінде берілген жазықтықтағы қиылысу сызықтарының екі жалпы нҥктелерінің тҥсірімдерін белгілейді. 4.7, в

суретте l

қиылысу сызықтарына жататын

1

Н

және

2

Н

нҥктелерінің кӛлденең тҥсірімдері белгіленген.

Эпюрадағы әрбір геометриялық пішін ҥшін екі тҥсірімнің болу керектігін есте ҧстай отырып,

1

V

және

N

V

мен тҧрғызылған l

V

беткі тҥсірімдері ізделініп отырған нҥктенің беткі тҥсірімі болып табылатын

K

V

нҥктесінде қиылысады (4.7, г сурет). Тік сызықтың нҥктесінің қатыстылық белгісінің негізінде ізделініп отырған нҥктенің беткі тҥсірімі бойынша оның кӛлденең

К

Н

тҥсірімін тҧрғызады.

Берілген тік сызық тҥсірімінің кӛріну қабілетін анықтау ҥшін тҥсірімнің әрбір жазықтығында бір жҧп бәсекелес нҥктеден қарастыру қажет (

төртінші әрекет ).

Бәсекелес нҥктелері қиылысатын тік сызықтарда орналасуы тиіс: қиылысатын тік сызықтардың біреуі – берілген тік сызық, ал басқасы – берілген жазықтықтың қыры.

83

V

тҥсірімінің жазықтығындағы кӛрінуді 4 және 5 беткі бәсекелес нҥктелердің кӛмегімен анықтайды. 4 және 5 нҥктелері қиылысатын тік сызықтарда: АС ҥшбҧрышының қабырғасында және берілген

MN

тік сызығында орналасқан .4

нҥкте

MN

тік сызығына , ал

5

нҥкте —

ҥзіндісінің

4

V

К

V

беткі тҥсірімі кӛрінбейтін болады.

K

V

нҥктесінде кӛріну қабілеті ӛзгереді және

K

V

N

V

беткі тҥсірімі кӛрінетін болады.

Эпюрадағы жалпы тәртіптегі тік сызық пен жалпы тәртіптегі жазықтықтың қиылысу есебін шешу және рәсімдеу туралы тҥсінік беретін 4.8, а

сурет.

Егер берілген тік сызық кеңістікте тҥсіруші тәртіпті алып тҧрса, онда қосымша қиюшы жазықтық ретінде берілген тік сызық немесе деңгейдің жазықтығы секілді проекциялаушы жазықтықты таңдайды. Эпюрадағы есепті шешу ҥшін деңгейдің профильдік жазықтығын пайдаланбаған жӛн, себебі, қиылысу нҥктесінің тҥсірімдері тҥсіру байланысының сызықтарымен сәйкес келеді.

а

— жалпы тәртіпті;

б

— тҥсіруші

84

CT

V

ізі берілген l тік сызығының беткі тҥсірімі мен берілген жазықтықтағы А тӛбесінің беткі тҥсірімі арқылы ӛтеді. Бҧл тек қана жалғыз 1 нҥктесінің Н тҥсірім жазықтығына жобалауға мҥмкіндік береді, себебі, А нҥктесінің тҥсірімдері бар.

V

= l

V

тік сызығының беткі тҥсірімімен сәйкес келеді.
Тҥсірімнің кӛлденең жазықтықтағы кӛрінуін анықтау ҥшін

l

және

АВ

қиылысушы тік сызықтарында орналасатын 2 және 3 кӛлденең бәсекелес нҥктелері қарастырылады. Берілген тік сызықтың кӛлденең тҥсірімінің кӛріну қабілетін анықтау бойынша ӛз бетіңізбен талқылаулар жҥргізіңіз,

К

Н

2

Н

ҥзіндісінің неліктен кӛрінбейтінін тҥсіндіріңіз.

4.3.

ЖАЛПЫ ТӘРТІПТЕГІ

ЖАЗЫҚТЫҚТАРДЫҢ ҚИЫЛЫСУЫ

Тҥсірімдерін салу жағдайында жалпы тәртіптегі екі жазықтықтың қиылысу есептерін қосалқы қиюшы жазықтық амалымен шешкен тиімді. Ол ҥшін бір ҥшбҧрыштың қырының басқа ҥшбҧрыштың қырымен қиылысу нҥктесін табамыз. Мҧндай есепті екі рет шешеді. Ҥшбҧрыштың қырларының тҥсірімдерінің кӛрінуін анықтау кезінде келесі ережелер әділ болып табылады: :

85

Тҥсірімнің беткі жазықтығындағы ҥшбҧрыштардың қырларының тҥсірімдерінің кӛрінуін 5 және 6 бәсекелес нҥктелер бойынша анықтайды. 6 нҥкте кӛрінетін болғандықтан,

D

V

нҥктесінде - АС қырының кӛрінуі ӛзгереді. Берілген ҥшбҧрыштардың тҥсірімдерін салу дӛңгелегінде

4

V

нҥктесінде ҥш кӛрінетін

(M

V

4

V

, Fy4

V

және Cy4

V

және бір кӛрінбейтін Ey4

V

кесіндісі қиылысады.

Тҥсірімнің кӛлденең жазықтығындағы кӛрінуін 2 және 7 нҥктелер бойынша анықтайды. Одан кейінгі талқылауды тҥсірімнің беткі жазықтығындағы кӛрінуін анықтау секілді жҥзеге асырады.

86

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ

ТҤСІРУШІ ЖАЗЫҚТЫҚПЕН ҚИЫЛЫСУЫ

4.4.1.
Кӛпжақтылардың қималары
Геометриялық дененің жазықтықпен қиылысуы кезінде осы дененің
қимасы

деп аталатын жазық пішін шығады. Қима орналасқан жазықтық қиюшы деп аталады. Егер жазықтықпен қиылған геометриялық дененің бір бӛлігін алып тастасақ және егер қиюшы жазықтық негізіне параллель болса, қалған бӛлігін

қиылған геометриялық дене
деп атайды, егер қиюшы жазықтығы негізіне параллель болмаса оны
толық емес геометриялық дене
деп атайды.

Кӛпжақтылардың қималары қырларының саны геометриялық дененің қиылысқан шекараларының санына тең болатын кӛпбҧрыштар болып табылады. Кӛпбҧрыштардың тӛбелері – бҧл кӛпжақтылардың қиюшы жазықтықпен қиылысу нҥктелері. Осылайша, қиманы тҧрғызу негізіне екі жазықтықтың, тік сызықтың және жазықтықтың қиылысу есептері салынған.

Призманың қимасы.

Призманың қималары дҧрыс алты бҧрышты призманың мысалында қарастырылған (4.10 сурет). Егер қиюшы жазықтық призманың негізіне параллель болса, қима пішіні шамасы бойынша негізінің пішініне тең дҧрыс кӛпбҧрыш болып табылады (4.10 суретінде, а

— дҧрыс алтыбҧрыш). Егер қиюшы жазықтық қисайған болса және призманың барлық шекараларын қиса, онда дҧрыс емес кӛпбҧрыш шығады (4.10,

б

суреті ).

Қиюшы жазықтық қисайған болсын және призманың тек бҥйір қырларын емес, негізін де қиып ӛтсін, онда қима пішіні қырларының саны қиюшы жазықтықпен қиылысқан бҥйір қырларының саны мен негізіне байланысты болатын кӛпбҧрыш болып табылады. 4.10, в суретінде қима пішіні – жетібҧрыш бейнеленген. Егер қиюшы жазықтық призманың негізіне перпендикуляр орналасса, қима пішіні тікбҧрыш болады (4.10, г суреті). т тҥсірім жазықтығымен қиылған дҧрыс ҥшбҧрыш призманың мысалында кешенді сызбада қима пішінінің тҥсірімінің тҧрғызылуын қарастырамыз (4.10, д

суреті ).

Қима тҥсірімін берілген жазықтық тҥсіруші болып табылатын проекция жазықтығынан бастап жобалайды. Осы мысалда қиманың беткі тҥсірімін анықтаған жӛн.

87

сурет. Призманың қимасы:
а- дҧрыс алтыбҧрыш; б – дҧрыс емес алтыбҧрыш; в – жетібҧрыш; г-тӛртбҧрыш;

д

— ортогональды сызба;

е

— аксонометрия

Т қиюшы жазықтығы беткі тҥсіруші болып табылатындықтан, қима пішінінің беткі тҥсірімі оның

T

V

беткі ізімен сәйкес келеді.Қима пішінінің тӛбелерінің беткі тҥсірідері - A

V

және

B

V

нҥктелері— 1 және 2 нҥктелер арқылы ӛтетін бҥйір қырларының қиюшы жазықтығы мен беткі тҥсірімдерінің

T

V

ізінің қиылысу нҥктесі.

88

Одан соң қатыстылық белгілерін пайдалана отырып, қиманың басқа тҥсірімін жобалайды. Осы мысалда алдымен қиманың кӛлденең тҥсірімін, одан кейін профильді тҥсірімін тҧрғызады.

Қиманың А және В тӛбелері қырларына жатады және Н тҥсірімінің жазықтығына

А

н = 1

H

, В

н = 2

H

қырларының кӛлденең тҥсірімдерімен сәйкес келетін нҥктелерге тҥсіріледі. С және

D

нҥктелері жоғарғы негізінің 23 және 31 қырларына жатады. Осы нҥктелердің

С

н

және

D

H

кӛлденең тҥсірімдері тиісті қырларының кӛлденең тҥсірімдерінде болады. Кеңістікте призманың қырлары кӛлденең тҥсіруші тәртіпте болғандықтан, қиманың

A

H

B

H

C

H

D

H

кӛлденең тҥсірімі призманың кӛлденең тҥсірімімен сәйкес келеді.
Қиманың

A

W

B

W

C

W

Z

A

және

Z

B

координаталарын қалдырады. Осылайша,

А'

және В' нҥктелері тҧрғызылған. Егер нҥктелері негізінің қырларында орналасса, онда қандай да бір аксонометриялық осіне параллель негізінің екінші ретті тҥсірімі мен қосалқы сызығының қиылысында олардың екінші ретті тҥсірімдерін тҧрғызады.

D'

H

нҥктесінің а кесіндісінің кӛмегімен және одан кейін

D'

нҥктесінің кӛмегімен тҧрғызылуы сызбада кӛрінеді (4.10, е суреті). а кесіндісін х аксонометриялық осіне параллель орналасқан сызықта қалдыру қажет. Қиылысу тӛбелерінің алынған аксонометриялық тҥсірімдерін жалғайды. Қалың тҧтас сызықпен толық емес призманың кӛрінеті бӛлігінің аксонометриясы сызылған, ал жҧқа сызықпен оның қырларының қиылған кесінділері мен негізінің қырларының аксонометриясы кӛрсетілген.

Пирамиданың қимасы . Пирамиданың қимасы дҧрыс бесбҧрышты пирамиды мысалында қарастырылған (4.11 сурет). Егер қиюшы

89

а

— дҧрыс бесбҧрыш;

б

— дҧрыс емес бесбҧрыш;

в

— алтыбҧрыш;

г

— тӛртбҧрыш;

д

— ортогональды сызба;

е

— аксонометрия

жазықтық пирамиданың негізіне параллель болса, пирамиданы қию пішіні де дҧрыс кӛпбҧрыш болады, бірақ негіздеме пішінге қарағанда шамасы бойынша азырақ пішін болады. 4.11, а суретте пирамиданы қиюшы пішін – дҧрыс бесбҧрыш. Егер қиюшы жазықтығы еңіспен орналасса және пирамиданың барлық қырларын қиса, дҧрыс емес бесбҧрыш шығады (4.11, б сурет).

90

Толық емес дҧрыс алтыбҧрышты пирамиданың тҥсірімін тҧрғызу мысалы 4.11, д суретте келтірілген. V тҥсірім жазықтығындағы суретті оқи отырып, қиюшы жазықтықтың еңістеп орналасқандығы және пирамиданың тек бҥйір қырларын ғана қиятыны тҥсінікті, сондықтан қимасы дҧрыс емес алтыбҧрыш болады. т қиюшы жазықтығы беткі тҥсіру тәртібінде тҧрғанға дейін, қима пішінінің беткі тҥсірімдері

T

V

ІЗІМЕН СӘЙКЕС КЕЛЕДІ

. Пирамида қырларының беткі тҥсірімдері мен қиюшы жазықтықтың беткі ізінің қиылысу нҥктелерін анықтайды. Осы нҥктелер

A

V

, B

V

, C

V

, D

V

, E

A

H

B

H

C

H

D

H

E

H

F

H

пішіні— қиманың кӛлденең тҥсірімі, ал

A

W

B

W

C

W

D

W

E

W

F

W

— қиманың бейіндік тҥсірімі. Пирамиданың тҥсірімінің кӛріну қабілетін ескере отырып сызады.

Толық емес пирамиданың аксонометриясын толық геометриялық дененің сызбасын сызудан бастап тҧрғызады (4.11, е суреті). V тҥсірімінің жазықтығына параллель бҥйір қырларда орналасқан А және D қимасының екінші ретті тҥсірімдері мен аксонометриясын олардың екінші ретті тҥсірімдері арқылы тҧрғызады (

D'

H

және

D'

нҥктелерімен секілді (3.14 суретті қараңыз).

В'

және

F

қимасының аксонометриялық нҥктелері аксонометриялық осьтерінің ішкі жҥйесіне қатысты тҧрғызылды:

O'

нҥктесінен санағанда а қашықтықта 1'

H

нҥктесін тауып, сол арқылы z аксонометриялық осіне параллель тік сызықты ӛткізеді және осы ретте 1' нҥктесін ала отырып,

Z

B

координатасына тең болатын кесінді қалдырады. Осыдан кейін у

осіне параллель етіп, кесіндінің ортогональды сызбалары бойынша қабылданған

1'В' = 1

H

B

H

және

1F = 1

H

F

H

тік сызығын қалдырады. Дәл осылай С және Е нҥктелерінің аксонометриясын тҧрғызады. Барлық тҧрғызылған нҥктелерін жалғай отырып, кӛріну қабілетін ескере отырып сызатын толық емес пирамиданың аксонометриялық суретін алады.

4.4.1.
Айналу денелерінің қималары
Цилиндрдің қимасы

. Цилиндр қимасының пішіні қиюшы жазықтықтың орналасуына байланысты болады. Егер қиюшы жазықтығы цилиндрдің айналу осіне перпендикуляр (негізіне параллель) болса, қима пішіні шамасы бойынша негізінің пішініне тең келетін дӛңгелек болады

91

.12. Сурет. Цилиндер қимасы: (4.12, а суреті). Егер қиюшы жазықтықты айналу осіне еңістеп орналастырса және онымен барлық цилиндр қҧрушыларды қиса, қимада эллипс шығады (4.12, б суреті).Егер қиюшы жазықтық еңістеп орналасса және цилиндрдің бҥйір бетін ғана емес, негізін де қиса, қима пішіні толық емес эллипс болады (4.12,

в суреті).

Егер қиюшы жазықтық айналу осіне параллель болса, қима пішіні тӛртбҧрыш болады (4.12, г сурет), бҧл пішіннің

14

және

23

қырлары

4

а

— дӛңгелек;

б

— эллипс;

в

— толық емес эллипс;

г

— тікбҧрыш;

д

— ортогональды сызба; е,

ж

— аксонометрия

92

цилиндрді қҧрушылар, ал 12 және 34 қырлары – негізі мен қиюшы жазықтықтың қиылысу сызықтары болып табылады. Осы эллипстің ортогональды тҥсірімдері әр тҥрлі пішіндер мен сызықтар болып табылады. Осылайша, қиманың

1

V

...5

V

беткі тҥсірімі

T

V

ізімен сәйкес келеді және тік сызық болып табылады. Тҥсірімнің беткі жазықтығындағы эллипстің кіші осі

3

V

= 7

V

нҥктесіне тҥсіріледі.
Қиманың

1

H

2

H

3

H

...8

H

кӛлденең тҥсірімі — цилиндр негізінің кӛлденең тҥсірімімен сәйкес келетін дӛңгелек. Эллипстің ҥлкен және кіші осінің кӛлденең тҥсірімдері дӛңгелектің орталық сызықтарымен сәйкес келеді.

Қиманың

1

W

2

W

3

W

... 8

W

профильдік тҥсірімі — қимасының кіші осінің бейіндік тҥсірімі ҥлкен ось болатын эллипс. Қиманың профильдік тҥсірімінің тҧрғызылуы цилиндрдің бетіне жататын нҥктелердің тҧрғызылуына алып келеді (2.34 суретті қараңыз).

Ережеге сай, алдымен очерктік қҧраушыларда болатын

1

д

суретте осьсыз сызбадағы нҥктелердің тҥсірімдерінің салынуы кӛрсетілген.
Безосты сызба

я және у координаталық осьтері суреттелмейтін кешенді сызба болып табылады, бірақ олардың кӛрінбейтін болуы байланыс сызығының болуымен (

5

V

5

W

және7

V

7

W

), сонымен қатар, айналу осінің і

W

бейіндік тҥсіріміне қатысты нҥктенің бейіндік тҥсірімдерінің орналасуымен расталады. Қауіпсіз сызбада нҥктелердің бейіндік тҥсірімдерін тҧрғызу ҥшін, Н тҥсірім жазықтығында кӛлденең орналасқан орталық сызықтан нҥктенің кӛлденең тҥсіріміне дейінгі қашықтықты ӛлшеу керек. Мысалы, Y

6

кесіндісі

6

W

нҥктесінің бейіндік тҥсірім жазықтығында орналасу орнын, ал Y

4

ҥзіндісі—

4

W

НҤКТЕСІН АНЫҚТАЙДЫ

Толық емес цилиндрдің изометриялық тҥсірімін тҧрғызуды ортасы координаталар басымен сәйкес келетін эллипс тҥріндегі тӛменгі негізінің тҥсірімін сызудан бастайды (4.12, е суреті). Одан кейін тән нҥктелерінің 1' н

, 3' н

, 5'

H

және 7'

H

екінші ретті тҥсірімдерін белгілеп, олардың аппликаталарының кӛмегімен осы нҥктелердің 1', 3',

5

және 7’

аксонометрияларын тҧрғызады. 2', 4', 6'

және 8' аралық нҥктелерінің тҥсірімдерін аксонометриялық осьтердің ішкі жҥйесінде тҧрғызады (4.12, е

суреті ).

93

Одан кейін алынған

1

2

3' ...8' нҥктелерін икемді қисық сызықпен жалғап (қолдан), қима аксонометриясын лекала бойынша тҧтас қалың сызықпен сызады (4.12, ж суреті). Қалың сызықпен очерктік қҧраушылары мен негізінің алдыңғы кӛрінетін бӛлігін сызады.

Конустың қимасы . Тік дӛңгелекті конустың қимасындағы қиюшы жазықтықтың орналасуына байланысты келесідей пішіндер шығуы мҥмкін:

Қима пішіні:

г

9 е ж
4.13. Сурет. Конуса қимасы:

а

— шеңбер;

б

— ҥшбҧрыш;

в

— толық эллипс;

г

— толық емес эллипс;

д

— парабола;

е

— гипербола;

ж

— қиманың сызбалары

94

4.14 сурет. Толық емес конус: а

— ортогональды сызба;

б

— аксонометрия

V

= (4

V

нҥктесі— конус қимасының кіші осінің беткі тҥсірімі.

95

Қима пішінінің кӛлденең

1

H

4

H

6

H

2

H

5

H

3

H

1

H

және профильді

1

W

4

W

6

W

2

W

5

W

3

W

1

W

тҥсірімдері эллипстер болады. Осы эллипстердің

1

Н

, 2

Н

және

1

w , 5 w , 6 w ,

2

W

нҥктелерін соған тән қҧраушыларында, ал

5

Толық емес конустың аксонометриясы 4.14, б

суретте кӛрсетілген .

Олар басқа координаталар осьтерінің ішкі жҥйесіне қатысты тҧрғызылған. 1 нҥктесі негізінде орналасқан. 2 нҥктесі қҧраушысында орналасқан және X

2

координатасын, одан кейін Z

2

координатасын тҧрғызу нәтижесінде алынған,һ. Басқа нҥктелер жҧбы да олардың координаталарының кӛмегімен X,

Z

және

Y

кезегімен тҧрғызылған .

Толық емес конустың аксонометриясы негізінің тҥсірімдерінің кӛріну қабілетінің ескерілуімен алынған.

96

Шардың қимасы . Шардың кез-келген жазықтықпен қиылысуы дӛңгелек болып табылады. Қиюшы жазықтықтың орналасуына байланысты тек қима ӛлшемдері (дӛңгелек диаметрі) ғана ӛзгереді. Егер қиюшы жазықтық шардың айналу осіне перпендикуляр болса (сфера параллелінің тҥсірімдері секілді), қиманың тҥсірімдері дӛңгелек мен тік сызықтар тҥрінде болуы мҥмкін, егер тҥсіруші қиюшы жазықтық еңіспен орналасса, тік сызық пен екі эллипстер тҥрінде болады Қиюшы жазықтықтың т^ бейіндік ізінің жинақтаушы қасиеті болғандықтан, қиманың бейіндік тҥсірімі сонымен сәйкес келеді. Шар қимасының

A

W

...B

W

бейіндік тҥсірімі – тік сызық; қиманың екі басқа тҥсірімдері – эллипстер. Алдымен шарға және нҥктелердің қиюшы жазықтығына жалпы бейіндік тҥсірімдерін белгілейміз. Нҥктелердің арасында С және D нҥктесінің экваторына,

M

және N нҥктесінің басты меридианына, А және В нҥктесінің бейіндік меридианына жататын нҥктелерін қарастырады. Сонымен қатар, тән нҥктелеріне

E

және

F

нҥктелерін жатқызуға болады, себебі, осы нҥктелерді жалғайтын кесінді АВ диаметріне перпендикуляр болатын дӛңгелектің диаметрі болып табылады. Әрбір аталған нҥктелердің бейіндік тҥсірімдерінің белгіленуін оқып, шардың басты сызықтарының тҥсірімдерінің орналасуын еске тҥсіріңіз (сфераларды2.36 суреттен қараңыз). Нҥктелердің кӛлденең және тік тҥсірімдері бет нҥктесінің қатыстылық белгісінің негізінде орындалды: нҥкте бетінде орналасқан сызқыта болса, бетіне жатады. Проекциялық байланыс желілеріндегі бағыттамалар қҧрылымдардың бағытын кӛрсетеді. Мысалы, А және В нҥктелерінің тҥсірімдерін алдымен V тҥсірімінің жазықтығында, одан кейін сызбаның р тҧрақтысының кӛмегімен Н тҥсірімінің жазықтығында тҧрғызады. С және D нҥктелері ҥшін тҧрғызу реті басқаша: сызбаның р тҧрақтысының негізінде экватордың кӛлденең тҥсіріміне

С

Н

және

D

H

, одан кейін

C

V

және

D

V

беткі тҥсірімдерін жобалайды.

1

және

1

аралық нҥктелерінің тҥсірімдері n

(тҧрғызылуын 2.36, в

суреттен қараңыз ) параллелінің тҥсірімдеріне жатады. Басқа белгіленбеген аралық нҥктелері де соған ҧқсас жобаланған.

Н

және V тҥсірімдерінің жазықтығында қиманың бірқатар нҥктелерінің тҥсірімдерін тҧрғыза отырып, оларды кӛріну қабілетін ескере отырып, ыңғайлы сызықпен жалғайды. Беткі тҥсірім жазықтығындағы кӛріну қабілетінің ӛзгеру нҥктелері

M

V

және

N

V

нҥктелерітҥсірімнің кӛлденең жазықтығында —

С

Н

және

D

H

болады .

Аталған нҥктелерде қима сызықтарының тҥсірімдерінің, сонымен қатар, шар очерктерінің кӛріну қабілеті ӛзгереді (4.15 суретті қараңыз).

97

4.5

ТІК СЫЗЫҚТЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ БЕТІМЕН

Тік сызық пен геометриялық дене ылғи да екі нҥктеде қиылысады. Бҧл нҥктелер деп аталады. Олар бҥйір бетінде де, негізінде де орналасуы мҥмкін (тік сызық пен геометриялық дененің ӛзара орналасуына байланысты). Геометриялық дененің беті мен тік сызықтың қиылысу есебін келесі әрекеттерді орындай отырып, қосалқы қиюшы жазықтық амалымен шешеді (4.16 сурет): Геометриялық дененің және қиюшы жазықтықтың қиылысушы сызығы қиманы шектеуші контурлық сызық болып табылады. Бҧл сызық әрқашан геометриялық дененің бетіне, сонымен қатар, қиюшы жазықтыққа жатады және сынған тік сызықтардан тҧрып, толық немесе толық емес тегіс қисық сызық (шеңбер, эллипс, парабола, гипербола) немесе осы сызықтардың аймақтарының ҥйлесімі болуы мҥмкін. Алгоритмнің екінші әрекетін эпюрада орындау кезінде қиюшы жазықтық пен геометриялық дене бетінің қиылысу сызықтарының тҥсірімдерінің кӛрінуін кӛрсету қажет.

сурет. Тік сызық пен геометриялық дене бетінің қиылысу нҥктелерін анықтау кезіндегі қосалқы қиюшы жазықтық амалы

98

а

— кӛрнекі сурет;

б

— эпюр

Жазықтық мӛлдір болуы керек. Тҧрғызылған сызық тҥсірімінің дҧрыс дайындалуы эпюрадағы тӛртінші әрекеттің орындалуын әлдеқайда жеңілдетеді. Кӛріну қабілетін анықтай отырып, кесіп салу нҥктелеріне дейін тік сызықтың кӛрінетін немесе кӛрінбейтін болатынын ескереді. Геометриялық дененің ішінде орналасқан тік сызық кесіндісінің тҥсірімінің эпюрасында тҧрғызу сызығы секілді жҧқа сызық сызады.

Тік сызық пен призманың қиылысуы . 4.17 суретте қырлары кӛлденең орналасқан призма мен п кӛлденең тҥсіруші тік сызығы берілген. Берілген тік сызық тҥсіруші болып табылатындықтан, қосалқы қиюшы жазықтық тік сызық секілді ҧқсас тҥсіру жазықтығына проекцилаушы болуы тиіс. Осы ретте, қиюшы жазықтықтың ізінің х осіне еңіс бҧрышын ерікті тҥрде таңдайды (4.17, б суретті қараңыз). Осылайша, п

т кӛлденең тҥсіруші жазықтығына негізделеді. Призманың т қимасымен қиылуы

А123

(4.17, а суреті) тҥрінде болады.

1

H

2

H

3

H

кӛлденең тҥсірімі т н

ізімен сәйкес келеді, ал ҥшбҧрыштың қырларының

1

V

2

V

3

V

беткі тҥсірімі олардың кӛріну қабілетін ескере отырып тҧрғызылған. Тік сызықтың n

(4.17, б

суретті қараңыз ).

Тік сызық пен цилиндрдің қиылысуы.

Жалпы тәртіптегі тік сызық пен кӛлденең тҥсіруші айналу осі бар цилиндр бетінің қиылысу нҥктелерінің тҥсірімдерін тҧрғызу қажет болсын делік. Берілген тік сызықты мысалы беткі тҥсіруші т қосалқы қиюшы жазықтығына негіздейді. Қиылысу сызығы толық емес эллипс болады.

Эпюрада тік сызықтың n

V

беткі тҥсірімімен сәйкес келетін

T

V

ІЗІН БЕЛГІЛЕЙДІ

(4.18 сурет). Қиылысу сызығының беткі тҥсірімі

T

V

ІЗІМЕН СӘЙКЕС КЕЛЕДІ

. Қиылысу сызығының кӛлденең тҥсірімі жіңішке штрих сызықпен белгіленген тӛменгі негізі мен қиюшы жазықтығының қиылысу сызықтарының тҥсірімімен шектелген дӛңгелек доғасынан тҧрады. Ең кӛп ізделінетін

В

н

нҥктелерінің кӛлденең тҥсірімі тік сызықтың п н тҧрғызылған сызығы (штрих) мен кӛлденең тҥсірімінің қиылысу нҥктесі ретінде анықталады. Басқа ізделініп отырған нҥктенің

А

Н

кӛлденең тҥсірімі п н

қиылысу нҥктесі және дӛңгелек доғасының қиылысу нҥктесі ретінде болады.
Тік сызық пен цилиндр бетінің қиылысуының

A

V

және

B

V

нҥктелерінің беткі тҥсірімдерін проекциялық байланыс сызығының кӛмегімен тҧрғызады. Одан кейін ізделініп отырған нҥктелердің тҥсірімдерінің кӛрінуін анықтап, тҥсірімдерді берілген тік сызықпен сызып шығады.

A

V

нҥктесі кӛрінетін болғандықтан, онда тік сызықтың n

V

тҥсірімі де кӛрінеді. Кӛрінбейтін В нҥктесінің

В

Н

тҥсіріміне тік сызықтың кӛрінбейтін кесіндісінің п н

түсірімі келеді.
Цилиндрдің тҥсірімі мен тік тҥсірімді салу шегінен тыс

n

V

және п н

кӛрінетін болады.

Тік сызық пен пирамиданың қиылысуы
. Берілген

n тік сызығын мысалы, кӛлденең т тҥсірім жазықтығына негіздейді. Оның пирамидамен қиылысу сызығы 123 ҥшбҧрышы болады (4.19, а суреті).Эпюрада (4.19, б

суреті )

П

Н

тік сызық тҥсірімімен сәйкес келетін кӛлденең т н

V

нҥктелерін және бҥйір қырға жататын ,

2

V

— нҥктесін тҧрғызады және оларды кӛріну қабілетін

ескере отырып жалғайды.

100

1

V

2

V

3

V

ҥшбҧрышы – пирамида мен қиюшы жазықтықтың қиылысу сызығының беткі тҥсірімі.

1

V

2

V

сызығы штрих сызығымен сызылған, себебі,

1

2

тік сызығы пирамиданың кӛрінбейтін жағында орналасқан. Ізделініп отырған нҥктелердің

B

тҥсірімдерін салады.

Тік сызық пен пирамиданың қиылысу нҥктелерінің тҥсірімдерінің, берілген тік сызық тҥсірімінің кӛріну қабілетін анықтайды. Проекцияның кӛлденең жазықтығында

В

н

және

А

н нҥктелері кӛрініп тҧрады. Кесіп салу нҥктелерінің тҥсірімдеріне дейінгі тік сызықтың кӛлденең тҥсірімі де кӛрінеді.

A

V

беткі тҥсірімі кӛрінеді, себебі, А нҥктесі бақылаушыға қатысты кӛрінетін жағында орналасқан. Тік сызықтың

A

V

нҥктесіне дейінгі ҥзіндісінің беткі тҥсірімі де кӛрінеді.

B

V

беткі тҥсірімі кӛрінбейді, себебі, В нҥктесі пирамиданың кӛрінбейтін жағында орналасқан. Және тік сызық пен пирамиданың тҥсірімдерін салу дӛңгелегіндегі

B

V

нҥктесінен орналасқан тік сызықтың беткі тҥсірімі де кӛрінбейді. Берілген тік сызық пен пирамиданың беткі тҥсірімдерін салу шегінен тыс орналасқан тік сызықтың тҥсірімі да кӛрінбейді.

Тік сызық пен конустың қиылысуы
. 4.20 суреттегі

п н

тік сызығының кӛлденең тҥсірімі конус тӛбесінің

Ь

н

кӛлденең тҥсірімі

101

арқылы ӛтеді, сондықтан тік сызықты кӛлденең проекциялаушы жазықтыққа негіздеген жӛн.

Эпюрада т н = n

H

Қиюшы жазықтық конусты

1

H

L

H

және

2

H

V

L

V

қиылысында A

В

н кӛлденең тҥсірімдерін тҧрғызып, берілген тік сызықтың тҥсірімдерінің кӛріну қабілетін анықтайды.

Тік сызық пен шардың қиылысуы . h деңгейіндегі шар мен тік сызықтың қиылысу нҥктелерінің тҥсірімдерін тҧрғызу қажет делік (4.21 сурет). h деңгейлі берілген тік сызықты т кӛлденең проекциялаушы жазықтығына немесе у деңгейлі кӛлденең жазықтыққа негіздеуге болады. Шардың кез-келген жазықтықпен қиылысу сызығы шеңбер болады. Есепті шешу ҥшін у деңгейлі кӛлденең жазықтықты пайдаланған жӛн, себебі, оның шармен қиылысу сызығының кӛлденең тҥсірімі дӛңгелек тҥрінде болады (n параллелі).

Н

тҥсіріміның жазықтығында h

H

және n

нҥктелері кӛрінеді. Нәтижесінде, қиылысу (кесіп салу) нҥктелеріне дейінгі берілген тік сызықтың кӛлденең тҥсірімдерінің кесінділері де кӛрінеді.

А

Н

және

В

Н

нҥктелерінің кӛлденең тҥсірімдерінің Н тҥсірімінің жазықтығындағы басты меридианының тҥсіріміне қатысты орналасуы бойынша

B

V

нҥктесінің кӛрінетіндігін, ал

A

V

нҥктесінің кӛрінбейтіндігін анықтайды. Сәйкесінше, h

V

оң жақ ҧшының беткі тҥсірімі кӛрінеді, ал берілген тік сызық пен шардыдың тҥсірімін салу дӛңгелегінде

A

V

нҥктесінен солға қарай кӛрінбейді. Берілген геометриялық пішіннің тҥсірімдерін салу дӛңгелегінен тыс жерде h

V

кӛрінеді.

4.6.
ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ БЕТТЕРІНІҢ ӚЗАРА ҚИЫЛЫСУЫ

Ӛзара орналасуына байланысты екі кӛпжақты бір немесе екі сынған тҧйық сызықтар бойынша қиылысады. Геометриялық денелердің ішінара кесіп салынуының нәтижесі бір қиылысу сызығы болады. Ол

1

2... 11

12

1

(4.22, в суреті) кеңістіктегі кӛпбҧрышы болады. Екі тҧйық қиылысу сызықтары кӛпжақтылардың біреуі толығымен басқасы арқылы ӛткен жағдайда қалыптасады (4.24, в

суреті ).

Сынған сызықтық ҧштары бір кӛпжақтының қырларының басқасының қырларымен қиылысу нҥктесі болады, ал сынған сызықтың кесінділері екі кӛпжақтылардың қырларының қиылысу сызықтары болады. Осылайша, екі кӛпжақтылардың қиылысу сызықтарының тҥсірімдерін тҧрғызу міндеті тік сызықтың жазықтықпен қиылысуын нктесінің тҥсірімін анықтауына және екі жазықтықтың қиылысу сызықтарының тҥсірімдерінің анықталуына алып келеді. Әрбір жағдайда аса қарапайым шешімді таңдай отырып, кӛрсетілген амалдарды біріктіріп, екі кӛпжақтылардың қиылысу сызықтарының тҥсірімдерін салады. Сынған қиылысу сызықтарының ҧштарын дҧрыс жалғау ҥшін келесі ережелерді орындау қажет: Қиылысу сызығының тҥсірімін тҧрғызудың соңғы сатысы осы сызық пен кӛпжақтылардың қырларының тҥсірімінің кесінділерінің кӛрінуін анықтау.

103

a v h v b v

X

сурет. Екі призманың қиылысуы (1 мысал): а

— ағымдағы сызба;

б

— қиылысу сызығының тҥсірімін тҧрғызу;

в

— аксонометрия

1

және 7 нҥктелері, с

қырына —

3

және

12

нҥктелері жатады (4.22, в

суреті ).

Ҥшбҧрышты призманың h қыры мен алтыбҧрышты призманың белгіленбеген қырлары ерекше жағдай болып табылады, себебі, олардың тҥсірімдері призмалардың тҥсірімдерін салу шегінен тыс болады. Нәтижесінде, осы қырларда екі призманың сынған қиылысу сызықтарының ҧштары болмайды. Қиылысу сызығының беткі тҥсірімін алтыбҧрышты призманың проекциялаушы қырларына кесіліп салынатын а қырларынан бастаймыз. Эпюрада байланыс сызығының кӛмегімен

2

V

және

7

V

қиылысу нҥктелерінің беткі тҥсірімдерін тҧрғызған жеткілікті. Дәл осылай b қырларының қиылысуының

1

V

и

8

V

нҥктелерінің беткі тҥсірімдері да тҧрғызылған.
c, d
қырларының 3

V

12

V

және

11

V

, 4

V

қиылысу нҥктелерінің және ҥшбҧрышты призманы қырларымен беткі тҥсірімдері қосалқы қиюшы жазықтық амалының кӛмегімен тҧрғызылған (4.5 және 4.17, б суретті қараңыз). 5

V

10

V

және

6

V

, 9

V

қиылысу нҥктелерінің беткі тҥсірімдері ҧқсас тҧрғызылған.

Сынған сызықтың барлық мҥмкін деген тӛбелерінің тҥсірімдері тҧрғызылған кезде, жоғарыда мазмҧндалған ережелерді сақтай отырып, оларды қосады. Қиылысу сызығының беткі тҥсірімінің кӛрінуін анықтау кезінде, 1,2,7, және 8 нҥктелерінің алтыбҧрышты призманың кӛрінбейтін қырларында орналасқандығы ескерілген. Осы нҥктелерге келетін сынған сызықтың кесінділерінің беткі тҥсірімдері да кӛрінбейтін болады. Қиылысу сызықтарының ҧштарының 3

V

6

V

, 9

V

және

12

V

беткі тҥсірімдері кӛріну қабілетінің ӛзгеру нҥктелері болады, себебі, алтыбҧрышты призманың беткі очеркін беретін c

және f

қырларында орналасады.
2 мысал.

Бҥйір қырлары Н тҥсірімінің жазықтығына параллель орналасқан екі призма берілген (4.23, а суреті). Е призмасы мен Л призмасының қиылысу сызықтарының тҥсірімдерін тҧрғызу қажет.

105

V

2

V

2

V

2

V

а

— ағымдағы сызба;

б

— қиылысу сызықтарының нҥктелерінің тҥсірімдерін салу;

в

— қиылысу сызықтарының тҥсірімдерін салу;

г

— аксонометрия

106

Есепті шешу барысын таңдау кезінде бҥйір қырлары мен қырларының орналасуын ескереді. Эпюрадағы ағымдық деректерді қарастыра отырып (4.23 суретті қараңыз) Л призмасының h

қырының Е призмасының

1

2

3—4 еңісті шекарасымен қиылысатындығын оқу қажет. А нҥктесінің тҥсірімі у деңгейіндегі кӛлденең жазықтық кӛмегімен жобаланған (4.23, б

суреті ).

Е призмасының n

және m қырлары Л призмасының еңістік шекараларымен қиылысады. Осы қырлардың В және С кесіп салу нҥктелерінің тҥсірімдері т кӛлденең проекциялаушы жазықтығының кӛмегімен жобаланған (4.23, б

суреті ). а

Н

, d

V

және b

V

тік сызықтары тік жазықтықтың қатыстылығының екінші белгісін пайдалана отырып салынған (2.30, в

суретті қараңыз ).

Л призмасының к

және l қырлары Е призмасының 4-3 қыры арқылы ӛтетін т кӛлденең проекциялаушы жазықтығына кесіліп салынады.

D

және

E

(4.23, б суретті қараңыз) нҥктелерінің тҥсірімдері 4.6, е

суретіндегі сызбаға ҧқсас етіп салынған. .

Қырлары мен шекараларының барлық қиылысу нҥктелері анықталған жағдайда, оларды осыған дейін мазмҧндалған ережелері бойынша кӛрінуін ескере отырып қосады. Ӛзара қиылысатын геометриялық денелердің аксонометриясын сызу кезінде алдымен олардың екінші ретті тҥсірімін, одан кейін қиылысу сызығының

D'

Н

B'

Н

A'

Н

C'

Н

E'

Н

екінші ретті тҥсірімін салып (4.23, г суреті), содан кейін барып қана берілген геометриялық денелердің аксонометриясы мен олардың қиылысу сызықтарының аксонометриясын сызу қажет.

Призма мен пирамиданың қиылысуы.

Дҧрыс ҥшбҧрышты пирамида мен тӛртбҧрышты призманың тҥсірімдері берілген делік (4.24 сурет). Берілген геометриялық денелердің қиылысу сызықтарының тҥсірімдерін тҧрғызу қажет. Призманың беткі тҥсірімі пирамиданың беткі тҥсірімінің ішінде орналасқан (4.24, а суреті), сондықтан, қиылысу сызығы екі сынған сызыққа бӛлінеді (4.24, в суреті). Пирамиданың алдыңғы шекарасы бар призманың

7

8

9

10

қиылысу сызығы жҧқа сызық болады.
Басқа

1

2

5

6

1

қиылысу сызығы кеңістіктегі сынған сызық тҥрінде болады.

Қиылысу сызығының беткі тҥсірімі призманың беткі тҥсірімімен сәйкес келеді, себебі, оның қырлары мен қырлары – беткі проекциялаушы пішіндер. Қиылысу сызықтарының кӛлденең тҥсірімдері қосалқы қиюшы жазықтық амалымен тҧрғызылған. Эпюрада (4.24, а суреті) призманың қырлары арқылы ӛтетін, сонымен қатар, призманың жоғарғы және тӛменгі шекараларымен сәйкес келетін қосалқы қиюшы жазықтықтарының y

V

және

T

V

беткі іздері кӛрсетілген. Пирамиданың

107

а

— пирамиданың у және т жазықтықтарымен қиылысу сызықтарының тҥсірімдері;

б

— ізделініп отырған қиылысу сызықтарының тҥсірімдері;

в

— аксонометрия

тҥсірімі негізінің қырларының кӛлденең тҥсірімдеріне параллель

M

H

және

N

H

нҥктелері арқылы ӛтеді.
Одан кейін

1

H

кӛлденең тҥсірімдерінің қиылысу нҥктелерін табады(4.24, б

суреті ).

108

Пирамиданың одан алыс (кӛрінбейтін) қыры 3 нҥктесінде призманың жоғарғы жағын және 6 нҥктесінде тӛменгі жағын кесіп ӛтеді.Осы нҥктелердің

3

Н

және

6

Н

тҥсірімдерін пирамиданың алыс жатқан қырының кӛлденең тҥсірімінің қиылысының нҥктесі мен қиюшы жазықтықтардың пирамидамен (ҥшбҧрыштардың) қиылысу сызықтары ретінде анықтайды. Ҥстінен қараған кезде призаның жоғарғы және екі бҥйір қырлары да кӛрінетіндіктен, осы қырларында орналасқан қиылысу сызықтарының

1

Н

2

Н

3

Н

4

Н

5

Н

и

7

Н

8

Н

9

Н

10

Н

кӛлденең тҥсірімдері да кӛрінетін болады.

1

Н

6

Н

5

Н

және

7

Н

10

Н

кӛлденең тҥсірімдері кӛрінбейтін болады, себебі, призманың тӛменгі жағында орналасқан. Ғимараттар қҧрылысында шатырлардың әр алуан пішіндері жиі кездеседі. Шатырды қҧрайтын жазықтықтар,

1

қҧламатар деп аталады (4.25 сурет). Бір қыры (4.25, а сурет), екі қыры (4.25, б сурет), тӛрт қыры (4.25, в сурет) және кӛп қыры қҧлама (4.25, г сурет) шатырлар болады. Қҧламатардың тҥсірімдеріна нҧсқаушы бағыттамалар шатырдың еңісін кӛрсетеді.

Қырында ілініп тҧратын қҧламатың сызығы
асылма (ағызба) 3
деп аталады

Асылмалардан қалыптасқан бҧрыштар, сыртқы 6 және ішкі болады.
Қарама-қарсы жатқан қҧламатардың қиылысу сызығы называется
2 шатыржалы
деп аталады

Конек шатырдың ең биік бӛлігі болып табылады және ҧзын свесқа параллель орналасады. Екіқҧламаты шатыр жағдайында қалыптасатын бҥйір қырларының ҥшбҧрыштары 9 фронтондар деп аталады. Тӛртқҧламаты шатырдың (4.25, в суреті) тӛрт жаққа қарайтын қҧламатары бар. Ондай шатырлар шатырлы немесе шатыржолды деп, ал бҥйір қырларының ҥшбҧрышты қҧламатары – 5 шатыржол деп аталады. Кӛпқҧламаты шатыр бірнеше қиылысатын еңісті жазықтықтар болып табылады. Бҥкіл периметрі бойынша шатырларының асылмасы бір деңгейде орналасқан ғимараттарда қҧламатардың қиылысу сызықтарының тҥсірімдері проекцияның кӛлденең жазықтығындағы асылмаларының кескіні («жоспар бойынша») бойынша тҧрғызылуы мҥмкін. Егер осы ретте шатыр қҧламатарының еңіс бҧрыштары бірдей болса, қырларының тҥсірімдерін тҧрғызу кезінде келесі ережелер сақталады:

109

а

— бірқҧламаты;

б

— екіқҧламаты;

в

— тӛртқҧламаты;

г

— кӛпқҧламаты:

1

— қҧлама;

2

— шатыржал;

3

— асылма;

4

— қыры;

5

— шатыржол;

6

— сыртқы бҧрыш;

7

— ішкі бҧрыш;

8

—ендова;

H

8

H

(4.26, а сурет). Одан кейін барып тікбҧрыштың тӛбесінен бҧрыштардың биссектрисаларын ӛткізе отырып, ең ҥлкен

1

H

2

H

2' 1 ' тікбҧрышында қырларының тҥсірімдерін салады. Себебі, тікбҧрышты кескіндері биссектриса жоспары асылмалардың тҥсірімдерімен 45° бҧрышты қҧрайды.

A

H

және

B

H

биссектрисаларының қиылысу нҥктелері арқылы конектың суретін сызады (4.26, б суреті). Жоғарыда айтылғандай, конектың

A

H

F

H

бҧрыштардың биссектрисаларын салады. ) ,

110

а

— тікбҧрыштарға бӛлу;

б

— ең кең тікбҧрыштағы қырлардың тҥсірімдері;

в

— қырлардың қалған бӛліктері;

г

— сызығы.

проводят проекции коньков

(C

H

D

H

, E

H

F

H

параллельно длинным свесам. Так как точки

4

и 7', находясь на проекциях свесов, не принадлежат внешним или внутренним углам, проекции ребер через них не проходят (рис. 4.26, в). При обводке плана крыши (рис. 4.26, г) части биссектрис, не разделяющие двух различных скатов, т. е. лежащие в плоскости одного и того же ската, убирают, например линию l'F

H

или линию

2D

H

Айналу денесінің кӛпжақтымен қиылысу сызықтары жазық қисықтардың (дӛңгелектердің, эллипстердің, параболалардың, гиперболалардың), сонымен қатар, тік сызық кесінділерінің бӛліктері болады. Қиылысу сызықтары екеу (толық кесіп салынатын) немесе біреу (ішінара кесіп салу) болуы мҥмкін.

111

Қиылысу сызығының бір бӛлігінен екіншісіне кӛпжақтылардың қырларында орналасқан нҥктелерде ауысады. Осы нҥктелер, сонымен қатар, айналу денесінің очерктік қҧраушыларына жататын нҥктелер

тірек нүктелері деп аталады. Кӛпжақтының айналу денесінің бетімен қиылысу сызығының тҥсірімін тірек нҥктелерінің тҥсірімінен бастап тҧрғызу қажет. Қиылысу сызығының дҧрыс суретін алу ҥшін мәні призма қырларын айналу денесімен толық қиылысқанға дейін жалғастыру болатын толық қима амалын пайдаланады. Цилиндр мен призманың қиылысуын қарастырайық. 4.27 суретте қиылысатын тура дӛңгелегі цилиндр мен тура призманың ортогональды және аксонометриялық тҥсірімдері кӛрсетілген. Қиылысу сызығы толық емес шеңбер

4

1

5

(призманың тӛменгі жағында), толық емес эллипс

3

2

—А —

5

нҥктелері — призманың цилиндрге кесіліп салыну нҥктелері (қиылысу сызығының бір бӛлігінен екіншісіне ауысу нҥктелері).

Призма мен цилиндр проекциялаушы тәртіпте тҧрғандықтан,

3

Н

1

Н

6

Н

қиылысу сызығының кӛлденең тҥсірімі цилиндрдің кӛлденең тҥсірімімен сәйкес келеді;

1

V

5

V

6

V

1

V

қиылысу сызықтарының беткі тҥсірімі призманың беткі тҥсірімімен сәйкес келеді. Ізделініп отырған сызықтың

1

W

— 2

W

— 3

W

4

W

1

W

5

W

6

W

7

W

1

W

профильді тҥсірімін нҥктелері бойынша салады. 4.27, а суретте тҧрақты сызбаның кӛмегімен 3 және 4 нҥктелерінің профильдік тҥсірімдерінің тҧрғызылуы кӛрсетілген. Қалған нҥктелерінің профильдік тҥсірімдерін соған ҧқсас әдіспен тҧрғызады. Ортогональды сызбада аралық нҥктелерінің тҥсірімдері белгіленбеген. Нҥктелердің профильдік тҥсірімдерін олардың кӛріну қабілетін ескере отырып қосады. Сызбамен жҧмысты аяқтау кезінде призма мен цилиндрдің очерктерінің кӛріну қабілетін кӛрсетеді.

Призма мен цилиндрдің қиылысу сызықтарының аксонометриясының кӛрінуін дҧрыс кӛрсету ҥшін цилиндрдің очеркінде кӛріну қабілетінің ӛзгеру нҥктелерін салу керек. Алдымен А нҥктесінің

А

н

және

А

у

ортогональды тҥсірімдерін табады

112

сурет. Цилиндр мен призманың қиылысуы: а

— ортогональды сызба;

б

— аксонометрия

113

Айналу денелерінің беттерінің қиылысу сызықтары жиі кеңістіктегі қисықтар болады, бірақ, жазық қисық сызықтар да болуы мҥмкін. Екі айналу бетінің қиылысу сызықтарының тҥсірімдері олардың қҧраушылары проекциялаушы тәртіпте тҧрса, айтарлықтай оңай проекцияланады.

Бірдей диаметрлі цилиндрлердің қиылысуы.
4.28,

а суретінде бірдей диаметрлі екі цилиндрлердің қиылысу сызықтарының тҥсірімдері кӛрсетілген. Цилиндрлерді қҧраушылар тҥсіруші тәртіпте тҧрады, сондықтан, қиылысу сызықтарының кӛлденең және тік тҥсірімдері осы тҥсірім жазықтығындағы цилиндрлердің тҥсірімдерімен сәйкес келетін шеңберлер болады. Цилиндрлердің осьтері ӛзара қиылысады және екі цилиндр ҥшін де жалпы симметрия жазықтығы болып табылатын ф деңгейлі беткі жазықтықта орналасқан. Осы жағдайда цилиндрлер екі жазық қисықтары (эллипстері) бойынша қиылысады. Эллипстердің беткі тҥсірімдері беткі очерктік қҧраушылардың 1,

2, 3
және

4

нҥктелері арқылы ӛтетін және

A

V

және

B

V

нҥктелерінде қиылысатын тік сызықтардың ҥзінділері тҥрінде бейнеленеді.

а

— ортогональды сызба;

б

— аксонометрия

114

a

а

— ортогональды сызба;

б

— аксонометрия

4.28, б

суретте екі эллипстің А және

В

қиылысу нҥктелерінде цилиндрлерді қҧраушылардың біреуі екіншісіне тиеді. Осылай,

І тік
цилиндрін

m

қҧраушысы ІІ кӛлденең орналасқан цилиндрге тиеді.

115

Әр тҥрлі диаметрлі цилиндрлердің қиылысуы.

1

W

2

W

3

W

... 7

W

8

W

профильді тҥсірімі берілген цилиндрлердің тҥсірімдерін салу шеңберіндегі ІІ цилиндрдің профильді тҥсірімімен сәйкес келеді.

Қарастырылып отырған мысалда қиылысатын цилиндрлердің V жазықтығына параллель болып келетін жалпы (ф) симметрия жазықтығы бар, сондықтан, қиылысу сызығының кӛрінетін бӛлігінің

3

V

2

V

1

V

8

V

7

V

беткі тҥсірімі оның кӛрінбейтін бӛлігінің

3

V

4

V

5

V

6

V

7

V

беткі тҥсіріміне салынады.

Екі цилиндрлердің қиылысу сызықтарының аксонометриясы осы цилиндрдің екінші ретті тҥсірімінің орнына І цилиндрдің жоғарғы негізінің тҥсірімі арқылы тҧрғызылған (4.29, б суреті).

БАҚЫЛАУ СҦРАҚТАРЫ

116

117

5 Тарау

5.1.

Т

ІК СЫЗЫҚТЫҚ

ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ҤЗІНДІСІНІҢ ТАБИҒИ ШАМАСЫН АНЫҚТАУ АМАЛДАРЫ

5.1.1.
Тҥсірім жазықтықтарын ауыстыру амалы

Геометриялық пішіннің табиғи шамасын тҥсірім жазықтықтарын ауыстыру амалымен анықтау қажет болса, онда кеңістікте геометриялық пішін ӛзінің орнын ӛзгертпейді. Оған қатысты жаңа тҥсірім жазықтықтарын енгізеді. Қалыптасқан тҥсірім жазықтықтарының жҥйелерінде ортогональдық міндетті тҥрде сақталады.

Тҥсірім жазықтықтарын кеңістікте (5.1, а сурет) және эпюрада (5.1, б

суреті )

ауыстыру амалының мәнін А нҥктесінің мысалымен қарастырамыз. Негізгі

H/V

тҥсірім жазықтықтарының жҥйесінде тҥсірімнің кӛлденең жазықтығына перпендикуляр болатын жаңа

VІ,

тҥсірім жазықтығы енгізілген (нҥктеге қатысты кез-келген). Жаңа H/V1 тҥсірім жазықтықтары жҥйесінде

H

және

VІ

тҥсірім жазықтықтары жаңа проекция осі -

Х1

сызығы бойынша қиылысады (5.1, а суретті қараңыз). х

— жаңа.

А нҥктесінің Н тҥсірім жазықтығына қатысты орналасуы ӛзгермейтіндіктен, А нҥктесінен Н тҥсірім жазықтығына дейінгі қашықтық негізгі тҥсірім жазықтықтарының жҥйесінде де жаңасында да ӛзгеріссіз қалады.

V

тҥсірім жазықтығындағы |А х

Ау| ҥзіндісі мен

V1

тҥсірім жазықтығындағы |A

X1

A

V1

— нҥкте мысалында;

в... д

— ҥзіндінің натурал шамасын анықтау;

е

— жазық фигураның натурал шамасын анықтау

119

Ортогональды сызбаны алу ҥшін (5.1, б

сурет ) барлық тҥсірім жазықтықтарын бір жазықтыққа ҥйлестіреді. Тҥсірім жазықтықтарын ауыстыру амалымен есептерді шешу кезінде міндетті тҥрде тҥсірімнің жаңа және ескі осін, ал осьтердің маңынан – тҥсірім жазықтықтарын белгілейді. Сызбадағы ҧзындықтары бірдей ҥзінділерді бірдей белгілермен белгілейді (мысалы, бір штрих, екі штрих, дӛңгелек және т.б.).

Нҥктенің жаңа тҥсірімін келесідей жолмен жобалайды:
Тҥсірім жазықтықтарын ауыстыру амалымен ҥзіндінің табиғи шамасын анықтау
. Жалпы тәртіптегі тік сызық ҥзіндісінің табиғи шамасын анықтау кезінде

V1

жаңа жазықтығын берілген тік сызыққа параллель (5.1, в сурет) және Н жазықтығына перпендикуляр орналастырады.

H/V1

тҥсірім жазықтықтары жҥйесіндегі АВ тік сызығы деңгей сызығы болып табылады, нәтижесінде,

V1

тҥсірімінің жазықтығына ол табиғи шамамен тҥсіріледі.
5.1,

г суретте ортогональды сызбадағы жалпы тәртіпті натуральды шамамен алынған АВ тік сызығының ҥзіндісінің тҧрғызылуы кӛрсетілген.

X1

тҥсірімінің жаңа осі берілген тік сызықтың кӛлденең тҥсіріміне параллель орналасады:

X1//A

H

B

H

.А

Н

және

В

Н

нҥктелері арқылы

V

тҥсірімінің ауыстырылатын жазықтығында ӛлшенетін ҥзінділерді қалдырылатын

X1

байланыс сызықтары сызылады. Сызбада бҧл ҥзінділер бірдей белгілермен белгіленген (бір және екі штрих). A

тҥсірім жазықтығының жҥйесінде АВ ҥзіндісі деңгей сызығы болуы тиіс, сонда оның Н1 тҥсірім жазықтығына тҥсірімі табиғи шама болады.

АВ ҥзіндісінің табиғи шамасын ауыстыру ҥшін (5.1, д

сурет

) Х1

тҥсірімінің жаңа осін

A

V

B

V

беткі тҥсіріміне параллель етіп сызады.

120

Х1

осіне перпендикуляр етіп байланыс сызықтарын салады ,

онда ауыстырылатын

А

Н

және

В

Н

тҥсірімдерінен ауыстырылатын х

осіне дейін қашықтық қалдырады. Алынған А

Н1

және

В

C

V

ізіне параллель етіп сызады. Ҥшбҧрыштың жаңа А

Н1

В

Н1

және

С

Н1

ҧштарының тҥсірімін салады, және оларды қоса отырып, ААВС берілген жазық фигурасының табиғи шамасын алады.

Жазықтықты айналдыру амалында тҥсірім әдеттегі орынды алады, ал геометриялық пішіндерді (нҥктелерді, тік сызықтар мен жазықтықтарды) і айналу осінен айналдырып бҧрады. А нҥктесінің осінен айналдырған кезде (5.2, а суреті) оның қозғалыс траекториясы радиусы і осінен А нҥктесіне дейінгі қашықтыққа тең болатын 1 шеңбер болады. А нҥктесінен і осіне дейінгі қашықтық оське перпендикулярмен анықталғандықтан, 1 шеңбер айналу осіне перпендикуляр болатын е жазықтығында орналасқан. Егер айналу осі тҥсірім тәртібінде тҧрса, е жазықтығы тҥсірім жазықтығына параллель орналасады және осы тҥсірім жазықтығына шеңбер бҧрмаланбай тҥсіріледі. Эпюрада (5.2, б

суреті )і

айналу осі кӛлденең тҥсіруші тік сызық болып табылады, сондықтан шеңбердің e

V

жазықтығының беткі ізі айналу осінің і

V

беткі тҥсіріміне перпендикуляр және A

V

беткі тҥсірімі арқылы ӛтеді.

1

V

шеңберінің беткі тҥсірімі e

V

ізімен сәйкес келеді.

121

г

а, б

— нҥкте мысалымен;

в

— жазық фигураның табиғи шамасының анықталуы;

г

— ҥзіндінің табиғи шамасының анықталуы

1

кӛлденең тҥсірімін оның жаңа тәртібіне орын ауыстырған жӛн. Жаңа

A'

V

беткі тҥсірімін тҧрғызу ҥшін

А

Н

нҥктесі арқылы

1

V

шеңбердің беткі тҥсірімімен қиылысқанша байланыс сызығын жҥргізеді. Осылайша,

A

V

нҥктесі e

V

ізі бойынша

A'

v нҥктесіне қарай қозғалады. Эпюрада нҧсқамамен нҥкте тҥсірімдерінің қозғалу бағыты кӛрсетілген.

Ҥзіндінің табиғи шамасын айналдыру амалымен анықтау.

Жалпы тәртіптегі тік жиектің АВ ҥзіндісінің табиғи шамасын анықтау ҥшін нҥктелердің біреуін і айналу осіне орналастырады. Бҧл нҥкте қозғалмайтын болады. Ҥзіндінің басқа нҥктесін АВ ҥзіндісі деңгейдің тңк жиегі тәртібіне тҧратындай етіп осінен айналдырады.

122

Осы ретте, А нҥктесі і айналу осіне перпендикуляр жазықтықта орналасқан шеңбер доғасының сыртынан сызылады.

5.2, г суретте АВ ҥзіндісін і айналу осінің кӛлденең тҥсірушісінен айналдырып бҧру кезіндегі табиғи шамасының тҧрғызылуы кӛрсетілген.

B

V

нҥктесі і

V

сызығында, ал

В

Н

= і

H

болғандықтан, В нҥктесі айналу осіне жатады, яғни, і осінде бекітілген. А нҥктесінің эпюрадағы і осіне қатысты қозғалу траекториясы Н тҥсірім жазықтығындағы шеңбер доғасымен және e

V

ізі бойынша A

V

беткі тҥсірімінің орын ауыстыруымен кӛрсетілген.

Тік сызықтың ҥзіндісі табиғи шамаға бейнеленуі ҥшін, оның бір тҥсірімі х осіне параллель болуы керек. Сондықтан жаңа

А'

Н

В

Н

кӛлденең тҥсірімі х осіне параллель орналасқан. Онда

ІA'

V

By\

беткі тҥсірімі |

АВ

| ҥзіндісінің ҧзындығына тең болады, яғни, оның табиғи шамасы болады.
Айналдыру амалымен жазық пішіннің табиғи шамасын анықтау

Н

және

В

Н

нҥктелері арқылы ӛтеді.
В және С нҥктелерінің кеңістігінде қозғалу траекториясы

C

V

және В^ беткі тҥсірімдері қозғалатын шеңберлер доғасына

V

тҥсірімінің жазықтығына тҥсіріледі.
АуС^/
беткі тҥсірімін х тҥсірімінің осіне параллель орналастырады. Онда

АА

Н

В'

Н

С

Н

— берілген жазық пішіннің табиғи шамасы.

Біріктіру амалын айналу осі осы пішіннің жазықтығының ізімен сәйкес келетін айналдыру амалы ретінде қарастыруға болады. Жазықтықты жазық пішінмен бірге ізді айналдырып бҧрайды. Бҧрғаннан кейін берілген жазықтық тҥсірі жазықтығымен бірігеді. Жазық пішіннің әрбір нҥктесі айналу осіне – жазықтық ізіне перпендикуляр жазықтықта орналасқан шеңбердің доғасының сыртынан сызылады (5.3, а суреті).

123

а

— кеңістіктегі модельдің сызбасы;

б

— жазық фигураның табиғи шамасының анықталуы

Біріктіру амалын жазық фигура іздермен берілген тҥсіруші жазықтықта орналасқан кезде пайдаланған жӛн.

А

Н

В

Н

және

С

В'

Н

және

С'

Н

нҥктелерінің жаңа кӛлденең тҥсірімдері болады.

124

Жазық параллель орын ауыстыру амалын симметрия осі бар жазық фигураның табиғи шамасын табу ҥшін, сонымен қатар, сызбада бос орын шектеулі болған жағдайларда пайдалануға тиімді болып саналады. Жазық параллель орын ауыстыру амалының мәні жазық фигуралардың қозғалысының ерікті болуында, бҧл жағдайда осы нҥктелердің деңгейдің қозғалмайтын жазықтықтарында жатуы тиіс. Деңгей жазықтықтарының қозғалмауы белгіленген координаталардың ӛзгермеуін қамтамасыз етеді, бҧл ӛз кезегінде, геометриялық пішіннің тҥсірімдерінің біреуінің ӛзгермейтіндігін сақтап қалады.

2

Осылай, егер

АВ

тік сызығының нҥктелерін (5.4, а суреті) деңгейдің кӛлденең жазықтықтарында бекітетін болсақ, оның кӛлденең тҥсірімі ӛзгермейді. Егер тура немесе жазық пішіннің нҥктелерін

(А

Н

В

Н

)=(А'

Н

В’

Н

в г а

— кеңістік моделінің сызбасы;

б

— ҥзіндінің табиғи шамасының анықталуы;

г

— жазық фигураның табиғи шамасының анықталуы.

125

деңгейдің беткі жазықтықтарына орналастырсақ, онда тік сызық пен жазық фигураның беткі тҥсірімі ӛзгермейді.

Ҥзіндінің табиғи шамасын жазық параллель орын ауыстыру амалымен анықтау . Жазық параллель орын ауыстыру амалымен тік АВ тік сызығы ҥзіндісінің табиғи шамасын анықтау қажет делік. Деңгейдің кӛлденең жазықтықтарында А және В нҥктелерін бекітеміз.

Бҧл әрекет эпюрада осы ҥзіндінің А у

және

B

V

нҥктелерінің беткі тҥсірімдері арқылы ӛткізілген деңгейдің кӛлденең жазықтықтарының е у

және е'у беткі іздерінің тҧрғызылуы ретінде байқалады (5.4, б суреті). Ҥзіндінің жаңа

А'

Н

В'

Н

кӛлденең тҥсірімін сызбаның ыңғайлы жерінде х тҥсірімінің осіне параллель орналастырады, онымен қоса,

|АНВН| = А

Н

В

Н

A'

V

B'

V

тік сызығының жаңа беткі тҥсірімін тҧрғызу ҥшін жаңа

А

Н

В'

Н

кӛлденең тҥсірімдері арқылы е у

және e' v іздерімен қиылысқанға дейін жаңа кӛлденең тҥсірімдерін жҥргізеді. |AVBV| ҥзіндісі —

АВ

тік сызығы ҥзіндісінің табиғи шамасы (деңгейдің тік сызықтарының тҥсірімдерінің екінші қасиетінің негізінде). Жазық параллель орын ауыстыру амалымен жазық пішіннің табиғи шамасын анықтау . 5.4, в суретінде беткі тҥсірім жазықтығында орналасқан АЛВС ҥшбҧрышының табиғи шамасының тҧрғызылуы кӛрсетілген. Оның беткі тҥсірімі ӛзгермеуі ҥшін, А, В және С нҥктелерін ст, ст' және ст'' деңгейлі беткі жазықтықтарда бекітеді.

Эпюрада жаңа беткі
A-уСУ
тҥсірімін х тҥсірімінің осіне параллель сызады. |A'

V

B'

v

| = |A

V

B

v

| және |ВУСУ = |В у

С

у

| кесінділерінің теңдігі сақталады. А

Н

В

Н

және

С

Н

кӛлденең тҥсірімдері арқылы ст

Н

, ст'

Н

және
ст’Н
кӛлденең іздерін жҥргізеді

Жаңа AV,

B’

V

және

C

V

нҥктелерінің беткі тҥсірімдері арқылы ӛтетін тҥсірімдік байланыс сызықтары ст

Н

, ст’

Н

және
ст’Н
іздерімен қиылыста жаңа АН,

В'

Н

және

С'

Н

нҥктелерін береді .

Осы нҥктелерді жалғай отырып, ААВС ҥшбҧрышының табиғи шамасына тең болатын, жаңа ААНВНСН кӛлденең тҥсірімін алады. Симметрия осі бар жазық фигураның жазық параллель орын ауыстыру амалымен табиғи шамасын тҧрғызуы 5.4, г суретте кӛрсетілген. Жазықтықтың беткі ізін тҥсірім осімен ҥйлестіреді; осы ретте ізде болатын нҥктелердің арасындағы қашықтық сақталады. Нҥктелердің жаңа кӛлденең тҥсірімдерін анықтау ҥшін нҥктелердің кӛлденең тҥсірімдерінен тҥсірімдік байланыс сызықтарының бойымен кӛлденең орналасқан орталық сызыққа дейінгі қашықтықты ӛлшейді (бірдей қашықтықтары белгілермен белгіленген).

126

5.2.

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ ЖАЙМАСЫ

Геометриялық дене бетінің жаймасы деп геометриялық дененің бҥйір беті мен оның негізін бір жазықтыққа біріктіру жолымен алынған жазық фигураны айтады. Бҥйір беті жазықтықпен қабатсыз ж»не ажыраусыз бірігетін геометриялық денелер болады. Олардың мҧндай беттері жаймалы деп аталады. Оларға призмалар, пирамидалар, цилиндрлер, конустар жатады. Жайылмайтын бетінің мысалы ол жазықтықпен ажыраусыз бірікпейтін шардың беті. Жайылмайтын беттерінің жаймаларын жасау ҥшін оларды бӛліктерге бӛледі, одан кейін осы бӛліктерді жайма беттерімен алмастырады.

Жаймаларын ылғи да табиғи шамада алады. Тік жиектердің, жалпы және ішінара тәртіпте орналасқан жазықтықтардың қасиеттерін біле тҧрып, ортогональды сызбаны дҧрыстап оқып, қандай геометриялық фигуралардың табиғи шамаға тҥсірілгендігін, және қандайларына оны табу керектігін анықтауға болады. Осылайша, кез-келген геометриялық дене бетінің жаймасын жасамас бҧрын алдымен оның жақтарының, жақтарының, негіздерінің қҧраушыларының орналасу тәртібін талдап алу қажет.

Жаймаларын салу кезінде келесі қасиеттерді білген жӛн:

Жайма сызбасын сызба сызығын ескере отырып рәсімдейді. Жайма контурын жуан тҧтас сызықпен сызады. Иілу сызығының жаймасында негізінің бҥйір жақтары мен қырлары бойынша екі нҥктелі нҥктелі- ҥзілме сызықпен сызады. Тҧрғызу сызықтары - жіңішке сызықтар. Егер осы жайма бойынша модель жасау керек болса, геометриялық дененің моделі жасалатын материалда (қағаз, жез) ҥлгі жасайды. Ҥлгі жаймадан және айналу денесіне арналған кӛпжақтылар мен ҥшбҧрыштардың трапециялары тҥріндегі «клапандарынан» тҧрады.

«Клапандарды» қосылатын қырларының біреуіне орналастырады.. 5.6, б суретте призма мен негізінің 1-2 бҥйір қабырғасының сызықтарын жапсыруға мҥмкіндік беретін бір «клапан» кӛрсетілген.

127

Қағаздан жасалған ҥлгінің беткі қабырғасында иілу сызықтары бойынша (екі нҥктелі нҥктелі-ҥзілме сызық) кеңсе пышағымен материалды жақсы ию ҥшін жеңіл кесік жасайды. Жайманың (ҥлгінің) беткі қабырғасы геометриялық дене бетінің сыртқы қабырғасына сәйкес келеді.

Призма жаймасының тҧрғызылуын тура дҧрыс ҥшбҧрышты призма мысалынан қарастырамыз. Эпюра бойынша (5.5, а суреті) призманың ҥш бҥйір жақтары кӛлденең тҥсіру тәртібінде тҧрады және биіктігі призма биіктігіне, ал ені – негізінің қабырғасының ҧзындығына сәйкес келетін тікбҧрыштар болып табылады деп санаймыз. Призманың негізі Н тҥсірім жазықтығына параллель орналасып, оған бҧрмалаусыз тҥсірілген. Осылайша, сызбада барлық қырлары мен негізінің табиғи шамалары бар.

2

Жайманы (5.5, б

сурет ) призманың негізінің қабырғаларының кӛлденең тҥсірімдеріне тең 113|, |32| және |21| ҥзінділерін қалдыратын кӛлденең сызықты сызудан бастап тҧрғызады.

128

1

3

2

1

V

M

V

ҥзіндісін ӛлшеп алып, оны призма жаймасының тиісті бҥйір қабырғасында қалдырған жеткілікті. Жазықтықтың қабырғасына жататын нҥктені тҧрғызуға арналған екі ӛлшемі болғандықтан, қандай да бір екі ҥзінділерін ӛлшеу қажет.

L

нҥктесі
33'22
қабырғасына жатады. Эпюрада (5.5, а суретті қараңыз)

Ц?

нҥктесі арқылы h

V

тік сызығын жҥргізіп,

3

V

3’

V

қырының тҥсірімінде A

V

нҥктесін табады. Жаймада (5.5, б суретті қараңыз 33'

қабырғасында А нҥктесін тҧрғызады және

3

3'

қырынан L нҥктесіне дейінгі қашықтықтың табиғи шамасына тең

A

H

L

H

ҥзіндісін қалдырады.

Толық емес призманың жаймасын бҥйір қырларының, негізінің, бҥйір қабырғаларының ҥзінділерінің, қимасының табиғи шамаларын анықтаудан бастап тҧрғызады (5.6, а суреті). Одан соң жаймадағы шеткі сызықтары толық емес геометриялық денедегі оның ең аз ҥзіндісі бар қырына сәйкес келетіндей етіп есептеп олардың толық жаймасын тҧрғызады. Қарастырылып отырған мысалда мҧндай қырына

11

қыры жатады.

Толық емес призма бетінің бҥйір қабырғасының жаймасын салу ҥшін қырларына сәйкес келетін сызықтарда призманың бӛлігін т жазықтықпен кескеннен кейін алынған ҥзінділерін қалдыру қажет. Осылай, 11'

сызықта А нҥктесін, 22' сызығында— В нҥктесін,

129

а

— эпюр;

б

— жайма

55'

сызықта —

Е

нҥктесін тҧрғызады ,

эпюрадағы ҥзінділердің табиғи шамаларын ӛлшейді:

1А = 1

V

A

V

; 2В = 5Е = 5

V

E

V

Есептің шарты бойынша (5.6, а суретті қараңыз) қиманың

С

және

D

нҥктелері жоғарғы негізінің қабырғаларына жатады. Сондықтан

С

және

130

D

нҥктелерінің жаймасындасәйкесінше
2'3'
және

45'

қабырғаларында, 3 нҥктеден

3 C= 3'

Н

С

Н

және 4 нҥктеден

4D= 4

H

D

H

ҥзіндісін қалдырады. Призманың жоғарғы негізі ішінара кесілген, сондықтан Бҥйір бетінің жаймасына триангуляция амалын (6 қосымшаны қараңыз) пайдалана отырып,

3 4 DC

(оны алдын ала екі ҥшбҧрышқа бӛле отырып) тӛртбҧрышын орналастырады.
Жайманы сызу соңында оған қиманың табиғи шамасын - A

H1

B

H1

C

H1

D

H1

E

H1

бесбҧрышына тең АВСDE жазық фигурасын орналастыру керек. 5.6, б

суретте

І, ІІ

және

ІІІ

ҥшбҧрыштарынан тҧратын қима пішіні

CD

қабырғасында тҧрғызылған.

Пирамиданың қашауын қҧру ҥшін алдымен барлық қабырғаларының натуралды шамасын анықтайды.Сур. 5.7, а негізгі тараптары Н проекцияның жазықтығының натуралды шамасына проекцияланады. Бҥйір қабырғасы 1 — 4 фронтальды проекцияның жазықтығына параллель орналасқан,және оның фронтальды проекциясы 1V4V

а – эпюр; б – жайылма

131

натуралды шамасына бейнеленген (н. к.). Пирамида дҧрыс тҥзу болғандықтан, оның барлық бҥйір қабырғалары ҧзындығымен сәйкес келеді. Демек, пирамида негізінің жоғарғы нҥктелері (1, 2, 3 нҥктелері) жайылған кҥйінде пирамиданың жоғарғы нҥктелерінен бірдей ара қашықтықта орналасатын болады. Сондықтан, 4ші еркін нҥктеден R радиусымен (сур.5.7,б) бҥйір қабырғасының натуралды кеңдігіне тең (R

= |14| = \1V4V\ = н. к.), шеңбер доғасын жҥргізеді.

Пирамида негізі тараптарының натуралды шамасына тең доғада 1ші нҥктеден 3 кесіндіні бӛліп тастайды: \13\ = \32\ = \21\ = \1H3H\ = \3H2H\ = \2H1H\. 4, 1, 2, 3, 1, 4ші нҥктелерді қосқанда пирамида бҥйірінің беткі жайылған кҥйін алады.Содан соң пирамиданың негізін толық аяқтайды— А123. А және В нҥктелерінің жайылған кҥйіндегі жағдайын келесі жолмен анықтайды.А нҥктесі 24 қабырғасына тиесілі,ол жалпы орнын алады, сондықтан алдымен ортогональ сызбада 4А натуралды шамасын ,мысалы айналдыру тәсілімен, анықтайды(сур.5.7, а.). Пішінді скобкамен белгіленген кесінді \4VAV, 24 қабырғасының жайылған кҥйіне шегереді де А нҥктесін алады. С нҥктесі Д143 қырына тиесілі. Жайылған кҥйінде 14 кабырғасында жатқан В нҥктесін салады. В нҥктесінен 13 негізіне параллель тҥзу жҥргізеді. Бҧл тҥзудегі С нҥктесінің орнын ВС кесіндісі анықтайды,ӛйткені ВС-горизонталь, ал ол кесіндінің натуралды шамасы \ВНСН\ -ға тең. Қосымша №8-де (сур. П8.7) «Толық емес пирамида. Жайылу» графикалық жҧмысының мысалы кӛрсетілген.Комплекстық сызбада горизонтальды және профильды проекция кесіндісін қҧрастырған. Қабырғалардың проекциялары мен олардың дҧрыс тӛртбҧрышты пирамиданың кесінділері кӛрсетілген. Теңестіру тәсілімен кесіндінің натуралды шамасы анықталған (сур. 5.2, в).

Пирамиданың толық жайылма кҥйі қҧрастырылды — фигура 1 — 4

— 1 — 2 — 3 — 2 — 1 — 5 ортогональды сызба бойынша ӛлшемдерімен. Пирамиданың толық жайылма кҥйін жасау ҥшін алдымен оның толық А, В, С, D, Е нҥктелерін қҧрастыру қажет.А нҥктесі 1-4 қабырғасына тиесілі болғандықтан, онда әр қабырғасының тҥзуінде 1 нҥктесінен 1Н А Н кесіндісін қалдырады да А нҥктесін алады. Жайылған кҥйіндегі В нҥктесін 1-2 тҥзуде 1Н А Н кесіндісінің кӛмегімен тҧрғызады.

C, D және E нҥктелері бҥйір қабырғаларда орналасқан. Олар V және W проекцияларының жазықтығының натуралды шамасына жобаланған. Кӛрсетілген мысалда бҧл нҥктелер жайылған кҥйде кесілген RE = 5WEW және RD = 5VDV кесінділердің кӛмегімен салынған. С және Е нҥктелері 5 нҥктесінен бірдей қашықтықта орналасқан.

132

Егер қандай-да бір қабырғаларының кесінділері жалпы орынның тҥзуі болып және олардың проекциялары бҧрмаланып кӛрсетілген болса, онда ӛзімізге белгілі кез-келген тәсілмен натуралды шамасын анықтайды. Жайылған кҥйіндегі АЕ тҥзуіне приангуляция тәсілімен пирамиданың натуралды шамасы қосылған. Және де толық емес геометриялық денені жақсырақ кӛру ҥшін графикалық жҧмысқа толық емес пирамиданың аксонометриялық проекциясының қҧрылымы кіреді.

Тік дӛңгелек цилиндрдің (сур. 5.8, а) бҥйір бетінің жайылған кҥйі(сур. 5.8, б) тіктӛртбҧрыш болып табылады, оның бір А—12\ жағы шеңбер негізінің (2nR = nd) ҧзындығына ал екіншісі\АВ\ цилиндрдің биіктігіне тең. Мҧндай тіктӛртбҧрыштың сызбасын салып, оған екі шеңберді (цилиндрдің негізі) қосса , цилиндрдің толық жайылған кҥйін аламыз. Цилиндрдің жайылған кҥйін жақынырақ қҧруға болады, егер еркеше дәлдік қажет болмаса. Ол ҥшін негізінің шеңберін 12 тең бӛлікке бӛліп , оны дҧрыс 12бҧрышқа қосады 12,1,2... 11,12.

133

Бҧл ретте цилиндрдің бҥйір беті дҧрыс 12бҧрыштың призмасына ауыстырады. Содан соң призманың жайылған кҥйін қҧрады(сур. 5.5). 12 хорддан тҧратын тіктӛртбҧрыштың ҧзындығы nd ҧзындығынан кішірек болады, ӛйткені хорддың ҧзындығы доғаның ҧзындығынан аз. Сур. 5.8, b цилиндрдің бҥйір бетінің ішкі жағынан жайылған кҥйін кӛрсетеді. Цилиндрдің бҥйір бетіне тиесілі C нҥктесінің позициясы екі кезекті қҧрылыста анықталады. Алдымен \ 11 - DH кесіндісін ӛлшейді және оны 11-нҥктеден солға қарай қойады, себебі D нҥктесі 10 және 11-нҥктелерінің арасында орналасқан. Кесінді кӛлбеу жолмен кӛрсетілген.Содан кейін АВ нҥктесіне параллель (барлық цилиндрлардың негізі ӛзара параллель) D нҥктесінен тҥзу жҥргізеді де бҧл тҥзуден ирек сызықпен бейнеленген(сур. 5.8, б) кесінді шығарады

\CD\ = \CVDy\.

Егер де тік дӛңгелек конустың беткі жағын алып тастаса, онда бҥйір бетінің дӛңгелек сектор кҥйінде жайылған кҥйі шығады(сур. 5.9, б). Дӛңгелек секторының радиусы конус негізінің ҧзындығына тең болса, ал доға секторының ҧзындығы негіз шенберінің ҧзындығына тең.Шыңның бҧрышын мына формуламен есептейді: а = 180d/R, d — конус негізінің диаметрі; R — шыққан фигураның ҧзындығы. Конустың беткі жағының жайылмасына негіз шеңберінің суретін қосса, онын толық жайылмасын алады. Тік дӛңгелек конустың жайылған кҥйін салу оны жазылған дҧрыс 12бҧрышты пирамидаға негізделген. Жайылған кҥйінде (сур. 5.9, б) жіңішке сызықтармен конусқа енгізілген қабырғалары бейнеленген. Негіздің фронтальды AVKV проециясы және d негізінің диаметрі натуралды шама болып келеді(сур. 5.9, а), сондықтан оның жайылмасын келесі кӛрсетілгендей қҧрады. К нҥктесінен радиусы R = AVKV дӛңгелек секторлы доғаны салады. Жайылғанда шеткі генераторлары доға секторында 12 хордты салумен немесе а бҧрышын транспортир кӛмегі арқылы алады. Жайылғанда В нҥктесі КС негізінің қиылысу нҥктесі және п-ге параллель сияқты қҧрылған. Жайылған кҥйінде п параллелін қҧру ҥшін KVB'V кесіндісіне тең радиусы г доғаны салады.

134

сурет. Конустың қашауы: а

— эпюр;

б

— толық;

в

— қиық

Жайылмада КС негізін қҧру ҥшін, С нҥктесімен және доға секторының 1және 2 нҥктесінің арасындағы орнын тауып,оны 1CH доғаның сәйкес келетін кесіндісіне қалдырады. сур. 5.9, в қысқартылған конустың, яғни толық конусты горизонталь у дәрежесіндегі сызықпен бӛлгеннен кейінгі,жайылған кҥйін кӛрсетеді.

5.3.

ҚИЫЛЫСАТЫН ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ФИГУРАЛАРДЫҢ ҚАШАУЫ

Геометриялық фигураларды жазылған қҧрылысы қиылысу сызығын сызуды қамтиды, ол модельді жасау кезінде екі геометриялық корпустың қосылысының нақты орнын кӛрсетеді. Қиылысу сызығы қиылысатын геометриялық денелердің әрқайсысына тиесілі болғандықтан, олардың барлық бӛліктері жайылған кҥйінде тең болуы керек.

135

Саптама жасау кезінде барлық нҥктелер мен кесінділерді белгілеу ҧсынылады. Осы талаптарды орындау модельді дәл және нақты тҥрде жасауға кӛмектеседі.

5.3.1.

ҚИЫЛЫСАТЫН КӚП ҚЫРЛЫ ДЕНЕЛЕРДІҢ ҚАШАУЫ

Эпюрде (сур. 5.10, а) жайылмасын қҧруға қажетті тҥзу дҧрыс емес Л және Е призмаларының қиылысқан проекциялары және де негіздің,басқа да кесінділердің натуралды шамасын анықтау кӛрсетілген.Кесінділердің натуралды шамасын 2 — 3, 2 — 12, 5 — 13 анықтау айналдыру тәсілімен; ал 6 — 7 және 9 — С кесінділері жазықпараллельдің орнын ауыстыру арқылы жҥзеге асырылған. Е призмасына қиылысу сызықтарымен толық жайылмасы қҧрастырылған(сур. 5.10, б). Негіздің жайылмасы — сызық 11 — 12 — 3 — 2 — 11 мына кесінділерден тҧрады |11 — 12| = |11Н12Н|, 112 — 3| = = |12V3V|, |3 — 2| = |2V3V| және |2 — 111 = |2V11y|. Е призмасы тік болғандықтан,оның жайылмасында бҥйір қабырғалары негіздің жайылмасына перпендикуляр. Бҥйір қабырғасының натуралды шамасы В, С, D' және E нҥктелері қиылысу сызықтары бҥйір қабырғаларында орналасқан, тиісінше олардың жайылған кҥйіндегі қҧрылыс берілген(белгіленген кесінді \3 — С\ = \3НСН\). Жиекке тиесілі А нҥктесін қҧру ҥшін мына кесінділер қолданылған \2 — 8\ = \2y8'V\ және \8—А\ = = 8^^. D және E нҥктелері 4 — 15 және 3 — 12 жақтарына параллель сызықтарда орналасқан. Кесінділердің бірінші қасиетін пайдалану арқылы кесінді жасалды \DD' \ = \DVD’V\ және

\EE' \ = \EVEV|.

A призмасы қиылысу сызығымен шектеледі, сондықтан оның толық емес сызбасы қӛрсетілген (5.10-сурет, с). 13 — 14 — 5 — 6 — 7 — 13 сызықтары негіздің жайылмасы болып табылады. Натуралды шамасы 5 Л призмасына тиесілі В және С нҥктелерінің қҧрылысы,келесі кезекпен орындалған: 6 — А қабырғасында

136

а

5.10-сурет. Қиылысатын көп қырлы денелердің
жайылмасы:
а – эпюр; б – Е призмасы; в – Л призмасы

137

9 нҥктесінен 5 — в параллель 9-В сызығы және в-7ге параллель 9- с сызбасы жҥргізілгені табылған (|в — 9\ = \вН — 9Н. Содан соң |9—В\

= \9 — С\ = \9'V — C’V\ кесінділері қҧрылған.

Кесінділерді қҧруындағы соңғы қадам - E призмасы мен Л призманың жазылуына арналған қиылысу сызығының D '- D, D - B, B - A және басқа бӛлімдерінің теңдігін тексеру болып табылады.

5.11-сурет. Қиылысатын көп қырлы денелердің жайылмасы:
а – эпюр; б – призма; в – цилиндр

138

МЕН ЦИЛИНДРДІҢ ҚАШАУЫ

Қиылысатын призма мен цилиндрдің (сур. 5.11, а) жайылған кҥйі мына суретте кӛрсетілген 5.11, б и в. Геометриялық фигуралардың контурлары ортақ қиылысудың толық сызықтарымен, шеңбер доғасы, толық емес эллипс және екі тҥзу сызықтан қҧралған. Цилиндрдің жайылмасында шеңбер доғасы тҥзу 4-5, негіздің жайылған кҥйіне параллель және 1 нҥктеге симметриялы болып табылады.Кейбір тҥзудің кесінділері 4 — 5 тиесілінше эпюрде және жайылмасында белгіленген.Екі тҥзу 3 — 4 және 5 — 6 — бҧл цилиндрдің негізін қҧраушы кесінділер. 3, 2, А...6 нҥктелерінен, сондай-ақ басқа да аралық (белгіленбеген) нҥктелер арқылы жалпақ қисық сызықты ӛтеді - толық емес эллипсінің жайылған кҥйі. Призманың жазылған кҥйіне қиылысу сызбаларын қҧруды параллельді ауыстыру әдісін жҥзеге асырумен салыстыруға болады (5.4-суретті қараңыз, d). Тек осы мысалда V сызбасының жазықтық проекцияларының кесінділері 1 - 1 - симметрия сызықтары. Қҧрылымның қалған бӛлігі сызбада анық кӛрсетілген.

Шатырдың ҥлгісін пайдаланып, барлық жиектері бірдей кӛлденең жазықтықта орналасқан жайылымның қҧрылысын қарастырайық (4.23- суретті қараңыз). Шатырдың беткей бӛліктері тегіс болғандықтан, скважинаны қҧрастыру ҥшін триангуляция әдісін қолдану ҧсынылған (6-қосымшаны қараңыз). Кӛпбҧрышты сәулелер ҥшбҧрышқа бӛлінген. Барлық ҥшбҧрыштардың кӛлденең проекциясы нӛмірленген: 1, 2 ... 17, 18 (15 және 16-нан басқа, суретте жеткілікті кеңістік болмағандықтан). Ҥшбҧрыштың бҥйірлік проекциясы қҧрылған. Ҥшбҧрыштар қабырғаларының натуралды шамасын, жиектерін және жақтарын анықтау ҥшін айналдыру және жазықпараллельді жылжыту әдістерін қолданады ( 5.1.2 және 5.1.4 бӛлімін қараңыз). Жиектерінің натуралды шамалары 1 — 2, 2—3 және басқалары да горизонтальды проекциясы арқылы қабылданады. Конькидің натуралды шамасын Н та V да проекцияларының жазығында ӛлшеуге болады. 5.12б суретінде кӛпжиекті шатырдың 1 ҥшбҧрыштан басталған қҧрылысы кӛрсетілген.

139

1

5.12 сурет. Шатырдың қашауы: а

— эпюр;

б

— қашау

8Е жаққа ҥшбҧрыш 2 — A8EF қосылған, ал 7Е жаққа — ҥшбҧрыш 18

140

Бақылау сҧрақтары
6.№ 7 графикалық жҧмысты орынданыз(#10 қосымшаны қараңыз

141

6 Тарау

КӚЛЕҢКЕ ТЕОРИЯСЫНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

6.1.

ЖАЛПЫ ҚАҒИДАЛАР

Архитектуралық жобаларды жобалау кезінде жалпақ сызбаға кӛбірек айқындық беру ҥшін және екі ӛлшемді суретті кескінді қылу ҥшін кӛлеңкелерді қолданады. Кӛлеңке тек 3ші ӛлшемді ғана: жоспарда А объектінің h

A

биіктігі (сур. 6.1, а), 2 деңгейдің h

биіктігі (сур. 6.1, б) кӛрсетіп қоймай,сонымен қатар фасаддағы 1ші сӛренің пішіні де бар(сур. 6.1, б). Кӛлеңкелер жарық сәулелерімен жарықтандырылған кезде қалыптасады. 1.Кӛлеңкелердің қҧрылысында жарықтың екі тҥрі қолданылады: табиғи (сурет 6.2, а) және жасанды (сурет 6.2, б). Табиғи жарықта жарықтың кӛздері кҥн немесе ай болып табылады. Кҥн (ай) жарықтандырылған нысандардан шексіз ҥлкен қашықтықта болғандықтан, жарық сәулелері бір-біріне параллель болып, тікелей сызықты тҥрде таратылады деп болжауға болады. Осылайша, кҥн сәулесінің астында кӛлеңке салу параллель проекция болып табылады. Бҧл жарықтандыру тҥрі ғимараттардың ортогоналды, аксонометриялық және перспективті суреттеріне кӛлеңке салу ҥшін қолданылады. Жасанды жарықтандыру кӛздері (шам, факел, электр шам) жарықтандырылған объектіге жақын, сондықтан жарық нҥктеден келеді, және сәулелер кеңістіктегі тҥзу сызықтардың тҥйінін қҧрайды. Жасанды жарықтандыру нҥктелік жарықтандыру деп аталады, ал нҥктелік жарықтандырудағы кӛлеңкелердің қҧрылысы орталық проекция болып табылады. Интерьердің перспективалық суреттерінде кӛлеңкелер назар аударылады. Кӛлеңкелер теориясының негізгі міндеті осы объектінің (геометриялық дене, объект, ғимарат) меншікті және қҧлайтын кӛлеңкелерінің сызбаларын сызу бойынша әрі қарай жобалау болып табылады.

142

1 Жарық сәулелері қҧлаған объектінің бӛлігі жарықтандырылған. Қарама-қарсы жағында, жарық тҥспеген жағдайда, объектінің беті кӛлеңкеде 3 болады (6.3-сурет). Объектінің беткі жағында орналасқан кӛлеңкелер меншікті деп аталады. Объектінің проекция жазықтықта, сондай-ақ бірқатар объектілердің бетіне тҥсіретін кӛлеңкелері қҧлдырау деп аталады. 4 кӛлеңкелі кӛлеңке тек объектілердің беттерінде және жарықтандырылған ҧштарда болуы мҥмкін (6.3-сурет). Ӛз кӛлеңкесінің 2-жоспары – объектібетінің жарықтандырылған бӛлігі мен объектінің бір бӛлігі ӛз кӛлеңкесіндегі шекара болып табылады. 5-қҧлау кӛлеңкесінің контуры - тҥсіп жатқан кӛлеңкені шектейтін жел. Ӛзінің кӛлеңкесінің контурының әрбір нҥктесіне қарай кӛлеңкеден тҥсетін контурдың А нҥктесіне сәйкес келеді.

а б

Сурет. 6.1. Кӛлеңке ҥлгілері: a - жоспарбойынша: А, В - объектілер; hA, hs - кӛлеңкедіңұзындығы; б - фасадта: 1 - жартылайцилиндрлікбояу; 2 - орын; h - кӛлеңкетереңдігі (орны)

Сур. 6.2.Жарықтың тҥрлері: а

— табиғи;

б

— жасанды

Сурет. 6.3. Жалпы ережелер: 1 - жарықсәулелері; 2 - жекеменшік- кӛлеңкежоқ; 3 - ӛзкӛлеңкеден; 4-па- кӛлеңкеберу; 5 - құлайтынкӛлеңкедіңконтуры

143

Осылайша, қҧлаған кӛлеңке контуры ӛз кӛлеңкесінің контурының кӛлеңкесі болып табылады. Суреттерді жасаған кезде қҧлдырау кӛлеңкелері қараңғы кӛрінеді (6.1, b, 6.3 жәнет.б. суреттерді қараңыз). Ортогоналды сызбалардағы кӛлеңкелердің қҧрылысы параллель жарық сәулелерімен орындалады. Жарық сәулелерінің бағыты текшедің диагоналына параллель болуы керек, оның екі беті проекциялардың негізгі жазықтықтарымен соқтығысу керек. Суретте. 6.4, кубтың диагоналі жоғарғы сол жақ бҧрышынан ӛтіп, жарық кӛзінің орналасуына жарықтандырылған нысанның сол жағына сәйкес келеді. Жарық кӛзінің басқа жері болуы мҥмкін.

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ

(ПІШІНДЕРДІҢ) ОРТОГОНАЛЬ

СЫЗБАЛАРДАҒЫ КӚЛЕҢКЕЛЕРІ

6.2.1.
Жарық сәулелерінің бығыты және олардың проекциялары

Кубдиагоналінің бетіндегіпроекциясы – куббетінің диагональдары. Кубтың беті квадрат болғандықтан, жарық пучкаларының әрқайсысы x, y және z бҧрыштарының 45 осьтерімен жасалады: lH – жарық сәулесінің кӛлденең проекциясы; lV – жарық сәуленің алдынғы проекциясы;

Z

lW – бҧл жарық сәулесінің профильді проекциясы (6.4, b).

а б

Сур.
6.4. Жары

қ с ә

улесі: а

бағыт; ; б

— проекциялар

144

6.2.2.
Нҥкте кӛлеңкесі

AT нүктесінің кӛлеңкеден (сурет 6.5, a) - А нүктесінен ӛтетін жарық сәулесінің қиылысу нүктесі (проекциялық жазықтық) (геометриялық корпустың кез келген жазықтығы немесе беті).

Нҥктенің кӛлеңкесін жасау кезінде келесі ережелерді білуіңіз керек:

беймәлім (бар емес) қҧлайтын кӛлеңке - жарық сәулесінің жолында екінші болып табылатын проекциялар жазықтықтағы жарық сәулесі ізі.

Сур. 6.5. Нҥктенің кӛлеңкесі: а

— тҥсініктеме;

b, d - жобалардыңпроекцияларынақарайорналасуынабайланысты; c - 3D моделініңсызбасы

145

Суретте. 6.5, жарық сәулесі l нҥктесінде (АТУ) фронтал жазықтықты қиып ӛтеді - бҧл жарық сәуленің алдыңғы жолына сәйкес келетін A нҥктесінің кӛлеңкесінің алдынғы проекциясы. Диаграмманы қалыптастыру нәтижесінде (6.5, b-суретті қараңыз) нҥкте (AJV проекциясының осьінен тӛмен орналасқан, ал екінші проекция - нҥкте (ATH) - проекциялардың осінде орналасқан. Диаграммада нҥктенің кӛлеңкесінің екеуі де (ATN және ATV) қҧрылады, бірақ келесі сызбаларда проекция осінде орналасқан нҥкте кӛлеңкесінің проектісі кӛрсетілмейді. Суретте 6.5, d проекциялардың фронтал жазықтығына жақын B нҥктесінің нақты BT және виртуалды (BT) кӛлеңкелерінің қҧрылысын кӛрсетеді. Нҥктенің жалпы кӛлеңкесі жазықтықта орналасса, проекциялық жазықтықтардың индексі (H немесе V) қолданылады. Осылайша, сызбаларда мынадай белгілер қолданылады: АТ нҥктенің нақты кӛлеңкесінде; (АТ) - кӛлденең немесе кӛрінбейтін кӛлеңкелі нҥкте. Терминологиядағы «проекция» сӛзі әдетте қабылданбайды.

Кӛлеңкелерді жасау тәжірибесінде нҥктенің кӛлеңкесі тек проекциялардың жазықтықтарында ғана емес, сонымен қатар басқа жазықтарда немесе геометриялық органдарда болатын проблемалар бар. Жарық сәулесі тҥзу сызық болғандықтан, нҥктенің кӛлеңкесі қҧрылыстарды немесе геометриялық корпустары бар тік сызықтың (сәуленің сәулесінің) қиылысу нҥктесін анықтау мәселесін азайтады. Белгілі болғандай, бҧл мәселе қосалқы секанттың жазықтық әдісімен шешіледі (4.2.2 және 4.5 бӛлімшелерде егжей-тегжейлі сипатталған).Кӛлеңкелі теорияда қосалқы секантикалық жазықтық сәулелі жазықтық деп аталады.Суретте. 6.6 тармағында жалпы жағдайы жазықтықта (кӛлбеу жазықтық, шатыр тӛбесі) С нҥктесінің кӛлеңкесінің қҧрылысы кӛрсетілген. а б

Сурет. 6.6. Жалпынҥктеніңжазықтықта C нҥктесінің кӛлеңкесі:
a - кеңістіктікмодельдісызу; b - диаграмма

146

б

Сурет. 6.7. нҥктенің Кӛлеңкесі:
a – жобаланған жазықтықта; b – кӛлденең жазықтықта; в - цилиндрде:

l

жарық сәулеcі берілген жазықтықты l

– 2 тҥзуі бойынша қиятын кӛлденең жобаланған т жазықтықта аяқталады. С нҥктесінің кӛлеңкесі тҥзумен тҧрғызылған және жарық сәулесінің қиылысының нҥктесі ретінде анықталады (суретті 6.6,а қараңыз):

С

Т

= l п
(1 — 2).

Жобаланған жазықтықта (мысалы, қабырға немесе оның бӛлігі) нҥктенің кӛлеңкесін тҧрғызу суретінде 6.7, а кӛрсетілген (ҧқсас тҧрғызулар 4.6 суреттен қараңыз):

А

берілген кесінді арқылы ӛтететін сәуле жазықтығы (із) мен кӛлеңке тҥсірілетін сол жазықтық немесе беттің қиылысу сызығы болып табылады (сурет 6.8).

147

Кесінді кӛлеңкесін тҧрғызу ҥшін оның екі нҥктесінің бір және сол кескін жазықтығында (кез келген жазықтық) жобасын жасау керек. Эпюрде (сурет 6.8, б) жалпы жағдайдағы АВ тҥзуінің кесіндісі А және В нҥктелерінің шын мәнінде тҥскен кӛлеңкелері тҧрғызылған.

Сурет 6.8. Жалпы жағдайдағы тҥзу кесіндісінің кӛлеңкесі: а

— кеңістік моделінің сызбасы;

б

— эпюр

Сурет 6.9. Тҥзу кесіндісінің кӛлеңкесін екі жазықтықта тҧрғызу нҧсқалары: а

— кеңістік моделінің сызбасы;

б

— жалған кӛлеңке кӛмегімен;

в

— берілген тҥзудің ізі кӛмегімен

148

Кесіндінің екі ҧшының кӛлеңкелері кескіннің бір жазықтығында жатады, демек, кесінді ҧштарының кӛлеңкелерін қосатын

А

Т

В

Т

тҥзуі АВ кесіндісінің кӛлеңкесі болады.

Тҥзу кесіндісінің ҧштары әр тҥрлі жазықтыққа нақты тҥсетін кӛлеңкелер тҥсіргенде (сурет 6.9, а), тҥзу кӛлеңкесі сынады, ал кӛлеңкенің сыну нҥктесі жазықтықтың қиылысу сызығында орналасады. Кӛлеңке тҧрғызылуы мен сыну кӛлеңкесінің

1

нҥктесін анықтаудың екі нҧсқасын қарастырамыз.

Суретте 6.9, б жалған кӛлеңкені қолданған нҧсқасы кӛрсетілген. С нҥктесінің кӛлеңкесі

V

кескінінің жазықтығында жатқандықтан, D нҥктесінің жалған кӛлеңкесін тҧрғызады.

C

T

T

К нҥктесінің кӛлеңкесі L нҥктесі кӛлеңкесімен бір жазықтықта орналасады;

K

T

L

T

KL

кесіндісінің кӛлеңкесі кесінді перпендикуляр жазықтықта жарық сәулесі кескінімен сай келеді:

K

T

L

T

= l

V

149

Сурет 6.10. Тҥзу кесіндісінің кӛлеңкесі: а

— деңгейдің;

б

V

кескіннің перпендикуляр жазықтығының; в

Н

кескіннің перпендикуляр жазықтығының

Суретте 6.10, в

MN

кесіндісінің кӛлеңкесі кӛрсетілген .

Кесінді ҧштарының кӛлеңкелері әр тҥрлі жазықтықта орналасты. Кесінді Н кескінінің жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, оның кӛлеңкесі осы жазықтыққа жарық сәулесінің кӛлденең кескінімен сай келеді: NjC

T

= l

H

.C

T

нҥктесі – кӛлеңкенің сыну нҥктесі.

СМ

кесіндісі кескіннің фронтальды жазықтығына параллель орналасқан. Ережені қабылдай отырып, аламыз:

С

Т

М

Т

// C

V

M

V

C

T

нҥктесі арқылы кері жарық сәулесінің кескіні келтірілген (нҧсқармен тағайындалған). Осындай тҧрғызу кӛмегімен белгілі нҥкте кӛлеңкесі бойынша кӛлеңке тҥскен нҥктенің кескінін анықтауға болады. Кері жарық сәулесі әдісі 6.3 бӛлімшесінде нақтырақ қарастырылған. Кӛлеңкені кӛлденең жобаланған тҥзумен (тҧрба қабырғасы, антенна сырығы) кӛлбеу жазықтыққа (сурет 6.11, а) тҧрғызу кезінде екі есеп шешіледі; біріншіден, жазықтыққа тҥзудің кірекесуінің А нҥктесі анықталады (сурет 4.17, а ҧқсас), сонымен т

Н

ізі жарық сәулесінің

1

Н

кӛлденең кескініне параллель сызылады; екіншіден, В нҥктесінің кӛлеңкесі жалпы жағдайдағы жазықтығына жобаланады (С нҥктесінің кӛлеңкесі сурет 6.6 қараңыз). Жоғарыда атап кеткендей, кӛлбеу жазықтықта кӛлеңкенің екі кескіні кӛрсетіледі. Сызбада тҥзудің кӛлеңкесі берілген жазықтық пен сәуленің қиылысу сызығының кескінімен сай келетіні кӛрініп тҧр. АВ тҥзуі Н кескіні жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, оның кӛлеңкесі жарық сәулесінің кӛлденең кескінімен сай келеді. Суретте 6.11, б қабырғаның вертикалды жазықтығына, іргенің кӛлбеу және вертикалды жазықтығына жобаланған тҥзудің кӛлденең кӛлеңкесі кӛрсетілген.

150

V

кескіні жазықтығына кӛлеңке ірге мен жарық жазықтығының қиылысу сызығының кескінімен сай келеді. Кӛлеңкенің сызбасы

1

2

3

4

сызығын қайталайды ,

әйтпесе оны солға бҧрылған қабырғаның профилі деп атайды.

АВ және ВС тҥзулерінің кӛлеңкесі (жеке жағдайда) цилиндрдің бетінде кӛрсетіледі (сурет 6.12, а). Н кескінінің жазықтығына перпендикуляр АВ тҥзуі кӛлеңкесін осы жазықтыққа және цилиндрдің бҥйір жағына тҥсіреді.

Сурет 6.11. Тҥзу кесіндісінің кӛлеңкесі: а

— кӛлбеу жазықтыққа;

б

— іргеге (цоколь)

Сурет 6.12. Жеке жағдайдағы (а) және жалпы жағдайдағы (б) цилиндрдегі тҥзу кесіндісінің кӛлеңкесі

151

Цилиндрдегі АВ тҥзуінің кӛлеңкесі т сәуле жазықтығы мен цилиндрдің, яғни п жасаушымен қиылысу сызымен сәйкес келеді. ВС тҥзуі арқылы ӛтетін ф сәуле жазықтығы толық емес эллипс бойынша цилиндрдің бҥйір жағын қияды. ВС тҥзуінің цилиндрге тҥскен кӛлеңкесі сәуле жазықтығының ізімен сай кескін жазықтығына осы сызықтың аймағын кӛрсетеді (жарық сәулесінің l

V

фронтальды кескінімен).
С нҥктесі кӛлеңкесін цилиндрдің очеркті жасаушысына тҥсіреді.
Суретте 6.12, б жалпы жағдайдағы цилиндрдегі

EF

тҥзуінің кӛлеңкесі кӛрсетілген.

F

нҥктесі кӛлеңкесін цилиндрдің жоғарғы табанына тҥсіреді.

EF

тҥзуінің кӛлеңкесін тҧрғызу ҥшін табанында А нҥктесі қолданылған. Сонымен қатар кӛлеңкенің сыну нҥктесі табылған (эпюрде -

С

ТН

и C

TV

кескіндері). Е нҥктесінің кӛлеңкесі кӛрінбейтін болғандықтан, кӛлеңкенің кӛріну ӛзгеріс нҥктесін табу керек. Кӛріну ӛзгерісінің нҥктесі очеркте орналасатыны белгілі. Бҧл нҥктені тҧрғызу ҥшін В нҥктесінің кескінін анықтайды (Н кескіні жазықтығына жобалау бағыты бағдармен кӛрсетілген.

6.2.4 Жалпақ пішіндердің кӛлеңкелері Жалпақ пішіндер мӛлдір емес болып саналады. Жалпақ пішіндер кӛлеңкесі олардың пішініне және кескін жазықтығына қатысты орналасуына тәуелді. Жалпы жағдайда, жазық фигураның кӛлеңкесін тҧрғызу ҥшін олардың тҥзу немесе қисық сызықтарымен кезекті байланысымен олардың нҥктелерінің кӛлеңкелерін табады. Егер жазық фигура кескін жазықтығымен параллель болса, онда оның кӛлеңкесі кескіннің осы жазықтығында берілген жазық фигурамен ҥйлесімді (ҧқсас және тең). Расымен де, тіктӛртбҧрыш V кескіні жазықтығымен параллель болғандықтан, тіктӛртбҧрыштың фронтальды кескіні табиғи ӛлшем бірлік болып табылады (сурет 6.13, а). Тіктӛртбҧрыштың

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

кӛлеңкесі оның фронтальды кескінімен тең. Кӛлеңкенің пішінделуіне назар аударыңыз: кескіннің жату шегінде оның кӛрінбейтін бӛліктері штрихты сызықпен сызылған. Кескін жазықтығына параллель шеңбер кӛлеңкесі тҧрғызуы оның центрінің кӛлеңкесін анықтаудан басталатын шеңбер тҥрінде болады (сурет 6.13, б).

V кескіні жазықтығына перпендикуляр тіктӛртбҧрыштың кӛлеңкесі

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

параллелограммды кӛрсетеді. V кескіні жазықтығына перпендикуляр

1

2

және

3

—4 жақтарының кӛлеңкесі жарық сәулесінің фронтальды кескінімен сай келеді.

Жазықтыққа параллель 2 – 3 жағы кӛлеңкені ӛз ӛзіне параллель тҥсіреді (сурет 6.14, а).

152

Сурет 6.13. Кескін жазықтығына параллель орналасқан Жалпақ пішіндер кӛлеңкесі: а

— тіктӛртбҧрыштың;

б

— шеңбердің

Сурет 6.14. Кескін жазықтығына перпендикуляр орналасқан Жалпақ пішіндер кӛлеңкесі: а

— тіктӛртбҧрыштың;

б

— шеңбердің

V кескіні жазықтығына перпендикуляр шеңбердің кӛлеңкесі эллипс болады және сипаттық нҥктелермен тҧрғызылады. Суретте 6.14, б жарты шеңбердің кӛлеңкесі толық емес эллипс тҥрінде кӛрсетілген. 2 және 4 сипаттық нҥктелері х осіне 45° бҧрышпен орналасқан сызық кӛмегімен анықталады; 3 нҥктесі – х осінен ең қашықтықтағысы. Жазық фигуралар кӛлеңкелерін басқа жазықтыққа тҧрғызу, соның ішінде кескін жазықтығы да, алдыңғы сипатталған мысалдармен ҧқсас орындалады.

153

6.2.5 Геометриялық денелердің кӛлеңкелері Геометриялық денелердің кӛлеңкелерін тҧрғызу олардың пішіндеріне, кеңістікте орналасуына тәуелді және келесі келтірілген алгоритмдер бойынша орындалады.

Призма, параллелелипипед, цилиндрдің көлеңкелерін тұрғызу алгоритмі:

тҥсірілген және кӛрінетін меншікті кӛлеңкелердің кескіндерін жасайды. Эпюрде т

Н

іздері, геометриялық денелердің кескіндеріне қатысты

Т

Н

и ф у жарық жазықтықтары кӛмегімен призманың қырларын (сурет 6.15, а) және цилиндрдің тӛбелерінің бӛліктерін (сурет 6.15, б) анықтайды. Жарық сәулесі кескіні кескініне бағытталған призманың қырлары жарықтандырылған. а б

Сурет 6.15. Геометриялық денелер кӛлеңкелері: а

— параллелепипедтің;

б

— цилиндрдің

154

Меншікті кӛлеңкенің сҧлбасы призманың жарықтандырылған қырларының және меншікті кӛлеңкесінде орналасқандар арасындағы шекара ретінде

1

— 2,

2

3, 3

4

и

4

5

қабырғалар бойынша кӛрсетілген кескіндер ӛтеді. Меншікті кӛлеңкенің сҧлбасының әр нҥктесінен тҥсірілген кӛлеңкені тҧрғызып және осы нҥктелерді қосып

1

T

2

T

3j4

T

5

T

тҥсірілген кӛлеңкенің сҧлбасын алады. Призманың қырлары жобаланған орынды алатын болғандықтан, меншікті кӛлеңкесі оларға кӛрінбей тҧрады, сондықтан эпюрде (суретті 6.15, а қараңыз) тек тҥсірілген кӛлеңке жасалған.

Цилиндрдің меншікті кӛлеңкесінің сҧлбасы (сурет 6.15, б)

1

— 2 кӛрінетін жасаушы арқылы, содан соң

2

3—4

жоғарғы табанның доғасы және

4

—5 кӛрінбейтін жасаушы арқылы ӛтеді. т

Н

, тН іздеріне қатысты

1

Н

және

5

Конус, пирамиданың көлеңкелерін тұрғызу алгоритмі:

155

а

1н=1т б

Сурет 6.16. Геометриялық денелер кӛлеңкелері: а

2

Н

және

2

Н

3

Н

тҥзулері Н кескіні жазықтығында пирамиданың меншікті кӛлеңкесінің кескіні болып табылады. Кескіннің фронтальды жазықтығында

1

V

2

V

меншікті кӛлеңкесі сҧлбасының мен —

3

V

— 2

V

Н

1

Н

кіші

156

секторы. Меншікті кӛлеңкенің фронтальды кескіні –

1

V

2

V

тҥзуі мен очеркті жасаушы арасындағы ҥшбҧрыш. Конустың тҥсірілген кӛлеңкесі Н кескіні жазықтығында жатады. Геометриялық дененің табаны кескіннің жазықтығында орналсақан жағдайда, меншікті және берілген кӛлеңкелердің пішіндерінің табан жазықтығына жататын жанасудың ортақ нҥктелері бар (сурет 6.15 және 6.16 қараңыз). Сонымен қатар меншікті және берілген кӛлеңкелер табанның бӛліктерін шекаралайды.

6.3.

КЕРІ ЖАРЫҚ СӘУЛЕСІ ТӘСІЛІ

Кӛлеңкені бір заттан басқасына тҧрғызған кезде келесідей болатын кері жарық сәулесі тәсілін қолданады:

AABC

жазықтығына

DE

кесіндісінің тҥсірілген кӛлеңкесін тҧрғызу керек болсын (сурет 6.17, а). Алгоритмге сай Н жазықтығына

AA

T

BjC

T

берілген жазықтығының және

D

T

E

T

кесіндісінің тҥсірілген кӛлеңкесі тҧрғызылған.

DE

кесіндісінің кӛлеңкесі

N

T

және

К

Т

нҥктесіндегі

АВ

және

ВС

жақтарының кӛлеңкесін қияды.

N

T

және

К

Т

нҥктелері арқылы l

кері жарық сәулесі жҥргізілген (бағдарлары кері бағытта кӛрсетілген).

N К

тҥзуі —

AABC

жазықтығына

DE

кесіндісінің кӛлеңкесі.

B

v

N

v

Сурет 6.17. Кері жарық сәулесі тәсілі: а

— кеңістік моделі сызбасы;

б

— эпюр

б

157

N

және

К

нҥктелері
кӛлеңкенің жоғалу нүктелері
деп аталады. Расымен де, бҧл нҥктелерде

AABC

жазықтығында

DE

кесіндісінің кӛлеңкесі жоғалады және

EN

және

KD

кесінділері кӛлеңкесін Н жазықтығына тҥсіреді.
Суретте 6.17, б ҧқсас есептің шешімі эпюрде кӛрсетілген.

MN

кӛлеңкелер мен 123 ҥшбҧрышының 1 – 2 жағының қиылысу нҥктесі –

С

Т

нҥктесі —

V

кескіні жазықтығында орналасады.

MN

кӛлеңкелер мен 123 ҥшбҧрышының 2 – 3 жағының қиылысу нҥктесі –

В

Т

нҥктесі —

Н

кескіні жазықтығында орналасады.

A123

жазықтығында

MN

тҥзуі кӛлеңкесінің

В'

және

С

жоғалу нҥктелері, сондай ақ,

В

и

С

нҥктелерінің кескінін жасау кері жарық сәулесі тәсілімен орындалады. Кері жарық сәулелердің кескініне бағдарлар кӛлеңкенің жоғалу нҥктелерін жобалау бағытын кӛрсетеді.

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕР ТОБЫНЫҢ

КӚЛЕҢКЕЛЕРІ

Геометриялық денелер кӛлеңкелерін тҧрғызу кезінде, олардың ӛзара орналасуы есепке алынады. Жарықтандыру кӛзіне жақын орналасқан геометриялық денелер кӛлеңкелерін олардың оң немесе сол жағында орналасқан геометриялық денелер бетіне немесе жазықтыққа тҥсіреді. Кӛлеңкелерді жобалағанда геометриялық денелер кӛлеңкелерін тҧрғызу алгоритмін, сонымен қатар 6.2 және 6.3 бӛлімшелеріндегі кӛлеңкелер теориясы заңын, ережелерді және әдістерін қолданады. Геометриялық денелер тобының кӛлеңкелерін тҧрғызу мысалы қосымшада 8 келтірілген (сурет П8.8). Пирамида кӛлеңкесінің сҧлбасын анықтай отырып, пирамида тӛбелерінің табаны жазықтығындағы кӛлеңкесін табу ҥшін

1

параллелепипедтің жоғары жазықтығының фронтальды кескінін ҧзарту керек. Нҥкте (А

Т

1

параллелепипедтің жоғары жазықтығының кӛлденең кескіні шегінен тыс жатқанда пирамида тӛбелерінің жалған кӛлеңкесі болып табылады. А нҥктесінің нақты тҥсірілген кӛлеңкесі Н кескіні жазықтығында болады.

Е'

нҥктелерінде жоғарғы және тӛменгі цилиндрдің тҥсірілген кӛлеңке сҧлбалары қиылысады. Тҥсірілген кӛлеңкелердің қиылысу нҥктесі кӛлеңкенің жоғалу нҥктесінің кӛлеңкесі болып табылатынын біле отырып, басқа қабылдаумен тӛменгі цилиндрдің меншікті кӛлеңкесі сҧлбасында кӛлеңкенің жоғалу нҥктесінің кескінін тҧрғызуға болады.

7

Т

нҥктесі арқылы х осіне дейін жобаланған байланыс сызығын жҥргізуге болады. Содан соң кері жарық сәулесінің l'

V

фронтальды кескінін тӛменгі цилиндрдің меншікті кӛлеңкесі сҧлбасына дейін сызамыз және 7' нҥктесін алады.

6.5.

АРХИТЕКТУРАЛЫҚ ПІШІНДЕРДІҢ КӚЛЕҢКЕЛЕРІ

Архитектуралық пішімдер кӛлеңкесін тҧрғызуда бастысы – бҧл олардың кӛлеңкелері сҧлбасын дҧрыс анықтау, тҥсірілген кӛлеңкелер тҧрғызу керек беттер мен жазықтықтарға қатысты меншікті кӛлеңкелер сҧлбасының сызығын және нҥктелер орналасуын талдау жасау. Сонымен қатар, бҧрын қарастырылған ережелерді қабылдаған жӛн, және де жанында орналасқан заттан кӛлеңке тҥсетін кӛлемдермен сәуле жазықтығының қиылысу сызығының кескінін тҧрғызу.

Текшелердегі (ниша) көлеңкелер . Суретте 6.19 қабырғалардағы ойықшалар мен текшелердегі кӛлеңкелер, сынған жермен сызықпен шектелген фронтальды кескіндер кӛрсетілген (ары қарай шектеу кӛрсетілмеген). Қабырға қырлары толықтай жарықтандырылған, текше қырлары мен беттері бірең-сараң жарықтандырылған немесе меншікті кӛлеңкесінде орналасады. Эпюрлерде (сурет 6.19, а, б) текшенің меншікті кӛлеңкесінің сҧлбасы кӛрсетілген. Бҧл сҧлбалар (тҥзу сызықтар, шеңбер доғалары) кӛрінетін тҥсірілген кӛлеңке тҥсіретін текшенің артқы қырларына параллель орналасқан. Тҥсірілген кӛлеңке сҧлбасын тҧрғызу ҥшін сипаттық нҥктелер (2

Т

3

Т

) кӛлеңкесін табу және меншікті кӛлеңке сҧлбасын қайталайтын сызықтар сызу жеткілікті. Жабық жарты цилиндрлік текше цилиндрдің ішкі тӛбесін кӛрсетеді (сурет 6.19, в). Меншікті кӛлеңке сҧлбасы 2 – 3 қабырғасы және 1 – 2 жасаушысы арқылы ӛтеді. 1 – 2 жасаушысының кӛлеңкесін тҧрғызу цилиндрдің сыртқы бетіне кӛлеңке тҧрғызуға ҧқсас орындалады (сурет 6.12, а). 2 – 3 қабырғасының кӛлеңкесі 45° бҧрышпен иілген сәуле жазықтығы мен жарты цилиндрдің қиылысу сызығы ретінде эллипстің бӛлігін кӛрсетеді. Оның кескіндері – радиусы цилиндр табанының радиусына тең шеңбер доғасы.

160

Сурет 6.19. Текшедегі кӛлеңке ... тҥрінде: а

— параллелепипед;

б

— жарты шеңбер аркасы;

в

— жабық жарты цилиндр;

г

— ашық жарты цилиндр

Сонымен 2 нҥктесінің кӛлеңкесін тҧрғыза отырып,

4

V

нҥктесінде центрмен

R

радуисы арқылы шеңбер доғасын салады.

2

3

доғасының кӛлеңкесін қабырғадағы ашық жарты цилиндрлік текше бетіне нҥктелер бойынша тҧрғызады (сурет 6.19, г). Ішкі цилиндрде тҥсірілген кӛлеңкеден басқа меншікті кӛлеңке кӛрінеді.

Тік босатпа (раскреповка) көлеңкесі . Тік босатпа артқы қыры қабырға жазықтығымен сай келетін параллелепипедті кӛрсетеді (сурет 6.20). меншікті кӛлеңке сҧлбасы

2

3 және 3

—4 қабырғалары бойынша ӛтеді. 2 нҥктесі Н кескін жазықтығына тәуелді («жерге» десе де болады); 2 нҥктесінің кӛлеңкесі ӛз нҥктесінде:

2

Н

= 2

Т

4 нҥктесі қабырғаға тәуелді, демек, оның кӛлеңкесі де қабырғада орналасқан:

4

V

= 4

Т

161

2—3 қабырғасы кӛлеңкесін жерге тҥсіреді. Одан ары, жер мен қабырғаның қиылысу сызығында сына отырып, кӛлеңке 2 – 3 қабырғасына қабырға бойынша параллель орналасады. Қабырғаға перпендикуляр 3 – 4 қабырғасы жарық сәулесі фронтальды кескінімен сай келетін кӛлеңкесін тҥсіреді.

Ернеу (карниз) кӛлеңкелері . Суретте 6.21 қабырға жазықтығына қатысы бойынша оны шығару ӛлшем бірлігінен (В) тәуелді схемаланған ернеу кӛлеңкелерінің ҥш варианты кӛрсетілген. Барлық жағдайда меншікті кӛлеңкесінің сҧлбасы 1 – 2 және 2 – 3 тӛменгі қабырғалары бойынша ӛтеді. Егер ернеу шығару оңға да, солға да бірдей (сурет 6.21, а) болса, онда 2 нҥктесінің кӛлеңкесі қабырғаның екі жазықтығының қиылысу сызығында болады.

Сурет 6.20. Тік босатпа кӛлеңкесі:

1

— қабырға қырының кӛлденең кескіні

Сурет 6.21. Схемаланған ернеу кӛлеңкесі және шығаруға байланысты кӛлеңкенің тереңдігі: а

— оңға және солға бірдей болғанда; б,

в

— оңға және солға әр тҥрлі;

В

— ернеу шығару ӛлшемі; В

т

— кӛлеңке тереңдігі

162

Басқа жағдайда (сурет 6.21, б) ернеу шығару алға солға шығарудан гӛрі кӛбірек. 2 нҥктесінің кӛлеңкесі қабырғаның алдыңғы қырында болады. Осы қырда ернеу екі қабырғасының тҥсірілген кӛлеңкесі тҧрғызылған. Суретте 6.21, в алға ернеу шығару солға ернеу шығарудан аз екенін кӛреміз. 2 нҥктесінің нақты тҥсірілген кӛлеңкесі қабырғаның сол жақ қырында орналасады және қабырға қыры жобаланған болғандықтан кӛрінбейді. Егер алдыңғы қабырға қыры ойша ҥлкейтсе, онда 2 нҥктесінің жалған кӛлеңкесін тҧрғызуға болады және қабырғаның алдыңғы қырына тҥскен 2 – 3 қабырғасы кӛлеңкесінің сҧлбасын анықтау ҥшін (2

Г

) нҥктесін қолдануға болады.

Барлық жағдайда кӛлеңке тереңдігі қабырға қырының алдына ернеу шығару ӛлшем бірлігіне тең.

Кҥнқағар (козырек) кӛлеңкесі . Кҥнқағардың жоғарғы, алдыңғы және бҥйір сол жақ қырлары параллелепипед тҥрінде (сурет 6.22, а) жарықтандырылған. Тӛменгі және оң жақ бҥйір қырлары меншікті кӛлеңкесінде орналасады. Осындай кҥнқағардың меншікті кӛлеңкесі сҧлбасы

1

2

3

4

5

кеңістікті сынған сызықты кӛрсетеді. Кҥнқағардың барлық қабырғалары жеке жағдайды алады. 1 және 5 нҥктелерінің кӛлеңкелері нҥктелермен сай келеді және қабырғада орналасады. 2, 3, 4 нҥктелерінің кӛлеңкелерін сала отырып және оларды қосып, кҥнқағар кӛлеңкесін алады. Жарты цилиндрлі кҥнқағардың жоғарғы табаны (сурет 6.22, б) және оның тӛбесінің ¾ бҥйірі (сол жақтан) жарықтандырылған. Бетінің (оң жақтан) бӛлігі және тӛменгі табаны ӛзінің кӛлеңкесінде орналасады.

U

V

=(5

V

)=5

T

Сурет 6.22. Кҥнқағар кӛлеңкесі: а

— параллелепипед тҥрінде;

б

—жарты цилиндр тҥрінде

163

4 – 5 жасаушысы кӛлеңкесін тҥзу тҥрінде тҥсіреді, ал шеңбер доғасы – нҥктелер арқылы жасайтын эллипс бӛлігі тҥрінде.

Баспалдақтағы кӛлеңкелер . Баспалдақтағы кӛлеңкелерді қоршаудан немесе басқа да сондай элементтерден тҧрғызады. Баспалдақтағы қоршау кӛлеңкесінің екі нҧсқасы қарастырылған (сурет 6.23). Тҥсірілген кӛлеңке сҧлбасы меншікті кӛлеңке сҧлбасы мен баспалдақтар орналасуына байланысты, бірақ тҧрғызу қағидасы сол біреу болады. Қоршаудың 1 – 2 тік қабырғасы кӛлденең жобаланған т жазықтығында аяқталады және баспалдақпен n

сызығын солға бҧрылған сатылар профилі деп атауға да болады. 2 тӛбесінің кӛлеңкесі сызықпен жарық сәулесінің қиылысу нҥктесі ретінде екінші басқыштың басқышастында орналасады (сурет 6.23, а). Кӛлеңкенің фронтальды кескіні –

2

Т

Сурет 6.23. Кіреберіс қоршауының кӛлеңкесі: а

— бірінші вариант;

б

— екінші вариант

164

В нҥктесінің кӛлеңкесі (сурет 6.23, б) екінші баспалдақтың басқышында орналасқан және оның

В

Т

кӛлденең кескіні кӛрсетілген.

Басқышқа иілген қоршау кӛлеңкесін салу кезінде баспалдақ қабырғасына кӛлеңке тҥсіретін нҥктелер кескіндерін анықтау керек. Қосымшада 8 (сурет П8.9) байланыс сызығының және кері жарық сәулесінің профильді кескініндегі бағдарлар салудың осы қабылдауын кӛрсетеді.

Сәулет қиындыларының кӛлеңкелері
. Пішіннің кӛрінісі бойынша ажыратылатын сәулет бӛлшектері
қиындылар

деп аталады. Қиындылар ғимарат қабырғалары алдынан бірдей шығаруға ие, сондықтан кӛлеңке салуда қабырға бҧрышы пішінін қолдануға болады. Жай қисықсызықты қиынды – белдік – қиылысуда жарты шеңбер болады және қиылысатын цилиндрлер кӛрсетеді (сурет 6.25, а). Белдіктің меншікті кӛлеңкесінің сҧлбасы (сурет 6.25, б) нҥктесінде қиынды кӛрінісіне қатысты жарық сәулесі кескіні кӛмегімен анықталады және цилиндрдің жасаушысымен ӛтеді. Белдіктің тҥсірілетін кӛлеңкесі қабырғада поястың тҥсірілетін кӛлеңкесі сҧлбасына ҧқсас тҧрғызылады (сурет 6.24, б). Суретте 6.26 1 жарықтандырылған бӛлімінің, 2меншікті кӛлеңкесі мен 3 тҥсірілген кӛлеңке таратылуы кӛрсетілген: ширектік белдік, ернекернеу, «гусы» және «каблучки».

Кронштейн кӛлеңкелері . Кронштейндер параллельді жазықтықтармен шектелген әр тҥрлі сәулетті қиындылардың пішіні ҥйлесімін білдіреді.

Сурет 6.24. Белдік кӛлеңкесі :
а – кеңістікті моделінің сызбасы

2

— түскен кӛлеңке

а б

165

Сурет 6.25. Білік (вал) кӛлеңкесі: а

— кеңістікті модель сызбасы;

б

— эпюр:

1

— жарықтандырылған бет;

2

— меншікті кӛлеңке;

3

— түскен кӛлеңке

Сурет 6.26. Қиындылар кӛлеңкесі: а

— ширектік білік;

б

—ернекернеу;

в

— «гусы»;

г

— «каблучки»;

1

— ожарықтандырылған бет;

2

— меншікті кӛлеңке;

3

— тҥскен кӛлеңке

Кронштейннің меншікті және тҥскен кӛлеңкелерді салу солға бҧрылған кескін кӛмегімен орындалады (сурет 6.27). Сәулетті бӛлшектер кӛлеңкесін, сәулет обьектісін немесе фрагментті жасау кезінде жазықтық жарықтандырылған «әуе перспиктиві» заңын қабылдау керек.

166

Суретте 6.28 жарықтандырылған беттер келтірілген: 0

1

, 0

2

, 0

3

и 0

4

Сӛренің 0

1

жазықтығы қараушыға басқаларға қарағанда жақынырақ орналасқан, демек, ол бояуда барынша ашық немесе жарық-кӛлеңке жасауының басқа тҥрінде. 0

2

және 0

3

жазықтықтары кішкене арырақ, сондықтан олардың жарық беруі кҥңгірттеу, ал 0

4

жарықтандырылған жазықтығы – одан да ары, оны мен қараушы арасындағы ауа қабығы одан да қалың, демек, жарық әлсіз сезілінеді.

Қараушыға жақын орналасқан жазықтықта жататын П

14

тҥскен кӛлеңке бояудағы ең қоюы. Тҥскен кӛлеңкелер ауа қабығымен жҧмсартылған қашықтықтағы жазықтықпен, сондықтан бірте бірте ашыла тҥседі. П

11

тҥскен кӛлеңкесі бояуда П

14

тен қарағанда ашықтау.

Сурет 6.27. Кронштейн кӛлеңкелері

Сурет 6.28. Жарық-кӛлеңкеге әуе перспективінің әсер етуі:

0

1

... 0

4

— жарықтандырылған беттер;

П

11

... П

16

— тҥскен кӛлеңкелер; С

8

, С

9

— меншікті кӛлеңке; Р

5

, Р

6

— рефлекс

167

Жерге бҧрылған жазықтықтағы

С

8

және

С

10

меншікті кӛлеңкелері шағылысқан жарықпен –

Р

5

және

Р

6

рефлекстерімен әлсіреген. Әріптен кейін кӛрсетілге сандар бояу қабатының санына сай болуы мҥмкін.

СХЕМАЛАНҒАН АРХИТЕКТУРАЛЫҚ

ОБЪЕКТІНІҢ ҚАСБЕТІНДЕ ЖӘНЕ

ЖОСПАРЫНДА КӚЛЕҢКЕЛЕР САЛУ

Ғимараттың алдыңғы жағында кӛлеңке қҧру алдыңғы қабырға алдынан ғимарат асқақтаған немесе алға шығып тҧрған элементтерінің меншікті кӛлеңкесі сҧлбасын анықтауды және қҧлама кӛлеңкелер сҧлбасын қҧруды, сонымен қатар нҥктемен реңдеу, штрихтау және бояу кӛмегімен қҧлама кӛлеңкелерді жасауды бағамдайды. Бҧрынғылар сияқты, кӛлеңке қҧру керек жазықтыққа қатысты ғимарат элементтерінің орналасуы мен пішіні туралы ескеру керек. Сәулет обьектісінің жоспарында кӛлеңке салу ғимараттың кӛрінетін бетіне қҧлама кӛлеңкенің тҥсуін және белгілі қабылдаудың бірімен оларды рәсімдеу қарастырады. Қҧлама кӛлеңкелердің кӛрінбейтін сҧлбасын штрихты сызықпен сызады. Проекцияның кӛлденең жазықтығында орналасқан ғимараттың қҧлама кӛлеңкелерін жерге тҥсірілген кӛлеңкелер деп атауға болады. Шатыр қабырғасы мен бҥйір қырлары фронтальды жобаланған ҥшбҧрышты призма сияқты болсын. Онда жарық сәулесінің фронтальды проекциясы кӛмегімен оң жақта орналасқан қырларының (шатыр қҧламасы) жарықтығын анықтайды (сурет 6.29,

а...в ). Сонымен, призманың алдыңғы табаны мен сол жақ қыры жарық сәулесімен жарық тҥсіреді, ал артқы табаны мен астыңғы қыры ӛз кӛлеңкесінде орналасады. Егер призманың бҥйір қырлары арасындағы а бҧрышы 45° кӛп болса, онда жарық сәулесінің l

V

фронтальды проекциясы

4

V

= (3

V

) нҥктесінде призманың фронтальды проекциясына жанасады. Оң жақ қҧламаға жарық сәулесі тҥспейді, демек, қҧламада ӛз кӛлеңкесі болады (сурет 6.29, а – призманың кӛлденең проекциясын қараңыз). Меншікті кӛлеңке сҧлбасы проекциясы эпюрде кӛрсетілген

1

2

3

168

ч

Суррет 6.29. Шатыр қҧламасының меншікті және тҥсетін кӛлеңкелері: а

— а > 45°;

б

— а = 45°,

в

— а < 45°;

г ... е

W перпендикуляр қабырғалар

Егер бҧрыш а < 45°, онда екі қҧлама да жарықтандырылады, және ӛз кӛлеңкесінің сҧлбасы суретте 6.29, в проекциясы кӛрсетілген

1

2

3

4

5

— 1 сынған сызық бойынша ӛтеді.

Ҥшбҧрышты призманың қабырғасы мен бҥйір қырлары бейінді жобаланған болғанда, алдымен ӛз кӛлеңкесі сҧлбасы анықталатын қҧлама кӛлеңке сҧлбасы қҧрады. Суретте 6.29, г қҧлама кӛлеңкені 2 – 3 қҧлама тҥсіреді, сондықтан жоғарғы қабырғасы және шатырдың екі қҧламасы да жарықтандырылған. Егер қҧлама кӛлеңкені 3 – 4 жоғарғы қабырғасы тҥсірсе, онда ол ӛз кӛлеңкесінің сҧлбасы болып табылады және кӛрінбейтін қҧлама ӛз кӛлеңкесінде орналасады.

169

Суретте 6.29, е артқы қҧлама бойынша сырғымалы сәулелер ӛтеді, ӛйткені 2 – 3 қҧламасы және 4 – 6 шатыржалының қҧлама кӛлеңкелері сай келеді. Схемаланған обьекті сызбасында (сурет 6.29) «жерге» және қабырғаға параллель 1 – 5 қабырғасының осы жазықтыққа тҥскен қҧлама кӛлеңкесі қҧрылуы кӛрсетілген. «жерге» параллель 1 – 2 қабырғасы ӛз ӛзіне параллель етіп, кӛлеңкесін «жерге» тҥсіреді. Параллелепипедтің артқы сол және алдыңғы оң жақ қабырғалары жарық сәулесінің кӛлденең проекциясымен сай келетін кӛлеңкесін

«жерге» тҥсіреді.

Суретте 6.30, а шатырдың екі қҧламасына тҥсірілген тҧрбаның қҧлама кӛлеңкелері кӛрсетілген. Тҧрбаның (параллелепипед) ӛз кӛлеңкесі сҧлбасы

1

2

3

4

5

сынған сызық бойынша ӛтеді. 1 және 5 нҥктелері алдыңғы қҧламаға тиісті, және ол нҥктелердің кӛлеңкелері сол нҥктелердің ӛзінде болады. 2, 3 және 4 нҥктелерінің қҧлама кӛлеңкелері сәйкес сәуле арқылы ӛтетін кӛмекші сәулелік жазықтық әдісін қолдана отырып қҧрады.

2

Т

нҥктесі 2 нҥктесі арқылы ӛтетін сәуле мен с қиылысу сызығының қиылысу нәтижесінде пайда болады. 3 және 4 нҥктелерінің кӛлеңкесі артқы қҧламада екен. Призма қырлары мен кӛлденең жобаланған жазықтықтың қиылысу сызығының проекциясын қҧру егжей-тегжейлі

4.5 бӛлімшесінде суретте 4.17, а қарастырылған.

Сурет 6.30. Дыбыс терезесінің кӛлеңкесі (б) және екі қҧламаға тҥскен тҧрба кӛлеңкесі (а)

170

1

2 және 4

5

тік қабырғаларының қҧлама кӛлеңкелері қиылысу сызығымен сай келеді.

3

Т

—4

Т

кӛлеңкесі 3 – 4 қабырғасына параллель, ӛйткені ол шатыржалына параллель, және олай болса, қҧлама жазықтығына да. 2 – 3 қабырғасы кӛлеңкесін екі қҧламаға тҥсіреді, себебі 2 және 3 нҥктелерінің кӛлеңкелері әр тҥрлә қҧламада жатыр.

2

нҥктесі кӛлеңкенің сыну нҥктесі болады.

A

V

нҥктесін (3

TV

) нҥктесімен штрихты сызықпен қосады, ӛйткені артқы қҧламадағы кӛлеңке кӛрінбейді.

2

ТН

—А

Н

3

ТН

сынған сызығы шатыр қҧламасының кӛлденең проекциясында 2 – 3 қабырғасының кӛлеңкесі болады.

фронтальды проекциялары осы сызықтарда орналасады. 1 – 2 кӛлбеу тҥзуінің кӛлеңкесін ст қҧламасына тҥсіру ҥшін 1 – 2 тҥзуі мен ст қҧламасының қиылысу нҥктесінің

М

№10 графикалық жҧмысын орындау мысалы кӛрсетілген. Ғимарат шатыры қҧламалары жоғарғы беті жарықтандырылған, ал тӛменгі ӛз кӛлеңкесінде орналасқан кӛлбеу жазықтық болып келеді. Х жазықтығы, керісінше, ӛз кӛлеңкесі жоғарғы бетінде болады (сурет 6.29, а), ал тӛменгісі – жарықтандырылған. Осылайша, қҧламалардың ӛз кӛлеңкелері сҧлбасы

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

В

сынған сызыққа ӛзгертеді. Кӛрсетілген ӛзгерген сынған сызықтың бірнеше тҥзулерінің қҧлама кӛлеңкесі сҧлбасын талдаймыз.

171

2 – 3 тҥзуі кӛлеңкесін сол жақта орналасқан кӛлем қабырғасына тҥсіреді. 3 – 4 тҥзуінің кӛлеңкесі оң жақта орналасқан кӛлем қабырғасында және т қҧламасында жатады. 3 – 9 шатыржалы кӛлеңкесін «жерге», т және ф қҧламасына, сондай ақ тҧрбаға тҥсіреді. 3

– 9 шатыржалы кӛлеңкесін ф қҧламасына тҥсіру ҥшін

В

Н

нҥктесі жобасы жасалған кері сәуле тәсілі қолданылған. Козырек кӛлеңкесін ҥш жазықтыққа тҥсіреді.

КӚЛЕҢКЕЛЕРДІ ТҦРҒЫЗУДЫҢ ҦТЫМДЫ ТӘСІЛДЕРІ

БОЙЫНША САЛУ

Геометриялық денелер проекциясында кейде тек ӛз кӛлеңкелерін қҧру керек болады. Бҧл жағдайда ӛз кӛлеңкесінің сҧлбасын жоспарсыз

172

анықтауға болады (заттың кӛлденең проекциясы).
«Проекция» сӛзінің сызбалар тҥсінігі ары қарай жіберілуі мҥмкін, ал

V

индексі жоқ болуы мҥмкін.
Циндрдің

ӛз кӛлеңкесі сҧлбасын салуда (сурет 6.32, а) оның табаны жартысында (1 – 3) тікбҧрышты теңқабырғалы

А123

(1 және 3 тӛбесінің бҧрыштары 45°) салынады. Сосын 1 – 2 катеті 1 – 3 гипотенузасына ысырады. Алынған сол В нҥктесі арқылы ӛз кӛлеңкесінің кӛрінетін сҧлбасы ӛтеді. Табанның басқа жартысындағы кӛрінбейтін сҧлбаны табу ҥшін А нҥктесін анықтайды. А және В нҥктелері радиусы 1 – 2 катетке тең шеңбер доғасы кӛмегімен қҧрылады. Суретте 6.32, б, в конустың ӛз кӛлеңкесі сҧлбасын анықтау ҥшін әмбебап тәсіл кӛрсетілген. Алдымен конустың бірлескен табанын

– п шеңберін салады.

1

нҥктесі арқылы 2 нҥктесіндегі очеркті жасаушы жалғасымен қиылысуға дейін табан шеңберіне кӛлденең жанасуды жҥргізеді.

тӛбесі жоғары қаратылған
конуста

2 нҥктесі оң жақта орналасады; ал тӛбесі тӛмен қаратылған конуста – сол жақта. Содан соң 2 нҥктесінен 3 және 4 нҥктесінде п шеңберімен қиылысқанға дейін 45° бҧрышпен тҥзу сыызық жҥргізеді. 3 және 4 нҥктелерін табанда жобалайды және

С

және

D

нҥктелерін анықтайды:

КС

— кӛрінбейтін;

KD

—кӛрінетін.

Ф

шарының
ӛз кӛлеңкесі сҧлбасы Л жанағыш сәулелік цилиндрмен ӛзгерген

т

шеңбері сияқты болады (сурет 6.33).

Сурет 6.32. Фасадта ӛз кӛлеңкесі сҧлбасын қҧру: а

— цилиндрдің;

б

— тӛбесі жоғары қаратылған конустың;

в

— тӛбесі тӛмен қаратылған конустың

173

Осы шеңбердің m

V

фронтальды проекциясы эллипс болып табылады. Эллипсті сегіз нҥктемен қҧруға болады (сурет 6.34, а...в). 1 және 2 нҥктелері басты меридиан фронтальды проекциясында жатады және оңға иілген 45° бҧрыштағы диаметр кӛмегімен анықталады.

Сурет 6.33. Шардың ӛз кӛлеңкесі сҧлбасы

Рис. 6.34. Построение контура собственной тени шара по точкам: а

1

және 2; б

3, 4, 5
және

6

; в

7

және

8

; г

9

және
10; д

11

және
12; е

— ӛз кӛлеңкесі және оның сҧлбасы

174

1 және 2 нҥктелерінен кӛлденең және тік тҥзулер жҥргізеді. Экватор проекциясына тиісті 3 және 5 нҥктелерін алады, және солға иілген 45° бҧрышта ӛткізілген диаметр қиылысында, 1 – 2 диаметріне 30° бҧрышта кӛлбеуленген тҥзулермен анықталады. Жоғары 9 және тӛменгі 10 нҥктелерін салу (сурет 6.34, г) 6.7.2 бӛлімшесінде нақтырақ қарастырылған. 11 және 12 қосымша нҥктелері (сурет 6.34, д) 1 – 2 диаметріне қатысты 9 және 10 нҥктелеріне симметриялы орналасқан.

Дӛңгелек беттерге (шар, дӛңгелек вал және басқалары) меншікті кӛлеңкелер қҧру жанаушы беттер әдісімен орындаған жӛн. Оның мағынасы айналма беттерінің жеке бӛліктері барынша жай тҥрімен алмасуы:кӛлеңкесі жай анықталатын конустармен, цилиндрмен. Сонымен қатар жанаушы цилиндрдің (конустың) табандары айналма бетінің сәйкес параллельдері алмасады, ал цилиндрдің (конустың) жасаушылары айналма бетінің очеркіне жанасып сызылады. Жанаушы цилиндр кӛмегімен экватордағы нҥктелерді табады (сурет 6.35, а). 45° бҧрышпен конустарды айналу осімен сай келетін проекциялар, нҥктелер мен кӛріну ӛзгерісі нҥктесін анықтау ҥшін қолданады.

Сурет 6.35. Жанаушы беттер әдісі: а

— цилиндрдің;

б

— конустың

Q

175

Сурет 6.36. 45°кӛлбеу жасаушысы бар конустың ӛз кӛлеңкесі сҧлбалары : а

— тӛбесі жоғары бағытталған;

б

— тӛбесі тӛмен бағытталған

лу

А^ч

35°А /

(O

v )

—^ Х'

/К

Кн J

4

V

а

Сурет 6.37. 35° кӛлбеу жасаушысы бар конустың ӛз кӛлеңкесі сҧлбалары: а

— тӛбесі жоғары бағытталған;

б

— тӛбесі тӛмен бағытталған

б

Сурет 6.38. Бҧрыштарды салу әдісі: а

— 35°;

б

— 55°

176

35° бҧрышы бар конустар жоғары және тӛмен нҥктелер салу ҥшін қолданылады. Қосымша нҥктелер жасаушының туынды иілуімен жанаушы конустарды қолдана отырып салады (сурет 6.35, б). Жасаушысының табан жазықтығына иілу бҧрышы 45° тең конустың ӛз кӛлеңкелері суретте 6.36 кӛрсетілген. Меншікті кӛлеңкесі тӛбесі жоғары бағытталған конустың ¼ бҥйір бетін алады (сурет 6.36, а) және тӛбесі тӛмен бағытталған конустың ¾ бҥйір бетін алады (сурет 6.36, б). Меншікті кӛлеңке сҧлбасы сәйкесінше

КЕ

және

KF, KL

және

KM

жасауышлары бойынша ӛтеді. 35° жасаушысы бар конуста меншікті кӛлеңкесі сҧлбасы қызметін 45° иілуі бар фасадтағы жалғыз жасаушысы атқара алады. Тӛбесі жоғары бағытталған конустың бҥйір тӛбесі толығымен жарықтандырылған (сурет 6.37 ,а), ал тӛбесі тӛмен бағытталған конустікі толығымен кӛлеңкеде тҧр (сурет 6.37, б). Ӛз кӛлеңкесінің сҧлбасы сәйкесінше

KG

(сурет 6.37, а) және

KN

(сурет 6.37, б) жасаушылары болып табылады.

Суретте 6.38, а 35° бҧрыш қҧрудың графикалық әдісі кӛрсетілген. Квадраттың 1 – 3 диагоналі 1 – 4 жағына ысырады, 5 нҥктесін 2 нҥктесімен қосады. 152 бҧрышы 35° тең. 1 – 6 тҥзуі 2 – 5 сызығымен перпендикуляр және сызбаның кӛлденең сызығымен 55° бҧрыш жасайды (сурет 6.38, б).

Дӛңгелек орамның ӛз кӛлеңкесінің кӛрінетін сҧлбасын қҧру жанаушы цилиндр және конус әдісін қолдана отырып, сипаттық нҥктелер бойынша орындалады (сурет 6.39). Дӛңгелек орам экваторындағы В нҥктесі (сурет 6.39, а) тікбҧрышты теңқабырғалы ҥшбҧрыштың катетін оның гипотенузасына бҧру нәтижесінде қҧрылды (сурет 6.32, а қараңыз).

нҥктелерін анықтайды. 45° иілуімен жасаушысы бар конустың меншікті кӛлеңке сҧлбасының сипаттық нҥктелерінің орналасуын біле отырып, оның сызбасынсыз ақ тек жанасу нҥктесін салуға болады (мысалы, Е нҥктесі). 45° иілуімен жасаушысы бар конусты қҧру міндетті тҥрде орындалады (сурет 6.39, в). Конус жасаушысының жанасу Т нҥктесін анықтай отырып, О нҥктесінен экваторға 55° бҧрышпен тҥзу сызады. Т нҥктесі арқылы ОТ перпендикуляр конустың КТ жасаушысын және табанын тҥргізеді.

177

Е

Сурет 6.39. Дӛңгелек орамның ӛз кӛлеңкесінің кӛрінетін сҧлбасын қҧру:

а

— нҥктелердің

В

; б

Е, L

және М нҥктелері; в

N

нҥктесінің ; г

— дӛңгелек орманың ӛз кӛлеңкесі;

д

—тура ширектік орамның ӛз кӛлеңкесі;

е

— кері ширектік орамның ӛз кӛлеңкесі

Сурет 6.40. Айналымның майысқан бетінің ӛз кӛлеңкесі кӛрінетін сҧлбасын қҧру (б); кӛмекші қҧрулар (а, в)

178

Содан соң 45°бҧрышпен конус жасаушысын қҧрады және дӛңгелек орамның ӛз кӛлеңкесі сҧлбасындағы ең тӛменгі нҥктесі болатын

N

нҥктесі негізінде табады. Шарда 9 және 10 нҥкттелері ҧқсас қҧрылған (сурет 6.34, г).

L, N, M, B

және

Е

нҥктелері дӛңгелек орам бетіне тҥскен ӛз кӛлеңкесі сҧлбасын анықтайды. Тура ширектік орамның ӛз кӛлеңкесі сҧлбасы L, N,

M

және

B

нҥктелері арқылы ӛтеді (сурет 6.39, д), ал кері ширектік орамдыкы – В және Е нҥктелері арқылы.

Скоцияның (айналымның майысқан тӛбесі) (сурет 6.40, б) ӛз кӛлеңкесінің кӛрінетін сҧлбасын қҧру – жанаушы конус пен цилиндр әдісімен орындалады: 45° иілуімен жасаушының ( L,

М

және

Е),

45° иілуімен жасаушының (N).

Т нҥктесі арқылы ӛтетін параллельдегі

D

нҥктесі жасаушы туынды иілумен жанасу конусы кӛмегімен қҧылған (сурет 6.40, в). Жанасушы конустың жасаушысы

О'Т'

радиусына перпендикуляр сызылады. Суретте 6.40, б

D

нҥктесін қҧру ҥшін керек п шеңбердің, конустың сәйкестендірілген табандарының тӛменгі оң жақ бӛлігі кӛрсетілген.

Сурет 6.41. Айналым бетінің ӛз кӛлеңкесінің кӛрінетін сҧлбасын қҧру (а); кӛмекші қҧрулар (б, в)

179

Айналым бетінің очеркінде

T'

нҥктесі

ОО'

сызығы мен нҥктесі арасынан кездейсоқ таңдалынуы мҥмкін.

О доғасының центрі арқылы айналым беті очеркінде 35° иілуімен жасаушысы бар конустың жанасу Т нҥктесін анықтау ҥшін тік сызыққа 35° бҧрышпен ОТ сызығын жҥргізеді (сурет 6.40, а). Суретте 35° бҧрыш екі доғамен кӛрсетілген.

L, N, M, B, D

және

Е

нҥктелері скоцияның ӛз кӛлеңкесі сҧлбасын анықтайды.
Суретте 6.41, а тӛбесі жоғары бағытталған (а параллель) және тӛменге (
с, d

және е параллель) жанасу конустарын қолдану арқылы қҧрылған меншікті кӛлеңке сҧлбасы, айналым беті кӛрсетілген.

с, d
және е параллелінде қҧрылған конус тӛбелері сурет ішінде кӛрінбейді.

B

параллелі жанасу цилиндрінің табанымен ауыстырылған.

А, В, С, D,

и

Е

нҥктелері қарастырылған беттің ӛз кӛлеңкесінің сҧлбасын ӛзгертеді.

6.7.3.
Шығару тәсілі

Проекция жазықтығындағы және деңгейдің фронтальды жақызтығындағы элементтердің қҧлама кӛлеңкелерін қҧру шығару әдісімен орындалады. Егер нҥктеден жазықтыққа дейінгі ара қашықтық белгілі болса, онда нҥкте кӛлеңкесі суретте 6.42 кӛрсетілгендей қҧрылады.

Сурет 6.43. Шығару әдісін қолдану

180

A

V

нҥктесінің фронтальды проекциясынан шығаруға тең

Y

a кесіндісін оңға ысырады. Жарық сәулесінің фронтальды проекциясымен қиылысқанға дейін байланыс сызығын жҥргізеді.

А

Т

қҧрылған нҥктесі берілген нҥктенің кӛлеңкесі болады.

Суретте 6.43 шығару әдісімен ф деңгейінің фронтальды жазықтығына тҥсетін тіктӛртбҧрышты плита мен цилиндрлік бағанның қҧлама кӛлеңкесінің сҧлбасы қҧрылуы кӛрсетілген.

А

және А нҥктелері тӛбесі тӛмен бағытталған 45° бҧрышы бар конус кӛмегімен табылды.

V

проекциясы жазықтығына қҧрылғанын нақтылайтын кӛлденең проекция жоқ болуы мҥмкін.

6.8.

СӘУЛЕТ БӚЛШЕКТЕРДІҢ КӚЛЕҢКЕЛЕРІ

Сәулет бӛлшектерінің (фрагменттер) меншікті және қҧлама кӛлеңкелерін қҧру кезінде бҧрын қарастырып кеткен жай пішіндер, сондай ақ, 6.44, 6.45 және 6.46 суреттерде кӛрсетілген сызбадағы элементтер кӛлеңкелерін қҧру әдістері мен тәсілдері қолданылады. Тіктӛртбҧрышты плитаның меншікті кӛлеңкесі сҧлбасы (сурет 6.44) АВ және ВС қабырғалары арқылы ӛтеді. АВ қабырғасы l

V

жарық сәулесі фронтальды проекциясымен сай келетін қҧлама кӛлеңкені тҥсіреді. ВС қабырғасының қҧлама кӛлеңкесі сҧлбасы

1

4

нҥктелер бойынша ширектік орамда қҧрылған. Бҧл нҥктелерді анықтау ҥшін

O

V

нҥктесіндегі осьпен

І... ІV

орамның параллельдері қиылысқанға дейін l

V

жҥргізіледі.

Сурет 6.44. Ширектік орам бетіне тҥсетін тіктӛртбҧрышты плитаның қҧлама кӛлеңкесі сҧлбасын қҧру

181

Сурет 6.45. Цилиндрлік бағанға тҥсетін орамның қҧлама кӛлеңкесі сҧлбасын қҧру

Сурет 6.46. Ширектік орам бетіне және цилиндрлік бағанға тҥсетін тіктӛртбҧрышты плитаның қҧлама кӛлеңкесі сҧлбасын қҧру

І

параллелінде

1

бір нҥктесін табады; басқа параллельдерде – берілген параллелдер радиусына тең радиусты

O

V

центрінен жҥргізілетін доға мен сәйкес параллельдер қиылысындағы екі нҥкте бойынша табады. Цилиндрлік бағандағы орам тӛбесіне тҥскен қҧлама кӛлеңке сҧлбасын қҧруда шығару әдісі қолданылады (сурет 6.45). Осы мақсатпен бағанның қҧлама кӛлеңкесі сҧлбасы және деңгейдәі

182

фронтальды жазықтыққа тҥскен орамның қҧлама кӛлеңкесі сҧлбасы қҧрылған.
Олардың қиылысуының

С

Т

нҥктесі

С

Т

нҥктесіне бағандағы орамның қҧлама кӛлеңкесінің жоғалуын береді.

1

және 1 нҥктелері

А

және А нҥктелеріне ҧқсас қҧрылған (сурет 6.43). 2 нҥктесін анықтау ҥшін 35 бҧрышты иілуі бар конус қолданылған. Егер тіктӛртбҧрышты плитаның қҧлама кӛлеңкесі цилиндрлік бағанның және ширектік орамның бетінен табуды керек етсе (сурет 6.46), онда бағанға плитадан және орамнан тҥскен қҧлама кӛлеңкелер сҧлбасын қҧрады. Кӛлеңкелер қҧруда келесі заңдылықтарға кӛңіл бӛлген жӛн: бір жарық сәулесінде жататын қҧлама кӛлеңкелер сҧлбаларының қиылысу нҥктесі және кӛлеңкелер жоғалу нҥктесі. Суретте 6.46 бҧл

B

v

және
Bj-, Су
және

C

T

, Dy
және

Dj

нҥктелері.
Қосымшада 8 (сурет П8.11) кӛлеңкемен балясина кӛрсетілген.

Бақылау сҧрақтары

183

7 Тарау

АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ

ПРОЕКЦИЯЛАРДАҒЫ КӚЛЕҢКЕЛЕР

АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ СЫЗБАЛАРДА

КӚЛЕҢКЕЛЕР ТҦРҒЫЗУДЫҢ

Егер жарық сәулесі кӛлбеу жазықтыққа 35... 45°еңіске ие болса, аксонометриялық проекцияларда сызбалар айқынырақ болып шығады. Жарық сәулесінің проекциясының бағытының аксонометриялық ӛстердің бағытымен сәйкес келмегені жақсырақ. Осы мақсатпен кубмҧның қырында жарық сәулесінің проекциялары тҧрғызылатын параллелепипедпен алмастырылады (7.1, а сур.). Кӛлеңкелер тҧрғызу ҥшін,сәуленің кӛлбеу проекциясының аксонометриялық проекциясын (екінші реттік проекциясын)—

1

Н

бәрінен жиі қолданады.
7.1,

б сур. жарық сәулесінің проекциясының әртҥрлі ҥш схемасы кӛрсетілген. Олар жарық сәулесінің бағытын еркінетіп таңдап алуға болатындығын растайды. Жарық сәулелерінің проекцияларының бағытын таңдаған кезде сонымен бірге архитектуралық объектінің бас қасбетінің жарықтандырылғандығын да ескереді.

а

— бағыты;

б

— проекциялары

184

Сызбада жарық сәулесінің

1

аксонометриясы кеңістікте (ауада) ӛтетін сызыққа сәйкес келеді.Сондықтан,тҥсетін кӛлеңкелердің жарық сәулесінің 1аксонометриясымен ешқашан сәйкес келмейтіндігін есте ҧстау керек. Аксонометрияда кӛлеңкелер тҧрғызған кезде, ортогональ проекцияларда қарастырылған кӛлеңкелер теориясының барлық қағидалары әділ. Аксонометриялық сызбаларда қағидаларды қолдану геометриялық пішіндердің бір біріне қатысты орналасуын сауатты талдауды тҧспалдайды.

НҤКТЕНІҢ КӚЛЕҢКЕСІ

Нҥктенің кӛлеңкесі жарық сәулесінің тҥсірім жазықтығындағы ізі немесе бҧл сәуленің қандай да бір жарықтандырылған жазықтықпен немесе геометриялық дененің бетінің жарықтандырылған бӛлігімен қиылысу нҥктесі болып келеді.

7.2, а

сур.

Н: А

Т

= 1 n

1

H

тҥсірім жазықтығына А нҥктесінің кӛлеңкесін тҧрғызу кӛрсетілген.
Нҥктенің тік жазықтыққа (7.2,

б

сур. ) және еңіс жазықтыққа(7.2, в сур.) кӛлеңкесін тҧрғызу ҥшін, қосалқы қиюшы жазықтық тәсілін қолданады. Жарық сәулесі

1

оның кӛлденең фН ізі жарық сәулесінің екінші реттік

1

Н

проекциясымен сәйкес келетін тік «сәулелік» ϕ

жазықтығының ішінде болады. Тік жиек п сәулелік және берілген жазықтықтардың қиылысу сызығының проекциясы болып табылады. Нҥктенің кӛлеңкесі берілген жазықтықтың және «сәулелік» жазықтықтың қиылысу сызығында тҧратын болады. Осылайша,

В

нҥктесінің кӛлеңкесі:

В

Т

= 1 n П
, ал Снҥктесінің кӛлеңкесі:

С

Т

= 1 n п'(Г

— 2') болып шықты.

а

— кӛлденең жазықтыққа;

б

— тік жазықтыққа;

в

— еңіс жазықтыққа

185

7.3.

ТІК ЖИЕКТІҢ ҤЗІНДІСІНІҢ КӚЛЕҢКЕСІ

Тік сызықтың ҥзіндісінің кӛлеңкесін алу ҥшін, оның екі нҥктесінің дәл сол бір жазықтыққа кӛлеңкелерін тҧрғызу керек. 7.3, а

сур. Тҥсірімнің кӛлбеу жазықтығына перпендикуляр

АВ

ҥзіндісінің кӛлеңкесін тҧрғызу кӛрсетілген:

В

нҥктесі тҥсірімнің Н жазықтықтығына тиесілі болғандықтан,

В

нҥктесінің кӛлеңкесі нҥктенің ӛзінде тҧрады. А нҥктесінің кӛлеңкесі детҥсірімнің Н жазықтықтығына тҥседі.

А

Т

және

В

Т

нҥктелерін қосып, жазықтыққа перпендикуляр тік жиектің жарық сәулесінің осы жазықтыққа l

H

проекциясымен сәйкес келетіндігі кӛрініп отыр. а б

У'

а

— Н тҥсірім жазықтығына перпендикуляр;

б

Н

тҥсірім жазықтығына параллельжәне м

W

тҥсірім жазықтығына перпендикуляр

сур.Тік жиектіңкӛлеңкесін тҧрғызу: а

— тҥсірім жазықтығындағы;

б

— призмаға

186

Кейде, мысалы,кӛлеңкенің

1

Т

сыну нҥктесін табу ҥшін, нҥктелердің бірінің жорамал немесе кӛзге кӛрінбейтін кӛлеңкесін тҧрғызуға тура келеді(7.4, асур.). Тік сызықтардың кӛлеңкесін тҧрғызған кезде сонымен қатар,жалпы жағдайда тік жиектің ҥзіндісінің кӛлеңкесі «сәулелік» жазықтықтың және бҧл тік жиек кӛлеңке тҥсіретін жазықтықтардың немесе кӛлемдердің қиылысу сызығы болып табылатындығын есте ҧстау керек.7.4, б сур.«сәулелік» жазықтықтың және призманың қиылысу сызығы сынық сызықтың ҥзінділерінен тҧрады.

Н

тҥсірім жазықтығында және призманың жоғарғы кӛлбеу жазықтығыңда ҥзінділер жарық сәулесінің екінші реттік проекциясына параллель. Призманың алдыңғы тік жазықтығында кӛлеңкенің ҥзіндісі тік орналасқан (7.2, бсур. n’

ҧқсас). Призманың еңіс жазықтығында кӛлеңке(7.2, всур.)
п'(1'

— 2') ҧқсас тҧрғызылған.

ЖАЛПАҚ ПІШІННІҢ ЖӘНЕ

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ

КӚЛЕҢКЕЛЕРІ

Аксонометрияда жалпақ пішіндердің кӛлеңкелерін оларға тән нҥктелерді: кӛпбҧрыштардың ҧштарын, шеңбердің орталығын пайдаланып тҧрғызады. Егер жалпақ пішін осыған кӛлеңкесін тҥсіретін жазықтыққа параллель болса, онда оның кӛлеңкесі берілген жазықтыққа конгруэнтті болады. Геометриялықденелердіңкӛлеңкесін тҧрғызған кезде,ортогональ проекциялардағы секілді алгоритмдерді сақтау керек. 7.5сур.призманың, цилиндрдің, пирамиданың және конустың кӛлеңкелері кӛрсетілген. Призма мен цилиндрдің ӛзіндікжәне тҥсетін кӛлеңкелері штрихтаумен жасалған, ал пирамиданың және конустың кӛлеңкелері нҥктелермен реңделген.

7.5

АРХИТЕКТУРАЛЫҚ ПІШІНДЕРДІҢ КӚЛЕҢКЕЛЕРІ

Архитектуралық пішіндердің (ойық, тік босатпа, карниз, кҥнқағар, баспалдақ)ӛзіндік және тҥсетінкӛлеңкелерін тапқан кезде, ӛзіндік кӛлеңкелердің контурын дҧрыс анықтау, оның жанында орналасқан қырлардың беттеріне, «жерге», басқа кӛлемдерге қатысты орналасуына талдау жасау жәнетҥсетін кӛлеңкенің контурын салу қажет. Аралық нҥктелерден ӛзгешелігі, сызбаларда сипатты нҥктелердің

187

а

— призма;

б

— цилиндр;

в

— пирамида;

г

— конус

проекцияларының белгісі бар. Тҥсетін кӛлеңкелердің кӛзге кӛрінетін контурлары тҧтас сызықпен, кӛзге кӛрінбейтін контурлары - штрихсызықпен салынған. Жартылай циркульнышанды арканың ӛз кӛлеңкесінің контуры (7.6, б сур.) –эллипстің А

—В

доғасы ментікқыр ойықтың артқы жазықтығына

188

7.6 сур. Архитектуралық пішіндердің кӛлеңкелері: а

— тік бҧрышты ойық;

б

— жартылай циркуль пішіндіойық;

в

— тік босатпа және карниз;

г

— ойық және жартылай цилиндркҥнқағар;

д

— кіріс тобы

189

параллель орналасқан. Тҥсетін кӛлеңкенің контуры ойықтың артқы жазықтығындағы ӛз кӛлеңкесінің контурын қайталайды.Оны тҧрғызу ҥшін А және

С

нҥктелерінің кӛлеңкелерін анықтайды жәнекӛзге кӛрінетін шектерде эллипс сызады.

7.6, в

сур.тік босатпаның және карниздің қабырғадағы кӛлеңкелері мен

1

2

және 2—3 қырлардың тік босатпаның алдыңғы жазықтығындағы кӛлеңкелері кӛрсетілген. Карниздің ӛз кӛлеңкесінің контуры жарықтандырылған сол жақтағы, алдыңғы шектер мен ӛз кӛлеңкесінде тҧрған тӛменгі шектің арасында

1

— 2,

2

3

қырлар бойынша;жарықтандырылғаналдыңғы, жоғарғы шектер мен ӛз кӛлеңкесінде тҧрған оң шектің арасында

3

4, 4

5

қырлар бойыншаӛтеді. Тік босатпаның ӛз кӛлеңкесінің контуры –оң жақтағы алдыңғы қыр. Қырлардың жарықтандырылған жазықтықтарға қатысты орналасуына талдау жасап, олардың тҥсетін кӛлеңкелерін тҧрғызады. Қажет болған кезде кері жарық сәулесі тәсілін қолданады (7.6, в сур.

А

нҥктесінқар.).

1

2

қырдың тік босатпаның жазықтығына кӛлеңкесін тҧрғызу

1

2

қырдың және қарастырып отырған жазықтықтың

6

нҥктенің 6’

Н

екінші реттік проекциясы: 1’

Н

2’н ^

А

Н

= 6'

Н

арқылы қиылысу нҥктесінің ( 6’

нҥкте) кӛмегімен орындалды. Одан соң аксонометрия 6'тҧрғызады, оны

2

Т

нҥктесімен қосады және тік босатпаның алдыңғы жазықтығының шектерінде тҥсетін кӛлеңкежасайды. Жартылай цилиндр кҥнқағардың ӛз кӛлеңкесінің контуры (7.6, г сур.) тӛменгі негіздің

1

2

3—4

5

6

доғасы, жоғарғы негіздің

7

8

доғасы және

6

7

қҧраушысы бойынша ӛтеді. Жартылай цилиндр кҥнқағардың қабырғаның жазықтығына және ойықтың артқы жазықтығына кӛлеңкесін тҧрғызған кезде, кері жарық сәулесі тәсілін қолданған ақылға қонымды. Бҧл ҥшін, бҧлардың кӛлеңкелері осы сызықтарда орналасатын болатын нҥктелердіңпроекцияларын анықтау ҥшін, сызбаның сипатты сызықтарынан кері жарық сәулелерінің екінші реттік проекцияларын жҥргізеді. Мысалы,

2

нҥктенің екінші реттік және аксонометриялық проекцияларын анықтайды (оның кӛлеңкесі ойықтың қырының тҥсетін кӛлеңкесініңконтурында тҧр).

3

және

4

нҥктелердің кӛлеңкелері проекциялық байланыстың бір сызығымен бірігеді, бірақ әртҥрлі жазықтықтарда:

4

Т

кӛлеңке - қабырғада; кӛлеңке

3

Т

— ойықта тҧрады.

2

3

кӛлденең қырдың басқыштардағы кӛлеңкесі қабырғаға параллельорналасады. Басқышастыларда

2

3

қырдың кӛлеңкесін

2

— жазықтығының және басқышастының σ жазықтығының қиылысу

190

3

қырдың басқышастының жазықтығымен қиылысу нҥктесін пайдаланыптҧрғызады. Мысалы, 9'

нҥкте 2'

3'

сызықтың қоршаудың τ

сызығының жалғасымен 2'

3'

қиылысу сызығында алынады (7.6, дсур. қар.).
Кҥнқағардың (7.6,

д

сур. қар. )

қабырғадағы кӛлеңкесі

5

және 6 нҥктелердің 5’

Н

= 6’ н

екінші реттік проекциясы арқылы, ал ойықтағы кӛлеңкесі —

7

нҥктенің (7H нҥкте) кіреберістің жазықтықтығына проекциясы арқылы тҧрғызылған.

4

1

2

қырдың басқыштың жазықтығымен қиылысу нҥктесін (

М

нҥктесі –еңіс қырдың екінші сатының басқышымен қиылысу нҥктесі) пайдаланып тҧрғызуға болады. Қоршаудың еңіс қырының екінші сатының басқышастына кӛлеңкесі кӛлеңкенің

14

Т

сыну нҥктесі және қырдың басқыш астының жазықтығымен 15'

қиылысу нҥктесі арқылы ӛтеді.
Күнқағардың
тҥсетін кӛлеңкесін тҧрғызу ҥшін, оның екінші реттік

п' н

проекциясы және кіреберістің жазықтығына m'

H

проекциясы, кері жарық сәулесі тәсілі қолданылады. Кҥнқағардың қоршаудың кӛлденең жазықтығына кӛлеңкесі 9' т нҥктесі арқылы ӛтеді және эллипстің кҥнқағардың аксонометриялық проекциясына параллель доғасы болып келеді. Бҧл доғаны тҧрғызуды ҥш нҥкте бойынша орындаған ақылға қонымды болады. Шатыр мҧның бҥйір қырлары кӛлденең орын алатын ҥшбҧрышты призма болып келген жағдайда,

А'В'

шатыржалдың жоғарғы алдыңғы

А

нҥктесінің кӛлбеу жазықтықтыңтӛменгі оң

CD

қырына

В’

а

— жарықтандырылған

A'B'C'D'

шегі; б

—сырғымалысәуледегі

AB'CD'

шегі ;в

—ӛз кӛлеңкесіндегі

A'B'C'D'

шегі;

191

Егер

А

Т

кӛлеңке призманың

CDEF

кӛлбеу жазықтығының шектерінде тҧрса (7.7, асур.), онда

A'B'C'D'

бҥйір шек жарықтандырылатын болады және ӛзіндік кӛлеңкенің контуры

B'FE'DCB

'сынық сызық бойынша ӛтеді. Егер

А

Т

кӛлеңке

CD

қырында болып шықса(7.7, б сур.), онда

AB'CD

шегі сырғымалы жарық сәулелерінде тҧратын болады. Екі қырдың—

AB

және

CD

қырларының тҥсетін кӛлеңкесінің контуры бір сызыққа сәйкес келеді.
Егер

А

Т

кӛлеңке

CDEF

кӛлбеу жазықтығының сыртына шықса(7.7, всур.), онда

AB'CD

шегі ӛз кӛлеңкесінде болып шығады,ал осындай шатырдың ӛзіндік кӛлеңкесінің контуры

B' F E' D A B'

сынық сызық бойынша ӛтетін болады.

ШАТЫРЛАРДЫҢ

ҚҦЛАМАЛАРЫНДАҒЫ КӚЛЕҢКЕЛЕР

Шатырлардың қҧламаларының ӛзіндік кӛлеңкесінің контурынан жанында орналасқан кӛлемдердің жарықтандырылатын жазықтықтарына, оның ішінде кӛршілес жатқан шатырлардың қҧламаларына да тҥсетін кӛлеңкенің контурын тҧрғызады. Алға қойылған міндетті шешу ҥшін, тік сызықтың (жарық сәулесінің) жазықтықтармен немесе геометриялық денелердің беттерімен қиылысу нҥктесін анықтаған кезде,қосалқы қиюшы жазықтық тәсілін қолдану қажет. Қҧбырдың шатырдағы кӛлеңкесін тҧрғызу 7.9 сур. кӛрсетілген. Қҧбырдың ӛз кӛлеңкесінің контуры

1

2

3

4'

5

сынық сызық болып келеді.

1

және

5

нҥктелер τ жазықтығында тҧрғандықтан, олардың кӛлеңкелері нҥктелердің ӛздерімен сәйкес келеді. 2 нҥкте τ

қҧламасына,

3

нҥкте - σ қҧламасына кӛлеңке тҥсіреді, демек,

2

3

қырдың кӛлеңкесі осы қҧламалардың қиылысу сызығында

192

сынатын болады. Кӛлеңкенің сыну нҥктесін тҧрғызу ҥшін, алдымен b'

сызығының жалғасында (3

Т

) нҥктесін –

3

нҥктенің τ

қҧламадағы жорамал нҥктесін табады, одан соң

2

Т

және (3

Т

) нҥктелерін байланыстырады
Алынған тік жиек 2

Т

(3

Т

) шатыржалды кӛлеңкенің сыну нҥктесінде қиып ӛтеді, оны одан әрі

3

Т

нҥктемен байланыстырады.

Г

2

және

4

5

тік

193

қырлардың тҥсетін кӛлеңкелері тиісті сәулелік жазықтықтардың және шатырдың қҧламаларының қиылысу тік жиектерімен сәйкес келеді. 3'

4

рм

қабырға σ

қҧламаға параллель, сондықтан оның

3

Т

4

Т

кӛлеңкесі қырға параллель және оның ҧзындығына тең. Тҥсетін кӛлеңкенің контурының ішінде қҧбырдың тҥсетін кӛлеңкесі болады.

БАҚЫЛАУ СҦРАҚТАРЫ

194

8 Тарау

ПЕРСПЕКТИВАЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР

8.1.

ЖАЛПЫ ҚАҒИДАЛАР

Перспективалық бейне (
лат.

perspectus — дҧрыс кӛру, бірдеме арқылы қарау)заттың болмыста шынында да бақыланатын, осындай секілді болып кӛрінетін пішінінің ӛзгерістерін және ӛлшемдерінің қысқаруларын жеткізеді. Егер терезенің әйнегінде ол арқылы кӛрінген ғимараттарды, жолды, жарықтандыратын шамдардың бағаналарын фломастермен айналдырып сызып шықсақ, онда алынған бейнеперспективалық болады. Бір тҥсірім жазықтығында заттың ҥш ӛлшемі бейнеленетіндіктен, перспективалық бейне кӛрнекі болып табылады. Аксонометриялық проекциядан айырмашылығы, перспективалық проекцияда орталықпроекциялауқолданылады (1.2 сур. қар.).

К

жазықтықтығында алынған перспективалық проекция
сызықтық

деп аталады. Егер жазықтықты цилиндрмен алмастырса, ондаоның ішкі бетіндегі перспектива панорамалық деп аталады (панорамалық кинотеатрдың экраны). Сфераның ішкі бетінде алынған перспектива

күмбездік
(планетарий)деп аталады.

8.1 сур.перспективалық проекцияларды алу принципін кӛрсететін, орталық проекциялау аппараты кӛрсетілген. Перспективалық аппараттҥсірімнің

сурет жазықтығы
(немесе сурет) деп аталатын тік орналасқан мӛлдір

К

жазықтығынан жәнекӛлбеуН жазықтықтан тҧрады. Н жазықтығы
заттық жазықтық

деп аталады. Әдетте бҧлар ҥшін перспектива тҧрғызу қажет болатын заттарсуреттің артында тҧратын заттық кеңістікте орналасады. Заттық және суреттік жазықтықтардың қиылысу сызығы

суреттің t

— t

негізі
деп аталады.
Кӛру нүктесі S
деп аталатын проекциялау орталығы суреттің алдында, бас сәуленің

SP

ҧзындығына тең дистанция қашықтығында орналасқан. Бас сәуле суретке перпендикуляр, ал оның суреттің жазықтығымен қиылысу нҥктесі

суреттің Рбас нүктесі
деп аталады. Егер бас сәуле арқылы заттық

195

К

— суреттің жазықтығы;

Н

— заттықжазықтық; у — кӛкжиек жазықтығы;

t

— суреттің негізі;

h—h

— кӛкжиектің тік жиегі;

S

— кӛру нҥктесі;

н

— А нҥктесінің екінші реттік проекциясы

- Проекция неба

Проекция предметной t плоскости (земли)

t

— суреттің негізі;

h

— кӛкжиектің тік жиегі;

Р

— суреттің бас нҥктесі;

Р

н

— суреттің бас нҥктесінің кӛлденең проекциясы;

РР

н

—кӛкжиектің биіктігі;

1

2—3

4

— суреттің шектеуі

жазықтыққа параллель у

кӛкжиек жазықтығын жҥргізсе, онда ол суретпен қиылысқан кезде,
кӛкжиек сызығы
деп аталатын

ҥзіндіге тең қашықтық
кӛкжиек биіктігі
деп аталады

Суреттің жазықтығы сызбаның жазықтығымен қиысқан кезде (8.2сур.), міндетті тҥрде суреттің негізін t

t,

кӛкжиектің h

h

сызығын, суреттің

Р

бас нҥктесін және оның Р №

196

кӛлденең проекциясын кӛрсетеді. Суретте суреттің негізі мен кӛкжиек сызығының арасында заттық жазықтықтың (жердің) проекциясы; кӛкжиек сызығынан жоғарырақ - аспанның проекциясы орналасады.Сызбада суретті шектеуге (

1

2

3

4

тікбҧрыш) немесе оны шектеусіз кӛрсетуге болады..

8.2.

НҤКТЕНІҢ

ПЕРСПЕКТИВАСЫ

Перспективалық проекцияларда кеңістіктің геометриялық пішіндерінің орны мен нышаны бірмәнді анықталуы ҥшін, суретте әрбір нҥктенің екі проекциясының болуы қажет. 8.1 сур.суреттеА нҥктесінің екі проекциясын қалай алуға болатынын қарастырамыз. Заттық кеңістікте суреттен еркін қашықтықта А нҥктесі орналасқан делік.

S

кӛру нҥктесі арқылы А нҥктесіне проекциялайтын сәуле жҥргізіледі, ол суреттің жазықтығын А' нҥктесінде қиып ӛтеді. А'нҥктесі А нҥктесінің перспективалық проекциясы немесеА нҥктесінің перспективасы деп аталады.

SA

сәуле мен

SS

H

ҥзінді қҧраған проекциялайтын жазықтықсуреттің жазықтығын суреттің негізіне перпендикуляр орналасқан1А'сызығы бойынша қиып ӛтеді. Егер проекциялайтын жазықтықта кӛру нҥктесінен А нҥктесінің кӛлденең проекциясына сәуле жҥргізсек, онда

SА

H

сәуле суретті1А'сызығында тҧратын болатын АН нҥктесінде қиып ӛтеді.

А'

Н

нҥктесіА нҥктесінің кӛлбеу проекциясының перспективалық проекциясы немесе оның екінші реттік проекциясы болып табылады.

А'А'

Н

сызығы проекциялық байланыс сызығы деп аталады.

197

В

нҥктесініңекінші реттік

В

н

проекциясыжәне

В'

перспективасы(8.3 сур.)сәйкес келеді және суреттің негізі мен кӛкжиек сызығының арасында орналасқан делік, сонда бҧл нҥкте заттық жазықтықта тҧратын болады. А және

N

нҥктелері бір проекциялайтынсәуледе орналасқан дейік (8.1 сур. қар.), сонда олардың перспективалары сәйкес келеді (8.3 сур. қар.).Бірақ,

N

нҥктесі А нҥктесіне қарағанда суреттен алысырақ тҧратындықтан, онда

N

нҥктесінің екінші реттік

N

H

проекциясы кӛкжиексызығына жақынырақ болады. Егер нҥктені суреттен қашықтататын болсақ, онда қашықтағы нҥктенің кӛлденең проекциясына бағытталған проекциялайтын сәуле мен кӛкжиек жазықтығы арасындағы бҧрыш азаятын болады. Нҥкте шексіз алысқа қашықтатылғанда, сәуле кӛкжиек жазықтығымен сәйкес келеді және оның екінші реттік проекциясы кӛкжиек сызығында болып шығады. Демек, нҥктенің екінші реттік

F'

H

проекциясы кӛкжиек сызығында орналасса, онда

F

нҥктесі шексіздікте тҧрады. Мҧндай нҥктелер кеңістіктің
шексіз қашықтағы
немесе ӛзіндік емес нҥктелері деп аталады.

8.3.

ТҤЗУ СЫЗЫҚТЫҢ ПЕРСПЕКТИВА

Суреттегі кез келген нҥктенің проекциясының орны әлдебір екі тік сызықтың қиылысу нҥктесі ретінде анықталатындықтан, перспектива тҧрғызу процесі айтарлықтай еңбектенуді қажет етеді. Дәл сол кезде,тік жиектің перспективасын тҧрғызу ҥшін, оның екі нҥктесінің перспективаларын білу қажет. Тік жиектің

бірінші нүктесі

— бҧл осы тік жиектің суреттің жазықтығы мен қиылысу нҥктесі–тік жиектің сурет ізі. Тік жиектің

екінші нүктесі

—тік жиектің шексіз қашықтағы нҥктесі, оны суреттің жәнекӛру нҥктесіарқылы берілген тік жиекке параллель ӛтетін проекциялайтын сәуленің қиылысу нҥктесі ретінде анықтайды.

Перспективалық бейнелердің ортогональ сызбалардың негізінде орындалатындығын атап ӛту керек.

198

8.4сур.Суреттің жазықтығына перпендикуляр орналасқан тік жиектердің перспективасын тҧрғызу (a, b

—заттықжазықтыққа тиесілі; с,

d

— заттық кеңістікте тҧрған): a — ортогональ сызба;

б

— сурет

Суреттің(8.4, б

сур. )t

t

қашықтықтарды t

— tсызықта салады.

А

және b тік жиектері заттық жазықтыққа тиесілі болғандықтан, олардың іздерінің перспективасы және екінші реттік проекциясы сәйкес келеді:

1 = 1' н

және
2' = 2'

H

.C

және d

тік жиектері заттық кеңістікте болады, сондықтан, іздердің 3' н

және

4

н

екінші реттік проекцияларын жобалап,

3

және

4

сурет іздерінің перспективасын алу ҥшін, проекциялық байланыс сызығына Z

3

және Z

4

координаталарын салады.

Суретке перпендикуляртік жиектердің шексіз қашықтағынҥктесі суреттің бас нҥктесіболып табылады. Демек,берілген тік жиектердің екінші реттік проекциялары және

а, b, с мен d

перспективалары

Р

нҥктесінебағытталғанболады, яғни, суреттің бас нҥктесіндеқосылатын болады.
Суретке45°бҧрышпенорналасқанкӛлденеңтік
а, b, с

және dжиектерінің перспективасы мен екінші реттік проекцияларын тҧрғызу8.5 сур.кӛрсетілген. Берілген

а, b, d
және

с тік жиектерініңсурет іздерінің проекциялары бҧрынырақта келтірілгендерге ҧқсас табылды (8.4 сур.тҥсіндірмелерді қар). Эпюрдеекіншінҥктены анықтау ҥшін,

S

H

тҧру нҥктесінен берілген тік жиектердің кӛлбеу проекциясына параллельтік жиектер жҥргізіп, проекциялайтын сәуленің кӛлденең проекциясын тҧрғызады. Бҧлкезде t

H

t

H

сызықташексіз қашықтағы нҥктелердің

Б

ЛН

және

D

nH

199

a а

— ортогональ сызба;

б

— сурет

І І І ІІІ

h

р h

-о

и

-а: -о

ІІІ

<

6

N

а а

— ортогональ сызба;

б

— сурет

кӛлденең проекциялары алынады. а

және b

тік жиектер ҥшін шексіз қашықтағы нҥкте болып

D^

нҥктесі, с

және d

тік жиегі ҥшін—

D

n

нҥктесі табылады .
А, b, с және d
тік жиектері кеңістікте кӛлденең орын

орналасады на сызықтар

200

алатындықтан,

D

Л

және

D

n

нҥктелері h

h

кӛкжиексызығында орналасады.

Б

Л

және

D

n

нҥктелері
дистанциялық

деп аталады, ӛйткені олар суреттің бас нҥктесінен дистанция қашықтығында орналасқан: D

Л

Р = D

n

P = SP.

Сурет жазықтығымен45° бҧрышқҧрайтын кӛлденең тік жиектер перспективада дистанциялық нҥктелердің бірінде қиылысатын болып бейнеленеді.

Радиал тік жиектер деп

S

H

тҧру нҥктесі арқылыӛтетінтік жиектераталады(8.6, а сур.).Суреттің жазықтығының жәнерадиалтік жиекарқылыжҥргізілген проекциялайтын жазықтықтың қиылысу сызығы тік тҧрған тік жиек болып табылатындықтан, радиал тік жиектің перспективасы суреттің негізіне перпендикуляр (8.6, б

сур. ).

8.1 сур. радиал тік жиектің

1А

Н

ҥзіндісінің

1А'

Н

перспективасын және8.6сур.тік жиектің перспективасын салыстырыңыз.
Суретке параллель
(АВ, а)
және заттық жазықтыққа перпендикуляр (с,

е, m)орналасқан тік сызықтардың ҥзінділерініңперспективасын тҧрғызуларды қарастырайық. 8.7, б сур.бҧл тҧрғызулар суретті ортогональ сызбаға (8.7, а сур.)қатысты екі есе ҧлғайтып кӛрсетілген. Сондықтан

РР

H

кӛкжиектің биіктігі 2 х Z

P

тең,ал суреттің негізінің t

H

t

H

кӛлбеу проекциясында орналасқан нҥктелердің арасындағы екі есе ҧлғайтылған ҥзінділер t

t

сызығында салынады . 8.7 сур.суреттің негізінде орналасқан нҥктелердің проекцияларының белгілеулерінде жол астындағы Н индексі жоқ, бҧл сызбада жазбаларды қысқартуға мҥмкіндік береді.

а

— суретке параллель;

с, е, m

— заттық жазықтыққа перпендикуляр):

а

— ортогональ сызба;

б

— сурет

201

Қарастырылып отырған тік сызықтардың
(АВ, а)
кӛлденең проекциялары

М'

= 2 х Z

M

Е

тік жиегінің ҥзіндісі сурет жазықтығынан қашықта орналасқан және оның перспективасының ҧзындығы бҧл ҥзіндінің табиғи шамасынан азырақ.

ҥзіндісін тҧрғызады, ол с

тік жиегінің ізделіп отырған

N'

H

N'

ҥзіндісіне тең болады.

N'

H

N'

және 7'

Н

7'

ҥзінділерін тҧрғызу нҧсқамалармен кӛрсетілген (8.7, б сур. қар.).

ЖАЛПАҚ ПІШІНДЕРДІҢ

ПЕРСПЕКТИВАСЫ

Заттық жазықтықта орналасқан тік бҧрыш тҥріндегі жалпақ пішіннің перспективасын тҧрғызуды қарастырайық (8.8 сур.).Тік бҧрыштың жақтарының перспективасын тҧрғызу ортақ ереже бойынша орындалды.Жақтардың сурет іздерінің (1, 2 , 3

және

4

нҥктелер ),

сондай-ақ

Р

ЛН

және

F

nH нҥктелерінің–тік жиектердің шексіз қашықтағы нҥктелерінің кӛлденең проекциялары табылды(8.8, а сур.). Одан соң1, 2,

3

және

4

нҥктелер t

t

суреттіңнегізінде, ал

F

/і

және

F

n

нҥктелері h

h

кӛкжиектің сызығында тҧрғызылды (8.8, б сур.).

F

n

нҥктесі

АВ

және

СЕ

жақтары ҥшін ортақ шексіз қашықтағы нҥкте болады, сондықтан суретте 1 және 2 нҥктелерін

F

n

нҥктесімен байланыстырады. Осыған ҧқсас,

F

Л

нҥктесінде

АЕ

және

ВС

жақтарының перспективалары қиылысады

.F

Л

және

F

n

нҥктелері
параллель кӛлденең тік сызықтарды ңқосылу нүктелері
деп аталады

Демек,суретте параллель сызықтардың перспективалары шексіз қашықтағы нҥктелерде қосылатын (қиылысатын)тік жиектермен бейнеленеді.. а а

— ортогональ сызба;

б

— сурет

203

Суретте берілген тік бҧрыштың ҧштарының екінші реттік

А

Н

, В'

Н

, С

Н

мен

Е

Н

және перспективалық

А', В', С'

мен

Е

проекциялары

1F

n

және

2F

n

тік жиектерінің

3F

A

және

4F^

тік жиектерімен қиылысу нҥктелеріретінде анықталады.

А

Н

В’

Н

С

Н

Е

Н

тӛртбҧрышын
жоспардың перспективасы
деп атауға болады.
Тік орыналып отырған жалпақ пішіннің перспективасын тҧрғызуды

АВСЕ

тікбҧрышының (8.9 сур.) мысалында қарастырамыз. Тікбҧрыш суреттің жазықтықтығына еркін бҧрышпен орналасқан.Эпюрде (8.9, а сур.)

ВС

тік жиегінің - сурет ізініңпроекцияларын -

1

Н

және

1

V

нҥктелерін, сондай-ақ

АЕ

және

ВС

тік жиектерінің шексіз қашықтағы

П

нҥктесінің проекциясын анықтайды.

1

нҥкте арқылы

АВСЕ

жазықтықтың сурет ізі m

ӛтеді.
Суретте (8.9,

б

сур. ),

оның негізгі элементтерін (t

t, h

h ,

Р

және Р^ тҧрғызып,

F

П

қ осылу нҥктесінжәне 1'

Н

нҥктесі арқылы ӛтетін т'

Н

және m'сурет ізін анықтайды.

M

сызығында Z j

координатасын салады және алынған

1

нҥктені F №

байланыстырады.

Е

П

сызығы осы тік бҧрыштың перспективалық биіктігін анықтайды.

АВСЕ

жазықтығының ҧштарының перспективаларын табу ҥшін, радиал тік жиектер қолданылады (8.6 сур. аналогия бойынша).

h v Ру h v а а

— ортогональ сызба;

б

— сурет

204

Тік жазықтықтың сурет ізіжеке орынның тік жиектеріне тиесілінҥктелердің(8.4, 8.5 сур. с

және d тік жиектерін қар.) немесе еркін нҥктелердің (8.7 сур. қар.)перспективасын тҧрғызу ҥшін табиғи биіктіктер сызығы(ТБС) ретінде қолданылады. Шеңбердің перспективасы сегіз нҥкте бойынша тҧрғызылатын эллипс болып келеді: олардың ішінен тӛрт нҥкте шеңбердің маңында сырттай сызылған жақтардың ортасында, басқа тӛрт нҥкте–осы квадраттың диагональдерінде орналасқан. 8.10, а

сур.заттық жазықтықта жатқан т шеңбердің және заттық кеңістікте орналасқан n шеңбердің ортогональ сызбасы кӛрсетілген. Суретте (8.10 сур., б) алдымен суретке перпендикуляртік жиектерді және оған 45°бҧрыштармен тік жиектерді пайдаланып, квадраттың жақтарының және оның диагональдерінің перспективасын тҧрғызады. Сегіз нҥктенің орнын анықтап алып, олардыбіріздібайланыстырады.

Суреттің жазықтығына перпендикуляр жазықтықта орналасқан тік жарты шеңбердің(8.10 сур., в) перспективасын тҧрғызу радиусы

R

қосалқы жарты шеңбердің жеке орынның тік жиектерінің перспективаларының кӛмегімен орындалды. Тік бҧрыштың 1'

Н

1'

жағы жарты шеңбердің

R

радиусына тең. 1'

Н

2'н

және
1'2'
жақтары перспективалық жағынан жарты шеңбердің

б

S

H

а

— ортогональ сызба;

б

— сурет;

в

— тікжарты шеңбердің перспективасы

205

диаметріне тең. Жарты шеңбердің перспективасы 1' н

және 2' н , нҥктелері арқылы, сондай-ақ1'2'жақтың перспективалық ортасы арқылы ӛтеді. Диагональдердің жартыларындағы нҥктелер тең бҥйірлі тікбҧрышты 1' н 1'3

ҥшбҧрыштың катетінің кӛмегімент ҧрғызылды.

8.5.
КӚРУ НҤКТЕСІН ЖӘНЕ БҦРЫШЫН ТАҢДАУ,СУРЕТТІ БАҒЫТТАУ

Кӛру нҥктесін, перспективалық бейне жобаланып отырған ғимараттың нышанын және пропорцияларын барынша толық беретіндей етіп таңдайды. Бҧл кезде ғимарат жекелеген бӛліктері бойынша емес, бір қараумен қамтыла отырыпқ арастырылуға, яғни, шартты«айқын кӛру» конусына (8.11 сур.) толығымен тҥсуге тиіс. Сондықтан, ғимараттың перспективасын тҧрғызуды бірыңғай қозғалмайтын кӛру нҥктесі кезінде орындау қажет.

Бас сәуле

SP

арқылыӛтетінкӛлбеу жазықтығында орналасқан, шарттыконустың

AS

және

SC

қҧраушыларының арасындағы ϕ

бҧрышы
кӛлденең кӛру бұрышы
деп аталады

.SP

бас сәуле мен конустың

SВ

қҧраушысы арасындағы ϕ

/2 бҧрышы
тік кӛру бұрышы
деп аталады.

Кӛру нҥктесінің және сурет жазықтығының орнына байланысты, перспективалардың екі тҥрі болуы мҥмкін. Егер сурет жазықтығы әлде бір қасбеттің жазықтықтығына параллель болса, онда перспектива

беткі
деп аталады (8.12 сур.). Егер сурет ғимараттың қасбетіне

а

бҧрышпен орналасқан болса, онда перспектива
бұрыштық
деп аталады (8.13 сур.).
Беткі перспективаны тҧрғызған кезде,кӛру бҧрышы

ϕ

30° бастап 60° дейінгі шамада тҧруға тиіс(8.12, б

сур. қар. ).

Бҧрыштық перспективаны тҧрғызған кезде, кӛру бҧрышы ϕ (8.13, а сур. қар.) 18... 53° қҧрауы мҥмкін, бірақ кӛру бҧрышының оңтайлы мәні 28° тең.

Тік кӛру бҧрышын ϕ /2 40... 45°шамасында қабылдайды. Биіктігі ҧзындығынан асып тҥсетін ғимараттың перспективасын тҧрғызу практикасы,

S

H

тҧру нҥктесін суреттен ғимараттың бір жарым-екі биіктігіне әкету керектігін кӛрсетіп отыр,сонда тік кӛру бҧрышы жол берілетін шектерде болып шығады. Перспективаларды тҧрғызу практикасында мӛлдір қағаздан жасалған трафарет (8.14 сур.)қолданады. Еркін а

ҥзіндісін

SР

перпендикулярында екі рет салады.

S1

және

S2

проекциялайтын сәулелер ала отырып,

S

нҥктесін

1

және 2нҥктелермен байланыстырады. Трафаретті ғимараттыңкӛлбеу проекциясына басып, проекциялайтын сәулелерді жоспардың шеткі нҥктелеріне бағыттайды (8.13, а

сур. қар.).

206

ϕ

— кӛлденеңкӛру бҧрышы;

ϕ

/2 — тіккӛру бҧрышы

а

— жоспар;

б

— кӛкжиегіжоғары сурет;

в

—кӛкжиегіқалыптысурет

207

сур.
28° кӛру бҧрышының трафареті

а

S

2

2а

Сурет жазықтығының кӛлденең

К

Н

ізін бас қасбетке сәйкес келетін жоспар жағынан да абҧрышы 20 бастап 40° дейін шамада тҧратындай етіп, бас сәуленің

S

H

P

H

к ӛлбеу проекциясына перпендикуляр етіп сызады(8.13, а сур. қар.).Бҧл кезде

Р

н

нҥктесі

А

Н

С

Н

ҥзіндісін қақ бӛледі немесе оның ортаңғы ҥштен бірінде тҧрады. Ҥзіндіні ҥш тең бӛлікке бӛлу 4 қосымшада (7 мысал) егжей-тегжейлі қарастырылған.

А

Н

С

Н

ҥзіндісі суреттегі ғимараттың перспективалық проекциясының ҧзындығын анықтайды.

Сурет жазықтығының кӛлденең

К

Н

ізін,перспективалық проекцияда табиғи шамаға бейнеленетін, заттың қырларының бірінің проекциясымен қиыстырған ақылға қонымды.

Кӛкжиектің биіктігіқалыпты (8.13, а,

в сур.), аласа (8.12, а

сур. )

немесе биік (8.13,
а, б
сур.

болуы мҥмкін. Кӛкжиектіңқалыпты биіктігі кезінде

SS

H

= РР

Н

қашықтығы (8.1 сур.)адамның бойына - шамамен 1,5... 2,0 мсәйкес келеді.
Кӛкжиектің қалыпты биіктігі

тегіс жерде орналасқан ғимараттың перспективасын тҧрғызу ҥшін қолданылады. Кӛкжиектің тӛмен биіктігі кезінде кӛкжиектің тік жиегі жер деңгейінде ӛтеді, яғни,суреттің негізімен сәйкес келеді.

Кӛкжиектің тӛмен биіктігі кӛтеріңкі жерде тҧрған ғимараттар ҥшін, немесе, тӛменнен бақыланатын жекелеген бӛлшектер ҥшін пайдаланылады. Кӛкжиектің жоғары биіктігі кезінде ол100 м асатын етіп қабылданады. Мҧндай перспективаны басқаша «кӛз жетер биіктік» деп атайды.

Кӛкжиектің жоғары биіктігі кварталдың немесе ауданның перспективалық бейнесін тҧрғызу ҥшін, сондай-ақ ғимарат аумақты жоспарлай отырып кӛрсетілген жағдайларда қолданылады.

ПЕРСПЕКТИВА ТҦРҒЫЗУ ТӘСІЛДЕРІ

Перспективалық бейнелер тҧрғызудың бірнеше тәсілі бар. Тҧрғызудың қандай да болсын тәсілін таңдау объектінің тҥріне байланысты болады. Әдетте, перспектива тҧрғызу тәсілдерінің бірі негіз ретінде алынады, бірақ, басқа тҧрғызу тәсілдерінің элементтерініңде қолданылуы жоққа шығарылмайды.

208

Ғимараттың бҧрыштық перспективасын тҧрғызудың ең кең таралған тәсілі — бҧл сәулетшілер тәсілі,ол басым (басымдық танытып отырған) бағыттың кӛлденең сызықтарының перспективаларының

Р

Л

және

F

n қосылу нҥктелерін жәнетабиғи биіктіктердегі сызықтарды бірлесе пайдаланудан тҧрады. Перспективаны сәулетшілер тәсілімен тҧрғызған кездеекі қосылу нҥктесі немесе бір қосылу нҥктесі пайдаланылуы мҥмкін. Перспективаны екі қосылу нҥктесіментҧрғызу. Бҧлперспективаны тҧрғызудыңең дәл және қарапайым амал-тәсілі. Тҧрғызукезеңдерін қарастырайық.

Эпюрден объектінің перспективасын тҧрғызуға кӛшіп, кӛкжиектің эпюрде h

V

бастап х ӛсіне дейінгі қашықтыққа сәйкес келетін, қабылданған биіктігін ескеріп, суреттіңэлементтерін (8.2 сур. қар.)сызады. Екі есе ҧлғайтылған перспективаны тҧрғызған кездебҧл қашықтық, сондай-ақ суреттің негізінің

tn –
H кӛлбеу проекциясы (сурет жазықтығының

K

H

кӛлденең ізі) бойынша ӛлшенетін ҥзінділер екі есе ҧлғайтылады.

209

h

F

n P

F

n h

2:1 ЛНВ, M, В, C, R

а

— ортогональ сызба;

б

—екінші реттік проекция тҧрғызу; в — объектінің перспективасын тҧрғызу және суретті жасау

Алдымен тік п қырының перспективасын тҧрғызады. Ол суреттің жазықтығында орналасқандықтан, оның табиғи шамасы 2 х

Z

D

тең .

Алынған

D

нҥктесін

F

Л

және

F

n

қосылу нҥктелерімен байланыстырады.
D 'Fn және DF

A

сызықтарында байланыс сызықтарының кӛмегімен тиісінше

Е

және

А

нҥктелерін анықтайды.

А'С

перспективасын

F

n

нҥктесіне бағыттайды. Қыр проекциялайтын

SF

n

сәулесіне параллель болғандықтан,

С

нҥктесін А '

F

n

және

СНС

қиылысында алады.

F

A ЖӘНЕ

F

n , қосылу нҥктелерін, жоспардың перспективасын және байланыс сызықтарын пайдаланып, А'

С R' G E D А

кӛлбеу жазықтығының қырларының және сызықтарының перспективасын бірізді тҧрғызады.

С

және

R'

нҥктелерін тҧрғызудың басқа нҧсқалары да болуы мҥмкін. Мысалы,

ВМRС

тік жазықтығының перспективасын тҧрғызады. Бҧл ҥшін

3

нҥктесі арқылы табиғи биіктіктегі сызық жҥргізіп, онда екі есе ҧлғайтылған

Z

G

және Z

M

ҥзінділерін салады.

3

және 3"

нҥктелерін

F

нҥктесімен байланыстырады және

3F

A

мен

3"F

A

сызықтарында

B'

M

R'

және

C

нҥктелерінің перспективаларын анықтайды. Одан соң А мен

С

нҥктелерінбайланыстырады; бҧл кезде А,

С

және

F

n

нҥктелері бір тік сызықта тҧруға тиіс.

NMRG

тік жазықтығының перспективасын тҧрғызу

R'G'

М N'

сызықтарын,

N

нҥктесі арқылы ӛтетін тікқырды бірізді сыза отырып орындалды.
4 кезең.
Суретті жасау (8.15,

в

сур. ).

Объектінің перспективасының кӛзге кӛрінетін контурын жуан тҧтас сызықпен айналдыра қоршайды. Бейненің кӛзге кӛрінбейтін контурын жеңіл сызылған сызықтарда қалдырады. Суреттің негізін және кӛкжиек сызығының кӛзге кӛрінетін ҥзінділерін айқын жіңішке сызықпен айналдыра қоршау керек. Осылайша жасау суретке кӛбірек тартымдылық, айқындық беретін болады. Суретте бейне ҧлғайтылған және кӛлденең сызықтардың қосылу нҥктелерінің бірі пішімінің шамасына сыймайтын жағдайда, бӛлшек нҥктені қолданады. Ортогональ сызбада (8.16, а сур.) сурет ізінің проекциясын -

1

Н

және

1

V

нҥктелерін, п

тік жиегінің

F

AH

қосылу нҥктесін тҧрғызу кӛрсетілген. Суретте перспективаны тҧрғызған кезде (8.16, б

сур. )

кӛкжиектің биіктігі және

Р

Н

1

Н

ҥзінді олардың эпюрдегі ҧзындығына қатысты екі есе ҧлғайтылған. Тексуреттің бас нҥктесі мен кӛкжиек сызығындағы қосылу нҥктесі арасындағы қашықтық қана ҧлғайтусыз салынған; бҧл кезде алынған

F

A

/2

нҥктесі бӛлшек нҥкте болып табылады.

Тік жиектің перспективасын тҧрғызу ҥшін, бірқатар геометриялық тҧрғызуйларды орындайды.

N

тік жиегінің сурет ізін

1

(және оның екінші реттік 1'

H

проекциясын) суреттің

Р

бас нҥктесімен тік сызықпен байланыстырады, онда орта нҥктелерді табады. Одан соң орта нҥктелерді қосалқы тік сызықтармен F a

/2 бӛлшек нҥктемен байланыстырады, одан әрі оларға параллель

П

перспективасын және тік жиектің п' н

екінші реттік проекциясын сызады.
Егер сурет жазықтығының ізін ғимараттың

1

U

бҧрышы арқылы жҥргізсе, перспективаның шамалы ҧлғайтылуына қол жеткізуге болады. Карниздің және цокольдің бір бӛлігі суреттің алдында, ал нҥктелердің

A'

H

және

M'

H

екінші реттік проекциялары –суреттің негізінен тӛменірек орналасатын болады (8.21, б, в

сур.) .

211

а

— ортогональ сызба;

б

— тік жиектің екінші реттік және перспективалық проекцияларын тҧрғызу

Тҧрғызу8.7 шағын тарауда егжей-тегжейлі баяндалған .

Бір қосылу нҥктесі бар перспектива тҧрғызу.

8.17
сур.
Бірқосылу нҥктесімен сәулетшілер тәсілі:

а

— ортогональ сызба;

б

— сурет

D

нҥктесі арқылы ӛтетін n тік қабырғасы сурет жазықтығында орналасқан және суретте ол табиғи шамасында бейнеленеді.

D

нҥктесін

F

n

қосылу нҥктесімен байланыстырады

.D'F

n

тік жиегінің радиал тік жиекпен

8

қиылысында нҥктенің

Е

перспективасынжәне оң бҥйір жазықтықтың перспективасын алады.

F

A

қосылу нҥктесіне бағытталған кӛлденең қырлардың перспективаларын тҧрғызу ҥшін,олардың τ

және τ

' тік жазықтықтарда орналасқан ҧштарының перспективаларын анықтайды. А
, В және С
нҥктелері объектінің сол шегімен сәйкес келетін

τ

жазықтықтығында болатындықтан, оныңА,

В

және С нҥктелерінің ТБС болып табылатын сурет ізін сызады.

А

және

С

перспективаларын

1'F

n

тік жиегініңтиісінше

3

және

4

радиал тік жиектердің перспективаларымен қиылысында анықтайды.

В'

нҥктесін

1"F

n

және 4 тік жиектерінің қиылысынан табады.
Осыған ҧқсас, кӛлденеңтік жиектердің перспективаларының

Fn

қосылу нҥктесімен және тиісті радиал тік жиектердің қиылысында τ

'жазықтығында орналасқанR,

M, N

және Gнҥктелерінің перспективаларын тҧрғызады. Одан соң, AD,

ВМ

және

CR

нҥктелерінің перспективаларының олардың ортақ, шексіз алыстағы

F

A

қосылу нҥктесіне бағытталған болуын тексере отырып,нҥктелерді қос-қостан байланыстырады. Бейнені жасаған кезде, объектінің перспективасының кӛзге кӛрінетін контурларын, кӛкжиексызығын және суреттің негізін айналдыра қоршайды.

Кӛкжиектің биіктігі нӛлге тең болған немесе аз болғандығы соншалықты, заттың екінші реттік проекциясы ӛте қатты қысылған болып шығатын жағдайда, тҥсірілген жоспарды тҧрғызуды қолданады.

Түсірілген жоспар деп ғимараттың заттық жазықтықтан тӛменірек еркін b қашықтықта орналасатын

Н1

кӛлбеу жазықтығында алынған қосымша проекциясының перспективалық проекциясы аталады (8.18, а сур.). Оның жалғасында

К

сурет жазықтығы
суреттің түсірілген негізі
деп аталатын

t°

— t° сызығы бойынша

Н1

жазықтығын
қиып ӛтеді.
Суреттің тҥсірілген

t°

негізін суреттің t

t

негізінен тӛменірек, кӛкжиектің шамамен 3... 5 биіктігіне сызады(8.18, б

сур. қар. ). bқашықтығы неғҧрлым кӛбірек болса, тҥсірілген жоспар соғҧрлым кеңірек болып шығады. Тҥсірілген жоспарды тҧрғызу заттық жазықтықта тҧрған жазықтықтың екінші реттік проекциясын тҧрғызуға ҧқсас орындалады(8.8 сур. қар.). Перспективаны тҥсірілген жоспарды пайдалана отырып тҧрғызудың мысалын 8.19, б сур., сондай-ақ 8 қосымшадан қараңыз(П8.14 сур.).

214

а

— перспективалықаппарат;

б

— сурет

Тік қырлардың перспективаларын жасаған кезде, олардың биіктігін суреттің t

— tнегізінен салады.

Әдетте,тҥсірілген жоспар екінші реттік проекцияны алмастырады және тек ғимараттың перспективасын ғана емес, тҥсетін кӛлеңкелерді де тҧрғызу ҥшін пайдаланылады.

Бҥйір қабырға тәсілі (8.19 сур.), әдетте, жалпы алғанда объ- ектілердің немесе оның жекелеген элементтерінің перспективаларын тҧрғызу ҥшін, тҥсірілген жоспармен бірлесе қолданылады.

Бҥйір қабырға еркін тік τ

жазықтық болып келеді (8.19, б сур.). τ

жазықтығы кӛкжиектің сызығында тҧрған еркін Fн ҥктесіне бағытталған. τ

жазықтығы заттық жазықтықты

O

H

F

сызығы, қосымша кӛлденең

Н

1

жазықтығын

0

H1

F

сызығы бойынша, ал суреттің жазықтығын –осында суреттің t

t

негізінен

І, ІІ

және

ІІІ

ҥзінділерінің биіктіктері (немесе заттық кеңістіктің нҥктелерінің аппликаттары)

салынатын тік сызық бойынша қиып ӛтеді.
Еркін тік

τ ( τ ')жазықтықты ғимараттың перспективасынан сол жақтағы немесе оң жақтағы бос орындасызады. Осы жазықтықтың кӛмегімен заттық кеңістіктің нҥктелерінің еркін екінші реттік және перспективалық проекцияларын тҧрғызуға болады. 8.19, б

сур. кӛрсетілген,

L

және

G

нҥктелерініңперспективасын тҧрғызу қосымша тҥсіндірмелерді қажет етпейді.

215

а

— ортогональ сызба;

б

— перспектива

Перспективада шамалардың ӛстері
перспективалық масштабтар
деп аталады
: Ox

— ендіктер масштабы;

Oy

— тереңдіктер масштабы;

O z

— биіктік масштабы. Перспективалық масштабтар тәсілі объектінің жаңа координаталық ӛстерге жатқызылатындығынан және одан соңбҧл ӛстердің перспективасының кӛмегімен суретте тҧрғызылатындығынан тҧрады.Тәсілді нҥктенің перспективасын тҧрғызудың мысалында қарастырайық(8.20 сур.).

Ортогональ сызбада (8.20, а сур.) жаңа координаталық ӛстердің проекциялары кӛрсетілген; бҧл кезде координаталық Oxz

жазықтық суреттің жазықтығымен қиысқан, Oy

нҥктесі арқылы биіктік масштабы суреттің негізіне перпендикуляр ӛтеді, ал тереңдіктер масштабы суреттің

Р

бас нҥктесіне оған перпендикуляртік жиек секілді бағытталған.

A(X

a

; Y

a

; Z

a ) нҥктесінің координаталарын координаталардың жаңа жҥйесінде эпюрде белгілейді (8.20, а сур. қар.).Бҧл масштабтар суреттің жазықтығында болатындықтан, перспективадатек

X

A

және

Z

A

координаталарын ғана тиісінше ендіктер масштабында және биіктік масштабында олардың табиғи шамасында салуға болады (8.20, б сур. қар.).

а

— ортогональ сызба;

б

— перспектива

217

Тереңдіктер масштабында

Y

A

координатасын суреттің жазықтығына 45°бҧрышпен орналасқан тік жиектің перспективасының кӛмегімен тҧрғызу керек. Бҧл ҥшін, ӛсте А у

нҥктесін анықтап, эпюрде

А

Н

нҥктесіарқылы y

H

ӛсіне перпендикуляртік жиек сызады. Одан соң нҥктеден суреттің жазықтығының

К

Н

ізіне 45°бҧрышпен тік жиек жҥргізеді және оның сурет ізін (2 нҥкте)табады.Алынған

тік бҧрышты

А

у

О

Н

2

ҥшбҧрыштың катеттері

Y

a

координатасына тең.
Одан соң суретте

Y

a

координатасын ендіктер масштабында салады және

2

нҥктені дистанциялық

D

A

нҥктесімен байланыстырады.

О'А'

у ҥзіндісі А нҥктесінің перспективалық тереңдігін анықтайды. А нҥктесінің екінші реттік

А'

н

проекциясын

1Р

және
А'уА'н
тік жиектерінің перспективаларының қиылысу нҥктесі секілді табады.

А

у

нҥктесі арқылы

3Р

сызығымен қиылысқанға дейін жҥргізілген, тік салынған тік жиек перспективалық Z

A

АРХИТЕКТУРАЛЫҚ БӚЛШЕКТЕРДІҢ ПЕРСПЕКТИВАСЫ

Ғимараттардың архитектуралық бӛлшектері, әдетте, ӛте ҧсақ бейнелерге ие (мысалы, 8.21, а сур. келтірілгенбейін).Олардың кейбіреулері жоспарларда және қасбеттерге сызыла алмайды, сондықтан архитектуралық бӛлшектердің перспективасын тҧрғызуды перспективалық бейненің ӛзінде орындайды.

Карниздің перспективасы.

Ғимараттың ортогональ проекциясын шартты тҥрде параллелепипедтер тҥріндегі кӛлемдерге бӛледі, осылардың перспективасын ҧлғайтумен тҧрғызады(8.21, б,

в сур.).карнизді алмастыратын параллелепипедтің

АМ

қыры сурет жазықтығының алдында орналасқан. Оның перспективасын тҧрғызу ҥшін, алдымен

2

Н

және

3

Н

нҥктелерін табады, одан соң оларды суреттің негізінде жобалайды.

2

және

3

нҥктелері арқылы табиғи шамадағы сызықтар ӛтетін болады, осыларға

А

М

R, U

және бас. Нҥктелердің екі есе ҧлғайтылған аппликаттары салынады. Бҧл кезде алынған ТБС-дағы нҥктелерді, тік сызықтардың перспективаларын олар

А'

және

M

нҥктелерінде ӛзара қиылысқанға дейін жалғастыра беріп, 2'

және 3'нҥктелермен аналогия бойынша

F

A

және

F

n

қосылу нҥктелерімен байланыстырады.

218

Одан әрі биссекторлық σ, е және τ жазықтықтарында орналасқан тік бҧрыштардың перспективасын сызады(8.21, г сур.).Параллелепипедтің бҧрыштарын қақ бӛлетіндіктен, жазықтықтар

биссекторлық деп аталады(8.21, б сур. қар.). Әр тікбҧрышта бір тік жақ параллелепипедтің қыры болып табылады, ал екінші жақ, мысалы,ғимараттың RU бҧрышымен сәйкес келеді.

R'

нҥктесіне ие болып және

Р

Л

мен

F

n қосылу нҥктелерін қолдана отырып, тікбҧрыштардың ғимараттың бҧрыштарымен сәйкес келетін тік жақтарының перспективасын сызады. Карниздің перспективасын тҧрғызудың екінші кезеңіндебӛлгіш масштабтың кӛмегімен бейінді бӛлуді орындайды (8.22, а сур.). Бҧл ҥшін

1

1

10

ҥзіндісінен с

ортанҥктесі арқылы ӛтетін сызықта орналасқан ю

2

нҥктесінен р

2

тік жиегінің белгіленген нҥктелеріне тік сызықтардың шоғын бағыттайды.
Одан соң суретте биссекторлық жазықтықтың әрбір тікбҧрышында кӛлбеу жақтан

с орта нҥктесін тҧрғызады. Перспективада кӛлденең ҥзіндіні диагональдердің қиылысу нҥктесі арқылы жҥргізілген тік салынған тік жиекпен қақ бӛледі(8.22, б

сур. ) .

2

тік жиегінде,

М

нҥктесі - ю

2

1 сәулесінде (карниздіңдӛңес жері), ал

R'

нҥктесі

— ю

2

10 сәулесінде (ғимараттың қабырғасының бҧрышы) болуға тиіс. Жазықтықтың 5 тікбҧрышында

ІІІ

кесіндінің жиегін кӛлбеу жақтың перспективасына астыңғы жақтан, ал жазықтықтардың τ

және е тікбҧрыштарында - 8.22, в

сур. кӛрсетілгендей басу керек. Кесінділердің жиектері р

1

және р

2

тік жиектерінің әртҥрлі жақтарында орналасуы мҥмкін.

І

ІІ

және

ІІІ

кесінділердің жиектерінде оның шоқтардың сәулелерімен әрбір қиылысуын белгілейді және тікбҧрыштардың перспективадағы тиісті жақтарында нҥктелерді кері тіркей отырып кӛшіреді. Одан соң тік жақтарда орналасқан нҥктелерді қос-қостан байланыстырады (8.22, г сур.).

Тор сызықтарының перспективасынтек

URMA

тікбҧрышы ҥшін ғана

І

кесіндісініңжәне

F

mc

қосылу нҥктесініңкӛмегімен тҧрғызуға болады.

219

220

а

— бейін;

б

— ортогональ сызба; в — перспектива;

г

— перспективаның ҥзіндісі

м'

а

— бейінді бӛлу;

б, в...е

— бейінді тҧрғызу;

ж

— карниздің перспективасы;

з

— карниздің бӛлшегі

222

Кӛлбеу жақтардың нҥктелері арқылы (8.22, д

сур.

M'R'

жағы ) тік сызықтарсызады. Осылайша,әрбір тік бҧрыштың перспективасында осыларды берілген бейінге сәйкес байланыстыратың, бейіннің тірек нҥктелерін анықтайтын тор алады(8.22, а сур.). Суретте бейіннің қисық сызықты учаскелерін қолмен орындауға жол беріледі, ал қажет болған кезде қосымша нҥктелер, мысалы 8.22, е

сур.

Дт

нҥктесін тҧрғызуға болады.
Карниздің перспективасын тҧрғызудың ҥшінші кезеңінде 2,
4, 5, 7, 8
және

9

нҥктелері арқылы карниздің кӛлденең қырларының немесе қҧраушыларының перспективаларын жҥргізеді(8.22, ж сур.).Сондай-ақ

7

және

9

нҥктелер арқылы

F

n қосылу нҥктесіне бағытталған қырлардың кӛзге кӛрінетін бӛліктерінің перспективасын сызу қажет. Карниздің кӛлденең жазықтықтарында орналасқан

7

8

және

9

10

биссектрисаларды тҥпкілікті сызбада алып тастау керек (8.22, з

сур. ).

Терезе және есік ойықтарының перспективасы.

Қасбетте ойықтардың проекцияларымен сәйкес келетін тор сызылады (8.23, а сур.).Қасбеттің

A

V

E

V

және

C

V

E

V

жақтарындағы әрбір нҥкте, мысалы,
1...

1 = E

нҥктесіарқылы суреттің негізіне параллель n

тік жиегін жҥргізеді. Тік n

жиек суреттің негізімен сәйкес келуі мҥмкін. Тік n

жиегіне қағаз кесіндісінің кӛмегімен
1... 6
нҥктелерді —қасбетте белгіленген ойықтардың шекараларын кӛшіреді.

6

және

A

нҥктелерін байланыстырып және

6

A

тік жиегін кӛкжиектің сызығымен қиылысқанға дейін жалғастырып, пропорционал бӛлу ҥшін қолданылатын параллель сызықтардың

F

қосылу нҥктесі нанықтайды.

2

—F,

3—F

және басқапараллель сызықтардың перспективаларының A '

Е–

мен қиылысу нҥктелерітордың тік сызықтарының суреттегі орнын анықтайды.
Тікбҧрыштыңтік

СЕ

жағының қосылу нҥктесі болмағандықтан,пропорционал бӛлу П4.4, б

сур. аналогия бойынша орындалады. Егер

СЕ

жағы суреттің жазықтығында тҧрса, онда7,

8

және

9

нҥктелерін тікелей

СЕ

проекциясына (қажет болған кезде — тиісінше ҧлғайтып)тҥсіреді. Тордың ойықтарды биіктігі бойынша шектейтін кӛлденең сызықтарының перспективасы 7,

8

нҥктелерарқылы ӛтедіжәне

F

A

қосылу нҥктесіне бағытталған(8.23, б сур. қар.).

Тордың кӛлденең және тік сызықтарының перспективалары, қиылыса отырып, ойықтардың контурларын анықтайды. Жазықтықтың басқа бҥйірінде орналасқано йықтардың перспективасын осыған ҧқсас тҧрғызады, бірақ пропорционал бӛлудің параллель сызықтарының қосылу нҥктесі енді басқа болады.

223

8.23
сур.
Терезе және есікойықтарының перспективасын тҧрғызу:

а

— ортогональ сызба;

б

— перспектива

Кҥмбездің перспективасы.

Кҥмбездің (жартылай сфераның) кескінінің перспективасы айналу бетінің параллельдер қатарының перспективаларына жанама ӛтетін жатық қисық сызық болып келеді. Кҥмбездің эпюрінде (8.24, а сур.) параллельдердің проекцияларын жҥргізеді. Кҥмбеззаттық кеңістікте кӛкжиек сызығынан жоғарырақ тҧратындықтан, суретте кӛзге кӛрінетіндіктің шекарасы болатын ІІІ параллельдің проекциясын анықтау қажет. Бҧл ҥшін кҥмбездің айналу ӛсіне қатысты тҧру нҥктесін бҧрады және кӛру нҥктесінің

S'

V

беткі проекциясын алады.

S'

V

нҥктесінен бас меридианның беткі проекциясына жанама, проекциялайтын сәуленің

SV B

V

проекциясын ӛткізеді (жанама тҧрғызуды 7 қосымшадан қар.).

224

2,5:1

Әрбір параллельдің перспективасын тҧрғызу ҥшін, мҧның жақтары суреткепараллель және перпендикуляр орналасқан, сырттай сызылған кӛлденең квадраттың сурет ізі қолданылады; бҧл кезде квадраттардың екінші реттік проекциясыміндетті емес.

8.24, б сур.экватордың екі есе ҧлғайтылған перспективасын тҧрғызу кӛрсетілген. Сырттай сызылған кӛлденең квадраттың

Т

э кв

сурет ізі кӛкжиек сызығынан 2 х

Z^

қашықтықта жоғарырақ тҧрады және1 мен 2 нҥктелер арқылы ӛтеді. тЭ кв

сызығында

2

нҥктенің екі жағынан да экватордың екі есе ҧлғайтылған радиусын салып, квадраттың жақтарының суретке перпендикуляр перспективасын тҧрғызады. Бҧл жақтардың

(1’D

n ) диагоналінің перспективасымен қиылысында квадраттың ҧштарының перспективаларын анықтайды және квадраттың суретке параллель жақтарының перспективаларын сызады. Одан соң квадраттың жақтарының перспективаларында орта нҥктелердің тӛрт орта нҥктенің перспективаларын анықтайды. Эллипс тҥріндегі шеңбердің перспективасын тҧрғызу ҥшін қажетті басқа тӛрт нҥктені квадраттардың диагональдерінің перспективаларында тҧрғызады. Осы мақсатпен, мҧның гипотенузасы суретте сырттай сызылған квадраттың жағының жартысымен сәйкес келетін тікбҧрышты теңбҥйірлі ҥшбҧрыш (8.24, б сур. қар.)қолданылады.

8.8.

ИНТЕРЬЕРДІҢ ПЕРСПЕКТИВАСЫ

Интерьер деп жалпы ҥй-жайдың (бӛлменің) немесе оның жекелеген бӛліктерінің ішкі кеңістігі аталады. Интерьердің перспективасын тҧрғызу архитектуралық жобалаудың шығармашылық ҥрдісінде маңызды рӛл ойнайды, ӛйткені,нақты жағдайларда ҥй-жайдың ішкі тҥрінің қабылдануын тек интерьердің перспективасы ғана бере алады. Интерьердің перспективасын сурет жазықтығы бӛлменің қабырғаларына әртҥрлі бҧрыштармен орналасқан кезде тҧрғызады.Егер суретте еденнің немесе тӛбенің суретін толығырақ кӛрсету қажет болса, кӛкжиектің биіктігі таңдап алынуы мҥмкін. Ішкі кеңістіктің тереңдігі ҧлғайтусыз немесе қысқартусыз қабылдануы ҥшін, оңтайлы ϕ

кӛлденең кӛру бҧрышын 40°бастап 60° дейін қабылдау керек

226

Интерьердің бҧрыштық перспективасын тҧрғызған кезде,сурет жазықтығынҥй-жайдың қабырғаларына еркін бҧрышпен орналастырады. 8.25, а

сур. кӛлденеңкӛру бҧрышы ϕ

55° қҧрайды; бҧл кезде

S

H

тҧру нҥктесі ҥй-жайдың шектерінен тысқары орналасады. Кӛкжиектің биіктігіадам бойына тең етіп қабылданған.

а, г сур.), олардың перспективасын перспектива тҧрғызудың кез келген тәсілін қолдана отырып орындауға болады. Мысалы, ϕ кӛлемнің перспективасы екі қосылу нҥктесімен сәулетші тәсілімен және мҧнда бҥйір қабырға ретінде бӛлменің қабырғасы пайдаланылатын бҥйір қабырға тәсілімен тҧрғызылған. Сызбамен жҧмысты аяқтай отырып, кӛзге кӛрінетін тік қырларды жуан тҧтас сызықпен жиектеуді орындайды.

Мҧнда бӛлменің бір қабырғасы суретке параллель, ал басқа қабырғалары –перпендикуляр орналасқан интерьердің перспективалық

227

N N

лнв

2

1

{ р m hv Кн

ВИД

4

Lv

12

D

,з dv hv

F

:Л

2

1

лнв а б Рн

2

t лнв 2:1 лнв лнв 2'

{ к'

12' Рн [ Fn h Fn " г

ВИД

ПЛАН

а

Оп

7

t=x

бейнесі
беткі перспектива

деп аталады. Беткі перспектива бір қосылу нҥктесімен —суреттің бас нҥктесімен салынады. Жоспарда сурет жазықтығының ізін интерьердің тереңдігі бойынша кез келген жерде орналастырады(8.26, а сур.).Тҧру нҥктесін дистанцияның

S

H

P

H

проекциясы 2... 3 м қҧрайтындай етіп таңдайды.

Р

Н

нҥктесін ϕ

кӛру бҧрышының ортаңғы ҥштен бірінің шамасында орналастыруға болады. Суретте суреттің негізін және кӛкжиектің сызығын кӛрсетеді. Одан соң сурет жазықтығында орналасқан элементтерді: қабырғаларды, тӛбенің және еденнің суретпен қиылысу сызықтарын сызады. Ӛлшемдер (ҥй-жайдың ені және биіктігі)жоспарда және тҥрде ӛлшенеді, қажет болған кезде екі есе ҧлғайтылады.Қабырғаның еденмен және тӛбемен қиылысу сызықтары суретке перпендикуляр болғандықтан, олардың перспективалары суреттің

Р

бас нҥктесіне бағытталған(8.26, б

сур. ).

Бӛлменің тереңдігін кӛрсету және суретке параллель қабырғаның перспективасын тҧрғызу ҥшін, перспективалық масштабтар тәсілін қолданады. Бҧл ҥшін суреттің негізінде

O'

нҥктесінен бастап, екі есе ҧлғайтылған

O

H

1 = O

H

A

H

ҥзіндіге тең ҥзінді салады.

1

нҥктесіндистанциялық

Б

Л

Л

/ 2 нҥктесінің кӛмегімен орындалды. Терезе ойығының тереңдігін қабырғаның қалыңдығы анықтайтындықтан, суретте у

тереңдік масштабының және суреттің жазықтықтығына 45°бҧрышпен орналасқан

9Б

Л

/2

тік жиектің перспективасының қиылысында

B’

H

нҥктесін тҧрғызу талап етіледі. Бҧл кезде

O

H

9

ҥзіндісіне тең

O’9

ҥзіндісі ҧлғайтусыз салынады. Есік ойығының перспективасын тҧрғызу сызбадан тҥсінікті (8.26, в сур. қар.).

230

БАҚЫЛАУ СҦРАҚТАРЫ

231

9 Тарау

ПЕРСПЕКТИВАДАҒЫ КӚЛЕҢКЕЛЕР

9.1.
ЖАРЫҚ КӚЗІН, ЖАРЫҚ СӘУЛЕЛЕРІНІҢ ҚАЛПЫН ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ПРОЕКЦИЯЛАРЫН

ТАҢДАУДЫҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ

Перспективалық проекцияларды мағыналы ету ҥшін олардың ӛздерінің және қҧламалы кӛлеңкелерін жасайды. Перспективадағы кӛлеңкелерді жарық кӛзінің әртҥрлі орналасуында жасауға болады. Жарық сәулелерінің бағыты объектінің пішініне және объектінің бір жағынан немесе екінші жағынан жарықтандырылғандығына байланысты таңдалады. Жарық кӛзі (Кҥн) орналасуының мҥмкін нҧсқаларынан ҥш нҧсқаны қарастырайық.

б

9.1. сурет. Қараушыға қатысты жарық кӛзінің орналасуы: а

— сол жағында;

б

— сол жағында жіне артында;

в

— сол жағында және алдында

232

9.1, а суретінде жарық кӛзі қараушыдан сол жақта орналасу нҧсқасы кӛрсетілген. Кҥн шексіз алыс орналасқандықтан, жарық сәулелері суреттің жазықтығына параллель болып келеді. Мҧндай сәулелердің l'

H

қайталама проекциясы суреттің негізіне параллель болып табылады және

1

сәуленің перспективалары бір-біріне параллель болады (

АВ

кесіндісі мен а тҥзуінің перспективасын 8.7-суретінде қараңыз).

L

жарық кӛзі шексіздікке алыстаған деп есептелгендіктен, оның

L'

H

қайталама проекциясы горизонт тҥзуінде орналасқан. Кеңістікте Кҥн горизонт жазықтығынан жоғары орналасады.

233

Y(8.1 суретін қараңыз).Егер Кҥн қараушының артында (9.1, б

сурет ) орналасса, суретте жарық кӛзінің перспективасы горизонт тҥзуінен тӛмен болады, немесе Кҥн қараушының алдында бірақ объектінің артында болса (9.1, б

сурет), горизонт тҥзуінен жоғары болады.

Объектінің тік жазықтықтары ӛз кӛлеңкелерінде, ал тҥсетін кӛлеңке қараушыға қарай бағытталған кездегі нҧсқа жайсыз болып табылады (9.1, в суретін қараңыз). Кҥн сәулелерінің сурет жазықтығына параллель орналасқан нҧсқасын ең оңай және, егер де 1'

кӛлденең проекцияларының берілген бағытында Кҥн қараушыдан сол жақта артында орналасады. Жарық сәулелері тӛмен тҥсетін тҥзу сызықтар болып табылады. Олар текшенің диагональдарына параллель екендігін болжаса, жарық сәулелері мен Жердің беті арасындағы p бҧрышы шамамен 35° қҧрайды.

Кҥн перспктивасы алыстаған

L'

H

L'

қашықтығы жарық сәулелерінің тҥйісу нҥктесі болып табылады; оны алдымен эпюрде анықтайды. Ол ҥшін

S

H

L

H

катетінде бҧрышы 35° тең, шыңы

Б

н

L'

H

тҥзуін )

ӛткізу керек, ал оның 2'

перспективасы арқылы – жарық сәулесінің перспективасын (

2'L'

тҥзуін ).

Перспектива мен жарық сәулесінің қайталама проекциясының тҥйісу нҥктесі 2 ніктесінің

2

Т

кӛлеңкесі болып табылады ;

- 4 тҥзулерінің кӛлеңкелері).

Сондай-ақ, осы жазықтықта жазықтыққа параллель тік сызықтың кӛлеңкесі, мысалы, n тҥзуінің кӛлеңкесі (9.2, б суретің қараңыз) берілген сызыққа параллель тҥседі.Бірақ суретте кӛлденең параллель тҥзу сызықтардың перспективасы тҥйісу нҥктесінде қиылысатындықтан, осы тҥзулердің кӛлеңкелері осы тҥйісу нҥктесіне, мысалы,

2

3

тҥзуінің кӛлеңкесіне бағытталады (9.1 суретін қараңыз). Объектілік жазықтыққа (жерге) және қабырғаға тҥсетін шатыр элементтерінің қҧлама кӛлеңкелерін тҧрғызу 9.3. суретінде кӛрсетілген. В,

қырыныңалдынғы қабырғаға тҥсетін кӛлеңкесі (9.3 суретін қараңыз)

G

нҥктесі -

AN

қырыныңқабырға жазықтығымен қиылысатын нҥкте арқылы ӛтеді. Суретте G нҥктесін оның GH қайталама проекциясы арқылы немесе қабырға мен шатыр қҧламасы қиылыс сызығының жалғасы қиылысында (штрих сызығы) тҧрғызуға болады.

235

с'

236

Кҥнқағардың қабрығаға тҥсетін кӛлеңкесін, қоршаудың баспалдаққа тҥсетін кӛлеңкесін, қуыстағы кӛлеңкелерді және ғимараттың басқа элеменнтерін тҧрғызуды аксонометриядағы кӛлеңке тҧрғызуға ҧқсас орындайды. Айырмашылығы тҥзудің кӛлеңкесін оған параллель жазықтықта тҧрғызуында. Егер перспективада тҥзу тҥйісу нҥктесіне бағытталса, оның кӛлеңкесі де сол тҥйісу нҥктесіне бағытталады. Жарық сәулелері сурет жазықтығына параллель болмаған жағдайда, сәуле жазықтығының қайталама проекциялары

L'

H

нҥктесінде тҥйіседі (9.2 суретін қараңыз).

Жарық кӛзі қараушыдан сол жақта артында орналасқан кезіндегі антеннаның кӛлеңкесі қҧламаның кӛлбеу жазықтығына тҥсетін мысалы 8 қосымшада (П8.15 сурет) арка кіреберісінің перспективасы ӛз кӛлеңкелері және оның элементтерінің кӛлеңкелерімен кӛрсетілген. Жартылай цилиндрлік кҥнқағардың қисық сызықтарынан тҥсетін кӛлеңкелерді салу ҥшін осы қисықтың нҥктелерінен бір жазықтыққа жорамал кӛлеңкені қоса алғанда, тҥсетін кӛлеңкені тҧрғыады, содан кейін нҥктелердің кӛлеңкелерін тегіс қисық сызықпен жалғастырады.

В'

237

9.3.

ИНТЕРЬЕРДІҢ ПЕСПЕКТИВТІ

СУРЕТІНДЕГІ КӚЛЕҢКЕЛЕР

Интерьердің перспективті суретінде кӛлеңкелерді тҧрғызу жарық кӛздеріне байланысты. Жарықтандыру кӛзі болып Кҥн бола алады, оның сәулелері терезе ойығы арқылы, шашыраңғы кҥн жарығы арқылы ӛте алады, ал жасанды жарықтандыру болса – бір немесе бірнеше жарықтандыру кӛздері. Бҧл кітапта жасанды нҥктелік жарық кӛзі (бҧдан әрі - «жарқырауық» нҥкте) кезінде кӛлеңкелерді тҧрғызу қарастырылады.

а

— план, кескін;

б

— интерьердің алдыңғы перспективасы

238

Интерьердің алдыңғы перспективада

L

«жарқырауық» нҥктесінің перспективасын тҧрғызу 9.6 суретінде кӛрсетілген. Алдымен

«жарқырауық» нҥкте орналасқан тік жазықтықтың (суретке параллель)

1

2

3'

4'

перспективасын салады, ол

Y

L

тереңдікте орналасқан. Содан кейін суретке перпендикуляр тік жазықтықтың

6'P7'

перспективасын салады.

P7'

мен

1

4'

тҥзулердің қиылысында жарық кӛзінің

және

ЕТ

тікқырларына жанамала арқылы анықтайды. Е нҥктесінің кӛлеңкесі объектімен жабық тҧрғандықтан кӛрінбейді. Кӛрінбейтін кӛлеңкенің тҧрғызылуы кӛрсетілмеген. Кӛрінетін кӛлеңкенің контуры жарық сәулесінің қайталама

239

проекциясына сай келетін АВ қырынан, ВС қырының жерге және қабырғаға тҥсетін кӛлеңкесінен және қабырғамен ӛтетін

CD

қырының кӛлеңкесінен тҧрады.

Заттың қабырғадағы кӛлеңкесін анықтау ҥшін осы қабырғаға тҥсетін жарқырама нҥктенің

L'

W

проекциясын қолданған дҧрыс.

L'

W

нҥктесін тҧрғызуды сызбаға қарап тҥсінуге болады (9.7 суретін қараңыз). 4 нҥктенің тҥсетін кӛлеңкесі

L'^AW

сәуле проекциясы мен

L'4'

сәуле проекция қиылысында орналасқан. 3 нҥкте кӛлеңкесі ӛз нҥктеге сай келеді.

3

Т

және

4

Т

нҥктелерін қосқанда

3

—4 кӛлбеу тҥзуінің

3j4

T

кӛлеңкесін алуға болады. Қабырғаға параллель және Р

240

Қосымшалар

1 Қосымша

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ (ПІШІНДЕРДІҢ) БЕЛГІЛЕУЛЕРІ
Бҧл кітапта келесі белгілеулер қабылданған.
Кеңістіктегі нҥктелер латын алфавитінің ҥлкен: A,

B, C, D...

әріптерімен немесе 1,
2, 3...
сандарымен белгіленеді.
Сызықтарды белгілеу ҥшін латын алфавитінің кіші:

a, b, h, f, p, m, n және басқа әріптері қабылданған. Тік сызықтардың кесінділеріндегі нҥктелер латын алфавитінің ҥлкен әріптерімен немесе сандармен белгіленеді. Жазықтықтар грек алфавитінің кіші әріптерімен белгіленеді: 5 (дельта), е (эпсилон), X (ламбда), ст (сигма), т (тау), ф (фи), ф (пси), ю (омега) және бас. П1.1 сур. грек алфавитінің кейбір ҥлкен және кіші әріптерінің кескіндері келтірілген. Беттер және геометриялық денелер грек алфавитінің ҥлкен әріптерімен белгіленеді: Л (ламбда), Z (сигма), Q (омега) және бас. Ортогональ сызба элементтерінің жалпы қабылданған белгілеулері, сондай-ақ тҥсіндіретін сызбаларда қолданылатын белгілеулер бар:

альфа

эпсилон
бэта гамма

ламбда тэта
дельта

сигма

тау фи пси омега

П1.1 сур.
Грек алфавитінің кейбір әріптері

241

Сызбаларда және оларға тҥсіндірмелер берген кезде геометриялық тҧрғызуларды сипаттайтын белгілер пайдаланылады:

=        — сәйкес келу белгісі; с, е — тиесілік белгілері;
|АВ| —кесіндінің абсолюттік ҧзындығы;
±        — перпендикулярлық белгісі;
//        — параллельдік белгісі;

<£, (

— тиесілікті мойындамау (тиесі емес); п — қиылысу белгісі;

и — қосылу белгісі;

— — айқасу белгісі;

^ — керек, демек;
= —әлдебірәрекеттің нәтижесі; А — ҥшбҧрыш;
угол 45°;

35° бҧрыш;
L - 90° бҧрыш (тік).

Геометриялық пішіндердің проекцияларын, тҥсірім жазықтығын білдіретін жол астындағы индекс қоса отырып, олардың кеңістіктегі белгіленуі секілді әріппен белгілеу қабылданған (мысалы:

A

H

— А нҥктесініңтҥсірім жазықтығына H проекциясы;

h

V

— тҥзудің тҥсірім жазықтығына V проекциялары

h ).

242

ПІШІМДЕР ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ЖАЗБАЛАР

Графикалық жҧмыстар А3 (П2.1, а сур.), А4 (П2.1, б

сур. ) немесе А4 х 4 (П2.2 сур.)пішімдегі сызба қағазда орындалады. Пішімнің оң жақтағы тӛменгі бҧрышында оқытушының нҧсқауы бойынша П2.3 сур. келтірілген негізгі жазбаны немесе жеңілдетілген негізгі жазбаны (П2.4 сур.) сызады.

АЗ

Сызбаның жҧмыс алаңы .

Сызбаны тігуге
арналған Негізгі
алаң /жазба

U20

1 2 б

П2.1 сур. Пішіннің ӛлшемдері: а

— А3;

б

— А4;

1

— сыртқы жиектеме;

2

— сызбаның жиектемесі;

3

— парақтың жиегі

Поле для подшивки чертежа - Сызбаны тігуден кейін Упрощенная основная надпись - Жеңілдетілген негізгі жазба

Сызбаны тігуге арналған алаң

Н

егізгі жазба

2.2 сур. Пішіннің ӛлшемдері А4 х4:

1

— сыртқы жиектеме;

2

— сызбаның жақтауы

243

П2.3 сур. Негізгі жазба

П2.4 сур. Жеңілдетілген негізгі жазба

244

СЫЗБАНЫҢ сызықтары

Сызбалардағы барлық бейнелерді сызықтардың келесі типтерін сақтай отырып орындау керек: 1) ------------- жіңішке тҧтас сызық, онымен: 2) ------------- қалың тҧтас сызық, онымен:

3...5 жіңішке штрих сызық, онымен жазықтықтардың, геометриялық денелердің кӛзге кӛрінбейтін сызықтарын сызады;

шеңберлердің орталық сызықтарын
екі нҥктесі бар жіңішке штрихпунктир

Барлық бір типті сызықтар сызбада қалыңдығы, кескіні және ашықтығы бойынша бірдей болуға тиіс. Жіңішке сызықтардың қалыңдығын 0,18 бастап 0,25 мм дейін; қалың тҧтас сызықтардың қалыңдығын - 0,25 бастап 0,50 дейін қабылдайды. Сызбалар оқытушының нҧсқауы бойынша қарындаштармен немесе тушьпен айналдыра қоршалады. Параллель сызықтар сызған кездегі графикалық жҧмыстарды механикаландыру тәсілдері П3.1 сур. кӛрсетілген.

245

П3.1 сур.Параллель сызықтар сызған кезде графикалық жҧмыстарды механикаландыру тәсілдері: а

— кӛлбеу;

б

— тік;

в

— еңіс:

1

— рейсшина;

2

— бҧрыштық

246

КЕЙБІР ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ТҦРҒЫЗУЛАР

Перпендикуляр және параллель тҥзулер салу.
Перпендикуляр түзулерді

бҧрыштықтарды, сызғыш пен циркульді қолдана отырып салады. Тік сызыққа циркульдің кӛмегімен перпендикулярлар тҧрғызу тәсілдері П4.1 сур. кӛрсетілген.

Ш е ш ім і. С нҥктесінен ол

1

және 2 нҥктелерде

AB

тҥзуін қиып ӛтетіндей етіп, еркін

R

радиусты доға сызады. Одан әрі циркульдің ҧшын кезекпе кезек

1

және 2 нҥктелеріне кӛшіреді, олар 3 нҥктеде ӛзара қиылысқанға дейін доғалар жҥргізеді. А және

3

нҥктелерін қосып,

AB

тҥзуіне ізделіп отырған перпендикуляр болып табылатын

CD

тҥзуін алады.
Ш е ш ім і.

MN

тҥзуінде А нҥктесінен екі жаққа циркульдің еркін айырығымен тең:

AD = АЕ

кесінділерін салады.
D және Е
нҥктелерінен

DA

кесіндісіне қарағанда кӛбірек радиуспен, шеңбердің В нҥктесінде қиылысатын доғаларын сызады. А және В нҥктелерін қосады.

АВ

перпендикуляры

MN

тҥзуінде орналасқан А нҥктесінен қалпына келтірілді.
Ш е ш ім і. АЕ тҥзуінен тысқары тҧрған еркін

О

нҥктесінен радиусы АО шеңбер сызады. Шеңбер берілген тҥзумен

С

нҥктесінде қиылысады.

О

және

С

нҥктелерін тік сызықпен қосып, оны шеңбермен В нҥктесінде қиылысқанға дейін жалғастырады. Диаметрге тірелетіндіктен,

ВАС

бҧрышы – тік бҧрыш. Демек,

АВ

тҥзуі ізделіп отырған перпендикуляр болып табылады.

П 4 . 1 сур. Перпендикуляр салу: а

—С нҥктесінен тҥсірілген;

б

— А нҥктесінен қалпына келтірілген;

в

— кесіндінің ҧшы арқылы ӛтетін

247

Пример 4
. Требуется построить прямую

AB,

параллельную заданной прямой

CD

(рис. П4.2).
Р е ш е н и е . Совмещают катет угольника (положение 1) с прямой

CD.

К другому его катету прикладывают линейку и, придерживая линейку одной рукой, перемещают на требуемое расстояние угольник (положение 2) другой рукой. Далее вычерчивают прямую

AB

параллельно прямой

CD.

Таким приемом можно построить прямую, проходящую через известную точку (например, точку

M)

или несколько параллельных прямых линий на определенном расстоянии между ними. На чертеже линии могут располагаться не только вертикально, а под любым углом.

Деление отрезка прямой линии на две равные части. Пример 5
. Требуется разделить отрезок

АВ

на две равные части.
Р е ш е н и е . Из точки

А

заданного отрезка

АВ

(рис. П4.3, а)

проводят дугу т, радиус которой глазомерно больше половины отрезка

АВ.

Не изменяя раствор циркуля, из точки

В

вычерчивают засечки (короткие дуги) так, чтобы на дуге т

получились точки

1

и 2. Эти точки соединяют отрезком прямой. Прямая

1

2

пересекает отрезок

АВ

в точке

С

и делит его на две равные части (или пополам).
Деление угла на две равные части

— 2) делят пополам, получая точку D. Линия

BD

является биссектрисой, следовательно, делит угол

АВС

на две равные части.

D

Положение 1 А

Сур. П4.2. Салу параллель сызықй

248

2

а

П4.3 сур. Екі тең бӛлікке бӛлу: а

— кесіндіні;

б

— бҧрышты

П4.4 сур.Кесіндіні ҥш тең бӛлікке (а) және пропорционал (б) бӛлу

Тік сызықтың кесіндісін 3, 5, 6, 7 және т.с. тең бӛлікке бӛлу . Кесіндіні тең бӛліктерге бӛлуді келесі мысалда қарастырылған тҧрғызулардың кӛмегімен орындайды.

3/2, немесе

АС =

3/5АВ.

249

ДҦРЫС КӚПБҦРЫШТАР ТҦРҒЫЗУ

Дҧрыс кӛпбҧрыштарды әрбір нақты жағдайда әртҥрлі қҧралдарды пайдалана отырып тҧрғызуға болады. Мысалы, пирамиданың негізінің проекциясын сызған кезде, шеңберді тең бӛліктерге бӛлуді пайдаланған ҧтымды болады.

Дұрыс (

тең қабырғалы )

үшбұрышты
циркульдің (П5.1, а сур.), шеңберді ҥш тең бӛлікке бӛлуінің (П5.1,

б

сур. )

кӛмегімен тҧрғызуға болады .

Шеңберді ҥш тең бӛлікке бӛлуді келесі реттілікпен орындайды. Орталық сызықтың шеңбермен қиылысуының кез келген нҥктесінен, мысалы А нҥктесінен ,

радиусы

R

берілген шеңбердің радиусына тең доға жҥргізеді. Доға шеңберді

1

және2 нҥктелерде қиып ӛтеді. Бҧл нҥктелер, сондай-ақ шеңбердің А нҥктесінен қарама-қарсы жақта тҧрған

3

нҥктесі шеңберді ҥш тең бӛлікке бӛледі. Ҥшбҧрыш

А123

шеңбердің ішіне сызылған.

Егер шеңберді бӛлуді В нҥктесінен орындаса, онда ішіне сызылған АВС ҥшбҧрышы симметриялы (айна қатесіз) орналасатын болады (П5.1, а сур. қар.).

П 5 . 1 сур. Дҧрыс ҥшбҧрыш тҧрғызу: а

— циркульдің кӛмегімен;

б

— шеңберді ҥш тең бӛлікке бӛлу арқылы

П5.2 сур.Дҧрыс тӛртбҧрыш тҧрғызу: а

— циркульдің кӛмегімен;

б

— шеңберді тӛрт тең бӛлікке бӛлу арқылы

250

П5.3 сур. Дҧрыс бесбҧрыш тҧрғызу: а

—АО радиусын қақ ортасынан бӛлу;

б

— CD доғасын тҧрғызу

; в

CD

кесіндісін салу ; г

— шеңбердің ішіне сызылған бесбҧрыш

Дұрыс төртбұрыш (квадрат)
тҧрғызу
тәсілі П5.2,

а

сур кӛрсетілген. Алдымен

1

тҥзудің А ҧшы арқылы ӛтетін перпендикуляр салады (3 мысалды қар. ). Одан кейін перпендикулярда циркульмен квадраттың жағының ҧзындығына тең кесінді салады;

B

және

D

нҥктелерінен

R = 1

доғалар сызады. Бҧл кезде алынған

С

нҥктесі квадраттың тӛртінші ҧшы болып табылады.

Екі ӛзара перпендикуляр диаметр шеңберді тӛрт тең бӛлікке бӛледі (П5.2, б сур.). 1,

2, 3 және 4 нҥктелерін қосып, мҧның жақтары сызбаның кӛлбеу сызықтарына 45° бҧрышпен орналасқан квадрат алады.

Дұрыс бесбұрыш
тҧрғызу ҥшін

, шеңберді бес тең бӛлікке бӛлуді қолданады. Тҧрғызуды шеңбердің орталық сызықтармен қиылысуының кез келген нҥктесінен, мысалы А нҥктесінен бастайды(П5.3 сур.).

ОА

радиусын қақ ортасынан бӛледі және В нҥктесін алады. В нҥктесін С нҥктесімен қосады

С

(П5.3, а сур. қар.). Dнҥктесін ала отырып,

ВС

тең R

1

радиуспен (П5.3, б сур. қар.), доғаны

АЕ

диаметрмен қиылысқанға дейін сызады. CD кесіндісі(П5.3, в сур. қар.) шеңберді бес тең бӛлікке бӛлуге арналған хорда болып табылады. П5.3, г

сур. шеңбердің ішіне сызылған дҧрыс бесбҧрыш кӛрсетілген.

251

П5.4 сур. Дҧрыс алтыбҧрыш (а, б)

және он екібҧрыш (в) салу

Шеңбердің ішіне сызылған
дұрыс алтыбұрыш

салу керек болсын. Шеңберді алты тең бӛлікке бӛлуді циркульдің осы шеңбердің радиусына тең айырығымен орындайды. Сызбада алтыбҧрыштың бағыт-бағдары шеңберді бӛлетін бастапқы нҥктелердің орналасуына байланысты болады. П5.4, а сур.

1 және 4
нҥктелері тік диаметрде орналасқан, сондықтан алтыбҧрыштың

2

3

және

5

6

жақтары тік қалып алады. Егер

1

және

4

нҥктелері кӛлбеу диаметрде тҧрса (П5.4, б

сур. ),

онда

2

3

және

5

6

жақтары да — кӛлбеу тҥзулер болады.
Дұрыс 12-бұрыш

тҧрғызу ҥшін, шеңберді 12 тең бӛлікке бӛлуді қолданады (П5.4, в сур.). Бҧл кезде берілген шеңбердің радиусына тең радиусы R қосалқы доғаларды 1, 4,

7

және

10

нҥктелерден жҥргізеді.

252

ТРИАНГУЛЯЦИЯ ТӘСІЛІ

Триангуляция (ҥшбҧрыштар) тәсілі келесіден тҧрады: берілген

ABCDE

кӛпбҧрышын (П6.1, а

сур.

) І, ІІ, ІІІ

ҥшбҧрыштарына бӛледі. Одан кейін, оларды бір біріне жапсарластыра салып, осы ҥшбҧрыштарды бірізді тҧрғызу керек. Бҧл ҥшін m

сызығының еркін тҥзуінде

І

ҥшбҧрыштың (П6.1, б

сур.

) АВ

жағына тең

А'В

'' кесіндісін салады .

Одан кейін

І

ҥшбҧрыштың басқа жақтарын кезекпе кезек ӛлшейді және тиісті нҥктелерден шеңберлердің доғаларын жҥргізеді. Мысалы, циркульдің

ВС

жағына тең айырығымен

В

' нҥктесінен, ал циркульдің АС жағына тең айырығымен – А нҥктесінен керткен таңба сызады. Керткен таңбалардың қиылысында алынған

С

нҥктесін А және

В

' нҥктелерімен байланыстырады.

І

ҥшбҧрыш салынды.
жағында

І

ҥшбҧрышқа жапсарластырады (П6.1, в сур.).

Триангуляция тәсілін жайылмалар салу ҥшін қолданады. Бҧл кезде кӛпбҧрыштарды кез келген бҧрышқа бҧрып та (П6.1, д сур.), айна қатесіз бейнелеп те (П6.1, е сур.) салуға болады.

А

! в'

П 6 . 1 сур.Триангуляция тәсілімен дӛңес кӛпбҧрыштар салу: а

— берілген

АВСDЕ

кӛпбҧрышы ; б

—бірінші ҥшбҧрышты салу;

в

— екінші ҥшбҧрышты салу;

г

— салынған

АВ 'С D' Е'

кӛпбҧрышы; д

— оның жағын бҧра отырып,

A'B'CD'E'

кӛпбҧрышын салу; е

A'B' CD'E

кӛпбҧрышын айна қатесіз бейнеде салу.

253

ЖАНАМА ТҤЗУ

Шеңберге жанама
деп онымен тек бір ортақ нҥктесі (жанасу нҥктесі) бар тҥзу аталады.
Есептің екі шешімі бар:

OD

радиусына перпендикуляр

AD

тҥзуі де m шеңберіне жанама болып табылады.

П 7 . 1 сур. Шеңберге т

жанамалар салу: б а

—l бағытқа парал- лельорналасқан;

б

— шеңберден тыс жатқаннҥкте арқылы ӛтетін

а

254

ГРАФИКАЛЫҚ ЖҦМЫСТАРДЫҢ МЫСАЛДАРЫ

Графикалық жҧмыстардың мысалдары П8.1...П8.15 сур.
келтірілген.

П8.1 сур. Аркалы кіреберістің кешенді сызбасы

N

Ul z

A

w б'\ ' с-

D

v) (

D

w)

B

w о Yw

А{1 6 3

1 2 2 ;

1 0 4 )

В (1 7 8

97

; 20)

С

( 95 ;

1 2 5 ; 87)

0 (1 5 ; 6 5 ; 36) Ун

Геоwетриялык
денелер
тобыны11. кеwенді
сыэбасы

ГР2

О ындаган
с,-удентт-r1к
теr1

Кун

і пек л нr
ексерген
Ою,rrу :ымын :-ег1 Куні груnла А-21.11 ипи ПА-21

z. ' о·

D'

Аксоно1о.1:етриядагы
.геометриялык.
денелер тобы
ын.nаf ан

:тудеит1'ін , т,е г Кун і

Тексерген
OJ<ЫТVJ!l,(ІOЩ
те-гі
Куні

пек нr

N

(Л

Т

а

псырм а

1

А( ВО

1 5 ;

О}

8 ( 45 ;

О

C (l O ;

65

; t

( О

О

; 60}

4

0 )

О}

Тапсырма 3

А (О

40

; 80) о

Т

а

псырма

2

0(90;

45

; 60)

Е (20;

15

; 11)

Тузу ме н

жаэ ы:к т ы:к;т ьт , екі

жаэьr:к;ты:кты к.и:ы n ету

ГР4

н.nаf ан
:тудеит1'ін,
т-ег Куні пек

А

нr

В21

0J<bl'!VJ!l,[l{!Щ
те-гі К.уні
_упп

А- 1

11 неN се
дА-2:
Па.рак

N

tл

':'\1

A

v Ан

00

8 ( 20 ;

70

1

Толык,
eNec
Qрынла rан
туn@мт'!'ім тег

і кун

і ексерген
Ок:ь,. тerl
Куні

Келенкелері бар rеометриялык денелер тобыншt
кешенді сызбасы

ы н

да га н

тудентті 1-1 тег · Кун і

е кс е р ге :н

O yі!!!:,ІІO,ІН.
тerі Куні

пек

А

нг

А

2

1

группасы

A

v

A

w

'::J

W

Келен,келері ар аркаr.ы:
кіре рістін
ке: :ен11і сыэбасы

пек нr

А- 21

11 групп.асы

z, ,,,

1

о --1 (13 w )

'-J

W

А (

1

8 0 ;

65

63

В

( 7

8

; 1

2

0

О)

С

1

9

0

2

0

1

1 2 )

С

х е м ала нг а

нкел е н к е л ері

ын.nаrан
.тудеит1'1н

т,ег

1

Кун і бар

!"и м ара т пек нr Те

ксерген
OJ<ЫТVJ!l,[ІOЩ
те-гі
::.уні А- 21

llгpynnacы

П8.10. сур. Схемаланған кӛлеңкелері бар ғимарат

ГР

ДА-21 тобы Студенттің тегі

11

П 8 . 1 1 сур. Балясина

264

265

:J..d
СхемаланганFимара тты

n

ерспективасы
ындаган
·туденттін

'І'e r Кун і пек

А

НГ

е:к:серген
ОJQnу.:.ыиык
-rer1
хуні

1г

21

. l l

rpynnacы

Бv

F

,н _ Sн

х

1

268

N

-..] о

J\НВ'\НВ J\HB J\HB

Арка11ы к

і реОе рі сті н, Oіp

J1;

ос ылу
нуктесі

О

ын д

а г а н
'-ryдe1-1::--rін; -r

r Кун

і пе к нr

Те к с

е р г е н
О!Q>!:у1щ1.МЬ1Н

тег

рам,,.а.,
д- 21

11 rоруnпасы

НЕГІЗГІ ТҤСІНІКТЕР МЕН ТЕРМИНДЕР СӚЗДІГІ

Абсцисса

— координаталық

х

ӛсі бойынша (ортогональ сызбада), аксонометриялық х

ӛсі бойынша (аксонометрияда), х

ендіктер масштабында (перспективада) ӛлшенетін координата.
Аппликата

— координаталық

z

ӛсі бойынша (ортогональ сызбада), аксонометриялық z

ӛсі бойынша (аксонометрияда), z

биіктіктер масштабында (перспективада) ӛлшенетін координата.
Балясиналар

(архитектурада) — қоршаулардың, балкондардың, баспалдақтардың сҥйеніштерін ҧстап тҧратын, биік емес пішінді бағаналар.

Ӛссіз сызба
деп мҧнда x,

y

H

, y

W

және z проекция ӛстері кӛрсетілмеген эпюр немесе кешенді сызба аталады. Ӛссіз сызба геометриялық дененің немесе заттың проекция тҥсіріліміне қатысты орналасуы маңызға ие болмаған жағдайда орындалады.

Жарық пен кӛлеңке салудың түрлері: шаю, штрихтаулар немесе нҥктелермен кӛлеңкелеу архитектуралық графика пәнінде егжей-тегжейлі зерделенеді.

Сызбада
жайылманың сыртқы (бет) жағы,

негіздің жайылмасына сәйкес келетін сызықта нҥктелерді белгілеуді негіздің кӛлбеу проекциясын сағат тіліне қарсы айналып ӛткен кезде орындағанда алынады.

Сызбада
жайылманың ішкі (бет жаққа кері) жағы,

негіздің жайылмасына сәйкес келетін сызықта нҥктелерді белгілеуді, негіздің кӛлбеу проекциясын сағат тілі бойынша айналып ӛткен кезде орындағанда алынады.

Карниз

— қабырғаны жауын суынан сақтандыратын, ғимараттың қабырғасындағы кӛлбеу шығыңқы жер (пішінді бейінге ие болуы мҥмкін).

Конгруэнтті пішіндер

— бір біріне тең және ҧқсас пішіндер.

Метрлік есептер

— жайылмалар жасау мақсатымен, осыларда геометриялық пішіндердің табиғи шамаларын анықтау қажет болатын есептер.

Ойық

— қабырғадағы қуыс (әртҥрлі пішінге ие болуы мҥмкін).

Архитектуралық объект

— ғимарат, қҧрылыс.

Ордината

— координаталық

y

ӛсі бойынша (ортогональ сызбада), аксонометриялық y

ӛсі бойынша (аксонометрияда), y

тереңдіктер масштабында (перспективада) ӛлшенетін координата.
Пилястра

— қабырғаның бетін бӛлшектеу ҥшін қызмет ететін, қабырғаның бетіндегі тік шығыңқы жер.

Позициялық есептер

— осыларда геометриялық пішіндердің ӛзара орналасуы қарастырылатын есептер.

Басқышасты

— баспалдақтың тік жазықтығы.

Басқыш

— баспалдақтың кӛлбеу жазықтығы.

Қарапайым сызықтар

— бҧларды сызғыштың (тҥзулер) немесе циркульдің (шеңберлер) кӛмегімен сызатын сызықтар.

Бейін

— қандай да бір элементке перпендикуляр жазықтықта орналасқан қима.

Тік босатпа

— қасбетті бӛлшектеу және пластикалық байыту ҥшін қолданылатын, қасбеттің жазықтығының шағын шығыңқы жері.

Баспалдақтардың қырлары

— басқышасты мен басқыштардыңқиылысу сызықтары.

Орта нүкте

— кесіндіні қақ ортасынан бӛлетін нҥкте (4 қосымшадағы 5 мысалды қар.).

Кӛлеңкенің жоқ болып кету нүктесі

— жарық сәулелеріне жақынырақ орналасқан заттың тҥскен кӛлеңкесінің контурының, тӛменірек орналасқан заттың ӛзіндік кӛлеңкесінің контурымен қиылысу нҥктесі. Мысалы,

К

(6.17, а сур. қар.),

7

(6.18 сур. қар.), а (7.6, в сур. қар.) нҥктесі.
Цоколь

— қабырғаның тӛменгі бӛлігі.

272

ГРАФИКАЛЫҚ ЖҦМЫСТАР

№ 1 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Аркалы кіреберістің кешенді сызбасы». Кіреберіс тобының берілген кӛлбеу және беткі проекциясы бойынша, оның бейіндік проекциясын салыңыз. Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.1 сур.). № 2 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Геометриялық денелер тобының кешенді сызбасы». Кешенді сызбада тӛрт геометриялық дененің: биіктігі әртҥрлі екі параллелепипедтің, цилиндрдің және алтыбҧрышты пирамиданың ҥш проекциясын тҧрғызу. Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.2 сур.). № 3 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Геометриялық денелер тобының аксонометриясы». Жҧмысты № 2 графикалық жҧмыстың негізінде орындау керек. Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.3 сур.). № 4 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Екі жазықтықтың тҥзуі мен жазықтығының қиылысуы». Мысалды 8 қосымшадан қараңыз (П8.4 сур.). № 5 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: Геометриялық денелердің тҥзуі мен бетінің қиылысуы». «Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.5 сур.). № 6 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Геометриялық денелердің беттерінің ӛзара қиылысуы». Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.6 сур.). № 7 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Толық емес пирамида. Жайылма». Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.7 сур.). № 8 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Кӛлеңкелері бар геометриялық денелер тобының кешенді сызбасы». Жҧмысты № 2 графикалық жҧмыстың негізінде орындаңыз. Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.8 сур.). № 9 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Кӛлеңкелері бар аркалы кіреберістің кешенді сызбасы». Жҧмысты № 1 графикалық жҧмыстың негізінде орындаңыз. Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.9 сур.). № 10 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Схемаланған кӛлеңкелері бар ғимарат». Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.10 сур.). № 11 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Кӛлеңкелері бар аркалы кіреберістің аксонометриясы». Жҧмысты № 1 графикалық жҧмыстың негізінде орындау керек. Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.12 сур.). № 12 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Кӛлеңкелері бар схемаланған объекттің аксонометриясы». Жҧмысты № 10 графикалық жҧмыстың негізінде орындау керек. Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.13 сур.). № 13 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Схемаланған ғимараттың перспективасы». Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.14 сур.).

273

№ 14 графикалық жҧмыс. Тақырыбы: «Аркалы кіреберістің бір қосылу нҥктесі бар перспективасы. Кӛлеңкелер». Жҧмысты орындау мысалын 8 қосымшадан қараңыз (П8.15 сур.).

АРКАЛАР

Архитектурада аркалар деп терезе, есік ойықтарының, қабырғадағы ойықтың немесе екі тірек (бағандар, ҧстындар, пилондар) арасындағы кеңістіктің қисық сызықты жабынын атайды. Аркалардың кескіндері шеңберлердің бір, екі және одан кӛп доғаларынан тҧратын циркульді қисық сызықтар болып келеді. Аркалардың кескіндерін тҧрғызған кезде шеңберлердің доғаларының ӛзара тҥйіндесуін (жанасуын) немесе қиылысуын, шеңбердің тҥзуі мен доғасының жанасуын, параллель тҥзулердің тҥйіндесуін қолданады. Доғалардың радиустарын одан әрі қарастырылған әрбір арка ҥшін келтірілген формулалар бойынша анықтайды. Доғалардың орталықтарының орнын әлдебір тҧрғызуларды қолдана отырып табады. А және

В

нҥктелерінің (арканың табандарының) арасындағы қашықтықты
арканың аралығы,

ал

АВ

тік сызығын –
арканың негізі
деп атайды.
Кескініне байланысты, аркалардың әртҥрлі атаулары бар.

Жартылай циркульді (жартылай дӛңгелек) арка оның диаметріне тең аралықты жабады. Бҧл арканың кескіні (П11.1 сур.) жарты шеңберден тҧрады және

AD

және

BС

параллель тік сызықтарының тҥйіндесуін тҧрғызу әдісі бойынша сызылады. Жартылай циркульді арканың формуласы

R

= 1/2

AB

тҥріне ие.

Шеңбердің диаметрінен аз аралықты жабатын шеңбер доғасынан тҧратын аркаларды

еңістеу
деп атайды. Садақша және қысылған аркалар

— қисықтығы әртҥрлі еңістеу аркалар.

Қысылған арканы
(П11.2, а сур.) оның

АВ

негізінен ОО! = 1/4АВ қашықтықта тҧрған

О

1

орталығынан R (

радиуспен сызады. Қысылған арка тҧрғызу ҥшін екі формула қажет:

R

= 1/4

AB

R

1

O

1

A

O

1

B

Садақша арка

(П11.2,

б

сур.

)АВ

тҥзуімен 45°бҧрыш қҧрайтын

АО

және

ВО

тҥзулерінің кӛмегімен анықталғанО, орталығына

R= АО = = ВО

радиуспен (формула бойынша) салынады.
П 1 1 . 1 сур. Жартылай циркульді (жартылай дӛңгелек) арка
П 1 1 2 сур. Еңістеу аркалар:

а

— қысылған арка;

б

— садақша арка

274

Үшкіл аркалар
готикалық сәулетте кең таралымын алды. Ҥшкіл арка (П11.3, а сур.) радиусы

АВ: R = AB

аралыққа тең екі доғадан тҧрады. Бҧл кезде доғалардың орталықтары А және В нҥктелерінде орналасқан ал доғалар сҥйір бҧрышпен қҧлыпта (Т нҥктесінде) қиылысады.

Құлып
деп арканың жоғарғы нҥктесін атайды. П11.3,

б ... г

сур. тиісінше:

R

= 2/3AB;

R

= 3/5AB;

R

= 3/4АВ формулалары бойынша тҧрғызылған қисықтық радиустарымен ҥшкіл аркалар келтірілген. 0

1

және О

2

орталықтарын тҧрғызған кезде, кесінділерді пропорционал бӛлуді қолдану керек.

Үшкіл қысылған аркалардың нҧсқалары П11.4 сур. кӛрсетілген. Бҧл аркалардың доғаларының радиусы аралықтан кӛбірек, сондықтан доғалардың орталықтары А және В нҥктерінің артында, негіздің сызығында орналасқан. Доғалар Т нҥктесінде қиылысады.

Ҥшкіл қысылған арканың (П11.4, а

сур. )

доғаларының радиусы

R =

1,5АВ. Доғалардың орталықтарының орнын А нҥктесінен солға, ал

В

нҥктесінен оңға орналасқан

= 2AB;

в

R

= d

+ 1/2AB

275

П 1 1 . 5 сур.Келесі формулалар бойынша тҧрғызылған дулыға аркалар: а

R=

1/4АВ;

б

R=

1/2АВ

Ҥшкіл қысылған арканың контурын
R = d +
1/2AB формуласын қолданып сызады. Бҧл ҥшін

АВ

негізінде катеттері

1/2АВ

тең екі тікбҧрышты теңбҥйірлі ҥшбҧрыш салады.

О

нҥктесінен ҥшбҧрыштардың гипотенузасына тең d радиуспен, негіздің сызығының жалғасында керткен таңбалар жасайды. О

1

және О

2

нҥктелері бҧлардың радиустары

О

1

В

және О

2

А тең келетін доғалардың орталықтары болып табылады.

Т

нҥктесінде доғалар қиылысады.
Олар ӛздерінің кескіні бойынша дулығаның қимасын еске салатындықтан,
дулыға аркалар

(П11.5 сур.) осындай атауын алған. Дулыға аркалар орыс сәулетшілігінде қолданысын тапқан. Дулыға арканы (П11.5, а

сур. )

салуды

АВ

тҥзуін тӛрт тең бӛлікке бӛлуден бастайды. Одан кейін жағы О

1

О

2

кесіндіге тең квадрат салады. Бҧл квадраттың ҧштары (О

1

, О

2

, О

3

және О

4

нҥктелері) бҧлардың радиусы

R =

1/4АВ формула бойынша анықталатын шеңберлердің доғаларының орталықтары болады.

M

және

N

нҥктелері — доғалардың жанасу нҥктелері.

Ӛзге дулыға арканы (П11.5, б сур.) тең қабырғалы ҥшбҧрыштардың негізінде салады. Алдымен тең қабырғалы

АВТ

ҥшбҧрышын салады,

АТ

және

ВТ

жақтарында бҧлардың радиусы

АВ

негізінің жартысына тең келетін қосалқы доғалардың кӛмегімен

К

және К нҥктелерін табады. Одан кейін,

О

нҥктесін

К

және Kj нҥктелерімен байланыстырып, сызықтарды О

3

және О

4

нҥктелерінде жоғары қарай жалғастырылған

AD

және

ВС

сызықтарымен қиылысқанға дейін жалғастырады.О, О

3

және О

4

нҥктелері 1/2АВ тең қисықтық радиусы бар доғалардың орталықтары, ал К,

Т

және К нҥктелері – шеңберлердің доғаларының жанасу нҥктелері болып табылады Сҥйір, доғал немесе тік бҧрышпен қиылысатын қисық сызықтардың

ҥш және одан кӛп санынан қҧралған арка
кӛп доғалы арка

деп аталады. Мҧндай арка ежелгі Новгород және Псков қалаларының сәулетшілігінде таралған болатын.

276

П 1 1 . 6 сур.Ҥшдоғалы аркаП 1 1 . 7 сур. Сырғымалы (ӛрлемелі) аркалар: а

— бірінші;

б

— екінші

П 1 1 . 8 сур. Араб аркасы

11.6 сур.дулығалы аяқталуы бар ҥшдоғалы аркабейнеленген. Арканың мҧндай кескінін салу П11.5, а суреттен (

AM

және

NB

доғалар) дулыға арканың тӛменгі бӛлігінен орындалуы мҥмкін, ал жоғарғы бӛлігі П11.5, б суреттен дулыға арка болып келеді.

Сырғымалы (ӛрлемелі)
деп осылардың бір табаны екіншісінен биігірек:

Е

(К) табаны А табанынан биігірек аркалар аталады. Бірінші ӛрлемелі арканың (П11.7, а

сур. )

контурын келесі реттілікпен салады. Арканың

АЕ

еңіс негізінің сызығын М нҥктесінде ортасынан қақ бӛледі, М нҥктесі арқылы тік сызық жҥргізеді.

В

нҥктесінен К нҥктесінде тік сызықпен қиылысқанға дейін, радиусы

АВ

тең шеңбердің доғасын сызады, оны одан әрі В нҥктесімен қосады. Екінші доғаның орталығын табу ҥшін,

Е

нҥктесі арқылы

О

нҥктесінде

ВК

тҥзуімен қиылысқанға дейін кӛлбеу сызық жҥргізеді.

ОК = ОЕ

кесінділерге тең радиуспен

КЕ

доғасын сызады .

Формулалар:

R = AB; R

1

= OK.

277

Екінші ӛрлемелі арканы (11.7, б

сур.) тҧрғызу ҥшін,

B

және К нҥктелері белгілі.

B

нҥктесінен

АВ

кӛлбеу сызығын жҥргізіп, онда жағы

ВК

тең квадрат салады. Тҧрғызылған квадратқа шеңберді кіргізіп, мҧның О, О

1

, О

2

және О

3

ҧштары тиісінше

R

ОК

R

1

О

1

К

1

R

2=

О

2

К

2 және

R

3 =

О

3

К

3 доғалар тҧрғызу ҥшін орталықтар болып табылатын сегізбҧрыш сызады. П11.8 сур. араб сәулет ӛнерінде кездесетін арка бейнеленген. Оны тҧрғызу ҥшін R! = 1/6АВ радиусты анықтап, осындай радиуспен бҧлардың орталықтары

M

және N нҥктелерінде орналасқан қысқа доғалар сызады. Радиусы Rj доғалар

A

және B нҥктелерінде

MD

және

NC

тік тҥзулерін қиып ӛтеді. Одан әрі, О (

және О

2

нҥктелерін алып,

MN

кесіндісін тӛрт тең бӛлікке бӛледі. Осы нҥктелерден, 3/4

MN

тең

ON және

О

2

М радиустары бар орталықтардан секілді,

1

және 2 нҥктелерде бҧрынырақта салынған, радиусы R і

доғаларды қиып ӛтетін

ТМ

және

TN

доғаларын салады.

Қазіргі заманның қҧрылысында параболалық кескіні бар аркалар да қолданылады. Аркалар материалдары бойынша да алуан тҥрлі: тастан салынған аркамен қатар, металл, темірбетон және ағаш аркалар қолданылады. Оларды ғимараттар тҧрғызған кезде, сондай-ақ инженерлік қҧрылыстар (кӛпірлер, эстакадалар, метро) салған кезде пайдаланады. Осы тәріздес, сақталып қалған қҧрылыстар ӛзінің әсемдігімен және орындалу техникасымен таңдай қақтырады.

278

Әдебиет тізімі

— 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Архитектура-С, 2004.

279

Мазмҧны

Кіріспе ...................................................................................................

4

1 тарау Проекциялау әдістері...........................................................

7

1.1.

Проекциялау принципі................................................................

7

1.2 Проекциялау принципі................................................................

7

1.3 Проекциялау әдістері..................................................................

2.2.4. Нҥктенің тҥзуге тиесілігінің белгісі....................................

28

2.2.5 Тҥзулердің ӛзара орналасуы.....................................................

29

2.3 Жазықтықтардың проекциялары..............................................

31

2.3.1.

Жазықтықты кеңістікте және сызбада салу тәсілдері. Жазықтықтыңіздері.............................................................................

31

2.3.2. Ортақ және жеке қалыптардың проекциялары..................

33

2.3.3. Нҥктенің және тҥзудің жазықтыққа тиесілігінің белгілері...............................................................................................

38

2.4. Геометриялық денелердің проекциялары......................................................................................

40

2.4.1 Кӛп қырлы денелердің бетінің пайда болуы және олардың проекциялары.....................................................................................

40

2.4.2 Айналу денелерінің бетінің пайда болуыжәне олардың проекциялары ....................................................................................

44

3 тарау. Аксонометриялық проекциялар.

3.1 Жалпы ҧғымдар. Алу принципі.................................................

56

3.2 Аксонометриялық проекциялардың тҥрлері............................

60

3.3 Жалпақ пішіндердің аксонометриялық проекциялары............

63

3.3.1.
Кӛпбҧрыштардың проекциялары…..........................................

5.1.2.

Айналдыру тәсілі.................................................................

121

5.1.3.

Ҥйлестіру тәсілі ...................................................................

123

5.1.4.
Жалпақ параллель жылжыту тәсілі...................................

125

5.2. Геометриялық денелердің жайылмалары.........................

127

5.2.1.
Толық және толық емес призманың жайылмасы............

128

5.2.2.
Толық және толық емес пирамиданың жайылмасы.........

131

5.2.3.
Цилиндрдің жайылмасы......................................................

133

5.2.4.
Конустың жайылмасы.........................................................

134

5.3.
Қиылысатын геометриялық денелердің жайылмалары.

135

5.3.1.
Қиылысатын кӛп қырлы денелердің жайылмалары.......

136

5.3.2.
Қиылысатын призманың және цилиндрдің

жайылмалары..................................................................................

139

5.3.3.
Шатырдың жайылмасы.......................................................

139

6 тарау. Кӛлеңкелер теориясының геометриялық негіздері

142

6.1.

Жалпы қағидалар..................................................................

142

6.2.
Геометриялық элементтердің (пішіндердің) ортогональ

сызбалардағы кӛлеңкелері..............................................................

144

6.2.1. Жарық сәулелерінің бағыты және олардың проекциялары……………………………………………………...

144

281

6.2.2. Нҥктеден тҥскен кӛлеңке.............................................................

145

6.2.3. Тҥзу сызықтың кесіндісінің кӛлеңкесі........................................

147

6.2.4. Жалпақ пішіндердің кӛлеңкелері.................................................

152

6.2.5. Геометриялық денелердің кӛлеңкелері.......................................

154

6.3. Кері жарық сәулесі тәсілі...................................................................

157

6.4. Геометриялық денелер тобының кӛлеңкелері.................................

158

6.5. Архитектуралық пішіндердің кӛлеңкелері......................................

160

6.6. Схемаланған архитектуралықобъектінің қасбетінде және жоспарында кӛлеңкелер салу.....................................................................

168

6.7. Кӛлеңкелерді тҧрғызудың ҧтымды тәсілдері..................................

172

6.7.1.
Геометриялық денелердің ӛзіндік нҥктесін олардың бір

проекциясы бойынша салу.........................................................................

172

6.7.2.

Жанама беттер тәсілі..........................................................................

175

6.7.3.

Шығару тәсілі......................................................................................

180

6.8. Сәулет бӛлшектердің кӛлеңкелері.....................................................

181

7 тарау.Аксонометриялық проекциялардағы кӛлеңкелер...............

184

7.1.
Аксонометриялық сызбаларда кӛлеңкелер тҧрғызудың

ерекшеліктері...............................................................................................

184

7.2.

Нҥктенің кӛлеңкесі..............................................................................

185

7.3.

Тҥзудің ҥзіндісінің кӛлеңкесі.............................................................

186

7.4.
Жалпақ пішіннің және геометриялық денелердің кӛлеңкелері.....

187

7.5.

Архитектуралық пішіндердің кӛлеңкелері.......................................

187

7.6.
Шатырдың қҧламаларындағы кӛлеңкелер........................................

192

8 тарау.Перспективалық проекциялар.................................................

195

8.1.

Жалпы қағидалар................................................................................

195

8.2.

Нҥктенің перспективасы....................................................................

197

8.3.

Тік сызықтардың перспективасы.......................................................

198

8.4.

Жалпақ пішіндердің перспективасы.................................................

203

8.5.
Кӛру нҥктесін және бҧрышынтаңдау, суретті бағыттау.................

206

8.6.

Перспектива тҧрғызу тәсілдері.........................................................

208

8.6.1.

Сәулетшілер тәсілі..............................................................................

209

8.6.2.

Тҥсірілген жоспар тҥсінігі.................................................................

214

8.6.3.

Бҥйір қабырға тәсілі...........................................................................

215

8.6.4.

Перспективалық масштабтар тәсілі..................................................

217

8.7.
Архитектуралық бӛлшектердің перспективасы..............................

218

8.8.

Интерьердің перспективасы..............................................................

226

8.8.1.

Бҧрыштық интерьер перспективасы.................................................

227

8.8.2.

Интерьердің беткі перспективасы.....................................................

227

9 тарау. Перспективадағы кӛлеңкелер.................................................

232

9.1.
Жарық кӛзін, жарық сәулелерінің қалпын және олардың

проекцияларын таңдаудың ерекшеліктері................................................

232

9.2.

Перспективада кӛлеңкелерді тҧрғызу..............................................

234

282

Қосымшалар 241
Әдебиет тізімі.

280

283

Оқу басылымы

Томилова Светлана Витальевна Сызба геометрия Оқулық

Редактор
И. В. Мочалова
Компьютерлік беттеу:
А. В. Бобылева

Корректор
Г. Н. Петрова

Бас. № 101116997. Басуға 15.04.2016 қол қойылған. Пішімі 60 х 90/16. Гарнитурасы «Балтика». Офсеттік қағаз. Офсеттік басу. Шартты бас. б. 18,0.

Таралымы 1000 дана. Тапсырыс №
««Академия» баспа орталығы» ЖШҚ.
www.academіa-moscow.ru
129085, Мәскеу, Мир даңғылы, 101В, 1 қҧр.

Тел./факс: (495) 648-0507, 616-00-29.
Санитарлық-эпидемиологиялық қорытынды № РОСС RU. AE51. H16679 25.05.2015.

Баспа ҧсынған электронды тасығыштардан «Бірінші образцовая типография» ААҚ басылған.