Мазмұн

ПТОЛЕМЕЙДІҢ «ӘЛМАГЕСІНЕ» ТҮСІНІКТЕМЕЛЕР БІРІНШІ КІТАП /6/ Бірнеше қағидаларға /8/ арналған /7/ аспанның сфералық пішінді болуы және сфералық қозғалатыны жайлы Бұл қозғалыстың сфералығын жылжымайтын жұлдыздардың шығуы мен батуы растайды. Олар шындығында шығыстан шығады, сосын зенитке /9/ жеткенше біздің үстімізден көтеріледі, содан кейін көкжиекке жетіп, батып кеткенше батыс жаққа қарай түсе бастайды. Содан соң олар шыққан орындарына дәл қайтып оралады. Мұнда шығу және бату сәттері жалпы алғанда бірдей. Одан әрі егер біз солтүстіктен оңтүстікке бағытталсақ, онда бізге көрінбей келген, енді мүлдем көрінбей қала алмайды, ал көрінбей келген ұдайы немесе уақытша көрінеді. Егер біз одан әрі жүрсек, онда көрінбей келгендерді көбірек көретін боламыз, екінші жағынан керісінше болады. Осы жұлдыздардың қандай да бірі неғұрлым баяу батса, оның күндізгі доғасы соғұрлым үлкен болады да бұл жұлдызға қарама-қарсы жұлдыз солғұрлым тезірек батады, оның күндізгі доғасы солғұрлым аз болады. Көрінбегеннің бірі пайда болса, оған қарама-қарсысы әрқашан жабылып қалады, сөйтіп ол көрінбей қалады. Егер біз бағытталған полюске жақындасақ, онда біз жұлдыздар әрқашан көрінетін немесе әрқашан көрінбейтін орынға жетеміз. Біз көрінбеген, полюс маңайында айналған жұлдыздарды көреміз. Жұлдыз полюске неғұрлым жақын болса оның орбитасы солғұрлым тар болады және орбитаның тарлығына сәйкес баяу айналады. Барлық жұлдыздар өз шеңберін бірдей уақыт аралығы ішінде жүріп өтеді, шеңберлер параллель болып келеді. Мұның бәрі сфералық қозғалыс кезінде бақыланады. Бұл қозғалыстың полюстері мәңгі көрінетін жұлдыздар орналасқан жақта болады. Егер бұл қозғалыс ондай болмаса, онда жұлдыздардың арасындағы барлық арақашықтықтар мен олардың шамалары Жердің барлық бөліктерінде көрінуі жағынан бірдей болмас еді. Шығуы мен батуы кезінде біз бақылайтын бұл шамалардың арту себебі Жерді айнала қоршап тұрған және біздің көзіміз бен жұлдыздар арасындағы ылғал, су буы болып табылады. Осы ортадан тысқары тұрғанның бәрі үлкен болып көрінеді. Сол себепті ылғалдағы нәрселер үлкейіп көрінеді. Әрі ылғал неғұрлым терең болса, нәрселер солғұрлым үлкен болып көрінеді. Айтылған қағиданың дұрыстығын мысалы, мынадай басқа пікірлердің қисынсыздығы растайды: жұлдыздар түзу сызықпен шексіздікке дейін қозғалады деп кім айта

алады. Олар шығыс жақтан түзу сызықпен қалай қайтып оралатынын білу де маңызды. Егер олар кеткен жақтан қайтып оралса, неліктен көрінбейді? Олардың бізден арақашықтығы артқанда өлшемдері мен арақашықтығы кемімей тұрақты болып қалатыны және батар кезде үлкейетіні неліктен? Жұлдыздар жанады және сөнеді, бір орындарда жанады, ал екінші бір орындарда сөнеді деу қисынсыз. Өйткені ол аспан денелеріне тән емес қасиеттерді таңып отыр. Сонымен бірге бір ғана зат тұрған орнына байланысты біресе жанады, біресе сөнеді. Өйткені бір халықтарға көрінетін жұлдыздар басқаларға көрінбейді. Мұны Айдың тұтылуын бақылау да растайды. Айдың тұтылуын бақылау арқылы кейбір елдерде бұл тұтылу ол шыққаннан кейін, екінші бір елдерде тұтылып шыққаны, ал үшінші елдерде Ай шыққанға дейін тұтылғаны және ашылып шыққаны анықталған. Осындай бақылау Ай батар кезде де жүргізілген. Неліктен ол бір орындарда жанып, екінші бір орындарда сөнуі тиіс? Кейбір халықтарда ұдайы көрініп тұратын жұлдыздар әрқашан жанып тұрады да, басқа халықтарда сөніп қалуы неліктен? Біздің пікіріміздің дұрыстығын бір ғана центр туралы мәлімет беретін үш бақылаудың бірдей болып шығуы растайды. Бұл бақылаулар пішінмен, яғни аспан күмбезі сфералық дегенмен үйлеседі. Әрине, бүл пішін шапшаң дөңгелектік қозғалыс үшін әлдеқайда қолайлы пішін. Ол барынша үлкен көлемді қамтиды және ең үлкен дене үшін әлдеқайда қолайлы. Аспан күмбезі - бөліктері ұқсас қарапайым дене. Бір ғана табиғат одан бұрын немесе оның бір бөлігінде қисықтық түзіп, екінші бөлігінде оны болмайтындай ете алмайды. Оның барлық бөліктері өздерінің табиғаты жағынан ұқсас болуы тиіс. Бүл сферада ғана бола алады. Өзара ұқсас қималар тек сферада ғана бола алады. Шырақ та бақылаушыны аспан күмбезінің мәні мынадай екендігіне сендіреді: шырақ сфералық пішінді, егер ол жазықтықтан немесе сферадан өзгеше бет пішінді болса, онда олар бақылаушыдан әртүрлі арақашықтықта оған пішіні жағынан әртүрлі болып көрінер еді. Сондықтан оларды қоршап тұрған аспан күмбезінің пішіні олардың пішініндей болады. Ол былай деді: осы дәлелдемелердің орташасы - ең сенімді. Жердің түрі жағынан сфералық екендігі туралы Жер түрінің сфералығын бойлық бойынша орналасқан елдер тұрғындарында шығатын жұлдыздардың шығуының және бататын жұлдыздардың батуының озыңқы болуы және кешігуі, сондай ақ ендік бойынша созылған елдер

тұрғындарында мәңгі көрінетіндерінің көрінуі мен мәңгі көрінбейтіндерінің көрінбеуі растайды. Мұның бәрі Жердің сфералық пішінді болуынан. Бойлыққа байланысты орын ай тұтылуымен, ал ендікпен байланысты орын екі полюстің жұлдыздары бойынша түсіндіріледі. Егер Жер ойыс болса, онда жұлдыздар әуелі батыстан көтерілер еді және шығыста кешігер еді. Бірақ бүл олай емес. Айдың шығыста тұтылуы түннің әлдеқайда кешірек сағаттарында, ал батыста әлдеқайда ертерек сағаттарында өтетіндігі анықталған. Уақыт жағынан мұндай айырмашылық Жер пішінінің сфералығынан. Егер ол жазық болса, онда шығу мен бату таулы және үстірт аймақтарда аздаған ауытқушылықпен барлық орындарда бірмезгілде өтер еді. Егер Жер түрі жағынан тұтас сфера болуына мүмкіндік бермейтін жазық жақты болса, онда бір жақ үшін шығу мен бату бір сағатта өтіп, әртүрлі жақтар үшін оның едәуір өзгешелігі болар еді. Егер жақтардың сфералыққа тұтас алғанда онша ықпалы болмаса, онда Жердің сфералығының арқасында Шығыстан Батысқа қарайғы бойлығы әртүрлі орындарда тұтылу уақытының кешігуі және озып кетуі байқалар еді. Жұлдыздардың шығуы мен батуының жағдайы дәл осындай; олар бір жазықтықтың қалпымен де, көп жазықтықтың қалпымен де үйлеспейді. Жер шығыстан батысқа қарайғы бойлық бойынша беті дөңес және полюстеріндегі екі беті жазық цилиндр пішінді бола алмайды. Бүл жағдайда жылжымайтын жұлдыздардың шығуы мен батуын бір полюсте тұратын адамдардың бәрі бір мезгілде бақылар еді. Көрінбейтін немесе көрінетін жұлдыздар олар үшін бірдей болып қалар еді де, дөңгелек беттің тұрғындары мәңгі көрінетін жұлдыздардан ешнәрсе көре алмаған болар еді. Батыстан шығысқа қарайғы қалып солтүстіктен оңтүстікке қарайғы қалыптай болады. Сондықтан айтылатын пікір барлық бағыттар үшін тек бірдей болуы тиіс. Теңіздегі су беті де сфералық. Мысалы, егер біз теңізбен жүзсек, ал бізден қандай да бір арақашықтықта тау тұрса, онда алғаш оның төбесі көрінеді, сосын төбесінен төмен қарай бұрын көрінбей тұрғаны көріне бастайды. Судың тек өркеші ғана оны жасыра алады. Жердің дүние орталығы қозғалмай тұрғандығы жайлы Ол былай деді: егер Жер дүниенің ортасында қозғалмай тұрса, онда ол осьтен тысқары екі полюстен бірдей арақашықтықта орналасқан болар еді; немесе ол ось бойында орналасуы және полюстердің біріне ауытқуы тиіс еді, немесе

ол осьтен тысқары тұруы және полюстердің біріне ауытқуы тиіс еді. Егер біріншісі орын алса, экватор тұрғындарында күн мен түн ешқашан тең болмас еді. Өйткені, бұл жағдайда көкжиек жазықтығы аспан күмбезін ешқашан да қақ бөлмес еді. Басқа климатқа келсек, Күн бірінші қозғалысының белдеуінде, яғни аспан экваторында /10/ болған кезде мұндай теңдік болмайды. Өйткені әртүрлі көкжиектер мен эклиптикалар бірін бірі қақ бөлмейді, және теңдік эклиптика /11/ мен аспан экваторының төменде біз еске салатын қиылысуының екі нүктесінде орын алмайды; ол аспан экваторынан солтүстікке немесе оңтүстікке оған параллель екінші шеңберде орын алады. Сондықтан параллель шеңберлердің әрбірінің жоғарғы доғасы аспан экваторынан сондай арақашықтықтағы қарама-қарсы төменгі доғаға тең болмайды. Сондықтан осы доғалардың біріндегі күн екіншісіндегі түнге теңелмейді. Шындық бұған қарама-қайшы. Бұл жағдайда бір-бірінен шығысқа немесе батысқа ауытқыған орындарда шығу және зенитке келу арасындағы уақыт зенитке келу мен бату арасындағы уақытқа тең болмайды, шырақтардың өлшемдері және арақашықтықтары барлық орындарда бірдей болып көрінбейді. Екінші жағдайға келсек, ол орын алса, онда көкжиек аспан сферасын тек тік сфера кезінде қақ бөледі, ал екі полюстің біріне ауытқыған орындарда доғалар әртүрлі болады: полюске тірелген доға кіші, ал қарама-қарсы полюске тірелген доға үлкен. Біз полюске неғұрлым жақын келсек кіші доға солғұрлым кіші, ал үлкен доға үлкен болады. Егер біз полюс маңайында болсақ, онда көкжиек қиып түсетін жоғарғы доға дөңгелектің барлық доғаларының ең кішісі, ал төменгісі ең үлкені болады. Бірақ шындығында олай емес, барлық елдерде және барлық жерлерде аспан күмбезі қақ бөлінеді және әрқашан Зодиактың алты белгісі көрінеді. Көкжиек эклиптикамен қиылысып онымен қақ бөлінеді, және эклиптика да онымен қақ бөлінеді, егер осы екі бөлікті қосса, онда тұтас шеңбер пайда болады. Егер Жер көкжиекке параллель шеңберлермен Әлемді қақ бөлетін оның белдеуі болып табылатын аспан экваторының астында тұрмаса, онда шығыс пен батыста күн мен түннің теңелу уақытындағы гномондардың көлеңкелері көкжиекке параллель жазықтықтарда бір сызықтың бойында болмас еді. Сондықтан, егер Жер центрінен ауытқыса, онда күндердің (және түндердің) ұзаруы немесе қысқаруы шындығында қалай болса, солай бола алмайды, ал Ай Күнге диаметрлік қарама-қарсы болған кезде тұтылмайды. Жердің аспан сферасына қатысты өлшемдері туралы

Егер Жердің өлшемдері дөңгелек центрінің өлшемдері оның шеңберінің өлшемдерімен салыстырғанда елемеуге болатындығындай аспанмен салыстырғанда елемеуге болса, және егер оның елерліктей өлшемдері болса, онда жұлдыздардың арасындағы арақашықтықтарын және олардың шамаларын олар аспанның ортасында немесе көкжиекте тұрғанда бір ғана бақылаушы елемес еді, өйткені олардың жақындауы, яғни, аспанның ортасында болуы оларды арттырар еді, алыстату кішірейтер еді; бірақ шындығында олай емес, өйткені бүл жағдайда Жер центрінде емес, оның бетінде бақылауға арналған аспаптарды қолдану елерліктей алшақтыққа жеткізер еді; мұндай бақылауларға негізделген орындар дұрыс болмас еді; аспан сферасының көрінбейтін бөлігі Жер радиусының шамасына сәйкес көрінетін бөліктен үлкен болар еді. Өйткені, Әлемнің шын ортасы - көз арқылы өтетін жазықтық емес, Жерді қақ бөлетін жазықтық. Егер Жердің аспан сферасына қатысты өлшемдері аз болса, онда бүл екі бөлік бір біріне дәл келгендей болады және Зодиактың жуықтап алты белгісі көрінеді.

«Әлмагеске» түсініктеме Жердің ілгерілемелі қозғалмайтындығы туралы Жердің ілгерлемелі қозғалатынын, оның центрінің ауытқуын біз терістеген пайымдаумен теріске шығарамыз. Егер ол жоғары, төмен немесе бүйірге қарай қозғалса, онда оның бөлшектері оған қарама-қарсы жағынан ешқашан жабыспас еді. Таңданудың мәні мынада: ауыр дене бір орында қалай ұсталып тұрады және құламайды, біздің білетініміз оның үзіліп түсетіні; жоғары - бұл әрқашан аспан жағы, ал төмен – Жердің центр жағы. Әлемнің жоғары жағы да,төмен жағы да жоқ. Өйткені сфераның барлық бөліктері бірдей. Әлемнің центpі ауыр дененің қозғалу шегі, ал оның көкжиегі мен аспан жағы жеңіл дененің қозғалу шегі. Жердің барлық бөлшектері Жер бетіне перпендикуляр бағыттар бойынша оның центріне ұмтылады; олар өздерінің табиғаты бойынша сондай. Жердің өзінің маңайындағы айналмалы қозғалысына келсек, онда кейбір адамдар аспан күмбезі қозғалмайды, ал Жер шығыс жаққа қарай қозғалады, сондықтан аспан сферасы қозғалады, ал шырақ шығады деп тұжырымдаған. Ал кейбіреулер бұл екі дене де қозғалады, бірақ олар қарама-қарсы бағыттарда қозғалады деп санаған.

Бұл екі пікірді қарастыра келе Птоломей барынша ауыр заттардың шапшаң қозғалады дегеніне таңқалушылық білдірді; ол былай дейді: егер Жер басқа физикалық денелерден өзгеше шығыс жаққа қарай сондай қозғалыс жасаса, онда ұшқан немесе итерілген немесе лақтырылған ешбір зат одан озып кете алмас еді; сондықтан барлық заттар одан қалып қояр еді де, олардың ішінен шығысқа қозғалған ешнәрсе көрінбес еді. Егер ауа да Жермен бірге қозғалады және оның қозғалысы Жердікіндей десе, онда бүл мүмкін емес. Егер бұл дұрыс болса, онда темен ұмтылған ауадағы барлық нәрселер Жер мен ауадан баяу қозғалар еді. Онда ауада шығысқа қарай қозғалған заттардан ешнәрсе көрінбес еді, керісінше олар батыс бағытта ұдайы артта қалар еді. Ауадағы заттар оған жабыспайды, ілініспейді және онымен бірге қозғалмайды. Әйтпесе олар алға да, артқа да қозғалмас еді және тербелмес те еді. Егер Жер ондай қозғалыс жасаса, онда ауыр заттар тік түспей, кешігіп түсер еді. Мұның бәрін Птолемей айтқан. Жер үшін мұндай қозғалыстың мүмкін еместігін біз «Физикада» /12/ дәлелдегенбіз. Әлемнің бір ортақ қозғалысы болатындығы туралы сөз Ол былай деді: біздің көргеніміздей шырақ, әсіресе қозғалмайтын жұлдыздар шығыстан шығады және батыста батады да, сосын әрбір тәулік сайын қайтып оралады. Әрі олардың арасындағы арақашықтық өзгеріссіз қалып отырады, олардың қозғалысы сызған шеңберлер параллель болады. Демек, бізге мынау анық: Әлемнің қозғалысы олардың бір ортақ қозғалысы болып табылады /13/. Бұл қозғалыстың белдеуі - аспан экваторы, ал қалған шеңберлер оған параллель болып келеді. Аспан экваторы күн теңелу шеңбері деп аталады. Себебі, егер Күн осы шеңбердің қандай да бір нүктесінде болып қалса, онда барлық орындар үшін күн мен түн тең болады. Күн, Ай сияқты басқа шырақтарға келсек, онда олар өздерінің жылжымайтын жұлдыздарға дейінгі арақашықтығын сақтамайды, шығыста әрқашан кешігеді және параллелдер бойынша қозғалмайды, параллелдерді солтүстік және оңтүстік жақтан белгілі бір қатынастарда және белгілі ретпен қиятын шеңберлер бойымен қозғалады /14/. Егер жылжымайтын жұлдыздарды қараса, онда кейін түсіндірілетіндей олар да Күн қозғалатын эклиптикаға параллель сызықтар бойынша шығыста кешіккендей болады /15/. Одан әрі біз батыс жақтағы бірінші қозғалысты оған қарама-қарсы шығыстағы қозғалыстан ажыратуымыз тиіс. Біздің айтқанымыздан ол бірінші қозғалыс белдеуін қиятын еңкіш шеңберлер бойынша өтуі тиіс. Демек, екі белдеу бар:

еңкіш шеңберлер белдеуі және аспан экваторы. Еңкіш шеңберлер белдеуі - жылжымайтын жұлдыздар сферасы және Күн эклиптикасының шеңбері. Мұны біз кейінірек түсіндіреміз /16/. Күн эклиптикасының аспан экваторымен қиылысатын екі нүктесінің біріншісі көктемгі қиылысу нүктесі деп аталады. Егер Күн сол нүкте арқылы өтсе, онда көктем басталады. Бұл екі нүктенің екіншісі күзгі қиылысу нүктесі деп аталады. Өйткені онда күзгі күн теңелуі өтеді. Егер эклиптиканың екі нүктесі мен бірінші қозғалыстың белдеу! арқылы оларды қиятын шеңбер жүргізсе, онда бүл шеңбер еңкіштік арақашықтығын анықтайтын екі доғаға -солтүстік доғаға және оңтүстік доғаға бөлінеді. Солтүстік нүкте - бұл күннің жазғы күн тоқырау нүктесі. Өйткені Күн оған жеткен кезде Жердің бізге белгілі бүкіл мекендеген бөлігі үшін жаз басталады. Оңтүстік нүкте - қысқы күн тоқырау. Планеталар, Күн және Ай жылжымайтын жұлдыздармен бірге шығып және бірге батып көрінеді. Сондықтан бірінші қозғалыс екінші қозғалысты да қамтиды және меншікті қозғалыстың денелерімен бірге екінші қозғалыстың денелеріне де қолданылатындығы анық. Жылжымайтын жұлдыздар батысқа ғана қозғалмайды. Бүкіл Әлемді қамтитын және шырақтарға ғана емес, сонымен бірге барлық денелерге қолданылатын басқа қозғалыс болуы да мүмкін. Бұл қозғалыс жылжымайтын жұлдыздардың, сондай-ақ планеталардың меншікті қозғалысы емес дегенге келсек, оның себебі олар шығысқа қарай қарай өте баяу қозғалады; бұл барлық шырақтарға тән. Бірақ барлық шырақтар тез қозғалады. Мұны біз ілгеріде олар туралы тағы да айтатын жоғарыда сөз болған елестегі төрт нүктемен /17/ салыстырып байқаймыз. Сондықтан ол елеулі болатын және нәзік бақылауды талап етеді. Шырақтары жоқ сфераға келсек, онда шырақ болса, ол міндетті түрде көрінер еді. Өйткені барлық аспан шырақтары көрінеді және олар өздерінің жарығын көзден жасыра алмайды. Шеңбер бөліктерінің хордаларын анықтау туралы Негізгі мәселе хордалардың қатынасын анықтауда және олардың шар бетінде орналасқан доғалары мен бұрыштарын табуда. Хордаларды анықтаудан бастаймыз: ең бірінші кезекте дөңгелек 360, ал диаметр 120 бөлікке /18/ бөлінген деп санап кез келген берілген доғаның хордасын және кез келген берілген хорданың доғасын табу тәсілін анықтау керек.

Бұл жерде диаметр бөліктерінің шеңбер бөліктеріне қатынасы мүлдем қарастырылмайды /19/. Шеңбердің алтыдан бірінің хордасы белгілі жарты диаметрге тең /20/. Шеңбер ширегінің хордасы да Евклид кітабынан /21/ белгілі. Ол шеңбердің алтыдан бір хордасының екі еселенген квадратының түбіріне тең /22/. Шеңбердің үштен бірінің хордасы да белгілі - ол жарты диаметрдің үш еселенген квадратының түбірі /23/. Өйткені, бүл қабырғаның квадраты диаметрдің квадратынан бірінші хорданың квадратын шегергеннен қалғанына тең /24/. Сегізбұрыштың қабырғасы квадраттың қабырғасы арқылы сол тәсілмен анықталады. Егер біз шеңбердің оннан бірінің және бестен бірінің хордаларын анықтағымыз келсе, онда диаметрі АС жарты шеңбер саламыз [1-сурет]. Оның центрінен DB перпендикуляр тұрғызамыз; CD-ны Е нүктесінде тең бөлеміз де Е мен В-ны қосамыз. ЕВ-ға тең EG-ны саламыз да G мен В-ны қосамыз. DG онбұрыштың қабырғасына тең және ол белгілі деп санаймыз, ал BG - бесбұрыштық қабырғасы, ол да белгілі.

[1-сурет] Осының дәлелдемесі. CD E нүктесінде тең бөлінгендіктен және оған DG қосылғандықтан, CG GD мен DE-нің және оған тең СЕ-нің, ал EG ED мен DG-ның қосындысына тең /25/, яғни ЕВ өзіне, ал бұл ED өзіне DB өзіне тең дегенді білдіреді. Ортақ ED - ны шығарып тастаймыз, онда DB өзіне тең болатын GDдағы CG қалады, яғни өзіне тең CD қалады. Демек, CG D нүктесінде орта және шеткі қатынастарда бөлінген /26/. Мұндағы ұзын қабырға CD - алтыбұрыштың қабырғасы. Сондықтан қысқа қабырға болмай қоймайды, яғни DG - айтылып кеткендей онбұрыштың қабырғасы. Олар BG-ны квадраттайтындықтан, BG - бесбұрыштың қабырғасы. СЕ белгілі болғандықтан, ЕВ да, яғни EG да белгілі; олардың қосындысы CG және CD белгілі, сондықтан DG де BG да белгілі. Он бұрыштың қабырғасы 37-ге; 4,55-ке тең, ал бес бұрыштың қабырғасы 70-ке; 32,3-ке тең. Енді осыдан әрі қажет болатын ұсыныс жасаймыз. Біз оны біршама ықшамдаймыз: шеңберге іштей сызылған әрбір төртбұрышта бір диагоналдың екінші диагоналға көбейтіндісі қарама-қарсы қабырғалардың көбейтінділерінің қосындысына тең /27/. Егер төртбұрыш тең қабырғалы болса, онда дәлелдеу өте оңай.

Қабырғалары әртүрлі төртбұрыш, мысалы, ABCD шеңберге іштей сызылсын [2сурет]. Оның диагоналдарын жүргіземіз. Берілген төртбұрышта бірінші бұрышпен керілген AD доғасы үлкен болғандықтан ABD бұрышы DBC бұрышынан үлкен болсын. DBC бұрышына тең ABE бұрышын саламыз. ВАЕ және BDC бұрыштары бір доғада жатқандықтан, олар тең болады. Сондықтан ABE және DBC үшбұрыштары ұқсас және АВ-ның CD-ға көбейтіндісі DB-ның АЕге көбейтіндісіне тең. Өйткені ABD бұрышы ЕВС бұрышына тең және ВСЕ мен ADB бұрыштары өзара тең, сондықтан СВЕ және ABD үшбұрыштары ұқсас. Демек, ВС-ның AD-ға көбейтіндісі DB-ның СЕ-ге көбейтіндісіне тең. ВС-ның DAға көбейтіндісі мен АВ-ның CD-ға көбейтіндісіне қосындысы BD-ның СЕ-ге көбейтіндісі мен BD-ның АЕ-ге көбейтіндісінің қосындысына, яғни BD-ның САға көбейтіндісіне тең. Біздің дәлелдегіміз келгені де осы еді.

[2-сурет] Енді жарты шеңбердің хордалары белгілі екі доғадан артылған хордасының да белгілі болатындығын дәлелдейміз. Екі доғадан артылған жарты шеңбер доғасының хордасын табуды оңайлату үшін біз доғалар мен олардың хордаларын шеңбер диаметрінің ұштарынан бастап жүргіземіз. Осы екі доғаның арасында орналасқан доға артылған доға болады. Осы доға және оның хордасы тиісінше артылған доға мен диаметрдің бір ұшында орналасқан оның хордасына тең; мұнда хордалары белгілі доғалар бірінен соң бірі диаметрдің екінші ұшында орналасады. Іздеп отырған хорда СВ болсын; оны AD диаметрінің ұштарынан шыққан DC және АВ хордалар арқылы анықтау талап етілсін [3сурет]; DB мен СА-ны қосайық, олар белгілі, өйткені олар берілген доғаларды жарты шеңберге дейін толықтырушылар - хордалар болып табылады; хорда мен диаметр белгілі; диаметрге тірелетін бұрыш - тік бұрыш.

Демек, бір диагоналдың екінші диагоналға көбейтіндісі белгілі; DB мен СА белгілі, сондықтан СВ-ның AD-ға көбейтіндісі де белгілі; оны белгілі AD-ға бөліп, СВ-ны аламыз. Хордалары белгілі екі доғаны жарты шеңберден шығарып тастағаннан кейін қалған қалдық доға хордасының белгілі болатындығы осымен түсіндіріледі. Бұл қалдық доға ортасында орналасады. Егер ол белгілі болса, онда мысалы, шеңбердің алтыдан бір доғасы мен бестен бір доғасының айырым хордасы

ретіндегі хордалары белгілі екі доғаның арасындағы айырым хорда да белгілі болғаны /28/. Хордасы белгілі доғаның жартысының хордасын да осылайша анықтауға болады. В және С нүктелерді қосамыз [4-сурет]; ВС-белгілі, оның доғасын D нүктесінде тең бөлеміз. BD және CD хордаларын жүргіземіз. Біз бұл хордаларды белгілі деп санаймыз. А мен В-ны және А мен D-ны қосамыз АВ-ға тең АЕ-ні саламыз, D мен Е-ні қосамыз. ЕА мен AD тиісінше АВ мен AD-ға тең, ал А бұрыштары тең доғаларда орналасқандықтан, EAD және BAD үшбұрыштары тең. Демек, олардың BD және DE табандары тең, сондықтан ED DC-ға тең. EDC үшбұрышының D бұрышынан DG перпендикуляр түсіреміз. АВ мен АЕ тең болғандықтан АС деп белгілі; онда қалдық ЕС және оның жартысы EG белгілі; AG - белгілі, GC-белгілі. ADC тікбұрышты үшбұрыш DGC тікбұрышты үшбұрышқа ұқсас. Демек, АС-ның DC-ға қатынасы DC-ның CG-гe қатынасындай; DC - орта сызық, сондықтан белгілі /29/. Біз берілген хорда бойынша он екі градустың доғасын, алты градустың хордасын, үш градустың хордасын, бір жарым градустың хордасын және градустың төрттен үшінің хордасын анықтау тәсілін таптық. Біз хордалары белгілі екі кішкене доға берілсе, онда осы доғалардың қосындысының хордасын анықтауға болады деп санаймыз. Мысалы, АВ және ВС хордалары белгілі болсын. Біз бұл доғалар қосындысының хордасы белгілі деп есептейміз. Бұл қосынды шеңбердің жартысынан аз болсын дейік. Іздеп отырған хорда АС болсын [5-сурет].

AD диаметр жүргіземіз, С-мен D-ны қосамыз. АВ мен ВС белгілі болғандықтан, қалған DC да белгілі. Демек, жарты шеңберге дейін қалған АС хорда де белгілі. Мұның дәлелдемесі «Әлмагесте». BGE диаметрін жүргіземіз [6-сурет]; CD-ны, DE-ні, СЕ-ні және DB-ны қосамыз; ВС белгілі, сондықтан СЕ де белгілі, сол сияқты BD да белгілі, өйткені АВ белгілі. СЕ және BD диагоналдары арқылы төртбұрыштың қабырғалары болып табылатын ED мен CD-да белгілі болады. Осыдан АС да белгілі болады /30/. Егер берілген доғадан хордасы ең аз доғаны қиып түсірсе және бұл доғаны хордалары белгілі басқа дербес доғалармен қосса, онда олардың хордаларының қосындысы белгілі болады. Егер біз ең кіші доғаның еселігін алсақ та дәл осындай болады.

Птоломей ең қолайлы барынша кіші хорда деп жарты градустық хорданы алған; егер жарты градустың хордасы белгілі болса, онда төрттен бір және сегізден бір градустың хордасын да есептеп табуға болады. Бірақ ол қолданған тең болу тәсілі басқа хордалардың есептелуін жеңілдететін жарты градустың хордасын есептеуге мүмкіндік бермейді. Хордалары есептеу кезінде біз шеңбердің алтыдан бір бөлігі мен бестен бір бөлігінің айырымының хордасына дейін жеттік. Бұл қырық сегіз градус. Тең болу арқылы біз жиырма торт градустың, сосын алты, үш, бір жарым, жарты және төрттен бір градустың хордасын анықтай аламыз. Бірақ ол арқылы біз бір градустың хордасы мен жарты градустың хордасын анықтай алмаймыз. Дәл сондай-ақ шеңбердің алтыдан бір бөлігін тең болу арқылы отыз, он бес, жеті жарым градустың хордаларын таба аламыз. Ол арқылы бір градустың немесе жарты градустың хордасын анықтай алмаймыз. Егер шеңбердің оннан бір доғасын тең бөле бастасақ, онда торт жарым және екі жарым градусқа дейін жетуге болады. Егер сызықтардың көмегімен белгілі доғаның үштен бір бөлігінің хордасын анықтауға болса, онда мұны бір жарым градустың хордасы арқылы да табуға болады. Ол былай деді: егер бұл мүмкін болмаса, онда мына қағидаға сүйенетін жуықтау тәсіліне жүгіну керек. Бір ғана дөңгелектегі ұзын хорданың қысқа хордаға қатынасы үлкен доғаның кіші доғаға қатынасынан кіші болады /31/. СВ хордасы АВ хордасынан ұзынырақ болсын. Мен ұзын ВС хордасының қысқа АВ хордасына қатынасы СВ доғасының АВ доғасына қатынасынан кем болатындығын құптаймын. А мен С-ны қосайық [7-сурет]. В бұрышын СА-ны Е нүктесінде қиятын BD түзу сызығымен теңдей етіп екіге бөлеміз. CD мен DAны жүргіземіз; олар теңдей доғалардың хордалары ретінде бір-біріне тең, өйткені В бұрышы төбесіндегі бұрыштары тең. D-дан DG перпендикуляр түсіреміз; ол ECD үшбұрышының ішінде орналасады, өйткені ол тең бүйірлі үшбұрыштың табанын тең бөледі. СЕ ЕА-дан ұзынырақ, өйткені В бұрышы тең бөлінгендіктен СВ ВА-дан ұзынырақ. G бұрышы тікбұрыш болғандықтан, ол DAC бұрыштан үлкен, бірақ қалған DEG бұрыштан да үлкен, DEA-ның сыртқы бұрышынан сөзсіз кіші. Сондықтан AD қабырғасы DE-ден ұзынырақ, ал DE DGден ұзынырақ. Егер D нүктесін центр етіп алсақ және DE арақашықтықта DAны Н нүктесінде қиятын DEA үшбұрыш ішінде орналасқан сектор сызсақ, онда ол DEG үшбұрышынан тысқары орналасады. Онымен Ғ нүктесінде қиылысқанша перпендикулярды созамыз. Онда DEF секторының DEH секторына қатынасы, яғни GDE бұрышының ADE бұрышына қатынасы EDG

үшбұрышының ADE үшбұрышына қатынасынан, яғни биіктіктері бірдей бүл үшбұрыштардың СЕ табанының ЕА табанына қатынасынан үлкен болады.

Қатынасты біріктіре отырып GA-ның АЕ-ге қатынасы GDA бұрышының EDA бұрышына қатынасынан кем екендігін анықтаймыз; екі еселеп СА-ның АЕ-ге қатынасы CDA бұрышының ЛІ)ІІ бұрышына қатынасынан кем екендігін анықтаймыз; CDB бұрышының BDA бұрышына қатынасын ажыратып ала отырып /32/, СЕ-нің ЕА-ға, яғни СВ-ның ВА-ға қатынасы СВ доғасының ВА доғасына қатынасынан кем екендігін анықтаймыз. Енді осы дөңгелекте AD-градустың және жартының хордасы болсын [8-сурет]. Есептеу бойынша бүл бір бөлік - отыз төрт минут он бес секунд; AC - бір градустың хордасы, ол белгісіз, АВ - жарты және ширек градустың хордасы; бұл қырық жеті минут сегіз секундты құрайды. AD доғасының AC доғасына қатынасы жартыға теңнің теңге қатынасы болғандықтан AD-ның АС-ға қатынасы жартыға теңнің теңге қатынасынан аз болады. Демек, AC AD-ның үштен екісінен артық; сондықтан AC екі минут елу секундтың бір бөлігінен артық; бүл AD-ның үштен екісінің мәні. Осындай есептеу бойынша AC АВ-ден үштен бірімен аз, яғни екі минут елу секундтың бір бөлігінен кіші.

Сонымен бір ғана нәрсе екі есептеуде де бір ғана саннан артық және кем болып шықты. Сондықтан АС шамамен бір бөлікке - екі минут елу секундқа тең /33/. Біздің дәлелдегіміз келгені де осы еді. [Бір градустың доғасын қақ болу жолымен жарты градустың хордасын да табуға болады]. Содан кейін хордалары белгілі екі доғаны қосу тәсілімен жарты градус сайын өсіп отыратын басқа доғалар хордаларының шамаларын табамыз. Птоломей оларға арнап жарты градустан бастап және әрбір жарты градус сайын арттыра отырып жүз сексен градусқа дейінгі кесте құрды /34/. Әуелі ол кестеге доғалар мен хордалардың сандық мәндерін, сосын кестедегіден бірнеше минутқа көп немесе аз ізделінді, доғаның хордасын табу үшін бір минуттың хордасына сәйкес мәндерін орналастырды. Ол үшін бір минут хордасының сәйкес мәнін айырмадағы минуттар санына көбейтеміз және қосамыз немесе азайтамыз. Бұл жуықтау шын мәннен шамалы ғана өзгешеленеді. Шынтуайтқа келсек, доғалардың бір-біріне қатынасы олардың хордаларының қатынасындай болмайды. Бұл бірінші мақсат.

Еңкіштікті анықтау жайлы Екінші мақсатқа келсек, оның мәні теңдей бөліп ең үлкен еңкіштікті табу үшін күн тоқырауларының арасындағы доғаны анықтауда /35/, сондай-ақ сфера бетінде сызылған шеңберлердің басқа да белгісіз доғаларын табудың негіздерін (принциптерін, алғышарттарын) анықтауда. Солардың ішінде эклиптика/36/ градустарының еңкіштік доғаларының, яғни эклиптика градустарының нүктелері және аспан экваторы қимасының нүктелері арасында орналасқан және аспан экваторы мен осы градустың полюстері арқылы өтетін шеңберлердің бөліктері болып табылатын доғаларды анықтаймыз. Солардың ішінде біз кейінірек толық түсіндіретін басқа да доғаларды қарастырамыз. Еңкіштікті бақылау тәсілі мынадай: жұптасқан торт параллель жазықтықтармен қоршалған мыс дөңгелек алайық. Оны мүмкін болғанынша бірнеше градустарға және минуттарға бөлеміз. Бірінші дөңгелекті айналатын, бірақ онда сызылған бөліктерді жауып қалмайтын екінші бір дөңгелек алайық. Бүл екі дөңгелекті барынша дәл орналастырайық. Ішкі дөңгелектің диаметрінің бойына астрологиядағыдай екі жағына қарама-қарсы екі көрсеткіш орнатайық. Аталған дөңгелектерді көкжиек жазықтығын тік бұрышпен қиятын бекітілген бағанаға орнатайық. Олардың жазықтықтары көкжиек жазықтығын тік бұрышпен қияды дегенге келсек, мұны тік сызық арқылы жүзеге асыруға болады. Олар меридиан жазықтығында орналасатындай болу үшін талтүстік сызығын жүргізу керек. Ол үшін құйылған су бір жағына ағып кетпейтіндей жерден барынша тегіс орын табу керек. Осы орынға мыстан, ағаштан немесе басқа материалдан жасалған тік бағана орнатамыз. Оның табанын центр етіп алып бағана көлеңкесінің ұшы белгілі бір уақыт бойы айқын және шашырамай түсетін шеңбер бойындағы дөңгелектердің ішіндегі ең үлкенін сызамыз. Одан кейін көлеңкенің түске дейін осы дөңгелектің шеңберіне түскен кездегі, сондай-ақ көлеңке оған түстен кейін екінші рет түскен кездегі ұшын бақылаймыз. Осы екі нүктені белгілеп аламыз және олардың арасындағы доғаны қақ бөлеміз де осы ортаны белгілеп қоямыз. Одан центр арқылы жүргізілген сызық меридиан болып табылады. Енді осы сызық бойынша аспап /37/ орнатамыз да, оның көмегімен күн теңелудің оңтүстік нүктесінен бастап төмендеу шегін анықтағанша Күннің биіктігін ұдайы өлшеп отырамыз. Жұмсақ көрсеткіш жеткен градусты белгілеп отырамыз. Күн солтүстікте болған кезде де оның биіктік шегін анықтағанша дәл осылай істейміз. Астробиологиядағыдай /38/ көрсеткіш жеткен градусты

белгілейміз. Белгіленген екі нүкте арасында орналасқан - екі еселенген ең үлкен, оның жартысы ең үлкен еңкіштік болып табылады. Алынған доғаның ортасын центрмен қосатын сызық аспан экваторының жазықтығында орналасады. Жақтары дәл квадрат және тік бұрышты призманы пайдаланып еңкіштікті әлдеқайда жеңіл тәсілмен табуға болады. Мысалы, оның жақтарының бірі ABCD квадрат болсын [9 сурет]. В центрінен радиусі АВ дөңгелектің ширегін саламыз. Оны тоқсан градусқа және мүмкіндігіне қарай минуттарға бөлеміз. Оны жазықтығы көкжиек жазықтығын тік бұрышпен қиятындай етіп талтүстік сызығының бойымен орналастырамыз. В нүктесінде тік сызық көмегімен қада көлеңкесі AC доғасына дейін жететіндей етіп перпендикуляр орнатамыз. В нүктесіне қойылған қада көлеңкесі доға бөлігіне күн сайын түсіп тұратындай С нүктесіне де дәл сондай қада орнатамыз.

Күннің биіктігі неғұрлым үлкен болса, оның көлеңкесі солғұрлым аласа болады, Күн неғұрлым көбірек төмендесе, оның көлеңкесі солғұрлым биіктей түседі. Егер біз екі шекке (биіктеудің және аласарудың) дейін жетсек, онда біз олардың арасындағыны білеміз. Солтүстік жақтан доғаның артына көлеңкенің шашырап кетуіне мүмкіндік бермейтін бірнәрсе қою керек /39/. Птолемей былай дейді: бақылауға, негізінен зенит нүктесі мен оған дейінгі қашықтыққа қатысты өлшеуге сүйеніп біз қырық жеті градусқа тең және үштен екіден артық, бірақ жарты және төрттен бір градустан кем күн тоқыраулары арасындағы доғаны таптық. Бұл Эратосфен /40/ айтқанға жақын, ал Гиппарх /41/ келтіргенмен бірдей. Бұл аспаптың көмегімен алынған орынның ендігін табуға болады; ол үшін аспан экваторынан градусын анықтаймыз және одан ендіктің тоқсан градусқа дейінгі толықтыруына тең зенитке дейінгі қашықтықты аламыз. Аспапта бүл С мен күн теңелу шеңберінің арасындағы арақашықтыққа тең. Оның өзі полюстің биіктігі болып табылады. Мұндай бақылаудың басқа да тәсілдері бар; олар туралы біз «Қосымшалар кітабында» айтамыз. Бірінші мақсатты толықтыру үшін бір геометриялық алғышарт келтіреміз: егер өзара бұрыш түзетін АВ және AC сызықтарының бойынан D және Е екі нүктені алып, оларды сызықтардың ұштарымен қоссақ, онда АС мен АЕ-нің қатынасы CD-ның DG-гe және BG-нің ВЕ-ге қатынасынан құралғаны /42/ [10-сурет].

Мұның дәлелдемесі. CD-ға параллель етіп ЕН-ты жүргіземіз, онда АС-тің АЕ-ге қатынасы CD-ның ЕН-қа қатынасындай болады. CD аралық шама болсын. Онда CD-ның ЕН-қа қатынасы CD-ның GD-ға және GDның ЕН-қа қатынастарынан құралады. CD-ның GD-ға және GD-ның ЕН-қа қатынасы бар. Кез келген шаманы екі шаманың арасына қоюға және олардан аралық шама олар үшін орта шама болатын екі қатынас құруға болады. Онда екі шаманың бірінің екіншісіне қатынасы осы шамалардан құралған белгілі бір қатынас болып табылады. Ол үшін орта шама басқа шама болмай бұрынғыдай болып қалуы керек. Егер оны өзгертсе, онда аталған қатынас басқа екі қатынастан құралады. Бірақ АС-ның АЕ-ге қатынасы CD-ның НЕ-ге қатынасындай болады. Сондықтан ол АС-ның оған қатынасы CDның GD-ға және GD-ның НЕ-ге қатынасынан құралатын шаманы алды (Евклидтің «Бастама» кітабы бойынша). Онда АС-ның осы шамаға қатынасынан құралған қатынас және бұл шаманың АЕ-ге қатынасы CD мен DG қатынасынан және DG-дің ЕН-қа қатынасынан құралған қатынастай болады. Қатынастарды құрудың мәнін сен түсінсін деп мұны біз ұзақ талқыладық. Бірақ GD-ның ЕН-қа қатынасы GB-ның ВЕ-ге қатынасындай. Сонымен, CD-ның DG-ға қатынасын, сосын GD-ның ЕН-қа немесе GB-ның ВЕ-ге қатынасын ал. Демек, СА-ның ЕА-ға қатынасы мына екі қатынастан құралған: CD-ның DG-ға және BG-ның ВЕ-ге. Сондай-ақ ажырату арқылы СЕ-нің ЕА-ға қатынасы CG-ның GD - ға қатынасынан және BD-ның ВА-ға қатынасынан құралатынын табамыз. АН-қа параллель ЕВ жүргіземіз [11-сурет]; егер CD-ны одан әрі созса, ол міндетті түрде АН-пен қиылысады. Өйткені GEC

бұрышы, яғни НАС, және АСН бұрышы бірігіп екі тік бұрыштан кіші. Олар Н нүктесінде қиылыссын дейік. СЕ-нің ЕА-ға қатынасы CGның GH-қа қатынасына тең, яғни ол мына екі қатынастан құралған: CG-ның GD-ға және GD-ның GH-қа. Вертикаль бұрыштары тең және қарама-қарсы қабырғалары параллель болғандықтан ADH және BDG екі үшбұрыш ұқсас. Сондықтан қабырғаларын қосып GD - ның GH-қа қатынасы BD-ның ВА-ға қатынасына тең екендігін табамыз. Демек, СА-ның ЕА-ға қатынасы біз көрсеткен қатынастардан құралғаны /43/. Синустарды анықтау жайлы

Центрі D ABC шеңбері және осы шеңберде СВ мен ВА-ның әрбірі жарты шеңберден кіші болатындай кез келген үш нүкте С,В және А берілсін [12сурет]. Онда АВ-ның синусының ВС-ның синусына қатынасының қосындысы В нүктесіне жүргізілген жарты диаметрді бөлетін хорда болатын АЕ-нің ЕС-ға қатынасына тең. Синус деп екі еселенген доға хордасының жартысын түсінеді. Сондықтан бір синустың екінші синусқа қатынасы -хордалардың қатынасы.

Диаметрге перпендикуляр болмай қоймайтын СН және AG синустар сызығын жүргіземіз. Үшбұрыштар ұқсас болғандықтан AGның СН-қа қатынасы АЕ-нің ЕС-ке қатынасындай болады. Біздің іздеп отырғанымыз да осы /44/. Мұнда қажетті алғышарт. Егер бұрыштар белгілі болса, онда олардың қабырғаларының қатынасы да анықталады. Егер бұрыштар шеңберге іштей сызылса, және бізге әрбір бұрыштың доғасы белгілі болса онда бұл - сәйкес хорданың сондай шеңберінің диаметріне қатынасы; әрі егер бұрыш тік болса, онда оның хордасы – диаметр. Сондықтан, егер бұрыштардың бірі немесе басқа қабырғасы мен оның тік бұрыштың хордасына қатынасы белгілі болса, онда бұрыш тірелген доғаны анықтау үшін бұл жеткілікті; осыдан кейін берілген доғаны жарты шеңберге дейін толықтыратын қалған доға, және үшінші қабырғасы болып табылатын оның хордасы табылады. Сондықтан бұрыштардың қатынасын және олардың шамаларын білсек, онда олардың сәйкес доғаларын да анықтаймыз. Бұдан СА доғасы және СВ мен ВА екі доғаның синустарының қатынасы белгілі болса, онда бұл доғалардың әрбірі белгілі болатындығы туындайды /45/. D центрінен DG перпендикуляр түсіреміз [13-сурет]. AD, яғни диаметрдің жартысы белгілі болғандықтан хорда мен доғаның жартысы да белгілі болады. Сондықтан АЕ-нің СЕ-ге қатынасы белгілі; бүкіл хорданың СЕ-ге қатынасы белгілі. Онда СЕ мен ЕА белгілі болады; айырма EG белгілі және DG белгілі. Өйткені AGD үшбұрышында G-тік бұрыш және AD, AG белгілі. Сондықтан үшбұрыш белгілі. Дәл сондай-ақ DEG үшбұрышта EG белгілі. Ол белгілі белгілілердің айырымы; бұл үшбұрыштардың әрбір бұрышы да анықталады. Онда бүкіл D бұрышы белгілі болады. Демек, АВ доға мен қалған СВ доға белгілі болады. Центрі D ABC шеңбері берілсін және DA мен СВ Е нүктесінде кездессін дейік [14-сурет], онда СА-ның синусының АВ-ның синусына қатынасы СЕ-нің ВЕ-ге қатынасындай болады. АН-қа параллель және АС мен АВ доғаларының синустары болып табылатын СН және BG перпендикулярларын түсірсек, онда олардың қатынастары СЕ-нің ВЕ-ге қатынасындай болады.

Егер бір СВ доғасы берілсе және синустардың қатынасы белгілі болса, онда АВ белгілі болғаны. ВС-ны CD мен Е нүктеде кездескенше созайық [15-сурет], ВСға DG перпендикуляр түсірейік. Доғаның жартысымен керілген BDG бұрышы және тік бұрыш белгілі болғандықтан, DB қабырғасы да белгілі, яғни оның қабырғалары мен бұрыштары белгілі. Синустардың қатынасы, яғни СА-ның АВға қатынасы белгілі және СВ белгілі болғандықтан СЕ-нің ВЕ-ге қатынасы да белгілі болады. BE артығы да белгілі болады. Сондықтан СЕ мен BE белгілі.

Үшбұрыш EGD және GDE бұрышы белгілі; BDG бұрышы белгілі, сондықтан қалған EDB бұрышы белгілі, демек доға АВ белгілі. Екінші жағынан бұл сызықтар кездессе [16-сурет], онда СН-ты АВ доғасын бірінші сөйлемде анықтағандай анықтаймыз. Бүкіл ВН белгілі болады. Бірақ жарты шеңбер HDA белгілі, сондықтан қалған ВА доға белгілі.

Бұл сызықтар параллель болса, яғни кездеспесе, онда BE АВ - ның синусы болады [17-сурет], ол міндетті түрде АН диаметрге перпендикуляр болады; АС-ның синусы CG да АН-қа перпендикуляр; демек параллель сызықтар арасындағы В, С, бұрыштары - тік бұрыштар; СЕ фигура - тік төртбұрыш. Онда BE мен CG тең; бірақ CG әрі СН-тың синусы болып табылады, СВ доғасы белгілі оны жарты шеңберге дейін толықтыратынның жартысы белгілі, ол ВА доғасы /46/.

Бүл алғышарт қиюшылар жөніндегі сөйлемді түсіну үшін қажет. Бұл сөйлем мынадай. Әрбір жарты шеңберден кіші сфера бетінде салынған үлкен шеңберлердің төрт доғасы берілген; СА және ВА доғалары А нүктесінде кездессін; С мен В-дан G-да қиылысатын екі доға жүргізілді; олар СА мен ВАны D және Е нүктелерінде қисын. Біз былай тұжырымдаймыз: СЕ доғасының синусының ЕА доғасының синусына қатынасы CG доғасының синусының GD доғасының синусына қатынасынан және DB доғасының синусының ВА доғасының синусына қатынасынан құралған /47/. Бүл сөйлемнің дәлелдеуін оңайлату үшін әрбір дөңгелектің диаметрі және оның әрбір хордасы бір жазықтықта жатсын деп ұйғарайық.

Сфера центрін алайық, ол Н болсын; оны шеңбердің EH, НВ және НС сызықтары арқылы қиылысу нүктелерімен қосамыз [18сурет]. AD және ВН хордалары міндетті түрде бір жазықтықта орналасуы тиіс;

ВН AD-ға параллель немесе параллель емес. Егер параллель болмаса, онда олар екі бағыттың бірінде кездеседі; AD НВ-мен D жағындағы F нүктесінде кездессін. Шеңбердің жарты диаметрін L нүктесінде қиюы қажет АС хордасын жүргіземіз. Дәл сондай CD хорда GH-ты К нүктесінде қияды. HE, HG және HF сызықтары EGB доғасымен кездесетіндіктен, олардың бәрі бір жазықтықта жатады; аталған жазықтық міне осы. AD-ны тура бағытта осы жазықтыққа дейін созамыз; FA-да осы жазықтықта жатады. L, К және бір мезгілде екі жазықтықта жатады: олардың бірі EGB доғасының жазықтығы, ал екіншісі ACD үшбұрышының жазықтығы. Егер оларды қоссақ, онда Евклид кітабында дәлелденгендей LKF түзуі шығады. Кездесетін АС және AF екі түзу арасындағы К нүктесінде қиылысатын CD және FL сызықтары жүргізілгендіктен, CL-дің ALгe қатынасы СК-ның KD-ға қатынасынан және FD-ның FA-ға қатынасынан құралады. Бірақ CL-дің LA-ға қатынасы СЕ-нің синусының ЕА-ның синусына қатынасындай; дәл сондай-ақ СК-ның KD-ға қатынасы CG доғасы синусының GD доғасының синусына қатынасындай; FDның FA-ға қатынасы BD доғасы синусының ВА доғасының синусына қатынасындай. Демек, СЕ доғасы синусының ЕА доғасының синусына қатынасы CG доғасы синусының GD доғасының синусына қатынасынан және BD доғасы синусының ВА доғасының синусына қатынасынан құралады. Талап етілген дәлелдеме де осы еді. Енді бұл сызықтар А жағында қиылысатын жағдайды қарастырайық. Бүл Птолемей кітабында жоқ. Ол үшін бір алғышартты келтіреміз. Бірінші А шаманың екінші В шамаға қатынасы үшінші С шаманың төртінші D шамасына қатынасынан және бесінші Е шамасының алтыншы G шамасының қатынасынан құралсын деп пайымдайық. Онда үшінші С-ның төртінші D-ға қатынасы бірінші А-ның екінші В-ға және алтыншы G-ның бесінші Е-ге қатынасынан құралады [19-сурет]. Осының дәлелдемесі. С, D, Е, G-ны және Н, F, J-ты, Н-тың J-гe А-ның В қатынасындай қатынасын аламыз.

J Н пен F-тің ортасы болсын, онда Н-тың F-ке қатынасы үшінші мен төртіншіге сәйкес келетін С-ның D-ға қатынасындай болсын да, Н-тың J-ға қатынасынан, яғни бірінші мен екіншіге сәйкес келетін А - ның В-ға және J-дың F-ке, яғни

алтыншының бесіншіге қатынасынан құралсын. Біздің ұйғарғымыз келгені де осы еді. AD мен ВС А жағында F нүктесінде кездессін [20-сурет]; BDAK және BGEK шеңберлерінің жартысын толықтырамыз. Олар диаметрдегі F-тен басқа бір нүктеде кездеседі. Өйткені FA BDA дөңгелегінің сегментінен тысқары орналасады. Бірақ алдыңғы сөйлемде дәлелденгендей CG біріншінің синусының GD екіншінің синусына қатынасы СЕ үшіншінің синусының ЕА төртіншінің синусына қатынасы мен КА бесіншінің синусына яғни АВ-ның синусының (КАВ жарты шеңбер болғандықтан) KD алтыншының синусына, яғни DB-ның синусына (KDB-жарты шеңбер болғандықтан) қатынасынан құралады. Сондықтан СЕ үшіншінің синусының ЕА төртіншінің синусына қатынасы CG біріншінің синусының GD екіншінің синусына қатынасынан және BD алтыншының синусының ВА бесіншінің синусына қатынасынан құралады. Біздің дәлелдегіміз келгені де осы.

AD сызығы ВН сызығына параллель жағдайға келсек, онда сөйлемді дәлелдеу үшін келесі алғышартты келтіреміз. Егер А - ның В-ға қатынасы С-ның D-ға қатынасындай және Е-нің G-ға қатынасы бірге /48/ тең болса, онда А-ның В-ға қатынасы С-ның D-ға қатынасынан және Е-нің G қатынасынан құралады [21сурет]. Н В-ға тең болсын, онда А-ның Н-қа қатынасы мен С-ның D-ға қатынасы бірдей болады; Н-тың В-ға қатынасы Е-нің G-ға қатынасындай. А-ның В-ға қатынасы А-ның Н-қа және Н-тың В-ға қатынастарынан құралғандықтан бұл қатынас С-ның D-ға жэне Енің G-ға қатынастарынан құралады. А-ның В-ға қатынасы А-ның В-ға қатынасынан және бірлік қатынастан құралатыны осылайша дәлелденді. Әрбір қатынас өзіне тең қатынас пен бірлік қатынастан құралады.

Мұны дәлелдеген соң біз AD хорда ВН-қа [22-сурет] параллель деп тұжырымдаймыз. BDA жарты шеңберді диаметрге дейін толықтырамыз, бұл F нүктесі. АС және DC хордаларын жүргіземіз; D центрінен DX перпендикуляр түсіреміз, центрді табамыз, ол Н нүктесі; Е мен Н-ты АС хорданы L-де қиятын сызықпен қосамыз; HG CD хорданы К нүктеде қияды; К мен L-ді қосамыз. Диаметр BF, доға EGB, сызық HE нүкте L бір жазықтықта жатқандықтан, EGBH жазықтығында L нүктесі арқылы диаметрге, яғни AD-ға параллель сызық жүргізуге болады. Демек, ADC жазықтығында L нүктесі арқылы AD сызығына параллель сызық жүргізуге болатыны анық. Мен мұны LK сызығы деп атаймын. L нүктесінен шыққан параллель сызық басқа болсын; EGBH

жазықтығына келсек, LM параллель сызығы болуы мүмкін; ADC жазықтығына қатысты LQ параллель сызығы болуы мүмкін. Ал бұл LM және LQ сызықтарының әрбірі DA сызығына параллель; демек, олар өзара параллель; бірақ олар L нүктесінде кездеседі. Сонымен олар параллель және параллель емес деу қисынсыз. Сондықтан DA тек LK-ға ғана параллель. Сонымен ADC үшбұрышының бүйір қабырғаларынан табанына параллель сызық жүргізілген. Демек, CL-дің LA-ға қатынасы СК-ның KD-ға қатынасына тең болғандықтан СЕнің синусының ЕА-ның синусына қатынасы CG-ның синусының GD-ның синусына қатынасына тең. Осы қатынастан бірінші қатынасты және бірлік қатынасты құрайық;. әрбірі DX-ға тең BD-ның синусының ВА-ның синусына қатынасы - бірлік қатынас; BD-ның синусы АВ-ның синусына тең, өйткені AD НВ-ға параллель, осыдан ҒА доға BD доғаға тең және DF доға АВ доғаға тең, өйткені DF пен ВА-ның синустары DX болып табылады. Сондықтан BD-ның синусының ВА-ның синусына қатынасы - бірлік қатынас; CG-ның синусының GD-ның синусына қатынасы - СЕ-нің синусының ЕА-ның синусына қатынасы. Онда СЕ-нің синусының ЕА-ның синусына қатынасы CG-ның синусының GDның синусына қатынасынан және BD-ның ВА-ның синусына қатынасынан. құралады. Біздің дәлелдегіміз келгені де осы еді. Сондай-ақ біз қатынастарды біріктіре және ажырата отырып мынаны аламыз: СА-ның синустарының ЕА-ға қатынасы BG-ның синустарының ВЕ-ге қатынасынан құралады. СА және CD жарты шеңберлерді толықтырамыз. Олар F нүктесінде [23-сурет] қиылыссын. Бірақ FA доғасы синусының, яғни СА біріншінің ЕА доғасы синусына қатынасы FD үшінші синусының FD төртінші синусына қатынасынан және BG синусының BE синусына қатынасынан құралады; FA, АС және FD, DC доғаларының синустары бірдей. Осыдан талап етілген алынады. Біздің дәлелдегіміз келтені де осы еді /49/. Мұны біз доғаларды өлшеуге қатысты мәселелерді түсіндірудің негізі ретінде аламыз. Әрбір градус сайынғы еңкеюді /50/ есептеу тәсілін анықтаймыз. Бұл эклиптика градусы және аспан экваторымен шектелген және аспан экваторының екі полюсі мен эклиптика градусы арқылы өтетін доғаның шамасы болып табылады. ABCD - төрт полюс арқылы өтетін шеңбер болсын /51/ [24-сурет], ал АЕС аспан экваторының жарты шеңбері, BED -эклиптиканың жарты шеңбері болсын; Е - олардың қиылысу нүктесі, яғни көктемгі күн теңелу нүктесі. Сондықтан В және D тиісінше қысқы және жазғы күн тоқырау нүктелері болады. EH эклиптиканың белгілі доғасы, мысалы, 30 градусқа тең доғасы болсын, G -аспан экваторының полюсі; үлкен шеңбердің GHF доғасын жүргіземіз. Онда НҒ шамасын анықтау талап етілген НЕ-нің еңкіштігі болады. ABG мен АҒЕ доғаларының арасында Н нүктесінде қиылысатын GHE және ЕНВ

екі доға жүргізілген. Онда GA-ның синусының ВА-ның синусына қатынасы GFтің синусының ҒН-тың синусына қатынасынан және ЕН-тың синусының ЕВ-ның синусына қатынасынан құралады; бірақ AG-ның синусы белгілі, ол тоқсан градустың синусы; ВА-ның синусы белгілі - ол толық еңкею синусы. Қалған екі қатынас - ЕНтың синусының ЕВ-ның синусына қатынасы - белгілі шамалардың қатынасы, яғни отыз градустың ширек шеңбер синусына қатынасы. Шегеріп тастаған соң GF-тің синусының белгілі болатын FH-тың синусына қатынасы қалады. Қатынастардың әрбірі және GF-тің синусы белгілі болғандықтан ҒН-тің синусы да белгілі болғаны. Сонымен ҒН белгілі /52/. Қатынастан қатынасты шығарып тастаудың оңай тәсілі үшін қатынастың одан артық та, кем де болмайтын екі санды талап етеміз. Онда оның бірінің екіншісіне қатынасы одан шығарып тастағанда қалған екі қатынастың бірі, сөйтіп үшінші сан табылады; содан кейін осы үшінші санның одан артық та, кем де емес алғашқы екі санның екіншісіне қатынасын қарастырамыз. Егер қатынас болмаса, онда екіншіге қатынас орын алады, бұл берілген екі белгісіздің қатынасы /53/.

Есептеулерді орындай келе НҒ үшін 11,39,39, ал Зодиактың /54/ екі белгісі үшін, яғни 60 градустар үшін 20, 30, 9 мәндерін аламыз. Птолемей осы тәсіл бойынша квадранттың әрбір градусы арқылы еңкею мәндерін есептеді, оларды екі қатарға орналастырды. Бұл қатарлардың әрбірі өз кезегімен бағана бойынша мынадай төрт қатардан тұрады: бір қатар эклиптика градустарының сандарына арналған; екіншілері - еңкею градустарына, минуттарына және секундтарына арналған /55/. Тік сферадағы шарықтау туралы Еңкею градустарына қатыстыларды баяндаған соң Птолемей тік сферадағы шарықтауды анықтауға көшеді. Тік сферада /56/ экватор полюстері көкжиекте орналасқан, ал қозғалыс белдеуі зенит арқылы ауытқымай өтеді. Сондықтан аспан сферасы Жердегі талтүстік сызыққа перпендикуляр қозғалады, ал экватор полюстері көкжиекте орналасады. Сонымен шарықтау - эклиптика /56а/ бөлігімен бірге шығатын аспан экваторының бөлігі. Егер аспан экваторы тік болса, онда шарықтау градустары мен меридиан градустары бірдей және олардың арасында айырмашылық болмайды. Өйткені қозғалыс жер экваторы полюстерінің маңайында өтеді. Егер екі полюс көкжиекте орналасса, онда аспан экваторы мен меридиан зенитте қиылысады. Егер сфера еңкіш /57/ болса, онда жағдай басқаша болады. Өйткені қозғалыс зениттің екі полюсінің маңайында емес, аспан экваторының

маңайында өтеді. Сондықтан бөліктердің теңдей уақыт аралығы ішіндегі қозғалысы бірдей болады. Демек, әртүрлі қозғалыстарды олардың уақыттары бойынша анықтау керек. Бір айналымның бір күн және бір түн екендігі анықталған. Егер шырақ шығатын градус анықталса, ол экватор мен эклиптика бойынша анықталады, онда әрбір градус аспан экваторынан қандай градуспен шығатынын және эклиптиканың барлық градустарын анықтауға болады. Аспан экваторының градусы күн мен түннің бөліктерімен өлшенеді. Еңкеюдің суреті берілсін дейік. Аспан экваторының және эклиптиканың осы климатта аспан экваторының полюсінен жүргізілген және аспан экваторына дейінгі шарықтау градусы арқылы өтетін шеңбер кесіндісі болып табылатын градустарын алу керектігі айқын. Онда көкжиек пен эклиптиканың арасы - шарықтау орны /58/. Аспан экваторының қозғалыс сферасы жылжымасын, ал онымен көкжиек дөңгелегі шырақ меридианға жеткенше және көкжиек дөңгелегіне қайтадан қайтып келгенше қозғалады екен дейік. Егер оның шығыстағы орындары мен шығу орны арасындағы қозғалысын бақыласа, онда біз қозғалады деп ойлаған шама міндетті түрде аспан экваторының полюсінен жүргізілген және аспан экваторына дейін жететін басқа шама болып шығады. Егер меридиан қозғалса онда да сондай болады. Ойдағы осы қозғалыспен сызылған барлық басқа сызықтар экваторға дейін бірдей, ол одан өткеннен кейін әртүрлі болады./59/

Егер бізге оның тік шарықтауын сол сурет бойынша анықтау керек болса, онда ол EF сызығы. GB-ның синусының ВА-ның синусына қатынасы GH-тың синусының HF-тың синусына (олар белгілі, өйткені НҒ-ті білдік, ал GF - шеңбердің ширегі және GH белгілі, сондықтан олардың синустары белгілі) қатынасынан және ЕҒ-тің синусының ЕА-ның синусына қатынасынан құралған; соңғы белгілі, сондықтан EF-тің синусы белгілі. Демек, ЕҒ белгілі. Есептеу бойынша ол 27;50-ге тең, Зодиактың екі белгісі үшін - 57; 44, Зодиактың ширегінің үштен бір бөлігі үшін 32; 16 градусқа тең /60/. Эклиптиканың он градусының әрбірі үшін оның мәнін Қойдан бастап біртіндеп кестеге енгіземіз /61/. Аль-Фараби. Комментарии к «Альмагесту» Птолемея. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 49-101. Аударған Мұсабеков О.

ЕКІНШІ КІТАП/62/ Ықшамдалған әлмагес /63/ Жерді мекендейтін бөліктер жайлы және кітаптың мақсаттарын еске салу Ол былай деді /64/: Жер аспан экваторына параллель жер экваторымен және аспан экваторының екі полюсі арқылы өтетін сызықтардың бірімен төрт бөлікке бөлінген: екі оңтүстік, екі солтүстік ширектер; мекендейтін бөлік - шамамен бір солтүстік ширек. Қысқы экватор сызығынан полюске дейінгі арақашықтықтық ендік, ал шығыстан батысқа дейінгі арақашықтықтық бойлық деп аталады. Мекендейтін бөлік солтүстік ширек екендігі жөнінде біз жасаған тұжырымның негізделу мәні мынада. Ендікке қатысты екі күн теңелу кезінде күннің ортасында гномоннан түскен көлеңкелер оңтүстікке бағытталған мекендеу орындарын таба алмадық. Мен бізден кейін біреу біз таба алмағанды таба алатын шығар деп ойлаймын /65/. Бойлыққа қатысты біз мынаны байқадық: Айдың тұтылулары Жердің бүкіл мекендейтін бөлігі үшін ең коп дегенде он екі сағатқа озады немесе кешігеді. Бұл жалпы қарастыру; мысалы, бүл кітапта әрбір орын ендікке және полюсінің биіктігі белгілі аспан экваторына параллель шеңберді табуға сәйкес қарастырылатын болады. Полюстің биіктігі мәңгі көрінетін жұлдыздардың бірінің биіктік шегін және оның төмендеу шегін бақылау арқылы анықталады: олардың арасындағы айырманы тең бөлеміз және оны төмендеу шегіне /66/ қосамыз, немесе ол жоғарыда аталған аспап көмегімен аспан экваторының градусын анықтау арқылы табылады. Ол полюс биіктігіне тең 90 саны мен осы шаманың градусының айырымы ретінде анықталады /67/. Сонымен бірге Күннің жағдайын да, яғни оның зенитте қашан болатындығын да білу керек; егер болса, онда ол неше рет болады: бір немесе екі; талтүстік көлеңкелердің шамаларының күн тоқырау мен күн теңелу күндеріндегі гномондарға қатынасы; ең қысқа күннің күн теңелу күніне қатынасы; олардың айырымы түрлерінің күйі; эклиптика градустарының шығуын анықтау, сондайақ үлкен шеңберлердің доғалары арасында орналасқан бұрыштардың шамаларын және экватормен салыстырғанда еңкіш климаттардағы бақылануы мүмкін ең ұзақ күнді анықтауға мүмкіндік беретін қатынастарды анықтау. Жер экваторының сызығында күндер мен түндердің ұзақтығы жағынан бір-бірінен айырмашылығы жоқ. Онда күн мен түн әрқашан тең.

Енді аспан экваторы мен қиғаш шеңбер арасында орналасқан көкжиек доғасының шамасын анықтаймыз. Бүл доға шығыс азимуты деп аталады /68/. Шығыс азимутын анықтау жөнінде Полюс биіктігі 36 градус, ал ең ұзақ күні 14 жарым күн теңелу сағатынан тұратын Родос аралы арқылы өтетін сәйкес параллельдердің суретін саламыз. ABCD – жарты күндік шеңбер болсын /26-сурет]; көкжиектің жартысы BED, аспан экваторының жартысы АЕС; оңтүстік полюс G, ал Н G полюстен шығатын FH квадратындағы қысқы күн теңелу нүктесі болсын. Әуелі ең ұзақ күн шамасы беріліп және шығыс азимуты болып табылатын ЕН-ты анықтау Талап етілсін.

Айналу аспан экваторының G полюсінің маңайында өтетіндіктен, Г мен Н міндетті түрде аспан экваторының FA доғасымен анықталатын АВ талтүстік шеңберге бір ғана уақытта түседі. Егер аспанның Жер астындағы ортасынан шығысқа дейін бастасақ, онда бүл уақыт міндетті түрде басқа FC-ке тең доғамен анықталады. Сондықтан күннің ұзақтығы екі еселенген FA уақытымен, ал түннің ұзақтығы екі еселенген FC уақытымен анықталады. Өйткені талтүстік шеңбер әрбір жоғарғы және төменгі доғаны қақ бөліп қияды. EF доғасы ең ұзақ немесе екі қысқа күн мен күн теңелу арасындағы айырманың жартысы болып табылады. Бұл берілген параллель үшін бір де ширек сағатқа тең. 24 сағат 360 градусқа сәйкес келетіндіктен, әрбір сағат 15 градусқа тең; демек, көрсетілген уақыт он сегіз уақыттық градусқа және 45 минутқа тең. Осыдан талтүстік уақыт FA-ның да белгілі болғаны. Демек, ЕА-ның синусының FA-ның синусына қатынасы ЕВ - ның синусының НВның синусына қатынасынан және GH-тың синусының GF-тың синусына қатынасынан құралады. Осыдан ВН пен НЕ белгілі болады /69/. Күн мен көкжиек доғасының берілген шамалары бойынша көкжиектен арақашықтықты анықтайтын полюстің биіктігін табуға болатындығын көрсетеміз. Сол суреттегі полюс пен көкжиек арасындағы BG-ны табу талап етілсін. EF-тің синусының FA-ның синусына қатынасы ЕН-тың синусының НВның синусына қатынасынан және GB-ның синусының GA-ның синусына қатынасынан құралады және бұл синустардың бәрі белгілі, онда қалған GB синусы белгілі; демек, GB доғасы белгілі /70/. Енді ең үлкен және ең кіші күн арасындағы айырмашылықты, яғни күн теңелуге қатысты екі еселенген айырманы анықтаймыз. Бұл анықталатын екі еселенген EF доға болып табылады. GB доғасының синусының ВА доғасының синусына қатынасы GH-тың синусының HF-тың синусына қатынасынан және

FE-нің синусының ЕА-ның синусына қатынасынан құралады, онда біз білетіннің негізінде екі еселенген EF белгілі болады /71/. Қалғандары белгілі болғанда ЕН доғасын полюс арақашықтығы доғасын пайдаланып анықтауға болады. Өйткені GA-ның синусының АВ-ның синусына қатынасы GF-тің яғни тоқсан градустың синусының FH-тың немесе еңкеюдің синусына қатынасынан және ЕН-тың синусының белгілі ЕВ-ның синусына қатынасынан құралады /72/. Белгілі еңкею оңтүстіктік немесе солтүстіктік, толық еңкею немесе градустың еңкеюі екендігіне қарамастан барлық жағдайлар сақталады. Ол былай деді: осыдан эклиптика шеңбері кесінділерінің теңдей бөліктерінің, яғни күн шығатын нүктеден бірдей арақашықтықта тұрған кесінділердің еңкеюі бірдей, көкжиек доғасы біреу, күні және шығуы бірдей екендігі туындайды. Сонымен бірге күн теңелудің бір ғана нүктесінен бірдей арақашықтықтарда орналасқан бөліктердің аспан экваторының екі жағындағы қалпы бірдей болатыны, яғни көкжиектің өзара тең доғаларын түзетіні және атаулары әртүрлі тәулік бөліктері бір-біріне екі жағынан да тендігі дәлелденді. Бұдан күн мен түннің ұзақтығы бір жақта қаншаға қысқаратыны, ал екінші жағында қаншалықты ұзаратыны және керісінше болатындығы туындайды. Сол суретте К нүктесі аспан экваторына параллель шеңбер сызсын [27-сурет]. КМ осы шеңбердің кесіндісі, ал HL - оған айқыш орналасқан кесінді болсын. Олардың өзара тең екендігі белгілі. N - солтүстік полюс болсын дейік; К мен N арқылы аспан экваторын Х-те қиятын NK доғасын жүргізейік; онда СХ FA-ға тең болады, өйткені СХ КМ-ге ұқсас, себебі олар аспан экваторының полюсінен шыққан екі доғаның арасында орналасқан. FA да HL-гe осылайша ұқсас; демек, КМ мен HL тең. Өйткені бір ғана шеңберде орналасқан екі ұқсас доғалар тең, дәл сондай-ақ қалған ЕХ пен EF тең. Осылайша ХЕК үшбұрышының ХЕ және ХК екі қабырғасы екінші үшбұрыштың сәйкес ҒЕ және ҒН қабырғаларына тең, Ғ және X бұрыштары тік, демек, КЕ табаны ЕН табанына тең. Осыдан көрсетілген екі үшбұрышта доғалардың хордаларын жүргізсе, онда тиісінше шарықтау, шығыс азимуты, екі жақтағы еңкеюлер тең болады.

Гномондардың күн теңелу және күн тоқырау уақыттарында талтүстік көлеңкелеріне қатынасын анықтау туралы /73/ Е маңайында ABC меридианын сызамыз, АЕС - оның диаметрі, А - зенит [28сурет]. С нүктесінен горизонтқа параллель сызық жүргіземіз. CG көлеңке

түсетін түзу сызық, СЕ -гномон /74/ болсын. Жер аспан сферасымен салыстырғанда кішкентай болғандықтан гномонның Жердің бетінде немесе оның центрінде болуының ешбір айырмашылығы жоқ. В нүктесі - талтүстік шеңбердегі күн теңелу нүктесі болсын, онда ВЕК күн теңелу сәулесі, ал CN - оның көлеңкесі болады. Н - күн тоқырау нүктесі, HEF - оның сәулесі, ал CD - осы сәуленің көлеңкесі болсын; L - қиысуы күн тоқырау, LEM - оның сәулесі, CG - осы сәуленің көлеңкесі. Зениттің аспан экваторынан арақашықтығы полюстің биіктігіне тең, АЕВ бұрышы белгілі; солтүстік және оңтүстік жақтардағы ең үлкен еңкіштік белгілі болғандықтан, НВ және BL доғалары да белгілі; демек, АН доғасы және оның бұрышы белгілі болады. Егер бұл доғалар анықталса, онда олардың орталық бұрыштары белгілі болады, олардың вертикаль бұрыштары үшбұрыштардың центрдегі бұрыштары болады, С-тік бұрыш, СЕ - 60 бөлік, сондықтан барлық үшбұрыштар белгілі. Өйткені үшбұрышты екі бұрышы мен қабырғасы арқылы әрқашан шешуге, яғни осы мәліметтер бойынша басқаларын табуға болады. Егер С және Е нүктелерін бір біріне жақындастырып центрде орналастырса және оның кез келген біреуін шеңбердің центрі, ал екіншісін гномон ұшы етіп алса, онда ол шеңберге ықпал етпейді де, дәлелдемесі бірдей болады /75/.

О гномон табаны, ал Е - оның ұшы болсын; О нүктесінен ОХ перпендикулярды көлеңке оған түсетіндей етіп жүргіземіз; ол CN сызығына параллель болады; екі қатынастың екеуі де бірдей болады. Дәл солай-ақ Е нүктесін гномон табаны, Q - осы бағыттағы ұшы, EX - перпендикуляр, X, Z, Р көлеңкенің ұштары етіп алса, онда Е-де және оған жақын Q-де түзілетін бұрыштар арасында айырмашылық болмайды. Жүргізілген есептеулер бойынша көлеңкенің жазғы күн тоқырау кезіндегі көлеңкесі болып табылатын CD 12,55-ке тең; күн теңелу болып табылатын CN сызығы 48,36-ға, ал қысқы күн тоқырау кезіндегі көлеңке CG сызығы 103,20-ға тең. Сөйтіп полюстің биіктігі мен еңкіштігі белгілі болса, онда көлеңке мен гномон қатынасын оңай анықтауға болады. Осыдан көлеңке мен гномонның берілген қатынасы бойынша полюс биіктігі мен еңкіштікті оңай білуге болады. Өйткені бұл доғаларды көрсетілген үшбұрыштың бұрыштары бойынша анықтауға болады. Бірақ ең үлкен еңкіштік пен полюс биіктігін анықтаудың сенімді жолы жоғарыда келтірген бірінші тәсіл болып табылады. Өйткені талтүстік көлеңке кішіреюден үлкеюге және үлкеюден кішіреюге үздіксіз ауысуына байланысты анықталмайды, сондықтан

күн теңелу уақытын, сондай-ақ қысқы күн тоқырау уақытын көрнекі белгілеп алу қиын. Аспан экваторына параллель шеңберлердің ерекшеліктері жайлы /76/ Птолемей аспан экваторына параллель және зенит астында тұрған орын арқылы өтетін шеңберлер сызды. Ол әрбір ширек сағат сайынғы осы параллельдер арасындағы арақашықтықты алды. Жер экваторында күн мен түн әрқашан тең. Егер полюс жаққа қарай жүрсек, онда олардың арасында айырмашылық байқалады. Полюске жақындаған сайын бұл айырмашылық арта береді. Ол біз айтқалы отырған әрбір ширек сайынғы параллельдерді таңдап алды. Ол былай деді: жер экваторына келсек, ол біз мекендейтін және мекендемейтін солтүстік және оңтүстік полюс арасындағы шекара қызметін атқарады. Экватордағы сфера тік болғандықтан көкжиек аспан экваторына параллель барлық шеңберлерді қақ бөледі. Сондықтан онда күн мен түн тең. Басқа орындарға келсек, онда бір ғана аспан экваторы көкжиек шеңберімен қақ бөлінеді, ал қалған шеңберлер әркелкі бөліктерге бөлінеді. Мекендейтін жерге тиіп тұрған полюске жақын әрбір дөңгелек үшін параллельдердің жоғарғы кесінділері төмендегілерінен үлкен болып келеді. Сондықтан күн түннен гөрі ұзағырақ Жер экваторының дөңгелегіне көлеңкенің кейде Күн оңтүстіктен солтүстікке өткенде оңтүстікке, ал кейде Күн одан оңтүстікке өткенде солтүстікке бағытталуы тән. Экватордағы көлеңкенің ұзындығы мен өсуінің шегі күн тоқырау уақытындағы талтүсте болады. Бұл гномонның алпыс бөлігінің жиырма алты жарым бөлігі. Ондағы тұрғындар үшін барлық жұлдыздар шығатын және бататын жұлдыздар. Олардың ішінде мәңгі көрінбейтіндері де, мәңгі көрінетіндері де жоқ. Ол былай деді: онда тұратындар бар ма немесе жоқ па дегенге келсек, онда бұл туралы болуы да мүмкін дейді; өйткені бүл орында жылдың барлық уақытында барынша қоңыржай болуы тиіс. Онда Күн зенитте ұзақ кешігіп қалмайды, одан тез жылжып кетеді, сондықтан жаз қоңыржай болып келеді. Күн тоқырау кезінде ол зениттен көп алыстай қоймайды. Сондықтан онда қыс та қоңыржай өтеді. Мысалы, біз бүл жайында көп айттық; мұны менің физика бойынша кітаптарымнан табуға болады. Ондағы елдер мен орындар қандай еді дегенге келсек, Птолемей «Әлмагес»- ті жазған кезде ол бұл туралы білмеген және ол былай деді: бұл туралы айтылғандар ұйғарым болып табылады. Кейін ол кейбіреулері туралы білді және оларды /77/ өзінің «География» /78/ кітабына енгізді.

Елдер мекендеген басқа параллельдерге келсек, олардың әрбіріндегі полюс биіктігі берілген параллельдің ендігіне тең. Онда олар үшін мәңгі көрінетін жұлдыздар бар. Бүл жұлдыздар шеңберлер сызады. Олардың ішіндегі ең үлкен жарты диаметрі ендікке теңдері (центрі осы полюстегі) көкжиекке жанасады, бірақ бүл жұлдыздар - екінші полюстен мәңгі көрінбейтін жұлдыздар. Жер экваторының сызықтарынан кейін экватор сызықтарына параллель екінші шеңбер бар. Ол үшін күннің ең көп ұзақтығы - 12 де ширек сағат; оның ендігі 4; 15 градус. Бүл параллель Тапробани аралы арқылы өтеді. Ендік ең үлкен еңкіштіктен кіші болғандықтан оның екі жақты көлеңкесі болады. Өйткені Күн зенитте екі рет болады; онда көлеңке болмайды. Оның жазғы күн тоқырау нүктесінің екі жағындағы арақашықтығы 79; 30 градустарға тең болғанда күн теңелу көлеңкесі алпыстың 4; 25 бөліктеріндей болады; жазғы көлеңке 21; 20, ал қысқы көлеңке 32 болады. Келесі параллельдің ең үлкен күні 12; 30 сағатқа, ендігі - 8; 25 градусқа тең; ол Авалий бұғазы арқылы өтеді; көлеңкесі екі жақты; Күн зенитте екі рет болады: күн тоқырау нүктесінің екі жағында одан 69 градус арақашықтықта тұрған кезде; күн теңелу көлеңкесінде 8; 50, жазғы көлеңкеде 16; 35, қысқы көлеңкеде 37; 54 бөлік бар. Төртінші параллельдің ең ұзақ күні 12 және төрттен үш сағат, ендігі - 12; 30 градус және Абдуллий бұғазы арқылы өтеді, оның екі жақты көлеңкесі бар, өйткені Күн зенитте екі рет болады; күн теңелу көлеңкесінде 18; 20, жазғы көлеңкеде 12, ал қысқы көлеңкеде 44; 40 бөлік бар. Бесінші параллельдің ең ұзақ күні 13 сағат, ендігі 16; 27 градус. Ол Мероэ аралы арқылы өтеді; екі жақты көлеңкесі бар, өйткені Күн зенитте екі рет болады (жазғы күн тоқырау нүктесінен 45 градус арақашықтықта тұрған кезде); күн теңелу көлеңкесі 17; 45, жазғы көлеңке 7; 45, ал қысқы көлеңке - 51 бөліктен тұрады. Алтыншы параллельдің ең ұзақ күні 13-те ширек сағат, ендігі 20; 14 градус. Ол Напата арқылы өтеді, екі жақты көлеңкесі бар, өйткені Күн зенитте екі рет болады (жазғы түн тоқырау нүктесінен 31 градус арақашықтықта тұрғанда); күн теңелу көлеңкесі 22; 10, жазғы көлеңке 3; 45, ал қысқы көлеңке - 38; 10 бөлікке тең. Жетінші параллельдің ең ұзақ күні - 13-те жарым сағат, ендігі 23; 51 градус және ендігі ең үлкен еңкіштікке тең Сиен арқылы өтеді, сондықтан оның тек солтүстік көлеңкелері ғана болады, өйткені Күн зенитте күн тоқырау нүктесі

кезінде бір-ақ рет болады; күн теңелу көлеңкесі 26; 30, қысқы көлеңке 65; 50 бөлікке тең, ал жаз көлеңкесіз өтеді және одан солтүстік жақтағы параллельдерде бір ғана көлеңке болады; Күн зенитте ешуақытта болмайды. Сегізінші параллельдегі ең ұзақ күн 13-те төрттен үш сағат, ендік 27; 12 градус. Ол Птоламида арқылы өтеді; күн теңелу көлеңкесі 36; 50, қысқы көлеңке 74; 10, жазғы көлеңке 3; 30 бөлікке тең. Тоғызыншы параллельдің ең ұзақ күні 14 сағат, ендігі 30; 22 градус. Ол Төменгі Египет елдері арқылы өтеді; жазғы көлеңке 6; 50, күн теңелу көлеңкесі 35; 05, қысқы көлеңке 83; 05 бөлікке тең. Оныншы параллельдің ең ұзақ күні 14-те ширек сағат, ендігі 33; 18 градус. Сирияның ортасы арқылы өтеді, жазғы көлеңке 10, күн теңелу көлеңкесі 39; 30, ал қысқы көлеңке 93; 05 бөлікке тең. Он бірінші параллельдің ең ұзақ күні 14,30 сағат, ендігі 36 градус және Родос арқылы өтеді, жазғы көлеңке 12,55, күн тең теңелу көлеңкесі 47; 50, қысқы көлеңке 103; 20 бөлікке тең. Он екінші параллельдің ең ұзақ күні 14,45 сағат, ендігі 38; 35 градус. Ол Смирна арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 15; 40, күн теңелу көлеңкесі 48; 36, ал қысқы көлеңкесі 114; 55 бөлікке тең. Он үшінші параллельдің ең ұзақ күні 15 сағат, ендігі 40; 56 градус. Ол Сехатуос (Геллеспант) елі арқылы өтеді, жазғы көлеңкесі 18;30, күн теңелу көлеңкесі 52; 10, ал қысқы көлеңкесі 127; 50 бөлікке тең. Он төртінші параллельдің ең ұзақ күні 15,5 сағат, ендігі 43; 15 градус және Массилия арқылы өтеді, жазғы көлеңкесі 20; 50, күн теңелу көлеңкесі 55; 55, ал қысқы көлеңкесі 144 бөлікке тең. Он бесінші параллельдің ең ұзақ күні 15,30 сағат , ендігі 45; 10 градус. Ол Понтаның ортасы арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 23; 15, күн теңелу көлеңкесі 60 бөлікке тең және гномон бөліктеріне сәйкес келеді, ал қысқы көлеңке 155 бөлікке тең. Он алтыншы параллельдің ең ұзақ күні 15,45 сағат, ендігі - 46; 51 градус және ол Истра өзені арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 25; 30, күн теңелу көлеңкесі 63; 55, қысқы көлеңкесі 171; 30 бөлікке тең. Он жетінші параллельдің ең ұзақ күні 16 сағат, ендігі 48; 32 градус және Борисфен өзенінің құйылысы арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 27; 30, күн теңелу көлеңкесі 67; 60, ал қысқы көлеңкесі 188; 35 бөлікке тең.

Он сегізінші параллельдің ең ұзақ күні 16,15 сағат, ендігі 50; 15 градус. Параллель Меодит көлінің (теңізінің) ортасы арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 29; 55, күн теңелу көлеңкесі 71; 40, ал қысқы көлеңкесі 208; 20 бөлікке тең. Он тоғызыншы параллельдің ең ұзақ күні 16,30 сағат, ендігі 51; 40 градус, ол Британияның оңтүстігі арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 31; 25, күн теңелу көлеңкесі 75; 25, ал қысқы көлеңкесі 229; 30 бөлікке тең. Жиырмасыншы параллельдің ең ұзақ күні 16,45 сағат, ендігі 52; 50 градус және Рейн құйылысы арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 33; 20, күн теңелу көлеңкесі 79; 05, ал қысқы көлеңкесі 253; 10 бөлікке тең. Жиырма бірінші параллельдің ең ұзақ күні 17 сағат, ендігі 54; 30 градус. Ганайс құйылысы арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 34; 55, күн теңелу көлеңкесі 82; 35, ал қысқы көлеңкесі 278; 45 бөлікке тең. Жиырма екінші параллельдің ең ұзақ күні 17,15 сағат, ендігі-55 градус. Ол Ұлы Британ елінің оңтүстігі арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 36; 15, күн теңелу көлеңкесі 85; 40, ал қысқы көлеңкесі 304; 30 бөлікке тең. Жиырма үшінші параллельдің ең ұзақ күні 17,30 сағат, ендігі-56 градус және Ұлы Британ елінің ортасы арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 37; 40, күн теңелу көлеңкесі 88; 50, ал қысқы көлеңкесі 335; 15 бөлікке тең. Жиырма төртінші параллельдің ең ұзақ күні 17,45 сағат, ендігі 57 градус. Ол Британ еліндегі Катурактония деп аталатын жер арқылы өтеді; жазғы көлеңкесі 39; 20, күн теңелу көлеңкесі 92; 25, ал қысқы көлеңкесі 372; 05 бөлікке тең. Жиырма бесінші параллельдің ең ұзақ күні 18 сағат, ендігі - 58 градус. Ол Кіші Британияның оңтүстігі арқылы өтеді, жазғы көлеңкесі 40; 40, күн теңелу көлеңкесі 96, ал қысқы көлеңкесі 449; 50 бөлікке тең. Жиырма алтыншы параллельдің ең ұзақ күні 18,30 сағат, ендігі -59; 30 градус және Кіші Британияның ортасы арқылы өтеді. Ол былай деді: енді біз сағаттың төрттен бір өсімшесін пайдаланбаймыз, өйткені алыс шеңберлер арақашықтығы бойынша бір - біріне жақын жатыр. Біз былай дейміз: күнінің ең ұзақтығы 19 сағат, ал ендігі 61 градус болатын параллель Британияның солтүстік шеті арқылы өтеді, ал ең ұзақ күні 19,30 сағат, ендігі 62 градус параллель Эбуд аралы арқылы өтеді; ең ұзақ күні 20 сағат, ендігі 63 градус, параллель Фула аралы өтеді; ең ұзақ күні 21 сағат, ендігі 64;30 градус параллель славьяндардың /79/ белгісіз тайпасы арқылы өтеді. Ең ұзақ күні 22 сағат параллельдің ендігі 65;30 градус; ең ұзақ күні 23 сағат

параллельдің ендігі 66 градус; ең ұзақ күні 24 сағат, ал ендігі 66;30 градус параллель дөңгелек көлеңкелі болып келеді. Өйткені онда Күн жазғы күн тоқырауда ғана батпайды және гнамон көлеңкесі дөңгелек бойымен айналады. Мұнда жазғы күн тоқырау дөңгелегі мәңгі көрінеді, ал қысқы күн тоқырау дөңгелегі мәңгі көрінбейді, өйткені олар жер көкжиегінің дөңгелегімен айқыш жанасады. Себебі, Шаянның төбесі арқылы өтетін параллель көкжиекпен жанасады. Егер эклиптика полюсі аспан экваторы полюсінің маңайында айналса, онда эклиптика полюсі экватор полюсінің оңтүстік жағында болады. Ендік толық еңкіш болған кезде, эклиптика полюсі зенитте болып, көкжиек полюсімен беттесуі тиіс; сондықтан эклиптика шеңбері Жер көкжиегі шеңберімен беттеседі. Онда Шаян тропигі төмен қарай көкжиек солтүстікте жанағанша төмен түсе береді, ал Ешкі тропигі көкжиекті қарама-қарсы оңтүстік жағынан жанағанша көтеріле береді. Егер көктемгі күн теңелу нүктесі шықса, онда эклиптика шеңбері көкжиек болып табылады. Өйткені осы уақытта эклиптика полюсі зенитте, ал аспан экваторының полюсі оның солтүстік жағында болады. Сондықтан Шаян көкжиекте және меридианда, ал Қой шығыста болмай қоймайды. Егер бұған кімде-кім бірнәрсе қосқысы келсе, онда ол мұны ұйғарылған принциптерге сүйеніп жасай алады /80/. Бұдан полюстің биіктігі шамамен 67 градусқа тең биіктікте Күн Зодиак белгісінің жартысы бойы Шаянның, яғни жазғы күн тоқырау нүктесінің екі жағынан да батпайды; мұнда ең ұзақ күн шамамен бір айға созылады; полюс биіктігі 69;30 градус орындарда Күн Зодиактың бір белгісі бойы батпайды, ең ұзақ күн шамамен екі айға созылады; полюс биіктігі 73;20 градус орындарда Күн Зодиактың Торпақ пен Арыстан шоқжұлдыздарының арасына орналасқан бір жарым белгісі бойы батпайды, ең ұзақ күн шамамен үш айға созылады. Полюс биіктігі 78;20 градус орында Күн Зодиактың екі белгісі бойы әрбірінің екі жағынан батпайды, ең ұзақ күн шамамен төрт айға созылады; полюс биіктігі 84 градус орында ол Зодиактың әрбірінде екі жақтан екі жарым белгі бойы батпайды, ең ұзақ күн бес айға созылады. Полюс биіктігі 90 градус орында Күн Зодиактың әрбір жағындағы үш белгі бойы батпайды, ең ұзақ күн алты айға созылады. Мұнда оңтүстік жартысы алты ай шықпайды, ал солтүстік жартысы алты ай батпайды. Сөйтіп, алты ай күн, алты ай түн болады. Мұнда аспан экваторының дөңгелегі аспан күмбезінің екі бөлігінің үлкен дөңгелегі көкжиек дөңгелегі болып табылады: мәңгі көрінетін және мәңгі көрінбейтін бөліктер, олардың арасындағы ортақ шекара бар. Ендіктерге қатысты шарықтаулар туралы /81/

Тік сферадағы шарықтаулар туралы біз айттық. Енді біз еңкіш сферадағы шарықтаулар туралы айтамыз. Біз былай дейміз: ендіктерге қатысты күн теңелудің оңтүстік және солтүстік нүктелерінен теңдей қашықтықта тұрған эклиптика доғаларының шарықтауы бірдей. ABCD - меридиан [29-cypem], BED - көкжиек дөңгелегі, АЕС - аспан экваторы, G -көктемгі күн теңелу нүктесі, GH - солтүстік еңкіш шеңбер доғасы; F - нүктесін екінші нүктемен қосамыз да, оңтүстік еңкіш KF шеңберінің GH-қа тең доғасын аламыз. Олардың шарықтаулары FE және EG. Біз оларды тең дейміз. L-де орналасқан G нүктесіне сәйкес полюсті қоямыз; екінші жағынан бүл М нүктесі болсын. Осы полюстер арқылы LEM шеңберінің кесіндісін және үлкен шеңберлердің FL, LK, GM және FL, LK, GM және МН доғаларын жүргіземіз. Берілген бойынша GH доғасы KF доғасына тең, LK доға МН доғасына тең. Өйткені екі үшбұрыш тең. Сондықтан шығу азимуттары болып табылатын ЕК және ЕН доғалары тең, полюстен аспан экваторының нүктесіне дейінгі арақашықтық ретіндегі ME және EL доғалары тең. Демек, ЕНМ үшбұрышының қабырғалары ELK үшбұрышының сәйкес қабырғаларындай. Демек, ELK бұрышы ЕМН бұрышына тең, бірақ KLF бұрышы HMG бұрышына тең. Өйткені олар тең доғалармен керілген. Екі қабырғалары екіншінің сәйкес қабырғаларына тең. Онда EF табаны EG табанына тең.

Біз былай дейміз: еңкіш шеңбердің теңдей екі доғасының әрбірінің шарықтауы күн теңелудің бір нүктесінің екі жағында тұрса, онда олардың бірі мен күн тоқырау нүктесінің арасы екіншісі мен сол күн тоқырау нүктесінің арасына тең. Зодиактың екі белгісінің -Қой мен Бикештің шарықтауы оған мысал бола алады. Егер оларды қосса, оңда олар экватор сызығындағы сәйкес доғалардың шарықтауларының қосындысына тең. ABCD - меридиан [30-cypem], BDE - көкжиектің жартысы және АСЕ - аспан экваторының жартысы болсын; GH - оңтүстік доға, ал оның қысқы күн тоқырау нүктесінен арақашықтығы FH доғасының арақашықтығына тең, G - күзгі, ал F - көктемгі нүкте, Н көкжиек дөңгелегі мен осы екі доғаның ортақ нүктесі, өйткені бұл доғалар аспан экваторына параллель бір ғана шеңбер ішінде жатыр.

Н нүктесі мен аспан экваторының полюсі арқылы тік сферада көкжиекке тең мәнді үлкен дөңгелектің ширегін жүргіземіз. Бүл - KHL. ҒЕ ҒН-тың, EG - HG-ның шарықтауы болғандықтан, FG-ның қосындысы осы климаттағы екі доғаның

шарықтауы. Бірақ FL -FHтың тік сферадағы шарықтауы және GL - HG-ның тік сферадағы шарықтауы; олардың қосындысы FG, бұл қосынды тік сферадағы шарықтаулардың қосындысы емес /82/. Бұдан біз егер шарықтауды бір ширек үшін ғана анықтасақ, онда бүл сол және басқа да ширектерді анықтау үшін жеткілікті. Мұны біз жоғарыда еске салған Родос аралы үшін есептейміз. ABCD меридиан [31-cypem], BED көкжиек шеңбері, АЕС - аспан экваторы шеңберінің жартысы, GHF -эклиптика шеңберінің жартысы, Н - көктемгі күн теңелу нүктесі болсын; DKполюс биіктігі, К - полюс нүктесі; ол арқылы еңкіш шеңбер мен көкжиектің қиылысуынан өтетін, яғни L нүктесі арқылы М нүктесіне дейін ширек шеңбер жүргіземіз. Мысалы, LH Қойға сәйкес келетін Зодиактың бір белгісі болсын. EH шамасын табу талап етілсін.

[31-сурет] KD-ның синусының CD-ның синусына қатынасы KL-дың синусының LM-ның синусына қатынасы мен ЕМ-нің синусының ЕС синусына қатынасынан құралатыны дәлелденген; бірақ DK - полюс биіктігі, DC - белгілі КС доғасынан белгілі KD доғасын шегергеннен қалатын қалдық; KL - белгілі, өйткені ол Торпақ басының аспан экваторынан арақашықтығы, ал бүл арақашықтық оның еңкеюінің қосымшасы болып табылады; ЕС белгілі болса онда ME де белгілі болады; НМ тік сферадағы Н-тың шарықтауы, ол да белгілі; осыдан НЕ белгілі. Есептеу бойынша Родос аралына сәйкес келетін Қойдың шарықтауы 19; 12 градусқа тең болады. Бұдан Балықтың да шарықтауы осындай екендігі туындайды; Таразылар Балықтың тік сферадағы шарықтауын, ал Бикештер Қойдың шарықтауын толықтырады. Егер HL сызық Қой мен Торпаққа сәйкес Зодиактың екі белгісінің қосындысын қамтыса, онда біз бір Қойдың шарықтауын білетіндіктен, екіншісінің шарықтауын да білеміз. Торпақтың шарықтауына 22;46 градус қалады. Балықтың шарықтауы арқылы Су құюшының, Бикештер арқылы Арыстанның, Таразылар арқылы Шаянның шарықтауы да дәл осылай анықталады. Берілген ендік, яғни Родос аралы үшін ең ұзақ және ең қысқа күндер белгілі болғандықтан Шаяннан Мергендерге дейінгі бір бөлігі 217;30, ал екіншісі 142;30 уақыттық градустарға сәйкес келеді. Сонымен көктемгі күн теңелу нүктесіне тиіп тұрған екі ширектің шарықтаулары да белгілі болады. Олардың әрбірі 71; 15 уақыттық градустармен бірге шығады. Бұдан Торпақ пен Ешкінің әрбірі үшін қанша қалатыны көрініп түр. Ол 29; 17 градусты, ал Шаян мен

Торпақ шоқжұлдыздарының әрбірі 36;15 градусты құрайды. Бұл ереже Зодиактың толық белгісімен салыстырғанда әлдеқайда ұсақ бөліктер үшін де шарықтауды анықтауға мүмкіндік береді. Птолемей бұл үшін әлдеқайда жеңіл және қолайлы тәсіл барын ескерткен. Ол былай деді: ABCD - меридиан [32-сурет], АЕС - аспан экваторы шеңберінің жартысы, GH - эклиптиканың жартысы болсын, Е көктемгі күн теңелу нүктесімен BED көкжиегінің қиылысуында беттесін.

Белгілі EF доғасын жүргіземіз де, көкжиекті қиятын және аспан экваторына параллель ҒК доғасын саламыз. Аспан экваторының оңтүстік полюсі L нүктесі болсын; LFM және LKN шеңберлерінің ширектерін саламыз; ЕМ EF-тің экватордағы шарықтауы, өйткені солардың өздері үшін көкжиектің FM сызығы болатын мүмкіндігі бар. Бұл орындағы шарықтау MN доғасына тең, өйткені FK MN-гe параллель және оған ұқсас. Себебі, оларды полюстен жүргізілген екі ұқсас доғалар қиған. Ал ұқсас доғалар бірге шығады. Бірақ FK Ғ Е-ге дейін көкжиекте болған уақыттан бастап, онда параллель шеңбер айналған доға. Онда EN - экватор шарықтауының осы ендік шарықтауының үстінен артылған шарықтау. Бұл суретте қателесіп, Ғ нүктесі көкжиекте тұрған кезде М де көкжиекте тұрады және олар бірге шығады, яғни ЕҒ пен ЕМ тең деп ойлауға болады, ал бұл олай емес. Бұл экватор көкжиегінде болады. Мұнда BED көкжиегінде F-пен бірге Е-ге дейінгі арақашықтығы М-нен N-гe дейінгі арақашықтыққа тең басқа нүкте болады. Біз бұл суреттен гөрі қарапайым сурет саламыз. ABC - ендігі белгілі орын үшін меридиан болсын [33-сурет]; АЕС аспан экваторының сызығы, BED көкжиектің жартысы, G - оңтүстік полюс, Н - көкжиек пен қысқы күн тоқырау параллелінің ортақ нүктесі; F-ке, яғни шеңбердің ширегіне дейін GH сызығын жүргіземіз, К - көкжиек пен эклиптика градусы параллелінің ортақ нүктесі; GKL сызығын жүргіземіз. Онда ҒН доғасы синусының HG синусына қатынасы ҒЕ синусының EL синусына қатынасынан және KL синусының KG синусына қатынасынан құралады. ҒН синусына келсек, ол белгілі, өйткені ол - толық еңкіштің синусы, сондықтан HG синусы белгілі; эклиптика градусының еңкеюі ретіндегі LK синусы белгілі; қосымша еңкею ретіндегі KG-ның синусы белгілі; ең ұзақ және ең қысқа күндердің арасындағы айырманың жартысы ретіндегі ҒЕ-нің синусы белгілі; олар бізге берілген ендік үшін полюстің биіктігіне тең ретінде белгілі. Мұны полюс биіктігін анықтап алып білуге болатындығын дәлелдедік. Онда LE-нің қалған синусы белгілі; LE -

ендік бойынша шарықтау мен тік сферадағы шарықтау арасындағы айырма. Ал тік сферадағы шарықтау белгілі /83/.

[33-сурет] Одан әрі Птолемей кесте құрды /84/. Оның бірінші бағанына Зодиак белгілерін, ал екінші бағанына ондық градустарды (өйткені одан ұсақ градус мәнді емес) орналастырды; үшінші бағанына уақыттық градустар мен минуттарды қойды; төртінші бағанына квадранттың басы ретіндегі Қойдан бастап қосынды уақытты орналастырды /85/. Жоғарыда баяндалғанның бәрінен мынау анық: егер сен бір квадрант үшін шарықтауды есептесең, онда бұл басқаларын есептеу үшін жеткілікті. Шарықтауларды анықтаумен байланысты дербес нәрселер туралы /86/ Шарықтау арқылы анықтауға болатыннан ең бірінші кезекпен Күннің берілген градусы бойынша күн мен түннің шамасын табуға болатынды атау керек. Күнге келсек, онда күн доғасының уақытын Күн алып тұрған эклиптика градусынан бастап оған қарама-қарсы бұрышқа дейінгі орынға қатысты есептейміз; түнге келсек, онда есептеуді кері ретпен жүргіземіз. Онда мұның он бесінші бөлігі күн теңелу сағаттарының саны болады. Егер осы қосындыны он екіге бөлсек, онда қиғаш сағат уақыты шығады /87/. Әлдеқайда жеңіл басқа тәсіл. Күн (тәулік күні) үшін Күн алып тұрған эклиптика градусының шарықтау кестесіндегі қосынды уақыттар айырымының алтыншы бөлігін немесе түн үшін оған қарама-қарсы градусты алайық, оны он бес уақыттық солтүстік градусқа қосамыз /88/ және оны оңтүстік градустан аламыз, яғни аспап шеңберіне параллель шеңберге арналған қосынды уақыттарды берілген климатқа параллель шеңберге арналған қосынды уақыттан шегереміз; өйткені бұл айырым алты сағат үлесіне келетін ширек шеңберге сәйкес келеді; осыдан қиғаш сағат анықталады. Одан әрі қиғаш сағаттар санын осы күннің немесе түннің он беске бөлгеннен кейінгі уақыттық градустарының санына көбейтіп, тең сағаттар санын аламыз /89/. Тура сағатты қиғаш сағатқа айналдыруға болады. Егер қиғаш сағат белгілі болса, онда шарықтауды есептеуге болады. Ол үшін оны Күн шыққаннан немесе батқаннан бастап өткен сағаттар санына көбейтеміз, сосын бұл санды Күн (тәулік күні) алып тұрған градустан немесе қарама-қарсы градустан (түннің) шегереміз; орын ендігінің шарықтауына сәйкес Зодиак белгілерінің тізбегінен шарықтауды табамыз.

Егер бізге аспан ортасының градусын білу керек болса, онда өткен жарты күннің қиғаш сағаттар санын бір сағатқа сәйкес уақыттық градустар санына көбейтеміз; сосын алынған санды тік сферадағы шарықтау бойынша Зодиак белгілерінің тізбегіндегі градустан шегереміз. Осы санға сәйкес келген градус Жер үстіндегі аспанның ортасы болып табылады. Егер шарықтау белгілі болып, жер үстіндегі аспанның ортасын табу керек болса, онда шарықтауға сәйкес құралған кестеден сандар қосындысын аламыз да, одан тоқсан уақыттық градусты шегереміз, сөйтіп тік сфераға арналған кестедегі уақыттық градусқа сәйкес келгенді аламыз. Демек, аспанның ортасы да белгілі болады. Керісінше, кестедегі аспан ортасының градусына сәйкеске тоқсан сағаттық градусты қоссақ, онда елдің шарықтауына сәйкесті аламыз. Бір ғана меридианда тұратындар үшін Күн жарты күннен немесе жарты түннен теңдей сағаттардың бірдей санына артта қалады. Әртүрлі меридиандарда тұратындар үшін ол әрқилы болады. Әрі мұнда шамасы бойынша осы меридиандар арасындағы градустар айырымына тең аспан экваторының уақыттық градустарымен өрнектелген айырмаға озып кетеді немесе артта қалады. Эклиптика мен меридианның қиылысуынан түзілген бұрышты анықтау жөнінде Эклиптика мен меридиан арасында орналасқан бұрышқа қатысты жағдайды баяндаймыз. Ол былай дейді: полюсі көрсетілген бұрыштың төбесі болып табылатын үлкен шеңбердің ширегімен керілген бұрыш сферадағы тік бұрыш болып табылады. Бүл бұрыштың үлкен шеңберлер доғаларының қиылысуынан түзілген төрт тік бұрыштарға қатынасы осы доғаның көрсетілген доғадан торт есе үлкен шеңберге қатынасы болып табылады. Бұл доға тоқсан градусты кереді, ал ізделінді бұрыш осының бөлігі ретінде алынады. Мұнда біз қиғаш шеңбер мен меридианның қиылысуынан түзілетін бұрыштардың шамасын да, қиғаш шеңбер мен көкжиекті де, қиғаш шеңбер мен нүктенің берілген бөлігіне зенит арқылы өтетін шеңберді де анықтамақпыз. Бүл бұрыштарды анықтау өте пайдалы, Ай параллакстарын /90/ табу үшін ерекше қажет. Ол былай деді: түзілген төрт бұрыштың шығыс-солтүстік бұрышы туралы айтайық. Оңайлату үшін ең әуелі қиғаш шеңбер мен меридианнан түзілген бұрыштан бастаймыз. Әуелі күн теңелу нүктесінен бірдей арақашықтықта

тұрған әрбір берілген екі нүкте аталған екі тең бұрышты түзетіндігін дәлелдейміз. ABC - аспан экваторы шеңберінің доғасы [34-cypem], DBE - қиғаш шеңбер сызығы, G - аспан экваторының полюсі, В - күн теңелу нүктесі болып, ВН пен BF тең, ал КН пен FL - меридиан доғалары болсын. КНВ мен BFL үшбұрыштарында қос-қостан тең қабырғалар бар болғандықтан біз олардың ұқсас екендігін білеміз. Демек, Н бұрышы сәйкес BFL бұрышына, яғни олардың вертикалдығынан GFE бұрышына тең.

ABC - эклиптика доғасы, В күн теңелу нүктесі болсын [35 сурет]. Біз былай дейміз: егер осы нүктеден бірдей қашықтықта тұрған екі доға, мысалы, BE, ED меридианмен бір ғана жақта, мысалы, шығыс жақта орналасқан екі бұрыш түзсе, онда бүл бұрыштар екі тік бұрышқа тең болады. Бұл бұрыштар GDB және GEC бұрыштары. Шындығында, егер GEC бұрышы GEB бұрышымен бірге екі тік бұрышқа тең болса, онда GD және GE тең доғалармен керілген GHB және GDB бұрыштары тең болады. Оның себебі полюстен күн тоқырау нүктесінен бірдей арақашықтықта тұрған эклиптиканың екі нүктесіне дейінгі арақашықтықтар бірдей, яғни еңкеюлер бірдей. Сондай-ақ меридиан мен эклиптика арасындағы күн тоқыраудың екі бұрышының тік екендігін дәлелдейміз. ABCD - меридиан [З6-сурет], АЕС - қиғаш шеңбердің жартысы, А - қысқы күн тоқырау нүктесі болсын. А нүктесін полюс етіп аламыз және одан квадраттың (үлкен шеңберге іштей сызылған) қабырғасына тең арақашықтықтан DEB шеңберін сызамыз /91/. DE доғасы шеңбердің төрттен біріне тең, өйткені ABCD меридиан DEB полюсі және эклиптика полюсі арқылы өтеді. Демек, DAE бұрышы тік бұрыш. Дәл сондай-ақ жазғы күн тоқырау нүктесіндегі бұрышты да анықтаймыз.

Сол сияқты ABCD меридиан [37-сурет], АЕС - аспан экваторы шеңберінің жартысы, AGC - эклиптиканың жартысы, А - күзгі күн теңелу нүктесі болсын. Полюстегі сияқты А нүктесі арқылы BGED жарты шеңбер сызамыз. ABCD шеңбері АЕС шеңберінің полюсі арқылы өтетіндіктен AG және ED доғалары ширек шеңбер құрайды. Сонымен G қысқы күн тоқырау нүктесі болады, ал GE - белгілі; демек, бүкіл GD белгілі; онымен керілген GAD бұрышы және қалған GCD белгілі болады.

Осы суретте BGD эклиптиканың жарты шеңбері [38-сурет], BG - Бикешке сәйкес доға, G -күзгі күн теңелу нүктесі және AGEC - аспан экваторының жарты шеңбері. В полюсінен KEFH үлкен шеңберінің жартысын сызамыз. ВН, ВҒ және ЕН доғаларының әрбір міндетті түрде шеңбердің ширегіне тең болады. Онда ВА-ның синусының АН-тың синусына белгілі қатынасы BG-ның синусының GFтің синусына қатынасынан және EF-тің синусының ЕН-тың синусына қатынасынан құралған. Бикештерге сәйкес BG доғасы белгілі, ВС-ға қосымша ретіндегі GF белгілі, шеңбердің ширегі - ЕН белгілі; сонымен іздеп отырған EF белгілі. ЕК белгілі болғандықтан бүкіл KEF белгілі; демек ізделінді KBF белгілі. Сондықтан Шаянның бұрышы белгілі, ал екі тік бұрыштан қалған бұрыштардың әрбірі де белгілі.

Егер GB басқа мән қабылдаса, онда біз бұрышты, сондай-ақ оған қарамақарсы бұрышты осы көзқарастың екінші жағынан және күн тоқырау нүктесі жағынан қарастырамыз. Барлық бұрыштар да осылай анықталады. Эклиптика мен көкжиектен түзілген бұрышты анықтау жөнінде Тік сферадағы қиғаш шеңбер мен көкжиектен түзілген бұрышқа келсек, оның еңкіш шеңбер мен меридианнан түзілген бұрышқа тең екендігін көрсетуге болады. Көлбеу сферадағыға келсек, онда біз көкжиекпен және көлбеу шеңбермен түзілген, күн теңелу нүктесінен бастап өлшенетін бұрыш және көкжиек пен шарықтауы осы доғаның шарықтауына тең және сол нүктеден сондай арақашықтықта тұрған доғадан түзілген бұрышқа тең дейміз. Бұл доға жер астында орналасқан. ABCD-меридиан [39-сурет], АЕС аспан экваторы, ВЕD көкжиек, MLK - жер үстіндегі көлбеу доға, HF - оған тең жер астындағы екінші бір доға, G - күзгі күн теңелу нүктесі (шарықтайтын), ал К - жер астындағы сол нүкте болсын. Біз EHG және ELK бұрыштары тең, өйткені дәлелденген бойынша ELK және EGH үшбұрыштарының қабырғалары мен бұрыштары тең деп айтамыз. ЕК және EG доғалары салу бойынша тең. Демек, бұл бұрыштар тең болады.

[39-сурет] Көлбеу шеңбер мен көкжиектен түзілген диаметрлік қарама - қарсы екі бұрыш, яғни шығыс және батыс бұрыштары бірігіп екі тік бұрышқа тең. ABCD көкжиек шеңбері, АЕС - көлбеу шеңбер болсын және олар А және С нүктелерінде қиылысын [40-сурет]. Бірге алынған EAD және DAG бұрыштары

екі тік бұрышқа тең және GCD бұрышы GAD бұрышына тең, онда DAE және DCG бұрыштары бірігіп екі тік бұрышқа тең болады.

Күн теңелу нүктесі мен көкжиектен бірдей арақашықтықта тұрған нүктелердегі бұрыштар бірдей болғандықтан, олардың шарықтауы мен батуы да бірдей болады. Сондықтан күн тоқыраудың бір ғана нүктесінен теңдей арақашықтықта тұрған екі нүктедегі шығыс және батыс бұрыштары бірігіп екі тік бұрышқа тең. Бүл бұрыштар шығыс жағынан шығыс-солтүстік және батыс жағынан батыс-солтүстік бұрыштар. Егер шығыс бұрышты анықтасақ, онда ба¬тыс бұрышты да анықтаймыз. Өйткені ол екі тік бұрыштың қалдығы. Мұның қалай орындалатындығын көрсету үшін біз бірінші суретке жүгінеміз [34]. Егер Н және L нүктелері күн тоқырау нүктесінен бірдей арақашықтықта орналасса, онда GHE бұрышы ELK бұрышына тең болады; демек, DBK батыс бұрышы СВЕ-мен бірге екі тік бұрышқа тең. Өйткені ол ELK-мен бірге екі тік бұрышқа тең. Полюс биіктігі 36 градус параллель сызамыз, ABCD - меридиан [41-cypeт], AED -көкжиектің шығыс жарты шеңбері, EG - аспан экваторының ширегі, ЕВ - көлбеу шеңбердің ширегі, Е - күзгі күн теңелу нүктесі, ал ЕС - Е - көктемгі күн теңелу нүктесі, С -қысқы, ал В - жазғы күн тоқырау нүктелері болып келетін көлбеу шеңбердің ширегі. DG доғасы - белгілі, өйткені ол тік бұрыштан полюс биіктігін алғанда қалатын шама болып табылады; CG және BG ең үлкен еңкеюлер ретінде белгілі, СВ мен BG белгілі; Е -талтүстік шеңбер полюсі. Сонымен Е-де түзілген бұрыштардың әрбірі белгілі болады; Қой мен Таразының басындағы бұрыштар да белгілі болады.

Мысалы, Торпақтың шарықтау бұрышын анықтау талап етілген екен дейік. ABCD -меридиан [42-сурет], ал BED - көкжиектің шығыс жартысы, АЕС - эклиптиканың жартысы, Е - Торпақтың басы болсын. Біз бұл климат үшін Торпақтың шығу басына жер бағаны /92/ - Шаянның 17:41 градусы сәйкес келетіндігін көрсеткенбіз; онда ЕС доғасы шеңбердің төрттен бірінен аз болады. Квадраттың қабырғасына тең арақашықтықтағы Е полюсінен FHG шеңберінің EG доғасын саламыз және ЕСН пен EDF шеңберлерінің ширегін толықтырамыз. Онда DCG және FHG доғалары шеңбердің екі ширегіне теңеледі, өйткені BEF көкжиегі GCD, GCH полюстері арқылы өтеді.

Өйткені, Е - GHF-тің полюсі, сосын көкжиек шеңбері меридиан полюсі және меридиан сияқты міндетті түрде көкжиек полюсі арқылы өтеді. Демек, GCD полюсі BED көкжиегінде орналасқан. С-ның аспан экваторынан арақашықтығы белгілі; аспан экваторының G нүктесінен, яғни төменгі зениттен арақашықтығы белгілі, онда олардың қосындысы CG белгілі; қалған CD доға белгілі. Е-ден тоқсан градус арақашықтықта тұрған Н нүктесі, және оның аспан экваторынан арақашықтығы белгілі; аспан экваторының G-дан арақашықтығы белгілі, өйткені полюс биіктігі белгілі. G - көкжиектің төменгі жағындағы полюсі. GH және HF доғалары белгілі. ED-ның синусының DF-тың синусына қатынасы ЕС-тің синусының СН-тың синусына қатынасынан және GH-тың синусының GF-тың синусына қатынасынан құралған. Бірақ ED доғасы - шығыс азимутын ширек шеңберден шегергеннен қалатын ол - берілген орын үшін Торпақ басына дейінгі көкжиек доғасы, DF - тоқсан градусқа дейін толықтыру; EC, СН және GF - белгілі. Осыдан GH пен HF белгілі болады. Демек CED бұрышы белгілі болады. Эклиптиканың және көкжиек полюстері арқылы өтетін шеңбердің қиылысуынан түзілген бұрышты анықтау жөнінде Бұл бұрыштардың шамасынан эклиптика мен көкжиек полюстері арқылы өтетін шеңбер арасындағы сәйкес доғалардың шамалары, яғни зенит пен осы шеңбердің көлбеу шеңбермен қимасы анықталады. Біз былай дейміз: күн тоқырау нүктесінен бірдей арақашықтықтағы доғалардың әрбірі меридианның екі жағынан бірдей уақыттық бұрыштар, олармен бір жағында алынған және екі тік бұрышқа тең екі бұрыш зенит пен осы доғалардың ұштары арқылы өтетін тең доғалар қияды. ABC - меридиан доғасы болсын [43-сурет], В - зенит нүктесі, С - аспан экваторының полюсі; күн тоқыраудың бір ғана А нүктесінен G мен D одан теңдей арақашықтықта тұратындай ADE мен AGH - ты жүргіземіз. С полюстен уақыттық нүктелерге, яғни бірдей AG мен CD-ның ұштарына CG және CD доғаларын, сондай-ақ В зениттен BD және BG доғаларын жүргіземіз. Өйткені AG мен AD тең және С-дағы бұрыштары тең, GC және ВС қабырғалары DC және СВ қабырғаларына тең, DB және BG табандары өзара тең, сәйкес бұрыштары да тең. Бұрын дәлелденіп қойған бойынша CDE мен CGA бұрыштары бірге екі тік бұрышқа тең. Бірақ BDC CGB-ға тең, демек, BGC мен BDE бірге екі тік бұрышқа тең. Біздің дәлелдегіміз келгені де осы.

Меридианнан шығысқа және батысқа бірдей уақыттық бұрыштарға тең қашықтықтарда тұрған эклиптика нүктелерінің әрбірінде зенит пен осы нүктелер арқылы жүргізілген үлкен шеңберлердің доғалары тең болады, ал батыс және шығыс доғалар бұрыштарының қосындысы алынған екі нүкте зениттен не солтүстігірек, не оңтүстігірек орналасқан жағдайда меридиандағы нүктеде түзілген бұрыштың екі еселенгеніне тең. Айталық, бұл нүктелер оңтүстігірек орналассын дейік.

ABCD - меридиан доғасы [44-сурет], С - зенит, D - аспан экваторының полюсі, АЕ, BHF -Е және Н нүктелері - бір ғана нүкте (шығыстық немесе батыстық) болатындай орналасқан көлбеу шеңбердің доғалары. Олар және зенит, сондай-ақ полюс арқылы СЕ, СН, DH доғаларын жүргіземіз. Бұрын да дәлелдегеніміздей DHC пен DEC үшбұрыштарының қабырғалары мен бұрыштары тең, сондықтан D-дағы бұрыштар тең, DE мен DH өзара тең; демек олардың табандары - зенит арқылы өтетін доғалар, яғни СЕ және СН тең. Мен былай деймін, CEG және СНВ бұрыштары бірігіп меридианда алынған екі еселенген DE-гe тең. Эклиптиканың меридианмен бір ғана нүктеде қиылысуынан алынған DEG және DHB бұрыштары тең, ал DEC бұрышы DHC бұрышына тең, демек, DEC және СНВ бұрыштары бірігіп DEG бұрышына тең; сонымен оларды DEG бұрышына қосса, онда CEG және СНВ бірігіп екі еселенген DEG-ке тең болады. Бұл А және В екі нүкте С нүктесімен солтүстігірек жаққа орналассын [45-сурет]. DEG DHB, ал DEK DHL болғандықтан, DEC және DHC бұрыштары сәйкес бұрыштар ретінде тең болады, сондықтан DEK бұрышы DHL бұрышына тең, демек, бүкіл LHB бұрышы DEG мен DEK бұрыштарының қосындысына тең; егер LHB-ны DEG-тен DEK-ті алғанда қалған KEG-ке қосса, онда бұл қосынды екі еселенген DEG бұрышына тең болады.

Осыған ұқсас суретте нүктелердің бірі, яғни аспанның ортасынан шығыстағы А нүктесі зениттен оңтүстікке қарай, ал В нүктесі одан солтүстігірекке орналасқан. Мен бірге алынған CEG және LHB бұрыштары екі еселенген DEG бұрышынан екі тік бұрышқа артық деймін [46-сурет]. Екі үшбұрыш қабырғаларының теңдігінен DEC бұрышы DHC бұрышына тең болғандықтан, DEC бұрышы DHL бұрышымен бірігіп екі тік бұрышқа тең. Бірақ DEG бұрышы дегеніміз DHB бұрышы, өйткені бүл бұрыштар полюс пен эклиптиканың берілген нүктесін екі жақта басып өтетін доғалардың

қиылысуынан түзілгенін біз ескертіп кеткенбіз; онда DEG пен DEC қосындысын DHB мен DHL қосындысына біріктірсе, онда екі еселенген DEG, яғни DEG пен DHB бірге алынады да, DEC пен DHL-дің қосындысы екі тік бұрышқа тең болады. Сонымен, бұл қосынды екі еселенген DEC-ке және екі тік бұрышқа тең. Демек, CEG және LHB бірігіп, екі еселенген DEG-тан, яғни бірге алынған DEC пен DHB-дан, немесе бірге алынған DEC пен LHD-дан екі тік бұрышқа артық болады. Егер А нүктесі зениттен солтүстікте, ал В нүктесі оңтүстікте десек [47-сурет], онда KEG және СНВ бұрыштары бірігіп DEG мен DHB-ның бірігуіне тең екі еселенген DEG-тен кіші болады. Екі еселенген DEG-тің KEG пен СНВ-ның бірігуінен артығы біз екі тік бұрышқа тең екендігін білетін CHD мен DEK-тің бірігуі болып табылады. Меридиандағы немесе көкжиек шеңберіндегі бұрыштар мен доғалардың шамалары белгілі болған кезде көлбеу шеңбер мен зенит және осы шеңбердегі бірге алынған доғалар арқылы өтетін үлкен шеңбермен түзілетін бұрышты анықтаудың алдыңғыдан гөрі жеңіл тәсілі бар. Әуелі солардың арасында орналасқан бұрышты, яғни зенит арқылы өтетін шеңбер мен көкжиекке қатысты қиғаш шеңбер арасындағы бұрышты анықтау талап етілсін.

Оның мысалы. ABCD - меридиан [48-cyрeт], BED - көкжиек, А - зенит, яғни көкжиек полюсі, GEH - көлбеу шеңбердің берілген доғасы болсын; полюс биіктігі 36 градус. Егер G - аспанның ортасындағы нүкте болса, онда ABC шеңбері G арқылы өтетін зенит дөңгелегі болады. G нүктесі берілгендіктен, G бұрышы белгілі; AG белгілі. Шарықтайтын Е нүктесі мен көкжиектің А полюсі арқылы АЕС шеңберін жүргізейік, онда АЕ доға шеңбердің ширегіне тең болады. Сондықтан AED бұрышы тік бұрыш, ал қиғаш шеңбер мен көкжиектің қиылысуынан түзілген бұрыш DEH белгілі, демек, бүкіл АЕН бұрышы белгілі; Сондықтан бұл бұрыштарды керетін доғалар белгілі. Дәл сондай-ақ нүкте мен меридиан арасындағы арақашықтық белгілі болса, онда тура сағаттар, яғни параллель шеңберлердің доғасы белгілі болады. Меридиандағы G нүктесі Шаянның басы [49сурет] болып табылатын Н нүктесіне ауыстырылсын және ол меридианнан шығысқа параллельдің доғасы бойынша бір тура сағатқа артта қалсын. Нүкте жоғарыда айтылған бойынша белгілі. Шарықтау нүктесі белгілі. А және Н нүктелері арқылы Е мен С-ға дейін зенит шеңберін жүргіземіз; FHG доғасы белгілі, HF белгілі; жоғарыда айтылған бойынша AG белгілі; DG доғасы - шеңбер ширегінің қалдығы белгілі;

онда BG доғасы белгілі. Белгілі GB синусының белгілі АВ синусына қатынасы белгілі АЕ синусының белгісіз ЕН синусына қатынасынан және белгілі ҒН синусының белгілі FG синусына қатынасынан құралған. Осыдан ЕА мен АН-ты, демек зенит доғасымен анықтаймыз.

Егер AHF бұрышын анықтағымыз келсе, онда Н полюстің маңайында іштей салынған квадраттың қабырғасына тең арақашықтықта үлкен шеңбердің KLM кесіндісін сызамыз [50-су-рет]. АЕС доғасы EFM және KLM шеңберлерінің полюстері арқылы өтетіндіктен, ЕМ мен КМ-нің әрбірі шеңбердің ширегіне тең. Белгілі ЕН-тың синусының белгілі ЕК-нің (өйткені ЕК шеңбер ширегінің қалдығы) синусына қатынасы белгілі HF-тің синусының белгілі FLдің синусына қатынасынан және белгісіз ML-дің синусының белгілі КМ-нің синусына қатынасынан құралады, қалған LK белгілі болады. Сондықтан KHL және AHF бұрыштары да белгілі. Нүктелер орны бірінен кейін бірі дәл осылайша есептеледі. Содан кейін ол осы тәсіл бойынша әрбір климат үшін кесте құрды /93/. Ол ең ұзақ күн он үш тура сағатқа тең болатын және жарты сағат өзгерістермен ең ұзақ күн алты сағатқа созылатын параллельдерге дейін жалғасатын Мероэ аралдары арқылы өтетін параллельден басталады. Ол эклиптика доғалары үшін өзгерісті бір белгі бойынша, ендік үшін жарты сағат бойынша, батысқа және шығысқа қарайғы шеңберлердің аспан ортасынан басталатын орнын тура бір сағат бойынша алды. Бірінші бағанада эклиптика меридианға еңкейген кездегі меридианнан тура сағаттардағы арақашықтықтармен өрнектелген сандар орналасты; екінші бағанада - көлбеу шеңбер мен зенит арасындағы доғалар шамасын орналастырды; үшінші бағанада шығысқа қарайғы орындар үшін әрбір қарастырылып отырған қима бұрыштарының, ал төртінші бағанада батысқа қарайғы бұрыштардың шамалары орналастырылды. Мұнда ол бірінші жағдайда қимадан солтүстікке қарайғы бұрыштар алынғандығын және тік бұрышта тоқсан градус барын атап көрсетеді. Елдерге, олардың ендіктері мен бойлықтарына келсек, онда ол жеке кітап шығаруға уәде берді және кейін өзінің «География» /94/ шығармасын жазды. Алладан көмек болсын! Аль-Фараби. Комментарии к «Альмагесту» Птолемея. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 103-154. Аударған Мұсабеков О.

ҮШІНШІ КІТАП /95/ Жылдың уақыттық шамасы туралы /96/ Орташа қозғалыс - нақты немесе болжанатын қозғалыс, бұл қозғалыс кезінде шырақ [күн, ай, жұлдыздар, ғаламшарлар т.б.] бірдей уақытта бірдей доғалардан өтеді. Шырақтың бұл қозғалысы болжам бойынша жерді қамтитын оған сәйкес аспан сферасында жүзеге асады. Бүл қасиет шырақтың өзіне немесе оны таситын және өзінің қозғалысы арқылы оны эклиптика бойымен қозғайтын сфералық денеге тән. Бірдей уақытта ол бірдей доғалардан өтеді, осы доғалар керетін ортадағы орталық бұрыштар өзара тең. Бұл қозғалыс бірқалыпты /97/ деп аталады. Егер шырақтар немесе оларды тасымалдаушылар [денелер] эклиптикаға қатысты тең уақыт аралықтарында бірдей қозғалыстарды иемденіп бірдей доғалардан өтсе, онда орташа бірқалыпты қозғалыс эфемеридті /98/ орнатуға жеткілікті болар еді. Эклиптиканың доғаларын өлшеп ғаламшарлардың бірдей уақыт аралығында бірдей доғалар жасайтынын байқауға болмайды, шындығында олар әртүрлі: кейде аз, кейде көп. Орташа қозғалыс [аралық қозғалыс] - ең кіші мен ең үлкен қозғалыстың аралығында жатады. Сондықтан да ол орташа деп аталады. Аномалиялар [ерекшеліктер] көптеген заттарда кездеседі, олар туралы төменде еске аламыз. Әрбір ғаламшарлардың оз сферасы бар, онда оның бірқалыпты қозғалысы тең уақыт аралықтарында бірдей нақты немесе болжанатын доғалар сызады. Шын қозғалыс - эклиптикаға қатысты дәйекті анықталатын қозғалыс. Ғаламшарлардың қозғалысында бірден артық аномалиялар болуы мүмкін, бірақ Күннің бір ғана аномалиясы бар, оны біз төменде еске аламыз. Орташа қозғалысты табудың белгілі тәсілі мынадай: ғаламшардың барлық уақытта тек белгілі бір орынға, яғни белгілі бір нүктеге немесе әртүрлі нүктелерге, толық шеңберден артық бірдей доғаларды өткен бір айналымда немесе бірінен соң бірі жасалған айналымдарға кеткен уақыт аралығын табу қажет. Ғаламшарлардың жүйелі түрде қайтып оралуы әртүрлі болуы мүмкін, бірақ бұл аномалияның шегі болады. Кейіннен қозғалыс өзінің бастапқы күйіне келіп, аномалия болмаған орнынан қайта басталады да одан әрі қарай аномалиялар соңғысына дейін бұрынғы орындарында үнемі қайталанып отырады. Сондықтан бір қайтып оралудың орны көптеген басқа қайтып оралулармен анықталады да, барлығы бірігіп аномалиялардың қайталануын

тудырады. Егер ғаламшардың барлық уақытта белгілі бір нүктеге қайтып оралатын немесе араларындағы доғалары тең, немесе біз айтқандай, аномалиялары үнемі қайталанатын уақыт аралығы белгілі болса, онда бүл уақыт аралығы сөткеге немесе сағаттарға ауыстырылады. Содан соң толық бір және бірдей доғаларға бөлінген қайтып оралу, соның ішінде ұқсас аномалиялардың қайталануы осы уақыт аралығына бөлінеді. Одан алынған бөлінді осы күннің немесе сағаттың үлесі болады. Әрі қарай осыдан айдың, жылдың және бірнеше жылдардың периодтарынан орташа қозғалыстың үлестері табылады. Сонымен орташа қозғалысты осы тәсілмен анықтауға болатындықтан, біз одан бас тартпай оны басқа тәсілдермен анықтауға ұмтылмаймыз. Орташа қозғалысты анықтаудың бірінші шарты - ол қозғалмайтын белгілі бір нүктеге немесе араларындағы доғалары тең нүктелерге қайтып оралу. Егер қайтып оралудың осындай түрі табылған болса, онда орташа қозғалысты табу үшін осымен шектелеміз. Керісінше жағдайда екінші, одан соң үшінші түрлерін талап етеміз, олар керекті жерлерде көрсетіледі. Күннің орнын қарастыру барлық басқа ғаламшарлардың орнын қарастыруға келіп тіреледі, себебі, олардың орындарын анықтау тек Күннің орны мен қозғалысын анықтағаннан кейін ғана мүмкін болады [ол туралы төменде /99/ көрсетіледі]. Птолемей Күннің орташа қозғалысын егжей-тегжейлі анықтаудан бастайды. Оның қозғалысын зерттей отырып, Птолемей эклиптиканың қозғалмайтын, эфемеридтер есептелетін бір ғана нүктесіне Күннің қайтып оралуы кезіндегі өзгешелікті анықтаудың оншалықты қажет еместігін тапты. Бүл қайтып оралулардың әртүрлі болған себептерін ол бөлудің немесе өлшеу аспаптарының кемшілігінен немесе зерттеушінің өлшеу кезінде аспаптарды дұрыс пайдаланбауынан немесе бақылаудың дұрыс жүргізілмеуінен деп тұжырымдады. Күннің дұрыс бақылануы оның эклиптиканың қозғалмайтын бір нүктесіне қайтып оралуын зерттеуден тұрады; бүл жағдайда күн мен түннің теңесу нүктелері мен Күннің жазды күнгі ең жоғарғы нүктесін (тұрағын) қарастырған ыңғайлы, өйткені осы кезде шырақты өзімен бірге алып жүретін дене оның апогейінің (эклиптикадағы ең алыс нүкте) қозғалысы нәтижесінде басқа қозғалысқа қатыспайды. Біз осы уақыт аралықтарының бір - бірімен тең немесе тең еместігін зерттейміз. Егер олар тең болса, онда орташа қозғалыс жоғарыда баяндалған тәсіл бойынша анықталады. Күннің қозғалысын бақылай отырып, Птолемей осы уақыт аралықтарының өзара тең екендігін және олардың шамасын анықтады, олар туралы біз төменде айтамыз. Бүл бақылау мыстан немесе басқа металдан жасалған және

торт жазық жақтармен шектелген, әрбір қарама-қарсы жұптары бір-біріне параллель сақинаның /100/ көмегімен жүргізілді. Ол аспан экваторының жазықтығында жататын күн тұрақтарының арасына орналасқан қозғалмайтын бағанаға берік бекітілді; біз айтқандай бақылау арқылы анықталды немесе аспан экваторына параллель дөңгелек жазықтығында және күннің тұрағының бір нүктесінен өтетін немесе бақылаушыға ыңғайлы параллель дөңгелектердің эклиптикада белгіленген нүктелерімен сипатталды. Дөңгелектің жазықтығындағы құрылғы осы дөңгелектің жазықтығындағы дөңгелекті сипаттайды; ішкі дөңгелектің диаметрін екі жаққа соза отырып екінші (сыртқы) дөңгелектің диаметрін немесе хордасын алуға болады. Әрі қарай егер осындай сақина аспан экваторының жазықтығында немесе параллель дөңгелектердің біреуінің жазықтығында Күннің ең жоғарғы шарықтау (жаздағы) және тоқырау (қыстағы) күйлерінің нүктелерінен немесе эклиптиканың басқа нүктелерінен өтетін болса және Күн түн мен күннің теңесу нүктесінде немесе Күннің ең жоғарғы шарықтау нүктесінде (немесе эклиптиканың басқа нүктесінде) болса, онда Күннің тасасындағы көлеңке қарама-қарсы жағындағымен толық сәйкес келеді және оңтүстік пен солтүстік жағындағы жақтарына ешқашан түспейді және Күн осы екі жағын толығымен жарықтандырады. Бұл кезде біз Күннің осы нүктеге жеткенін білеміз. Дәл осылай сақинада екі диоптрлі /101/ алидада орналастыруға болады, алидада симметриялы болып Күнмен бірге айналуы тиіс. Егер шырақтың центрінің қарастырылатын нүктемен түйлі су түнде өтетін болса, мұндай бақылауды жүргізу қиынға соғады. Сондықтан бүл жағдайда басқа бақылауға сүйену қажет, ол туралы біз еңкею анықтамасы айтылған тарауда баяндағанбыз. Егер биіктік шегі [Күннің жеткен еңкею шегі] мен төмендеу шегінің [Күннің оңтүстіктегі еңкею шегі] аралығын тең екіге бөлсек Күннің ең жоғары көтерілу биіктігінің орны шығады. Ол бұл кезде дәл аспан экваторында орналасады. Егер бұл жағдай түнде болса біз өткен және келесі жарты күн айырмасының биіктігі мен Күн экваторына сәйкес келетін биіктікті қарастырамыз, онда екінші айырманың біріншіге қатынасы шамамен Күннің берілген нүктедегі уақытының [келесі жарты күнге дейінгі] екі жарты күн аралығындағы уақытына қатынасындай. Күннің тұрағы (Күннің ең жоғарғы және ең төменгі нүктелері) арқылы бақылау екі жағдайда да қиын, себебі биіктік шегі мен төмендеу шегі қысқа уақыт аралығында бір-бірінен өте аз шамаға ғана ерекшеленеді де олардың арасындағы өзгеріс байқалмайды, себебі Күннің тұрағының екі жағындағы еңкеюлерінің айырымы аз.

Күннің төрт нүктеге қайтып оралуы қарастырылып, олардың бірдей уақыт аралығында жүзеге асатындығы анықталды. Гиппарх та олардың дәл осылай екендігін тапты, бірақ күзгі қайтып оралу кезінде сөткенің ширегіндей айырмашылықтың болатындығы анықталды. Птолемей бұл айырмашылықтың себебін өлшеу аспабының шкаласының (бөліктерінің) қателігінде немесе аспаптың қате орналасуында деп тұжырымдады; егер қатенің шамасы алты минуттай болса, яғни градустың 1/10 бөлігіндей, ол көрсетілген айырмашылыққа сәйкес келеді. Сонымен оның кітабында қабылданған бір минуттық қате шындықтан жарты күндік ауытқуға әкеледі, себебі егер Күн түн мен күннің теңесу нүктесінен ¼ градусқа ауытқыған болса, ол осындай қателікке, яғни алты минуттық қателікке әкеледі. Мұны Птоломей былай пайымдады: мүмкін бақылаушылар алғашқыда аспаптарды дұрыс орнатып, кейіннен оны қалдырып кеткен де, кейіннен ол аспаптың дәлдігі бұзылған болар, бақылаушылар әрбір бақылау кезінде оны байқамай одан әрі бақылау жүргізген болар деп жорамалдады. Ол сонымен қатар мынаны, яғни Александрияда орнатылған сақинаның жарық және көлеңке жақтарында тепе-теңдік күні теңсіздік болғанын еске салды. Бүл ауытқулар екі жағдайда байқалды - кейбіреуі бір кезде, басқалары басқа уақытта, бір мезетте олар байқалмайды. Дегенмен Птоломей атап көрсетті, оның көптеген бақылаулары мен ол оқыған Гиппархтың еңбектерін салыстырғанда қайтып оралу уақытының бірдей екендігі, оның 365 ¼ сөткеге жуық екендігі анықталды, ол туралы төменде айтылады, оны жақын арақашықтықта аңғару мүмкін емес, тек аса үлкен аралықтағы бақылауларда байқауға болады, себебі бұл кездерде әжептеуір айырмашылықтар жинақталады. Ертедегі бақылаушыларда бұл айырмашылық құрылғының қате өлшеуінен пайда болатын теңсіздікке ұқсас болатын. Птолемей осы жетіспеудің жуық шамасын Гиппархтың бақылаулары мен өзінің бақылауларын салыстырып көрсетті. Ол басқаларға қарағанда Гиппархтың бақылауына көбірек көңіл бөлді. Күн мен түннің теңесуі кезінде жүргізілген бақылаулар, теңесуі қиын Күннің тұрағы кезіндегі жүргізілген бақылаулардан әлдеқайда дәлірек. Гиппарх одан (Птолемейден) 300 жылға жуық бұрын егер қайта оралу 365 ¼ сөткеде жүзеге асатын болса, онда шамасы бір сөткедей жетіспеушілік болатындығын анықтады. Сондықтан әрбір жылғы айырмашылық 1/300 сөтке құрайды, сондықтан қайта оралудың уақыт аралығы - 365 сөтке 14 минут 48 секунд /102/. Одан әрі ол оны ертедегі астрономдардың [Метон /103/, Евктемон /104/ және Аристарх /105/] бақылаулары бойынша есептеп, Гиппарх өзінің көптеген еңбектерінде олармен келісетіндігін айтты. Сонымен, Күннің торт нүктемен салыстырғандағы орташа өту жолының есептелуі осылай. Қозғалмайтын жұлдызбен салыстырғандағы Күннің қайтып

оралуын екі тәсілмен табуға болады: Күннің шығуы мен батуын бақылау арқылы, егер бұл кезде қозғалмайтын жарық жұлдыздың біреуі көрінетін болса, және Күн мен осы жұлдыздың арақашықтығы құрылғының көмегімен табылатын болса, ол туралы біз кейін еске аламыз. Тұтылуының орта кезіндегі Айды бақылау арқылы, яғни ол Күнге диаметрдің екі шетіндегідей қарамақарсы болғанда. Кейіннен оның эклиптикадағы орны оның қозғалысы нәтижесінде анықталады. Егер оның бүл жағдайда параллаксы болмаса, оның градусын азимутының биіктігі мен орнының ендігін анықтау арқылы білуге болады. Осыдан оның эклиптикадағы тиянақты орны тұтылудың орта кезінде Айдың центрінің ендігі болмайды деген принциптері арқылы табылады. Осыдан барып Күннің градусын анықтауға болады, себебі, бүл кезде оның параллаксы болмайды. Егер айдың центрінің ендігі болса, онда оған келетін жол ұзақтау және бұл кезде қателесу оңай. Сонымен Күннің қайта оралу уақыты жоғарыда айтылғаннан гөрі артықтау. Сондықтан Гиппарх қозғалмайтын жұлдыздар эклиптиканың полюсі төңірегінде қозғалады деп болжам жасады. Осыған сүйене отырып Птолемей осы жұлдыздармен салыстырылатын бақылауларды ескермеді. Күндік жылды Күн мен Айдың ажырасу нүктесінің төңірегіндегі қозғалмайтын жұлдыздарға қайтып оралу бойынша немесе оны Сатурн ғаламшарына қатысты есептеудің айырмашылығы жоқ; екі жағдайда да жылдар әртүрлі болады. Дегенмен, бүл теңсіздік жақын айналымдар үшін аз, ол алыс айналымдарда көбейеді. Кейде бұл теңсіздікті байқау қиынға соғады. Тұтылу кезіндегі бақылаулар өрескелдеу, себебі бүл кезде Айдың центрін қозғалмайтын жұлдыздарға қатысты табуға тура келеді, бұл жағдайда Күн шындығында оған диаметрдің екі ұшындағы қарама - қарсы нүктеде орналасады. Одан әрі Птолемей Күннің қайтып оралуларын табу үшін әртүрлі бақылаулар жүргізді және олардың бірдей уақыт аралығында қайталануын тексерді, олардың көмегімен әртүрлі тәсілдер арқылы алынған нәтижелерді тексерді. Гиппарх Айдың екі тұтылуының есептеуін жүргізгенде, ол осы тұтылулардың біреуінде Ай мен Қарусыз Симактың /106/ арақашықтығын анықтағанда Симактың орны күзгі теңесудің нүктесінен 6,5°-қа алда болды, ал 11 жылдан шамалы артық уақыт өткеннен кейін екінші бақылауда Қарусыз Симактың орны күзгі теңесу нүктесін 5 ¼ градусқа озды; өлшеулер осыған әкелді. Дегенмен Қарусыз Симак осы уақыт аралығында сондай шамаға жылжыды деп айтуға болмайды; сондықтан ол мынадай қорытынды жасады - бірақ нақты тұжырымдамасыз, күннің тағы да бір теңсіздігі болуы мүмкін, яғни біз айтқалы отырғаннан басқа. Бұл теңсіздік бірдей уақыт ішіндегі оның қайта оралуының әртүрлі болуы салдарынан пайда болады. Птолемей бұл тәсілден бас тартты, себебі сол уақыт аралығындағы оның Күннің қайта оралуын

бақылаулары көрсетілген өлшеулерге сәйкес келді. Бақылаудан алынған айырмашылық Айдың орнын дәлме-дәл анықтау үшін Күннің орнын да сондай дәрежеде анықтауға тура келетін осы принципке күмән келтірмеуі тиіс, бұл айырмашылық мардымсыз мәселелерден пайда болады, сондықтан қажетті жағдайда осы мардымсыз мәселелерге ғана күмән келтіруге тура келеді. Одан басқа Ай параллаксы болуы мүмкін, ол арақашықтықты өлшейтін аспаптардың қателігі (дәлдігі жеткіліксіз) салдарынан туындауы мүмкін. Оның себебі осы екі бақылаудың біреуі зерттелетін жағдайда, ал екіншісі зерттелмейтін жағдайда немесе сол Күннің қозғалысын зерттеу көктемгі теңесу нүктесінен тұтылу уақытының ортасына дейін оның орташа қозғалысында жүргізілмегендігінен болуы мүмкін. Гиппархтың өзі де мұны білді, бірақ ол өзінің болжамына айтарлықтай мән бермеді және Күннің екінші теңсіздігі болатынына оншалықты көңіл аудармады; Күн жылы айтылған уақыт аралығына тең екендігі туралы тұжырымды жоққа шығармады. Сондықтан басқа бақылаулар кезінде алынған қатесі бар теңсіздіктер қарастырылмады. Птолемей өзінің алдына табиғатта кездесетін барлық заттарды зерттеуді мақсат етіп қойды. Тұтылу ортасындағы Күннің нақты орнын алдын-ала анықтай отырып және осы тұтылулардың ортасын оған қарама-қарсы Күннің центріне қатысты қарастыра отырып Гиппарх басқа бақылауларды дәл осылай қарастырды; олардың көмегімен Айға дейінгі арақашықтығы белгілі қозғалмайтын жұлдыздардың орнын тапты; Күннің қайта оралуының басқа бақылаулардан айтарлықтай айырмашылығының болмайтындығын дәлелдеді. Птолемей былай деді: «Осы мәселені шешу мақсатында мен тұтылу кезіндегі бақылауларды тексергенімде олардың күткендегіден оншалықты өзгеше еместігін байқадым. Менің ойымша Күннің күйін қарастырғанда оның параллаксы бар-жоғын ескеру керек, бір-бірінен өте алшақ солтүстікте және оңтүстікте орналасқан қалалардағы бақылаулардың көмегімен осы қалалардың ендіктерінің айырмашылығы нәтижесінде пайда болған олардың меридиандағы биіктіктерінің айырымы көп пе және сонымен қатар оны тік төбеде (зенитте) және осы орындардан алыс емес қалаларда бақылау қажет, және биіктікке қатысты осы айырмашылық ендіктердің айырымына сәйкес келе ме, жоқ па соны анықтау қажет. Егер Күннің параллаксы болса, онда оның шамасы сонымен сәйкес анықталады. Нақты биіктіктер мен заттардың көлеңкелерінің олардың бақыланатын және есептелетін міндеттерінен өзгеше болатындығы анықталды. Күннің параллаксының болуы Күннің орындары мен оның берілген нүктеге келетін уақытын анықтауға кедергі келтіреді; бірақ ол Күндік жылды және Күннің белгілі нүктеге қайтып оралу уақытын анықтауға кедергі

келтірмейді; яғни сол қалаға қайтып оралу көрер көзге ғана бұрынғыша болса, ол эклиптиканың градусы бойынша бір тана нүктеде жүзеге асады». Күннің қайтып оралуы бақылаудан алынған нүктеден өзгеше эклиптиканың бір ғана нүктесінде жүзеге асуы мүмкін. Жалпы алғанда егер ол сол бір нүктеге қайтып оралмайтын болса, онда ол Күн тұрағындағы және теңесу биіктігіндегі сол бір параллаксқа да қайтып оралмайды. Күннің орташа қозғалысын осы тәсілмен алғаннан кейін ол (Птолемей) әрбір уақыт аралығын есептеуден құтқаратын кесте /107/ құрғысы келді. Ол осы кестеге Күннің бір сағатта, 24 сағатта, бір айда, бір жылда, 18 жыл мен 18 жылға еселік уақыттарды орналастырды. Егер берілген уақыт аралығындағы Күннің орташа жүрген жолын табу керек болса, онда кестеден қосылған немесе жеке осы жылдарды және басқа уақыт аралықтарын табамыз. Егер кестеде уақыт аралығы көрсетілген болса, онда оған қарсы тұрған градустарды, минуттарды, секундтарды және басқа барлық қалғандарды аламыз. егер өсім болса, онда оның шамасын қарастырып кестеден оған қарсы тұрғанды тауып және оларды өзара қосып берілген уақыт мезетіндегі Күннің орташа жағдайын (орнын) дәл анықтаймыз. Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс туралы гипотезалар Егер біз Күннің орташа қозғалысын қарастырсақ, Күннің эфемеридін табу үшін бұл жеткіліксіз, өйткені бірдей уақыт аралығында Күн эклиптиканың әртүрлі доғасын жүреді. Ол бірде аз, бірде көп жүреді, ол туралы біз төменде баяндаймыз. Бақылау арқылы көктемгі теңесуден күннің жазғы тұрағына дейінгі және осы соңғы орыннан күзгі теңесуге дейінгі уақыт аралықтарының тең еместігі табылды. Сонымен қатар Күннің күзгі және көктемгі теңесулерінің аралығындағы уақыттың көктемгі және күзгі теңесулерінің арасындағы уақыттан кем екендігі анықталды. Жеке доғаларға да бүл қатысты. Бірақ біз ол (Күн) бірде баяу, бірде тез қозғалады деп айта алмаймыз, себебі аспандық қозғалыстарда олар бірқалыпты және өзімен салыстырғанда айырмашылығы жоқ. Олар бізбен салыстырғанда /108/ айнымалы болып көрінуі мүмкін. Бүл айнымалылық екі себептің біреуінің әсері бойынша ғана жүзеге асады. Бірінші себебі, егер Күн эксцентрлі дөңгелек бойынша қозғалса, онда дөңгелектің эклиптиканың бір жартысы жағында орналасқан бөлігі, мысалы солтүстік жағында, екінші бөлігінен үлкен болып көрінеді, егер ең алыс қашықтауы - солтүстік жағында болса. Күн немесе кез келген ғаламшарлар өзінің эксцентрлі дөңгелегімен оз сферасында қозғалатын болса, онда ол оның жартысынан көбін жүреді немесе өзінің эклиптикасымен қозғалса, онда оның жартысын өтеді, ал екінші (оңтүстік) жағынан керісінше болады.

Сонымен ол эклиптиканың әр жартысын әртүрлі уақыт /109/ аралығында өтеді. Екінші себебі: егер Күн эклиптикамен концентрлі шеңбермен де емес және эксцентрлі дөңгелек бойымен де емес қозғалатын болса, онда оның денесі Жерді қамтитын шырақтардың дөңгелегінде емес, Жерді қамтымайтын дөңгелекте орналасады. Ол эпицикл деп аталатын осы дөңгелекпен қозғалады. Бұл дөңгелектің центрі эклиптикамен /110/ концентрлі шеңбер бойымен қозғалуы мүмкін. Ары қарай түсінікті: егер ғаламшардың қозғалысы эпициклдің центрі бағытымен сол эпицикл бойымен жүзеге асатын болса, онда Күн өзінің апогеясында (эклиптиканың Күннен ең алыс нүктесі) тұрғандағы орташа қозғалысынан жылдамырақ, ал перигеясындағысынан (эклиптиканың Күнге ең жақын нүктесі) баяуырақ қозғалады, өйткені ғаламшар өзінің Күнмен салыстырғандағы орнын сөзсіз өзгертеді, егер Күн өзінің эпициклі бойынша қозғалмайтын болса. Егер эпициклдің центрі концентрлік деферент арқылы бірқалыпты жүзеге асатын болса, онда бұл ғаламшардың орташа қозғалысы оның эпицикл бойынша қозғалысына немесе тыныштығына бейтарап күйде болады. Ғаламшардың орташа қозғалыспен салыстырғандағы қозғалысы бірде артық, бірде кем болады, себебі ол өзінің эпициклі бойынша қозғалады. Егер ғаламшар эпициклдің төменгі жағында орналасқан болса, онда ол кері қарай қозғалған сияқты болып көрінеді. Эпициклдің қозғалуы мүмкін, онда оның деференті бойынша қозғалысы бірқалыпты емес. Осыдан көптеген аномалиялар туындайды. Бірақ Күннің қозғалысы осы екі гипотезаның бірқалыпты қозғалыстағы эксцентрлі гипотеза мен Күннің эпицикл бойынша бірқалыпты концентрлік шеңбер бойымен оған қарама-қарсы шығысқа қараған қозғалысты қарастыратын эпициклдік гипотезаның бірінің салдарынан туындайтын аномалияларды қабылдай алмайды. Птолемей бірінші гипотезаны таңдады, себебі оны алдын-ала болжау жеңілдеу, әрине оның ашық қажеттігінен емес. Ол осы екі қозғалыстың ең жеңіліне көңіл аударды, себебі кейбір жағдайлар мен алғышарттар туралы алдын-ала жорамалдағанда екі гипотеза да шын мәнінде болып жатқандарға сәйкес келеді. Екі гипотезаның әрқайсысына ең жақын және ең алыс арақашықтық енуі тиіс. Эксцентрлі гипотезада ең үлкен қашықтық жер мен эксцентрлі дөңгелектің

центрлері арқылы эксцентрлі дөңгелектің центрі жағынан жүргізілген диаметрдің соңында жатады, ал ең кіші қашықтық - оған қарама-қарсы жақта орналасады. Эпициклдік гипотезада бұл түсінікті, ең үлкен қашықтық эпициклдің апогеясында, ал ең аз қашықтық оның перигеясында орналасады. Егер ғаламшар осы екі әртүрлі қашықтықтың ортасында тұрса және олардың ешқайсысына қарай айтарлықтай ығыспаса, онда оның көрінетін қозғалысы эпициклдің центрінің қозғалысына тең болады және орташа қозғалыс болады. Атап айтқанда, аномалияның шегі ең үлкен және ең кіші қашықтықтарда болады, аномалияның шегі деп орташа және көрінетін қозғалыстың арасындағы ең үлкен айырмашылық есептеледі. Осындай ұқсастық эксцентрлі гипотезада /111/ байқалады. Біздің пайымдауымыз бойынша, егер екі тең доғаның біреуі ең алыс қашықтықтан, ал екіншісі ең жақын қашықтықтан жүргізілсе, онда диаметр мен эклиптиканың центрінен осы доғалардың шеттеріне жүргізілген түзулердің арасындағы бұрыштардың ең жақын қашықтықтағысы үлкен болады.

Эксцентрлі гипотезаға келетін болсақ, мұнда ABCD - эклиптикасының центрі Е эксцентрлі дөңгелек [51-сурет] болсын, DGEA - екі центрден өтетін диаметр, А - апогей, D - перигей, АВ мен CD - өзара тең доғалар. ЕВ, ЕС, GE, GC - түзулерін жүргіземіз. АЕВ, DEC - бұрыштары тең болғандықтан және АЕВ бұрышы EGB үшбұрышының сыртқы бұрышы болғандықтан ол EGB бұрышынан, яғни AGB бұрышынан үлкен. Сонымен, DGC бұрышы CEG үшбұрышының сыртқы бұрышы болғандықтан осы бұрыштан әжептәуір үлкен. Эпициклдік гипотеза жағдайында ABC центрі Е жарты диаметрі (радиусы) АЕ [52-сурет] концентрлі эклиптикалы шеңбер болсын; А нүктесінің төңірегіндегі жарты диаметрі FA эпицикл сызайық, эпицикл А-дан, ал шырақ G-дан В-ға қарай қозғалсын. Егер шырақ G-да немесе F-те тұрған болса, онда оның қозғалысы А нүктесінің қозғалысынан ерекшеленбейді, егер шырақтың орны олардан өзгеше болса және ол GH доғасын өтетін болса, онда ол бірқалыпты қозғалысты АН доғасына озады, ал егер ол GK - доғасын өтсе онда ол бірқалыпты қозғалыстан АК доғаға артта қалады, яғни АН-қа; GH үлкен FK-дан, себебі А нүктесінен АЕ-ге перпендикуляр жүргізсек, онда концентрлі дөңгелекке жанама болатын диаметр пайда болып ол G бағытында концентрлі дөңгелек кесетін доғасынан кем доға кеседі; оның АН доғасын өтетін уақыты АК доғасын өтетін уақыттан артық. Егер ол осы қозғалысқа қарсы бағытта қозғалса, онда барлығы керісінше болады. Сондықтан оның тең уақыттар аралығындағы доғалары тең болмай әртүрлі болады. Бірінші

жағдайда апогей кезінде қозғалыс баяу, ал перигейде жылдамырақ, екінші жағдайда қозғалыс концентрлі дөңгелек бойынша болғанда керісінше болады. Сонымен эксцентрлі қозғалыстың гипотезасы бойынша баяу және кіші көрінетін қозғалыс апогейде, ал жылдам және үлкен қозғалыс перигейде жүзеге асады. Эпициклді гипотезада шырақтың апогейдегі қозғалыс бағытына қарай екі жағдай да болуы мүмкін: егер олар сәйкес болса апогейде тезірек, ал егер қарама-қарсы болса онда перигейде /112/ тезірек болады. Барлық құбылыстарды екі гипотезада бірдей түсіндіретін мынадай үш шарттың бар екендігі туралы болжамды еске салайық: біріншіден екі центрді қосатын түзудің эксцентрдің жарты диаметріне қатынасы эпицклдің жарты диаметрінің концентрлі деференттің жарты диаметріне қатынасындай болуы тиіс, екіншіден эпициклдің центрі өткен деференттің доғасы шырақтың осы уақыт ішіндегі эпициклінің доғасына ұқсас болуы тиіс, үшіншіден эпициклдік гипотезада екі қозғалыстың бағыты апогейден көрінетін квадрантта бір-біріне қарама-қарсы /113/ болуы тиіс. Алдымен әрбір екі гипотезада теңсіздіктен пайда болған айырма апогейден көрінетін қашықтық дөңгелектің ¼ бөлігіне тең болғанда өзінің шегіне жететіндігін дәлелдейік /114/.

ABCD - центрі E нүктесінің төңірегінде тұрғызылған диаметрі АЕС эксцентрлі дөңгелек [53-сурет] болсын. Жердің центрі G-да орналасқан, осы нүкте арқылы АЕС-диаметрге BGD перпендикуляр! жүргізілген, ол эклиптиканы тең екі бөлікке бөледі және жалпы диаметрмен бірге дөңгелектің екі ширегін құрайды. ЕВ - түзуін жүргізейік, АВ доғасы нақты қозғалыстың АЕВ бұрышын және көрінетін қозғалыстың АОВ бұрышын кереді. Эклиптикадағы АВ-ның эксцентрдегі АВ-ға қатынасы осы бұрыштардың қатынасын, ал осы бұрыштардың айырмасы теңсіздікті құрайды. АЕВ сыртқы бұрыш болғандықтан ол ішкі G бұрышынан В бұрышына үлкен, сондықтан В бұрышы орташа және теңгерілген қозғалыстардың айырмасының шегі және теңсіздіктің өсімі болады. Дәл осылай әртүрлі центрлердің сыртқы және ішкі бұрыштарының айырмасын шектейтін бұрыш - бұл бұрыш теңдеулері /115/. Біз тұжырымдаймыз; В-ға қарай жүргізілген ішкі түзулердің ешқайсылары арқылы В бұрышынан үлкен (кіші емес) бұрыш құрастыруға болмайды. Апогейге F бұрышын немесе перигейге К бұрышын құрастырайық, ED, EF, DF, GF және GK түзулерін жүргізейік; тең бүйірлі DEB үшбұрышындағы D және В бұрыштары өзара тең; дәл солай EDF үшбұрышындағы D және Ғ бұрыштары да

тең; DG немесе GB қысқарақ GF-тен; Евклидтің «бастамаларында» дәлелденген бойынша GF FDG бұрышын кереді, сондықтан FDG бұрышы GFD бұрышынан үлкен, ал EFG бұрышы GDE бұрышынан яғни GBE-ден кіші. GD яғни GB хордасы GK-ден ұзынырақ, сондықтан GKD бұрышы GDK бұрышынан үлкен. К толық бұрышы барлық D-ға тең, сондықтан EDG яғни EBG үлкен EKG-ден. Сондықтан В бұрышы шеңбердің /116/ қарама-қарсы жағындағы барлық бұрыштардан үлкен. Сонымен ең кіші қозғалыстан орташа қозғалысқа көшетін уақытқа сәйкес келетін АВ доғасы перигейдегі орташа қозғалыстан ең үлкен қозғалысқа - көшетін уақытқа сәйкес келетін ВС доғасынан үлкен; осы доғалардың айырмасы В бұрышына сәйкес келетін теңсіздіктің доғасы, сондықтан АЕВ бұрышы тік бұрыштан (90°- тан) EBG бұрышына үлкен, ал ВЕС бұрышы тік бұрыштан (90°-тан) сондай бұрышқа (EBG-ға) кіші. Осыларды эпициклдік гипотеза үшін дәлелдейік, оған кіріспес бұрын мынаны тиянақтау қажет: нақты және көрінетін қозғалыстарда шырақтың эпициклдің апогеясынан қашықтығы дөңгелектің ширегіне (1/4 - не) тең емес. Байқалғандай, ол өзіне ең үлкен теңсіздікті қамтиды, егер көзбен шырақты қосатын түзу эпициклді жанайтын болса. Егер ол оны кесіп өтетін болса, онда бүл қашықтықта шырақтың ең үлкен теңсіздігі болмайды, өйткені әрбір қиятын түзу үшін эпициклдің бойынан осы сызықтан тыс нүкте табуға болады, яғни оны көзбен қосатын түзу эклиптиканың центріне дейінгі қашықтықтан үлкен болады. Сонымен эклиптиканың центрінен ең алшақ жатқан нүктеден өтетін түзу жанама болуы тиіс. Бірақ нақты ширектің екі жатының кез келген нүктесі арқылы өтетін жанама эпициклдің диаметріне параллель, сондықтан көзге түзу бойымен жете алмайды, себебі, көз диаметр бойында орналасқан. Сондықтан көзден жүргізілген жанама түзудің басқа бір жанасу нүктесі болады. Егер көзді ширектің нүктесінде жанасатын түзудің бойындағы нүктемен қоссақ, онда бұл түзу эпициклді қияды, сондықтан қиылысу отан дейін болуы мүмкін. Көзден жүргізілген түзудің жанасу нүктесі эпициклдің концентрлі дөңгелекпен қиылысу нүктесіне дейін жетуі тиіс, себебі, егер ол осы қиылысудың нүктесі болған болса және біз эпициклдің центрінен отан дейін түзу жүргізген болсақ, онда оның жасаған бұрышы екі центр арқылы өтетін диаметр мен эпициклдің центрінен жүргізілген түзудің жасайтын бұрышына тең, өйткені үшбұрыштың екі қабырғасы тең. Онда жанама диаметрге перпендикуляр болмас еді, олай болмаса бір үшбұрышта екі тік бұрыш болған болар еді. Бұл жанасу нүктесі де қиылысу нүктесінен әрі бола алмайды, өйткені ол сол нүктеде болған болса, онда жанама мен эпициклдің жарты диаметрі жасайтын бұрыш центрдегі

бұрыштан үлкен болған болар еді, себебі оның біріншісі тік бұрыш (90°) онда екі центрді қосатын түзу жанамадан ұзын болар еді, бүл мүмкін емес, өйткені ол оның бөлігіне тең. Ары қарай жанама мен эпициклдің диаметрі жасайтын бұрыш тік бұрыш және ол қиылысқан кездегіден үлкен. Сонымен қатар жанама болған жағдайдағы орталық бұрыш қиылысқан жағдайдағы орталық бұрыштан үлкен, өйткені бұл бұрыш қиылысу кезінде жанасу кезіндегіге сәйкес келетіннің бөлігі болады. Сондықтан үшіншісі (жанасу кезіндегі бұрыш) бірінші жағдайдағы оған сәйкес бұрыштан кіші. Сонымен теңсіздіктің айырымы жанама кезіндегі осы бұрыштан туындайтын екінші теңсіздіктің айырымынан кіші. Бүл мүмкін емес, себебі, бұл - теңсіздіктің шегінің бұрышы. Сонымен айқындалды, бұл орын [жанасу нүктелері] эпициклдің концентрлі дөңгелекпен қиылысуына дейінгі нүкте. Осыдан дәлелденеді, теңсіздіктің шегінің доғасы эпициклдің центрі мен концентрлі дөңгелектің эпилциклмен қиылысқан нүктесімен шектелген доғадан үлкен. ABC центрі D концентрлі дөңгелек [54-сурет] болсын, EGH - центрі А эпицикл, BDGEA -осы центрлер арқылы өтетін диаметр, Н дөңгелектің көрінетін ширегінің нүктесі болсын, концентрлі дөңгелек бойынша қозғалыс шырақтың қозғалысы эпициклді бөлген сияқты концентрлі дөңгелек бойымен қозғалыс та деферентті сондай ұқсас бөліктерге бөледі. ADC - бұрышы Е-дегі орташа қозғалыс пен Н-тегі көрінетін қозғалыс арасындағы теңсіздік; болжам бойынша Н дөңгелектің ширегінде тұрғандай көрінеді. D - бұрышы теңсіздік пен теңдеудің айырмасының шегі. Егер DH - жанама болса, онда АН оны перпендикуляр түрінде қияды; А нүктесінен диаметрге AF перпендикулярын тұрғызамыз. Дөңгелектің нақты жарты ширегінің К-дан артық өсімі КАН бұрышын жасайды, ол D бұрышына тең; АК-ны ары қарай DH-пен кездескенше созамыз; олар қиылысады, себебі екі бұрыштың D мен FAD-ның қосындысы екі тік бұрыштан кіші; сонымен F бұрышы ортақ және FAD үшбұрышының А бұрышы үшбұрыш HFA-ның Н бұрышына тең. Осыдан барып, ҒАН бұрышы D бұрышына тең. Бұл теңсіздіктің айырымы.

Осылардың барлығынан мынадай қорытынды жасалады: ең аз қозғалыстан орташа қозғалысқа ауысу уақытын анықтайтын ЕН доғасы орташа қозғалыстан ең үлкен қозғалысқа ауысу уақытын анықтайтын Н доғасынан артық; ал олардың арасындағы айырмашылық - екі еселенген КН доғасына тең, яғни екі еселенген АС доғасы, себебі, бүл доғалар өзара ұқсас.

Айырма осының екі еселігі, себебі, оның біреуі нақты ширектен осы шамаға кіші, ал екіншісі одан осы шамаға артық. Осыдан дәлелденеді, екі гипотезада да қозғалыс орташа қозғалысқа ұқсас және теңсіздіктің айырымы шегіне жеткенде онымен сәйкес (тең). Екі гипотеза теңсіздіктің шегін қарастырғанда ғана емес, сонымен қатар дербес доғалар үшін дербес теңсіздіктерді қарастырғанда да бір-біріне сәйкес. Сондықтан егер алғы шарттарды сақтаған жағдайда бірдей уақыт аралықтары үшін теңдеу бірдей болады, бұл жерде теңдеу деп теңсіздіктің айырымы айтылып отыр. Бұл жағдай көрсетілген қатынас екі гипотезада да бірдей бола ма жоқ па оған тәуелсіз болады, егер эпициклдің жарты диаметрі екі центрді қосатын түзуге тең болса, яғни эпициклдің жарты диаметрінің екі центрді қосатын түзуге қатынасы концентрлі дөңгелектің жарты диаметрінің эксцентрдің жарты диаметріне қатынасындай болса. Алғашқыда қатынас бірдей деп алайық. АВС-центрі D нүктесіндегі концентрлі дөңгелек [55-сурет]; GK - центрі В нүктесіндегі эпицикл. EGH - центрі F эксцентр; EDC -концентрлі дөңгелек пен эксцентрдің жалпы диаметрі; эпициклдің центpі АВ-ны қиғанда шырақ АВ-ға ұқсас KG-ні қияды. FG, DG және BG-ні қосамыз. FD мен GB болжам бойынша өзара тең, онда FG мен DB-да өзара тең, себебі олар параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары, эксцентрлі гипотеза бойынша теңсіздіктің айырымы болатын FGD бұрышы GDK айқыш бұрышына тең, ол эпициклдік гипотеза бойынша теңсіздіктердің айырымы болады. ADB ішкі бұрышы онымен бір жақта жатқан AFG сыртқы бұрышына тең; GBK-да сыртқы бұрыш, сондықтан үшбұрыштың доғалары ұқсас. Сондықтан шырақтың ондағы орны бір ғана нүкте; теңсіздіктің бірдей уақыттағы ондағы айырымы да бірдей. Кез келген доғалар үшін де осындай нәтиже шығатындығы түсінікті.

Осыларды бұл қатынас ұқсас болған жағдай үшін дәлелдейік; ABC - диаметрі D деференттің дөңгелегі [56-cypem], EG - центрі В эпицикл, эпицикл АВ-ні қиятын болсын, шырақ АВ-ге ұқсас EG - ні қисын; деференттің дөңгелегінен үлкен эксцентрдің дөңгелегін жүргіземіз, бұл центрі К НҒ-дөңгелегі және одан кіші центрі NLM дөңгелегі. Шарт бойынша эпициклдің жарты диаметрінің олардың центрлерін қосатын түзуге қатынасы -деференттің жарты диаметрінің эксцентрлі дөңгелектің жарты диаметріне қатынасындай. BG-ні жүргізейік және LM - доғасының М нүктесінен өтетін GD-ні ҒН доғасының Ғ нүктесіне дейін созайық, DB-ні Е-ге, яғни апогейге дейін созайық.

Біздің шешіміміз бойынша барлық осы доғалар ұқсас. Себебі GE ұқсас АВ-ге, сондықтан GBE бұрышы ADB бұрышына тең; BG мен DA өзара параллель; GDB үшбұрышының BGD бұрышы оған айқыш жатқан бұрышқа тең, D - бұрышы MDN және FKD үшбұрыштарына ортақ, олардың осы бұрышты қамтитын қабырғалары пропорционал, өйткені DG мен BD олардың қабырғаларына пропорционал. Дербес (жеке) бұрыштары өзара тең және оларды қамтитын қабырғалары пропорционал болғандықтан BG-нің DG-ға қатынасы DK-нің КҒке қатынасындай, келісім бойынша BG мен DK-нің қатынасы DA-ның ҒК-ға қатынасындай және DG-нің DF-ке қатынасындай; сонымен үшбұрыштағы сәйкес бұрыштар өзара тең, яғни GDB, DFK және DMN бұрыштары өзара тең, BD мен MN және FK түзулері бір-біріне параллель, сондықтан ADB, НКР және LNM бұрыштары да өзара тең, олардың доғалары өзара ұқсас болады. Сонымен шырақ бір ғана DMGF түзуінің бойынан көрінеді, осы кезде ол F, M және G нүктелерінде тұрғандай көрінеді. Біз тағы да тиянақтаймыз, шырақ көрінетін қозғалысы кезінде ең алыс қашықтығы мен ең жақын қашықтығында бірдей доғалар жүреді, онда екі жағдайда да бірқалыпсыз (айнымалы) қозғалатындықтан көрінетін теңсіздік бірдей болады, себебі шырақ апогей жағында тұрғанда теңдеу кемиді, ал ол перигей жағында тұрғанда артады. Мұндай жағдай екі гипотезада да байқалады. Мұны эксцентрлік гипотеза бойынша дәлелдейік. Жердің G центрінен кез келген сызық [57-сурет] жүргізейік, ол диаметрге перпендикуляр DGB болсын, ол бірдей көрінетін DC және АВ доғаларын қияды, себебі олар керетін бұрыштар вертикаль болғандықтан өзара тең; D мен Е-ні, Е мен В-ні қосайық; D мен В бұрыштары тең, себебі үшбұрыш DEB тең бүйірлі, бірақ DEG бұрышы сыртқы BGC бұрышынан, ол перигейдегі айнымалы қозғалысқа сәйкес келеді және DGC - бұрышынан D бұрышына кіші, ал апогейдегі AGB бұрышы перигейде DGC бұрышына тең, АЕВ-ден D бұрышына кем. Осы көрінетін қозғалыс пен орташа қозғалыс арасындағы айырма өзара тең; В мен D бұрыштарының әрқайсысы көрінетін қозғалыс пен орташа қозғалыстың айырымы болады.

Осыған сәйкес орташа қозғалыс кейде көрінетін түзетілген қозғалыстан артық, кейде одан кіші болады. Бірақ олар бірдей. Сондықтан ондағы қосылғыш пен азайтқыш бірдей. Эпициклдік гипотезаға келсек, эпициклдегі еркін алынған доға ретінде екі доға EG мен HF доғалары алынсын, олар D-дан шытатын және концентрлі дөңгелектің центрі болатын бір тана түзумен қиылады. Көрінуіне қарай олар өзара тең, яғни бір тана теңсіздікті тудырады, себебі теңсіздіктің айырымы D бұрышы, ол екеуі үшін ортақ. Бірақ бүл доғалар әртүрлі. А мен Н-

ты, А мен G-ны қосайық, онда EAG бұрышы AGD-дан ADG бұрышына үлкен, AHG ішкі DAH-тан D бұрышына үлкен; жоғарыда дәлелденгендей G апогейден көрінетін қозғалыстың бұрышы, себебі ол онымен сыртқы бұрыштың айырымы, EAG -орташаға сәйкес келеді, яғни D бұрышына. Сондықтан G бұрышы EAG бұрышынан орташа қозғалысқа сәйкес келетін D бұрышына кіші. Перигейге келетін болсақ, ондағы көрінетін қозғалыстың бұрышы - AHG бұрышы AGH-қа тең, FAH-қа сәйкес орташа бұрыштан D бұрышына артық, шындығында EAG-ден D бұрышына кіші. Сондықтан орташа қозғалыс ең алыс қашықтықта көрінетін бұрыштан сондай бұрышқа үлкен, ең кіші қашықтықта ол көрінетін қозғалыстан сондай бұрышқа кіші, егер көрсетілген ауытқу дәл сондай болса. Күннің қозғалысындағы көрінетін теңсіздік туралы Птолемей Күннің қозғалысындағы теңсіздікті зерттеді. О л айтты: Күн бірдей уақыт аралықтарында қайтып оралғанымен, бірақ оның эклиптиканың ширегін бірдей уақыт аралығында өтпейтіндігі байқалды; сондықтан ол доғаның ширегінен кіші қашықтықты да бірдей уақыт аралығында өтпейді. Сонымен, Күннің көрінетін қозғалысы айнымалы. Бірақ оның бүл теңсіздігі белгілі бір орындарда ғана байқалады. Оны түсіндіру үшін эксцентрлі гипотезаны пайдалану тиімді. Сондықтан осы гипотеза бойынша оның теңдеуінің ережесін табу қажет. Алдымен қосатын сызықтың шамасы мен эклиптикадағы ең үлкен қашықтықтың орнын анықтаймыз. Гиппарх бақылауларға сүйеніп көктемгі теңесу мен Күннің жазғы тұрағына (солнцестояние) дейінгі қозғалу уақыты - 94,5 күн, ал Күннің жазғы тұрағынан күзгі теңесуге дейінгі уақыт - 92,5 /117/ күн екендігін анықтады. Осы нәтижелерді пайдалана отырып, ол қосатын түзу (эксцентритет) эксцентрдің жарты диаметрінің 1/24-тен бөлігін құрайтындығын есептеді; ең алыс қашықтықтағы нүкте Күннің жаздағы тұрағындағы нүктеден шамамен 24;30 градус алда болады, яғни осы ширекте қозғалыс біршама баяулайды. Птолемей осы баяндалған құбылысты Гиппархтың тәсіліне сүйене отырып өзінің бақылауларына сәйкес өзінше дәлелдейді. Ол бақылау бойынша күзгі теңесу мен көктемгі теңесу арасындағы уақыт 178'/4 күнге, ал көктемгі теңесу мен жазғы Күн тұрағына дейінгі уақыт 91 ¼ күнге тең екендігін анықтады. Осыдан барып апогей мен сызықтың қатынасы Гиппарх келтірген нәтижеге сәйкес екендігі көрінеді.

ABCD - центрі Е [58-сурет] зодиактың дөңгелегі, FKLM - центрі G эксцентрлі дөңгелек, А - көктемгі теңесу нүктесі, В - жазғы Күн тұрағының нүктесі; G - нүктесінен АС-ға параллель, BD-ны X нүктесінде қиятын NGO түзуін жүргіземіз; BD-ғa параллель PG -түзуі АС-ны Q нүктесінде қияды. GN - центрден, ал QF - PG диаметрдің басқа нүктесінен шығатындықтан GN одан ұзынырақ; DB-ға параллель етіп GN-ға FX перпендикулярын жүргіземіз, ол GN - ді дөңгелектің ішінде қиып өтіп, одан QF-ке тең GX-ті қияды, оны Т-ға дейін созамыз, X - нүктесінде FT түзуі тең екі жартыға бөлінеді.

Дәл осылай КС-ны жүргіземіз, ол С-да тең екі жартыға бөлінеді; онда Ғ, К, L және М нүктелері эксцентрлі дөңгелектің ширек нүктелері болады, А-ның бағытында көрінетін F нүктесі көктемгі теңесу нүктесіне, ал В-ға сәйкес келетін К нүктесі жазғы Күн тұрағына сәйкес келеді. Басқа нүктелермен де осындай ұқсастық байқалады. Бақылаулар арқылы Птолемей Күннің KLM доғасын өту периодын анықтап, орташа қозғалыстың бөлігін табады; КМ жарты дөңгелектен кіші және екі еселенген OK доғасына тең, КО оның жартысы, ол шеңбердің ширегінен КР доғасына кем, ал КР белгілі; бақылау арқылы Птолемей KF-ті табады, сондықтан КР белгілі, осыдан ары ол ширектің өсімін FN-ді анықтайды. Центрлерді қосатын түзуді эклиптикаға дейін созамыз, бүл EGH; солтүстік жартыда қозғалыс баяу болғандықтан, КҒ-те екі квадранттың апогейі болып ол Н нүктесінде орналасады, FN доғасы белгілі болғандықтан оның FT - жартысы және оның хордасы FXT белгілі, оның жартысы FX белгілі, дәл осылай КС белгілі, демек онымен параллель QG мен GX белгілі, сонымен ЕХ-ның төрт қабырғасы белгілі болады және сондықтан диагональ (тік бұрыштың хордасы) белгілі, яғни қосатын түзу белгілі; үшбұрыштың орталық бұрыштары белгілі; ол АЕН бұрышы, яғни АН доғасы белгілі. Осы¬лай қосатын түзудің деференттің жарты диаметріне қатынасы және көктемгі теңесуден апогейге дейінгі қашықтық анықталады, сонымен эксцентрлі дөңгелектің квадранты белгілі болады. Осылайша апогейдің орны мен қосатын түзудің қатынасы табылды, олар Гиппархтың /118/ тапқандарымен сәйкес келді. Осыған сүйеніп Птолемей Күннің апогейі өзгермейді деп тұжырымдады. Ал кейінгі оқымыстылардың, Мамуннің /119/ кезіндегі сол тәсіл бойынша жүргізілген байқауларының көрсетуінше Күннің апогейі Гиппарх көрсеткен орыннан қозғалмайтын жұлдыздардың қозғалысымен салыстырғанда

ауытқитындығы белгілі болды. Осыны біз өзіміздің бақылауларымыз арқылы осы кітап /120/ жазылғаннан кейін анықтадық. Одан әрі ол, эксцентрлі дөңгелектің апогейі немесе эпициклі 92°23' болғанда теңсіздік өзінің шегіне жететіндігін дәлелдеді. Алдымен мұны эксцентрлі гипотеза арқылы дәлелдейік. Эклиптиканың центріне Е перпендикуляр тұрғызып оны В нүктесіне дейін созайық [59-сурет] В мен D-ні қосамыз. Дәлелденген бойынша бұл бұрыш DBE айнымалы қозғалыстан пайда болған айырымның шегіне сәйкес келеді, BED үшбұрышының қабырғалары белгілі, себебі BD-ның DEге қатынасы алдыңғы жағдайлар бойынша белгілі, Е - бұрышы тік бұрыш, қалған бұрыштар белгілі, яғни В - бұрышы есептеу бойынша белгілі. Теңсіздіктің шегі 2°23'-ке /121/ жуық, осындай төрттік түзуде 360° болады. ADB сыртқы бұрыш болғандықтан белгілі, АВ доғасы жоғарыда көрсетілген тәсіл бойынша есептеу арқылы белгілі, ол тік бұрыштан теңсіздіктің шегіне үлкен.

Эпициклдік гипотеза жағдайында, ABC - концентрлі дөңгелек, BEG - центрі A [60-cypem] эпицикл, DG - центрден жүргізілген жанама, онда AG оған міндетті түрде перпендикуляр; AG мен AD-ның қатынасы үшбұрыштан белгілі, қабырғалары мен бұрыштары да біз көрсеткен тәсіл бойынша белгілі; сондықтан D бұрышы белгілі, яғни айырманың доғасы белгілі, сыртқы бұрыш EAG үшбұрыштың екі бұрышы арқылы белгілі; осыдан барып EBG доғасы, яғни апогейге дейінгі қашықтық белгілі. Есептеу нәтижелері жоғарыда көрсетілгендерге сәйкес келеді.

Теңсіздіктің дербес [мәндерінің] анықтамалары туралы Күннің қозғалысының эфемеридін қалай анықтау туралы сөз болғанда біз алдымен орташа қозғалыстың апогейден қашықтығын және теңсіздіктің үлесіне тиетін шамасын анықтап Күннің эклиптикадағы орнын білеміз. Алдымен мұны эксцентрлік гипотеза үшін дәлелдейік: ABC - центрі D нүктесіндегі концентрлі дөңгелек [61-сурет] болсын; EGH - центрі F эксцентрлі дөңгелек; EG - доғасы белгілі болсын; F пен G-ні, D мен G-ні қосайық; эклиптикадағы АВ доғасы іздейтін шама; ол эксцентрдің центрінен GE - доғасы бойынша көрінеді.

GF-ті К-ға, яғни центрден жүргізілген перпендикулярдың табаны DK-ға дейін созамыз; сонымен К бұрышы мен KFD бұрышы вертикаль белгілі EFG бұрышы арқылы анықталады; FD - тік бұрышты [FKD] үшбұрышының төңірегінде сызылған диаметр ретінде белгілі, онда осы үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары бұрын айтылғандай белгілі /122/. Сонымен FD - үшбұрыштың бір қабырғасы ретінде белгілі, осымен қатынас бойынша KF пен FG белгілі, сондықтан KG мен KD белгілі; К - тік бұрыш, осыдан DG -белгілі және теңсіздіктің бұрыш айырымы яғни G бұрышы белгілі; FDG мен KDF бұрыштары белгілі; осыдан барып ADG бұрышы белгілі және іздеп отырған АВ доғасы белгілі; егер EG-ні 30° деп алсақ онда АВ - 28,51°-қа тең. Біз осыдан келіп мынадай қорытынды жасаймыз, егер эклиптиканың бұрышын немесе айырманың бұрышын белгілі деп санасақ, онда көрсетілген бұрыштардың басқалары да белгілі болады. D бұрышы белгілі деп жориық; DG-ға FL перпендикулярын түсірейік [62-сурет]. D мен L FDL тік бұрышты үшбұрыштың бұрыштары ретінде белгілі, сондықтан DF-тің FL-ға қатынасы белгілі. Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары сол қатынас арқылы белгілі; DF-тің FG-гe, FD-нің FL-гe қатынастары белгілі, L бұрышы тік және белгілі FLG үшбұрышы арқылы LG мен осы үшбұрыштың барлық бұрыштары белгілі, G бұрышы теңсіздіктің айырымына тең, сондықтан ол да белгілі, сыртқы бұрыш EFG пен EG доғасы да белгілі.

Осы суреттегі G бұрышы мен FG гипотенузасы да белгілі болсын. FGL үшбұрышының қабырғалары мен бұрыштары белгілі, осыдан FLD үшбұрышы екі қабырғасымен және тік бұрышымен белгілі, осыдан D бұрышы, сыртқы бұрыш F және EG доғасы белгілі. Апогейдің доғасы белгілі болғанда, эпициклдік гипотеза жағдайында осыны дәлелдеу керек; ABC - центрі D концентрлі дөңгелек [63-сурет], ал EGHF - центрі А эпицикл болсын, D-ні апогейдің А нүктесімен қосамыз, EG - белгілі және ол 30° болсын; G мен А-ны, D мен G-ні қосайық, DE-ге СК перпендикулярын түсіреміз; GAK пен GKA бұрыштары белгілі, GA - белгілі; үшбұрыштың барлық қабырғалары мен бұрыштары белгілі; олай болса АВ-ға қатысты AD-да белгілі. Осы жолмен АК табылады, осыдан KD белгілі болады, К - бұрышы тік бұрыш және сондықтан KG белгілі, себебі GKD үшбұрышынан D бұрышы белгілі болады. Сонымен эксцентрлі гипотезадағыдай нәтиже шығады.

Енді эпициклдік гипотеза арқылы кері жағдайды дәлелдейміз. Эклиптиканың көктемгі теңесу нүктесінің белгілі доғасына сәйкес келетін G бұрышы белгілі болсын; DG-ға AL перпендикулярын түсіреміз [64-cypem], L бұрышы тік, AG түзуі мен G бұрышы белгілі, AL-түзуі үшбұрыштан белгілі; ALD үшбұрышында бұрыштар белгілі, өйткені D-бұрышы берілген, сондықтан GAE бұрышы мен EG доғасы да беріледі. D бұрышы белгілі болсын, олай болса сондай ой қорыту бойынша DAL үшбұрышы да белгілі болады, сондықтан AL мен AG-да белгілі, ALG - тікбұрыш; сонымен бір қабырғасы мен екі бұрышы белгілі болғандықтан G бұрышы да белгілі; осыдан тағы да GAE бұрышы мен EG доғасы белгілі болады, есептеу жоғарыдағы есептеумен жеткілікті дәрежеде сәйкес келеді. Мұның барлығы апогей жағына қараған доғалар үшін орындалады.

Одан әрі перигейге қараған доғаларды қарастырамыз, ол үшін басқа суреттен [65-сурет] квадрант аламыз. Н перигейден бастап салынған 30°-қа тең белгілі доға болсын; Ғ пен G-ны, D мен G-ны қосамыз, Ғ-ті В-ға дейін созамыз, D-дан FG-ға DK перпендикулярын түсіреміз, ол белгілі; біз бұрын дәлелдегенге ұқсас FDK үшбұрышы белгілі болады, К бұрышы тік бұрыш; DKB үшбұрышында бұрыштары мен қабырғалары да белгілі, сондықтан FDB үшбұрышында BDC бұрышы белгілі болады, яғни ВС доғасы да белгілі болады.

Екіншіден, егер бұрыш берілген болса, онда D бұрышы белгілі деп санаймыз, Ғ тен GD-ның жалғасына [66-cypeт] L нүктесінде перпендикуляр түсіреміз, онда жоғарыда дәлелденген бойынша FLD үшбұрышының қабырғалары мен бұрыштары белгілі болады; дәл осылай үшбұрышта FLG, FDB және қалған бұрыш GFH белгілі; G бұрышы берілген дейік, яғни теңсіздіктің айырымы белгілі, L бұрышы тікбұрыш, онда GF түзуі және үшбұрыш қатынас бойынша белгілі, яғни FL мен FD белгілі, L бұрышы тік бұрыш, сондықтан FLD үшбұрышының қабырғалары мен бұрыштары белгілі; осыдан FDL бұрышы, яғни BDC бұрышы мен ВС доғасы белгілі және GFH бұрышы яғни GH доғасы белгілі. Енді осыларды эпициклдік гипотеза жағдайында дәлелдейік; алдымен перигей жағынан [67-cypeт] HF доғасы белгілі болсын, DA - ға НК перпендикулярын түсірейік. НА және HF доғасының бұрышы А белгілі және К тік бұрыш болғандықтан АНК үшбұрышының бұрыштары мен қабырғалары белгілі; бұрын дәлелденген бойынша KHD үшбұрышының бұрыштары мен қабырғалары белгілі; D бұрышы мен АВ доғасы да белгілі.

Егер бұрыш берілсе, онда алдымен эклиптикадағы көрінетін бұрышты белгілі деп есептейік; DB-ғa AL перпендикулярын түсірейік [68-сурет], АНВ эклиптикадағы көрінетін бұрыш, себебі ол орташа қозғалысқа сәйкес және болжам бойынша оның теңдеуі белгілі; онда екі үшбұрыш, яғни үшбұрыш ALH белгілі, өйткені оның АН қабырғасы және бұрыштары L мен Н белгілі және үшбұрыш ALD белгілі өйткені оның екі қабырғасы AL мен AD белгілі, олай болса D бұрышы белгілі.

Ал енді D бұрышы белгілі болсын; онда ALD үшбұрышының бұрыштары мен қабырғалары белгілі, қабырғасы мен белгілі бұрыштары D мен L тік бұрышы бойынша белгілі; сонымен қатар ALH үшбұрышының қабырғалары мен бұрыштары екі қабырғасы -AL мен LH және L тік бұрышы бойынша белгілі, сондықтан ізделіп отырған HAF бұрышы белгілі. Одан әрі теңсіздіктерді табу тәсілі көрсетілгеннен соң олардың дайын мәндерін алу үшін Птолемей дербес доғалар /123/ үшін теңсіздіктердің кестесін құрастырды. Бұл кезде оның дәлелдегені бойынша, екінші жартыдағы теңсіздіктің айырымы осы жартыдағыға тең, олардың біреуіндегі қосылатын шамалар екіншісінде азайтылады, ол тек бір жартысында көрсетілген екі қашықтық арасындағы теңсіздікпен шектелді. Үлкен қашықтыққа тақалатын доғалар үшін теңсіздік аз болғандықтан, ол осыған тіреліп тұрған квадрантты 15 бөлікке бөлді, олардың әрқайсысы 6°-қа сәйкес келеді, олардың теңсіздігін кестеге орналастырды. Ең кішкене қашықтыққа тірелетін квадрантқа сәйкес келетін теңсіздік үлкен болғандықтан оны 30 бөлікке бөлді, олардың әрқайсысы 3-ке тең болғандықтан ол бұл сандардың әрқайсысын 3° деп қабылдады. Бірінші бағанада апогейден басталатын қозғалысқа сәйкес келетін сан, екіншісінде перигейден басталатын қозғалысқа сәйкес келетін сан орналастырылды. Үшінші бағанада градустың бүтін сандары мен қосылатын және азайтылатын теңсіздіктердің минуттары келтірілді, егер орташа мән екінші бағанадан алынатын болса олар қосылады, ал бірінші бағанадан алынса олар алынады. Ол одан әрі қарай Күннің орташа қозғалысының дәуірін, Набонассардың патшалық құрған бірінші күнінің ортасынан басталатын және Күн дәуірін тарихтың сол күніне сәйкес келтірілуін талап етеді. Күннің ең алыс

қашықтықтан бақыланған екі күзгі теңесуіндегі орнын осы суреттегідей [69сурет] етіп көрсетті.

Ол айтты: G - эксцентрлі дөңгелектегі күзгі теңесудің нүктесі болсын, Н - оның перигейі; GD-ға FK перпендикулярын түсірейік, эклиптиканың дөңгелегіндегі СВ доғасы белгілі, себебі ол күзгі теңесу нүктесінің перигейден қашықтығы, олай болса бұрыштың өсімі, яғни G бұрышы белгілі. Осыдан барып HFG бұрышы белгілі болады. Есептеулер бойынша HG доғасы 63°20'-қа тең. Күннің орташа қозғалысын анықтағаннан кейін ол қазіргі кездегі бақылау мен дәуірдің арасындағы уақыт аралығын тапты, осы уақыт аралығындағы толық айналу санын тауып оларды алып тастады да, қалған қосылатын доға мен оның эксцентрлі дөңгелектегі бастапқы орнын анықтады; бұл Күннің бастапқы дәуірдің бас кезіндегі орташа орны. Осыны нақтылап Күннің эфемеридтерін қалай анықтауға болатындығын білді. Ол айтты: Күннің орташа қозғалысы дәуірдің бас кезінен бергі уақытты анықтау арқылы табылады; осыған дәуір қосылады және одан апогейдің градусқа дейінгі толық айналымдары шегеріледі, қалдық орташа қозғалыстың бағанасынан алынып оған сәйкес теңдеу табылып біз айтқан ережеге байланысты ол қосылады немесе алынады. Осының барлығынан Күн орны геометриялық дәлелдеулердің көмегімен анықталатындығы белгілі болады, сонымен бірге эклиптика эксцентрлік дөңгелекке тең бе немесе одан үлкен бе деген жорамалға тәуелсіз, себебі эклиптиканың центріндегі бұрыштар мен үшбұрыштардың бұрыштары екі дөңгелекке бірдей ортақ - эксцентрлік бұрыштарға тең немесе одан үлкен; егер олар дөңгелектің центріндегі эксцентрлік бұрышқа тең болмаса, онда доғалар ұқсас. Сөткелердің теңсіздігі туралы Одан әрі Птолемей Жердің жағдайын түсіндіріп, бүл кітапты сөткелер туралы сұрақтарға жауап берумен аяқтады. Ол айтты: көрініске қарай отырып сөтке - аспан экваторының 360°-қа бұрылуы деп ойлап қалуымыз мүмкін және бұл 24 сағатқа тең. Бұл аспан экваторының Күнмен бірге шыққан бірінші күнгі немесе онымен бірге болған түс кезінің нүктелерінің алғашқы орнына көкжиек сызығына немесе меридиан сызығына қайтып оралу периоды.

Бұл кезде меридианға бағдарлану тиімдірек, себебі оған қайтып оралу периоды оның бойындағы барлық нүктелер үшін бірдей. Жалпы бұл мәселеде осылай ойлайды. Бірақ шын (нақты) сөткелер - Күннің көкжиек дөңгелегіне немесе аспан меридианына қайтып оралу уақыты, ал Күн сөткені жуық шамамен 59 минуттік орташа қозғалыспен өтеді. Сонымен Күннің қайтып оралу периоды онымен бірге болған нүктенің қайтып оралу периодынан артық, сондықтан ол одан қалып отырады. Сонымен сөткенің орташа созылу уақыты 360 уақыттық градустар мен 59 мин., бүл 24S9/goo сағатқа тең. Бірақ жоғарыда айтылғандай Күннің қозғалысы айнымалы, Күннің эклиптика бойымен қозғалысының өсімі бірдей емес және эклиптикадағы бірдей өсімдерінің көтерілуі және аспан меридианынан өту кезіндегі уақыттық градустары бірдей емес. Сондықтан сөткенің теңсіздігінің екі түрі бар. Дегенмен, бүл теңсіздіктің аз сөткелер кезіндегі шамасы аз болғанмен, ол сөткелер саны көбейгенде оның шамасы әжептәуір шамаға жетеді. Күннің қозғалыс аномалиясының салдарынан пайда болатын айырманың шегі оның бірқалыпты қозғалыстағы орындарының арасында байқалады, бүл қозғалыс кезінде айырмашылық байқалмайды. Екі қарама-қарсы қашықтықтың әрқайсысы мен бірқалыпты қозғалыстың осы нүктесінің уақыт аралығы ең үлкен теңдеу береді, ал ең үлкен айырма екінші жағында қарамақарсы бағытта орын алады; апогей жағындағы уақыт аралығы артық, сондықтан теңдеу шегеріледі; ал перигей жағындағы уақыт аралығы жеткіліксіз, сондықтан теңдеу қосылады сөйтіп 2°23'-ке жетеді. Осының екі еселігі бірқалыпты және айнымалы қозғалыстың айырмасының шамамен 43/4 градусын береді. Эклиптиканың бір жартысы екінші жартысынан осының екі еселігіне, яғни шамамен 9 ½ градусқа артық (немесе кем). Сондықтан қозғалыстың бірінші ортасынан екінші ортасына дейінгі сөткелер саны орташа сөткенің санынан 4 ¾ градусқа өзгеше болады. Барлық артық және кем сөткелер бірігіп орташа сөткеден осындай шамаға артық немесе кем болады. Сондықтан ұзақ сөткелер қысқа сөткелерден екі еселенген шамаға, яғни 9 ½ градусқа ерекшеленеді. Бұл ең көп айырманың мәні Күннің себебінен туындайды. Шарықтау нүктесіне көтерілудің себебінен пайда болған ең үлкен айырманы көкжиекке немесе аспанның ортасына қатысты қарастыру керек. Егер ол шығыстың және батыстың көкжиектеріне қатысты қарастырылатын болса, онда көптеген елдерде ең коп айырма екі күн тұрағына бөлінген эклиптиканың әрбір жартысына ерекшеленеді. Эклиптиканың әрбір жартысы орташа шамадан ең үлкен және орташа күндердің айырмасына, яғни

қажеттіден екі есе артық шамаға ерекшеленеді. Бүл климатқа байланысты ең ұзақ және ең қысқа күннің арасының айырымына сәйкес келеді. Егер оны аспанның ортасына өтуге қатысты қарастырсақ, онда шарықтау тудыратын ең үлкен айырманың бір ғана теңсіздігі болады. Шарықтау айырмасының теңсіздігі әртүрлі климаттарда өзгермейді. Оның азаюының шегі Суқұйғыштың (Водолейдің) ортасы мен Шаянның (Скорпионның) бас кезінде, ал үлкею шегі Шаянның бас кезі мен Суқұйғыштың ортасының аралығында орын алады. Теңсіздіктің айырмасы теңдеумен бірге 4,5°-ты құрайды. Нақты осы орында Күннің қозғалысының ең үлкен айырмасының үлесі шамамен 3 2/3 градусты құрайды. Оларды қосып 8 1/3 градусты аламыз. Бүл екі теңсіздіктің теңдеумен біріккендегі қосындысы. Ең үлкен және ең кіші сандардың аралығындағы айырмашылық екі есе көп. Бүл әртүрлі климаттар аралығында өзгермейді. Дәуірдің басы ретінде Күннің көкжиектен шығу кезі емес, түс кезі (күн ортасы) қабылданады, себебі бұл кездегі айырма барлық жерде бірдей, ал көкжиекке қатысты Зодиактың таңбасына байланысты ол өзгеріп отырады, барлық елдерде Күн тізбегі (даталар) сәйкес келе бермейді. Осы екі айырманы қосудан алынған айырма - Күннің қозғалысынан және оның аспан ортасынан өтуі арқылы пайда болатын теңсіздігінен, яғни қосатыны немесе шегеретіні бірігіп 8 1/3 уақыттық градусты немесе жарты (0,5) және он сегізден бір (1/18) сағатты құрайды. Мұның себебі: қосу Шаяннан Суқұйғыштың ортасына дейінгі, ал шегеру Суқұйғыштан Таразыға дейінгі аралықта жүзеге асады. Сондықтан, ең үлкен айырма Күннің қозғалысының теңсіздігінен анықталатын 32/3 градусқа тең, ал Күннің аспанның ортасынан өтуі арқылы анықталатын ең үлкен теңсіздік шамамен 42/3 уақыттық градусқа тең. Бүл алынады, егер жоғары көтерілу мен Күннің теңдеуін ең үлкен шама шығатындай етіп қоссақ. Егер осылай болса, онда сөткелер бір-бірінен осы ең үлкен айырманың жартысындай шамаға артық болып 16 2/3 уақыттық градус немесе 1 1/9 сағат шығар еді. Бұл шама Күннің және басқа ғаламшарлардың үлкен өзгерісін тудырмайды. Бірақ Ай үшін әжептеуір 3/5-градусқа жақын айырма алынады. Одан әрі ол [Птолемей] сөткелер мен олардың анықтамалары туралы айтты: сөткелер Күннің немесе түннің ортасынан басталады; олардың бас кезіндегі Күннің орнын табамыз және Күннің орнының нақты және орташа мәндерін аламыз. Онан соң түзу сферадағы екі нақты мәндері аралығындағы жоғары шарықтауды табамыз және айырманы сағатпен өрнектейміз. Егер жоғары шарықтау орташа күн сөткелерінен артық болса, онда осы сағаттарды қосамыз; егер кем болса онда оларды шегереміз, осы алынған нәтиже - нақты

сөткелер болады. Қосылған орташа бірқалыпты қозғалыс жағдайында дәл осы тәсілді қолданамыз. Осы тәсілдің көмегімен біз керісінше уақыттық сөткелерден орташа бірқалыпты қозғалыстың сөткелеріне көше аламыз. Онан соң ол Күннің орнын оның дәуірінің бас кезіне қатысты реттеді. Орташа қозғалыста ол Балықтың (Рыба) 0;45 градусы, ал нақты қозғалыста 3;08 градустары арасында орналасады. Аль-Фараби. Комментарии к «Альмагесту» Птолемея. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 155-212. Аударған Асанов С.

ТӨРТІНШІ КІТАП /124/ Айдың қозғалысын анықтау үшін пайдаланылатын бақылаулар туралы Күн туралы мәселені талқылағаннан кейін Птолемей бірінші кезекте Ай туралы мәселені қарастырды. Айта қарағанда Күнді бақылау оңайырақ, себебі Күннің орбитасымен салыстырғанда Жердің денесін (көлемін) ескермеуге болады және Жер бетінен жүргізілген бақылаудың оның центрінен жүргізілген «шын бақылаудан» [егер оны жүргізу мүмкін болса] өте азғантай шамаға ғана ерекшеленеді. Осы екі бақылаудың арасындағы айырманы параллакс дейді, ол шеттері екі түзудің аятымен шектелген эклиптиканың доғасын көрсетеді, екі түзудің біреуі көзден, екіншісі Жердің центрінен жүргізіледі, олар шырақтың центрінде қиылысады да, одан әрі ажырасып эклиптикаға жетеді. Ай Жерге жақын болғандықтан оның параллаксының шамасы әжептеуір болады. Тек Зенитте (тас төбеде) көзден және Жер центрінен жүргізілген бұл екі түзу бірігеді. Сонымен, Айдың нақты орнын табудың бас кезінен бастап және жалпы мәселені анықтауда бақылау құралдарынан гөрі Айдың тұтылуларына көп көңіл аудару керек: Ай мен Күннің тұтылулары бір-бірінен өзгеше; Күннің тұтылуы бақылаушының орнына тәуелді және бақылау орнының өзгеруіне қарай өзгеріп отырады, себебі Күннің тұтылуы Ай біздің көзімізбен (Жер мен) Күннің арасында орналасқанда жүзеге асады; Айдың тұтылуы оның бетінен Күн жарығының жоғалуы кезінде (Жер Күн мен айдың арасында орналасқанда), яғни жарықты Жер бөгегенде жүзеге асады. Мұны бақылаушыға /125/ тәуелсіз айдың өзі тудырады. Күннің дәйектілігін біз қалаған кез келген уақытта анықтауға болады: Ай тұтылудың ортасында болғанда ол Күнге диаметрлік қарама-қарсы күйде болады. Сондықтан біз

Айдың нақты орнын тұтылудың ортасында анықтай аламыз. Айды толық бақылаудың жолы осылай. Дербес мәселелерді қарастыратын болсақ, олар үшін әрбір бақылауды пайдалануға болатындығын біз төменде көрсетеміз. Айдың /126/ айналымдарының уақытын анықтау туралы Айды бақылау кезінде оның Күнге ұқсамайтындығы және оның қозғалмайтын жұлдыздардың бірде-біреуіне немесе қозғалмайтын нүктеге қатысты бірдей уақыт аралығында бірдей айналымдар жасамайтындығы анықталды. Айдың да теңсіздігі, үдеуі, кемімелі және орташа қозғалысы және оның эклиптикадағы ендігінің әрбір градусында теңсіздігі болатындығы табылды. Бірінші айтылған теңсіздікті өзінің қозғалысы болмайтын эксцентрлік дөңгелекпен түсіндіру мүмкін емес, себебі бүл кезде ең үлкен, ең кіші және орташа қозғалыстардың орындары белгілі болуы тиіс, мұндай теңсіздікті эксцентрлік дөңгелек тудырады, ол бірдей доғаларға қозғалып Айды алға және артқа қарай сүйрейді. Мұндай өзгеріс эпицикл әсерінен болатындығын анықтадық. Дербес жағдайда ең үлкен теңсіздік Күннің айта диаметрлік қарама-қарсы жағдайында және тұтылулар кезінде байқалады; және ол теңсіздік Күннің квадратурасындағы ең үлкен теңсіздіктен кіші. Бұл тек эпициклде ғана болуы мүмкін, ал эпицикл тең эксцентрлі дөңгелекте ғана болуға тиіс. Кейде эпицикл жақын болады, бұл жағдайда оның радиусы эклиптика бойымен қозғалғанда үлкен, кейде эпицикл алыс болғанда бұл оның кіші радиусына әкеледі. Осыдан Айдың эпициклі эксцентрлі деферент бойымен қозғалатындығы келіп шығады, оған эпициклдің қатысы Күннің оның эксцентрлі дөңгелегіне қатысындай, Айдың эпицикл бойынша қозғалысы эпициклдің деферент бойынша қозғалысына ұқсас. Басқаша жағдайда оның қайтып оралу уақытының аралықтары бұрын айтқандай тең болуы тиіс, сондай-ақ Айдың қозғалысы эпициклдің қозғалысынан жылдам емес, басқаша айтқанда оның эпицикл бойымен қайтып оралуы оның теңсіздігінің қайтып оралуы болатын, бойлық бойынша қайтып оралу сияқты болып, яғни орташа қозғалысқа қайтып оралу болар еді. Эпицикл бойынша қозғалыс қалып отырады, яғни егер Ай осы теңсіздікке кайтып оралса және оның осындай теңсіздігі болса, онда қайтып оралу үлкен бойлықта жүзеге асады. Одан әрі, Айдың эклиптикадан солтүстікке немесе оңтүстікке ауытқуы бір орында тұрақты емес, егер олай болмаған болса, онда оның көрінетін қайтып оралуы бойлық және ендік бойынша бір мезгілде болар еді, яғни оның бойлықтағы бір нүктеге қайтып оралуы кезінде ол осы нүктенің ендігіне қайтып келеді. Көлбеу дөңгелек батысқа қарай қозғалғанда оның (Айдың)

қозғалысымен сәйкес келетіндігі анықталды, бұл кезде эклиптика мен көлбеу дөңгелек бір нүктеде тұрақты қиылыспайды, ал олардың қиылысу нүктесі көлбеу дөңгелектің қозғалысымен сәйкес батысқа қарай қозғалады. Егер осы қозғалыстардың бір айналымдағы айырмасының шамасын сөтке мен сағаттарға бөлсе, онда олардың үлестері алынады. Осыдан барып, егер қиылысу қозғалмайтын нүктеде жүзеге асса, онда тұтылу кез келген орындарда болмас еді және кез келген жерде ендіктердің арасындағы айырма болмас еді, ал Айдың қозғалмайтын жұлдыздарға қатынасы, оған жақындайтын және одан алыстайтын ендік бойынша өзгермей тұрақты күйінде қалар еді. Іс солай болғандықтан, Айдың орташа қозғалысын Күн туралы тарауда баяндалған бірінші тәсілмен емес, екінші тәсілмен табуға болады: ол үшін толық айлар және бойлық бойынша бірнеше айналымдарды артық доғамен бірге қамтитын уақыт аралығы алынады, ол қайталанады, сол себепті Ай міндетті түрде әрбір осындай уақыт аралығында бойлық бойынша осындай саны да (доғалар саны сияқты) айналымдарымен қайталанады. Егер артық өсім болса, онда теңсіздіктердің қайталану саны да сондай болады. Егер теңсіздіктердің қайталануы болмаса, онда бойлық бойынша айналымдар ұқсас болмас еді. астрономдар ендік бойынша сол уақыт аралығындағы қайтып оралулар ұқсас болуына күш салды: бұл жүзеге асырылады, егер осы қайтып оралулардың ұштарының (шеткі нүктелерінің) Айдың тұтылуы кезінде ұқсас күйлері болса. Егер ендігінің орны осыдан ерекше болса, онда ол үшін арнаулы бақылау жүргізу қажет. Толық ай айналымдарында айлар толық болмауы тиіс, себебі бір айда Күн де біршама қашықтық жасайды сондықтан Ай Күнді қуып жете алмайды. Сол себепті бүл жағдайда бойлық бойынша қайтып оралуды толық айға толтыру үшін доғаны қосып отыру қажет, әрбір рет қосу барлық уақытта осы доғаға тең. Ертедегі оқымыстылар осы тәсілмен айлар арасындағы уақыт аралықтарын анықтады. Бұл күнге қарама-қарсы түру кезіндегі әрбір қайтып оралу немесе қосылу/127/уақытының көмегімен жүргізіледі. Күнге қарама-қарсылықты пайдалану тұтылу қасиеттеріне байланысты қосылуға қарағанда оңайырақ. Тұтылу қайталанған кездерде айлар белгілі болады. Қайтып оралулардың теңсіздігін толықтыру үшін не істеу керектігін біз жақын арада көрсетеміз. Мұны тұтылу айлардың соңғы күндерімен шектелген жағдайда солтүстіктегі немесе оңтүстіктегі сол бір нүктеде ғана жүзеге асыруға болады, оны тұтылудың шамасы теңескенде және жерден қашықтық тұрақты болғанда, сонымен қатар бастапқы мен қосылудың арасындағы уақыт ұқсас болғанда білуге болады. Егер Ай барлық жағдайда өзінің барлық теңсіздіктеріне қайтып

оралатын болса, онда ертедегі ғалымдар осы уақыттарды қозғалмайтын жұлдыздарға қатысты бақылау арқылы барлық жағдайда уақыт аралығы 6585 1/3 сөткеге тең болып, осы уақыт аралығында ол бойлық бойынша 241 рет айналым жасайды. Осы уақытта Күн өзінің толық айналымдарынан басқа қосымша 10 2/3 градусты өтеді. Осы уақыт аралығында аномалияның 239 қайтып оралуы, ендік бойынша 242 қайтып оралу және 223 ай бойлық бойынша жүзеге асады. Олар мұны «периодтық уақыт» дейді, себебі осы уақыттан кейін алдыңғы жағдайлар қайталанып отырады. Сөткелердің бөлігінен құтылу үшін олар мұны 3 есе көбейтеді; онымен бірге қайтып оралу саны да көбейеді; осыдан шыққан уақытты олар «есептеп табылған уақыт» деп атайды. Гиппарх өзінің және ертедегі вавилондықтар мен халдейлердің (Халдейде /128/ өмір сүрген) бақылауларын салыстырып мынадай қорытынды жасайды: «олардың (Вавилондықтар мен халдейлердің) алған нәтижелері қате, осыны қамтитын уақыт аралығы 126007 сөтке + 1 толық сағатты құрайды» деп жазды. Оның (Гиппархтың) есептеуі бойынша бүл шамамен 4267 ай, 4573 рет аномалияның қайталануы және эклиптика бойымен бойлық бойынша 4612 айналымнан Күнге жетіспейтін 7,5° градусы кем уақытты құрайды. Осы есептеу қозғалмайтын жұлдыздарға қатысты жүргізілді. Оның орташа айы 29 сөтке + 31'+50"+8 терция+20квартқа /129/ тең болды. Ол айды тұтылулардың көмегімен анықтады. Егер ол оларды қосылымдар мен қарамақарсылықтардың көмегімен есептеген болса онда оның алған сандары аз болған болар еді. Бүл тәсілдің мәнісі мынадай: алдымен жалпы саны табылып, ол санға айлардың саны, бөлінеді, нәтижесінде 4267 және аномалиялардың айналым саны яғни 4573 саны шытады; бүл екі сан жалпы бөлгішке бөлінеді одан 251 ай және аномалияның 269 рет қайталануы шығады. Ол ендік бойынша қайтып оралу сандарын бұл тұтылуларда көрсетілген шарттар бойынша таппады, себебі шамалардың жақтары бірдей емес. Егер қайтып оралуды ендік бойынша тапқысы келсе, ол уақыт аралығын 5458 ай және ендік бойынша 5923 айналымнан артық етіп қарастыруы керек. Егер Гиппархтың нәтижелерін қабылдап, осы уақыт аралығын айлар санына бөлсе, онда бір айдағы сөткелер саны шығады. Егер қайтып оралуды градусқа айналдырғаннан кейін барлық сөткелер санына бөлсе бір сөткедегі бойлық және ендік немесе аномалия бойынша алға жылжу шамасы алынады. Бойлық бойынша орташа қозғалыстың градустарын жеңілірек жолмен есептеуге болады. Орташа ай толық айналыммен бірге орташа айдың белгілі бір уақытындағы Күннің жүрген доғасы болып саналады. Толық айналым Күннің доғасымен бірге белгілі, сондықтан Айдың орташа айы да белгілі.

Птолемей Гиппархтың алған нәтижесін қарастырып оны тексергісі келді. Ол Гиппархтан гөрі жеңілірек тәсіл ойлап тауып, оны алғашқыға қосты, Айдың қозғалысынан пайда болған теңсіздікпен байланысқан бұл тәсілді қолданудың қиындығын түсіндірді, егер қайтып оралу уақытының аралықтары бойлық бойынша тең болса, онда Күн мен Айдың теңсіздіктерінің салдарынан айналымдардың бір-біріне ұқсас болуы міндетті емес. Күнге келсек, оның айналымдардан кейінгі жүрген доғал арының тең болуын қамтамасыз ету керек, ол теңсіздіктің әсерінен барлық уақытта байқала бермейді; айлардың арасындағы уақыт аралықтары бір-бірімен сәйкес келуі де мүмкін, Күн мен Айдың өсімдері тең емес. Мысалы, Күннің жағдайында егер уақыт аралығы - жарты жыл болса ол бірінші аралықта Балықтағы орташа қозғалыстың нүктесінен басталатын доғамен қозғалады, олай болса ол жарты жылда эксцентрлік дөңгелектің жартысын және эклиптиканың жартысынан 4;45 градустарға кем аралықты өтеді. егер екінші аралықта ол Девадағы орташа қозғалыстың нүктесінен қайтып оралғаннан кейін қозғалатын болса, онда жарты жыл ішінде ол эксцентрлі дөңгелектің жартысын және эклиптиканың жартысының 4;45 градустарын өтеді; сондықтан ол эксцентрлі дөңгелектің бірдей бөліктерін өтеді, бірақ эклиптиканың бірдей градустарын емес. Дегенмен, Күннің өтуі кезінде ешқандай теңсіздік болмауын немесе сол бір тана теңсіздіктің болуын қамтамасыз ету керек. Бұл үшін Айдың орбитасында Күннің толық айналымдары болуы тиіс, ал оның екі доғаны елестететін бөлшек бөліктері алғашқы айналымдарға апогейден басталатын жартыда және бірнеше уақыт аралығында басталатын жартыда және бірінші уақыт аралығында перигейге дейін және екіншісінде перигейден апогейге дейінгі жартыда қосылуы тиіс, теңсіздік болмауы үшін немесе басы мен екеуінің соңғы уақыт аралықтары теңсіздіктің бір ғана нүктесінде болуы тиіс, ал бүл іргелес уақыт аралықтарында болмайды немесе екі уақыт аралықтарының басы екі түрлі қашықтықтың аяқ жақтарынан бірдей кесінділерде болуы тиіс. Мысалы, Күн бірінші тұтылудың бас кезіндегі уақыт аралығының бір жағында апогей мен перигейден біршама қашықтықта, ал екінші аралықтың соңында ол олардың екінші жағынан сондай қашықтықта болады. Немесе, мысалы, Күн апогейден біршама қашықтықтағы нүктеден бастап қозғала бастайды, айналымдарын апогей маңында аяқтайды және оған апогейден сондай қашықтықта болу үшін оның қозғалысы басталатын бірінші нүктенің қашықтығы сияқты доға қосылады. Перигейге де қатысты осы жағдай байқалады, егер оның тек бір ғана теңсіздігі болса және эклиптика бойымен толық айналымдарға қосылатын доғалар тең болса. Ай үшін де дәл осылай болуы тиіс. Бірдей уақыт аралықтарындағы айдың эклиптикадағы қайтып оралулары тең болуы да мүмкін, бірақ бұдан ол

бастапқы қозғалыс кезіндегі аномалияға немесе сол алғашқы ендікке қайтып келуі тиіс деп қорытынды жасауға болмайды. Аномалияларға келетін болсақ, Күн туралы айтылғандарға ұқсас егер Ай айналымдардан кейін қозғалатын болса, бірінші уақыт аралығынан бастап өзінің шапшаң жылдамдығын баяу жылдамдыққа, ал екінші уақыт аралығында керісінше, баяу қозғалыстан шапшаң қозғалысқа өзгертсе онда біз оның екі тең уақытта эклиптика бойлығымен бірдей доғалар жүргендігін көреміз, бірақ осы әрбір уақыт аралығында ол теңсіздіктің айналымын бітірмейді және бірінші теңсіздікке қайтып оралмайды. Бұл оның екі уақыт аралығының біреуінде де ешқандай теңсіздігінің өсімі болмайтындығының мысалы болады. Егер ол екі уақыт аралығының әрқайсысында өсімнің немесе кемшіліктің сол бір орнынан қозғалып және сол бір орынға қайтып оралып, теңсіздіктің айырмасы екі жағдайда да бірдей болса, сол теңсіздікке қайтып келмегенімен ол эклиптиканың бірдей доғаларын өтеді. Мұнан құтылуға болмайды. Егер доғалардағы қозғалыстың екі басы апогейдің немесе перигейдің екі жағынан бірдей қашықтықта болса, онда біз Күн туралы айтқандай, Ай қозғалысын кейбір нүктеден бастап, айналымын сол нүктеде аяқтап, апогейде немесе перигейде болады, онан соң бірінші сферада қосқан доғаға тең доғаны қосады. Сондықтан бізге ол эклиптиканың бірдей доғаларынан өткендей болып көрінеді, бірақ өзінің теңсіздігіне қайтып оралған жоқ. Ендік туралы бұрын айтылған. Теңсіздік және ендік үшін осы айырмашылықты қамтамасыз ететін шаманы таңдау керек. Теңсіздік үшін бастауларының шама жағынан нақтылы үлкен теңсіздігі болуы қажет. Бүл ұнамдырақ және дұрысырақ, дегенмен оны ескермеуге болады және шындығында мұның жөні бар, егер қашықтықтардың басы -үлкен теңсіздікпен басталып және егер Ай бір уақыт аралығында қозғалысты баяу бастап және оны үдеумен де баяулаумен де аяқтамаса онда ол осы қозғалысты сақтайды. Бүл жағдайда теңсіздік бірінші ширектің немесе дөңгелектің 3/4 - ширегінің соңында айырманың шегі екі есе артқанда ұлғаяды, бүл кезде Ай айтылған екі бастауға қайтып келмейді және бірдей уақыт аралығында бойлық бойынша тең доғаларды өтетіні немесе оның қайтып оралуды аяқтағаны көрінбейді. Егер бір уақыт аралығында Ай орташа қозғалыстан бастап қозғалса және шапшаң қозғалысына жақындаса, ал екінші уақыт аралығында орташа қозғалысынан бастап баяу қозғалысына жақындаса ол нақты орын алады. егер осы қозғалыста ол бірінші ширектің немесе 3/4 ширектің соңында болса онда торт есе көбейеді. Нақтылы теңсіздік мұнан да артық болуы мүмкін, бұл кезде қателер болмауы тиіс. Сондықтан Ай теңсіздіктің қайтып оралуын әлі аяқтамаған кезде ол эклиптиканың бірдей доғаларын өтеді.

Гиппарх Күннің теңсіздігін түзетті, бір уақыт аралығында оның қозғалысын үлкен үдеумен бастатып баяулауына мүмкіндік бермеді, ал екіншісінде керісінше. Ендікке келетін болсақ, жоғарыда айтылғандар түйінді табу үшін қызмет етеді. Бұл тәсілдің жеңіл еместігі анық, дегенмен ол ізделетін шаманы бақылауға мүмкіндік береді, егер ол туралы барлық айтылғандар ескерілсе. Дегенмен, сол тәсілмен бойлық бойынша табылған айлар мен айналымдарды Птолемей ертедегілерге қосты. Олар Гиппархтың тапқандарымен сәйкес келеді; ал олардың тапқан теңсіздігі мен ендігі сәйкес келмеді, ол теңсіздік үшін ұзағырақ және ендік үшін қысқарақ уақыт аралығын тапты. Айдың дербес және бірқалыпты қозғалыстары туралы Бүл қосымшаны зерттеуді бастаудан бұрын Птолемей Айдың бойлық бойынша қозғалыс кестесін, теңсіздік пен ендікті өзінің алған нәтижелері арқылы құрастырды. Ол Айдың бір айналымдағы бойлық бойынша қозғалысының градустарын және Күннің бір айдағы орташа өтетін доғаларын бір айдағы сөткелер санына бөліп бір сөтке үшін шамамен мына сандарды (градустарды) 13; 10, 34, 58, 33, 30, 30 алды, одан әрі ол бұларды сағаттарға және оның бөліктеріне бөлді, теңсіздіктің айналым санын 360-қа көбейтті, оларды градустарға айналдыру үшін, одан шыққанды Гиппарх алған уақыт аралықтарындағы сөткелер санына бөліп орташа қозғалыстың сөткедегі бірқалыпты қозғалысының 13; 3, 53, 56, 29, 38, 39 градустарға тең екендігін алды. Бірақ ол мұны өзінің тәсілі арқылы тексергенде оны аз деп тапты; ол сөткелерде 13; 3, 53, 56, 17, 51, 59 градустары бар екендігін анықтады. Одан соң ол осыларды сағаттарға бөлді. Ендіктер бойынша айналымдар үшін дәл осылай жасап, Гиппарх принципіне сәйкес бір сөтке үшін 13; 13, 45, 39, 40, 17, 19 градустарын алды, ал оның зерттеуінің нәтижелері бұлардан артық болып шықты, атап айтқанда 13; 13, 45, 39, 48, 56, 37, 45 градустарына. Орташа элонгацияның /130/ эксцентрлік дөңгелектегі қозғалыс екендігін көрсетейік. Элонгация - Күннің Айдан алшақтауы, сондықтан олардың орташа қозғалыстарының арасында айырмашылық бар, олар сөткесіне 12; 11, 25, 41, 20, 17, 59 градустарға тең. Мұны сағаттарға және оның бөліктеріне бөліп және толық айлардың санына көбейтіп, атап айтқанда отызға, онан соң египет жылындағы /131/ сөткелер санына бөліп, атап айтқанда 365-ке және осының барлығынан толық айналымдарды алып тастап Птолемей қалған қалдығын тапты. Осыдан соң ол кестені /132/ құрастыру үшін 18-ге көбейтеді, ол біріктірілген үш кестелерден тұрады, олардың біреуінде бір-бірінен 18-і ортақ іргелес жылдар саны, екіншісінде 18-ге дейінгі әрбір жеке жылдар үшін

сағаттар саны, ал үшіншісінде - айлар үшін күндер саны көрсетілген. Әрбір кестенің бір бағанасында -бойлық бойынша, екіншісінде - теңсіздік бойынша, үшіншісінде - ендік бойынша, төртіншісінде - элонгация бойынша қозғалыстар көрсетілген. Әрбір бағана ендік бойынша алты разрядқа бөлінген. Айдың эксцентрлі дөңгелек пен эпициклге қатысты тек бір тана теңсіздігі болатындығы туралы Птолемей әдейі аномалия бойынша қозғалысты анықтайтын тәсілді түсіндіруден бастады. Алдымен ол айтты: Айдың екінші және үшінші теңсіздіктері болғанымен басқалардан өзгеше біз көрсеткендей және біздің көптеген ізашарларымыз пайдаланбаған, олар туралы біз бұл жерде ешнәрсе айтпаймыз, себебі айдың тұтылулары тек қарама-қарсылықта ғана қарастырылады, ал екінші және үшінші теңсіздіктердің бұл жағдайдағы (қарама-қарсылықта) мәндері шамалы тана болады. Екінші теңсіздіктің мәні квадратуралар кезінде ең үлкен болады, ал үшіншісінікі - екі гексагоналдық аспектіде /133/ байқалады. Бірінші теңсіздік - басқа теңсіздіктерсіз де туындай береді, сондықтан ол бірінші деп аталады, ал қалғандары тек бірінші теңсіздік болғанда тана пайда болады. Сондықтан біріншіге басымдық беріледі және алғашқы сөз содан /134/ басталуы тиіс. Осы теңсіздіктің жағдайларынан және одан туындайтын не шығатын бір ғана теңсіздік эпициклдік және эксцентрлік гипотезаларда бірдей болады, сондықтан осы теңсіздікті екі гипотезада да басымырақ негіздеу қажет, яғни эксцентрлі дөңгелек эпициклдің деференті болғанда бұл біз бұрынырақта айтқанның жалғасы болады. Екі гипотезадан да осы мәселе туралы бір ғана нәтиже шығатынына келетін болсақ, аномалия бойынша қозғалыс бойлық бойынша қозғалысқа ұқсамайды, олар бір-біріне ұқсас және сол кезде эпицикл бойынша сипатталатын доғаның эпициклдің толық дөңгелегіне қатынасындай, эксцентрлі дөңгелек бойынша сипатталатын доғаның барлығына қатынасынан кем; біз бұл деферентті концентрлі дөңгелекте қарастырған жоқпыз және концентрлі деферентті эксцентрлік деферентпен алмастырғанымыз жоқ, бұл қажетті түрде бірінші теңсіздікке әкеледі. Осы теңсіздіктің барлық уақытта болуын қамтамасыз ететін шартты болжау керектігіне келетін болсақ, Ай деференттігі эпициклде немесе эксцентрлі дөңгелекте. болған кезде, бірақ эпициклде емес, ол шарт мынадай: эпициклдің деферентпен қозғалуы Айдың эпициклмен қозғалғандағы доғасынан үлкен доға сызуы тиіс және эксцентрлік дөңгелектің ай сызатын (ол онда болған кезде) доғасы эпициклдің доғасына ұқсас болуы тиіс, бүл кезде эксцентрлі дөңгелек Айдың қозғалысына қарама-қарсы бағытта қозғалады

және референт доғасының эпицикл доғасынан артық доғаға ұқсас доғаны сызады, Айдың қозғалысы шығысқа қарай бағытталып әлем қозғалысына қарсы бағытта қозғалатын болады. Екі гипотезада ой қорыту бірдей, егер олардың қатынастары тең немесе өзара ұқсас болса. Алдымен олар тең деп санайық және ABC - центрі D, жарты диаметрі AD және эпициклі EG С - центрінің төңірегіндегі эклиптикалы концентрлі дөңгелек [70-сурет]. Эпициклдің А нүктесінен С нүктесіне дейінгі қозғалысы кезінде шырақ Е-ден G-ғa дейінгі аралықты өтеді; CG және DCE түзулерін жүргіземіз. Ол кезде АС доғасы осы дөңгелектің доғасынан үлкен болады, EG-гe ұқсас. ВС доғасының ABC дөңгелегіне қатынасы EG-нің өзінің дөңгелегіне қатынасындай болсын; DB-ні жүргіземіз. ADB бұрышы орташа қозғалыс пен аномалияның арасындағы бұрыш екендігі анық - ал бұл Ай сонда тұрған кездегі, бірдей уақыт үшін және осы гипотеза бойынша біз болжайтын эксцентрдің қозғалысының шамасы.

CG-гe тең DH-ті алайық, HG-ні жүргізейік; ВС - доғасы EG - доғасына ұқсас болғандықтан BDC - бұрышы оған сәйкес GCE бұрышына тең екендігі анық. Осыдан CGDH-тың параллелограм екендігі анық. Егер Н - нүктесінен HG қашықтықта FG доғасын сызсақ, онда оның эксцентрге қажетті қатынасы болады. ПВҒ түзуі осы доғаны F нүктесінде қисын, онда эксцентрдің FHG сыртқы бұрышы оған сәйкес ішкі HDC бұрышына тең, яғни сыртқы GCE бұрышына, сондықтан GF доғасы EG доғасына ұқсас болады. Сонымен егер шырақ FG доғасын сызса, ал FD түзуі - АВ доғасын немесе EG доғасын, ал оның центрі AC - доғасын сызатын болса, онда ол бір түзудің бойынан көрінеді және бір ғана доғаны сызады және керісінше, ол басқа түзудің бойымен көрінбейді. Ол айтты: егер көрсетілген қатынастар бақылау бойынша ұқсас болатын болса, енді осыны дәлелдейік. НҒК - центрі L эксцентрлі дөңгелек, М - эклиптиканың центрі, ҒК -дөңгелектің (эксцентрдің) қозғалысымен сипатталатын доға, олар эклиптикадан көрсетілген қатынаста доғалар қияды. НМҒ бұрышы эклиптиканың осы градустарына сәйкес келеді; Диаметрдегі Ғ, L және М нүктелерін қосамыз, LK, МН және МК [71-сурет] түзулерін жүргіземіз.

ABC - центрі D концентрлік дөңгелек болсын және оның эпициклінің центрі оның бойымен AC доғасын өтсін, ал шырақ - эпицикл бойымен ҒК-ге ұқсас EG доғасын өтсін; HF-ке ұқсас АВ-ні алайық; AD жарты диаметрін және BD, DG, CG және DCE түзулерін жүргізейік. DCB - үшбұрышындағы DC-ның CG-гe қатынасы KLM үшбұрышындағы LK-нің LM-гe қатынасындай және L мен С бұрыштары тең, себебі GCE және FLK бұрыштарын қосқаннан кейін олар екі тікбұрышқа

толтырылады, онда бүл екі үшбұрыш өзара ұқсас. Сондықтан М бұрышы G бұрышына тең. Бірақ ВС FK - ға, яғни EG-ға ұқсас; сонымен BDC және GCE бұрыштары өзара тең және BD мен GC өзара параллель; BDG бұрышы DGC бұрышына тең, яғни LMK - бұрышына. Соған қарамастан ADB бұрышы айырма ретінде [осы қозғалыстардың] НМҒ бұрышына тең, сонымен толық М бұрышы ADG бұрышына тең. Біздің дәлелдегіміз келгені осы. Айдың бірінші және қарапайым теңсіздігін анықтау туралы Осы жағдайды анықтағаннан кейін Птолемей осы теңсіздікке эпицикл таңдауға көшті. Птолемей Айдың ендігі болмайды, ол эклиптика жазықтығында орналасқан деп ұйғарды. Бұл ендікті есептеуге байланысты туындайтын қиыншылықтарды ескермеуге мүмкіндік береді, кейінірек біз олардың алынатын нәтижелерге айтарлықтай ауытқулар туғызбайтындығын көрсетеміз. Бірақ алдымен ай қозғалатын сферада эклиптика жазықтығында эклиптикаға концентрлі дөңгелектің және оған ендіктің шамасына тең бұрышпен көлбей орналасқан центрі оның (эклиптиканың) центріне сәйкес келетін екінші дөңгелектің және дөңгелектің центрі осы дөңгелекпен эклиптика центрі төңірегінде бірқалыпты қозғалатын, ендік бойынша қозғалысы бойлық бойынша қозғалысынан артық болатын, яғни оның апогейі қозғалатын және оның жазықтығында эпицикл орналасып ол шығысқа қарай қозғалатын көріністі көз алдымызға елестетейік. Ай батыс жаққа қарай қозғалады. Ол солай болғанымен, деферент эклиптика жазықтығында орналасқан деп саналады. Теңсіздіктің шамасына келетін болсақ, алдымен біз осыған пайдалы және теңдеулердің мәндерін анықтауға қажетті алғышарттарды келтірейік. Біз тұжырымдаймыз: егер орташа доға жарты дөңгелектен кіші болса, онда екі теңдеу қосылады немесе екеуі бірінен-бірі азайтылады, онда орташа доғаның өту кезіндегі нақты және орташа доғалардың арасындағы теңдеу алғашқы екі теңдеулердің араларының градуспен анықталатын осы уақыт аралығын шектейтін айырымын береді. Алдымен осыны эксцентрлік гипотеза үшін дәлелдейік. ABCD - центрі Е эксцентрлі дөңгелек [72-сурет] және АЕВ екі центрден бірдей өтетін оның диаметрі, G эклиптика центрі болсын; шырақ D нүктесінде тұрсын, онда оның D градусына сәйкес келетін теңдеуі EDG бұрышы болады. Егер ол С нүктесіне ауысса онда оның орташа қозғалысы осы кездегі CD доғасын сызады, ал С градусына сәйкес келетін оның теңдеуі ECG бұрышы болады; D мен С-ны қосамыз. Осы екі теңдеу әртүрлі деп санайық. EDG бұрышы ECG бұрышынан үлкен болсын.

Біз тұжырымдаймыз: ECD және EDC бұрыштары міндетті түрде тең екендігі анық. Егер біз С бұрышынан GCE бұрышын алсақ және D бұрышына EDC бұрышын қоссақ, онда үшбұрыш CGD-нің GCD мен GDC бұрыштары шығады. EDG бұрышы GCE бұрышынан үлкен болғандықтан, қосылғыш азайтқыштан үлкен. Сонымен GCD мен GDC бұрыштарының қосындысы ECD мен EDC бұрыштарының қосындысынан үлкен. Сондықтан орташа қозғалысқа сәйкес келетін EDC үшбұрышының CED бұрышы нақты (шын) қозғалысқа сәйкес келетін CGD бұрышынан үлкен. Сондықтан EDG бұрышының ECG бұрышынан артық өсімі осы екі доғаның арасындағы көрінетін G бұрышы мен Е орта бұрышының теңдеуі болады. Бүл екі градусқа сәйкес келетін теңдеулердің айырымы. Сонымен, егер С теңдеуінің бұрышы D теңдеуінің бұрышынан үлкен болса, онда G бұрышы Е бұрышынан үлкен, бірақ теңдеулердің айырымы сол бұрынғыдай. Мұны эпициклдік гипотеза үшін дәлелдейік. CGD - центрі Е концентрлі дөңгелек болсын. С мен D - эпицикл центрінің нүктелері, ол С-ден D-ғa қарай қозғалады [73-сурет]. Эпициклдің центрі С-де болғанда шырақ А-да болады, осы кезде С градусына сәйкес келетін теңдеу - СЕА бұрышы; D-ғa көшкенде шырақ В-ға өтеді, осы кезде D - градусына сәйкес келетін теңдеу эпицикл дөңгелегінің көрінетін бұрышы DEB. АЕВ бұрышына қарсы жатқан доға нақты доға болады, мұндағы А - эпицикл С нүктесінде тұрғандағы оның нүктесі, ал В - эпицикл D нүктесінде тұрған кездегі оның нүктесі. CED бұрышына қарсы жатқан доға орташа доға болып есептеледі, CED бұрышы айтылған АЕВ бұрышынан BED бұрышына артық, одан АЕС бұрышын шегереміз. Олардың айырымы екі доғаның бұрыштарының айырымына тең. Бірақ BED бұрышы DEA бұрышынан АЕВ бұрышына үлкен. Бұл градустың теңдеуінің өсімі.

Дәл осылай біз жорамалдаймыз, шырақ алғашқыда В-да тұрып кейіннен перигейге, онан соң апогейге, одан кейін А-ға көшті. Олай болса көрінетін бұрыш ВЕА болады, мұндағы В - эпицикл С нүктесінде тұрған кездегі оның нүктесі. А - эпицикл D нүктесінде тұрған кездегі оның нүктесі. Бүл бұрыш орташа бұрыш DECден ВЕС бұрышына артық, ал орташа бұрыш бұл бұрыштан AED бұрышына артық. Бұл өсімдердің айырмасы АЕВ бұрышы олардың теңдеуі. Оның өзі градустардың екі теңдеулерінің айырымы. Егер бір теңдеу қосылғыш болып, ал екіншісі азайтқыш болса, онда екі доғаның айырымы, яғни осы доғалардың арасындағы теңдеу, осы

теңдеулердің қосындысы болады. Осыны алдымен сол жоғарыдағы дөңгелекте эксцентрлік гипотеза бойынша дәлелдейік. С - перигей мен апогей арасындағы, ал D - апогей мен перигей арасындағы нүктелер болсын [74-сурет]. Көрсетілген доға CAD; С - бұрышы қосылатын, ал D - бұрышы азайтылатын теңдеу. Ал көріну бұрышы мен нақты доға ішкі СЕА мен AED бұрыштарының қосындысы, орташа бұрыш сыртқы СЕА мен AED бұрыштарының қосындысы. Олар С мен D-нің қосындысынан артық, олардың қосындысы теңдеулердің айырмасы.

Осыны эпициклдік гипотеза үшін дәлелдейік. АЕС - теңдеуі азайтқыш [75сурет], ал BED - қосылғыш теңдеуі болсын. Онда CED бұрышы нақты доғаны құрайды, ал АЕВ - бұрышы орташа доғаны, көрінетін доғадан екі теңдеудің қосындысынан кем құрайды. Егер екі гипотезаны бірге қарастырсақ та дәл осындай болады. С - бұрышы азайтқыш, ал D -қосылғыш бұрыш болсын [76сурет]. Бұрыштардың сызықтарын қарама-қарсы бағытта орналастырайық, оны жеңіл жасауға болады.

Біз тұжырымдаймыз: біз келтіргендердің барлығынан мынандай қорытынды шығады, егер кейбір доға қосылғыш теңдеуді жасайтын болса, онда оны толық дөңгелекке дейін толықтыратын доға дәл осындай, бірақ азайтқыш теңдеуін жасайды. Егер осы теңдеулер бір типті болса онда біз эксцентрлік гипотеза жағдайындағыдай сурет жасаймыз. Біз тұжырымдаймыз: егер шырақ CABD-дан өтіп D-ғa қайта оралса, онда көрінетін түзу CGA бұрышын жасайды, екі түзу және бұрыш BGD; орташа доға DEA бұрышын, екі түзу бұрышты және BED бұрышын, яғни CGA бұрышына С бұрышы қосылған, екі тік бұрыш және BGD бұрышы алынған D бұрышын құрайды. Сонымен алдыңғы бұрыштан С бұрышы азайтылады және оған G бұрышы қосылады. D-дан С бұрышын шегеріп, нәтижесінде алынған бұрыштың, D бұрышының С бұрышымен салыстырғандағы өсімі екендігін байқаймыз. Орташа доға DC доғасынан осындай бұрышқа артық. Екі теңдеу де біртекті болғандағы эпициклдік гипотезаға келетін болсақ, онда егер эпицикл D-дан С-ға дейін G бағытымен қозғалса, ал шырақ А-дан В-ға [77сурет] дейін, онда көрінетін бұрыш пен НҒК бұрышы белгілі және орташа бұрыш пен LMH бұрышы белгілі; сондықтан орташа СЕВ бұрышына артық және AED бұрышына кем; олардың арасындағы айырма ВЕА бұрышы.

Суретте екі теңдеу де әртекті болғандықтан, олардың қосындысы да әртекті, бірақ қо сылатын теңдеу. Эпициклдік гипотеза жағдайында, теңдеулер қарама-қарсы болғанда LMN-ді анықтағаннан кейін DEC бұрышындағылар, HFK-ні анықтағаннан кейін АЕВ-да қалған DEB мен АЕС екі бұрышын қоса алғаннан кіші. Эксцентрлік гипотеза жағдайында да дәл осындай: А жағындағы екі G бұрышы А жақтағы екі Е бұрышынан екі бұрыш - С мен D-нің қосындысына кіші [78 сурет].

Осыларды анықтағаннан кейін ертедегі әрбір үш тұтылу мен қазіргі тұтылулардағы екі теңдеудің орнын айқындаймыз. Эксцентрлі дөңгелек EGH D нүктесінің төңірегінде сызылған және эпициклдің центрі Е [79 сурет] болсын; центр Е нүктесінде болғанда шырақ Дева жұлдызының 24;30 градустарында, одан кейін ол айналымды аяқтайды, центр Н арқылы өтіп G-ға жетеді. Шырақ А-дан перигейге, онан кейін Деваның 53;45 градустарындағы В-ға қарай қозғалады. Ол кезде теңдеу қосылады, сөйтіп ADB белгілі болады. Одан әрі қарай центр G-дан Е-те, Н-ке қарай қозғалады, онда шырақ В-дан А-ға қарай С-ға жеткенше қозғалады, бұл 3; 15 Балықтың (рыбаның) градустарында.

Центр GDH бұрыштарының екі тік бұрыштан артық өсіміне қарай қозғалады. Нақты BDC-ның екі тік бұрыштан үлкен өсіміне қарай қозғалады. Орташаның өсімі CDH бұрышы. Егер HDB бұрышын GDB бұрышынан шегерсек, орташаның өсімі, яғни азайтылатын теңдеу - BDH бұрышы қалады. АСВ доғасының қосылатын теңдеуі бар, ол қарастырылып отырған CKD айырымына орташа мен нақтының арасында жетеді, сондықтан оның қалдығы, яғни АВ доғасы шамасы сондай азайтылатын теңдеуді иемденеді, біз көрсеткенге байланысты. ВАС доғасының азайтылатын теңдеуі 5;37 градустарға ВА доғасының теңдеуінен кіші, яғни АСВ доғасының қосылатын теңдеуінен, оның шамасы 3;24 градустарға тең. Сондықтан AC доғасы қосылатын және азайтылатын теңдеулердің айырымына (өсіміне), яғни BEGге тең, қосылатын теңдеуді иемденуі тиіс, себебі егер шырақ А-да тұратын болса, ал эпициклдің центрі біз қалаған кез келген, мысалы, G нүктесінде болса, шындығында да солай, онда бұл жерде айырмашылық жоқ, нақтысы ADC-ның қалған бұрыштарынан өтеді, эпициклдің центрі G-да болғанда, ал орташасы ADH-тың қалған бұрыштарынан өтеді. Нақтының өсімі ADC

бұрышына тең. Бұл АСВ теңдеуі мен ВАС теңдеуінің айырымы. Осы бұрышқа нақты теңдеу орташадан артық. Енді осыған сәйкес жағдайларды басқа үш тұтылулар үшін көрсетейік. Еэпициклдің бірінші тұтылу кезіндегі орны [80 сурет], және Ай А-да 43; 15 градустарда Шаянда болсын. G-дағы центрлі Н арқылы жылжымасын, центр G-ға жеткенде шырақ В-да 25; 10 градустарда Овенде болады; осы кезде орташасы қалған EDG бұрышын жасайды, ал нақтысы - орташадан GDB мен ADE бұрыштарының қосындысына тең қалған ADB бұрышын жасайды. Одан ары қарай центр G-дан Н-қа қарай жылжиды, осы кезде шырақ С-да 24;05 градустарда Девада болады.

Осы кезде орташа толық GDH бұрышына жылжиды, нақтысы BDA мен ADH бұрыштарының қосындысына тең бұрышқа жылжиды, ол орташадан BDG - бұрышына артық және BDH бұрышының бөлігі болатын, яғни BDG-нің де бөлігі болатын CDH бұрышына кем. Сондықтан олардың арасындағы айырма, яғни BDC бұрышы, қосылатын теңдеу болады. Бірінші теңдеу екі бұрыштың - ADE мен GDB-нің, яғни ADG мен GDB-нің қосындысынан тұрады. Сондықтан осы теңдеу мен бірінші теңдеудің айырымы GDA бұрышы да қосылатын теңдеу болады, себебі егер екі центр мен шырақ қозғалатын болса және шырақ А-да тұрса, центр мысалы F нүктесінде тұрғанда, онда F сонда болуы тиіс, ADG доғасының D центріндегі бұрышының ADB доғасының бұрышына, эпициклдің центрі мен шырақтың сол бірдей уақыт аралығындағыдай, центрдегі екі қозғалыстың бір айналымдағы қатынасындай немесе олар бірдей уақыт аралықтарында жүрген кез келген екі доғаның қатынасындай болады. Центр жарты дөңгелектен артық емес (кем) доға жүрсін және F-G тұрған жерде болсын; онда центр HDG бұрышын жүреді, ал көрінетін CDA бұрышы орташадан екі бұрышқа -CDH пен GDA - ға артық болады. Егер ол жарты дөңгелектен артық доға жүріп мысалы Е-ге жетсе, онда орташа екі бұрыштың HDG мен GDE - нің қосындысы болады, ал көрінетін бұрыш олардан бұрынғыдай бұрышқа артық болады. Осыдан мынадай қорытынды шығады: егер қосылатын теңдеудің кез келген доғасының бөлігі осы теңдеуден біршамаға артық болса, онда оның қалған бөлігі теңдеудің қалдығынан артық болады. Осылай дәлелденді, егер қосылатын теңдеудің доғасының кез келген бөлігі осы теңдеуден біршамаға кем болса, онда оның қалған бөлігі теңдеудің қалдығынан қосылатын және азайтылатын теңдеулердің айырымына (өсіміне) артық болады.

Енді біз апогей тек АВ доғасында ғана орналасады деп тұжырымдаймыз. Егер доға ВСА қосылатын теңдеуінен артық болса, онда доға АВ - азайтылатын теңдеуінен сондай шамаға артық болады. Мұны жоғарыда айтылғаннан жеңіл дәлелдеуге болады. Енді кітапқа қайта оралайық. Птолемей үш ертедегі және үш өз дәуіріндегі тұтылуларды пайдаланып, олардың негізінде қазіргі геометриялық жолмен Айдың қозғалыс теңсіздігін есептеді. Ертедегілерге келсек, Күн олардың біріншісінің ортасындағы уақыт аралығында Александриядағы нақты уақыт бойынша дәуірдің басына сәйкес 24;30 градустарда Балықта (Рыбада) болды. Мұны тарихи жазбалар бойынша, жылы, айы, күні және сағаты белгілі Вавилонда болған осы тұтылудың уақытына қарап анықтауға болады. Вавилон мен Александрия аралығының бойлықтарының айырымы белгілі, сондықтан осы тұтылудың Александрияда болған сағаты да белгілі. Ол (Птолемей) Күннің Александрияға қатысты орташа қозғалысын алды, солайша оның сондағы өлшеулері жүргізілді, кейіннен оны түзетті. Екінші тұтылуға келетін болсақ, екінші тұтылудың ортасында, сол өлшеулерге сәйкес Күн 30,5° пен (1/4°) Балық (Рыба) градусында болды; Сондықтан Күн мен Ай толық айналымдарын шегеріп тастағаннан кейін 349°15' жүрді, осы тұтылулардың арасындағы уақыт тарихи жазбаларға сәйкес - 354 сөтке және 2,5 абсолюттік сағатқа немесе егер сөткелердің теңсіздігінің түзетулерін ескерсек, екі сағат отыз торт минутқа тең. Үшінші тұтылудың ортасында Күн шамамен Деваның 3/4 - градусының маңайында болды; сондықтан екінші тұтылудан үшінші тұтылуға дейінгі айырмашылық 169°30', ол 176 сөтке және 20,5 абсолютті сағатты немесе түзетуімен 20 және 1/5 сағат бөлігін құрайды. Сондықтан Гиппархтың пікірі бойынша, алғашқы кезде Ай [толық айналымдарды шегеріп тастағанда] 306° және 25' аномалия бойынша қозғалады, ал бойлық бойынша - 345° және 51' аралықты өтеді. Егер түзетілген қосылғыштың және орташа доғаның шамасы белгілі болса, онда бақылау бойынша алынған доғалар арасындағы айырма доғалардың шамасын беретін теңдеу болады; ол екі доғаның араларындағы айырмаға немесе осы теңдеулердің қосындысына, біз жоғарыда дәлелдеген екі гипотеза үшін тең. Егер бақылау бойынша анықталған орынды осы уақыт аралығындағы орташамен салыстырсақ, онда эклиптика бойынша қосылатын 3;24 градустардағы теңдеудің доғасы шығады, ал екінші уақыт аралығындағы

аномалия бойынша өсім 150;26 градустарға, ал бойлық бойынша 170;07 градустарға, ал теңдеу - 37 шегерілетін минутке тең болады. Птолемей эклиптиканың центрінен шығатын Айдың эпициклдегі немесе Айдың эксцентрдегі нүктесіне, үш тұтылу нүктесінен ең алыс нүктесіне дейін сызу қиятын барлық доғаны көрсететін суретті келтірді. Тұтылудың үш нүктесінен өтетін доғадан ол доғаны қиып, дәлелдейді, эпициклдік гипотеза бойынша эпициклдің центрі осы қиылған доғаның хордасында орналаса алмайды. Бұл жағдай оны концентрлік дөңгелек пен эпицикл диаметрлерінің арасындағы қатынасты есептеуге әкелді. Осы суреттегі көзден шығатын Айға дейінгі эпициклді толық кесетін түзуді анықтағаннан кейін, ол оның бөлігінің эпициклдің хордасы болатындығын дәлелдеді. Концентрлі дөңгелек болсын және онда екі суреттің біреуінде эпицикл, ал екіншісінде эксцентрлі дөңгелек бар. А - Айдың бірінші тұтылудың ортасындағы орны, ол А-дан С-ға қарай қозғалады, айналымдарын аяқтап Вға жетеді; онан соң В-дан ары қарай қозғалып айналымдарын аяқтап, үшінші тұтылудың С-нүктесіне жетеді. АСВ мен ВАС Гиппарх тәсілі бойынша белгілі, олардағы азғантай өзгеріс осы доғалардың жылжуынан пайда болған, уақыттың өзіне эсерін тигізбейді. Егер доға АСВ 3 ;24 градусқа және АВ-ға толық айналымға толтыратын қосылғыш теңдеу болса, онда сол шамаға азайтылатын болса, онда АС доғасы азайтылатын теңдеудің шамасынан азғантай шамаға ВА доғасына ерекшеленетін, яғни 3;24 градустарға, атап көрсеткенде 37 минутке қосылатын теңдеу болады; және сондықтан ол 37 минутсіз 3°24'-ке тең. Осының шамасын суреттен біліп, көрсетілген қатынасты білдіретін, азайтудың көмегімен қосылатын AC теңдеуінің мәнін 2°47'-ті табуға болады. Егер осыған 37 минутты қоссақ, онда 3;24 градусы шығады. Одан әрі түсінікті, перигей ВАС доғасында тұрған жоқ, себебі ол қашықтығы бойынша аз, бүл басқа қашықтықта жүзеге асады. Эклиптиканың центрі, яғни D, эпициклдік гипотеза бойынша сыртта, ал эксцентрлік гипотеза бойынша іште болсын. Оны төменде екі суретте көрсетілгендей [81 сурет] етіп үш нүктемен DB, DA және DC түзулерімен қосамыз. Эксцентрлік гипотезаның суретінде BD-ні Е-ге дейін созамыз, ал эпицикл гипотезасының суретінде Е нүктесі дөңгелектің BD түзуімен қиылысуын көрсетеді; Е - нүктесінен CD-ға ЕН және AD-ға EG, ал С-дан АЕ-ге CF перпендикулярын түсіреміз. Эпициклдік гипотеза бойынша ВА-ның эклиптикадан керетіні белгілі, сондықтан BDA бұрышы белгілі. Сондай - ақ эксцентрлік гипотеза бойынша ВА эклиптикадан екі тұтылудың аралығындағы белгілі орындарды кереді; сондықтан BDA бұрышы белгілі. D бұрышы тік,

сондықтан GDE үшбұрышының бұрыштарының [және қабырғаларының] қатынастары белгілі, оның қабырғалары да белгілі. АВ доғасынан ВЕА бұрышы белгілі, сонымен қалған AED бұрышы белгілі.

G бұрышы тік, сондықтан AEG үшбұрышының бұрыштары мен қабырғалары белгілі. ВАС доғасы белгілі болғандықтан эпицклдік гипотезаның теңдеуінің доғасы керетін BDC бұрышы белгілі. Оған эксцентрлік гипотеза бойынша қалпына келтірілген екі қашықтық жатындағы сәйкес бұрыш белгілі. Қалтан EDH бұрышы да белгілі. Сондай-ақ Н - тік, сондықтан DEH үшбұрышының бұрыштары мен қабырғалары белгілі. Егер доға бойынша екі белгілі ВЕА мен АЕС бұрыштарын шегерсек, онда қалған СЕН бұрышы да белгілі болады. СЕН бұрышы тік, сондықтан EHD тік бұрышты үшбұрышының бұрыштары мен қабырғалары екі гипотеза бойынша да белгілі. Біз екі үшбұрыштың FCE мен ACF-тің бұрыштары мен қабырғаларының қатынастарын жеңіл табамыз. AC - түзуінің барлық белгілі түзулерге қатынасы белгілі болады. Оның диаметрге қатынасы белгілі, сондықтан СЕ түзуінің диаметрге қатынасы да және СЕ де белгілі болады. Онда барлық ВАС доғасы мен BE хордасы да белгілі болып оның барлық түзулерге қатынасы да белгілі болады. BE түзуі диаметрдің 117 бөлігіне 37 минутына және 32 секундына тең болады. Сондықтан ол диаметрден кіші, ВАСЕ жарты дөңгелектен кіші, эпициклдің центрі ВАСЕ-де тұрған жоқ. К - нүктесі эпициклдің центрі болсын [82 сурет]; DMK-ні L-гe дейін созайық, L - апогей, М - перигей. Егер DL-дің DM-ге көбейтіндісіне, КМ-нің өзіне-өзінің көбейтіндісін қоссақ, онда KDнің өзіне-өзі көбейтіндісі шығады. Сонымен KD белгілі және DL-де белгілі болады. Есептеу бойынша КМ-нің KD-ға қатынасы 5;13-тің 60-қа қатынасындай.

К-дан ВЕ-ге KN перпендикулярын түсіріп оны Х-қа дейін созамыз. Ол BE доғасын және BE хордасын тең екіге бөледі. KD мен ND - шамаларын тауып және N бұрышының тік бұрыш екендігін дәлелдеп, KND үшбұрышының бұрыштарын тез арада анықтауға болады. Сондай-ақ NK мен КВ-ні тауып және N бұрышының тік бұрыш екендігін дәлелдеп, сен KBN үшбұрышының бұрыштарын табасың. Осыдан барып сен екі К бұрышын, яғни толық DKB бұрышы мен қалған BKL бұрышын табасың. Сондықтан сен BL доғасын анықтайсың, онан кейін оны жарты дөңгелекке дейін толтыратын MB доғасын анықтайсың. Есептеу бойынша BL доғасы, яғни екінші тұтылудың ортасындағы

Айдың перигейге дейінгі қашықтығы, 12;24 градустарға тең, ал KDB бұрышы - 59 минуттарға тең; бұл эклиптикадан керілетін LB доғасының шамасы. Осыдан барып екінші тұтылудың ортасы 14;44 градустарында Девада, ал түзетілгені, біз айтқандай, 13;45 градустарында Девада болады. Қазіргі кездегі үш тұтылуды қарастырып, ол оның біріншісінде Күннің орны 13; 15 Телец градустарында, ал Ай оған қарама-қарсы Овенде болатындығын, үшінші тұтылуда - 14;30 Балық градустарында, ал оған қарама-қарсы Девада болатындығын көрсетті. Бірінші тұтылу мен екінші тұтылудың арасында бір египет жылы, 166 сетке және 23, 5/8 тура абсолюттық сағаттар немесе 23,5/4 сағаттар өтті, ал осы тұтылулардың ортасы қиған доға 16; 55 градустарды құрады. Екінші және үшінші тұтылулардың арасында бір египет жылы өтті, 137 сөтке және 5,5 тура абсолюттық сағат, ал қиылған доға 13 7; 5 5 градустарды құрады. Екінші тұтылуда 7 ;42 градустарға азайтылатын теңдеу бар, сондықтан Айдың осы уақыт аралығындағы орташа қозғалысы толық айналымдарды шегергеннен кейін 169;37 градустарға тең, ол түзетілгендегіден осы шамаға артық. Бірақ толық айналымдардан кейінгі доғаның аномалия бойынша өсімі 110;21 градустарға тең; бұл шама эклиптикадағы теңдеудің шамасын кереді. Үшінші тұтылудың 1;21 градусқа қосылатын теңдеуі бар, себебі Айдың орташа қозғалысы толық айналымдарды шегергеннен 137;32 градустарға тең, бүл түзетілгеннен артық, оған сол шаманы қосады, сонымен аномалия бойынша қозғалыстағы толық айналымдардан кейінгі доға осы уақыт аралығында 81;36 градустарды құрайды. Осы шама теңдеудің айтылған шамасын кереді. Егер біз осы үш тұтылуларға бірінші үш тұтылудағы сияқты сурет салатын болсақ, онда АБСЕ доғасы жарты дөңгелектен үлкен болатындығы көрінеді және эпициклдің центрі сол доғада жатады; түзулердің және бұрыштардың қатынастары оңай анықталады [83 сурет]. Алдымен СЕ, ВС және BE доғаларының шамалары табылады, олардан апогейдің ВА доғасында жататындығы айқындалады, себебі АВ доғасы 7;42 градустарға кіші және ол 110;21 градустарға тең. ВС доғасы теңдеуден 1;21 градусқа артық және ол 81;36 градустарға тең. Сондықтан СЕА доғасы қалған градустарға артық, яғни 7;21 градустарға. Сонымен екі доғаның - ВС және СЕА әрқайсысы қосылатын доғаны иемденеді және сондықтан апогей оларда тұрмайды, АВ-да қалады. Есептеу бойынша АЕ түзуі 88;40;17-ге тең

Егер бұл анықталса, онда дәл осылай суретте бірінші үш тұтылу үшін, осы тәсілмен KM түзуінің KD түзуіне қатынасының шамасы анықталады; есептеу бойынша ол 5;14-тің 60-қа қатынасындай.

Осындай суретте [84 сурет] сондай тәсілмен AL доғасының шамасын анықтауға болады; есептеу бойынша ол 5;43 градустарға тең. Қалған LB доғасы, яғни Айдың екінші тұтылу кезіндегі қашықтығы, 64;38 градустарды құрайды, егер АВ доғасы 110;21 градустарын қамтыса. LDB бұрышы, орташа қозғалыстан алынатын, 3;20 градустарға тең. Сондықтан Айдың орташа орны бұл кезде Овеннің /136/29°30'-да орналасады. Айдың бойлық бойынша бірқалыпты қозғалысы мен аномалияларды түзету туралы Егер бұл анықталған болса, онда Айдың орташа қозғалысы мен аномалиясын түзетуге көшеміз. Мұны жеңіл іске асыруға болады, егер ертедегі тұтылулар мен қазіргі тұтылулардың уақыт аралығы табылған болса, мысалы ертедегі екінші тұтылу мен қазіргі екінші тұтылудың уақыт аралығын табу арқылы. бүл уақыт аралығы 854 египет жылдары мен 23 1/3 сағатқа тең. Осы уақыт аралығындағы бойлық бойынша толық айналымдарға 224;46, ал аномалия бойынша - 52; 31 градустары қосылады. Бұл алдыңғы принциптерден бойлық бойынша шығатын нәтижелермен сәйкес келеді,бірақ олардан аномалия бойынша 17 минутқа артық. Егер осыны жоғарыда айтылған уақыт аралығына бөлсек, онда бір Күннің үлесі шығады, оны бір күннің орташа қозғалысынан шегеру қажет; ол 11 кварт 46 квинт және 39 секстке тең. Түзетілген аномалияның күндізгі қозғалысы 13; 3; 53, 56, 17,51,59. Айдың бойлық бойынша бірқалыпты қозғалыстарының дәуірі мен аномалиялары туралы Одан әрі қарай ол [дәуір бойынша орташа қозғалыстың] онымен ертедегі екінші тұтылудың уақыт аралығын осылай анықтау арқылы, ол Күн жағдайында істегендей, Набонассар /137/ дәуірін алды. Айдың ендік бойынша қозғалыстары мен олардың дәуірін түзету туралы Птолемей ендіктің жағдайларын анықтауға көшкенде айтты: мұнда біз Гиппархтың жолын қудық, бізде Айдың ендігіне қатысты қате шықты; Гиппархтың пікірі бойынша, Ай өзінің орбитасына шамамен 650 рет сыяды, ал Жер көлеңкесінің дөңгелегіне, екі қосылудағы орташа қашықтыққа жанасатын 2,5 есе сыяды. Осыны шамалап және ендіктің шамасын тауып біз дербес тұтылулардың шамалары туралы жорамалдадық және Айдың тұтылуы

басталғаннан кейін шекараларын анықтадық. Осыдан біз тұтылудың орта кезеңінде қараңғыланған бөліктің шамасын анықтау арқылы және оның ендігін осы тұтылудың белгілі түйіндегі /138/ орташа уақытын анықтау арқылы ендік бойынша орташа қозғалысты табамыз, ол үшін тұтылу шамалары бірдей және ендіктері белгілі тұтылулардың уақыт аралығын аламыз, себебі тұтылу ұзақтығы мен бойлығы белгілі. Айтылған тәсілдің көмегімен бақыланатын орташа қозғалыс бойынша біз түзетілген қозғалыстың артық теңдеуін табамыз. Орташа қозғалыстың көмегімен біз ендік бойынша қозғалыс дәуірін және толық айналымдардан кейінгі артық доғаны табамыз. Ол айтты: қазіргі кезде біз сол принциптерді қолданудан құтқаратын қазіргі заманғы тәсілдерді пайдаланамыз. Ендік бойынша орташа қозғалысты түзеткеннен кейін, кері қарай әрекет жасап, біз ендік бойынша қозғалысты жаңадан түзеттік, онан соң сол принциптерді түзеттік, олардың жарамсыздығын дәлелдедік. Біз қолданған тәсілге келетін болсақ, оның мәнісі мынада: қараңғылық шамасы бойынша, тұтылудың ортасын өту уақыты бойынша және қабырғасы бойынша тұтылулардың арасындағы уақыт аралығын аламыз. Егер мүмкіндік болса, онда біз бүл тұтылуларды бір ғана түйіннен аламыз, онда осылай жасаймыз, егер мүмкін болмаса, оларды екі түйіннен аламыз. Біз білеміз, егер тұтылудың көрсетілген қасиеті болса, онда Ай өзінің ендігіне дәл қайтып келеді, себебі екі тұтылу тек бату шамалары бірдей болғанда ғана ұқсас болады. Егер бір тұтылу кезінде Ай Әлемде (ғарышта) Жерге жақын орналасса онда көлеңкенің дөңгелегі бұл кезде кеңірек болады, ал екінші тұтылуда - керісінше болады. Ол жақынырақ орналасса, ол біршама уақытқа қараңғыланады және бірқатар ендікті иемденеді, яғни эклиптикаға дейінгі қашықтықты, ал екінші жағдайда ол оның ендігі сол ендіктен кіші болғанда ғана қараңғылана бастайды. Дегенмен бұл жүзеге асса, онда тұтылу ортасының уақыты да, шығудың басы мен көрінудің уақыт аралықтары да тең болмайды. Егер бұл уақыттар қараңғылану шамалары ұқсас болғанда бірдей болса, онда екі тұтылудың шамамен бір кесіндіде /139/ ғана жүзеге асатындығы анықталады. Ол айтты: біз қарастыратын бақылаулардың бірінде эклиптиканың бір жағындағы бір түйінде екі ұқсас қараңғылық болды; түйін төмен түсетін /140/ оңтүстік жақта болды, шамасы диаметрдің 1/6 бөлігіндей, яғни екі саусақ шамасында /141/. Осы тұтылулардың біріншісі Вавилонда, ал екіншісі Александрияда бақыланды. Олардың арасы 615 египет жылы, 133 сөтке, 21,5 және 1/3 теңелу күнінің сағатына тең. Қашықтыққа келетін болсақ ол орташада алынғанға жақын болды. Даталар мен дәуірлерден табылды, оның біріншісінде Айдың эпициклдің апогейінен қашықтығы 100:19 градустарға, ал

екіншісінде оның апогейдің екінші жағынан қашықтығы 251:53 градус болды. Оның түзетілген орны бірінші жағдайда орташадан 5°-қа кіші, ал екіншісінде - 4°53'-ке артық. Ол түзетілген қозғалыс бойынша оз ендігіне қайтып оралды, ал орташа бойынша толық айналудан екі түзетудің қосындысына, яғни 9°53' - ке қалып отырды. Гиппарх принципі бойынша, бірге алынған екі теңдеу де осы уақыт аралығында осы шамадан 9' минутке артық болуы тиіс, сондықтан олардың қосындысы шамамен 10°2'-ке тең болды. Сондықтан ендік бойынша қозғалыс оның принциптері бойынша Птолемей тапқандағыдан кіші. Птолемей осы 9 минутті уақыт аралығына бөліп және оған бір сөткенің ендік бойынша орташа қозғалыстың сөткесіне қатысты үлесін қосты, Гиппархтың жазуы бойынша. Осы қосылғыштың шамасы 0;0,0,0,8,39,18. Птолемей барлық көрсеткіштері жағынан бір-біріне сәйкес келетін түйінінен басқа екі тұтылуды /142/ келтірді: біріншісі - бүл үш Вавилон тұтылуларының біреуі - көтерілу түйінінде болған, екіншісі - төмен түсу түйінінде болған; оның екеуі де оңтүстіктік, яғни Ай оңтүстік жағынан диаметрдің V4 шамасына тұтылды, яғни үш саусаққа. Осыны анықтау үшін ол [85 суретті] салды. Ол диаметрі АС көлбеу ABC дөңгелегін салды, мұндағы A - көтерілетін түйін, С - төмендейтін түйін, В - солтүстік шеті.

Бірінші тұтылу кезінде Ай D-да тұрды, өйткені тұтылу оңтүстік жақта болғанда Айдың центрі эклиптиканың солтүстігінде болады. Екінші тұтылу кезінде ол Еде болды. AD мен СЕ бір-бірімен өзара тең болуы тиіс. Егер біз мұны әлі білмеген болсақ, онда оның датасын дәуір бойынша және Айдың орташа қозғалысы мен аномалиясын бойлық бойынша есептеуге болады. Оның аномалия бойынша қозғалысынан бірінші тұтылу кезінде Айдың эпициклдің апогеясына дейінгі қашықтығы 12;24 градустарды құрайды. Онан кейін оның түзетуінің шамасын анықтап, ол шаманың орташадан 59'-ке кем болатындығын табуға болады. Осы оның түзетуі. Айдың эпициклдің апогейінен қашықтығы 2;45 градусқа тең, ал шегерілетін түзету - 13 минут. Бірінші тұтылу кезіндегі Айдың ортасы G-де болсын, онда DG - шегерілетін түзету болады; ал екіншіде - Н-та болғанда. ЕН - шегерілетін түзету болады; олардың шамалары белгілі. Тұтылулардың уақыт аралығы белгілі - ол 218 египет жылына, 309 сөткеге және 23 ½ теңелу күніндегі сағатқа тең - онда Айдың бойлық бойынша орташа периодты қозғалысының толық айналымдарынан артылған доға белгілі. Есептеу бойынша ол 160°4'-ті құрайды. Оған бірінші тұтылудың түзетілімі қосылады да одан екінші тұтылудың түзетілімі шегеріледі. Алынған DE доғасы жарты дөңгелектің

ортасында болады, онда қалған бөлігі екі жартыға бөлінеді. Егер екі түйінге дейінгі қашықтық бірдей болса, онда қалған доғаның бір жартысы AD, ал екіншісі - СЕ доғасы. Есептеу бойынша олардың әрқайсысы 9;35 градустарға тең. Екі тұтылудың орташа қозғалыстарының AD және СН доғалары анықталады, олардың солтүстік шеті мен ортаңғы нүктесіне дейінгі қашықтықтары табылады. Осыдан ол Набонассар датасы үшін Айдың дәуірін оның ендігі бойынша анықтайды. Одан әрі бірінші түзету /143/ үшін Птолемей кестені келтіреді, ол кестеде алдымен әрбір алты градус және әрбір үш градус сайын аномалиялар бойынша градустар келтірілген; бүл Күн жағдайындағы сияқты екі бағанада жасалған. Үшінші бағанада ол қосылатын және шегерілетін түзетулерді келтіреді, онда түзетудің қанша градустары аномалия градустары үшін алынған, әрбір алты [немесе үш] градусқа сәйкес келетіндігін көрсетеді, ал оны қай кезде қосып қай кезде шегеретіндігі туралы мәселе - түсінікті /144/. Гиппарх қабылдаған Ай теңсіздігінің шамаларының айырымы ол іске асырған принциптерге тәуелсіз есептеу салдарынан пайда болатындығы туралы Одан әрі Птолемей аномалия бойынша қозғалыс шамасы мен эпициклдің жарты диаметрінің деференттің жарты диаметріне қатынасының шамасын анықтау кезіндегі Гиппархтың жіберген қателерінің себептерін анықтауға көшті. Эксцентр гипотезасы бойынша ол 6 ¼ :60-қа қатынасына тең болуы тиіс, ал эпицикл гипотезасы бойынша 4°46':60-қа қатынасына тең. Сондықтан олар үшін ең үлкен түзетудің шамасы әртүрлі болады, бірінші жағдайда ол 5;49 градустарға, ал екінші жағдайда - 4;34 градустарға жетеді. Птолемейдің зерттеуі бойынша екі жағдайда да бұл қатынас 5;15-тің 60-қа қатынасына тең және олардың ең үлкен айырмасы 5°-ты құрайды. Ол еске түсірді, бұл Гиппархта қате принциптердің себебінен туындаған жоқ, ол қате есептеудің себебінен пайда болды. Онан соң бұның қалай болғандығын көрсетті және айтты: бұл жерде бір ғана жағдай емес әртүрлі жағдайлар әсерін тигізді: бақылау кезінде немесе дәуірлер мен даталардың уақыт аралықтарын есептеу кезінде қате жіберілді. Ол айтты: Гиппарх Вавилонда байқалатын үш тұтылуды қарастырады және олармен бірдей іс жүргізді, біріншісі үшін ол датаны, оны мен дәуірдің басының уақыт аралығын және Вавилон мен Александрияның уақыттарының айырмашылығын тапты және тұтылудың ортасы Александрияда қай сағатта басталатындығын анықтады. Осыған сүйеніп ол Айдың орташа және түзетілген орнын анықтады. Осындай жолмен ол екінші тұтылуды да қарастырды, сөйтіп олардың арасындағы уақыт

аралығын тапты. Үшінші тұтылуды да дәл осылай қарастырып зерттеді. Птолемей Гиппархтың бірінші және екінші тұтылулардың арасындағы уақытты есептегенде қате жібергендігін байқады, тексеру кезінде ол толық күндер мен сағаттардан 3/5 сағатқа артық болды, ал Гиппарх оны жарты және ширек сағат артық болады деп есептеді. Артық доға қозғалыс кезінде 173; 28 градусты құрайтындығын тексеру көрсетті, ал Гиппархтың есептеуі бойынша ол - 172; 52, 30 градусқа тең. Дәл осылай екінші және үшінші тұтылулардың уақыт аралығын есептегенде Гиппарх қателесті: тексеру арқылы оның екі сағатқа артық екендігі анықталды. Бұл артықшылық Гиппарх бойынша 1 2/3 сағатқа тең. Артық доға тексеру кезінде 175; 44 градустарды құрады, ал ол Гиппархтың есептеуінде - 175;7,30 - градустарға тең. Осыдан кейін Гиппарх осы жолмен басқа үш тұтылуларды қарастырады және олар Александрияда бақыланды дейді. Бірінші тексеру кезінде Птолемей бірінші тұтылу мен екінші тұтылудың уақыт аралығының 178 сөтке және 6,5/3 теңелу күніндегі сағатқа Күннің қозғалу градустарының 180; 11-те тең екендігін тапты. Гиппархтың есептеуі бойынша бүл уақыт 178 сөтке және 6 теңелу күніндегі сағатқа тең, Күннің градустары 180;21. Тексеру арқылы Птолемей екінші тұтылу мен үшінші тұтылудың уақыт аралығы 176 сөтке және 2/3 сағатқа, ал артық доғаның градустары 18;55 екендігін анықтады. Гиппархтың есептеулері бойынша бұл шамалар 176 сөтке және 1 1/3 теңелу күнінің сағатына, 168;33 градустарға тең. Гиппарх жіберген қатенің себебі, міне осы. Аль-Фараби. Комментарии к «Альмагесту» Птолемея. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 213-271. Аударған Асанов С.

БЕСІНШІ КІТАП/145/ Айдың орнын анықтау туралы [Птолемей] айтқан: Айдың [Күнмен] дәл келу және қарама - қарсы болу қосылыстарында оның орналасуын анықтау үшін не қажет және тұтылулар уақытын [анықтау үшін] - бұл бірінші теңдеу және оны білу осыған жеткілікті білімі [Ай] қозғалысындағы жеке [барлық] басқа орындарға байланыстар болса, онда не жеткіліксіз. Бұл үшін екінші теңсіздік бар екен. Алдымен бізге [әлем] денесін бақылайтын инструментті жасау әдісін білу керек.

Шырақтардың [орналасуларын] өлшейтін инструментті жасау туралы Төрт бетпен шектелген, өте дәл [қайрап, жетілдірілген] екі бірдей сақинаны жасайық және оларды диаметрі бойынша қосайық [бір-біріне перпендикуляр]. Біреуін эклиптика дөңгелегі орнына, басқасын - меридиан орнына орналастырайық. Меридианда эклиптика дөңгелегі полюсын табамыз, - бұл қиын емес, өйткені [бүл үшін] эклиптика дөңгелегі көмегімен сақинада ширек меридианды анықтаймыз. Мұнда [сақинаның] екі жатынан өтетін стерженьді бекітеміз, [таты] да осындай екі сақина дайындаймыз [және оларды орналастырамыз] олардың біреуі бастапқы екі сақинаға [біріншілерге] сыртқы жағынан симметриялы орналасуы және солар бойынша айналыса алатын, ал екіншісі - осы екі бастапқы сақина сол арқылы оны өзінде ұстай отырып симметриялы болса және бұл сақинаның айналуы [бастапқы] екеуінің ішінде олармен тығыз жанасқан болуы керек. Осыдан кейін оларды стерженьдерге бекітеміз - біреуін жоғары жағынан, ал басқасын төменгі жағынан [былайша айтқанда сыртынан және ішінен]. [Тағы бір] сақина жасаймыз [және оны орналастырамыз], ішкі сақина өз ішінде орналастырылатындай етіп және [осы соңғы сақина] соның ішінде екі полюс бағытына қарай жылжитындай етіп; оның үстіне астролябиядағы белгілер сияқты екі белгі жасаймыз. Осылайша, стерженьдерге бекітілген екі сақина бастапқы екі сақина арқылы бойлық бойынша жылжиды, ал ішкі [сақина] ендік бойынша жылжиды. Кейін меридиан сақинасында ең үлкен қисаюды табамыз, осыдан әлем экваторының екі полюсын табамыз. Үстіне сыртынан сақина орнатып барлық қалғандарды да қамтитын екі стерженьді бүл екі нүктеде орналастырамыз; осылайша, [барлық сақиналар] таратылды; эклиптика үшін, меридиан үшін және барлық қалғандарын өзінде ұстаған [сыртқы] және басқа сақиналар. Егер осы [соңғы] сақинаны меридиан сызығына орынның ендігіне және онда бақыланатын полюс биіктігіне сәйкес перпендикуляр горизонт жазықтығында орнатқан болсақ, онда стерженьдерді сақиналардың айналуы әлем дүниесінің айналуы сияқты болады /146/. Птолемей айтқан: біз бүл сақинаны жергілікті орынның ендігіне сәйкес орнатқанбыз және егер Күн мен Ай бірге жер үстінде тұрса, эклиптика дөңгелегінің екі полюсі арқылы өтетін жоғарғы сақинаны эклиптика дөңгелегінің сол сағатта Күн тұрған градуске жеткенше жылжытамыз. Полюс арқылы өтетін меридиан сақинасын Күнге түйіскен жазықтыққа анық жеткенше қозғауды жалғастырамыз. Онда жоғарғы [сақина] және эклиптика сақинасы бірін-бірі көлеңкелейді, әсіресе етер астролябиядағы тесіктер сияқты [екі тесікті] пайдалансақ. Егер олар арқылы ендігі жоқ шырақ көрінсе,

онда [инструмент бойынша] бұл шырақ дөңгелек жазықтығында көрінетіндей болып қозғалса, әсіресе етер астролябиядағы тесіктер сияқты пайдалансақ. Кейін іште орналасқан сақинаны айналдырамыз, ал оның ішінде тесіктерден [басқа] шырақты, не Айды көргенше бұрамыз, және мұнда оған сәйкес градустағы біріншіні көреміз. [Ішкі сақинаға] сыртқы сақинаны бекітіп, бірінші сақинаның эклиптика сақинасымен қиылысуынан доға аламыз және басқа сақинаның [онымен] қиылысуынан - бұл бойлық доғасы - және сақинадағы тесіктер арасынан басқа доғаны полюстер арқылы айналдырылатын және эклиптика дөңгелегімен -бұл, оңтүстікте қандай болса солтүстікте сондай, ендік доғасы /147/. Шырақтың градусына сәйкес бөлімшелері бар тағы сыртқы сақинаны бекітуге болады, шырақ сақина арқылы айналу жасайтын, көк аспанның айналуына еліктеген, соның көмегімен басқа шырақтардың орналасуын есептейтін болуы керек. Айдың қос теңсіздігі мәселесіндегі пайдаланылатын принциптер туралы Птолемей айтқан: біз бұл инструментті жасағаннан және [оның көмегімен] көптеген бақылаулар жүргізгеннен кейін, Ай орналасуларында алдын ала ұйғарған принциптерге сәйкес байланыстарды байқадық. [Бұл байланыстардың], параллакстар үшін қашып құтылмайтын ауытқулардан басқа, ешқандай айтарлықтай ауытқулары жоқ. Егер Айдың Күн бойынша екі квадратурасында Ай эпициклдің апогейінде не перигейінде тұрса, онда іс дәл осылай болады. Егер де [Ай] квадратурадан апогей мен перигейден басқа орындарда болса, онда бұл теңдеу жоғарғы баяндалған принциптерге сәйкес еместігін табамыз, атап айтқанда: қосылатыны үлкен, ал азаятыны - аз екені байқалады. Егер Ай шекті теңдеу орындалатын жағдайда тұрған болса, онда қосуда немесе алуда теңдеу айырымының шегі деп ұйғарғандағыдан бес градусқа елеулі артық екенін табамыз. Сондықтан эпицикл центрі концентрлік дөңгелекпен қозғалмайды деп біз алдын ала ұйғарамыз; әйтпесе оның шекті теңдеуі өзгермеген болар еді, ал екі квадратурада да [Ай] эксцентр бойынша ең кіші қашықтықта орналасқан және эклиптиканың үлкен доғасын керетін үлкен көрінетін бұрыш жасағандықтан [үлкен] көрінеді. Егер екі квадратурада [Ай] эксцентрдің перигейінде тұрса, онда екі қосылуда да ол апогейде болады. Егер де Ай перигейде бір айда екі рет айналым уақытында болса, онда бұл мүмкін емес, не эксцентр эпицикл центрінің қозғалуына қарама-қарсы жылжып бір айда перигейде және апогейде болады. Осыдан шығатыны эксцентр шығысқа қарай оның жазықтығында

орналасқан жантайған дөңгелек бағытымен жылжиды. Сондықтан оның жазықтығында да, былайша айтқанда жантайған дөңгелектің жазықтығында, эпициклді шығысқа қарай ауыстыратын қозғалыс бар және эксцентрдің центрі батысқа қарай ауысқанда екі еселенген элонгацияны ауыстыратын басқа қозғалыс бар. Егер де эксцентрлік дөңгелектің қозғалысы оның центрін айнала болған болса, оның апогей мен перигей орындары өзгермеген болар еді. Бірақ олар өзгеретін болғандықтан, онда барлық [эксцентрлік дөңгелек] оның апогейін өзгертіп центрі басқа дөңгелекпен қозғалады. Тең уақыт [аралығында] [өтетін] нақты жағдайларды және қажетті теңдеуді қарастыра отырып, тең уақыт [аралығында] эпицикл центрі жантайған дөңгелектің тең доғаларын сызатынын ол көрсетті. Егер де эпицикл бойынша теңдеу болмаса, онда олардың қасында [ең үлкен және ең кіші] қашықтықта бұның орны бар. Уақыттың тең [аралықтарында] [эпицикл центрі] эксцентрлік дөңгелектің тең емес доғаларын өтетінін, екі эксцентрлік дөңгелектер үшін бұлай болмайтынын ол көрсетті. Сондықтан эпицикл центрінің жантайған дөңгелектің центрін айналатын, эксцентрді айналмайтын қозғалысы бірқалыпты екенін көрсетеміз. Өйткені қосылудан басталатын орташа бір айда Ай толық бір айналым және Күннің орташа қозғалысында өткен доғаны өтеді, онда, егер [айдың басында] орта Ай эксцентрдің апогейінде тұрса, Күн өзінің орта қозғалысында [өткен] эксцентр бір айда доғасыз [бір айналым жасаса]. Бүл өйткені орта айдың басында Ай апогейде болады және бойлық бойынша айналым жасап, артық доғаны сызады, және апогей, оз қозғалысы бағытына қарама-қарсы жағынан айға кездесіп, оған жетеді және осы доғаның соңына дейін барады. Олар айрылысқан жердегі бастапқы орынға жету үшін айға шамасы дәл доғаны өту қалады. Сондықтан Ай [бір] айналым және доғаны өтеді, ал деферент оз қозғалысында батысқа қарай бүл доғасыз [жасайды бір] айналым. Жантаю дөңгелегі болған деферент қозғалысы үстіндегі орта Айдың қозғалысының артықтығы осы доғаның екі еселенгеніне [тең], өйткені бірінші [толық айналымды] осы [доғаға] асады, ал екіншісі сол [доға] шамасындай жетіспейді. Жантаю дөңгелегі қозғалысынан шыққан эксцентр қозғалысы, өз доғасымен бірге, бірақ екі еселенгенімен емес, Айдың бір айналымдағы орта Күннің қозғалысы үстіндегі бойлық бойынша орта Айдың қозғалысының артықшылығына тең екенін көрсетті. Егер осыны екі еселесе, былайша айтқанда Ай мен Күннің орта қозғалыстарының айырымы, онда апогей мен жантаю дөңгелегінің шығысқа қарай қозғалуын және орта Айдың Зодиак белгілері тізбегіндегі қозғалуының қосындысы шығады, егер Күн, апогей нүктесі, эпицикл центрі және жантаю дөңгелегінің нүктесі бір уақытта тарап кетсе. Осы екі айналым болады: апогей қозғалысы және жантаю дөңгелегінің Күннің орта қозғалысымен бірге - бірінші [айналым, ал Күннің орта

қозғалысынсыз эпицикл центрінің қозғалысы - екінші]. Сондықтан эпициклдің эксцентрмен өтетініңнің нақты шамасы - екі айналым. Мен бекітемін: егер Күн, Ай эпициклінің центрі және апогей [бір уақытта] тарап кетсе, онда апогей біраз доғаны өтеді, ал [эпицикл] центрі басқа бағытта осындай доғаны және екі еселенген Күннің жылжуын өтеді. Күн өзінің белгілі доғасын центр қозғалысы бағытымен өтеді. Сондықтан апогей мен центрдің арасындағы қашықтық тең осы екі еселенген доғамен [бірге] Күн жылжуының екі еселенгеніне, ал центр мен Күн арасындағы қашықтық тең осы доғамен [бірге] Күн жылжуының доғасына. Сондықтан екі шырақ арасындағы қашықтық тең апогей мен центр арасындағы қашықтықтың жартысына. Өйткені бүл [қашықтықтың] ендік бойынша Ай қозғалысына қарағандағы артықтығы жантаю дөңгелегі [қозғалысымен] анықталатын эксцентрдің қозғалысы болады, онда егер осы екі еселенген айырымнан [Айдың] бойлық бойынша жылжуынан емес, оның ендік бойынша орта қозғалысын алып тастасақ, онда жантаю дөңгелегінің қозғалысы бойлық бойынша қозғалысқа қосылады және апогей қозғалысымен анықталатын эксцентр қозғалысы қалады. Демек, эксцентр қозғалысы тең Күн мен айдың арасының екі еселенген айырымынан [Айдың] ендік бойынша қозғалысын алып тастаған қалдыққа. Сондықтан апогейдің өз қозғалысы тең орта Күн үстінде орта Айдың екі еселенген артықшылығынан [Айдың] орта қозғалысын алып тастағаннан шыққан қалдыққа. Птолемей бұл артықшылықты элангация деп атайды, барлық қозғалысты ұстап тұрған барлық доғаны - қос элангация дейді. Есептегенде бір сөткеде апогейдің жылжуы 11 ;9 градус болды. Птолемей бұл түсінікті түсіндіріп чертеж берді /148/. Ол айтты: ABC -Е ден сызылған жантаю дөңгелегі [86-сурет], Е - осымен қатар эклиптика центрі болсын. АЕС - екі центр арқылы өтетін жантаю дөңгелегінің диаметрі, ал G - DH эксцентрінің центрі [біраз уақыт] болсын. [Алдында] бір мезгілде А нүктесі - [Айдың] солтүстік шекарасы, апогей нүктесі, Овнаның [бастапқы] нүктесі, Айдың эпициклінің және орта Күннің центрі болсын. Бар жазық фигура ABC DH [дөңгелегімен] бірге бір сөткеде А-дан D бағытына қарай жылжиды және шамасы 3-минут болатын AF доғасын өтеді, сонымен солтүстік шекара F нүктесінде болып шықты, бұл Балықтар соңы.

Эксцентрдің жазық фигурасы ED сызығымен бірге сол (минутпен айналады және АҒ-тен үлкен доғаны сызады, бұл доға AD. Эпицикл центрі А-дан В бағытына қарай айналады және EA сызығы ЕВ сызығына өтеді, сонымен бұл [центр], мысалы, и нүктесінде байқалады және жантаю дөңгелегі арқылы АВ [доғасын] өтеді, егер ол қозғалмайтын болса. Бірақ шынында солтүстік шекара

қозғалады және эпицикл центрі мен солтүстік шекара арасынан 13; 14 [градусқа] тең ҒВ доғасы шығады. Сонымен шынында [эпицикл центрі] осы доғаны сызады, эпицикл апогейден бастап DH доғасын өтеді және эпицикл мен солтүстік шекара арасы 13;14 градусты қарады, ал солтүстік шекара мен апогей орны - 11;9 [градус]. Олардың қосындысы - 24;23 [градус] - орта элонгацияның бір сөткеде екі еселенген ілгері жылжуы, былайша айтқанда орта күн үстіндегі орта Айдың екі еселенген іс артықшылығы, бұл он екі градус он бір жарым минут шамасында. Өйткені Күн мен Ай бір ай ішінде бір рет диаметралды қарама-қарсы және бір рет қосылады, сонымен бірге ол да және басқасы да апогейде пайда болады, онда түсінікті бір ай бойы эпицентр перигейде болғанда олар екі рет орта квадратурада болатыны. Эпицикл [апогей мен перигей] ортасына жақындаған сайын, теңсіздіктің көрінетін айырымы үлкен болады, өйткені [бақылаушының] көзіндегі тек бір затпен ғана жасалған бұрыш өзгереді және жақындығына не алыстығына байланысты үлкен не кіші болады - зат алыстаған сайын бұрыш кіші, ал зат алыстаған сайын бұрыш үлкен. Егер эпициклдің эксцентр бойынша қозғалысын эксцентр центрі арқылы емес, жантаю дөңгелегінің центрі арқылы [қарастырылса], онда оның эпициклдегі сол айырым шамасынан өзге басқа теңдеуі болмайды және эксцентр жақындығы және алыстығы арқасында осыған әсер етеді. Мысалы, С нүктесіне диаметралды қарама-қарсы А нүктесінен [87-сурет] және С - ден эпициклдің екі дөңгелегін сызайық, біреуі MN, ал басқасы - FX. Өйткені Е нүктесі эксцентрдің центрінде тұрған жоқ, солай болғандықтан Е - эклиптика центрі және ол арқылы және эксцентр центрі арқылы түзу сызық өтеді деп ұйғарайық, онда Е - ден эксцентр ЕА-ға дейін жүргізілген сызық ең үлкен болады, ал ең кіші - ЕС. Сондықтан айырымның көрнекті шегі А-дағыдан кіші болмайды, С-дегіден үлкен болады. Былайша айтқанда, тұтылуларда, қосылуларда және қарама-қарсы тұруларда және [сондықтан оның орны бар] квадратурада/149/.

Күннің қашықтығына байланысты Ай теңсіздігінің [шамасын] анықтау туралы Кейін Күннің орналасуына байланысты Айдың орналасуын анықтап және жоғарыда айтылған инструментпен анықталған олардың арақашықтығынан осы теңсіздіктің шегін табады. Егер Ай әлем ортасына жақын болғанда теңсіздік (оно) квадратураға жақын болса, онда параллакс болмайды. Есептегенде Ай өзінің эпициклдегі көзбен жүргізілген сызық оған жанасатын нүктеде тұрғандығын тапты. Мұны [ол алды] бір бақылаудан емес, Гиппархтың

бірнеше бақылаулар тізбегінен, Айдың орнын анықтап, орын орташадан басында тапқаннан теңдеу шегінің [шамасындай] өзгешелігі үлкен екендігін тапты. Онда бұл шек 5 [градус] құрады, ал қазір - жеті және үштен екі градус. Птолемей жүргізген бақылау бойынша алынатын теңдеу шамасы Гиппарх есептеген қосылатын теңдеу шамасындай болды. Оның бастапқы интуитивтік [болжауы] растайды. Ол екі центрді қосатын сызық үшін үлкен қатынас шамасын табуды талап етті, мұнда ол эпицикл центрі эксцентрлік дөңгелек бойынша жылжиды дегеннен шығады. Ол айтты: FG - [центрі] С де жатқан эпициклдің [центрі] Dде жатқан ABC эксцентрінің перигейі болсын [88-сурет]. Егер осында параллакс болмаса, Е - эклиптика центрі болсын, былайша айтқанда [бақылаушының] көз нүктесі. СҒке перпендикуляр эпициклге Ғ нүктесінде ЕҒВ жанамасын жүргізейік. Теңсіздік шегіне сәйкес СЕВ бұрышы белгілі; тік бұрыш Ғ белгілі; сондықтан [CEF] үшбұрышында СЕ-нің СҒ-ке қатынасы белгілі. Бірақ DC үшін қатынас белгілі, сондықтан DE-нің DC-гe қатынасы белгілі. [Есептегенде] олар 10;19-дың 39;22ге қатынасына тең шықты.

Мен сендіремін: шынында мұнда белгілі болатыны горизонт жазықтығы мен эпицикл центрі арасында Жер центріндегі бұрыштың кішілігі, бүл Жер центрі мен [эпицикл центрі] арасындағы емес. Бірақ жарты диаметрі үшін қатынасын анықтауға болады және ол шамаға қосуға болады. Айдың эпициклі еңкейетін қабырғасын анықтау туралы Птолемей бақылауын жалғастырғанда, ол тригональдық /150/ және гексогоналдық тұрғыдан үшінші теңсіздік пайда болғанын тапты. Осыдан ол мынадай қорытынды шығарады, өзінің апогейі мен перигейін қосатын эпицикл диаметрі эклиптика центрі мен эксцентрдің центрі арқылы емес эклиптика центрінен эксцентрдің перигейі бағытына қарай қашықтығы екі центрдің арасындағы қашықтыққа жақын нүкте арқылы өтеді. Бүл жерде өтеді дегеніміз эпицикл центрі эксцентрдің апогейінде не перигейінде болғанда, онда оның диаметрі олар арқылы өтетін эксцентр диаметрімен тура келеді және екеуі бір түзуді құрады. Егер [эпицикл] центрі деференттің осы нүктесінен ауытқитын болса, онда сызықтар тарап кетеді және бір-біріне параллель болмайды, сондықтан олардың деферент ішінде қиылысуы міндетті түрде сақталады, егер эпицикл диаметрін соның бағытымен жалғастырсақ. Бұл қиылысу центрлер нүктелерінде емес, басқа нүктеде болады. Қиылысу тағы да тура келуге келтіреді және эпицикл диаметрінің шеті әр уақытта жанасуды сақтайды.

Бұл теңсіздікті /151/ табу әдісіне қатысты Птолемей бақылау көмегімен іске асырды, оның ішінде Гиппарх жүргізген екі бақылау да бар: біреуі ескертілген инструментпен іске асырылды; мұнда көрінетін Күн 7;45 Телец градусында, Айдың көрінетін шағы - 21 ;40 балық градусында, нақтысы - 21;37,30 Балық градусында; Ай мен Күннің орналасуларының нақты қашықтығы 313;42 градус болды; олардың арасындағы орта қашықтық 314;28 градус. Орта қозғалыста Айдың орны [бойлық] бойынша 22; 13 Балық градусы болған, ал оның эпициклдің өте алыстағы орта нүктесінен қашықтығы 185;30 градусқа тең болған. Күннің орналасуын және Айдың орта [орналасуын], оның теңсіздігі мен теңдеуін зерттей отырып, оның тапқаны - бүл орта [орналасу] эклиптикаға байланысты бақылау бойынша зерттелген оз орны алдына шықты, сондықтан теңдеу азайтқыш болды, эпицикл центрі - шамамен эксцентрдің апогейі мен перигейі центрінде, ал аномалия бойынша өту апогей дөңгелегінің жартысынан үлкен болу керек, бүл қосылғыш теңдеуге келтіру керек. Бірақ ол азайтқыш болып шықты және эпициклдің апогейінен жарты дөңгелек өту орны жоқ болды. Сондықтан қозғалмайтын апогей болу керек, осы [апогейден] қашықтығы бізге көрінбейтін дөңгелек жартысына жетпейді. Сондықтан көрінбейтін апогей арқылы [бәрі салыстырмалы] екенін көрсетеміз; Ай көрінетін перигейдің батысына қарай және орта [орын] арқылы есептелетін орта перигейдің шығысына қарай орналасты. Сол себептен орта перигей эклиптика бойынша көрінетін перигейден Айдан көрінетін перигейге дейінгі қашықтыққа қалып қояды. Егер [эпицикл перигейі] эклиптика центрі болатын нүктеге түйіседі деп есептесек, онда бұлай болмауы мүмкін. Одан кейін бұл нүктесінің орналасуын сурет арқылы көрсетті және былай деді: ABC D жанындағы эксцентр дөңгелегі, эклиптика центрі Е арқылы өтетін оның диаметрі - ADC сызығы [89-сурет]. А - апогей, С - перигей, GHF - В жанында қозғалатын эпицикл, мысалы, В-дан А-ға; Ай G-дан Н-қа қарай қозғалады, одан кейін F-ке қарай; DB-ны қосамыз, ЕВ-ны да; [DB] эпициклді F-те қиып өтеді, бұл көрінетін перигей. Бірақ айдың орналасуынан Күннің орта [орналасуына] дейінгі қашықтық белгілі, сондықтан оның екі еселенуі белгілі. Апогейдің эклиптика бойынша эпицикл центріне дейінгі артығымен 315 градус болатын қашықтық және оның екі еселенгені дөңгелектен артық және осы екі еселенгеннен бүтін айналымды алып тастағанынан кейінгі қалдық белгілі.

Бірақ оның орта [мәні] деферент дөңгелегі бойынша емес, жантаю мен концентрлі дөңгелек бойынша белгілі. Онда бұрыш АЕВ белгілі болады, өйткені ол жантайған [дөңгелектің] центрінде жатыр. Бұрыш АЕВ дөңгелектің ширегінен кіші, былайша айтқанда сүйір, доғаны керетін болғандықтан, онда

егер D-дан ЕВ-ге перпендикуляр түсірсек, ол үшбұрыштың ішінде орналасады; ол DK болсын. DEK үшбұрышында қатынастар белгілі, өйткені DEK бұрышы белгілі; бұрыш К - тік. Сондықтан DK [тік] бұрыштың қабырғаларының бірі болатын DB, KD бойынша белгілі болады. Демек, ЕВ белгілі. Ай Нта тұрсын дейік, ЕН-ты жалғастырамыз. В-ден BL перпендикулярын ЕН-ге тұрғызайық. Бұрыш В тік болғандықтан ол белгілі; бұрыш BEL, теңдеудің [бұрышы] болғандықтан, бақыланған нақты орнымен анықталады. Орта [орын] есептеу бойынша тұрған болса және екі орналасу орнының айырымы белгілі болса, онда BEL үшбұрышындағы қатынастар белгілі. ВЕ-ні жүргізейік; BHL үшбұрышынан ВH пен BL белгілі болғандықтан, онда бұрыш BHL белгілі; сондықтан қалған FBH бұрышы белгілі болады. Олай болса, доға FBH бұрышы белгілі болады. Олай болса, доға FH, былайша айтқанда Ай мен көрінетін перигей арасындағы қашықтық белгілі болады. Бірақ аномалиялардағы Айдың орта перигейден қашықтығы белгілі. Эклиптика бойынша Н-тан озатын орта перигей есептеу бойынша М нүктесінде болсын; ВМ-ді қосамыз және оны түзу бойынша созамыз. Ол міндетті түрде AC түзуін қиып өтетінін біз білеміз; оны N нүктесінде [қиып] өтетін болсын. Е-ден перпендикуляр ЕХ-ті BN-гe түсірейік; ол үшбұрыштың ішінде орналасады, өйткені бұрыш АЕВ сүйір және ішкі бұрыш ENX сүйір. FH доғасы белгілі болғандықтан, доға НМ, былайша айтқанда бізге керегі орта перигеймен шырақ орны арасы болғандықтан, онда доға FM белгілі. Сондықтан бұрыш ЕВХ белгілі. Бірақ [бұрыш] X тік және ЕВ сызығы белгілі, сондықтан ЕХ белгілі. Бұрыш АЕВ белгілі және бұрыш ЕВ белгілі болғандықтан, онда қалған бұрыш ENB белгілі, сондықтан XEN үшбұрышындағы қатынастар белгілі. Есептеу бойынша егер DE - 10; 19 болса, онда Е - 10; 18. АС мен BN сызықтарының қиылысуы эксцентрдің ішінде болады. Сонымен, бұл бақылауда перигей жағынан жанасудың шындығы анықталады. Ол айтқан: апогей жағынан осыған ұқсасты дәлелдейміз. Ол Родос аралында Гиппархтың бақылауын қарастырды және Айдың орта орны оның нақты орнынан өзгеше екенін көрсетілген әдіспен тапты; есептеу бойынша шығатыны 27;20 Арыстан градусында жатады, ал көрінуі бойынша 29 Арыстан [градусында]. Мұнымен катар ол әлем ортасына жақын болды және бойлық бойынша параллаксы болмады. Оның көрінетін апогейден қашықтығы жоғарыда көрсетілген нақты принциптер негізіндегі есептеу арқылы анықталғаннан кіші. Осындай әдіспен бірінші суреттегі дәлелдеулер сияқты мәселелерді дәлелдеді; олардың айырмашылығы жоқ, тек өзгешелігі нүкте Н апогейде, BL перпендикуляры Н нүктесіне жетпей түседі және перпендикуляр DK басқа жағында [90-сурет]. Ол бұрыш DEK-ны және DK, КЕ мен ЕВ

[сызықтарын] және [кейін] - ЕВ-ні анықтады. Бірақ қалған бұрыш ВЕН табылды, ал L- [тік], сондықтан ол үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары қатынастарын есептеді. Бірақ BL мен ВН қабырғалары белгілі және бұрыш L [тік], сондықтан ол бұрыш BHL-ді және ЕВН бұрышын түгелімен анықтайды; екі түзудің қалдығы белгілі, ол HG доғасы. НМ доғасы есептеумен анықталған. Бұл орта апогейден қашықтық. Осыдан ол GM доғасын және GBM бұрышын анықтады, былайша айтқанда EBN. Кейін осы үлгімен қалған бұрыштар мен доғаларды табады. Егер DE - 10; 19 болса, онда EN - 10;20 шығады және олар [өте] жақын. Егер алып тастағанның жуық шамасын қоссақ, онда сондай қатынас шығады. Сонымен оның анықтағаны - өту сақталады және өзгереді.

Айдың бірқалыпты қозғалыстары бойынша оның нақты қозғалысын сызықтар көмегімен қалай анықтауға болады Айдың нақты орнын табу үшін қалай геометриялық жолмен оның орта жеке қозғалыстары арқылы қашықтығын анықтау керек екенін Птолемей көрсетеді. Ол айтты: біз оны келтірілген суреттен анықтай аламыз, егер талқылауды керісінше жүргізсек. АЕВ мен МВН бұрыштарын белгілі деп ұйғарайық. ЕХ перпендикуляры орнына - HL перпендикулярын DB-гe түсірейік [91-сурет]. DKE үшбұрышындағы қатынастарды тік [бұрыштан] және KED бұрышынан табамыз. Осыдан кейін KDB үшбұрышындағы DB мен KD-ні анықтау арқылы және тік бұрыш арқылы табамыз. Сонда ЕВ белгілі болады; үшбұрыш XEN тең және ұқсас KDE үшбұрышына; NX тең DK. ХВ қалдығын, BXN бұрышын, былайша айтқанда MBG, табамыз. Сонымен, доға MG белгілі, бірақ доға МН белгілі, сондықтан доға GH-пен бұрыш GBH белгілі. Бұрыш HLB - тік, сондықтан BL хордасының [жартысы] белгілі; онда барлық EL белгілі. BLH үшбұрышының LH қабырғасы белгілі, сондықтан ЕН және бұрыш LEH, былайша айтқанда теңдеудің айырымы белгілі.

Айдың толық теңсіздігі үшін таблица құрудың [әдісін] анықтау туралы /152/ Бұл теңдеуді сызықтар көмегімен қондыру әдісін анықтағанда, ол Айдың толық теңсіздігі үшін таблицалар жасады. [Таблицада] бірінші тік жолда бірден жүз сексен градусқа дейін өсу бағытымен аргументтер сандары орналасқан, ал екіншіде - кері бағытпен. Үшінші тік жолда эпицикл апогейінің теңдеуі эпицикл центрінің орны арқылы берілген, деферентте және әр орында теңдеу бұрышының мәні [орналасқан]. Төртінші тік жолда Айдың эпициклінің центpі эксцентр апогейінде тұрғанда, ал Ай [эпицикл] бойымен [Зодиак

белгілерінің тізбегіне] қарама-қарсы қозғалғанда, бірінші теңсіздіктің теңдеуі берілген. [Айдың] аномалия бойынша қарама - қарсы тұрғандарына және тұтылуларында оның теңдеуіне сәйкес келетін қозғалысының әр шамасы үшін теңдеу келтірді. Бесінші тік жолда теңдеулердің эпициклдік центрін перигейдегі және Айдың аномалия бойынша қозғалғандағы пайда болған артықшылықтарды орналастырған. Ол [мұнда] осы қозғалысына сәйкес төртінші тік жолда жазылған, теңсіздік теңдеулерінің артықшылығын келтірген. Бүл теңдеу квадратурада алынады. Өйткені, эпицикл центрі тек екі қарама-қарсы қашықтықтың бірінде тана бола алады, былайша айтқанда, апогейде немесе перигейде, ал олардың арасында сәйкес теңдеу артықшылығын келтіреді. Бұл үшін алдымен бастапқы суретке ұқсас сурет жасаған. Птолемей айтқан: элонгация градустары белгілі болсын, мысалы, алпыс градус, бұрыш АЕВ - екі еселенген элонгация [92-сурет]. М нүктесінде эпициклге жанасатын EMN сызығын жүргізейік. EDL тікбұрышты үшбұрыштағы қатынастар белгілі. ВМ белгілі болғандықтан, онда, біздің көргенімізше, ЕВ белгілі болады. ВМ, былайша айтқанда, жанамаға перпендикуляр белгілі; сондықтан бұрыш ВЕМ белгілі, бұл элонгацияның мәні 120 [градус] болғандағы айырым теңдеуі шегінің бұрышы, жәй теңдеулерден бір градус елу үш минутқа үлкен; бұл теңдеудің перигей бойынша артықшылығы 2 градус 39 минут болады. Бұл шамамен екі және үштен екі градус, [егер оларды] алпыс [минут] деп [алсақ], онда [1;53 градус сәйкес келеді] 40 минут және 38 секундқа. Ол бұны 120 градусқа қарсы орналастырды. Ол басқа градустар үшін есептеді, алтыншы тік жолды жасады және әрбір ячейкаға оның қарсысындағы бастапқы екі жолда жазылған элонгация мәні болатын санға сәйкес келетін санды орналастырған. Екінші тік жолда апогейдегі ең үлкен теңдеулер үстіндегі осы градустар үшін ең үлкен теңдеудің артықшылығы берілген. Бұл теңдеу мәні бойынша алынбайды, алынған [соң] перигейде ең үлкен теңдеу болатын, үштен екі градустың алпыстан бір бөлігі. Екі ауысушылықты, біреуі эпицикл центрінің ауысушылығы, екіншісі Айдың ауысушылығымен, бір уақытта қарастыру мүмкін еместігінен, ол эпицикл центрінің ауысушылығымен және Айдың жанасу нүктесі бойынша қозғалмайтындығымен қанағаттанды.

Осыдан кейін ол солтүстік шекарадан бастап оның ендігінің доғасы болатын, үлкен дөңгелекте жантаю дөңгелегімен және эклиптикамен шектелген, эклиптика полюсы арқылы өтетін және отан тікбұрыштармен орналасқан, қашықтықты орналастырып ең соңғы тік жолды толтырды. Бұл доғалардың

мәні эклиптика градустарының бұрылуы белгілі үлкен бұрылу болғандағы есептеу әдісімен есептеледі. Сөйтіп ең үлкен ендік белгілі, шамамен 5 градус, болғанда жантаю [дөңгелегінің] ендіктері оңай есептеледі. Егер біз Айдың эфемеридасын тапқымыз келсе, онда бойлық, ендік және орта апогейдің аномалиялары және элонгация қозғалысы бойынша орта қозғалыстарды аламыз; берілген орынмен дәуір бойынша Күн мен Айдың орта [орналасулары] арасындағы қашықтықты екі еселейміз. Одан дөңгелектен кіші [доға] қалатындай етіп толық айналымдарды алып тастаймыз, кейін екі тік жолдан екі еселенген элонгацияны табамыз; оның теңдеуін үшінші тік жолдан және [пропорционалды] минуттарын /153/ алтыншы тік жолдан аламыз. Егер осы сан тік жолдан болса, онда теңсіздікке теңдеуді қосып есте сақтаймыз; сонда Айдың теңсіздігі тегістеледі, егер ол апогей мен перигейде болмаса. Кейін тік жолдан санды табамыз және төртінші мен бесінші тік жолдардағы оған сәйкесті аламыз; төртінші тік жолдағыны еске сақтаймыз және бесінші тік жолдағыны алтыншы тік жолдан алынған минуттарға көбейтеміз және алпысқа бөлеміз. Алынғаны - бұл айырым, оны төртінші [тік жолдағыға] қосу керек. Егер Айдың эпицикл дөңгелегі бойынша түзетілген қозғалысы 180 [градустан] кіші болса, онда Айдың бойлық пен ендік бойынша орта [орындарының] градустарынан оны алып тастаймыз; егер үлкен болса, онда оны қосамыз. Бойлық бойынша алынғанды Ай үшін алынған градустар [санынан] бастап санаймыз, сонда қалған сан оның нақты орнын көрсетеді. Солтүстік шекарадан бастап [саналатын] ендік үшін сәйкес санды ендіктің тік жолынан аламыз. Солтүстік шекарадан басталатын қашықтыққа байланысты оңтүстік немесе солтүстік ендік болатынын сең білесің /154/. Теңсіздік эксцентрлік дөңгелек себебінен қосылу және қарама-қарсы орналасу уақытында сезілетіндей шама болмау туралы Птолемей осы сөйлемді аяқтағанда оған біреу айтты: тұтылушыларды бақылағанда сенің ұйғарғаның - эпицикл центрі деферент апогейінде және бұл қарама-қарсы орналасуда және орналасуда міндетті; осыдан кейін теңдеуді осыған негіздейсің; бірақ тұтылулар болатын нақты қосылуларда және қарама-қарсы орналасуларда бұлай емес; бұл шынында орта қосылуларда және қарама-қарсы орналасуларда, нақты қосылуларда және қарама-қарсы орналасуларда Күннің теңдеуі болуы мүмкін, эпицикл центрі апогейден ауытқуы мүмкін, нақты кездесу болғанша, бұл Айдың Жерге жақындағандығынан, Айдың төмендеуінен және өте үлкен жақындауынан теңдеуге келтіреді. Ол айтты, бүл ауытқушылық теңдеуде елеулі айырмашылық тудырмайды, өйткені бүл ауытқу теңдеуге екі себептің біреуі

бойынша келтіреді: ол эпицикл центрі Жерге жақындау себебінен немесе ең үлкен жақындаудың өзгеру себебінен. Осы [себептердің] біреуі сәйкес теңдеудің шегіне келтіргенде, екіншісі елеулі айырмашылық тудырмайды, өйткені апогейді өзгертуге келтіретін [Ай] апогейде немесе эпицикл перигейінде тұрғанда, теңдеу артықшылығының шегі болады, екі орта қашықтықтарда мұның елеулі мәні жоқ, қашықтықта айырмашылыққа келтіретін болғанда бақыланады, онда жалғасу теңдеудің елеулі айырмашылығын тудырмайды. Ол айтты: эксцентрлік дөңгелек және эпицикл бірнеше рет суретте көрсетілгендей болсын, эпицентр АВ доғасына ауытқыған болсын [93-сурет]. Нақты Күн Айға диаметралды қарама-қарсы немесе батысқа қарай ауытқыған. Сонда екі ортаның айырымының ең үлкен шамасы екі теңдеудің қосындысы болады: оның біреуі қосылады, ал екіншісі алып тасталынады. Ең үлкен қосылатын Күн теңдеуі - екі градус жиырма үш минут, ал ең үлкен алып тасталынатын, жанама сызықта болатын, Ай теңдеуі - он [градус алты минут]. Бұл орта қашықтықтардың шегі немесе біреуінің орта [орналасуы] мен екіншінің орта [орналасуы] арасындағы шекті қашықтық, оған диаметралды қарама-қарсы қашықтық барлық жағдайда белгілі; олардың арасындағы екі еселенген қашықтық белгілі болады, өйткені екі еселенген элонгацияға сәйкес АЕВ бұрышы белгілі болады. Жанама ЕҒ-ті және ВЕ-ге перпендикуляр DM-ді жүргіземіз. Екі үшбұрышты анықтаймыз - DEM және DMB, бұлардан ЕВ сызығын табамыз; ВҒ белгілі. ВЕҒ тік бұрышты үшбұрышты анықтайық, мұнда ЕВ-ның ВҒ-ке қатынасы белгілі, сондықтан бұрыш ВЕҒ белгілі болады; есептеу бойынша ол тең 5;3 градусқа, бұл апогейдегіден екі минутқа үлкен. Осыдан бір градустан аз қате шығады, өйткені ол сағаттың он алтыдан бір бөлігіне тең.

Мұндай айырмашылық бақылаудың өзінде болуы мүмкін түзетуге келмейді. Ол [Жер] эксцентріне эпицикл центрінің жақындау себебінен болады. Апогей жантаюынан шығатын айырмашылық, ол басқа суреттің көмегімен, белгілі эсер етпейтінін көрсетті. Птолемей айтты: Ай L-де тұрсын, былайша айтқанда орта перигейде [94сурет]; сонда АЕВ бұрышында Күн теңсіздігінің шамамен екі еселенген [мәні] бар. Бұлайша болатыны бірінші теңдеудің бұл орында Айдың көрнекті айырымы жоқ, сондықтан егер [айырым] сөзсіз болса, онда айырым Күнге байланысты және орталар арасындағы қашықтыққа тең. Бұрыш АЕВ оның екі еселігін кереді. EL-ді жүргізейік және D-ден DM перпендикулярын ЕВ-ге, ал Gден перпендикуляр - GX-ті ЕВ-ге, L - перпендикуляр LN. Біртіндеп [есептеумен]

ЕВ мен BG-ді анықтайық. GXB үшбұрышында белгілі GB-нің GX-ке және ХВ-ге қатынасы тең В-нің LN және NB-гe сәйкес қатынастарына болады; осыдан LN мен NB-ні анықтаймыз. LEB үшбұрышында BEL бұрышын табамыз. Есептеу бойынша ол торт минутқа тең; мұндағы қате сағаттың сегізден бір бөлігінен аспайды, сондықтан бұл қате бақылаудың өзінде [пайда болады].

Айдың параллакстары туралы Сен енді Айдың параллаксы мағынасын білесің. Енді зерттеу жүргізу керек және біз оның нақты орнын көрінетіннен және керісінше қалай айыруды анықтауымыз керек. Бұл Жерден бергі қашықтықтан тәуелді, ал қашықтықты анықтау - параллакстан, одан қашықтықтарды кейін барлық қалған теңсіздіктерді. Птолемей айтты: Гиппарх Күнді [бақылаудан] кейін зерттеуді бастады. Екі жарықта өтіп жатқан әртүрлі құбылыстардан саған көрсетіледі, сен олардың [біреуіне] дейінгі қашықтықты екіншінің қашықтығын анықтау арқылы есептей аласың. Гиппарх алдымен Күн қашықтығының жағдайын қарастырды, ал осыдан - Айдың қашықтығын. Ол Күннің параллаксы өте кішкентай болса да оны елеулі деп ұйғарып, Айдың қашықтығын тауып, дегеніне жетті. Мұнда ол өзіне өзі қайшылыққа келіп отыр. Кейбір күн тұтылуларын қарастырғанда ол Күннің тіпті де параллаксы жоқ деп ұйғарып, ал бұл жерде Күннің жеткілікті үлкен параллаксы бар деп нандырады. Оның осыған ұқсас шатақтары тек параллакстың барлығын растағанын емес, таты Айдың қашықтығын есептегенде де. Әрі қарай Птолемей қашықтықты бақылауға жарамды инструментті жасаудан бастайды және оны екі тармағы бар [инструмент] деп атайды /155/. Оның құрылысы мынадай: екі жез сызғыш алынады, олар төрт жазық беттермен шектелген және олар әр екі [қарама-қарсы жазықтықтар] - параллель және тең, олардың ені шамамен жуандығынан үш есе үлкен, ал жуандығы шынашақтың жуандығымен шамалас. Бір сызғышты екіншісінің шетіне ось пен топса көмегімен біреуін қозғалмайтындай етіп, ал екіншісін айналатындай етіп бекітеміз. Бекітілген сызғышқа екі кішкентай кірпішті орналастырайық, екінші [сызғыштың] бір қырына екі қарама-қарсы орналасқан және астролябияның екі диоптры сияқты ұзындығы мен ені бойынша тең диоптрды; оларды мүмкіншілігінше бір-бірінен алыс орналастырайық және бос [шетіне] қаратылған диоптрда өте кішкентай тесік жасаймыз, ал оське қаратылған диоптрда - басқа диоптрмен Айды толық көруге болатындай кеңірек тесік. Екі кең жазықтықтың әрқайсысында жазықтықты тең екіге бөлетін сызықты

сызайық, оңы алпыс бөлікке бөлейік және әр бөлігін минутқа. Бос шетте айнала алатын, бастапқы екі сызғыштың бір-біріне тікбұрыш жасап орналасқанда шеттерін қоса алатын жазық сызғышты бекітейік. Диопторлары жоқ сызғышты горизонт жазықтығына перпендикуляр қояйық; бүл тік бағытты көрсететін аспаппен іске асырылады. Осыдан кейін біз оны [бүл жағдайдан] ауытқып кетпейтіндей етіп бекітеміз. Басқа сызғыш меридиан жазықтығында оны айналатындай етеміз. Осы үшін алдын ала меридианды табамыз және [бірінші сызғыштың] ось орналасқан шетін аспанға бағыттаймыз, ал екінші шетін жерге бағыттаймыз. Үшінші сызғышта сызылған бөліктері бар сызықты және екі [бастапқы] сызғышта жүргізілген екі сызықтың шеттеріне қойып екі сызғышпен жасалған бұрыштың шамасын белгілеп қояйық. Бүл екі сызық тең. Осы екі шет арасындағы үшінші сызғыш қиылысқандағы бөлігі Зенит пен Айдың меридиан дөңгелегіндегі орын арасындағы [меридиан] доғасының хордасы болады, былайша айтқанда, аспан экваторының полюсы арқылы өтетін дөңгелек. Бүл [дөңгелек] эклиптика полюсы арқылы өтуі мүмкін, егер Ай күн тоқырауда болса. [Айдың] ендігін бақылау үшін екі күн тоқыраудан жазғысын артығырақ көреді, ал екі шекарадан - солтүстік, өйткені ай онда тұрғанда параллаксы қарама-қарсы шеттегідей болмайды. Ол айтты: ендікті анықтау үшін Александрияда Айды солтүстік шекарада жазғы күн тоқырау нүктесінде бақыладық. Осының арқасында оның көрінетін және нақты орындарының елеулі айырмашылықтары байқалады; оның зениттен қашықтығы бір уақытта екі және сегізден бір градус шамасында тең болды. Сондықтан, әртүрлі уақытта бақыланатын ендіктер сезу бойынша ұқсас болуы және бес градусқа тең болуы керек. Параллаксты бақылау үшін қысқы күн тоқырау мен оңтүстік шекара қолайлы, өйткені параллакс зениттен қашықтық өскенде өседі және қашықтық шегінде параллакс шегіне жетеді. Параллаксты табу жағдайына келтіретін бақылаулардың бірі, Күн батқанда, ал меридиан дөңгелегінде зениттен Айға дейінгі қашықтық елу, жартысы, үштен бір және он екіден бір градус болғанда және дәуір [басы] үшін [қабылданған] мерзімі жасалды және эфемеридтің келтіргені Күннің нақты орны 5;28 Вес градусында, Айдың нақты орны - 3;10 Козерог градусында; солтүстік шекарадан ендік [аргументі] - 354;40 градусында; оның ендігі солтүстікке қарай [эклиптика полюстері арқылы өтетін дөңгелектен] 4;59 градусында, [Ай] орналасқан эклиптика нүктесінің ауытқуы 23;49 градусқа, меридианның зениттен қашықтығы, былайша айтқанда, бақылау жүргізілген орынның -Александрияның 30;58 градус;

зениттен Айдың нақты қашықтығы жергілікті орынның ендігі мен [эклиптика] градусының Ай ендігін алып тастағандағы ауытқуының қосындысына тең; ол 49 градус және 48 минут; оның көрінетін қашықтығы 50;55 градусқа тең болатын. Олай болса, параллакс бір градус және 7 минут болады; бүл [параллакс] толығымен ендік бойынша және бойлық бойынша ешқандай маңызды іс болмайды, нүкте Козерог [градустары] басында болды, ал Ай меридианға жақын болғанда бақыланды. Айдың қашықтығын анықтау туралы Дөңгелек АВ Жер болсын, CD - Айдың центрі арқылы өтетін дөңгелек және бақылау орны, бұл дөңгелектің центрі Айдың центрі болсын [95-сурет]. EG - дөңгелегі арқылы жердің параллаксы болмайды. Ай D нүктесінде тұрсын, К - Жер центрі және осы дөңгелектердің әрқайсысының центрі; KD-ні EG дөңгелегіндегі Н - қа дейін жалғастырайық; нүкте A - бақылау орны және ADF сызығы - бақылау сызығы болсын; сонда FH параллакстың доғасы болады, F - Айдың көрінетін орны, ал Н - оның нақты орны. Зенитке дейін КАСЕ-ні және КН сызығына параллель AG сызығын жүргізейік. Сонда Жердің диаметрінің AG дөңгелегіне сезінерлік мәні болмағандықтан, онда GF HF-тен сезінбейтін [шамаға] үлкен болады. Бұрыш ЕКН белгілі, өйткені оны белгілі нақты қашықтық керіп жатыр; сонда бұрыш ЕАҒ белгілі, өйткені оны көрінетін қашықтық керіп жатыр, сондықтан GAF бұрышы бақылау бойынша белгілі болып қалады. Бүл ADK бұрышына тең. А нүктесінен КН-қа AL перпендикулярын түсірейік. Сонда AKL үшбұрышындағы қатынастар белгілі болады, [осыдан] АК-ны есептейміз, былайша айтқанда Жердің диаметрінің жартысын. Сонымен қатар ADL үшбұрышының екі белгілі бұрышы бар: тікбұрыш, ADL бұрышы және AL белгілі қабырға; DAL - қалған бұрыш, сондықтан барлық үшбұрыш белгілі деп есептеуге болады. DAL [бұрышының] екі қабырғасы белгілі, сондықтан барлық KD-нің КА-ға қатынасы белгілі. Сонымен, Айдың Жер центрінен қашықтығының Жердің жарты диаметріне қатынасы бүл қабылдауда белгілі.

Есептеумен табамыз, егер АК бірге тең болса, онда KD - 39;45. Сөйтіп, осы суреттің көмегімен бақылау уақытындағы Айдың қашықтығы табылды. Осыда оның қашықтықтарының қатынасын сизигиялар мен квадратураларда және оның эпициклі диаметрінің Жердің диаметріне қатынасын анықтауға болады. Эксцентр мен эпициклді сызайық, Ай эпициклдің L [нүктесінде] болсын, бұрынғыша қосу сызықтарын жүргізейік [96-сурет]; DM мен GN перпендикулярларын жүргіземіз. Айдың орны көрсетілген бақылаудан

аномалия бойынша белгілі, орта апогейден Айдың қашықтығы 262;20 градус, сондықтан орта перигей К-дан жарты дөңгелекті алып тастағаннан қалған градус әрі орналасқан, былайша айтқанда 82;20 градусқа. Бірақ FK, былайша айтқанда, перигейлер арасындағы теңдеу есептеу бойынша тоқсан градусқа дейінгі қосымша 82;20 градусқа тең, былайша айтқанда, жеті градус және үштен екі [градусқа], барлық доға LKF - тосқан градус, олай болса бұрыш LBF - тік.

Екі еселенген элонгациямен керілген бұрыш АЕВ белгілі болғандықтан, онда үшбұрыш DME тең және ұқсас EGN үшбұрышына; олардағы қатынастар белгілі. Дәл осылай үшбұрыш DGB екі қабырғасы мен тік бұрышы бойынша белгілі болады, сонда DE, BE мен басқа сызықтардың қатынастары белгілі болады. Бұрыш EBL тік және оның қабырғалары ЕВ мен LB белгілі болғандықтан, онда BL арқылы EL белгілі болады. Соңғы суреттен оның эпицикл В-нің жарты диаметріне қатынасы белгілі; эксцентрдің жарты диаметрі DB, сизигиялардағы орта қашықтық ЕА, квадратуралардағы орта қашықтық ЕС және екі қосатын [сызықтар] Жердің жарты диаметрі бойынша белгілі. Сонымен сызықтар ЕА - 59, ЕС - 38;43, BL -5;10, EL-39;45. Ол айтты: көзбен құрылған осы қашықтықтар мен бұрыштарды анықтаудан Күннің қашықтығы мен шамасын анықтауға болады. Егер тұтылулар орталарын және тұрақты бойлығы мен ендігі бар қозғалмайтын жұлдыздар бойынша олардың биіктігін және Күн бойынша, онда біз тұтылулардың орта уақыттарын таба аламыз және осыдан - бойлық пен ендікті. Уақытты анықтайтын (су өлшеуіштер көмегімен) инструменттерді немесе тікелей [сағатпен] өрнектелген Күң шығу уақыттарын алсақ, онда олар бұны табуға келтірмейді. Күннің, Айдың және сизигеяда [Жер] көлеңкесінің көрінетін шамаларын анықтау туралы Күн қашықтығын анықтау әдісіне байланысты, ол алдымен келешек жағдайды келтіреді. [Гиппарх] Күннің диаметрі шамасын, оның екі тесігі арқылы қарап және [сызғыштар] арасындағы бұрышты байқап, екі тармағы бар инструмент көмегімен бақылады; бұл бұрыштың шамасы Күннің барлық қашықтықтарында өзгермейді. Айға келсек, онда оның диаметрі көз көрерлік қашықтыққа байланысты өзгереді; Ай [Жерден] үлкен қашықтықта тұрғанда Күн көрінетін бұрыштай бұрышпен көрінеді, ал басқа жерлерде Күнге қарағанда үлкен бұрышпен көрінеді. Ғалымдардың Айдың көрінетін бұрышы

Күннің орта қашықтықтағы көріну бұрышындай деп айтуы қате; олар Күн көрінетін бұрышты өлшегенде де қателесті. Ол айтты: біз бұл бұрыштың ескертілген бұрыштан кіші екенін таптық. Күн қашықтығы мен шамасын дәлдегенде мұндай өлшеулердің жалпы қажеті жоқ. Птолемей Күннің диаметрі шамасын анықтағанда бұрышты көрсетілген сызғышпен өлшеген жоқ, өйткені оны қондыру және дәлдеу қиын, кейбір ай тұтылуларын пайдаланғаннан кейін көрсетеміз. Осы сызғыштың көмегімен бақылау анықтауға көмектесті, егер Күнді бақылау бұрышы және Айды бақылау бұрышы тең болса, олардың көрінетін бұрышы біреу ғана болса, онда олардың қашықтығы туралы бірдей деп тұжырымдау қате болмайды. Бұл бұрышты көрсетілген инструментпен өлшеуге келсек, мұнда біз үлкен қате жіберуіміз мүмкін. Сондықтан екі диаметрді өлшегенде бүл бұрыштың шамасынан емес, көрінетін F теңдеуін есептегенде ғана пайдаланады. Күннің толық тұтылуын қарастырғанда анықталғаны, кейде оларда ұзақтылық бар, ал кейде жоқ. Оларда ұзақтылық болғанда, онда түсінікті, айдың диаметрі көру мүмкіншілігі бойынша Күн диаметрінен сөзсіз үлкен, өйткені Ай Күннің астында қозғалады және онан алыстайды, онда ол жабылу себебі болады. Егер оларда ұзақтылық жоқ болса, онда диаметр көріну бойынша тең, өйткені егер Айдың диаметрі кіші болса, онда Күн толық тұтылмаған болар еді, ал егер Күннің диаметрі кіші болса, онда толық тұтылудың ұзақтылығы болар еді. Ай ең үлкен қашықтықта тұрғанда ұзақтылығы бар мұндай Күн тұтылуы болмайды. Жерден Айдың орта және жақын қашықтықтарында Күннің толық тұтылуларының ұзақтылығы болады. Осыдан ең үлкен қашықтықта Ай диаметрі Күн диаметріне тең екендігі дәлелденеді. Диаметр шамасына байланысты алсақ, онда Птолемей оларды табу әдісін екі тұтылудан көрсетті, біріншісінде диаметрдің оң жағындағы ширегі тұтылды. Күн мен Айдың эфемеридік есептеудің көрсеткені узелден Ай 9;20 [градус] қашықтықта орналасқан және эпицикл апогейінен жақын, олардың арасындағы қашықтық шамамен жеті минутсыз жиырма градус. Бірақ эпицикл центрі деферент апогейіне жақын болуы мүмкін емес; сондықтан бүл қашықтық узелден конустың берілген бөлігіне [көлеңкесіне] кіреді, былайша айтқанда Ай, деферент апогейіне өзі жақын, эпицикл апогейінің жақын қасында орналасқанда, онда диаметрдің бір бөлігін қараңғыға түсуге келтіреді. Екіншіде - солтүстік тұтылуда Ай диаметрінің жартысы тұтылды, ал Күн мен Айдың эфемеридасының келтіргені узелден [Ай] қашықтығы 7;48 градусқа тең, ал оның апогейден қашықтығы бірінші қашықтыққа жақын болды және

жиырма сегіз градус бес минутқа тең болды. Сонымен мұндай айырмашылық Жерден есептелген қашықтыққа ешқандай елеулі эсер етпейді. Узелден басталған осы қашықтық тұтылу Ай денесінің дөңгелегі центріне дейін жетуге келтіреді. Айдың ендігі бірінші жағдайда 0;48;30-га тең болды, айдың ендігі екінші жағдайда - 0;7;50; сондықтан Ай диаметрінің ширегі 0;7;50 болады. Бүл жағдайда Ай толығымен үлкен дөңгелек бойынша кіреді - 0;31 ;20. Конус [көлеңке] диаметрінің жартысы осы жерде екінші бақылауда көрсетілген ендікті кереді, өйткені тұтылу ай дөңгелегі центріне дейін жетеді, ал конустың [көлеңкенің] центрі әр уақытта эпициклде болады. Бұл Ай денесінің екі еселенген радиусынан оның жартысының бестен үш елеусіз бөлігі [шамасына] кіші. Ол бұл нәтижені тексерді және оны көптеген бақылаулар көмегімен растады. Күн қашықтығын анықтау және бұдан не анықталатындығы туралы Ол айтты: осыны есептегеннен кейін ай тұтылуын қарастыруға негізделген Күн қашықтығын және оның шамасын анықтайтын әдісін баяндауға кірісеміз. Бұл үшін алдыңғы бір шартты келтірейік. ABC үшбұрышында DH оның табанына параллель [97-сурет] және DE=BD болсын. E нүктесінен басқа параллель сызық EG жүргізілген. Сонда GE мен СВ бірге DH-тан екі есе үлкен. [Дәлелдеу]. ВЕ-ге параллель GK-ны жүргізейік. Сонда түсінікті, GE мен ВК бірге DF-тен екі есе үлкен. Өйткені СК-ның FH қатынасы KG-дің FD-гe қатынасындай, былайша айтқанда ВЕ-нің DE-гe, ал BE DE-ден екі есе үлкен, онда СК FH-тан екі есе үлкен. Олай болса, GE мен ВКС бірге DFH-тан екі есе үлкен /156/.

KLM - жер дөңгелегі, HGE - ең алыстағы қашықтықтағы Ай дөңгелегі, ABC - Күннің Ай арқылы тұтылуының дөңгелегі [98-сурет]; олардың денелері көріну конусымен жанасады, бұл дөңгелектер бір жазықтықта жатсын. Бұл жазықтық Күн сәулелері өтетін Жер көлеңкесін жасап конустан АХС жазықтығын қиып алсын, ал Күн мен Айды бірдей қамтыған көріну конусын - ANC жазықтығын. Дөңгелектердің қиылысу нүктелерін және екі конустың қимасын АС, ЕН пен KM сызықтарымен қосайық, ЕН-ты J-гe дейін созайық; OQ - Ай ең үлкен қашықтықта тұрғандағы көлеңке дөңгелегінің диаметрі болсын; сызық DX - барлық центрлер арқылы өтетін үлкен конустың стреласы, былайша айтқанда, D, F және N-нен өтетін. Ол OQ-ды Р-да қиып өтеді; сен білесің, бір нүктеден жүргізілген және дөңгелекті жанап өтетін кез келген екі сызық өзара тең; сондықтан әрбір қос сызықтар ХС мен ХА, ХО мен XQ тең және тең бүйірлі үшбұрыштарды жасайды және әрқайсысының табаны тең қабырғаларын қияды; сонымен АС мен ЕН, АС мен КМ, АС мен OQ параллель болады;

олардың барлығы бір жазықтықта [жатады], өзара параллель және сезу бойынша диаметрлер, ал шынында бұлай емес, бір-бірінен елеусіз аз [шамаға] айырылысады. Бұрыш ANC және оның жартысы FNH белгілі; бұрыш NFH - тік, өйткені ол NFE-ге тең; ең үлкен қашықтықты көрсететін FN сызығы белгілі, сондықтан FNH үшбұрышының бұрыштары мен қабырғалары қатынастары белгілі; HF-тің FN-гe қатынасы, Жердің жарты диаметріне қатынасы бар болғандықтан, белгілі; FH-тың PQ-гe қатынасы белгілі, сондықтан PQ белгілі. QP мен ҒІ екеуі [бірге] - екі еселенген MN, олай болса олардың қосындысы белгілі; PQ мен ҒН белгілі, қалған HІ белгілі; NM-нің HJ-ге қатынасы қалай болса NC-нің СН-қа қатынасы солай, былайша айтқанда NDнің DF-ке дегідей. НІ-ден MN-нің артықшылығының НІ-ге қатынасы НІ-ге белгілі NF-тің белгілі FD-гe қатынасы сияқты екенін бөліп алып табамыз; FD белгілі, олай болса, DN белгілі. FH-тің DC-ке қатынасы NF-тің ND-гe қатынасындай, сондықтан CD белгілі. NF-тің ND-гe қатынасындай, сондықтан CD белгілі. ND, былайша айтқанда, Күннің Жерден қашықтығы бұл бақылауда 1210-та тең болып шықты, ал CD сызығы, Күннің жарты диаметрі -шамамен 5;30 [жер жарты диаметріне] тең. EN, CN, NP, NX-терді анықтауға болады; осылайша, NX сызығы - 268 болып шығады; егер А диаметрін бір деп ұйғарсақ, онда Жер диаметрі 3;24 - ке, Күн диаметрі - 18;48-ге тең болады. Бірақ сфералардың бір-біріне қатынасы - бүл олардың диаметрлерінің үштік қатынасы. Онда Жер көлемі 39,15 рет Айдың көлемінен артық, ал Күн көлемі 170 рет Жер көлемінен артық. Сонымен, ол не қалағысы келді, соны көрсетті.

Күн мен Жердің параллакстарының дербес [мәндері] туралы Птолемей Айдың параллаксы оның қашықтықтары арқылы анықтау жағдайын анықтауға кіріседі. Егер Ай кейбір белгілі қашықтықта тұрса, онда оның параллаксын қалай анықтауға болады? Ол [99-сурет] суретін параллакс үшін алдыңғы суреттегідей қылып салады; Айдың шын орны Н-та, ал көрінетін орны Ғ-те. Оның параллаксы HF болады, сезуімізге GF-пен тең.

Птолемей айтты: Айдың Зениттен қашықтығында белгілі сан градустары [бар] болса, онда бұрыш К белгілі, L-тік. Сондықтан AKL үшбұрышындағы қатынастар белгілі; дәл осылай ALD үшбұрышында ALD бұрышы, олай болса бұрыш GAF белгілі болады. Өйткені оны мен центрдегінің арасында ЕҒ дөңгелегі бойынша айырмашылығы жоқ, былайша айтқанда сезуімізге НҒ-тен айырмашылығы жоқ екендігі белгілі болады; бұл белгілі қашықтық үшін параллакс болады. Осылай қашықтықтар үшін әр алты градус бойынша тоқсан градусқа дейін

есептейді. Осыдан кейін әрбір алты градусқа сәйкес айырмашылықты алып оны үшке бөледі. Мұнда қысқарту мен жуықтауды қолдану және алынғанды әрі екі [градус] сайын таблицаға қосты. Ол параллакстар таблицасын жасады, бірінші тік жолға әрі екі градуспен тоқсан градусқа дейін өсетін квадрат градустарын орналастырды. Бұл Зениттен басталатын қашықтығының градустары. Екінші тік жолға -Күн параллаксы, үшінші тік жолға - бірінші жағдайдағы Ай параллаксы; төртінші тік жолға - [Ай] параллаксының артықтығы екінші жағдайдағы біріншідегідей, бесінші тік жолға - үшінші жағдайдағы [Ай] параллаксы. Өйткені жоғарыда ескерілген Ай қашықтықтары [эпицикл], біз білетін бөлу әдісі бойынша, екі апогейде немесе екі перигейде тұрғанда, онда егер Ай центрі немесе эпицикл центрі ауытқыса, параллаксты табу үшін оның қашықтығын анықтау қажет. ABCD - эпицикл және G Жер центрі болсын [100-сурет]; GDA - ны жүргізейік, мұнда D -көрінетін перигей, А - көрінетін апогей, В - басында Ай тұрған көрінетін апогейден ауытқу нүктесі, [ауытқу доғасы] отыз градусқа тең. СВ-ні жүргізейік, В нүктесінен диаметрге белгілі ВН перпендикулярын түсірейік; сондықтан ЕН белгілі; GH пен ВН белгілі, олай болса олардың гипотенузасы GB белгілі.

Бұл суретте Ай С нүктесінде болсын; перигейден [оның қашықтығы] белгілі; CF перпендикулярын түсірейік, ЕҒ-ті анықтайық, олай болса, GF сызығы белгілі. Өйткені эпицикл центрінің апогейде немесе перигейде болғанынан тәуелсіз GC белгілі. Егерде ол олардың екі арасында орналасқан болса, онда ABC - центрі Е-дегі эксцентр болсын [101-cypem], G - Жер центрі, А - апогей, С [эксцентрдің] перигейі, эпицикл центрі В нүктесінде жатады; GB-ні D-гe дейін созамыз және [оған] ЕН перпендикулярын [түсірейік]; ЕВ мен ED-ні жүргіземіз; AGB мен DGC бұрыштарының [әрқайсысы] дөңгелекте төрт тік болғанда алпыс градус болсын. Егер Ай центрі В нүктесінде болса, онда екі шырақтың арасындағы қашықтық отыз градус, өйткені ол апогейден басталған қашықтықтың жартысына тең; егер де ол D нүктесінде болса, онда қашықтық - жүз жиырма градус. Қосатын қабырға EG және бұрыш AGB белгілі, H - тік болғандықтан, онда HE белгілі; Е, ЕВ де [белгілі]; бұрыш Н - тік сондықтан НВ және демек, барлық GB белгілі. Тік бұрыш Н белгілі болғандықтан, ЕН пен ED белгілі; GH арқылы GD қабырғалары белгілі. Эпициклдің екі қашықтығының бірі GC және екіншісі берілген қашықтан жоғары GA орналасқан болса, сонымен қатар BG мен BD [белгілі] болғандықтан, онда бірінші және осы суретте бірінші ескертілген қашықтықтардан ауытқығандағы қашықтық

анықталады. Осылай, ол Айдың кез келген жағдайдағы барлық қашықтықтарын табады.

Ол алтыншы тік жолды жасап, оған, Айдың эпицикл апогейінен ауытқығанда, деферент апогейінде эпициклді [тапқанда], қашықтықтар тізбегіндегі алынған артықтықты орналастырды; олар ең үлкен артыққа байланысты алынған, былайша айтқанда эпициклдің диаметрі және ең үлкен ауытқудағы ең үлкен қашықтықтың артықтығы бойынша, бүл артықтықтың эпицикл диаметріне қатынасы алпыс деп алынғаны [және анықталды]. Мұнда ол есептеді эпицикл диаметрі - 49;41 және орта қашықтық - 60. Жетінші тік жол [пропорционал] минуттар үшін, төртінші тік жолдағыны түзетіп үшінші тік жолға қосады. Осыдан кейін бұл әдісті пайдаланып ол эпицикл центрі перигейде [тұрғанда] осы мәндер үшін сегізінші тік жолды жасады. Аргумент сандары аномалиямен перигей арқылы ауытқу градустары болады. Өйткені олар жүз сексен градус, онда олар тоқсан немесе қырық бес сандарымен аяқталмайды, былайша айтқанда градустар үшін жолдар санымен. Сондықтан ол әр градустың орнына екі градусты алды және олар үшін барлық есептегенді жарты градустың қарсысына қойды. Мысалы, ол эпицикл диаметрі 16, ал эпицикл центрінің эклиптика центрінен қашықтығы алпыс екенін тапты. Бұл сегізінші тік жолда алтыншы тік жолдағы [пропорционалды] минуттары бар және оны бесінші тік жолға қосады. Егер ол бірінші қашықтықтың алпыс градусқа ауытқығанда табылған қашықтықтан артықтығын алса, онда отыздың қарсысына жазады. Ол тоғызыншы тік жолды жасады, оған эпицикл центрі ауытқығанда пайда болған қашықтықтардан бірінші қашықтықтың артықтығының шамасын орналастырды. Ол осы артықтықтарды және олардың эпицикл центрі апогейде тұрғанда шыққан мен перигейде тұрғанда алынғандардың айырымы болатын ең үлкен артықтыққа қатынастарын алды; бүл айырымның шамасы 20;38, Жер центрінен эпицикл центрінің қашықтығы алпыс. Бұл тоғызыншы тік жолда үшінші тік жолдағы мен бесінші тік жолдағының айырымын түзететін және үшіншіге қосылатын [пропорционал] минуттар орналасқан. Өйткені бұл ауытқу Жер центрінде екі шырақтың арасындағы қашықтықтың екі еселенгені болатын бұрыш жасайды, онда [аргумент] жолдарындағы сандардың осы артықтыққа қатынасы екі шырақтың арасындағы қашықтық үшін қатынас болады. Егер екі еселенген қашықтық [бүтін] аномалияның градустарынан асып кетсе, онда ол қалдықты екі еселейді. Өйткені оның баяндауы мұнда бірінші ауытқу үшін жасалған баяндауға ұқсас және әр градусты екі градус деп алады, сонда қабылданған екі еселенген қашықтықтың орны екі еселенген қашықтыққа қарсы

орналаспаған. Птолемей көрсетті: егер Айдың немесе эпицикл центрінің ауытқуы белгілі қашықтыққа келтірсе, онда алып тастағаннан кейін апогейге дейінгі толық айналымға дейін қалған қашықтық та белгілі болады және бірінші ауытқуға тең болады. Параллакс теңдеуі туралы және оның толықтығы Ол айтты: егер біз параллакс мәндерін анықтағымыз келсе, меридиан мен шырақ орналасуы арасындағы [тура] сағаттарды қарастыруымыз керек. Бұл параллель доғалармен анықталған доғалар. Бұл доғаның бұрышы берілген климаттың бұрыштар таблицасынан және бұрынғы кітаптарда келтірілгенмен келісілген, Зодиактың [он екіден бір] бөлігі екенін талап етеміз. Біз осы бұрышқа сәйкес доғаны [екінші] тік жолдан табамыз. Бұл Зенит пен шырақ арасындағы доға болады, былайша айтқанда, оның биіктігінің қосымшасы. Мұны аргумент жолына енгізейік, егер бұл шырақ Күн болмаса, онда торт жағдайға сәйкес тік жолға қарсы орналасқандардың жеке-жеке әрқайсысын аламыз. Кейін сол көрсетілген себеппен шын апогейден түзетілген аномалия бойынша градустар санын тең екіге бөлеміз; егер олар 180-нен кіші болса, онда олардың бәрін [тікелей] пайдаланамыз, ал егер үлкен болса, онда осы санның артықтығының үш жүз алпыстан бір бөлігінің жартысын аламыз. Егер бүл жасалып қойған болса, онда сегізінші және жетінші тік жолдарда осыған қарсы орналасқан мәнді аламыз; жетіншіде теңдеу үшін үшіншідегідей [санды] төртінші тік жолдан табылған айырымды үшінші тік жолдағы [санға] қосып аламыз. Сегізіншіде теңдеу үшін бесіншідегі [санды] алтыншыдағы айырымнан алып және осыны бесінші тік жолдағы [санға] қосамыз. Осыдан кейін екі шырақ арасындағы немесе Ай мен Күнге қарама-қарсы белгіленген нүкте арасындағы қашықтықтардан [саны] аз градустарды аргумент жолдарына енгіземіз. Әрі қарай бүл қашықтыққа қараймыз; егер ол 90-нан аз болса, онда осы санның өзін немесе 180-нің үстіндегі оның артықтығын аламыз. Егер де ол 180-нен коп және 270-тен аз болса, онда 180-нің үстіндегі оның артықтығын аламыз. Тағы да тоғызыншы тік жолдағы оған қарсы орналасқанды аламыз; Үшінші және бесінші тік жолдардағы параллакстар арасындағы жетінші және сегізінші тік жолдардағыдай түзетілген айырымды табамыз; оны тоғызыншыда алынғанға көбейтеміз және 60-қа бөлеміз; алынғанды осы түзетілген [параллакстардың] кішісіне қосамыз. Алынғаны дөңгелек биіктігі бойынша [алаңсыз] түзетілген параллакс болады. Бірақ мұнда Ай эклиптиканың өзінде түр және ендігі жоқ деп [есептелді]; сондықтан бүл жерде, өздерінің [тікелей] сағаттарымен және доғаларымен

бірге, берілген бұрыштар эклиптика градустарына сәйкес болады. Егер Айдың ендігі жоқ деп алсақ, онда бүл тек шарт бойынша ғана, өйткені оның параллаксын бойлық бойынша да және ендік бойынша да көрсеткіміз келеді. Оны іске асыру әдісіне байланысты, оны оңай елестету үшін сурет көмегімен көрсетемін.

ABCD - горизонт дөңгелегі, AJM - меридиан доғасы, І нүктесі солтүстік зенит [102-сурет], доға CGE - эклиптиканың жартысы, G - солтүстік эклиптикадағы Ай градусы, М -эклиптика полюсі болсын. М нүктесінен G-гe дейін доға жүргіземіз және әрі қарай өз ендігінде Айдың нақты орны болатын Ғ-ке дейін сызамыз. Доға ЕКВ биіктік доғасы. Ол Айдың нақты және көрінетін орындары арқылы өтетіні белгілі. Ай центрі арқылы эклиптика центрінен және зениттен сызықтар өтетін болғандықтан, онда олардың қиылысуы Ай центрі болады. [Ай центрі] мен эпицикл центрі бойлық және ендік бойынша бір нүктеде түйіседі; сондықтан зениттен шыққан сызық І Айдың] екі орны арқылы өтеді. К нүктесі - оның көрінетін орны болсын; сонда доға FK оның толық қисаюы болады, ол оңтүстік жағында, өйткені К-ға қарағанда F зенитке жақын, ал К оңтүстікке қарай орналасқан. Эклиптика полюсінен, оның көрінетін орны болатын, эклиптиканы Н-та қиып өтетін, МНК доғасын жүргізейік. G-гe қарағанда, Н шығысқа жақын және ол эклиптикадағы орны болар еді, егер Ай К-да шын тұрған болса. Бірақ бүл - көрер көзге ғана. Сондықтан Н - эклиптикадағы Айдың көрінетін орны, ал GH, бойлық бойынша, шығысқа қарай, Зодиак белгілерінің тізбегі бағытымен, Ай параллаксы, өйткені қиылысу орнына қарағанда горизонттан әрі, былайша айтқанда Gден әрі. N нүктесі зенит пен эклиптика сызықтарының қиылысу орны болғандықтан, онда НК FG-ден ұзын; сонымен көрінетін ендік [нақтыдан] үлкен. GF-ке тең HLді алайық, сонда LK шын және көрінетін ендіктердің ендік бойынша параллаксы болатын айырымы болады. МН пен MG доғалары тең болғандықтан, онда MF пен ML тең; осылай FL шынында GH-тан қысқа. Бірақ кейде бұл доғаларды түзу сызықтар деп есептеуге болады, өйткені бұл орында олар кішкентай. Егер оларды түзу сызық жасасақ, ал G мен Н бұрыштарын - тік, онда FL шартты параллель және GH-қа тең /158/. Мұнда үлкен қате болмағандықтан, FL бойлық бойынша параллаксқа жуық шамамен тең болады, былайша айтқанда GH. Сонда FKL үшбұрышының барлық үш қабырғасы параллакс болады; FK - толық параллакс, FL - бойлық және KL - ендік. Өйткені бұрыш FGH тік, бұрыш FNG - сүйір және Зодиак

белгілерінің тізбегі бағытымен ашылатын бұрыш ІNC - доғал; сондықтан солтүстік зениттік бұрыш доғал. Біз кері ретпен баяндай және айта аламыз; егер солтүстік зениттік бұрыш доғал болса, онда тікбұрыш және оның ауытқуы шығыстық. Егер Н G-гe қарағанда N-гe жақын орналасса [103-сурет], онда [ауытқу] батыстық; К N мен F арасында орналасады, сондықтан ауытқу солтүстік зенитте солтүстікке қарай. Бұлай болу мүмкін емес, өйткені ауытқу қашықтау болуы керек, жуық шамамен.

Бұнда Зенит солтүстіктік, ал Айдың оңтүстік-батыс ендігі бар екендігін басқа суретке келтірейік [104-сурет]. Осы [орналасуға] сәйкес ауытқуды анықтайық. Бұрынғыдағыдай оңтүстікке қарай толық ауытқу, ал бойлық ауытқу - батысқа қарай деп көз алдына елестетейік. Солтүстік шығыс бұрыш сүйір екенін табамыз, өйткені оған сәйкес тік бұрыштан кейін [де] сүйір. Бірінші суреттегідей горизонт жағындағы көрші солтүстік [бұрыш] - доғал. Егер сен Зенит жасасаң, былайша айтқанда, І-ді оңтүстік нүкте, онда ауытқу солтүстіктік болады және бұрыштар бойынша барлық жағдайлар керісінше болады. Бұдан көрінетін бойлық нақты бойлық жағында болуы мүмкіндігі анықталады, онда бірінші екіншіден үлкен; немесе, ал оның жағында емес, онда кішісі оған жетпейді. Ендік бойынша дәл осылай. Егер зенит пен шырақ арасында эклиптика тұрған болса, онда көрінетін ендік қарама-қарсы жағында болады және шын ендіктен үлкен. Егер де эклиптика Зенит [Шырақ] жағында жатпаса, онда ендік бойынша параллакс азайтқыш болуы мүмкін.

Бұған мысалы. ABCD - горизонт дөңгелегі, AGK - меридиан, CGE - эклиптика, СНЕ -жантайған дөңгелек, І - зенит, F - Айдың нақты орны, ВЕІ - биіктік дөңгелегі, І - Айдың көрінетін орны KFMX және KІL - ендік [дөңгелегіндегі] доғалар. FІ - толық параллакс, X -жарық [орнының] градусы, XF - оның шын ендігі, N1 - көріну бойынша оның ендігі, MF -көрінуі сондай кішкентай болуы мүмкін, мұнда ендік бойынша параллаксы жоқ боп танылуы мүмкін, ендік бойынша азайтқыш параллакс екенін білесің. Бұл зенит те және Ай да эклиптика дөңгелегінде тұрғанда болады. Бұған мысал. ABCD - горизонт [болсын] [105-сурет], АЕС - меридиан, Е - зенит, І - Айдың нақты орны, G - оның көрінетін орны, ІG - оның толық ауытқуы, бұл бойынша [параллакстың] өзі; ол эпициклдан ұзап кетпейді, олай болса ендік бойынша көрінетін, шын [параллаксы] жоқ.

Бұл ауытқудың бейнесі өте кішкентай болып және бойлықпен де, ендікпен де параллакс мүлдем жоқ болып көрінуі мүмкін. Егер Ай горизонттан тоқсан [градуста] тұрса, бұл болады. Ол меридианда тоқсан градусқа әрдайым болмайды; оның ауытқуы мүмкін. Ол меридианда дөңгелек төрт бұрыш арқылы меридианмен беттесе болатынын сен білесің. Птолемей көптеген жайларды болжады; Ай меридианда тұрғандағы жағдайын қарастырды және ол бойлық бойынша маңызды параллаксы жоқ екенін тапты. Шынында жағдай былай, оның айтуынша, егер Ай айтылған ескертілген орында болса. Ауытқу жағдайына сурет келтірейік. ABCD - горизонт болсын [106 - сурет], CLE - эклиптика, ІLмеридиан, L - аспан әлемінің ортасы Козерогтың басынан Близнецтердің соңына дейін эклиптика [градустарымен] өлшенетін; L нүктесі мен Күннің шығу нүктесі арасындағы доға тоқсан [градустан] үлкен; М нүктесі, былайша айтқанда, эклиптика дөңгелегінің полюсі, батыс жағында орналасқан, Ғ - ол тікелей осы нүктеде немесе К-да тұрғандағы шырақ градусы. І - зенит болсын, ВҒІ - биіктік, ІF немесе ІK - көрінетін биіктіктің қосымшасы. ВҒ СЕ доғасын тең екіге бөледі. ҒК немесе KM - ауытқу, өйткені екеуі үшін баяндаулар бірдей. Егер [Ай] ABCD дөңгелегі полюсі мен эклиптика полюстері арқылы дөңгелек сызса, онда бұл екі дөңгелек екі квадратқа бөлінеді, суреттелген дөңгелек Ғ арқылы өтеді, биіктік дөңгелегімен бірдей болады және KF немесе КМ доғалары [шамасымен] ендік бойынша параллаксқа келтіреді. Бүл бір уақытта параллакс биіктігі және ендігі бойынша. ІF доғасы көріну климатының ендігі деп аталады. Бұл жағдайда Зениттің көрінуі вертикальды. Параллакс жағдайларын анықтау әдісі осындай.

Егер толық ауытқу анықталған болса, ал оны керіп тұрған бұрыш тік, онда ауытқу [бойлық пен ендік бойынша] оңай есептелінеді, өйткені бүл түзу сызықтар және қабырғалары мен бұрыштары белгілі тікбұрыш құрады. Сондықтан егер бұл ауытқу белгілі және бір шетіндегі бұрыш белгілі және ол тік [бұрыш] керетін болса, онда барлық бұрыштары және қабырғаларының қатынастары да [белгілі]. Суреттен түсінікті, егер зенит солтүстіктік болса, онда параллакс оңтүстіктік, ал егер ол оңтүстіктік болса, онда параллакс солтүстіктік. Егер жантайған дөңгелек Зенит пен эклиптика арасында орналасқан болса, онда шын [орналасуы] жөнінде ендік бойынша ауытқу жеткіліксіз; егер эклиптика ортасында тұрса, ендік бойынша ауытқу артық. Бойлыққа байланысты, егер

Зениттік солтүстік шығыс бұрыш доғал болса, онда бойлық бойынша ауытқу шығысқа қарай; егер де ол сүйір болса, онда батысқа қарай. Ауытқу оңтүстік жағынан Зодиак таңбаларына қарама-қарсы бағытпен болады; егер солтүстік жағынан болса, онда керісінше. Егер бұрыш тік болса, онда бойлық бойынша ауытқу байқалмайды. Птолемей осының бәрін көрсеткеннен кейін, ол айтып ескертті, Жер горизонты дөңгелегінде болғанда Ай биіктігінің доғасы орнына олар басқа оның бойлық бойынша градустардың қосымшасы болатын доғаны пайдаланған, сондықтан Гиппарх бойлық және ендік бойынша параллакстарды айыра білетін төмендегі суретті келтірді. ABC -эклиптика, AD - жантайған дөңгелектің [доғасы] [107-сурет], А - узел, ал Ай белгілі D нүктесінде, DB - АВС-ге перпендикуляр белгілі ендіктің доғасы; сонда В - бойлық бойынша Ай орны белгілі болады, ал DB - оның шын ендігі, Е - зенит болсын, одан В-ге дейін ЕВ доғасын жүргізейік және жантаю дөңгелегі нүктесі мен Ай арқылы өтетін басқа доғаны; бұл EDG. DH биіктік бойынша параллакс болсын, DF - ендік және HF бойынша [параллакс], былайша айтқанда KB, - бойлық бойынша [параллакс]. Егер доға EDG, былайша айтқанда, нақты қашықтық, белгілі болса, онда доға DH, былайша айтқанда оның ауытқуы белгілі болады. Жоғарыда ескертілгендей, Зениттен белгілі нүктеге дейін эклиптикада доға болады, ал жантаю дөңгелегінде емес және басқа ештеңеде емес. Егер бұрыш EGC эклиптикасымен белгілі болса, онда доға DH, былайша айтқанда оның ауытқуы, белгілі болады. Жоғарыда ескертілгендей, Зениттен белгілі нүктеге дейін эклиптикада доға болады, ал жантаю дөңгелегінде емес және басқа ештеңеде емес. Егер бұрыш EGC эклиптикасымен белгілі болса, онда DH-тың анықтауынан бойлық пен ендік бойынша іздеген ауытқулардың анықтауына жетеміз, егер оны анықтауға болса және EGC бұрышына тең FHD бұрышын анықтау ҒН АС-ге параллель болғандықтан және DFH бұрышы анықтамасынан ол тең DBA тікбұрышына. Осыдан FH үшбұрышының қатынастары белгілі.

Бірақ ЕВ белгісіз болғанмен GDE белгілі емес және бұрыш ЕВС белгілі болса да EGC бұрышы белгілі емес. Гиппарх ED доғасын берілген деп есептейді; ол EG доғасын берілген, EDH доғасы белгілі және ED доғасы берілген болатындай етеді; осыдан ED доғасы берілген болады. Птолемейдің дәлелдеуі бір қашықтықпен шектелген, мысалы, AD қашықтығы үшін. Ол айтты: бірақ біз сендіреміз, егер Ай центрі меридианда солтүстікке қарай немесе оңтүстікке қарай орналасқан болса,

онда биіктік бойынша жылжу меридианмен дәл келеді. Сонда, саған белгілі болғандай, жылжу биіктік бойынша да және ендік бойынша да бірдей болады, бүл жоғарыда айтылғаннан белгілі. Бұған мысал. ABC - эклиптика [доғасы] [108-cypem], DBE сызығы оған перпендикуляр; В - зенит. Ай D-де немесе Е-де орналасқан болсын; сонда оның эклиптика бойынша ендігі DB немесе BE және берілген В нүктесіндегі доғалар мен бұрыштар белгілі болсын, ал берілген және белгілі D немесе Е нүктелеріндегі доғалар мен бұрыштар іздегеніміз болсын. Егер біз, В нүктесінен басқа, D нүктесін зенит және эклиптиканы горизонтқа перпендикуляр етсек, онда доға G-ден В-ге дейін Айдың, В-ден D-гe дейін немесе Е-ге дейін келетін, градустарымен тура келеді, бұл суретте олар шығыс және батыс жылжулары болады; бүл да белгілі. Сонда параллакстық жылжу ендік бойынша да, бойлық бойынша да, артықшылық бойынша да, жеткіліксіздік бойынша да болмайды. Мұндағы айырым ЕВ мен GD немесе GB мен GE арасындағы айырым; бұл сызықтардың арасындағы бұрыштар тек тік болады және анықтау оңай.

Егер зенит эклиптикада тұрса, ал Айдың одан тыс жерде ендігі болса, суретте көрсетілгендей [109-сурет], мұнда зенит, мысалы, Ада және D-да немесе Еде - шырақ орны, В - оның градусы, сонда АВ мен AD айырмашылығы АВ мен АЕ доғаларындағыдай болады және D мен Е-де пайда болған бұрыштар В бұрышындағы өзге болады және AD мен АЕ белгілі болады, егер олар хорданы ауыстырған болса, өйткені араларындағы айырмашылық үлкен емес. олар белгілі болады, өйткені АВ мен BD немесе АВ мен BE белгілі және бұрыш [В] тік, осыдан AD, былайша айтқанда, зениттен шын қашықтық белгілі. Осы белгілі [шамалардан] оның жылжуы анықталады.

Егер Зенит пен Айдың орналасуы екеуі бірдей эклиптикадан жылжыған болса, онда мұны анықтауға болады, егер алдымен оңтүстік немесе солтүстік биіктік доғасын жүргізсек, онан кейін параллакстық жылжуды тапсақ. ABF - эклиптика [110-сурет], Е - солтүстіктегі жантайған дөңгелектегі Айдың орны, ал D -оңтүстіктегі; олар белгілі; ЕВ мен BD - ABF-тегі В-де тікбұрыш жасаған ендік доғалары; G - зенит, GEF - эклиптикамен Ғ-те қиылысатын биіктік доғасы, DG - эклиптикамен Н-та қиылысатын биіктік доғасы. GE мен GD-ні анықтағымыз келеді. Биіктік доғасы GBK-ны жүргізейік. Ол В-де белгілі бұрыш жасайтыны белгілі; EL мен DK перпендикулярларын GB-гe түсірейік. GBA

бұрышы белгілі болғандықтан, онда LBE тік бұрышынан қалдық белгілі; дәл осылай DBK белгілі; L мен К бұрыштары тік; ЕВ мен BD белгілі. Сондықтан үшбұрыштар BEL мен BKD белгілі, өйткені олардың қабырғалары мен бұрыштары өзара тең [қабырғалары] ЕВ мен ВА бойынша, осыдан қалған GL белгілі, L-тікбұрыш, сондықтан гипотенуза GE белгілі. Дәл осылай. бұрыш В белгілі; бұрыш К - тік, BD белгілі, олай болса ВК мен KD белгілі; барлық G-дегі екі бұрышта белгілі, осыдан GEL мен GKD үшбұрыштарының солтүстік шығыс бұрыштары Ғ пен Н белгілі.

F бұрышы белгілі зенит бұрышы В-ден белгілі FGB бұрышы шамасындай аз болғандықтан, Н бұрышы сол В бұрышынан белгілі DGB бұрышы шамасындай үлкен болады. Біз GE мен GD-ні анықтадық, осыдан олардың биіктік бойынша жылжуын анықтаймыз; біз, эклиптика мен биіктік доғалары арқылы құрылған, Н пен F бұрыштарын да анықтадық, және бізге бұлардың орнына басқа бұрыштарды анықтау керек емес, бізге жылжу үшбұрышының бұрыштарын тапсақ жеткілікті. Ол айтты: сонымен, анықталды, арасындағы айырымдары анықталған бұл бұрыштардың арасындағы ең үлкен айырым В зенит болғанда болады; сонда В-де доғаның Зенитпен жасаған бұрышындай бұрыш жасалмайды және доғалар G мен D немесе Е арасындағы доғалар В-де тік бұрыштарды жасайды, өйткені Е-ні В мен немесе D-ні В мен қосатын доғалар эксцентрде жатады және сонда айырым тікбұрыш болады; бұл қолданылу мен жойылу арасындағы айырмасы сияқты айырым. Дәл осылай бүл жағдайда егер Ай В-де тұрса, осы доғалардың арасындағы ең үлкен айырым еш уақытта биіктік доғасын бермейді. Егер де ол Е-де немесе D-де болса, оған Зениттен басталған қашықтықтың салдарынан шыққан азғантай параллактиктік жылжуымен тең, өйткені бұрынғы анықталғандай ол екі жағынан да бірдей. Егер дөңгелек Зенит арқылы эклиптикадан перпендикуляр болғандағыдай эклиптика орны болса, онда АЕ доғасы мен АВ доғасының арасындағы айырмашылық ендік бойынша жылжыту доғасы болады; егер, мына суретте көрсетілгендей [111-сурет], Зенит пен Ай эклиптикада тұрса, онда Зениттен басталған доға былайша айтқанда AD немесе АЕ АВ-ден үлкен, бірақ DB мен ЕВ кіші, өйткені [үшбұрышта] екі қабырғаның қосындысы үшіншісінен үлкен және D немесе Е бұрыштарынан В бұрышы А бұрышы шамасындай үлкен, өйткені А мен Е бұрыштары бірге тік бұрышқа тең және сондықтан айырымы тік [бұрыштан] кем. Егер, суретте көрсетілгендегідей, G зенит болған жерде және басқа әртүрлі заттарды талап

еткен жерде, зенит пен Айдың [эклиптикадан] жылжуы деп ұйғарсақ, онда GB GE-ден ұзынырақ, бірақ ЕВ ендігінен кіші, өйткені бұрыш FBE тік және сонымен бұрыш BEF сүйір, ал GEB доғал; осыдан GB [GE]- ден ұзынырақ, бір ЕВ-ден кіші, өйткені екі қабырғаның қосындысы үшіншіден үлкен. Доғаға байланысты GBден ұзынырақ, өйткені ол тік бұрышпен бірге К-де үшбұрыштың сыртқы болғандықтан GBD тік бұрыштан үлкен. [Сондықтан] GD [GB] деген ұзынырақ, бірақ BD-ден кіші. Бұрыштарға байланысты, онда екі бұрыш В-де Ғ-пен Н екі бұрышынан D бұрышы шамасындай үлкен [және Е-ге сәйкес] және соңғылардың әрқайсысы тік бұрыштан кіші.

Птолемей параллаксты табудың дұрыс әдісі негізінде есептеу жолын көрсетеді, сол бойынша биіктік доғасының шын градусының толықтамасын алады, мысалы, бүл суретте BG және LEB бұрышына тең ABG бұрышының шамасын, өйткені сыртқы бұрыш DBG екі бұрыш L мен Е-нің қосындысына тең, олардың қосындысы екі тік [бұрыш] құрады; орталық бұрышты алу үшін оны екі еселейміз, осы бұрышқа сәйкес доғалық шаманы табамыз. Сонымен доға алынды. Әрі қарай осы доғаның хордасын аламыз, бұл LB, кейін хорданы аламыз - осы доғаның жарты дөңгелегіне дейінгі қосымшасы - EL; бір [доғаның] екіншіге және жүз жиырма бөлікке тең диаметр есебінде алынған ЕВ-ге қатынасын анықтаймыз; осы сандардың әрқайсысын гипотенуза саны ЕВ-ге көбейтеміз, былайша айтқанда, ЕВ ендігі санына, диаметр ЕВ-нің емес, мысалы, бес градусқа, жүз жиырма градусқа емес; ЕВ ендігінің саны белгілі. Алынғанды жүз жиырмаға бөлейік, сонда осындай екі доғада қанша осындай бірлік бар және ЕВ ендігі санында қанша екендігі анықталады. Дәл осылай BLE үшбұрышының сәйкес қабырғаларына тең BKD үшбұрышының қабырғаларын анықтаймыз; жаңа есептеуді қажет етпейді, өйткені BE тең BDге, BL тең ВК-ға, қалған екі қабырғалары да тең. Егер Ай Е-де тұрса, онда GB [санынан] LB-ні алып таста, ал егер Ай D-де тұрса, онда қос. Сонымен, бірінші жағдайда GL доғасы белгілі, екіншіде - доға GK, егер алып тасталса, онда GL мен EL квадраттарының ЕВ /160/ ендігінің сандарындағы бірлік өлшемдері сияқты бірліктермен өлшенетін қосындысын ал; осы [санның] түбірін ал және Е алынады. Осының алдында GL-ді ендік санына көбейтуін және алынғанды жүз жиырмаға бөлуің керек. Сонымен GE алынды. Дәл осылай, егер Ай D-де тұрса, онда D санын өзіне көбейтеміз, былайша айтқанда, ендік бөліктерімен өлшенетін EL-ді өзіне және сол бөліктермен өлшенетін KG-ді өзіне көбейтеміз; оның [қосындысынан] түбірді табамыз және GD-ні аламыз.

Осының бәрінен сен кішкентай бұрышты екі еселері шығады, оның доғасын табасың; оның хордасын аласың және [доғаның] жүз жиырма градусқа дейін толықтыратын хорданы аласың және алынғанды есте сақтайсың. Егер Зенит пен ай ендігі [эклиптиканың] бір жағында орналасқан болса, онда бірінші бұрыш үшін алынғанды доға биіктігінің бойлық градусындағы толықтамасынан алып тастайсың; егер де олар қарама-қарсы болса, онда қосасың. Қосындының квадратын немесе басқа бұрышпен сақталатын хорданың квадратымен бірге айырымды аласың, осыдан түбір табасың, Ай биіктігінің толықтамасы болатын [доға] алынады. Бесінші кітап аяқталды. Алланың даңқы аса берсін және одан [көмек]. Аль-Фараби. Комментарии к «Альмагесту» Птолемея. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 272-350. Аударған Қазанғапов Ә.

ТҮСІНІКТЕМЕЛЕР 1. Қолжазбаның бірінші бетінде жазылған: «Әлмагеске түсіндірмелер». Кітап, арабша емес Маджисти деген атпен белгілі, геометриялық және онымен байланысты астрономиялық ғылымға қатысты, бұл ертедегі аса зор ұлы кітаптың бірі - Птолемейдің шығармасы. Мұнда Әбу Насыр әл-Фарабидің түсіндірмелер кітабы негізінде құнды, керекті (оқушыларға), геометрия мен астрономияны [оқып білудің] аяқтайды. Алла тағала аса білгіш [олардың ішінде]. Ұлы кітап - чертеждері мен кестелері берілген астрономия туралы шығарма. «Маджистиге түсіндірмелер» шығармасы көрнекті ғалым Әбу Насыр әлФарабидің еңбегі. «Маджисти» грекше Мачисте деген сөз. Оның арабша мәні - «Ұлы [құру]», сонымен арабша кітаптың аты былай болады: «Геометриялық әдіспен астрономияны ұлы құру кітабы». 2. «Әлмагестінің» авторы (3-ескертуді қара) Клавдий Птолемей (Klaudіos Ptolomaіs), әл-Фарабида Битлимиус гректің атақты астрономы, Александрияда біздің дәуірдің ІІ ғасырында жұмыс істеген. 3. «Әлмагес» (аль-Маджисти) - еуропада және ортағасырлық Шығыста көпшілік мақұлдаған Птолемейдің негізгі астрономиялық шығармасы атының түрі (2-ескертпені қара). «Математикалық жүйе» (Syntaxіs matematіke). «Әлмагес» деген ат - Megіste Syntaxіsтің (Аса зор ұлы жүйе) аттарының бір варианты. «Әлмагес» - қазіргі уақыттағы осы атпен белгілі кітап, орта ғасырдағы латын транскрипциясы Almagest-en арабша аль-Маджисти шыққан. Келешекте біз «Әлмагестің» немісше аудармасына сүйенеміз. «Әлмагес» ертедегі грек астрономдарының астрономиялық ілімдерінің жинағы. «Әлмагестің» кіріспесінде шығарманы және баяндау ретін жазғанда Птолемей өзінің мақсаттары туралы былай дейді: «Сонымен бізден бұрынғы көрнекті зерттеушілерден үйреніп, өз жағымыздан олардан біздің дәуірге дейінгі алынған нәрселерді қосып, мәңгілік және тұрақты ғылымға сүйіспеншілікті күшейтуге тырыстық. Сондықтан, осы уақытта керек дегеннің бәрін жарыққа шығаруды, бүл ғылымда біраз дамыған саласы әрі қарай дами алатындай етіп мүмкіншілігінше қысқаша баяндауды қажет деп есептейміз. Бұл толық аяқталған шығарма болуы үшін аспан туралы ғылымды өзіне тән тәртіппен баяндаймыз, ал бұл шығарма өте көлемді болмау үшін ертедегілердің жеткілікті түсініктерін тек келтіруге, түсініксіз болғандарды шамамыз келгенше толық баяндауға тырыстық...

Біздің ұсынылған шығармамыз аспан әлемінде Жердің жалпы орналасуымен басталады; жеке бөлімдерін бір ізді түрде баяндағанда жаңа шеңбердің орналасуы туралы сөз болғанда, сонымен қатар біз тұрған әлем дүниесінің (Жердің) жеке орындары, онан кейін әрбір орында сфераның жантаюының айырмашылықтары туралы айту керек. Осылардың бәрін алдын ала қарастыру қалғандарын зерттеуді оңайлатады. Екінші орында Күн мен Айдың қозғалысын және оларға сәйкес құбылыстарды зерттеу керек; оларды алдын ала меңгермей аспан шырақтарына байланыстылардың бәрін жеткілікті толық қарастыру мүмкін емес. Соңында, аспан шырақтарының белгіленген жоспарын айтқанда, әрине, бізге қозғалмайтын деп аталатын жұлдыздардың өрісін қарастырудан бастап, осыдан кейін бес жылжымалы (блуждающий) жұлдыздарды немесе планеталарды қарастыруға өту керек. Осы тақырыптардың, оларды зерттеуге басы мен негізі ретінде ежелгі астрономдардың күмән келтірмейтін бақылауларын және өзіміздің зерттеулерімізді пайдаланып, әрқайсысын түсіндіруге талаптанып көрейік, онан кейін геометриялық чертеждар көмегімен дәлелдеуден шыққан салдар» [3, 4-6 бб.] 4. Қолдану кітабы (Китаб ал-Лавохик) - Птолемейдің «Әлмагестін» өңдеуге арналған әл-Фараби шығармаларының бірі [6, 160-200 бб.]. 5. Бұдан «Әлмагеске» түсіндірулер» ең алдымен әл-Фарабидің педагогикалық оқу шығармасы оқушыларға арналған түрінде жазылғандығы шығады. Шынында, ертеде және орта ғасырларда «Әлмагес» оқып-білуге жататын негізгі кітаптар санында жатқан. 6. Қорыта айтқанда кітапты қалыптасқан дәстүрге сәйкес «Әлмагестің» құрама бөлігі ретінде арабша «макалат» деп аударамыз. Кітап «Әлмагесті» білдіретін әрі қарай кездесетін сөз «китаб» - ты «шығарма» деп аударамыз. 7. Птолемейдің «Әлмагесінің» бірінші кітабы мына тараулардан тұрады: Кіріспе Баяндау реті туралы Аспанның сфералық қозғалысы бар екендігі туралы Жер бүтіндей сфера түріндей екендігі туралы Жер аспан ортасында орналасқандығы туралы Аспан мен салыстырғанда Жер нүкте екендігі туралы Жердің қандай үдемелі қозғалысты жасамайтыны туралы

Аспанда бірінші қозғалыстың әртүрлі екі түрі бар екендігі туралы Арнайы ұғымдар туралы Шеңбердегі түзулердің шамасы туралы Шеңбердегі түзулердің (хордалардың) кестесі Екі тропиканың арасындағы орналасқан доға туралы Сфериканың дәлелдеуі үшін алғашқы теоремалар Күн мен түннің теңелу шеңбері (аспан экваторы) мен эклиптика арасындағы доғалар туралы Бұрылу кестелері Түзу сфера ұшар басына шығу туралы. 8. «Әлмагестің» негізіне алынған жағдайлар немесе принциптер мынадай: 1) аспанның түрі сфералық түр және сфера бойымен қозғалады; 2) Жер түрі бойынша сфера; 3) Жер барлық аспанның центрінде орналасқан; 4) Жер шамасы аспанға қарағанда сезінерлік емес; 5) Жердің ешқандай қозғалысы жоқ; 6) аспанда бірінші қозғалыстың әртүрлі екі түрі бар. Осы принциптерге «Әлмагестің» 1 кітабында ІІІ-VІІІ тараулары арналған [3, 6-24 бб.] 9. Зенит - бақылаушының төбесінде тұрған аспан сферасының нүктесі. «Зенит» деген сөз араб сөйлемшесінің бірінші сөзі «самт арра'с»-тан шыққан, оны орта ғасырдағы латын аудармашылары әуелі zemth деп транскрибирлеген, онан кейін көшірушінің қатесінен m-ді nі-ге ауыстырып zenіth деп жазылған. Мұнда Зениттік параллель деп аспан меридианы - фалак нисф ан-нахар, сөзбесөз «жарты күннің орбитасы» - солтүстіктен оңтүстік бағытына қарай жүргізілген эклиптика мен аспан экваторының ортақ перпендикуляры аспан шеңбері (10 және 16 ескертулерді қара). Ол зенит пен горизонттың оңтүстік нүктесінен өтеді; латын сөзі merіdіanus - «жарты күндік» сөзінің аудармасы. Сол бағытпен жүргізілген, былайша айтқанда Жер бетін аспан меридианы жазықтығымен қиып өткен Жер бетінің үлкен шеңбері - бақылаушы тұрған нүктеден өтетін Жер меридианы. Горизонт - Жер бетіндегі бақылаушы орналасқан нүктені Жер центрімен қосатын түзуге перпендикуляр жазықтықпен қиылған аспан сферасының шеңбері, Жер центрі арқылы өтетін (шын горизонт) немесе бақылаушы орналасқан нүкте арқылы өтетін (көрінетін горизонт). 112 суретте үлкен шеңбер SWNO - шын горизонт, S, W, N, О нүктелері - оның оңтүстік, батыс,

солтүстік және шығыс нүктелер сәйкес, үлкен шеңбер ZSZ'N - аспан меридианы, нүкте Z - зенит, нүкте Z' - надир нүкте, зенитке диаметралды қарама-қарсы (назир - арабша «сәйкес», диаметралды қарама-қарсы). Қазіргі уақытта кез келген үлкен шеңберді меридиан деп атайды, ол экваторға перпендикуляр.

10. Аспан экваторы - му'адцил ан-нахар, сөзбе сөз - «Күнді теңестіруші»; латын сөзі aequator - му'аддил - «теңестіруші» сөзінің аудармасы. 11. Эклиптика - 16 ескертуді қара. 12. Мұнда Птолемейдің Жердің қозғалмайтындығы туралы геоцентрлік жүйенің тұратын орнын дәлелдеу туралы сөз болды. Әл-Фараби «Ғылымдарды санап алуда» бұл қағиданы қолдап, жазған: «Жер тұтас алғанда оз орнынан да, оз орнында да қозғалмайды» [1,27 б.]. Бұл жағдайда ол «Физикада» келтірілген физикалық дәлелдеудің мүмкін еместігін ойында ұстаған. Бұл дәлелдеудің мағынасы неде - бізге анық емес. Бірақ, әл-Бируни «Канон Мас'удтагы» Жердің өз өсі арқылы айналуы мүмкін еместігі туралы физикалық дәлелдеуге негізделген дәлелдеуі бізге белгілі. Жердің бұлай қозғалу жорамалын әл-Бируни математик ретінде заңдылық деп қабылдаса, ал физик ретінде бұның мүмкіншілігіне қатты күдіктенгенін өз зерттеулерінде К.Наллано, П.Г.Булгаков көрсетті [5, 271 б.]. Сондай-ақ, әлБируни жазады: «...Егер Жерден бөлініп шыққан дене Зениттік қалыпта тұрса, онда Жермен бірге кейбір қозғалысы болғанда, қосымша күштің әсеріне ұшыраса [былайша айтқанда денені әрі бағытқа қозғалатын күштер], бұл күш дененің тыныштық қалпынан ауытқуға мәжбүр етеді [Зенитте] және осы процесте күштің әртүрлі алдын ала ескерілген бағыттарымен ықпалы анықталады. Атап айтқанда: [дененің қозғалуын] шығысқа қарай бағытталуға мәжбүр ететін күш табиғи [болжанған] Жердің шығыстық қозғалысымен қосылады, ал [дененің қозғалуын] батысқа қарай бағыттауға мәжбүр ететін күш [Жердің] қозғалуына қарсы, онымен соқтығысады. Мұнда секіргіштің секіруі, осы бағытпен атылған садақ оғының ұшуы және құстардың ұшуы әртүрлі болар еді. Сонымен қатар осының бәрі ажыратылар еді солтүстік бағытына қарай [дене қозғалысында] және оңтүстікке [Жер параллельдерінің диаметрлері] кеңейген салдарынан осы бағыттардың біреуімен және тарылу басқа бағытта. Бірақ шынында ешқандай ақиқат жоқ, сондықтан өз орнында [тұрған] Жердің центрінен айналу қозғалысы жоқ [10, 85 б.].

Әл-Фарабидің физикалық дәлелдеуі мен әл-Бируниндің осы дәлелдеуі арасында өзара жалғасу байланысы бар деп ұйғарамыз. 13. Бірінші, аспан сферасының батыс қозғалысы - тәуліктілік, ол Жердің өз өсі арқылы айналуынан шыққан. 14. Күн, Ай және планеталардың шығыс қозғалысы тәуліктілік қозғалысқа қарама-қарсы бағытталған. Ол планеталардың Күнді айналу есебінен пайда болады. Гректерден кейін әл-Фараби планеталарға Күнді қосады (Афраб және Шамс), Айды (Камар), Меркурийді (Утарид), Венераны (Зухра), Марсты (Маррих), Юпитерді (Муштари) және Сатурнды (Зухад). Кейде әл-Фараби Күн мен Айды бір ортақ созбен атайды «наййиран» - «екі (бас) шырақ». Біздің аттар соңғы бес планетаның аттары - грек құдайларына сәйкес қойылған планетаның грекше аттары. Грекше аттар біздің заманымыздан бұрынғы V ғасырда вавилон астрономдары ықпалымен вавилон құдайлары аттары (Набу, Кистар, Шамаш, Мардук, Нергал) берілген. 15. Аспан шырақтарының негізгі көрінетін қозғалысын әл-Фараби «қозғалмайтын жұлдыздардың қозғалысы прецессия (Күн мен түннің теңесуін алдын ала ескеру) есебінен болады» деп есептеген, былайша айтқанда, кеңістіктегі жер өсінің қозғалысы периоды 26000 жыл болатын конусты сызады. Прецессия қозғалмайтын жұлдыздардың ұзындығы (долгота) жылына 50'26"-ке өзгереді. 16. Жантаю поясы (дөңгелек) немесе эклиптика (фалак ал-бурудж) деп аталатын Зодиак белгілерінің дөңгелегі аспан сферасының үлкен шеңбері болады, осы шеңбермен Күннің көрінетін қозғалысы орындалады; бұл сызық бойымен, бірақ кейбір ауытқумен, Ай мен планеталар қозғалады. Эклиптика тең 12 бөлікке бөлінген, олардың әрқайсысын Күн бір айда өтеді. бүл бөліктер Зодиактың белгілері деп аталатын Зодиактың (бурудж) шоқжұлдыздарының аттарына сәйкес: овен (Хамал - «қозы»), Телец (Саур - «өгіз»), Егіздер (Джуза), Рак (Саратан), Лев (Асад), Дева (Сунбула - «масақ»), Весы (Мизан), Скорпион (Акраб), Стрелец (Каус - «садақ»), Козерог (Джади - «лақ»), Водолей (Далв - «шелек»), Балықтар (Хут - «балық»). Зодиактың шоқжұлдыздарының арабша аттары - бір бөлігі грек тілінен аударылған, ал келесі бөліктері ежелгі вавилон аттарынан алынған. Бүл шоқ жұлдыздардың қазіргі аттары, араб тілінен аударылған Вестерден (салмақ) басқалары, грек тілінен аудармалары.

17. Эклиптиканың төрт қиялдау нүктесі - екеуі күн мен түннің (көктемдегі және күзгі) теңелу нүктелері деп аталатын әлем экваторы мен эклиптиканың қиылысу нүктелері және Күннің тоқырау (жазғы және қысқы) болатын эклиптиканың екі нүктесі деп аталады. 113-суретте, А, С - көктемдегі және күздегі күн мен түннің теңелуіне сәйкес нүктелер, ал В мен D - жазғы және қысқы Күн тоқырауына сәйкес нүктелер.

18. Әл-Фараби, Птолемей сияқты, бұл жағдайда гректердің тригонометриялық хордаларынан мәліметтер келтіреді. «Әлмагесте» Птолемей вавилондардан дөңгелекті 360 градусқа бөлуді және алпыстық бөлшектерді пайдаланғаны белгілі, біздегі синустар ролін онда хордалар атқарған (44 ескертуді қара). Птолемей дөңгелектің радиусы 60 бөлік (оған сәйкес диаметрді 120 бөлік) деп қабылдаған. 19. Шеңбердің ұзындығының диаметріне қатынасы немесе «диаметр бөліктерінің шеңбер бөліктеріне қатынасы», қазіргі уақытта «л саны» деп аталатын, иррационалдық қатынас. Бұл санның дәл мағынасы әл-Фарабиге дейін әлі анықталмаған болатын; сондықтан бұл сұрақты өзінің «Әлмагеске» комментарияларында» сөз қылу орынды деп есептемеген. Тіпті ол сұраққа басқа шығармаларында оралуы мүмкін, дегенмен, атап айтсақ әл-Фараби шығыста бастапқылықтардың бірі болып сан түсінігінің идеясын кеңейтіп теориялық түрде негіздеген, фактіге негізделген түрде геометриялық шамалардың кез келген қатынастарын сандар (рационалдық және иррационалдық) ретінде қарастырған. Әл-Фараби мен басқа математиктердің идеясын дамыта отырып, әл-Бируни «Канон Масудта» π санының жуық мәнін арнайы қарастырып бұл санның иррационалдығы туралы жаңа көзқарастар айтады: «Дөңгелек шеңберінің оның диаметріне бір қатынас бар, сондықтан шеңбер санының диаметр санына да қатынас бар, бірақ ол иррационал сан» [10, 271 б.]. Сонымен, егер «диаметр саны» - натурал сан (әл-Бируни бойынша 2-ге тең), онда «шеңбер саны» - жаңа жалпыланған түрдегі сан, былайша айтқанда, онда біз оң иррационал сан деп атаймыз. 20. Былайша айтқанда а6 = R. 21. Евклид, әл-Фарабиша Уклидис, атақты александриялық математик, б.з.б. ІV-ІІІ ғғ. өмір сүрген, әл-Фараби «Евклид кітабы» деп атаған - Евклидтің негізгі шығармасы. «негіздер» - дерлік барлық ежелгі грек математикасының жинағы болатын б.з.б. ІV ғасырға дейінгі грек математикасының шығармаларын өндеу

Гиппократ Хиосский (І-ІV және XІ кітаптар), Архит Таренский (VІІ-ІX кітаптар), Евдокс Книдский (V, VІ және XІІ кітаптар) және Теэтет Афинский (X және XІІІ кітаптар). Теңдік а6 = R Евклид «Негіздердің» ІV кітабындағы 15 сөйлемде дәлелденген [12, 140 б.]. 22. Мұнда а4-тің квадраты екі еселенген радиус квадратына тең болатындығы дәлелденген, былайша айтқанда а4 = R 23. Мұнда а3-тің квадраты үш еселенген радиус квадратына тең екендігі дәлелденген, былайша айтқанда а3 = R 24. Ескере кететін бір жағдай, бұл жерде және әрі қарай әл - Фараби геометриялық шамаларға жүйелі түрде арифметикалық терминдерді «алу», «көбейту», «бөлу», «түбір астынан шығару» қолданады. ІX ғасырдың математиктері енгізген мұндай сөздерді қолдану жаңалық болды. Грек математиктері, мысалы, кесінділер көбейтіндісі орнына «осы кесінділерден құрылған тікбұрыш туралы» үнемі айтатын болды. Әл-Фараби өзінің еңбектерінде физика-математика ғылымдары үшін бағдат ғалымдарының перспективті бастамасын ашықтан-ашық сандарды геометриялық шамалармен теңестіреді. Бұл сан түсінігін оң нақты санға дейін кеңейтуге үлкен рөл атқарды [2, 157-169 бб.]. 25. «Негіздердің» [12, т. 1, 67 б.] ІІ кітабының 6-сөйлемі алгебралық тепетеңдікке түрлендіріледі: 26. Егер ол, үлкеннің кішіге қатынасы сияқты, өзін бөлген кесіндінің үлкені деп есептелсе, онда түзу сызықты кесінді шеткі және орта қатынасы бойынша бөлшектенген деп аталады. Бүл құрылым Евклидтің «Негіздерінің» ІІкітабының 11-сөйлемінде [12, 75 б.] келтірген. Бүл кесіндіні «алтын қима» деп жиі атайды. Кіші бөлігі DG, а10-ға тең, орта және шеткі қатынастармен бөлетін есептің шешуі болады, былайша айтқанда, мына теңдеудің шешуі болады: ол шешуі x=болатын квадрат теңдеуге x2+Rx-R2=0 ұқсас. 27. Бұл қазіргі белгілермен былай жазылатын ACBD = ADВС + АВDC атақты Птолемей теоремасы. 28. Мұнда екі берілген доғаның айырымының хордасын қалай анықтау керек екендігі көрсетілген. Птолемей мұны басқаша дәлелдейді. Ол былай деп жазады: «Оны баяндап, AC диаметрінде жарты дөңгелек ABCD-ні алып, А нүктесінен АВ, АС түзілерін жүргіземіз және әрқайсысының шамасы

бөліктермен берілген 120 диаметрде жатады, онан кейін жалғастыратын ВСны жүргіземіз; соңғы да берілген болады деп мен сендіремін. Шынында, жалғастырушы ВС мен DC-ны жүргіземіз, сонда оның әрқайсысы жарты шеңберге дейін толықтырады. Енді дөңгелекте төртбұрыш ABCD болғандықтан, онда AB CD көбейтіндісі AD BС көбейтіндісімен бірте AC'BD көбейтіндісіне тең. ABCD + ADBC = ACBD. Бірақ AC'BD көбейтіндісі берілген; сонымен қатар ABCD көбейтіндісі де; сондықтан АВ ВС көбейтіндісі де берілген болады; бірақ AD - диаметр болғандықтан, ВС түзуі де берілген болады. Сөйтіп, бізге белгілі болады, егер екі доға және оларды керіп жатқан түзулер берілсе, онда доғаны керіп жатқан түзу берілген екі доғаның айырымына тең. Белгілі, осы теорема көмегімен едәуір басқа түзулерді де негізгі берілген доғалар арқылы өрнектей аламыз; осылайша, 60 және 72 градус доғаларды керіп жатқан түзулер шамасын ала отырып, біз 12 градус доғаны керіп жатқан түзуді табамыз [3,39 6.]. Бұл дәлелденген ереже [44 ескертпені қара] формуласына ұқсас. 29. Мұнда берілген доғаның жартысын қалай анықтау жолы көрсетілген. Дәлелденген ереже 2sіn= l - cos формуласына ұқсас. 30. Мұнда берілген екі доғаның қосындысын қалай табу жолы түсіндірілген. Дәлелденген ереже sіn ()= sіncos + sіn cos формуласына сәйкес. 30 а. Мұнда бұрышты циркуль мен сызғыш арқылы тең үш бөлікке болу мүмкіншілігі жоқ екендігі айтылады. 31. Мұнда , егер болса, теңсіздігіне ұқсас теңсіздік дәлелденеді. 32. Дәлелдеудің соңында қазіргі кезде пропорцияға қолданылмайтын амалдар пайдаланылған. Қазіргі кездегі жазу түрі былай: Осыдан кейін қосып алу операциясы пайдаланылады: Сонан кейін алдыңғы теңсіздікте екі еселенгеннен алынған теңсіздікке бөліп алу операциясы қолданылады: 33. Мұнда 1° хорданы Птолемейдің жуықтап есептеуі келтірілген, 1° хорда 1р2'50"-тан үлкен не кіші болғандықтан ол тең 1р2'50" деген қорытынды шығарылған. «Әлмагесте» барлық есептеулер, нәтижелер вавилондық алпыстық бөлшек түрінде жазылған. Мысалы:

Орта ғасырдағы Шығыстың астрономдары мен математиктері градусты бөлшектеуді пайдаланған: минутадакика, «кішірейтілген» мағынада, латындық минута сияқты градустың немесе сағаттың 60-тан бір бөлігі, секунда - санийка - «екінші» (алдында «екінші кішірейтілген»), латындық секунда сияқты sekunda - минуттың 60тан бір бөлігі, терция - самиси - «үшінші», латиндік tertіa сияқты - секундтың 60-тан бір бөлігі, кварта -раби' а - «төртінші», латындық guarta сияқты терцияның 60-тан бір бөлігі. Ислам елдерімен Батыс Еуропаның орта ғасырдағы астрономдары алпыстық бөлшектерді кең пайдаланған, осы бөлшектердің арифметикасын «астрономдық есептеулер» деп атаған. 34. Птолемейдің хордалар кестесі осы жұмыстың қосымшасында (таблица 1) берілген. Бірінші тік жолда доға көрсетілген, екіншіде - осы доғаға сәйкес хорданың мәні. Үшінші тік жолда - «пропорционал минуттар», хорданың соңғы шамасы мен алдыңғы шамасының айырымын 1/30-ге көбейткендегі шама. Егер доғаның екі көрші мәндері арасындағы хорданың доғадан тәуелділігі туралы байланыс функциясы сызықтық деп есептесек, онда «пропорционалдық минуттар» хорданың 1' өсімшесіне тең болады. 35. «Ең үлкен бұрылыс» деп әл-Фараби күн тоқырау нүктелерінде эклиптикалық максималды бұрылуына тең бұрышты айтады. Нүктенің бұрылысы әлем экваторынан бастап, осы нүктемен әлем полюстері арқылы өтетін, үлкен дөңгелек бойымен есептеледі. Эклиптиканың жантаюы е Күн биіктігінің жазғы және қысқы мезгілдеріндегі жарты күндік биіктіктерінің жартылай айырымы түрінде алынады. 36. Зодиак градустары - дараджит ал-бурудж, сөзбе-сөз - «баспалдақ» - шеңбердің 1/360 бөлігі, осы жағдайда эклиптиканың, латын сөзі градус - осы сөздің аудармасы. Эклиптика 12 «Зодиак белгісіне» немесе 3 0 градустан тұратын «Зодиакалдық шоқжұлдыздарға» бөлінеді. «Бурудж» сөзі - бурдж - «бекініс» сөзінің көптік саны. 37. Мұнда баяндалған құрал - сырықтағы сақина, оның көмегімен Птолемей эклиптика ауытқуын анықтауға қажет күн тоқырауындағы биіктіктердің айырымын өлшейді. Бүл астында тіреуі бар градусталған дөңгелек, оның ішінде көрсеткіші бар кіші дөңгелек айналады, көлеңке мен көрсеткіш көмектері арқылы Күннің жарты күндік биіктігінің шамасын анықтауға болады. Сақина - бұрыш өлшейтін көпшілік құралдардың негізгі бөлігі. Сақинаның armіlla деген латынша атынан ежелгі бұрыш өлшеу құралы -армиллярлық

сфера шығады. Сақина немесе лимбама деп аталатын оның бөліктері астролябилер, квадраттар және сектанттардың негізгі бөліктері болады. 38. Астролябия - устурлаб - аспан шырақтарын бақылау үшін пайдаланатын бұрыш өлшейтін құрал. 39. Суреттелген құрал - әлем меридианы жазықтығында орналасқан градусталған қабырғадағы квадрант. Оңтүстік жоғарғы бұрышы бекітілген сырық оның центрі болады. 40. Эратосфен Киренский (275-135 б.э.д.ж.) - александрийлік энциклопедғалым, жер шарының радиусын бірінші боп өлшеген, математикалық география мен хронологияның бастамасын жасаушы. 41. Гиппарх, әл-Фарабише Ибархус - ертедегі ең ұлы астроном. Б.з.б. 190 ж. Битинидегі Никееде туған, өзінің бақылауларының көпшілігін Родос аралында өткізген. Бірінші жұлдыз каталогының авторы (1028 жұлдыз): оған 150 жылға дейінгі александрийлік астрономдардың бақылауларын салыстырып жұлдыз ұзақтығы (долгота звезд) тұрақты болмайтынын анықтайды, осылайша прецессия ашылды. Гиппарх вавилон астрономдарының бақылау нәтижесіндегі мәліметтер негізінде күн орбитасының элементтерін анықтады және астрономияға эксцентрлік дөңгелек ұғымын енгізді. Гиппарх еңбектері бізге дерлік жетпеді, бірақ Птолемейдің «Әлмагесті» негізінен оның астрономиялық шығармаларының өңдеуі болып табылады. 42. Мына Менелайдың трансферсалиялар туралы атақты теоремасы немесе толық төрт қабырғалық туралы теорема. Жазық толық төрт қабырғалыны әр қос қабырғасын оның қарама-қарсы бағытпен қиылысқанша созып алуға болады. [114-сурет]. Шығыс математиктері, оның ішінде әл-Фараби де, бұл сөйлемді «қиюшылар фигурасы» (шакл алкита') деп атаған. Менелайдың жазық теоремасы қазіргі белгілеулерде мынадай түрде болады: Жақын және орта Шығыс математиктері бұл қатынастарды құрама қатынастармен тұжырымдаған: Менелай - геометр және астроном б.з.б. І ғ. 100 ж. шамасында Римде жұмыс істеген. Менелай «Сферикасының» арабша аудармасы бізге жетті, ондағы трансверсалдар туралы теорема Птолемейдің барлық тригонометриясының негізі болады.

43. Мұнда келтірілген қималар туралы жазық теореманың дәлелдеуі әлФарабида шын мәнінде Птолемей келтірген дәлелдеумен бірдей.

Құрама қатынастар бірінші рет Евклидте кездеседі, оның «Негіздерінің» VІ кітабындағы сөйлемінде пайдаланған, онда теңбұрышты параллелограммалар бір-біріне қабырғалары күрделі қатынаста болатындығы айтылған [12, 203 б.]. Қазіргі кездегі терминология бойынша екі қатынастың көбейтіндісі болады: қатынас мына қатынастардың мен көбейтіндісі деп айтатын болсақ, грек және орта ғасыр математиктері қатынас екі мен қатынастарынан «құралған» деп айтқан. 44. Птолемей еңбегіндегі күрделі математикалық есептеуді түсінуді жеңілдету үшін әл-Фараби оның тригонометриялық аппаратын әжептеуір жетілдіреді. Алдымен хордаларды синустармен ауыстырады: «Синус дегеніміз екі еселенген доғаның хордасының жартысы». Сөз джиб-синус индия сөзі jwa - «тетива, хорда», ard-jіva - «жарты хорда» сөзінің қысқартылған түрі. Біздің «синус» термині латын сөзі sіnus - «шұңқыр, қойын» джайб деген араб сөзінің сөзбе - сөз аудармасы; ортағасырлық латын аудармашылары арабтардың астрономиялық трактаттарын енгізген.

Егер BD = 2 доғасының хордасы болса [115-сурет], онда ВС доғаның синусының сызығы АВ = , былайша айтқанда sіn7 Бұл бізге алғашқы белгілі синусты енгізгендегі Птолемейдің Комментариі (түсіндірмесі). Әрі қарай «Әлмагесті» баяндағанда барлық жерде әл-Фараби 2 доғасының хордасын доғаның синусы мен ауыстырады, соның ішінде, Птолемейде сфералық үшбұрыштарды шығаратын негізгі құрал болған қималар туралы Менелай теоремасын қайтадан тұжырымдаған. Мұндай ауыстыру аса маңызды болмаса да, бірақ хордадан жарты хордаға өту астрономияда функцияларды кеңінен енгізуге (тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарына байланысты) қолайлы жағдай тудырды. Әл-Фараби «Қосымша кітабында» біріншілердің бірі болып барлық негізгі тригонометриялық сызықтарды тригонометриялық дөңгелекте бір түрде қарастырады [1, 73-74 бб.]. 45. Бұл лемма дөңгелек ішіндегі еркін үшбұрыш үшін жазық синустар теоремасына ұқсас. Әл-Фараби біріншілердің бірі болып осы тікбұрышты үшбұрыш үшін дәлелдейді. Бұл теореманың бірінші жалпы дәлелдеуін әлБирунидің оқытушысы Ибн Ирак берген. 46. Мұнда Менелай мен Птолемей сияқты әл-Фараби екі доғаның қосындысы немесе айырымы және екі еселенген жарты хордалары туралы дәлелдеуге

алдын-ала жағдай жасайды. Соңғы жағдайда, былайша айтқанда айырымы арқылы анықтауды дәлелдеуге алдын-ала жағдай жасауда, әл-Фараби екі доғаның айырымының хордасы Менелай мен Птолемейде жоқ диаметрге параллель жағдайы келтірілген. Сфераның диаметрі диаметр жазықтығында жатқан хордалардың біріне параллель болу - бұл Менелайдың сфералық теоремасын дәлелдеу үшін қажет. 47. Бұл Менелайдың «қималар фигурасы» үшін сфералық теоремасы сферада алынған жазық «қималар фигурасы» сияқты [116сурет]:

48. Жалғыз қатынас (нисба вахиди) - екі тең шаманың қатынасы, былайша айтқанда . 49. Қималар туралы сфералық теореманы әл-Фараби, бір жағдаймен шектелген Птолемей сияқты емес, үш жағдайды қарастырған. Байқауға болады, әл-Фараби бұл теореманы дәлелдегенде қатынасты құру мәнін түсіндіру үшін алдын-ала екі жағдайды қосады. 50. Бұрылу (майл) - әлем сферасы арқылы өтетін, үлкен дөңгелек бойынша есептелетін әлем сферасындағы нүктенің экваторлық координаталарының біреуі. Мұнда бұрылу деп эклиптика мен эклиптика нүктесінің максималды бұрылуына тең, әлем экваторы арасындағы бұрыш. Қазіргі кезде бұл бұрыш эклиптикаға иілу бұрышы деп аталады, Е әрпімен белгіленеді, «бұрылу» термині тең эклиптиканың нүктелеріне емес, әлем сферасының барлық нүктелерінде де қолданады. 51. Төрт полюс арқылы өтетін дөңгелек, әлем экваторы мен эклиптикаға жалпы перпендикуляр болатын, әлем сферасының үлкен дөңгелегі. Бұл дөңгелек Күн тоқырау нүктелері арқылы өтеді, осының салдарынан (нәтижесінен) оны Күн тоқыраудың колюры деп атайды. 52. Менелай теоремасынан GF = AG = ЕВ = 90ғ болғанда мынадай қатынас шығады ол тікбұрышты үшбұрыштар үшін синустар теоремасының дербес жағдайы болады. Птолемей тікелей дәлелдеуін бермейді, оны «Әлмагеске» Түсініктемелерінің» соңында және «Қолданулар кітабында» (26-тарау) әлФараби келтіреді.

Эклиптиканың жантаюын АВ - ε, эклиптикалық бойлықты ЕН - λ, және эклиптикалық жантаю градусын НҒ - 8 (1) қатынастан есептей отырып формуланы аламыз: sіn δ = sіn λ, - sіn ε 53. Әл-Фараби, сірә құрама қатынастарға Птолемей пайдаланылған операцияларды жалпылай отырып, тригонометриялық сызықтардың әр қатынасын сан деп қарастырған болуы мүмкін. Ол құрама қатынасқа кіретін үш қатынастың әрқайсысының белгілі сан мәні бар деп есептеп, осы сандарға арифметикалық амалдарды қолдануды ұсынады. Бұл бағыттағы бірінші адымдар кешэллин эпохасында Евклидтің комментаторларының бірі (Теон болуы мүмкін) «Негіздерге» ІV кітаптың бесінші анықтамасы деген атпен «кұрама қатынастар» анықтамасы: «Қатынастар қатынастардан құрылады, осы қатынастардың сандары өзара көбейтілгенде бір нәрсе пайда болады делінген» [12, 174 б.]. Бұл анықтаманың мағынасы математиктерге әл-Фараби, әсіресе әл-Бируни еңбектерінен кейін түсінікті болды. «Жұлдыздар туралы ғылымда», құрама қатынасты анықтай отырып, соның ішінде, былай жазады: «кейде құрама құру орнына олардың көбейтіндісі туралы айтады». «Канон Мас'удтың» V кітабының ІІ тарауында Менелай теоремасын көрсететін кұрама қатынастарды қарастыра отырып, әл-Бируни осы теоремаға кіретін қатынастардың біреуі туралы жазған: «Егер синус FC-ні синус СВ-ге бөлсе, онда бірге қатысы бар синус FC синус СВ сияқты қатыс шығады [10,477 б.], осы сияқты екі басқа шаманы енгізіп, «бұл шамалардың біреуі басқа екеуінің көбейтіндісі болады» дегенді айтқан. Бұл шамалар мәселеге тікелей байланысты «қатынастар сандарымен» бірдей болады дегенді айтқан. Евклидтің «Негіздерінде» айтылған құрама қатынастар және әл-Фарабидың қатынастар саны туралы сөз болған. Құрама қатынастар теориясы Омар Хайямда (1048-1131) кейіннен сан ұғымын оң нақты сандарға дейін сөзсіз кеңейтуге жеткізді. Ол тригонометриялық сызықтар қатынастарының кез келген біртекті үздіксіз шамалар қатынасының сандық шамасын анықтайтын әдісті жалпылайды. 54. Птолемей мен әл-Фарабидың жазу стилінің айырмашылығын көрсету үшін осы жерді «Әлмагестен» келтірейік, өйткені бұл барлық дәлелдеулерге тән: «Күн мен түннің теңелуі мен жантаю дөңгелектері арасындағы бұрыш туралы: бастапқы келтірілген теореманы дәлелдеп айтылған доғаларды есептейміз.

ABCD - күн мен түннің теңелуінің, [былайша айтқанда әлем экваторының], дөңгелектер полюстері арқылы жүргізілген үлкен дөңгелек болсын, Зодиакалдық шоқ жұлдыздар ортасы арқылы, [былайша айтқанда эклиптиканың], АЕС - күн мен түннің теңесуінің жарты дөңгелегі, ал BED - зодиакалдық шоқжұлдыздардың ортасы арқылы өтетін дөңгелектің жартысы; Е көктемдегі күн мен түннің теңесуіне сәйкес олардың қиылысу нүктесі болсын, сол себептен В қысқы, D жазғы күн айналу нүктесі болады. ABC шеңберінен күн мен түн теңелуі АЕС дөңгелегінің полюсын алайық, ол G нүктесі болсын дейік. Зодиакалдық шоқжұлдыздар ортасы арқылы өтетін дөңгелектегі ЕН доғасын алайық ол 30 барлық дөңгелектегі 360 сияқты, бөлікке тең доғасын алайық; үлкен дөңгелектің G және Н нүктелері арқылы GHF доғасын жүргізейік және HF шамасын анықтайтын есепті қояйық. Мұндай есептеулерде қайталау болмас үшін әрбір жеке жағдайда доғалардың немесе түзулердің (градустар немесе бөліктер арқылы өрнектелген) сандық мәндері туралы айтылады. Доғалар туралы шеңберде 360, түзулерде диаметрдегі дөңгелек сияқты 120 бөліктер туралы айтылады. Өйткені чертежде үлкен дөңгелектің екі доғасына AG мен АЕ Н нүктесінде қиылысатын басқа екі доға GF пен ЕВ сызылған, сонда екі еселенген GA доғасының астындағы түзу мен АВ түзуінің қатынасы екі еселенген FG доғасының астындағы түзудің екі еселенген FHтың астындағы түзудің және екі еселенген НЕ-нің астындағы түзудің ЕВ-нің астындағы түзуге қатынасының қосындысынан тұрады. Бірақ екі еселенген доға GA 180°-қа тең, ал оның астындағы түзу - 120 бөлікке, екі еселенген доға АВ біз қабылдаған 83 -тің 11 - ге қатынасына сәйкес тең 47; 42, 40 градусқа, ал оның астындағы түзу - 48; 31, 55 бөлікке. Әрі қарай екі еселенген доға НЕ 60 градусқа тең, оның астындағы түзу - 60 бөлікке, екі еселенген доға ЕВ тең 180 градусқа, ал астындағы түзу - 120 бөлікке; сондықтан, егер 120 - ның 48,31,55-ке қатынасынан 60-тың 120-га қатынасын бөліп алсақ, онда екі еселенген GF доғасының астындағы түзудің екі еселенген FH доғасының астындағы түзуге қатынасы қалады, атап айтқанда 120-ның 24, 15, 57-ге. Екі еселенген доға GF тең 180 градусқа, ал оның астындағы түзу - 120 бөлікке; олай болса, екі еселенген FH доғасының астындағы түзу тең 24; 15, 57 сияқты бөліктерге; сонымен екі еселенген FH тең 23; 19, 59 градусқа, ал өзі ҒН шамамен 10; 40 сондай градустарға. Енді доға ЕН 60 градусқа тең, қалғандарын да осындай деп ұйғарайық; сонда екі еселенген доға ЕН 120 градусқа тең болады, ал оның астындағы түзу - 10; 53, 23 бөлікке. Сондықтан егер біз 120 - ның 48; 31, 55 қатынасынан тағы да 103; 55,23-тің 120-га қатынасын бөліп алсақ, онда екі еселенген GF астындағы түзудің екі еселенген ҒН-тың астындағы түзуге қатынасы қалады, былайша

айтқанда қатынас 120-ның 48; 1,48-ге. Бірақ екі еселенген ҒН-тың астындағы түзу 120 бөлік құрады; онда екі еселенген ҒН-тың астындағы түзу 42; 1,48 бөлікке тең болады, олай болса, екі еселенген доға тең 41; 0, 18 градусқа, FH тең 20; 30, 9 осындай градусқа, дәлелдеуге керекті осы еді [3, 51-53 б.]. 55. Птолемейдің қисаю таблицасы қолдануда келтірілген (таблица 2). 56. Тік сфера (латынша spheara recta) - Жер экваторындағы әлем сферасының орналасу орны. Бұл жағдайда әлем полюсінің екеуі де (Р және Р' нүктелері) горизонтта орналасқан, ал әлем экваторы зенит пен надир (Z және Z1) арқылы өтеді. Бұл жағдайда «тік сфера» термині барлық тәулік параллельдері горизонтқа перпендикуляр болады дегенді түсіндіреді. 56 а. Эклиптика градусының шарықтауы - эклиптиканың осы градусымен бірге шарықтайтын әлемдік экватордың градусы («Заман»). Қысқаша «тік сферада шарықтау» (былайша айтқанда жер экваторында), экваториалдық координаталардың бірі болатын, әлемдік экваториалдық дөңгелек бойынша көктемгі күнтеңдік нүктесінен бастап саналатын, қазіргі кездегі термин «тік шарықтау» болады. 57. Жантаю сферасы - (латынша sphaera oblіque) - ара ендікте бақыланатын (экватор мен полюс аралығында) әлем сферасының орны. Бұл жағдайда әлем полюсі Р жергілікті ендікке тең φ биіктігінде орналасқан. «Жантаю термині» дегеніміз бұл жағдайда барлық тәулік параллельдері горизонтқа еңкейген. «Жантаю сферасы» термині дегеніміз барлық тәулік параллельдері горизонтқа еңкейген жағдай. Әлемнің жерлік полюсі Р зенит Z-пен беттеседі және барлық жылжымайтын жұлдыздар горизонтқа параллель дөңгелектермен жылжиды, сондықтан бұл жағдайда әлем сферасы «параллель сфера» деп аталады (sphaera parallela). 58. Қысқаша түсіндірумен шектелген Птолемейге қарағанда мұнда әлФарабидің ойлау пікірі кеңірек. Салыстыру үшін оны келтірейік: Бұдан кейін күнтеңдік дөңгелегіндегі доғаның, оның дөңгелектер мен қиылысқанда шығатын, оның полюстері арқылы жүргізілген және қиғаш дөңгелектегі кесінділерде берілген шектелген нүктелер арқылы өткізілген, сандық шамаларды анықтау керек. Сонымен қатар, күнтеңдік сағатымен өрнектелген меридиандар арқылы өтетін дөңгелектердің жеке бөліктері уақытын, Зодиакалдық шоқжұлдыздардың (барлық жерге бірдей) ортасынан өтетін, сол сияқты түзу сферадағы горизонт арқылы өтетін болғандықтан тек осы жағдайда ғана күнтеңдік дөңгелегінің полюстері арқылы өтеді [3, 53 б.]. Птолемей әл-Фарабиден басқаша бұл тарауда жантаю сферасы жағдайын қарастырмайды.

59. Қолжазбаны оқу қиын болғандықтан соңғы абзацтың аудармасын жуықтау деп есептеуге болады. 60. Бұл сөйлемде эклиптика нүктелерінің тура көтерулерін анықтайтын әдіс келтірілген, ол үшін Менелай теоремасынан GH = 90° - FH, GB = 90° - АВ және EA = 90° болғанда, мынадай қатынас шығады: (2) бұл тікбұрышты сфералық үшбұрыш үшін тангестер теоремасы болады. Оның тікелей дәлелдеуін Птолемей бермейді, ал әл-Фараби біріншілердің біреуі болып «Қосымша кітабында» (26 тарау) берген. Эклиптиканың жантаюы АВ - е, эклиптика градусының бұрылуы ҒН - 5 және эклиптика нүктесінің тікелей көтерілуі ЕН - а болғанын есептей отырып (2) қатынастан мына формуланы аламыз: sіn 61. Бұл таблицаны «Әлмагестен» келтірейік. «Сол сияқты, әр он градусты қиғаш дөңгелектің кесіндісі үшін көрсетілген әдіс бойынша, олармен өту уақыты бірдей күнтеңдік дөңгелегі доғаларының уақытын есептейміз; бұлай істеген себебіміз градусының саны аз доғалар үшін айырымдарының бірқалыпты өсуінен айтарлықтай айырмашылық алмаймыз. Бұл жағдайдың әрқайсысы барлық жерлер үшін меридиан арқылы және он градустық кесінділер үшін көктемгі күнтеңдік нүктесінен бастап тік сферадағы меридиан арқылы өтеді. Сонымен, бірінші кесінді 9; 10 уақыт градусы, екінші 9; 15, үшінші 9;25, сол сияқты, бірінші жиырмасыншы бөлік үшін барлығы 27;50 уақыт градусы шығады. Төртінші кесіндіде 9; 40, бесіншіде 9;58, алтыншыда 10; 16 уақыт градусы болады; сол сияқты, екінші жиырмасыншы бөлікте 29;54 уақыт градус болады. Жетінші кесіндіде 10;34 уақыт градусы, сегізіншіде 10;47, тоғызыншыда 10;55 болады, сол себептен үшінші жиырмасыншы бөлікте күн айналу нүктелерінде 32; 16 уақыт градусы болады, ал барлық квадранттар үшін - тоқсаннан. Қалған квадранттар үшін барлық қалпы сондай болатыны бірден түсінікті, өйткені олардың әрқайсысы үшін қалан бірдей болады, сфераны тік деп ұйғарамыз, былайша айтқанда, горизонтқа жантаймайтын күнтеңдік дөңгелегі» [3, 57 б.]. 62. Птолемейдің «Әлмагесінің» екінші кітабы мына тараулардан тұрады: Біз тұрған Жердің жалпы орны туралы.

Ұзақ күннің берілген шамасы бойынша күнтеңдіктен қиғаш дөңгелекпен қиылып алынған горизонт доғасын анықтау туралы. Сол ұйғарулар бойынша полюс биіктігін қалай анықтау туралы. Күннің тал түсте болуы қалай есептеледі, қайда, қашан және қанша рет болатыны туралы. Күн теңдік пен Күн айналу мезгілдерінде гномондардың жарты күндік көлеңкеге қатынастарын алдыңғы көрсетілген негіздер арқылы анықтау. Жеке параллельдердің тән ерекшеліктерінің тізімі. Зодиакалдың шоқжұлдыздар мен күн тендік ортасы арқылы өтетін жантаю сферасындағы дөңгелектер бөліктерінің бір мезгілде өтуі туралы. Он градустан доғалар арқылы өту таблицасы. Күн туына байланысты дербес сұрақтар турады. Зодиакалдық шоқжұлдыздардың ортасы мен алынған дөңгелектер арқылы өтетін бұрыштар туралы. Горизонт пен сол жантаю дөңгелегі арқылы пайда болған бұрыштар туралы. Сол дөңгелектер мен полюс арқылы өтетін горизонтпен пайда болған бұрыштар мен доғалар туралы. Айтылған бұрыштар мен доғалардың әртүрлі параллельдер үшін мәндері. 63. Әл-Фараби кейде «Әлмагеске Комментарийді» «Әлмагестің қысқартылуы» деп атайды. 64. «Әлмагестің» екінші кітабының басында Птолемей жазады: «Бұл шығарманың бірінші кітабында Әлем дүниесінің орналасуы туралы қысқаша мәліметтер бергеннен кейін, сонымен қатар тік сферадағы барлық қатыстылар теориялық түрде қарастыру пайдалы деп келешекте жантаю сферасында не болып жатқанын, ең маңызды және түсінікті түрде баяндау» [3, 58 б.]. 65. Әл-Фараби мүмкін Птолемейден өзгеше, Күнтеңдік уақыты тек оңтүстікке емес солтүстікке де бағытталған жерлерде өмір болған деп ұйғарады. 66. Әл-Фараби горизонт үстіндегі полюстің биіктігі мен өлшенетін өмір бар жерлердің ендігін қарастырады, бұл «Әлмагесте» жоқ. Егер һmax және һmіn - ең үлкен және ең кіші батпайтын жұлдыздар биіктігі болса, онда әл-Фарабише, 67. «Әлмагесте» жоқ, бұл әл-Фараби ережесі мына формулаға сәйкес:

Мұнда һ1 мен һ2 - жазғы және қысқы Күн тоқырауларындағы шын жарты күндегі Күннің биіктігі. 68. Шығыс азимуты (са'ат аль-машрик) термині «Әлмагесте» жоқ. Шығыс математиктері осы Күннің нүктесінен шығыс нүктесіне дейінгі горизонт доғасы деп түсінген. 69. Мұнда келесі қатынас нақты орнатылған: EH = cos EFcos 70. Мұнда келесі қатынас нақты орнатылған: sіn 71. Мұнда келесі қатынас нақты орнатылған: sіn ҒЕ = tg • tg Градуспен алынған ҒЕ доғасы сағатқа ауыстырылғанда 15-ке бөлінеді. 72. Шығыс азимуты ЕН-ты анықтау үшін басқа қатынас дәлелденген: 73. Әл-Фараби «Әлмагестегі» тараудағы Күн талтүсте қайда, қашан және қанша рет төбеде болатынын есептеу жолын келтірмеген, онда айтылған: «Жоғарыда келтірілген мәліметтер бойынша Күннің тал түсте қайда, қашан және неше рет болатынын анықтау қиын емес. Шынында, тікелей анық, басқа жағы күн айналу нүктелерінің барлық қашықтығына қарағанда, күн теңдік дөңгелегінен әрі орналасқан параллельдегі нүктелер үшін, былайша айтқанда 23; 51, 20 градус, Күн тас төбеде ешуақытта болмайды, дәл осындай қашықтықта жатқан нүктелер үшін жазғы күн айналымы уақытында ол бір-ақ рет болады, ал көрсетілген градустар санынан кем градустар үшін Күн тас төбеде екі рет болады; ауытқу таблицасына сәйкес уақыт оңай алынады. Шынында, таблицаның екінші тік жолындағы қарастырылатын параллель күнтеңдік дөңгелегінен қашықтығын көрсететін (әрине, жазғы тропика ішінде) біз бірінші тік жолға сәйкес орнынан бірінші квадраттан Күн әр күнтеңдік нүктелерінен жазғы күнайналым бағыты бойынша көрсетілген параллельде жатқан нүктелер үшін тура тас төбеде тұрғандағы градустар санын аламыз» [3, 65-66 бб.]. Бірақ бұл материалды әл-Фараби «әлем экваторына параллель дөңгелектерінің ерекшеліктері» тарауында қысқаша баяндайды. 74. Гномон (микийас) көлеңкесі арқылы Күннің уақыты, биіктігі, азимуты және тағы басқа мәліметтерін анықтайтын белгілі бөліктерге бөлінген сырық (мұнда 60-қа). Грек сөзі гномон «көрсеткіш» деген мағынаны білдіреді. Көбіне

гномондар горизонталь жазықтыққа вертикаль және вертикаль қабырғада горизонтал түрде орналасқан. 75. Әл-Фараби Птолемейдің баяндаулары мен суретіне маңызды толықтырмалар енгізеді. 76. Әл-Фараби бұл тарауда Птолемейше ең ұзақ күннің шамасына байланысты Жер бетін «климаттарға» бөлетін материалды қысқаша қорытындылайды. Климаттар (арабша - «иклим») - астрономо-географиялық принцип бойынша ертеде қабылданған ендік климаттық зоналар, бұлар арқылы мекендеген Жер бетін жазғы күн тоқырау ұзақтығына немесе Күн еңкеюі шамасына сәйкес бөлген. Ойкумендерді бірінші рет жеті «климатқа» ендік принцип бойынша болу әлХорезмде кездеседі. Кейінірек әл-Бируни өз шығармаларында осы және басқа принциптерді басшылыққа алады. 77. Түріне қарағанда, мұнда әл-Фараби бұл параллельдің мекенделу мүмкіншілігін оның ескертілген «Жаратылыстану» шығармасында талқыланған. Айта кету керек, Аристотель де өзінің табиғат туралы ғылыми шығармаларында экватордың оңтүстігіндегі жерлерде климаттық жағдайы бойынша солтүстік жарты шар жеріндегі климатқа жақын екенін болжаған. Кейін әл-Бируни де, мекенделген жерлер жетінші климат шегімен немесе біріншінің алдынан бітпейді, бірақ олар қысқарады және жеке ерекшеленген таңбамен қозғалады» [9, 193 б.]. 78. «География» (Дисаграфиус) - Птолемейдің 8 кітаптан тұратын шығармасы, ел мекендері мен Жер картасының географиялық координаталар таблицасы оның негізін құрайды. Бірнеше рет сүйемелдеуіне қарағанда, бұл трактаттың мазмұны әл-Фарабиге жақсы белгілі болған. 79. «Әлмагесте» - «белгісіз скиф тайпалары». 80. Бұл абзацтағы келтірілген теориялық ұғыныстар «Әлмагесте» жоқ өте жоғары ендікте бақыланатын құбылыстар туралы Птолемейдің ой-пікірін түсіндіруге қызмет етеді. 81. «Әлмагесте» бұл тарау былай басталады: «Әртүрлі климаттардағы жалпы бақылауларды баяндағаннан кейін, әр климат үшін күнтеңдік дөңгелегінің және зодиакалдық сәйкес доғаларының өспелі сағаттық градустары бір мезгілде қалай анықталатынын көрсету керек еді, осыдан қалған толықтырулығы да бір ізбен шығарылады.

Зодиак белгілері аттарын және оларға сәйкес он екі күнтеңдік пен күнайналым нүктелері үшін пайдаланамыз; көктемдегі күнтеңдік нүктесінен басталатын және әлемдік қозғалыс бағытымен жүретін бірінші он екіден бір бөлікті Овно деп, екіншісін - Тельц және әрі қарай, 12 зодиакалдық шоқжұлдыздардың орналасу ретіне сәйкес. Күнтеңдіктің бір нүктесінен қайта басталатын Зодиакалдық дөңгелектің тең доғалары күнтеңдік дөңгелегінің тең дөңгелектерімен шығады» [3, 21 б.]. 82. Эклиптика нүктелерінің градусы шығу орнының мәндерін табу үшін дәлелденген ереже мына формулаға келтіріледі. мұнда - эклиптика градустарының тікелей шығуы, - «күн теңдеуі». Күнтеңдеуі - әлем полюсынан бастап күннің шығу нүктесі арқылы өтетін (доға ЕМ) үлкен дөңгелекпен қиылысқанда пайда болған әлем экваторы доғасы немесе полюс нүктесінен бастап күн шығу нүктесіне дейін өтетін тәулік параллелі доғасының үлкен дөңгелекпен қиылысқаннан шыққан доға. Бұл термин «Әлмагесте» кездеспейді. 83. Мұнда мына қатынасқа ұқсас ереже дәлелденеді: мұнда FE - ұзақ күн мен қысқа күннің айырымының жартысы градуспен өрнектелген: екінші жағынан жоғарыдағы дәлелдеу бойынша FE = tg - tg Осы қатынастардан эклиптика градусының көтерілу формуласы шығады: sіn()= sіn 84. Птолемей Родос аралдары арқылы өтетін параллельдер үшін (ендік, былайша айтқанда полюс биіктігі 36 градус, ең ұзақ күн 14,5 сағат) эклиптика градустарының бір уақытта көтерілуін (әр 10 градус сайын) толық есептеп, әрі қарай жазады: «Сонымен, әр он градус үшін көтерілуді осылай есептеп алған соң және басқа параллельдерде де кез келген практикалық қолдануға дайын болу үшін біз оларды күнтеңдік дөңгелегінен бастап жарты сағат үстеме беріп 17 сағаттық ең ұзақ күн параллельдеріне дейін (өйткені жарты сағат шамасындағы айырымдары бірқалыпты өзгергендегіден шамалы) келешекте пайдалану үшін таблицада орналастырамыз. Дөңгелектің 36 градустық бөлігіне әрқайсысы үшін төменде және уақытша көтерулі градусына сәйкес климаты мен қосқаннан пайда болған шамасын береміз» [3, 93 б.].

85. Эклиптика нүктелері көтерілуінің сан мәндерін табатын және оқушыларды жалықтыратын есептеулерді әл-Фараби келтірмейді, он градус сайын доға көтерілуін көрсеткен бірден дайын таблицаға сілтейді. Бұл таблица қосымшадан келтірілген (таблица 3). 86. «Әлмагесте» бұл тараудың басы былай келтірілген: «Жоғары көтерілу уақыттарын көрсеткеннен кейін, бүл пәнге қатысы бар барлық, істер оңай түсінікті және бізге әр мағлұматты геометриялық дәлелдеудің, артық таблица құрудың қажеті жоқ, бірақ талқылау жолы толығымен жоғарыда келтірілген таблицалар көмегімен түсінікті болады» [3, 93 б.]. 87. Мезгіл немесе қиғаш сағат - күннің немесе түннің ұзақтығының 1/12 бөлігі. Бұл доғалар тең болмағандықтан (күнтеңдік күндерінен басқа) түннің мезгілдік сағаты күннің мезгілдік сағатына тең емес. 88. Градус уақыттары, немесе уақыт градустары, - әлем экваторының градустары. 89. Күнтеңдіктер (теңшамалар), немесе тікелей сағаттар, - біздің пайдаланатын сағат мағынасында, былайша айтқанда 1/24 орташа тәулік. 90. Параллакс - ихтиллаф манзар - «көріну айырмашылығы» - жер шарының диаметралды қарсы нүктелерінде (тәулік параллаксы) орналасқан бақылаушыларды жарықпен (жұлдыз) түзулердің қиылысуынан шыққан бұрыш немесе жер орбитасының диаметралды қарсы орналасқан нүктелерде (жылдық параллакс). Практикалық астрономия үшін Ай параллаксының ерекше маңызы бар. Егер М-ді Ай десек [117-сурет], С - Жер ортасы, А -жер бетінде бақылаушы тұрған нүктеде Ай бақылаушының төбесінде тұрса, ал В Жер бетінің басқа нүктесі болса, А-да немесе В-да тұрған бақылаушылар бір уақытта СМ және ВМ сызықтары бойымен Айды көреді, бұл бағыттардың айырмашылығы ВМС бұрышымен өлшенетін, Айдан бақылаушыға дейінгі қашықтықтан тәуелді шама параллакс деп аталады.

91. Сфераның үлкен дөңгелегінде іштей сызылған квадраттың қабырғасы, - циркуль саласымен сфера бетінде оның үлкен дөңгелектерін сызады. Екі үлкен дөңгелектің қиылысуымен сызылған мұндай үлкен дөңгелек ортақ перпендикуляры болады. Сфераның екі қиылысқан үлкен дөңгелектерінің арасындағы бұрыш үлкен дөңгелек бойынша арақашықтығына тең. 92. Жер қазықшасы (ватад) - эклиптиканың жартыкүндік дөңгелекке сәйкес жарты түндік дөңгелекпен қылысқан жері. Еуропада «Қазықшаларды»

cardіnes деп атаған немесе puncta cardіnalіs - «кардиналдық нүктелер» - эклиптиканың меридианмен және горизонтпен қиылысқан нүктелері. Олардың жоғарғысы «аспан ортасының қазықшасы» («аспан ортасы» - аспан меридианы) деп аталады, төменгісі - «Жер қазықшасы». 93. Бұл таблица біздің жұмысымыздың қосымшасында келтірілген (таблица 4). 94. «Әлмагесте» дүние жүзі елдерінің географиясы, оның ішінде жерлердің координаталары туралы мағлұмат келтірілмегеннің қасы; бұл материалдар Птолемейдің «Географиясында» берілген. 95. «Әлмагестің» үшінші кітабы мына тараулардан тұрады: Жылдық уақыттың ұзақтығы туралы. Күннің орташа қозғалысының таблицасы. Бірқалыпты дөңгелек қозғалыс туралы жорамалдар. Күннің көрінетін теңсіздігі туралы. Жеке бөлікте де теңсіздік таблицасын құру туралы. Күн аномалиясының таблицалары. Күннің орташа қозғалысының кезеңі туралы. Күннің орналасқан орнын есептеу туралы. Тәуліктің (суткенің) тең еместігі туралы. 96. «Әлмагес» кітабының мақсаты туралы Птолемей жазады: «Бастапқы шығармада нағыз қажет әлем, жер, күн дөңгелегінің зодиакалдық шоқжұлдыздардың ортасы арқылы жүргізілген түзулердің жантаюы, осыған байланысты тік сферадағы жеке құбылыстардың байланыстары, әр климат үшін жантаю туралы математикалық хабарларды баяндап, осыдан кейін, Күн мен Айға байланысты теорияны баяндау керек деп есептеген жөн, атап айтқанда, олардың қозғалыстарында болатындарды түгел зерттеу керек, өйткені жоғарыда айтылғандарды алдын ала зерттеусіз ешқандай аспан шырақтарын танып білуге болмайды. Келешекте әуелі күн қозғалысының теориясын алуымыз керек, онсыз Айға байланыстыларды толық қамтуға болмайды [3]. 97. «Әлмагесте» Птолемей барлық аспан шырақтары Күннің, Айдың және бес планетаның орта қозғалысының жалпы анықтамасын бермейді.

98. Эфемеридтар - таквим (сөзбе-сөз - «түзету», бүл термин календарь дегенді білдіреді). Біздің термин «эфемерида» гректің «күнделік, күнделікті жазу» сөзінен шыққан. 99. Әл-Фараби Күн, Ай және планеталар үшін орта қозғалысының периодын анықтайтын әдісті береді және сонымен қатар, «Әлмагестің» осыған сәйкес тарауын, жылдық уақыты аралығының ұзақтығын анықтаудан бастап, елеулі түрде толықтырады. 100. Әл-Фараби бұл инструментті (зат аль-халық) толық баяндауды қажет деп есептейді, «Әлмагес» ол туралы бар болғаны осыған сәйкес Гиппархқа жататын секілді бірнеше сөйлемді көруге болады. «Жалпы алғанда жыл аралықтың тең еместігін квадраттың портик деп аталатын жез дөңгелегі арқылы бақылаумен дәл анықтауға болады; шамасы, бүл дөңгелекте күнтеңдікті, оның иілген бетінің екі жағына жарық түсетіндігінен айыруға болады». 101. Алидада-идада - сөзбе-сөз «сызғыштың беті» - астролябиядағы және басқа бұрыш өлшейтін инструменттердегі қозғалатын сызғыш (алидада сөзі - аль-идада сөзінің транскрипциясы). Диоптрлар - алидадағы бекітілген тесіктері бар екі аспан, олардың көмегімен берілген объектіге бағытталады. 102. Сонымен, Жердің Күнді айналу уақыты - тропикалық жыл, былайша айтқанда екі көктемдегі күнтеңдіктер арасындағы уақыт аралығы тең 103. Метон - грек астрономы, Афинда жұмыс істеген. Б.з.д. 432 ж. 19-жылдық циклді ашқан. 104. Евктомен - грек астрономы, Метонның қызметкері, күн тоқырауларын бақылаумен айналысқан. 105. Аристрах Самосский (б.з.б. 300 ж. шамасында) - ұлы астроном және ерте замандағы математик, бірінші рет Жердің айналуы және Күнді Жер мен планеталар айналуы туралы гипотезаны айтқан. 106. Симак Безоружный - Спик жұлдызы, былайша айтқанда Деваның шоқжұлдызы. 107. Бұл таблицаны осы.жұмыстың қосымшаларында келтірдік (таблица 5). 108. Күннің және басқа шырақтардың аномалия сияқты болуы - эклиптика бойынша осы шырақтардың көрінетін қозғалысының бірқалыптылығы еместігінен. Ежелгі грек астрономдары Аристотельдің ізімен, тек Аристарх

Самосскийді қоспағанда, Күн және барлық шырақтар Жерді бір қалыппен айналады деп ұйғарған. Күн қозғалысының бірқалыпты еместігі екі эквивалентті гипотезалардың бірімен түсіндіріледі: эксцентрлік немесе эпициклдік (109, 110 еск. қ.). Айдың және планеталардың қозғалысы осы гипотезалардың көмегімен түсіндіріледі. 109. Эксцентрлік гипотезаға сәйкес әлем сферасы бойынша Күннің көрінетін қозғалысының бірқалыпты еместігі эклиптика жазықтығында орналасқан кейбір дөңгелек бойымен бірқалыпты жылжитындығымен түсіндіріледі (Күннің көрінетін қозғалысының жазықтығында), бірақ оған эксцентрлі. 118суретте ABC - эксцентрлік дөңгелек, Е - оның центрі, F - әлем центрі (Жер центрі), A - Күн апогейі (аудж), былайша айтқанда бақылаушыдан ең үлкен қашықтық, С - оның перигейі (хадид), былайша айтқанда ең кіші қашықтық, В - күннің бір орналасуы. Бұрыш EBF - Ө - Күн «теңдеуі» деп аталады немесе оның «түзетуі».

110. Эпициклді гипотезаға сәйкес Күн үлкен емес дөңгелек бойымен, центрі үлкен дөңгелек - деферент бойынша Жерді айналатын және оның центрі Жердің центрімен дәл келетін эпициклмен айналады. Эпицикл - фалак таджир, сөзбе-сөз «айналуға келтіретін орбита», деферент - фалак, аль-хамил, сөзбе-сөз «орбитаны алып жүруші». 111. Екі гипотезаға әл-Фараби берген Комментарийлер «Әлмагестегі» түсіндірмеге қарағанда кең көлемді және толық, онда мынаны оқуға болады: «Бірқалыпты емес боп көріну себебін негізінде екі бастапқы және жәй гипотезалармен түсіндіруге болады. Шынында, егер олардың қозғалысы, бір жазықтықта Зодиакалдық шоқжұлдыздар ортасынан өтетін дөңгелекпен бірге орналасқан, центрі бір шеңбер әлемінен байқалса, біздің көзіміз азғана қателікпен әлем центрінде деп есептесек, онда бір қалыптылықты түсіндіру үшін не олар бірқалыпты қозғалыстарды айнала емес ең болмағанда осы центрді айнала, бірақ бір шеңбер бойынша емес, қозғалатын немесе эпицентр деп аталатын басқа шеңбермен айналады деп ұйғару керек. Бұл гипотезалардың қайсысын алсақ та, бірдей аралық уақытта бірдей емес, Зодиакалдық шоқжұлдыздар ортасынан өтетін және әлем мен центрі бір, доғаларды өтеді» [3, 152 б.]. 112. «Әлмагесте» соңғы дәлелдеу жоқ, оны әл-Фараби қосқан болуы керек. 113. Бұл қос айналудың кинематикасы туралы Апполоний Пергскийдің (б.з.б. 200 ж. шамасы) теоремасы. Ежелгі астрономия тіліне аударғанда айтылады:

эпицикл және деферент жүйесі, тең және қарама-қарсы айналу жағдайында қозғалатын эксцентрге эквивалентті [13, 87-90 бб.].

Эксцентрлік және эпициклдік гипотезалар бойынша Күннің көрінетін қозғалыстарының бірдей болуын түсіндірейік [119 а, б - сурет]. 119 б суретте деферент ретінде центрі әлем центрінде орналасқан концентрлік орбита алынған. Ғ - әлем центрі, Е - эксцентр центрі, А мен П эксцентрлік орбитаның апогейі мен перигейі, S - Күн, λ - Күннің орта бойлығы (орта аргумент), λ - оның нақты бойлығы (теңестірілген аргумент), θ - Күн теңдеуі, α - Күн аномалиясы. 109 а, б чертеждері екі гипотезадағы λ және θ - лардың бірдей болуын көрнекі көрсетеді. 114. Әрі қарай «Әлмагесте» әл-Фараби келтірмеген, өйткені осы тараудың кіріспесінде шырақтардың жалпы қозғалыстарына берілген түсіндірмеде айтылған, мынадай түсініктемелер келтірілген (оның Күннің де): «... апогейден ескертілген орта орналасуына дейінгі қозғалыс уақыты осы орналасудан перигейге дейінгі уақыттан ұзақ болады. Осыдан эксцентрлер гипотезасы бойынша әр уақытта, ал эпицентр гипотезасы бойынша шырақтар қозғалыстары апогейден таңбалар тізбегі бағытына қарама-қарсы болғанда ғана, қозғалысы оз орнынан ортадағыға дейінгі уақыт ортадағы орнынан қозғалысы үлкен орынға дейінгі уақытынан артық болғанда ғана, өйткені бұл гипотезалардың әрқайсысы бойынша ең кіші қозғалыс апогейде болады; эпициклдер гипотезасында болады шырақтар қозғалысы апогейден таңбалар тізбегі бағытымен, керісінше, ең үлкен қозғалыс орнынан ортадағы орынға дейінгі қозғалыс уақыты ортадағы орыннан ең кіші қозғалыс орнына дейінгі артық болғанда, өйткені бүл жағдайда апогейге сәйкес ең үлкен ауыстыруға сәйкес келеді». 115. Теңдеу (тадил) немесе түзету - шырақтар қозғалысы теориясындағы маңызды ұғым. Эклиптикада центрінен есептелетін бұрыштық қашықтықтар (Птолемей бұл нүктені «бақылаушының көзі немесе эклиптикамен концентрлі дөңгелек центрі») оның белгілі нүктесінен бастап - көктемдегі күнтеңдік нүктелері, [120-сурет] апогейдің бойлығы деп аталды. VЕА тең VFA-ғa апогейдің бойлығы, оны π деп белгілейік; бұрыш VFP шырақтың көрінетін бойлығы, оны λ деп белгілейік, одан эпицентр бағытымен анықталған орта бойлықты айырады. Эклиптикада Күннің көрінетін жылдық қозғалысы бағытындағы бойлықтар батыстан шығысқа қарай есептеледі (бұл бағыт тура деп есептеледі), әр 30°

бойлық «Зодиак белгісінің» біреуіне сәйкес келеді. Күннің Овна, Рак, Весы, Козерог белгілеріне енуі, былайша айтқанда оның бойлықтары 0, 90, 180, 270°-та болғанда, жыл уақытының басты белгісін көрсетеді.

Сонымен, у = π + λ, мұнда бұрыш λ = AFP мен (π тұрақты мәнді сақтайтындықтан) бақылаушы қабылдаған бірқалыпты емес қозғалыс өлшенеді: «әр уақыт сайын оның өзгеру заңын табу - шырақтар теориясының негізгі мәселесі; бүл үшін X бұрышын кейбір бірқалыпты өсетін бұрышпен байланыстыруды талап ету керек. Бүл схемада ол байланыс былай іске асырылады. Деферент радиусы FK-ны А1 нүктесінде эпициклмен қиылысқанша созайық. Бүл нүкте мен қарама-қарсы жатқан нүкте - шын апогей және шын перигей деп аталады. Шын апогейден басталатын шырақтың бұрыштық қашықтығын, былайша айтқанда бұрыш А1 КР = PEA Птолемейше планетаның аномалиясы, λ арқылы белгілейміз. Сонымен, λ -ны λ арқылы табу керек, бірақ λ = λ - х, х арқылы EPF = PFK бұрышын белгілеп, былайша айтқанда, оның астында тұрып бақылаушы эпицикл радиусын байқайды немесе осының астында Р-дан эксцентрдің эксцентритетін FE-ні байқайды. Деферент центрі Ғ-те есептелетін бұрыштар ғасыр ортасында центр деп аталды: бірқалыпты өсетін бұрыш АҒК - орталық центр (centrum medіum); бұрыш х - периодтық теңсіздік немесе осы центрдің теңдеуі (aequatіa centrі), сондықтан λ өзінің теңсіздігімен ауырлатылған центр [13, 92-93 бб.]. 116. Мұнда центр теңдеуінің ең үлкен мәніне λ 90° болғандағы мән сәйкес деген қабылдау геометриялық түрде дәлелденген. Біздің жазуымызда sіn х = e sіn λ қатынасынан үшбұрыш PEFтен λ = 90° болғанда sіn хmax = е оңай алынады, мұнда е - эксцентрдің эксцентриситеті. 117. Ежелдегі Күн теориясындағы өте маңызды фактілердің бірі жыл ішінде Күн қозғалысын бақылау бірқалыпты бола бермейді: көрінетін Күн бойлығы тең бұрыштарды бірдей уақыт арасында өтпейді. Мысалы, астрономиялық көктем (көрінетін Күн бойлығы О-ден 90°қа дейін өскендей уақыт аралығы) 94,5 күнге созылады; астрономиялық жаз (көрінетін бойлық 90-нан 180° өскендегі уақыт аралығы) 92,5 күн құрады. Үш берілгенді - μ ортасы өткеліп қозғалыс шамасын және көктем жаздың ұзақтығына -Гиппарх, онан кейін Птолемей Күн теориясын құрады, оны әлФараби өзінше баяндайды. 118. Гиппархтың алғаны

П = 65°301. е 119. Әл-Мамун - бағдат халифы, 813-833 ж. басқарған, араб Халифатында ғылым қамқоршысы. Әл-Мамун сарайында әл-Хорезми, әл-Мервази, әлДжаухари, әл-Фергани, Хорезмнен, Мервадан, Фарабадан және Ферганадан шыққандар жұмыс істеген. 120. Күн апогейінің бойлығын анықтауға байланысты әл-Фараби Күн теориясының өте маңызды мәселесін - Күн апогейінің қозғалысы туралы қозғайды. Белгілі, мұнда Птолемей елеулі қате жіберген: мызғымайтын факт деп Күннің апогейі М-нің бойлығын әр уақытта Гиппарх тапқан П = 65°30' бір мәнді қабылдайды. Текстен көруге болады, әл-Фараби өз бақылауларымен өткен арабтардың Күн апогеясы өзгерістері туралы маңызды жаңалықтарын растап қабылдау, Күн теориясындағы маңызды еңбегі болады, ол астрономияның ірі теоретигімен қатар таңдаулы практик -бақылаушы болды. Бұл жаңалық мамун обсерваториясы астрономдарына жатады деп әл-Фараби есептеген. Авторлардың бірі, Жер шамасын тарихи өлшеуге халиф әл-мамун күндерінде (ІX т. басы) қатысқан және апогей бойлығын өлшеу туралы зерттеу жүргізген әл-Бируни айғағы бойынша, ортағасыр ғалымы Халид әлМервурриди болған деп айтуға үлкен негіз бар. Әл-Бируни күнтеңдік пен күнтоқырау нүктелерін Птолемейдің, Бану-Мұсаның, әл-Мервурридидің, әлБаттанидің, Абу-л Вафтың және өзінің бақылауларын салыстырған. Осындай қорытындыны әл-Фараби да жасайды: «Барлық жазылғандардан түсінікті - Күн апогейі жылжиды, бұл Птолемей есептегеніне қарама-қайшы болады» [8, 107-108 бб.]. Әдебиетте Күн апогейінің жылжуын бірінші болып әл-Баттани (850-929) анықтаған деген пікір тараған, бұл дәл емес. 121. Мұнда центр теңдеуінің сандық шамасының ең үлкен мәні табылады: sіnxmax=e Хmах = arcsіn 2° 23' 122. Есте болып отыр, бірінші кітапта дәлелденген іштегі сызылған тікбұрышты үшбұрыш үшін синустар теоремасы. 123. Бұл таблица осы жұмыстың қосымшасында келтірілген (6 кесте). 124. Птолемейдің «Әлмагестің» төртінші кітабы мына тараулардан тұрады:

Ай туралы теорияны қандай бақылаулардан алып жасауға болады Ай қозғалысының периодтары туралы Ай орта қозғалысының дербес мәндері туралы Ай орта қозғалысының кестесі Ай қозғалысы туралы жәй гипотезада ол эксцентр гипотезасы немесе эпициклдік гипотезасы бола ма, көрінетін қозғалыстар бәрі бірдей бола ма Ай қозғалысының бірінші және жәй теңсіздігін анықтау Бойлық және анамолия бойынша Айдың бірқалыпты қозғалыстары эпохасы туралы Айдың орта ендік және эпохасы бойынша қозғалысын түзету туралы Бірінші немесе жәй Ай теңсіздіктерінің кестесі Гиппарх алған Ай теңсіздігі шамасының айырмашылығы жасалған болжаулар түрлерінен емес есептеу салдарынан шығады. 125. Ай тұтылуы Айдың жер көлеңкесі арқылы өткенде пайда болады, Жер Ай мен Күннің арасында орналасқан уақытта, ал күн тұтылуы - Айдың Күн шарасымен (диск) жылжығанда. Ай тұтылуы мына түрде болады: S - Күн, Т - жер, L - Ай болсын [ 121-сурет]. Ай Жер көлеңкесі конусына түскеннен кейін тұтылу пайда болғандықтан, тұтылу барлық Айға қарағанда жер жарты шарынан бірдей көрінеді және Жердің барлық нүктелері үшін бір мерзімде басталады.

Жергілікті сағат бойынша Жердің әр нүктесіне бұл мезгіл жергілікті бойлыққа байланысты сөткенің әр уақытында болады және ай тұтылуын бақылау көмегімен бойлықтар айырымын анықтау осы негізде жатады. Егер Ай Күнге диаметралды қарама-қарсы эклиптика нүктесінде жатса, ондай жағдайда ай тұтылуы пайда болады. Күн мен Айдың орналасқан орындары туралы инструменттер көмегімен, Айдың параллактикалық ауытқуы себебінен дәлдігі аз мәліметтерге қарағанда Ай тұтылған мезгілде алынған мәліметтер тым дәл. 126. Бұл параграфта әл-Фарабидің талқылауы өзінің мағынасы және көлемі жағынан «Әлмагестің» «Ай қозғалысының периодтары туралы» деген тарауынан едәуір өзгешеліктері бар. Салыстыру үшін бұл тараудың толық текстісін келтіруді қажет деп есептейміз. «Бұл қысқаша баяндау толық жеткілікті, ол үшін Ай қозғалысы теориясына барлық қажеттерді анықтау үшін бақылаулар арқылы орындалатынын көруіміз керек. Енді баяндауға әрекет жасайық, Ай қозғалысын көрсету үшін

ертедегілер қандай әдістерді пайдаланды, сонымен қатар бақылауға өте сәйкес гипотезаны анықтаудың қандай әдісі пайдалы деп есептейміз. Өйткені біздің көруімізше, Ай ендік бойынша сол сияқты бойлық бойынша бірқалыпты емес, бірдей уақытта дөңгелек Зодиакалдық шоқжұлдыздар ортасы арқылы өтуі және сол ендікке оралу әрқашанда емес, онда оның теңсіздіктерін бұрынғы қалпына келтіруге қажет уақытты анықтамай басқа периодтарын табу мүмкін емес. Толық жүргізілген бақылаулар бойынша Зодиактың барлық бөліктерінен талғаусыз Айдың ең үлкен, ең кіші және орта қозғалыстары бар. Дәл солай Зодиактың барлық бөліктерінде ол солтүстіктің өзінде, және оңтүстіктің өзінде және зодиакалдық шоқжұлдыздар ортасы арқылы өтетін дөңгелектің өзінде жатқан; сондықтан, әрине, ежелгі математиктер Ай әр уақытта ендік бойынша бірдей қозғалыс жасайтын уақыт аралығын табуға тырысты, өйткені осы уақыт аралығы бойында теңсіздік қалпына келтіріледі. Жоғарыда келтірілген себептер бойынша, ай тұтылуларының бақылауларын салыстыра отырып, одан кейін ендік бойынша өткен қашықтықтың ай санымен есептеген уақыты әрдайым бірдей уақытта өткен осындай қашықтыққа тең болады және бүтін айналымдар саны тең немесе кейбір доғаларды қосумен тең болатындығын олар қарады. Өте ежелгілер бұл уақыт аралығы 6585 бүтін үштен бір Күнге тең деп есептеген. Осы уақыт аралығында олардың көргені шамамен 223 айлық айналу, 239 аномалиялық қайтып оралулар, 242 сол бойлыққа оралу, 241 бойлық бойынша айналыс, одан басқа, Күн осы аралық уақытында өзінің 18 айналымына тағы 10 бүтін үштен екі градус қосады, егер жылжымайтын жұлдыздарға барлық қайтып оралуды байланыстырсақ. Бірінші болып бастапқы қалпына оралған қозғалыстардың дерлік барлығы сияқты олар бұл уақытты «периодтық» деп атаған. Күн санын бүтін түрінде алу үшін 6585 1/3 күнді үшке көбейтіп 19756 күн санын алған, оны экселигле деп атаған. Қалған сандарды да үш еселеп 669 ай, 717 аномалияларды қалпына келтіру, 726 осы ендікке оралу, 723 бойлық бойынша айналу, одан басқа Күн өзінің 54 толық айналуына қосатын 32 градус. Бірақ Гиппарх халдейліктер мен өзінің бақылаулары негізінде бұның бәрі түгел дәл еместігін көрсетті. Шынында, өзінің бақылауларын баяндау негізінде саны бірдей айларда және бірдей қозғалыстарда тұтылу уақыты толық және цикл жасайтын күндердің бірінші саны 126007 күн және бір күнтеңдік сағатына тең екендігін көрсетті, осы уақыт ішінде 4267 ай, 4573 аномалиялық толық оралулар, 4612 7,5 градуссыз, Күнге 345 жылымайтын жұлдыздар арқылы толық айналуға жетіспейтін Зодиак бойынша айналу. Ол Айдың орташа ұзақтығы келтірілген санды 4267 айға бөлгеннен 29; 31, 50, 8, 20 күн

шамасында шығатынын тапқан. Осы уақыт аралығында бір ай тұтынуынан бастап келесі сәйкес тұтынуға дейін бірдей қашықтықты өтеді; сонымен, теңсіздіктің қалпына келуі де түсінікті бола бастайды, өйткені бұл уақыт аралығы әрқашанда мынадай ай санын қамтамасыз етеді және 4611 бойлық бойынша бірдей айналыстарға 352;5 градусқа тең доғалар күнмен қосылу уақыттары талабы бойынша қосылады. Егер іздегеніміз ай тұтынулары арасына сәйкес айлар саны емес, бір толық айдан немесе осы қосылуларға дейінгі жаңа ай болса, онда теңсіздіктің қайта оралу уақыты кіші болуы мүмкін және егер олардың ортақ бөлігін - он жетіден бір бөлігін алсақ, онда 251 ай және 269 аномалиялар қайта оралуы шыққан болар еді. Дегенмен көрсетілген уақыт сол ендікке саны бүтін қайта оралуды бере алмайды; шынында, тұтылудың қайта оралуы көрінісін (по видимому) тек периодтардың теңдігін уақыт және бойлық бойынша сақтайды, бірақ та ендікті анықтайтын шамалар мен бірдейліктер бойынша тұтылу емес. Теңсіздіктің қайта оралу уақытын шамалап тауып, Гиппарх шамасы және уақыты бірдей аномалияда ешқандай айырмашылығы жоқ шеткі тұтынулар арасындағы уақытын қайтадан салыстырумен айналысты, осының нәтижесінде сол ендікке оралу сияқты: мұндай периодта 5438 ай және 5923 ендікке қайта оралуы бар екендігін көрсетті. Осыған ұқсас зерттеулер үшін бізден бұрынғылар осындай әдістерді пайдаланған. Ол әрі жәй емес, әрі қолайлы емес болса да коп көңіл аударуды талап етпегенді, біз төмендегіден көруімізге болады. Егер екі периодтың ұзақтығын бір-біріне тең деп ұйғарсақ, онда бұл ешқандай пайда бермейді, егер осы екі периодтың әрқайсысында ешқандай байланыс болмаса немесе Күн аномалиясында әрқашанда бірдей айырмашылық болса. Егер бұлай болмаса, онда тұтылу өзі де, Ай да бірдей уақыт аралығында тең айналу жасамайды. Шынында, егер, мысалы, әрбір, бүтін және бір-біріне тең жылдардан басқа салыстырылатын аралықтарында жыл ұзақтығының жартысы жатса, онда Күн осы уақыт ішінде бірінші аралықта Балықтардағы орта орналасуынан, ал екіншіде Қыздағы (Дева) -орта орналасуынан қозғалып, бірінші аралықта қашықтығы жарты шеңберден шамамен 4 және төрттен үш градусқа кем, ал екіншіде жарты шеңберден осыншаға артық қашықтықты өтеді, сонымен Айда тең уақыттарда бірінші аралықта бүтін дөңгелектермен қоса 175,25, ал екіншіде - 184,25 градус өтеді. Сондықтан, біріншіден, айта кету керек, Күнге байланысты аралықтарда оның толық айналу саны бүтін сан болу керек, аралықтың біреуінде жарты шеңбер апогейден қосылу керек, ал басқасында - перигейден немесе әр аралықта

басы тең бір орында болуы керек немесе бірінші тұтылу үшін бір аралықта және екінші басқа аралықта екі жағынан да перигей мен апогейден бірдей қашықтықта болуы керек. Тек осындай жағдайда ғана әр аралықта немесе аномалияда бірдей қашықтықта болуы керек. Тек осындай жағдайда ғана әр аралықта немесе аномалияда мүлдем айырмашылығы шықпайды немесе айырмашылығы мүлдем бірдей болады, қосылатын доғалар тең болып шығады немесе өзара немесе өзара бірқалыпты доғаларымен. Ай қозғалысына да осылай қарау керек деп ұйғарайық. Шынында, егер осыған көңіл аудармасақ, онда бойлық бойымен тең доғалардың, теңсіздігін толық қалпын келтірмей-ақ, жиі тең уақытта өтуі мүмкін. Жылдамдығы бірдей өсетін немесе бірдей кемитін қозғалыс шығады, бірақ қозғалыс мына жағдайдағы жылдамдықпен аяқталмайды: егер Ай қозғалысты бір аралықта ең үлкен жылдамдықпен бастаса және ең кішімен аяқтаса, ал басқада ең кішіден бастаса және ең үлкенмен аяқтаса, егер екі аралықта біреуінің бірінші жылдамдығы және басқасының соңғы жылдамдығы орындары тең бір орыннан ғана тек қашықтықта орналасқан болса. Осы жағдайлардың әрқайсысында теңсіздікте ешқандай айырмашылық болмайды, немесе айырмашылық біреу ғана болады, осының салдарынан бойлық бойынша бірдей доғалар шығады, бірақ теңсіздік ешуақытта қалпына келтірілмейді. Сондықтан, таңдап алынған аралықтарда осы жағдайлардың ешқайсысы болмау керек, егер олардың теңсіздікті қалпына келтіруі периоды болатын болса. Керісінше, бізге мүмкіншілігінше теңсіздікті жақсырақ көрсете алатын аралықтарды таңдап алу керек, етер оларда теңсіздікті қалпына келтірудің бүтін периодтары жоқ болса және шамасы мен потенциясы бойынша әртүрлі жылдамдықтар мен қозғалыс бастайтын болса. Шамасы бойынша, егер бір аралықта ең кіші жылдамдықпен басталса және ең үлкенмен аяқталмаса, ал басқада ең үлкенмен басталса және ең кіші жылдамдықпен аяқталса. Сонымен, бойлық бойынша жүрген доғаларда ең үлкен айырмашылық болады, егер аномалияның толық емес дөңгелектері сызылса, бірақ аномалия дөңгелегінің төрттен бір не төрттен үш бөлігін қосумен, өйткені теңсіздікте аралықтар айырмашылығы екі еселенген айырымына сәйкес. Потенция бойынша, егер екі аралықта қозғалыс, бір аралықта өсетін, ал екіншіде - кемитін жылдамдықпен емес, бойлық қосымшалары көбінесе бірбірінен айрықша, орта жылдамдықпен басталса, егер теңсіздікті қалпына келтіргенге дейін тағы да дөңгелектің төрттен бірі немесе үші жетпейтін болса, теңсіздікте екі еселі айырмашылық пайда болса, ал жарты дөңгелек үшін - төрт еселенген. Біздің көргеніміз, Гиппархта осының салдарынан осындай зерттеуде аралықты таңдап алуда өте үлкен сақтық көрсетеді, Ай үшін екі

аралықты пайдаланды, біреуінде қозғалыс ең үлкен жылдамдық нүктесінен басталады және екі кіші жылдамдық нүктесінде аяқталмайды, ал басқасында қозғалыс ең кіші жылдамдық нүктесінен басталады, бірақ ең үлкен жылдамдық нүктесінде аяқталмайды. Күн теңсіздігінен шыққан, өте үлкен болса да және шамамен Зодиактың он екіден бір бөлігінің ¼ - і болса да, екі аралықта сол теңсіздікті жасаушы болмаса да немесе Күнмен сызылған толық дөңгелектер санына қосқанда шыққан болса да, айырмашылықты түзетті. Периодтың қайта қалпына келтіру жолын алу әдісіне таласу үшін емес, бірақ арнайы көңіл аудару және сәйкес есептеу арқылы әдісті түзету; егер баяндалған ерекшеліктердің кейбірін қалдырып қойсақ, онда іздеп отырған анықтамада өте күшті қателесуіміз мүмкін; егер өте дұрыс сәйкес бақылауларды таңдап алсақ та, қажетті жағдайлардың дәлін таңдап алу қанша қиып екенін көрсеткім келді. Сонымен, көрсетілген периодтың қайта қалпына келтіру үшін Гиппарх ұсынған әдіспен есептеу, айлар үшін өте дәл есептегенде ақиқаттан ешқандай айтарлықтай айырмашылығы болмады, бірақ аномалия мен ендік үшін өте көрнекті қате байқалды, оны біз өте жәй және осындай зерттеулер үшін пайдаланатын ыңғайлы әдістермен есептедік, оны ай теңсіздігінің шамасын анықтағанда қазір көрсетеміз, сонымен қатар келешекте баяндалатын әдіспен алынған түзетулерді қосамыз» [3, 194-203 бб.]. 127. Күнге қарсы тұру (мукабала) - екі шырақтың бойлықтарының айырмашылықтары 180° болғандағы жағдай, қосылу (иджтима) - екі шырақтың бойлықтарының дәл келуі. 128. Халден - б.з.б. 7 ғ. соңында Ново-Вавилон мемлекетін құрған Оңтүстік Месопотамиядағы семит тайпалары. 129. Синодтық ай дегеніміз Айдың бастапқы орнына Күн арқылы оралатын уақыт. 130. Егер λl - Айдың орта бойлығы, λs - күннің орта бойлығы болса, онда XL-XS айырымы Айдың элонгациясының орта сөткелік шамасы деп атайды (латын сөзінен elangotіe -«шығару»). 131. Мысырлық жыл дәл 365 сөткеден тұрады және 365, 366 сүтке болатын римдік жылдан өзгеше тең деп аталады. 132. Бұл таблица қосымшаларда келтірілген (7-кесте). 133. Мұнда квадратура (тарби') және гексогональный аспект (тасдис), тригональный аспект (таслис) - Зодиак белгілерінде қашықтықтары сәйкес 90, 60 және 120°-қа шырақтардың орналасуы.

134. Ай қозғалысындағы бірінші теңсіздік эпициклдік гипотезамен түсіндіріледі [122-сурет]. Концентрлік дөңгелек бойынша эпицикл центрі А және Ай М эпицикл бойымен қарама-қарсы бағытпен қозғалып (центр А - сағат стрелкасына қарсы, ал Ай - сағат стрелкасы бағытымен) бір синодтық ай бойы (29,5 күн) барлық уақытта Күн арқылы өтетін АЕС түзуі арқылы абсолюттік қозғалыста толық айналым жасайды; сонда Ай қозғалысы эпициклдің М нүктесінде өте баяу және N нүктесінде өте тез сияқты болып көрінеді. Екі қарама - қарсы айналымды қосқаннан Айдың Жерді эксцентрлік дөңгелек бойынша қозғалуы шығады, бұл дөңгелектің центрі F әр уақытта Жер центрі Е-ні Күнмен қосатын түзуде орналасқан [9, 599 б.].

135. Бұл жағдай және оның салдары «Әлмагеске» жоқ және әл - Фарабидің өз қосуы болады. Бұл Айдың орналасуын анықтауда теориялы-методикалық негіз болады және Птолемейдің әрі қарай келтіргенінен оның аномалиясы бақылау арқылы екі топқа үш тұтылудан алынған. 136. О. Нейгебауердің пікірі бойынша тригонометрияны астрономиялық есептерді шығаруға пайдаланудың өзіндік мысалын көріп, Ай эпициклінің радиусының ұзындығын және апогейдің орналасуын анықтайтын математикалық әдіс баяндалған. Бұл есеп жалпы есептің орналасулары бірқатар бақылаулар арқылы анықталған екі жәй жағдайы. Бұл - үш берілген нүктеге байланысты бақылаушының орнын анықтайтын маңызды геодезиялық есеппен тығыз байланысты [4, 201-204 бб.]. Бұл есеп осы жағдайды мынадай: белгілі жылдамдықтар бойынша эпицикл центрі аномалиясы у және орта бойлығы X өзгерістерін г мен кезеңді, Айдың жылдамдығы ең аз болғанда, былайша айтқанда эпициклдің апогейінде болғанда, анықтау керек. Радиус деференті 60-қа тең болған бірліктерде эпицикл радиусы 5; 15 болып табылған. 137. Набонассар (әл-Фарабиде Бухтунассар) - вавилон патшасы, б.з.б. 747-733 ж. бойы патшалық еткен. «Әлмагесте» Набонассар эрасының басы деп Набонассар таққа отырған күн - б.з.б. 747 ж. 26 февраль деп ескертілген. 138. Узел - «укда» - Ай орбитасымен эклиптиканың қиылысу нүктесі. 139. Мұнда әл-Фараби Ай қозғалысын ендік және тұтылуы бойынша анықтағанда бірдей ендік шамасында Айдың көлеңкесі болатындығын

есептеуді көрсетеді. Ол Айдың эпицикл апогейіне дейінгі қашықтығынан тәуелді (егер эпициклдік гипотеза бойынша болса), былайша айтқанда Айдың Жерге дейінгі қашықтығынан. Ай эпициклдік ең жоғарғы нүктесінде тұрғанда (Ай Күнге жақын болғанда) оның ең үлкен көлеңкесі эпициклдің жоғарғы нүктесіне қарай қозғалғанда кішірейеді (мұнда ай орбитасының жылжуы есепке алынады). Сонымен, ендік бойынша нақты оралу туралы шешім қабылдау үшін екі тұтылу үшін тұтылу шамасы және эпицикл апогейінен Ай қашықтықтары бірдей болу қажет. 140. Ай узелдерінің шығуы мен батуы аттары - «бас» (рас) және «құйрық» (занаб) ежелгі жоққа сенушілікке байланысты шыққан. Ай орбитасының узелдерінде тұратын Айдаһардың басы мен Құйрығы тұтыну уақытында Күнді жұтуы тек узелдерде ғана болу мүмкін. 141. Саусақ (исба') - 2 см шамасында. 142. Әл-Фараби Птолемейдің ендік бойынша Айдың қозғалысын есептеу әдісін түсіндіреді. Егер үлкен уақыт аралықпен бөлінген екі тұтынудың бақылауының нәтижесі белгілі болса және эпициклдердің ең жоғарғы нүктелерінен Айға дейінгі қашықтықтары үшін тұтыну шамалары тең болса, онда оның ендіктері де тең болады; сондықтан тұтынудың орта фазалары арқылы ендіктің периодтық өзгеру эпохасын алуға болады, былайша айтқанда, көрсетілген тұтынулар арасындағы уақытта ендік бойынша Ай қозғалысында айналу саны бүтін сан болады. Егер де Ай екі тұтылуда эпициклдің ең жоғарғы нүктесінен әртүрлі қашықтықта болса, бұл көрсетілген уақытта Айдың ендік бойынша орта қозғалысын анықтауға мүмкіндік береді. 143. Кез келген уақытта Ай орналасуын оның орта бойлығымен λ («орта қозғалысымен»), шын бойлығымен λ («шын қозғалысымен»), θ = [λ - λ]теңдеуімен және аномалиямен а [123-сурет] анықтауға болады.

144. Бұл кесте қосымшада келтірілген (8-кесте). 145. «Әлмагестің» бесінші кітабында мына тараулар бар:

Ай орбитасының эксцентритеті үшін қатынас шамасы туралы

Ай эпициклінің жантаюы туралы Периодтық қозғалыстар мен геометриялық түрде Айдың нақты орналасуын анықтауға болатыны туралы Айдың толық теңсіздігі үшін кесте құру Ай теңсіздігінің толық кестесі Айдың толық қозғалуын түгел есептеу туралы Айдың эксцентрлік дөңгелегі сизигияларда ешқандай маңызды айырмашылықтар тудырмайтындығы туралы Айдың параллакстары туралы Параллакстік инструменттердің құрылымы туралы Ай қашықтығы анықтамасы Сизигияларда Күннің, Айдың және Жер көлеңкесінің көрінетін диаметрлерінің шамалары туралы Күн қашықтығы және онымен бірге не анықталатыны туралы Күннің, Айдың және Жердің шамалары туралы Күн мен Айдың параллакстарының дербес мәндері туралы Параллакстар кестесі Параллакстар анықтамасы туралы. 146. Мұнда бейнеленген инструмент - «Армиллярная сфера», оны араб астрономдары «зат альмахалак» сөзбе сөз «сақиналар иелері» (латынша armіlla - «сақина») деп атаған. 147. Сонымен, шырақтың екі сфералық координаталарын анықтау үшін оның біреуін өлшеу жеткілікті, екінші координата шырақты эклиптиканы бейнелейтін оның дөңгелегі символымен беттесу үшін қажет армиллярлық сфераны берумен анықталады. 148. Бұл түсіндірмелер Птолемейге қарағанда әл-Фарабиде толық, сондықтан салыстыру үшін «Әлмагестен» осы жерді келтіру қажет: «Өйткені енді осы прибор арқылы көрсетілген бақылау жәй болып көрінеді, сондықтан Айдың Күннен қашықтығы Гиппарх жазулары бойынша және біздің оз бақылауларымыз бойынша кейде жоғарғы гипотеза бойынша есептелгенмен бірдей, кейде артық шамамен не кем шамамен бірдей емес. Бүл теңсіздіктің ерекшелігі туралы коп ойлай бастағанда, байқағанымыз жаңа ай немесе толық ай уақытында не өте кішкентай не ешқандай тіпті байқалатын қате

бермейді, екіге бөлінген Айдың орналасуында да ай параллакстары жіберетін қатеден өзгеше, айырмашылық ең кіші немесе тіпті жоқ болуы, егер Ай эпициклінің апогейінде немесе перигейінде болса, ең үлкен, егер Ай аралықта болған жағдайда, онда бірінші теңсіздікпен салыстырғанда ең үлкен айырмашылық болады. Егер бірінші теңсіздікке алу амалын пайдалансақ, онда әр ширекте Айдың орналасуы бірінші теңсіздікті алып тастағаннан кейін пайда болған саннан кіші санмен анықталады, егер де осы қосу керек болса, онда бірінші простафезаның шамасына пропорционалды өсіп үлкен болады. Сонымен, көрсетілген ерекшеліктер мынадай қорытынды шығаруға мүмкіншілік берді: Ай эпициклі эксцентрлік дөңгелекпен қозғалады деп ұйғаруымыз керек, оның үстіне жаңа ай мен толық айда ол Жерден өте алыстайды және Айдың екіге бөлгендегі орналасуында өте жақындайды; егер бірінші гипотезаға осындай түзету қоссақ, онда барлығы да болады. Жорамалдайық, Ай орбитасының жазықтығында ендіктің жоқтығынан белгілер ортасы арқылы өтетін концентрлік дөңгелек, жоғарыда атап өткеніміздей дөңгелек полюстері тізбектерінің бағытына қарсы белгілер ортасы арқылы соншалықты қозғалып қаншалықты ендік бойынша қозғалыс бойлық бойынша қозғалыстан озады, ал Ай эпициклге қарай бірінші аномалияны бұрынғы қалпына келтіруге сәйкес эпицикл апогейіне іргелес орналасқан доғадағы белгілі тізбекке қарсы қозғалып айналады. Бұл жантайған жазықтықта ұйғарамыз, бағыттары қарама-қарсы екі бірқалыпты қозғалыс белгілі ортасы арқылы дөңгелек центрін ендік бойынша қозғалысқа сәйкес Зодиактың тізбектері белгілеріне қарай бағыттайды, екіншісі центрді және әрқашанда эпицикл центрі орналасқан эксцентр жазықтығында жатқан апогейді орналастырады. Бұл қозғалыс белгілер тізбегіне қарсы орындалады және де оның шамасы екі еселенген элангация мен ендіктің айырымына тең болады, былайша айтқанда ендік бойынша ай орналасуының ортасы мен күндікінің айырымы. Мысалы, егер бір күнде эпицикл центрі оз қозғалысында белгілер бағытымен шамамен 13; 14 градус өтсе, онда белгілер ортасы арқылы дөңгелекте 13; 11 бойлық градусқа жылжыған болып көрінеді, соның салдарынан барлық қиғаш дөңгелек белгілер тізбегіне қарағанда алпыстан үш шамасы айырымына кейін жылжиды; бірақ эпицентр апогейі арқылы, өз кезегінде, белгілер тізбегіне қарағанда 11;9 градусқа кем жылжиды, екі еселенген элонгация градусы 24;23, ендік аргументінен 13; 14 градусқа артық. Сонымен, осы екі қозғалыс қарама-қарсылығынан, біздің айтқанымызша, дөңгелек центрін айнала белгілер ортасы арқылы өтетін эпицикл центрі қозғалысы эксцентр центрінен қосқаннан кейін алынған 13; 14 және 11;9 градусқа тең доғаға, шамамен екі есе артық 12; 11,30 элонгация градусына, айырмашылығы болады. Осының салдарынан орта ай уақыты бойынша

эпицикл эксцентрге екі рет оралады және де эксцентр апогейіне қайта оралу орта теориялық жаңа айда және толық айда орындалады деп ұйғарылады. Бұл ұйғарымды көрнекті қылу үшін тағы да ай орбитасының жантайған жазықтығындағы белгілер ортасы арқылы өтетін концентрлік дөңгелек бар деп ұйғарайық; оның центрі Е болсын...». 149. Сонымен, бұл тарауда әл-Фараби Птолемей ізінше кейін алынған эксцентрлік дөңгелек қозғалыссыз қалмайды, ай бойы Күнді айнала бір айналым Жер центрін Күнмен қосатын сызық бойынша сағат стрелкасы бағытымен жасайды; сондықтан СЕА түзуі әр уақытта эксцентрлік дөңгелек пен эпицикл центрлеріне бағытталған түзулер арасындағы бұрыштың биссектрисасы болады. Суретте көрсетілгендей (134 ескерту) Ай, эпициклдің қозғалмайтын М нүктесінде орналасқан, жаңа айда және эксцентр дөңгелегінің апогейінде болады. Егер соңғының центрі F ширек айналым жасаса және Е түзуінде Е-нің оң жағында болса, онда эпицикл центрі АЕ-нің оң жағында сол сызықта болады, ал Ай, эпициклдің М нүктесінде тұрған, іргелімелі дөңгелек қозғалыс жасап, эксцентрдің квадратурасында және перигейінде болады. Тағы да ширек айналым арқылы F нүктесі эпицикл центрі А ЕС түзуінде болады, екеуі де Е нүктесінен төмен; эпицикл центрі А ең алыс қашықтықта болады, ал ЕС түзуінде тұрған Ай апогейде және толық айда болады. Осылайша баяндалған механизм мынаған келтіреді: толық ай мен жаңа ай эксцентр апогейінде болады, ал квадратулар -оның перигейінде [9, 559-560 бб.]. 150. Тригональдық аспект - қараңыз 133 ескертпені. 151. Бірінші теңсіздікті табу әдісі Птолемейдің келесі гипотезасымен негізделген. Е - әлем центрі, АС - эклиптика болсын [124-сурет]. Е-ні айнала ZZ'Z"Z"' дөңгелегі бойынша ай эпициклі деферентінің центрі қозғалады (осылай оз орналасуын үздіксіз өзгертеді). Осы деференттің шеңбері бойынша (чертежде көрсетілмеген) Айдың эпициклінің центрі қозғалады, ал эпициклмен - Айдың өзі эпицикл центрі қозғалысына қарама-қарсы бағытпен. Барлық үш айналу эклиптикаға 5°-қа жантайған Ай орбитасы жазықтығында өтеді.

Күн мен Ай қосылғанда және қарама-қарсы орналасқанда Айдың эпициклі центрі Күннің апогейімен беттеседі (А мен С нүктелері), ал Ай өзінің апогейі центрінде жатады, онымен қатар Ай үшін деферент центрі Z пен Z" нүктелерінде болады. Эпицикл центpі В мен D нүктелерінде болғанда,

деферент центрі сәйкес Z' пен Z'" нүктелерінде болады. В мен D нүктелері Айдың айналуының ширек айналуына сәйкес келеді (сондықтан ай 29,5 сөткеге тең). Айдың эпициклінің центрі екі рет апогейде болады (А мен С нүктелерінде) және екі рет перигейде болады (В мен D нүктелерінде). Деферент центрі жылжитын дөңгелектің әрбір Z, W, Z' нүктесіне оған симметриялы нүктелер Z", W', Z'" сәйкес келеді, олардың орналасуынан сәйкес эпициклде орта апогейінің (М, М', М" нүктелері) орналасуы тәуелді. Нақты эпициклдер апогейлері М, М', М" нүктелері - әлем центрін эпициклдер центрімен қосатын түзулер бойымен созылған. Орта және нақты апогейлер апогей нүктелерінде және эпицикл центрінің перигейінде бірдей болады. Қалған деферент нүктелерінде олар бір-бірінен бірінші теңдеу немесе теңсіздік деп аталатын NM доғасындай қашықтықта орналасқан. Сондықтан түсінікті, Ай апогейі Зодиакалдық орбитамен айына бір айналым жасаса, егер осы қозғалыстан Күн қозғалысын шығарып тастаса, өйткені олар қарама - қарсы бағытта қозғалады. Бірінші теңсіздік - айырымның доғасы немесе эпициклдегі орта және нақты апогейлер арасындағы бұрыштық қашықтық.

ABCD - біраз уақыттағы центрі Е Айдың эксцентрлік орбитасы [125-cypeт], G - әлем центрі, С - ай эпициклінің центрі, Н - Айдың эпициклде орналасуы, F - Айдың эксцентрлік орбитасының центрі үшін симметриялы нүкте, ВС - Күн мен Айдың орта қашықтығы (ВС = АВ болсын). Сонда EBG = ∠AEB - AGB = λl-λS=θ (Күн теңдеуі), ∠AGC = 2(λL -λS) -Айдың қос элонгациясы, К - эпициклдағы Айдың нақты апогейі, М - FM сызығында жатқан орта апогей, доға МОН - айдың орта аномалиясы (MP + РН), доға КОН = КО + ОН - нақты аномалия, мұнда РН пен ОН сәйкес, - жарты айналымнан орта және нақты аномалияның артықтығы: РН = МРН - 180°, ОН = КОН - 180°. Доға KM, GCF бұрышына тең, - Айдың бірінші теңсіздігі, KM - РН = РО. Мұнда орбитаның эксцентристегі EG, былайша айтқанда, центрлер арасындағы қашықтық, тең GF.

152. Мұнда әл-Фараби Птолемей ізімен Айдың эфемидасын таблицамен есептеу әдісін келтіреді. 153. Пропорционалды минуттар - қараңыз 34 ескертпені. 154. Бұл таблицаны қосымшаларда келтіргеніміз (9-кесте). 155. Екі тармақты инструмент - сөзбе-сөз «зат ашшубатайн» - триквет, үш линейкадан тұратын параллактикалық инструмент.

156. Мұнда әл-Фараби мынадай теореманы дәлелдейді: трапецияның орта сызығының ұзындығы оның табандары ұзындықтары қосындысының жартысына тең. Птолемей бұл теореманы белгілі деп сілтеме есебінде пайдаланған; Евклидтің «Негіздерінде» бұл теорема жоқ. 157. Бұл таблица қосымшаларда келтірілген (10 кесте). 158. Птолемей Айдың параллаксын эклиптика арқылы бойлық және ендік бойынша есептегенде осы доғаларды керіп тұрған хордалардың қатынасы есебінде алады, өйткені оның көз қарасы бойынша бүл доғалардың «түзулерден айырмашылығы шамалы». Бүл құнды идеяны дамыта отырып, әл-Фараби кішкентай доғаларды түзу сызықтармен ауыстыруды орынды деп есептеген. Әрі қарай қабырғалары кішкентай параллактикалық үшбұрыштарды қарастырды. Мұндай ауыстыру әдісі дифференциалдық және интегралдық есептеудің негізін салды. 159. Бұл жерде Птолемейдің баяндаулары онша толық емес деп есептеп әлФараби суреттер көмегімен Птолемейде жоқтарды толығынан баяндап түсіндіреді. Салыстыру үшін «Әлмагестің» осы тарауының басын келтірейік, ол былай аталады: «Параллакстарды анықтау туралы»: «Енді, егер біз Айдың қай орналасуы болмасын алдымен үлкен дөңгелекте болатын және ол арқылы полюс горизонты үшін, параллактикалық ауытқу шамасын анықтағымыз келсе, ол берілген климатта жарты күндік дөңгелектен қанша теңкүндік сағатта орналасқанын қарастыруымыз керек; климатқа сәйкес бұрыштар үшін табылған шаманы және Зодиактың он екіден бір бөлігін таблицаға енгіземіз; таблицаның екінші тік жолынан осы сағатқа сәйкес градустар санын не толығымен не сағат бөлігіне сәйкес қосымшамен табамыз; сонымен катар осы санға сәйкес шамаларды, күн параллаксынан кейінгі торт тік жолдарда орналасқан, былайша айтқанда үшіншінің, төртіншінің, бесіншінің және алтыншының әрқайсысында жазамыз. Осыдан кейін, осы сағат үшін аномалия шамасын, нақты апогей бойынша, не тікелей, не егер ол 180 градустан асса, қосымшаны 360 градусқа дейін, анықтап және әр уақытта тек осылай анықталған градустардың жартысын бірінші тік жолдың сандарына енгізу үшін, жетінші және сегізінші тік жолдардағы сандарға қанша жекеше алпыстан бір сәйкес келетінін қараймыз; жетінші тік жолда тұрған алпыстан бір бөліктер санын төртінші тік жолда тұрған айырымнан аламыз және әр уақытта үшінші тік жолдағы параллакстар мәндеріне қосамыз, сегізінші тік жолда қанша алпыстан бір бөлік бар, алтыншы тік жолда айырымнан қанша аламыз және осының барлығын тағы да бесінші тік жолдағы параллаксқа әр уақытта қосамыз; осылай алынған екі параллакс үшін айырым жасаймыз; одан

кейін орта қозғалыстағы айдың не Күннен, не оған диаметральды қарамақарсы нүктеден қашықтығын, әр уақытта осы екі қашықтықтың ең кішісін тандап алып және осы бірінші тік жол сандарына енгіземіз; тағы да тоғызыншы тік жолда оған қанша алпыстан бір сәйкес және соңғы тік жолда табылған параллакстар айырымынан қанша аламыз және алынған шаманы әр уақытта азына қосамыз, былайша айтқанда үшінші және төртінші тік жолдарда анықталған; алынған қосынды және горизонт полюсімен сол үлкен дөңгелек бойынша жүргізілген айдың параллактикалық ауытқуын көрсетеді; мұндай жағдайда күн тұтынулары үшін күн параллаксы екінші тік жолдың горизонт полюсынан доға шамасына сәйкес градустары алынады. Зодиакалдық шоқжұлдыздардың ортасы арқылы бойлықпен де, ендікпен де дөңгелек арқылы өтетін Ай параллаксын анықтау үшін бұрыштар кестесінің Ай жарты күндік дөңгелектен теңкүндер сағаттары санын сол бөлігіне енгіземіз және осы санға сәйкес градустар сағатын қараймыз; егер Ай жарты күндік доғаға жетпеген болса, біз оны үшінші тік жолдан қараймыз, егер де өтсе, онда төртіншіде; егер табылған градустар саны 90-нан кіші болса, онда біз оны жазамыз, егер ол 90-наң артық болса, онда оны 180°-қа дейінгі қосымшасын жазамыз; бұрыштардың ең кішісінің шамасы, тік бұрышы 90, градуспен қарастырылатын қимадан тұрады. Жазылған градустар санын екі еселеп, дөңгелектегі түзулер кестесін өзінің 180°-қа дейінгі қосымшасымен бірге енгіземіз; доғаны керіп жатқан түзудің осы екі еселенген градустар санымен қатынасы, түзудің шеңберге дейінгі доға қосымшасы, ендік бойынша параллакстың бойлық бойынша параллаксын береді, өйткені бұл дөңгелектің сәйкес доғалары түзуден онша айырылыспайды. Енді осы түзулер үшін алынған сандарды горизонт полюсі арқылы өтетін үлкен дөңгелек үшін параллакстың шамасына көбейтіп және алынған шамаларын 120-ға бөліп, біз бөлгеннен кейінгі шыққан сандарға тең сәйкес параллакстарды аламыз. Ендік бойынша параллакстер туралы былай айтуға болады, егер жарты күндік дөңгелек горизонт полюсі Зодиакалдық дөңгелекте тең екіге бөлетін нүктенің солтүстігінде орналасқан болса, онда параллакс оңтүстікке қарай ауытқиды; егер де горизонт полюсі әлемді тең екіге бөлгеннен орналасса, онда параллакс ендік бойынша солтүстікке жылжиды. Бойлық бойынша параллакстарға не байланысты десек, онда бұрыштар кестесінде мәліметтер шамасы Зодиак доғасын жасайтын екі бұрыштың бірі солтүстік бұрышты беретін болғандықтан, белгілер тізбегі бағытымен жүретін және параллакс ендік бойынша солтүстікке жылжығанда параллакс бойлық бойынша белгілер тізбегінің бағытына қарама-қарсы жылжиды, егер қарастырылған бұрыш тік бұрыштан үлкен болса және тізбек бағытымен, егер тікбұрыштан кіші болса;

егер де кендік бойынша параллакс оңтүстікке қараса, онда керісінше; тік бұрыштан үлкен қарастырылған бұрышта кеңдік бойынша параллакс белгілер тізбегі бағытымен бағытталған болады, егер де ол тік бұрыштан кіші болса, онда тізбек бағытына қарама-қарсы болады. Жоғарғы барлық баяндалғаннан есептейтініміз, дегенмен, келешекте есепке алынатын кейбір айырмашылық тудыратын параллаксты білсек те Күннің ешқандай белгілі параллаксы жоқ. Бірақ бақыланған құбылыстарда алынған дәлсіздіктер оны жоғарыда келтірілген ескермей жасаған есептеулерде өзгерістер жасайтындай онша елеулі емес; осылайша Ай параллакстарын анықтағанда біз қиылысу белгілері ортасымен және горизонт полюсі арқылы өтетін үлкен дөңгелекпен пайда болған дөңгелектегі бұрыштар мен доғаларға қанағаттанамыз, тікелей Айдың қисық дөңгелегінде алынатын бұрыштарды алған жөн еді. Біз осылай істедік, өйткені осының нәтижесінде алынған тұтылу үшін сизигиядағы айырым елеулі емес, егер осыны да баяндасақ, онда дәлелдеуі өте күрделі, есептеуі қиын, өйткені бұл бұрыштарды Зодиактағы Айдың әр орналасуын анықтау мүмкін еместігі не түйіндерден қашықтығы. Олар шамасы мен орналасуы бойынша өте күшті өзгереді» [3, 324-326 бб.]. 160. Соңғы екі абзацтан көргеніміз, әл-Фараби параллакстардың сандық мәндерін есептеу әдісі негізінде мұнда маңызды жалпылау жасады: таңдап алынған сызық кесіндісінің «бірліктегі сызықтар саны» деген ұғымын ашық енгізді (осы жағдайда ЕВ санының бірліктері). «Бірлік» терминінің үздіксіз шамаларға пайдалануы, ескертуде айтылған, әл-Фарабидің арифметикалық терминологиядағы әрі қарай дамытуы болады. Аль-Фараби. Комментарии к «Альмагесту» Птолемея. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 351-450. Аударған Қазанғапов Ә.