3 - ЖҰЛДЫЗДАР ҮКІМДЕРІНДЕГІ НЕНІҢ ДҰРЫС ЖӘНЕ НЕНІҢ БҰРЫС ЕКЕНДІГІ ТУРАЛЫ ТРАКТАТ2 - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

5 - АДАМ ДЕНЕ МҮШЕЛЕРІНЕ БАЙЛАНЫСТЫ ГАЛЕННІҢ АРИСТОТЕЛЬМЕН КЕЛІСПЕУШІЛІГІНЕ ҚАРСЫЛЫҚ ЖАЙЫНДА - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

6 - ЖАНУАРЛАРДЫҢ ДЕНЕ МҮШЕСІ, ҚЫЗМЕТІ МЕН ҚАБІЛЕТТІЛІГІ ЖАЙЛЫ - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

8 - «ӘЛМАГЕСКЕ» ҚОСЫМШАЛАР КІТАБЫ - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

9 - ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ПІШІНДЕРДІҢ ЕГЖЕЙ-ТЕГЖЕЙІ ТУРАЛЫ РУХАНИ ӘДІС-АЙЛАЛАР МЕН БОЛМЫСТЫҚ ҚҰПИЯЛАР КІТАБЫ /1/. - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

10 - (ДӨҢГЕЛЕКТІҢ) ОРТАСЫН БӨЛУ ТУРАЛЫ /5/ - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

11 - (ДӨҢГЕЛЕКТІҢ) ОРТАСЫН БӨЛУ ТУРАЛЫ /5/ - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

12 - ЕВКЛИДТІҢ БІРІНШІ ЖӘНЕ БЕСІНШІ КІТАПТАРЫНЫҢ КІРІСПЕЛЕРІНДЕГІ ҚИЫН ТҰСТАРЫНА ТҮСІНІКТЕМЕЛЕР - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ -

14 - TYCІHІKTEMEЛEP - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ - 15 - ӘЛ-ФАРАБИДІҢ ЖАРАТЫЛЫСТАНУ МЕН МАТЕМАТИКА БОЙЫНША АРАБША-ҚАЗАҚША СӨЗДІГІ - АБУ НАСЫР АЛ - ФАРАБИ VІ –

ҒЫЛЫМ (математика және жаратылыстану) ХИМИЯ ӨНЕРІНІҢ ҚАЖЕТТІЛІГІ ЖАЙЛЫ Бұл кітапта мен бұл өнердің қажеттілігін атап өтіп, ол қандай жолмен дәлелденетінін және бұл өнерді зерттеушілердің жіберген қателіктерін көрсетуді мақсат етіп қойдым. Бұл өнердегі жаңылысушылар екі түрге бөлінеді: біріншілері оны жоққа шығарады және бұрмалайды, екіншілері мойындайды, бірақ оның мүмкіндігін арттырады. Екеуі де қателеседі. Менің ойымша, бұл өнерді сипаттаушылар өз дәрежелеріне тең келетін ақылды адамға ғана түсінікті болатын құпия мән беруге тырысты. Бұл өнерді түсіндіру үшін олар кейде ақиқат, кейде өтірік айтатын поэтикалық сөзді пайдаланды. Олардың [сөзін] түсінбейтіндер не ойлайды, олардың бұл өнер туралы ойлары анық болмағандықтан ол жайында ешқандай білім алу мүмкін емес. Онан әрі олардың ақиқатқа жақын ойларында өлең жолдарының ұқсастығына сай келмейтін сөздер толып жүр, соның салдарынан бір пікір екіншісін түсініксіз етеді, сондықтан бұл өнерді зерттеушілердің ойында абыржу, шатасу және бір көзқарастан екіншісіне ауысу басталады. Мәселені түсіндіруге арналған адамдардың ұғымына сай келетін мәселені түсіндіру үшін мұндай сөздер жасалғанмен, адамдардың бұл белгілердің, символдардың, идеялардың ішкі мағынасын өздерінше ұғынуына мүмкіндігі болмады. Осыдан адамдардың астарлы сөзбен жазылған бұл өнерді түсінбегенін білуге болады, өйткені мұнда жалпыға белгілі сөздермен айтылғанмен, ол өнер бірден түсініп кетуі қиын және толық дәлелдеуге де келмейтін түсініксіз өнер, сондықтан ұқсас бөліктері бар күрделі денелерді, яғни минералдарды қарастыратын физика саласы әзірше белгілі болғанша толық түсінік алуға да болмайтын физиканың бір саласы болып табылады. Ал оны тану тек логика өнерімен және бұл салаға жол салған физика өнерімен толық танысқанда ғана мүмкін болады. Астарлы сөздермен жазуға түрткі болу себебі - олардың бұл жағдайды түсінуінде және егер олар астарлы сөзге жүгінбесе, онда халық пен мемлекетке көп зиян келтіретін еді. Аса зейін қойып қарастырсақ түсінікті де, егер надан адамдар бұл өнердің күшін білген болса, онда ешқашан саяси бірігу болмас еді, алтын мен күміс пайдаланылмас еді, айналымда басқа қымбат металға мұқтаж болар еді. Халыққа алтын мен күмістің орнын басатын басқа металл жоқ екені белгілі, ал егер табыла қалса, онда сол екі металға тән белгілер оған дәлел болар еді. Сондықтан өз кітаптарында олар [ғалымдар] бұл өнердің іс-әрекеті жайлы ештеңе айтпайды. Олар халыққа оқытып, таратуға тырыспады, тек білімге деген зердесін оятқысы келді, өйткені мұндай мәселелер ең алдымен адамды қызықтырады. Олар білім алуға деген күшті шақыра білді. Кімде кім парасатты ойлай білсе, толық білім мен сынға ұшырамаған бақытқа кенеледі. Бұл жағдайда бұл өнерді меңгергеннен гөрі философияны меңгергені үшін қуанады, өйткені кейбір кішігірім мәселелер күрделі мәселелердің әсері болуы мүмкін. Жоғарыда айтылғандардан бұл өнердің іс-әрекеті тек мұқият зерттеуден, минералогияны тану мен бұл ғылым саласында ең анық білімге жетуден тұратыны анық. Демек, оны философиядан кейін ғана оқып білу керек. Кімде кім бұған қол жеткізгісі келсе, онда шексіз даналық пен адамға заттардың ақиқат жағдайын және бұл өнердің негізгі мәнін

танытуды үйрететін философияның түрлі салаларын меңгеруі керек. Мұны ұғынуға тек философ қана қабілетті. Егер бұл өнерді философ емес адам меңгерсе, онда бұл әлемде сұмдық болуы мүмкін. Егер сен ғалымдардың кітаптарын мұқият қарайтын болсаң, онда олардың бұл өнерді үйренуді математика мен физикадан бастау керек деп есептейтінін білесің. «Минералогияда» Аристотель бұл өнерді қисынды салаға жатады деп түсіндіреді, бірақ мұндай өзекті тіршілік ету өте қиын болады, тек түрлі жағдайлар, атап айтқанда, ізденушіге бақыт қонып, барлық физикалық ғылымды меңгерсе және бұл өнердегі даналардың рәміздерін түсінсе ғана оның тіршілігі жеңілдейді. Аристотель бұл кітабында мәселені алдымен силлогизммен дәлелдеп, одан бекерге шығарып, диалектикалық тәсілді пайдалана отырып қарастырған. Ол қайшылықты арттырып, содан кейін барып бұл кітаптың басында түсіндірілген екі алғышарттан тұратын силлогизммен дәлелдеді. Бірінші алғышарт отқа жанбайтын, тек балқитын алтын, күміс және басқа да қымбат металдар - барлығы біртекті. Ал олардың ерекшелігі формасында емес, маңызды және кездейсоқ акциденциясында. Екінші алғышарт: кез-келген біртекті екі зат акциденциямен ерекшеленеді және оның кез-келгенін басқа затқа айналдырып жіберуге болады. Егер акциденция маңызды болса, онда айналым қиынырақ, егер маңызды болмаса, онда жеңіл болады. Бұл өнердің қиындығы көптеген қымбат металдардың мәнді және кездейсоқ акциденцияларының ерекшеліктерінен және алтын мен күмістің арасындағы болар болмас ерекшеліктен көрінеді. Жоғарыда айтылғандардан көптеген адамдарды бұл өнерді дәлелдеуде қателікке ұрындырған және бұл өнерді бағаламай, бұрмалауға әкелген себептерді көріп отырмыз. Бұл екі пікір де дұрыс мәннен айрылған. Құдіреттің көмегімен кітап аяқталды. Алланың даңқы арта берсін. Аль-Фараби. О разуме и науке. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 29-38. Аударған: Ж.Ошақбаева.

ВАКУУМ ТУРАЛЫ МАҚАЛА*1 Аса қамқор ерекше мейірімді Алланың атымен бастаймын Кейбір адамдар қуыс, аузы тегіс әрі симметриялық бір ыдысты алып, оны (төңкеріп) тігінен екінші бір ыдыстағы суға батырған. Кейін бірінші ыдыстың аузын суы бар екінші ыдыстың түбіне жеткенге дейін батырған. Бірінші ыдысты судың бетіне дейін көтеріп, судан шығарып, ішіне қараған кезде, ыдыстың ішіне еш су кірмегенін көріп, бұдан вакуум бар деген нәтиже шығарған. Бұл көрініске олар былайша анықтама береді: суға батырған ыдыстың іші ауаға толы болатын. Онда су кіретіндей ешқандай да бос орын жоқ болатын Ыдыстың ішіндегі бұл ауа ешқайда да кетпей, қайта суды кері қарай итеріп, суға батырылған қатты денелердегі сияқты, су жарылып, ыдыстағы ауа суға батқан. Олар осы көргендеріне байланысты ауа бір күшке ие, ыдыс ауамен тола болған және онда ешқандай да бостық жоқ деген нәтижеге барған. Сондай-ақ олар іші қуыс, ұзын, аузы тар немесе ұзын, іші де, аузы да тар, іші бос гүл суы шынысын алып, дәл осылай суға батырған. Жағдайдың алғашқы ыдыстағыдай болғанын көрген кезде, ыдыстың ауамен толы екендігі туралы шығарған нәтижелері нақтыланған. Кейін шынының ауасын шығарып, шынының аузын саусақтарымен басып тұрып суға батырған. Судың ішінде саусақтарын тартып, шынының аузын ашқан кезде, тартылыс немесе кері итеру күшінің әсерімен судың шынының аузынан ішке енгенін көрген. Олар осы көргендерін былайша түсіндіреді: шыныдан ауа шығарып алынған кезде, шынының ішіне кірген судың орнына мөлшерлес шыныдан ауа шығарылған. Негізінде бұл жерде бұдан бұрын шығарылған ауаның орнында басқа бір дене болмаған. Өйткені бұл жағдайда екінші дене ол жерден шығарылған ауаның орнын алып, ыдыстың ішіне су кірмей, ауасы шығарылып, суға батырылған шыны ауасы шығарылмаған ыдыспен бірдей болған болар еді. Шын мәнінде осы екі жағдайда да ыдыстардың іші толы болуы керек еді. Міне, осы пікірлердің барлығы олардың пікірінше, мынаған дәлел бола алады: ауа шықпай тұрып ыдыстағы алып тұрған орны ауа шыққаннан кейін толығымен босап қалған. Су ішке кіріп, толтырғанға дейін ол жер бос тұрған. Ішінде еш нәрсе болмаған бос кеңістік вакуум болып табылады. Сондай-ақ осы кісілердің вакуумның бар екендігі туралы дәлел ретінде қабылдаған нәрселері, міне жоғарыда айтылғандар. Біз болсақ, олардың айтқандары мен шығарған нәтижелеріне байланысты мынаны айтамыз: мәселе шын мәнінде олардың ойлағандарындай болсын.Олардың шыныға жасалған бақылаулардан шығарған нәтижелері шын мәнінде міндетті түрдегі болуы тиіс нәтижелер емес. Шыққан нәтижелер дұрыс болған күннің өзінде мынаны есте сақтау керек, дұрыс болған екі нәрсе қатар келсе, міндетті түрде осылардың екіншісі біріншісінен шығуы керек емес. Алайда осы секілді адамдар бір нәрседен шын мәнінде шығатын нәтиже мен шығуы мүмкін болып көрінетінді бір-бірінен ажырата алмағандықтан, олардың бұл жұмыста да дәлме-дәл шешім қабылдай алмайтындығын көреміз. Бұған қоса суға батырылған ыдыстарға жасалынған бақылауларға байланысты айтқандарының негізінде жаны бар. Бірақ олардың осы бақылаулардан шығарған нәтижелеріне келер болсақ, мәселе олар ойлағандай емес. Оларды осындай пікірге итермелеген нәрсе бақылаулардан шығарылуы

қажет болған нәтижелерді қажет емес нәрселерден ажыратудан, қажет болғандардың қай тұрғыдан және қалай қажет екендігін, және не себепті қажет болғандығын біліп, оны ойлаудан оларды алыстатады. Сонымен қатар жоғарыда айтып өткеніміздей, бұл адамдарға мұны бұл тұрғыдан түсіндіруіміз дұрыс емес. Өйткені олардың біліктілігі мен түсініктері қате болған, тек бір қырынан ғана мәселені қарастырған, олармен біздің пікір алысуымыз қателіктерін түзету тұрғысынан пайдасыз болады. Мәселені былайша түсіндірсек те болады: шыныдан шыққан ауаны ондағы ауаның үштен бірі деп есептейік. Демек ауа шыққаннан кейін де шынының үштен екісі бұрыннан сонда бар ауамен толы болады. Үштен бірі де бұрын ол жерде бар ауадан босайды және оны көбісі бос қалды деп ойлайды. Осы үштен бір бөлікті шынының ішінде және шынының төменгі жағында (түбінде) болған деп есептейік. Шынының ауадан босаған үштен бір бөлігі екі бөліктен тұрады деп есептесек, осы екі бөліктің арасында бір қашықтық пен ұзындық бар ма әлде жоқ па? Осы үштен бір бөлікте және шынының ішінің төменгі жағында бар деп есептеген екі бөлік үшін де осы сұрақты қоюға болады: осы бөліктер арасында қандай да бір ара-қашықтық бар ма? Сұрағымызға жауап ретінде олар «иә» немесе «жоқ» деп жауап беруі мүмкін. Олар «иә» дейтін болса, шыққан ауаның орнына осы үштен бір бөлікті алып тұрған нәрсенің ұзындық, кеңдік пен тереңдіктен пайда болған көлемі бар бір нәрсе болғандығын қабылдайды деген сөз. Демек, бұл жерде белгілі бір көлем бар. Егер олар «жоқ» деп жауап берсе, онда былай деу керек: ауадан босаған бөлікті толтырғанға дейін шынының аузынан ақырын кірген су бөліктерден тұрмайды ма? Ол жерге алғаш кірген су шынының түбіне жеткенге дейін, яғни, шыныға кірген нүктеден бастап тоқтаған нүктеге дейін пайда болған ағысында және әрекетінде бір ұзындық пен көлемнің болған - болмағандығы туралы бізге түсіндіріңіз. Бұл сұраққа міндетті түрде «иә» деп болымды жауап береді. Демек, ол жерде бір қашықтық бар. Дәл сол секілді қай тұрғыдан қарастырылмасын, судың бөліктері оңға-солға жайыла бастаған нүктеден бастап, ең соңына жеткен жерге дейін барлық бағыттарда белгілі қашықтықтан өтеді. Олай болса, бұл жерде белгілі бір ұзындық, көлем мен тереңдік бар. Екіншіден, ішіне су кірмей тұрып шыныны күнге тосар болсақ, күн сәулесі осы шынының ішіне түседі. Бұл сәулелер шыныдағы бос жердің ішіндегі қандай нәрсенің үстіне түседі? Сезімдеріміз арқылы анық байқағаныңыздай, бұл сәулелердің шынының бір жағынан екінші жағына өтуі туралы да дәл осыны айтуға болады. Шын мәнінде бұл сәулелер барлық бағытқа қарай бір ара-қашықтықпен әрекет етпей ме? Ыдыстың түбіне түскен сәуле ол жерде тек қана көлемі бар нәрсеге түседі ме? Ал ыдыстың екі қабырғасының арасындағы нәрсенің өлшемі жоқ па? Егер алдымыздағы кісі өз нәпсісіне қарсы өтірік айтпаса, айқын түсінгендігін жоққа шығармаса, оның осы сұрақтардың барлығына «иә» деп жауап беруден басқа шарасы жоқ. Олай болса, осы үштен бір бөлікте көлемі, ұзындығы, кеңдігі, тереңдігі бар, шет жақтары мөлдір және денеге тән басқа сипаттары да бар бір дене бар. Демек, шыныдан көргендерінен айтуынан шығуы керек нәтиже - осы үштен бір бөліктің мүлдем бос болғандығы емес, ол жерде бір дененің, яғни, шығарылған денеден басқа бір дененің болғандығы. Бірақ біз оның қандай дене екендігін және оның не екенін білмейміз.

Егер олар «ол жерде ауаның орнында басқа бір дене болса, су қалайша ыдысқа енеді» немесе «ауаның орнында болған бұл дене ауа шықпай тұрып ыдысқа қалайша кірді» деп сұрайтын болса, оларға бұл мәселеге байланысты және осы құбылыстың қалайша болғандығы туралы бір нәрсе айтуға асығуларының дұрыс еместігін айту керек. Олар сол кезде не үкім шығарудан бас тартады, не болмаса былайша жауап береді: «ол жерде шын мәнінде бір дене бар еді және бұл дене өзімен қатар тұрған суға орнын беру үшін, бір жаққа қарай ығысты; әйтсе де ол жерден шыққан ауа өзімен қатар тұрған дене үшін бір жаққа қарай ығыспайтын еді». Бұдан кейін де олар осы қасиеттің себебін түсіндіруді сұрайды. Міне мұндай жағдайда олар жалтарып жатыр деген сөз. (Біз оларға былайша қарсы шығамыз:) Сіздер вакуум бар дейсіздер. Әйтсе де енді бізге себебі белгісіз бір мәселе туралы сұрақ қойып отырасыздар. Бұл жерде әр түрлі заттардың болмысы суреттелді және бірнеше бөліктердің болмысы бір құбылыс ретінде қабылданды. Бұл мәселе сіз бен бізге ортақ мәселе. Бұл жерде айтылған мәселенің себебі мен мәнін бірге қарастырып, бұларды толық меңгергенге дейін мұны бірге зерттейік. Егер олар осы сөздерімізге қарсы шығып, ыдыстың аталған үштен бір бөлігінде еш нәрсе болмай, толығымен бос болғанын айтар болса, ол кезде біз бұл пікірлерінің қате екендігін және вакуумның бар болуы үшін қажетті деп тапқандарының шын мәнінде қажетті еместігін көрсету үшін осы сөздер де жеткілікті деген тоқтамға келеміз. Шын мәнінде осы айтқандарымыз қарсыласымыздың қабілетіне қарай айтып, мәселенің мәніне орай айтылмаған. Демек бұл мәселе осылайша айқындалып, анықтамаларымыздың мәні де ашылған секілді. Бұл жағдайда мәселенің мәні мынада: олардың вакуумның болғандығы туралы пікірде болуы мен осындай нәтижеге баруы, бір жағынан ыдыстан ауа шықпай тұрып, судың ыдысқа ене алмасуы, екінші жақтан да ауа шыққаннан кейін судың ол жерге кіруіне байланысты қате түсініктерінен туындайды. Біз болсақ, былай дейміз ыдыстағы бос деп ойлаған орынды шын мәнінде бір дене толтырғандығы белгілі болды. Олар бұл дененің мәні мен мазмұнын білмегендіктен мазмұны белгісіз бір денемен толы болған нәрсенің вакуум екендігін айтып жатыр. Ол дене негізінде бар. Ол шыққан ауадан босап қалған орында орналасқан. Бірақ осы бос орындағы бұл дене не ауаның бір бөлігі шықпай тұрып ауамен бірге ыдыстың ішінде болатын, яғни ыдысқа кейін сырттан кірмеген немесе шыққан ауаның орнын алғанына қарағанда ыдыстың аталған бөлігінен ауа шыққанынан кейін пайда болған. Әйтсе де, егер осы дене ыдыстағы ауамен бірге сол жерде болса, бір жерге орналасқан екі дененің көлем жағынан бір дененің көлеміне тең болуы, бір дененің екінші бір дененің ішіне жайылып, онда орналасуы керек. Бірақ бұған қарамастан әрбір екі денеден құралған көлемнің бұрынғы көлемнен артық болмауы керек. Оқиға осылайша өрбігендігіне байланысты судың ыдысқа кіруіне немесе ішке ауаның кіруіне кедергі болған не нәрсе? Екіншіден, бұл дене ауа шыққаннан кейін, ауаның орнын алған болса және бұрыннан ыдыстың сырты мен айналасында бар болса, онда бұл дене не ауа немесе ауаға тараған су болып табылады. Бірақ оның ауаға жайылған су болуы жоғарыда айтылғандай ешқандай мүмкін емес. Бұрыннан ыдыста бар ауаның орнын алу үшін, ауаның сырттан кіруі де мүмкін емес.

Шын мәнінде, бұл ауа судың ыдысқа кіруіне кедергі болмайды. Кедергі болу былай тұрсын, суды өзіне тартады. Міне осы құбылыс олардың шынының ішінде бос кеңістіктің (вакуум) пайда болғандығы туралы пікірлерін мүлдем жоққа шығаруы керек. Өйткені ол жерде еш нәрсе болмаса, негізінде жоқ нәрсенің суды өзіне тартқандығын айту немесе бұл мәселеде қандай да бір талдау жасау мүмкін емес. Иә, біраз бұрын айтылғандай, бұл ауа суды өзіне тартады. Әйтсе де, алғашында ол жерде болған ауа судың ішке кіруіне кедергі болған еді. Біз енді бұл дененің не болғандығын, қалайша өзі орналасқан орынға судың кіруіне бұрынғысынша кедергі келтірмегендігін және бір күш тарапынан тартылған немесе кері итерілген судың ағысы секілді бұл судың ыдыстың ішіне кіру себебін қарастырамыз. Осыған байланысты мынаны айта кету керек, суық немесе өзіне қосылған нәрселерді қабылдаған бір денедегі секілді қызатын дене де екі түрдің біріне сәйкес ысынады. Қызған дене онымен араласады және атом түрінде оның арасына енеді. Осылайша әрбір екі денеден құралған бүтін дәл ішіне ыстық су төгілген судың ысынғаны секілді ысынады. Немесе өзімен басқа ыстық дене бірікпей-ақ, немесе араласпай-ақ оның температурасы артады. Су дәл сол секілді осы екі жолдың бірімен ысынады. Не суық дененің онымен бірігіп оған араласуымен, не болмаса оның ауа немесе қармен суытылуы секілді. Бұл, су ыдысына салынған қардың суды суытуы немесе қорғасыннан жасалған ыдыстың ішіне қойылған ыдыстар мен қар ішіндегі судың сууы секілді болады. Соңғы айтылған бөлімдегі судың суу құбылысы күмәнсіз онымен қосылған немесе оған сырттан араласқан суық бір дененің әсерімен жүзеге аспағандығы мәлім. Дәл сол секілді қызған бір дененің температурасы кейде ыстық дененің онымен бірігуі немесе онымен араласуы арқылы артады. Дәл осы нәрсені суық бір дененің температурасына байланысты айта аламыз. Демек, ыстық пен суық кей жағдайларда ыстық немесе суық денемен бірігу және араласу арқылы артады. Дәл сол секілді бір дененің қызуы кейде сол денемен бір жерде болып, кейін одан бөлініп ажырауынан емес, өздігінен азаяды. Сондай-ақ бір дененің төмен температурасы кейде суық денеден басқа төмен температурадағы дененің ажырауынан емес, өздігінен жоғарылайды. Бірақ кейде дененің бүтінінен ыстық бір бөлік ажырайтын кездегі секілді ыстық температура қызған дененің кейбір бөліктерінің одан ажырауы арқылы төмендейді. Суық денелерде де қар мен дымқыл маталардағы секілді болады. Бұлардың бүтінінен бір бөлік бөлінсе, суықтың да азайғаны байқалады. Ұлғайған немесе кішірейген денелерде де осыған ұқсас болады. Көлемі ұлғайған немесе кішірейген үлкен денелерді алып қарастырар болсақ, олардың көлемдері шын мәнінде оларға басқа бір дененің қосылуы арқылы артпайтындығын, сондай-ақ үлкендігінің тек қана олардан бір дененің ажырауы арқылы азаймайтындығын байқауға болады. Мұндай денелердің көлемдерінің артуы екі жолмен болады: біріншісі, бөліктерге бөліну арқылы немесе қысыммен бір денені басқа бір дененің ішіне енгізу арқылы екі денеден құралып пайда болған жаңа дененің көлемінің артуы секілді. Не болмаса арпаның бидайға қосылып, онымен араласуы мен дәндердің арасына кіруі секілді сырттан басқа бір дененің осы денелермен бірігуі, не болмаса беткі жақтарының олармен қосылуы секілді. Міне, бұл жағдайда екі денеден құралған бүтін бұрынғы денеден үлкен болады. Денелер дәл осы жолмен де кішірейеді. Бір дене бір денеден шығарылады және бұлар

бірінен-бірі ажырайтын болса, олардың әрқайсысының көлемі бұрынғысына қарағанда азайып, кішірейеді. Демек бір дененің үлкеюі немесе кішіреюі басқа денелермен араласудың нәтижесінде ыстық немесе суық денелердің жоғары температураларының азаюына, немесе төмен температурасының ысынуына, яғни осылайша ыстық немесе суық бір дененің бөлінуі арқылы ыстық немесе суықтың азаюына ұқсайды. Екінші жол да былай болады: көлемі үлкен дененің көлемінің артуы, кейін ұлғайған көлемінің жойылуы, яғни, жоқ болуы, ондағы бір нәрсенің азаюы не болмаса онымен қосылып, араласқан үлкен дененің одан бөлінуі арқылы жүзеге аспайды. Оның көлемінің азаюы өзіндегі қызған бір дене одан бөлінбей-ақ, қызған дененің температурасының өздігінен жойылуы секілді болуы да мүмкін. Дәл сол секілді бір дененің көлемінің артуы онымен ешқандай да қызған дене бірікпей-ақ, жоғары температурасы өздігінен артатын дененің температурасының артуы секілді болуы да мүмкін. Көлемдері артатын көптеген денелердің жағдайы осындай болады. Бұлардың көлемдері өздерінен үлкен бір дене қосылмай-ақ артады. Не болмаса олармен бірге болған басқа бір дене олардан ажырамай-ақ көлемдері артады. Көлемдері осылайша азайып-артатын денелердің бірі - ауа. Ауаның көлемі оған сырттан басқа көлемі үлкен дене қосылмай-ақ, кез келген мөлшерде арта алады. Ауа бұрынғы көлемінен де үлкен көлемге ие болуы мүмкін. Сондай-ақ өзінен бір бөлшек бөлінбей-ақ, көлемі өзгереді, яғни кішірейеді. Дәл сол секілді еш нәрсе қосылмай-ақ, судың температурасының артуы сияқты артады. Өйткені температуралық жағынан судың азайып артатын қасиеттері бар. Яғни, әрбір екі жағдайға да бейім. Дәл сол секілді ауа көлемі артса да, азайса да, бұрынғы ауа күйінде қалады. Ауаның көлемінің артуы кейде оның табиғатына сай пайда болады, кейде қысыммен болады. Дәл тастың әрекеті секілді. Шын мәнінде бұл әрекет кейде тастың табиғатына сай болады. Бұл тастың жоғарыдан төменге қарайғы әрекеті болып табылады. Кейде бұл әрекет қысыммен (күшпен) болады. Бұл жағдайда қысым түскен кезде тас жоғарыда тұрады. Қысым түспеген кезде табиғаты бойынша төменге қарай әрекет етеді. Дәл сол секілді ауаның көлемі қысыммен артқан кезде, оны жаңа көлемінде күштеп ұстап тұрған қысым жойылмайынша, ауа осы көлемде болады. Оны осы көлемде ұстап тұрған қысым жойылған кезде ол табиғи көлеміне қайта оралады. Дәл осыған ұқсас ауаның көлемі қысыммен азайған кезде, қысымның күші жойылмайынша, көлемі кішірейген күйінде қалады. Қысымнан толық босаған кезде ғана алғашқы көлемін алады. Қатты дененің бойы ұзарған сайын, көлемі артып, ені азаяды. Алайда ауаның көлемі артқан немесе азайған кезде барлық жағынан артады (көлемінің өзгеруі барлық бағыттарда да пайда болады). Ыдыстан шығартылған ауа - босатылмай тұрған кездегі ыдыстағы ауаның бір бөлігі ғана. Ауаның дымқылдығының көп болуына байланысты, өзі ішінде орналасқан денелердің формасына ұқсас формаға ие болады және үлкейіп кішірейетін бір нәрсеге де толықтай тез үйлесе алады. Міне, осы себептерге байланысты, ыдыста қалып қойған ауаның көлемі ұлғайып, ыдысты толтырған кезде, көлем жағынан ыдыстың ішкі бөлігінің көлемімен бірдей болады. Оны күшпен осы көлемде ұстап тұрған қуат жойылған кезде, ол табиғи

көлемін алады және ауа алып тұрған орын оның айналасындағы денелерден бос қалмайды. Яғни, қысыммен оны табиғи емес көлемде ұстап тұрған күш жойылғаннан кейін, оның қасындағы дене ауа болса, бұл ауа ыдыстағы ауадан босаған орынды толтырады. Жанында су болса, осы орын босамай жатып-ақ, су сол жерге қарай ағады. Қысымның жойылуы және қысым түскен ауаның тартылысқа түсуі арқылы сол жерге кірген судың әрекетінің жылдамдығы оған түскен қысымның өлшеміне сай болады. Ыдыстағы ауаның көлемі қаншалықты аз болса, оның көлемін арттыруына қарсы осы ауаға түскен қысым да соншалықты көп болады. Осы ауаға түскен қысым жойылған кезде, оның алғашқы көлемін қайта алуы да өте тез болады. Су да осы әрекетке сай, дәл сондай жылдамдықпен ішке қарай ағады. Су әрекетінің жылдамдығы оны тартатын және кері итеретін күштің бар болуымен түсіндіріледі. Алайда бұл шын мәнінде олай емес. Өзара орын ауыстыру мен бірінің орнын екіншісі алу бұлардың жаратылыстарында бар. Су мен ауа бір-бірімен әрекеттеседі. Бұлардың бірі бір жерден кетсе, екінші дене біріншісі тастап кеткен орынды мүлдем бос қалдырмайтындай етіп, сол жерге қарай ағады. Міне, ауа шыққаннан кейін ыдыстың үштен бір бөлігін толтырып тұрған дененің мазмұны да осылайша анықталды. Бұл дененің мәні мен қасиеттерін айтып өткен ауадан басқа еш нәрсе болмағандығы да белгілі болды. Ыдыста алғашында бар болған ауа толығымен табиғи көлемінде болғандықтан, су үшін орнын босатып, бұл орынға судың ағуына жол бермейді. Әйтсе де екінші жағдайда ыдыстағы ауа қысым түскен көлемде болатын. Ол алғашқы көлемін, яғни табиғи көлемін алған кезде, осыған байланысты кері тартылып, жанындағы суға өз орнын босатқан болатын. Сондай-ақ жоғарыдағы анықтамалардан белгілі болғанындай, тартылыспен немесе сырттағы ауаның кері тебу құбылысы арқылы түсіндірілмекші болған ыдысқа судың ену құбылысының себебі,өзара орын ауыстыру қасиетінің осы денелердің табиғи болмысы болуында және бұл қасиеттің осы денелердің табиғатында бар болуында жатыр. Жоғарыдағы берілген анықтамадан шығатын басқа бір нәтиже де мынау: бір дененің орнын басқан басқа бір дененің қозғалыс жылдамдығы бірінші дененің сол орыннан шығуы жылдамдығымен бірдей болады. Негізінде ауаның көлемі қаншалықты кіші болып, қаншалықты үлкен көлемге ие болуға күштелсе, алғашқы көлемге қайта оралуы да соншалықты жылдам болады. Дәл сол секілді сорып алу арқылы ыдыстан қаншалықты көп ауа шығарылса, кейін ыдыс суға батырылған кезде, судың ішке ұмтылуы мен көлемі, кішірейген ауаға байланысты соншалықты жылдам әрі күшті болады. Аталмыш кісілердің жоғарыда аталған ыдыстарда жасалған бақылауларға сүйене отырып, вакуумның бар екендігіне сенімді екендіктерінің себебі осылайша мәлім болды. Бұған қоса олардың айтқандарынан вакуум бар деген нәтиже шығарудың керек еместігі осы анықтамамен айқындалып, олардың ішінде еш нәрсе жоқ екендігіне сенген және бос деп ойлаған жердің шын мәнінде ауамен толы болғандығы да белгілі болды. Біздің ең басты айтпақ болған нәрселеріміз осылар еді. Кеңістіктегі вакуум туралы біз осылармен шектелеміз. Ақыл берген Тәңірге мың да бір шүкір! Аль-Фараби. Естественно-научные трактаты.

ЖҰЛДЫЗДАР ҮКІМДЕРІНДЕГІ НЕНІҢ ДҰРЫС ЖӘНЕ НЕНІҢ БҰРЫС ЕКЕНДІГІ ТУРАЛЫ ТРАКТАТ2 Әбу Ысқақ Ибраһим ибн Абдаллаһ әл-Бағдади былай деген: «Мен жұлдыздардың «үкімін» білуге өте құштар болдым, шын пейіліммен осы ғылымды меңгеруді қаладым, осы «үкімдерді» зерттеуге ерекше талаптандым, оған арналған кітаптарды үнемі оқумен болдым, бұл ғылымның ақиқаттығына сенімді болғаным соншалықты оған күмәнданбадым, одан ара-тұра мәлім болған қателіктерді ғалымдардың білімдерінің таяздығының нәтижесі, сонымен бірге есепшілер, астрономдар және аспаптар пайдаланушы бақылаушылар тарапынан жеткілікті көңіл бөлінбеуден деп ұқтым. Мен бір кездері осы қиыншылықтардың жойылатыны және осы тосқауылдардың із-түзсіз жойылатыны, жоғарыда айтылғандарда кемелдікке қол жеткізілетіндігіне және сонда бәрі дұрыс болатындығында күмән келтірмедім; білімдердің кемелденуіне орай жұлдыздар үкімінен де пайда табылмақ, сонда бұл ғылым болашақты қамтиды, құпиялар ашылады, белгісіздер жария болатынын ұқтым. Мен біраз уақыт осыған нанып келдім. Бұған қоса сол уақытта есептеулер тәсілімен, оны бақылау тәсілімен әр түрлі аспаптар арқылы зерттей отырып, жасырын және ақиқат фактілерді жинау арқылы өз сенімімді молықтыра түстім, бірақ та мен білгім келгенге жуықтай алмадым, қайта одан алыстай түстім, сол себепті торықтым, жерінген күй кештім бастадым әрі күмәнім арта түсті. Сол себепті мен ежелгі [ғалымдардың] кітаптарына үңіліп, өзімнің тап болған жағдайымнан құтылудың жолын іздедім. Мен ақылгөйлердің және ақиқатты білетіндердің кітаптарынан әлгілер жайлы мардымды ештеңе айтылмайтынына көзім жетті, олардың пікірлерінің айқын емес екендігін, оларда тіптен бұлардың пайдалануына қатысты ишара да таппадым. Сонда менде осы уақытқа дейін болған сенімділігім күмәндануға, сенімім-жорамалға, сенімділігім - күдікке, ал адалдығым - абыржуға әкеп соқтырды. Күндер жылжып өтіп жатты, ұзақ мерзім өтті, ал мен болсам Әбу Насыр Мұхаммед ибн Мұхаммед әл-Фараби ат-Тарханиді жолықтырғанша, әлгі айтылған жайттарды басымнан өткізіп келдім. Мен оған өз басымдағы жай-күйімді айтып шағымдандым әрі оған аталған ғылымның қаншалықты ақиқат және онда ненің дұрыс, ненің бұрыс екендігін шын пейіліммен білгім келетіні жөніндегі сырымды паш еттім, әрі аталған ғылымның ақылға қонымды жақтарын айқындап айтып, көзімді жеткізуін өтіндім әрі осы ғылым туралы ежелгі заманның ақылгөйлерінің ілімдері бойынша нендей жайттардың белгілі болғанын түсіндіріп беруін де өтіндім. Мен одан өзімнің қанша ізденгеніммен біле алмай жүрген сауалдарым жайлы мағлұмат алуға құштар екенімді білдірдім, ол өзінің әлгі ғылымның мән-мағынасы мен ақиқат жайттарынан мағлұмат беретін негіздің негіздерінен, заңның заңдарынан мені хабардар етті, санама ақыл қосып, нелерге назар аудару керектігі жөнінде бағыт ұсынып, жөн сілтеді. Ол менімен пікір таластырады, мен оның уәжіне қарсы пікір айтып, көнбеуге тырыстым, ол маған қайталама сауалдар қойды мен оның айтқандарына қарсы дау айтумен болдым. Бір күні ол маған шамасы өзінің осы мәселе туралы арнайы айналысқан кезінде жазған қолжазбасының белгілер қойылған тарауын көрсетті. Қолжазбаны әдеттегідей кітап

немесе трактат түріне оңтайлап дайындапты. Мен сол қолжазбаны түгелдей көшіріп алдым, оны мұқият оқып шығып, одан өзімнің көптен бері біле алмай жүрген сауалдарыма жауаптар таптым әрі өзім босқа әуре болып іздеумен болған нәрселерімнің мән-мағынасын ұғындым. Бұрын ойымнан шықпай жүрген абыржуым басылып, жұлдыздар «үкімдері» бойынша айтылған болжамдардың болуы мүмкін және болуы мүмкін еместері түсінікті болды. Менің төменде баяндағалы отырған мәселем әл-Фарабидің әлгі қолжазбасының мәтіні, мен оны сендер таныссын деген оймен көшіріп алған болатынмын. Әлгі қолжазбада Әбу Насыр былай деп жазған: 1. Ғылым мен өнер үш құндылықтың біреуімен немесе пәннің құндылығымен, немесе дәлелдемесінің егжей-тегжейлігі мен, немесе алдағы уақытта күтілетін, немесе айқын пайдасының маңыздылығымен сипатталады. Пайдасының көптігімен жоғары бағаланатын ғылымдар қатарына барлық кезеңдегі бүкіл халыққа қажет болған құқықтану және қолөнершілігі жатады. Дәлелдемесінің егжей-тегжейлігімен өзге ғылымдардан артықшылығы болатын ғылымдар қатарына геометрия секілді ғылымдар жатады. Пәннің құндылығы бойынша өзге ғылымдардан басымдылығы бар ғылымға, мысалы, жұлдыздар жайындағы ғылым да жатқызылған. Осы үш артықшылық түгелдей немесе үшеудің екеуі ғана бір ғылым - құдайшыл ғылымға біріктірілген /4/. 2. Адам қандай да бір ғылым туралы ойлағанда, шын мәнісінде қандай ғылым екендігіне қарамастан оны жан-жақты, жақсы, тура (дұрыс), айқын ғылым деп пайымдауға бейім тұрады. Ал, бұл жайт адам білімінің таяздығынан немесе оның өзге ғылымға селқос қарауы себепті ол адам әлгі ғылымның ақиқаттығын танып білуден мақрұм қалады. Немесе бұл жайт адамның өз пікірін сыни көзқараспен бағалай алатындай деңгейден көріне алмайтындығынан, немесе осы ғылымды қолға алған зерттеушілердің жоғары мәртебесі болуы себепті, немесе жалпы алғанда осы ғылыммен шұғылданушылардың көптігінен әлгідей күйге ұшыраған. Немесе осы жайт ғылымды және оның пайдасының маңыздылығын адам өзінің пайдакүнемдік мақсаттары үшін пайдалануға бейімділігімен, және ғылымның пайдалылығын әлгі мақсаттары үшін таратылуы себебімен түсіндіріледі. Осыған ұқсас жайт адамның ғылымда жалпы жағдай үшін жалпылама бола алмайтын, ой тұжырымдардан туындайтын қорытынды болуға жарамайтын қорытындыны жалпылау үшін, дәлелдеменің дәлелдемесі бола алмайтын дәлелдемені логикалық қорытынды үшін қабылдауына мәжбүрлейді. 3. Егер бір-біріне ұқсас екі зат болса және үшінші бір зат әлгі екеудің біреуінің себебі болып табылатындығы анықталса, онда оны екінші заттың себебі болмақ деп асығыс ұйғарым айтуға болмайды. Осы ұйғарым ұқсас заттардың әрқайсысына қатысты дұрыс бола бермейді, себебі құбылыстардың ұқсастығының кездейсоқ үйлесуі де, тіптен мәні бойынша үлесуі де мүмкін. Көз алдыға ойша елестету арқылы ой қорытындысын түйіндеу жоғарыда айтылған жайттың екі ой қорытындысын қажет етеді. Мұның мысалы: адам жүре алады, бірақ адам

дайындыққа пайдалы. Қажеттілік пен мүмкін болмайтын жағдайлар үшін талқылау, дайындық шаралар және тәжірибе пайдаланылмайды. Кім бұған сүйенетін болса, ол ағаттыққа ұшырайды. Ақылмен істеуге бел байлауға катысты, ол өте сирек жағдайда әрі болу мүмкіндігі бірдей құбылыстарда пайдаланылады /12/. 9. Әсерлер және табиғи құбылыстар туралы, олар оттағы жану, судағы ылғалдық және аяздағы салқындық секілді міндетті (қажетті) түрде болатын құбылыстар болып ойланады. Бірақ іс мұндай емес, басқаша, бұлар көптеген жағдайларда тек екі кезеңнің үйлесуі кезінде мүмкін болады, мұның біреуі - әрекет етуші бөліктің әсер дарытуға дайындығы, ал екіншісінің әлгі әсер дарытушы бөліктің беретін әсерін қабылдауға бейімделген жағдайларда ғана жүзеге асырылады. Осы екі кезең үйлеспесе, не әсер беру, не әсер дарыту, не әсер қабылдау мүлдем жүзеге аспайды. Мысалы, от шоғын алайық, ол от тұтатын болуына қарамастан жанатын заттан жанаспайынша, от лаулап жанбайды. Өзгедей құбылыстар да осыған ұқсас жағдай болады. Әсер дарытушы және оны қабылдаушы бөліктердегі дайындықтар бір мезгілде жүзеге асатын болса, әрі барынша толық, сонымен қатар әсер де тұтастай дарытылатын болса және егер де әсерге ұшырайтын заттың кедергісі болмаса, онда табиғи ықпал мен әсер ету қажет болар еді /13/. 10. Мүмкін болатын құбылыстардың беймәлім болуы себепті, әрбір белгісіздің болуы мүмкін делінеді. Шынында бұл олай емес, кері жорудың дербес жағдайда да әрі жалпы жағдайда да бірдей жөні бола бермейді. Болуы мүмкін құбылыс - беймәлім, бірақ әрбір белгісіз құбылыс мүмкін бола алмайды. Беймәлім - мүмкін делініп жаңсақтыққа соқтыратын жоғарыда айтылған себеп бойынша, мүмкін болатын құбылыс жайлы екі түрлі пікір айтылады: мұның бірі - мән-мағынасы бойынша мүмкін делінетін, екіншісі құбылыстардан бейхабар адам үшін мүмкін болады делінетін пікірлер. Осылайша ұғыну өрескел қателіктердің және залалды шатастырулардың себебі болған көптеген адамдар мүмкін болатын және беймәлім құбылыстарды ажырата алмайды әрі мүмкін құбылыстың табиғатынан да бейхабар/14/. 11. Ақиқатты тікелей андай алмайтын көптеген адамдар беймәлім құбылыстармен ұшырасқанда, оларды зерттеп тануға, білуге ұмтылған және де олардың себептерін танып білгенше және ол себептер белгілі болғанша құбылыстардың себептеріне қатысты ортақ бір пікірде бола алмаған. Әлгі адамдар осы құбылыстар өздерінің жаратылыс бойынша мүмкін болады деп болжап, мұны тек әлгілердің себептерін білмегендіктен осылай болып отыр және бұларды танып білу зерттеу әрі шұғылдану жолымен жүзеге асырылады деп дұрыс болжаған. Бірақ олар бұл құбылыс өз жаратылысы бойынша мүмкін болғанымен, оған арналған алғы шарттарды қандай да бір тәсілмен анықтау қол жеткізбес (мүмкін емес) қиын екенін болжай алмаған. Өз жаратылысы бойынша мүмкін болатын, бірақ оны аңдау (түсіну) мүмкін еместігі туралы мақұлданған немесе теріске шығарылған болжам айтуға болмайды. 12. Ортақ атау өрескел шатастырылуларға себеп болмақ. Мысалы, кейбір заттар бір атаумен біріктірілуі себепті оларға тән емес нәрселер таңылады. Осы жайт астрономиялық ережелер секілділерді растайды. Біз астрономиялық ережелер

арифметикаға және шамалар туралы ілімге қажет болатындардың барлығын және ішкі өзара әсерлеу күйлерін аңғартатын көптеген жағдайларда мүмкін бола¬тын құбылыстарды, сонымен қатар біздің жоруымыз, аңдауымыз, мақұлдау және талқылауымыз бойынша ережеге қамтылатындарды біріктіретін болғандықтан, астрономиялық ережелер ортақ дейміз. Бірақ та осы ұғымдар өзіндік ерекшеліктері бойынша әрқилы, тек атаулары бойынша ғана біріктірілген. Егер біреу бірнеше аспан денелерін және олардың ара-қашықтықтарын білетін болса, онда ол астрономиялық ережелерге сәйкес жорамалдайды, бұл қажетті заңдылықтар жиынтығына енеді, себебі ол қашықтық әрқашан сондай. Күн секілді аспан шырақтарының бірін білетін адам, мысалы, Күн қарсы орналасқан бір орынды егер ол жерде қыздыру қабылдаушы тарапынан кедергі болмаса, оны қыздырады, ол соны¬мен қатар астрономиялық ережемен де істес болады, бұл көпшілік жағдайда мүмкін болатын құбылыстар жиынтығына енеді. Ал кімде-кім қандай да бір шырақтың өзге бір шырақпен /16/ тоғысу кезін де кейбір адамдар байиды немесе осы жайттың себебінен әйтеуір бір оқиға болады деп ойлайтын болса, ол адам астрономиялық ереже бойынша болжау жасады делінеді, бірақ бұл болжам күмәнді болжалдық іс қатарына жатады, осы ережелердің табиғаты өзгедей ұғымдардың табиғатына қайшы келеді, бұлардың ортақтығы тек атауларында ғана. Сонымен, бұлар көпшілік адамдар үшін айқын емес шатасқан іс, себебі олар заңдылықтарды мүлтіксіз білмейді, сәуегей бола алмайды және ғылымдарды да білмейді; мен қажетті дәлелдемелік ғылымдарды айтып отырмын /17/. 13. Аспан денелерінің жер бетіндегі денелерге әсер етуі, осы соңғының әсерді қабылдауының айғағына Күннің, Айдың және Шолпанның тұтылуы мысал бола алады, осы әсер арқылы байқалатын басқадай нәрсе - шағылысқан сәуле /18/. 14. Ежелгі кездің адамдары аспан денелері өз бетінше жарқырай ма әлде басқаша ма деген пікірлерге қатысты ортақ пәтуаға келе алмаған. Біреулері: әлемде Күннен басқа өздігінен жарқырайтын аспан денелері жоқ, ал басқа шырақтар жарық сәулені Күннен алады деген. Олар өздерінің сөздерінің ақиқаттығын Ай мен Шолпанның Күнді қалқалау мысалымен растаған. Планета адамның көзі мен Күннің аралығында бір түзудің бойында орналасса, Күннің тұтылу құбылысы байқалатын болады. Басқалар: барлық қозғалмайтын жұлдыздар өздігінен жарқырайды, ал планеталар Күннің сәулесімен жарықтанады деген. Осы әсер қандай себептерден туындаса да өздігінен бе немесе қабылданған жарық сәуле арқылы туындай ма, жоқ па; бұл не мақұлданбаған, не расталмаған /19/. 15. Жұлдыздар сәулесін жер бетіндегі қандай да бір денеге Күн сәулесімен қосарласып әсер етсе, онда бұлар денеге әлгі сәулелердің әрқайсысының жеке-дара әсер етуінен өзгеше әсер ететіні белгілі. Осы әсер дененің әр кезеңдегі жағдайына, әсерге шалдығу әрі осы ықпалды қабылдауына байланысты артады немесе кемиді, күшейеді немесе әлсірейді, өседі немесе кемитін болады. Әр түрлі денелердің әсер қабылдағыштық қасиеті әрқилы. Осы қасиет денелердің өлшемдері мен түрі байланысты /20/.

16. Дәлелдер мен себептер жуықтау немесе алшақтау болуы мүмкін. Жуықтау себептердің көптеген құбылыстар үшін дәл белгілі болады, мысалы, Күннің жарық сәулесінің таралуынан ауаның жылынатыны секілді. Алшақтау себептерге қатысты айтарымыз, бұлар аңдарлық, дәл белгілі де болуы, белгісіз де болуы мүмкін. Аңдарлық себептер мыналар, мысалы, Ай толған күйінде теңіз үстінен өткенде, оның тасуы мен қайтуын тудырады, ал осының нәтижесінде әлгі тасыған сумен жер суландырылады, жайылымдық суғарылып, шөбі көгереді де оған мал жайылып қоңданады, адам бұдан пайда табады әрі байи түседі т.б. /21/. 17. Әлемде себептері өте алшақтау болатын әрі алыста орналасқандықтан, анықталмаған заттардың болуы жоққа шығарылмаған. Сондықтан мұндай құбылыстар кездейсоқ құбылыстар ретінде қабылданады және де бұлар мүмкін болатын беймәлім құбылыстарға жатқызылады. Мысалы, Күн қандай да бір ылғалды жердің үстінде болғанда, соның салдарынан бұлану мол болып, бұлт түзіледі, бұдан жаңбыр жауады, ауа ластанады. Осының нәтижесінде денелер шіриді әрі құриды. Адамдар ол жайлы күйініш білдіреді, оның құрып кету себептерін сұрайды. Бірақ кімде-кім менің айтқан жолымды қаламай, өзінше, мысалы, жақсылыққа немесе жамандыққа жору жолымен, немесе есептеу нәтижесі бойынша, немесе денелер мен құбылыстардың арасындағы байланыстар бойынша, адамның қай уақытта, қай жерде қайтыс болғандығы, кейпі туралы алдын ала білудің жолын тапқан секілді болып сендіргісі келсе, оның дұрыс мағыналы жолды мойындамағындығы /22/. 18. Әлем құбылыстары мен ондағы адамның жай-күйі сан алуан түрлі және әрқилы болып келеді: олардың арасында - мейірімді де және қатігез де, сүйкімді де және жексұрын да, сұлу да және кейіпсіз де, залалсыз да және зиянды да болады. Кімде-кім өзінің ісәрекеттерінің жиынын әлемнің әр түрлі құбылыстарына қарсы қоя алатын болса, мысалы жануардың жүрісін немесе құстардың дауысын, немесе анық айтылған сөзді, немесе дайындалған қымбат тастарды, немесе атылған жебелерді, аталған атауларды немесе қозғалысты бір текті кез келген жұлдыздардың қозғалыстары мен құбылыстар қаншалықты көп болуына қарамастан, олардың арасында байланыстың бар екендігін ашқан болар еді, осы байланыстар арқылы бұлар салыстырыла алады. Осылардың арасында ойланып-толғанушыларды таңырқататындай үйлескен аттардың кездесуі мүмкін, бірақ та бұлар ақылды адам сүйенетін қажеттіліктен де, міндеттіліктен де тумайды. Бұл - ақыл-есінде өзіне тән немесе себепші болатын дәрменсіздіктерге бейімі бар адамдарда байқалатын кездейсоқтық. Ақыл есінде өзіне тән дәрменсіздік тәжірибесі жоқ, болмысы надан жастарда кездеседі. Ақыл есінде себепші болатын дәрменсіздік көңіл-күй қасіреті жеңген адамда, мысалы: күшті құмарлық, ашу-ыза, қайғы-қасірет, қорқыныш үрей, сауық-сайран т.б. әсерлерден пайда болады /23/. 19. Аспан шырақтарының қозғалыстары мен бұлардың арасындағы сәйкестіктерге құстардың сайрауын, жануарлардың жүрісін және жауырын сүйегі мен алақанның сызықтарын, дене ағзаларының қалтырауын теңеу негізінде жағымды және жағымсыз болжам жасаушылар екі пікірден мынадай қорытынды жасайды: мұның біреуі бойынша әлгі аспан денелері жердегі денелердің күйлеріне әсерін тигізетіндіктен, бұлар да өздерінің қатынастарымен, байланыстарымен және ғайып болумен, таяулығымен және

шалғайлығымен әсер етпекші. Өзге пікір бойынша әлгі денелер орнықты, асыл, бүлінуден аулақ - тұрақты болады /24/. 20. Егерде мен бір-бірінен айырмашылығы бар, бір-біріне үндес, гармоникасы едәуір немесе гармоникасы шамалы әуендерге қатысты ашқандай шамада шырақтардың (Зодиактың) /25/ градустық орнын анықтаған болсам, бұл әуендерге сәйкес қолайлықты немесе қолайсыздықты көрсетуі мүмкін. Бірақ градустар мен Зодиак белгілерінің шартты түрде алынғаны көпшілікке белгілі, бұларды табиғат бермегендіктен, өзгерістер мен табиғи айырмашылықтар мүлдем жоқ /26/. 21. Сен Зодиак белгілерінің пайда болуына қатысты айтылатын түзулік пен қисықтық, толықтық пен толық еместікті білмеуші ме едің, - мұның барлығы орынға қатысты және солар үшін пайда болған, себебі, атап айтқанда, осыларға қисықтық, түзулік, толық еместік пен толықтық және осыған ұқсас қасиеттер тән. Ал іс осылай болғандықтан, бұлардың жердегі денелерге - жануарлар мен өсімдіктерге үйлесімділікпен әсер етуінің ырымы болуына нелер міндеттеген. Егер осы жайт өзінің мән-мағынасы бойынша дұрыс болса, онда бұл ықпал ету аймағына жатпайтын басқа бір нәрсені болжайды, ол сана бөліміне қатысты болады (яғни, бұл қалай пайда болған?) /27/. 22. Айдың әйтеуір бір орында адамның көз алдында Күннің жарығын өз денесімен қалқалауы таңырқарлық құбылыстардың бірі болып табылады; бұл құбылыс тұтылу деп аталады, осы құбылыс кезінде жердегі патшалардың бірі қайтыс болатын секілді. Егер осы жайт дұрыс және шүбәсіз болса, онда кез келген адамды немесе қандай да бір денені бұлттың күн сәулесінен қалқалауы патшалардың бірінің қайтыс болуына немесе жер бетінде қандай да бір үлкен оқиғаның орын алуына әкеп соқтыруы тиіс. Есалаң адамдар осы көзқарастан арыла алған, ал ақылды адамдарда қалай /28/? 23. Ғ алымдар мен ақиқаттың білімпаздары аспан шырақтарының өз мән-мағыналары бойынша әсерлерге, түрлендірулерге ұшырамайтындығы және бұлардың болмысында қайшылықтар жоқ екендігі туралы ойға келген, олай болса жұлдыздар бойынша болжал айтушылардың кейбіреулерінің жағымсыз аян айтуына нелер итермелейді, ал осыған ұқсас өзгелеріне әлгілердің түр-түсіне, баяу және шапшаң жүруіне орай жағымды аян беріледі. Салыстыру кезінде осының бәрі дұрыс болмайды, солай болғандықтан, өзге бір затқа ұқсас заттың қандайда бір қатынаста оған тұтастай ұқсас болуы және бұлардың әрқайсысынан туындайтындардың өзгелерден де туындауы тіпті міндетті емес /29/. 24. Егер де түстері қанқызыл шырақтардың барлығы міндетті түрде, мысалы, Марс планетасы кісі өлімінің немесе қан төгістің ырымы болған болса, онда жер бетіндегі қызыл түсті денелердің барлығы да әлгі ырымды меңзеуі қажет! Себебі бұлар бір-біріне ұқсас болғандықтан, әлгіндей пікір айту орынды болмақ. Егер де қозғалысы шапшаң немесе баяу жұлдыздардың барлығы жердегі істердің баяулығы мен шапшаңдығының ырымы болса, онда жер бетіндегі денелердің әрқайсысының баяу немесе шапшаң қозғалуы [сонымен қатар] әлгіні қажеттілікпен меңзеген болар еді, себебі, бұлар жердегі денелерге жақын, едәуір ұқсас және олармен күштірек байланысқан болуы себепті әлгіндей жағдайды қажетті түрде меңзеген болар еді. Барлық іс өзге жағдайларда да дәл сондай болмақ /30/.

25. Зодиак белгілерін қарастыра отырып одан [мысалы] Тоқты шоқжұлдызын тауып, онда жануардың басының, дербес жағдайда адамның да басының белгісі бар деген тұжырым жасаушы адамның соншалықты түйсіксіз болғаны ғой. Сонан соң келетін Торпақ шоқжұлдызы жайлы, әлгі адам мұны мойын мен жауырынның белгісі деп сендіреді, осылайша Балықтар шоқжұлдызына дейін жеткенше, шоқжұлдыздарды әр нәрсеге баламалайды, ең соңында Балықтарды табанның белгісі деп нандырады. Әлгі адам шындығында Тоқтыдан кейін іле-шала келетін Балықтар шоқжұлдызына және баспен байланыспайтын табанға өзінің үстіртін көзқарасы мен олқы ойымен қарағандықтан, оның пайымы көңілге қонымсыз, мұның себебі, жануарлардың дене бітімі түзу сызық бойынша созыңқы, ал Зодиак белгілері шеңбер бойымен дөңгеленіп орналасқан, түзу мен дөңгелектің арасында сәйкестік жоқ қой. Бұл барып тұрған залалды пайымдау, мұның мәнісі мынада: теріске шығарылғанды түзету қажет болғанда қабыл алынушының ба, әлде қабыл алынбаушының ба, қайсысының дұрыс екенін білу мүмкін болмайды. Бірақ кесапатты кесапатпен жою керек демекші, бостан бос жүріп, уақыт оздырып мұқасу (сөз таластыру) мен қыңырлыққа жол берілмей әлгілерге [тұтастай] қатысты белгілі бір қорытындыға келуге болар еді /31/. 26. Біреу барлық планеталар арасындағы баяу қозғалатын Сатурн, ал Ай бұлардың барлығынан шапшаң қозғалады деп пайымдайтын болса, неге ол керісінше Сатурн планеталардың барлығынан шапшаң қозғалады, өйткені оның қашықтығы өзге планеталардың қашықтықтарынан да алыс, ал Ай басқалардан баяу қозғалады, себебі оның қашықтығы әлгі қашықтықтардың ең жақыны деп пайымдамайды /32/. 27. Ай және өзге шырақтар жұлдыздар бойынша алдын ала болжам айтушылардың сипаттамаларына сәйкес келетін құбылыстар мен күйлердің белгілері (ырымдары) болсын дейік. Олай болса, олар неліктен құпия дене Ай сәулесінің көрінбей кетуімен үйлесуі қажет дейді? Әлгілер Ай сәулесінің өзгеріске ұшырамағанын және де оның не күшеймегенін, не кемімегенінен бейхабар болғаны рас па? Осының барлығы бізге өзгеше емес, осылайша байқалады. Толған Ай және Ай жаңасы болған кездері де дәл осылай болады. Қалай болса да істің мәнісі өзгермейді. Назарымызға сөзсіз шалынатын нәрселер құбылыстарға қатысты олардың қандай түрде пайда болғанын сондай түрде көрсетудің нұсқауы емес /33/. 28. Егер ғалымдардың пікіріне сәйкес, шырақтар және Күн өздерінің жаратылысы бойынша не ыстық, не суық, не ылғалды, не құрғақ та емес болса, онда шырақтардың Күнмен тоғысуы кезінде шырақтарға тән болып есептелетін жанудың мән-мағынасы неде? /34/ Егер Күн патшалар мен әкімдердің істерінің ырымы болып болып есептелетін болса, онда шырақтардың Күнге жақындау кезі кейбір адамдар тобы істерінің ырымы болады деген қорытынды неге шығарылмайды, жазушылар мен жұлдыз жорамал жасаушылардың тағдырлары байланысты болатын Меркурийді мысалға алайық, осы адамдар әкімдерге ықпал етеді, оларға жақындасады әрі олардың қамқорлықтарына ілігеді. Бірақта олар мұны жаманшылық нышанға айналдырған /35/.

29. Кімде-кім осы шырақтардың ырымдарының және олардың білінуінің тәжірибе арқылы анықталғанына сенетін болса, олар тууға, әр қилы тағдырлар мен құбылыстарға қатысты болатын өзге байланыстарды ашуға талаптанып көрсін. Егер ол адам әлгілердің кейбіреулерінің үйлесетіндігін, ал кейбіреулерінің өмірде бар заттарға қатысты үйлеспеушілігін анықтайтын болса, мұның тек жору, жорамал, келісім және болжам екенін біліп қойсын /36/. 30. Біз өздерінің жұлдыздар бойынша сәуегейлік айтуы бұларға деген нанымы мен сенімділігі бойынша даңқы шыққандардың бірде-біреуін көрген жоқпыз, өз істерінде болжам айтудың заңдарын басшылыққа ала білген, тіптен өзінің меншікті жұлдыз жорамалын өз көзімен көрген және де одан кедейлену, соғыста жеңіліске ұшырау, жолжөнекей тоналу т.б. осыларға ұқсас мәселелер бойынша сенімді мәліметтер алуға болатын барлық ырымдарды сұрады ма екен. Сонымен, іс осылай болғандықтан, әлгілер бұл өнермен мынадай үш себептің бірі бойынша шұғылданады: не ойланып-толғануға бейімділікпен әрі құмарлықпен, немесе қандай да бір ала ауыздық себепті күнелтуге қажет қаржы табуға ынталықтан, немесе осы айтылғандарға шамадан тыс құлшыныстықпен айналысады, осыларға ұқсас нәрселерден сақтанған жөн /37/. Аль-Фараби. Естественно-научные трактаты. Алма-Ата: Наука, 1987. С. 17-36. Аударған: Н.Көбенқұлов.

АДАМ [МҮШЕЛЕРІ] ЖАЙЫНДА (1) Біздің мақсатымыз Гален мен Аристотельдің адам мүшелеріне қатысты зерттеулері қандай мақсатта жазылғанын ашып көрсету, оларды қабылдау жолдары арқылы тану мүмкіндігі қандай екендігін, [сонымен бірге] адам дене мүшесінде болып жатқан жағдайларды логикалық ойлау арқылы тану мүмкіндігі қандай екенін көрсету; адам денесінің толықтай және әрбір мүшесіне тән ауру түрлерін анықтау. Гален мен Аристотельдің көзқарастары әр түрлі мақсатты көздегенмен, дәрігер мен табиғат зерттеушісінің көзқарастарымен сәйкес келеді. Галеннің әдісі мен мақсаты таза медициналық. Аристотельдің мақсаты - табиғат зерттеушісінің әдісі, ал мақсаты -пікірінің жетілгендігі, бірақ олардың екеуі де мұны өнер ретінде қарастырады. Медицина адам денсаулығын, оның әрбір мүшесін зерттейді, өйткені медицина - адам ағзасы мен оның әрбір мүшесінің саулығын сақтауға себепкер болатын ақиқат принциптерге сүйенетін өнер. Жаратылыстану өнері - табиғат денелері мен оларға тән акциденциялардың көмегі арқылы нағыз білімге жеткізетін теориялық өнер. Бұл әдістердің әрқайсысы нағыз білім ретінде («нағыз білім» - бұл «Аподейктика» кітабында көрсетілгендей) белгілі жалпы және жеке ережелерге, сонымен бірге заттың танымы мен оның өмір сүру себептерінің белгілі жағдайларын сақтауға сүйенеді. (2) Заттың себебі - бұл ненің арқасында өмір сүреді, ненің күшімен өмір сүреді, немесе не үшін өмір сүреді. Заттың тіршілік ету себептері - заттың басын құратын нысаны, материясы, сонымен бірге заттың тіршілік ету мақсаты. Оның себептерінің бірі - зат ненің күшімен тіршілік етеді, яғни - материя; ненің арқасында тіршілік етеді - оның нысаны; не үшін тіршілік етеді - оның мақсаты. (3) Білімнің анықтығы - бұл заттың бар екендігі мен оның тіршілік, себептерінің қандай екендігінде жатыр. Бұл зерттеудің мақсаты әрбір табиғат денесі мен оның субстанциясының акциденциясын танудан тұрады. Жаратылыстану - теориялық танымның бір бөлігі болғандықтан да біздің жетістігіміз «Жан туралы» кітапта анықталғандай, теориялық жетістіктің бір бөлігі болып табылады. (4) Адам - жануарлардың бір түрі болғандықтан Аристотель адам тәні мен оның мүшелерін зерттейді. Жануарлар мен оның түрлері жайлы ғылым жаратылыстану ғылымының бір бөлігі. Жануарлар қоректенетін және сезінетін субстанция. Аристотель жануарларды денелі субстанция деп түсіндіреді, ал денелілерді кейде жай дене деп атайды; дене дегенде оның ұзындығын, көлемін, тереңдігін айтады [...]. (5) Ары қарай «Физикада» анықталғандай жылылық, суық, құрғақтық және дымқылдық бір-біріне әсер етіп, олардың құралы қызметін атқаратынын айту керек, сонымен бірге «Аспан және ғалам жайлы» кітаптың төртінші бөлімінде айтылғандай және оның болмысының мәнін қалыптастыратын әрекетке келтіруші олардың нысаны болып табылады; бұл нысанға ие болғаннан бастамасы күрделі денелердің элементтері болып тұрған жоқ, нақты төрт белгісі болғаннан кейін, соның арқасында күрделі денелердей бірбіріне әсер етеді.

(6) Күрделі денелерге келсек, олар тек жылылық мен суықтың әсерінен ғана іске кіріседі, ал ылғалдылығы мен құрғақтығының әсерінен істі қай дәрежеде болса да қабылдайды. Күрделі денелердің іс-әрекетінің негізі суықтық пен жылылықта болса, түрлі өзгерістерге ұшырауы ылғалдылық пен құрғақтықтың негізінде жатыр. Жылылыққа қатыстының [...] бәрі «Физикада» анықталған. Жылылық - алғашқы денесіз болмыс және дене өзінің қызметін іске асыратын формадан кейінгі алғашқы денесіз бастау болып табылады. Суық - екінші денесіз болмыс және формадан кейінгі екінші денесіз бастау болып табылады. Бұл осы екі түрін де пайдаланатын өнерде көрініс береді, мысалы, жылу мен суықты пайдаланатын ұсталық өнер, өйткені темірді шыңдау мен қатыруға отты екінші рет пайдаланады. Суықты пайдаланатын аспаз да тура осы сияқты, яғни, суық ауа тамақ дайындау үшін керек: алдымен ол қазанның ішіндегіні қимылға келтіріп, содан кейін қазанды суық ауаға шығарып ас дайындауды аяқтайды. Зергер жайында да осыны айтуға болады. Осыған ұқсас барлық өнер жылуды пайдаланады. Егер сен мұның қалай іске асатынын бақыласаң, олардың жылуды екінші кезекте [...] пайдаланатынын байқайсың. Жүректің [...] қызметін бақыласақ та осындай болады. Белгілі бір мүшелері кейде күрделі, кейде қарапайым болады. Жануарлардың қарапайым мүшелері - бұлар жекеге ұқсастары. Ал күрделісі -түрлі мүшелері барлары. Жекеге ұқсастары жалпы тұтас денеден бөлініп алынған мүшелері, ал қалған мүшелерін мағынасына қарай қарастыру керек. Күрделісі - алғашқы мүшелері қарапайымы, яғни бір ғана бөлуге келетін қарапайым мүшелерден тұрады. Мысалға көзді алайық, алғашқы бөліктері құрама болып келеді, дәлірек айтсақ, бөлудің арқасында қарапайым мүшелері белгіленеді. Қол мен аяқ та осылай болып келеді. Қолға келсек, ол иық, білек, қолдың басы болып бөлінеді, ал осы мүшелердің әрқайсысы өзінше күрделі; егер әрқайсысын мүшелеп бөлсек, қарапайым мүшелер болып саналатын ет, сүйек, сіңір және байланыстыратын буындардан тұрады. Жануарларда рухани, қозғалысқа келтіруші және қабылдау күштері, сонымен бірге басқа да рухани және денелік акциденциялар бар. Әрбір жануарға қажетті дене күші үшеу: қоректену, сезу және ұмтылу күші. Жануарлардың әрбір күйі бір жағдайда пайымдау жолымен - не дәлелдеу, не айғақтау арқылы, басқа жағдайда пайымдамай, яғни, еш ойланбастан шешілетін заттар жайлы сөз болады. Еш пайымсыз бірден танылатындар тәжірибесіз, арнайы көңіл бөлінбей, күш салынбай және бақыланбай жарым-жартылай танылады; ал бірен-сараны тәжірибе арқылы, арнайы көңіл бөлу, күш салу және мұқият қарастыру арқылы, сезімдік қабылдау күшімен жетеді. (7) «Жануарлар жайында» деген кітабында Аристотель жануарлардың түрлерін екі тәсілмен екіге бөліп тану керектігін анықтады. Бірінші бөлімде ол бақылау, тәжірибе арқылы, сезімдік қабылдау, яғни пайымдауды қажет етпейтін тану жолдарын көрсетті. Бұл жайында ол «Жануарлар жайында» кітабының басынан бастап, оныншы пікірінің соңына дейін сөз қылады. Басқа бөлімінде пайымдау арқылы танылатын заттар жайлы айтады... Адам - жануарлардың бір түрі. Аристотельден «Жануарлар жайында» кітабында ол туралы қысқаша айтып кетуін өтінген. Бірінші бөлімде ол тәжірибе, бақылау және сезу арқылы, екіншіде - дәлелдеу не айғақтау арқылы танылатынын анықтайды, сонымен бірге дәлелдеу не айғақтау тәсілін пайдаланғаны жайлы айтады.

(8) Табиғат зерттеуші белгілі бір жағдайда адам мүшесі жайлы еш пайымдаусыз-ақ білуі мүмкін. Бұл жерде дене мүшелерін мұқият қарамай, бөлшектеп не сою арқылы бірден танылатыны сөз болып отыр. Бұл жағдайда [зерттеуші] зерттеліп отырған мүшелер жайлы дұрыс пікір жасау үшін, мүшелерді түгел бақылауға алуға тырысады. Жануарлардың әрбір мүшесі жайлы да тура осылай: ол қандай да бір әсер ету немесе оны қабылдау үшін тіршілік етеді. Бұл мүшелердің әрқайсысының тіршілігі үшін екеуі де мақсат қоя біледі. Төрт себептің соңғысы мақсаты болып табылады, жаратылыстану соның көмегі арқылы адам мүшелерінің пайда болуын анықтайды. Сондықтан, философияның мақсаты, оның көтерілген сатысы заттың тіршілігінің себептерін танудан тұрады. Жаратылыстану да философияның бір бөлігі ғой. (9) Денедегі әрбір мүшенің өмір сүру мақсаты - оның болмысының себептерінің бірі болып табылады. Табиғат зерттеуші әрбір дене мүшесін танып білуі керек, бірақ ол басқа дене мүшелерін тану үшін бұдан еш пайда көрмейді. Осы жолмен ол теориялық білімге, яғни жаратылыстануды меңгеруде табысқа жетеді. (10) Ары қарай, дене мүшелерінің жаратылу мақсаты бізге осы мүшелердің субстанциясы, материясы, формасы туралы түсінік берсе, онда заттардың мақсаты оның ең негізгі себебі болады, бұл кезде оның басқа себептері тек осы мақсаттар үшін ғана қолданылады. Соңғы себептер басқа себептердің болу себебі болып табылады. Сондықтан табиғат зерттеуші адам мен жануардың әрбір мүшесінің тіршілік ету мақсатын танып-білуі керек. Табиғат зерттеушінің мақсаты да осы, яғни, жануарлардың әр түрінің, мысалы, жылқы, піл немесе шегіртке, маса сияқты қаншалықты кішкентай болса да шыбын-шіркейлердің әрбір мүшесінің тіршілік ету функциясын жақсылап білу. Табиғат зерттеушінің қол жеткізген жетістігі әрбір табиғат денесінің тіршілік ету мақсатын танудан тұрады. Мұны Аристотельдің «Жан туралы» кітабы мен басқа да еңбектерінде айтылып кеткен теориялық ғылымнан шығарып, қорытындылауға болады. (11) Ары қарай әрбір теориялық білімнің мақсаты тақырыпта кездесетін қарама-қарсы акциденцияларды (кездейсоқтықты) оқудан тұрады. Денсаулық пен ауру жануарлар тіршілігінің акциденциясының елеулі мәні. Бұл екеуі тепе-теңдік пен теңсіздік кез-келген сандық қатынастарға сәйкес келетіні секілді бұл екеуі әр жануарға, сонымен бірге адамға да тән. (12) Көптеген жануарларда тек солардың өзіне ғана тән ауруы болады, адам басқа [жануарларға] қарағанда аурудың көптеген түрімен ауырады. Осыларды ескере отырып, табиғат зерттеуші адамды, оларға тән ауру түрлерін зерттеп, оның себептерін ашуы керек. Сонымен қатар ол әр дене мүшесіне әсер ететін, кейбір қан тамырларында немесе басқа мүшелерінде пайда болатын, артық ылғалды не құрғақтықты тудыратын аурудың акциденциясын оқып-білуі керек. Ол әр аурудың пайда болу себептерін, жастық пен кәрілікті, өмірдің ұзақтығы мен қысқалығын анықтауы керек, басқаша айтқанда, өмір мен өлім тіршілік акциденциясы. Аристотель өзінің «Жануарлар туралы» кітабында осыған ұқсас нәрселерді зерттеп, топқа бөліп, себебін анықтады және өз зерттеуінде теориялық философия мен оны түсінуде жетістікке жетті.

(13) Ары қарай, жаратылыстану өсімдіктерді, оның түрлерін бөліп-бөліп зерттейді, сонымен бірге минералды заттардың субстанциясын, болмыс мәнін, акциденциясын, әрқайсысының себеп-салдарын және бұл жануарларда қалай болатынын анықтайды. Бұл жерде табиғат зерттеуші теориялық философия мен оның мәнін түсіну жолында үлкен жетістікке жетеді. (14) Тура сол сияқты дәрігер де адамның әрбір мүшесін зерттеп, олардың қызметін, аурудың түрлерін, пайда болу себептерін, акциденциясын адам денесінде болатын өзгерістер арқылы тексеріп, кейбір қан тамырларын зақымдайтын, сулы не құрғақ бөлінулердің негізінде болатын өзгерістерді анықтайды. Дәрігердің көздеген мақсаты табиғат зерттеушіден басқа. Өйткені медицина практикалық өнердің бір түрі, ал әр өнердің іске асыратын нысаны, қол жеткізуге тырысатын мақсаты бар. Әрбір практикалық өнер өз іс-әрекеті мен қол жеткізуге тырысқан мақсаттарына бағытталған өз нысандарын тани отырып, жетістікке жетеді. Соны¬мен бірге олардың ісәрекеті аспаптарды тануға бағытталады, себебі олардың іс-әрекеті тек аспаптар арқылы іске асады. Осылардың бәрі медицинаға да керек. (15) Медицина өнерінің нысаны ретінде адам мен оның дене мүшелері қызмет етеді. Адамның денесі мен оның мүшелерін қараудағы дәрігердің мақсаты оларды қандай да бір аурудан сақтау және деніне саулық тілеу. Медициналық іс-әрекет кімде-кім өз денсаулығын күте білсе, соны қолдауға және ауырып қалғандарға денсаулығын қайтаруға бағытталған. Бұл іс-әрекет тек дене мүшелерінің арқасында ғана іске асады. Медицина әрбір дене мүшесінің қызметін танып, дәрігер мен дәрігерлік өнердің көзқарасы бойынша әр мүше өз қызметін қаншалықты орындап тұрғанын анықтағанда ғана аурудың түрін, денінің саулығын көрсетіп бере алады. Сондықтан дәрігер адамның әрбір мүшесін жақсы білуі керек. Ол аурудың түрлерін, егер біреу ауырып қалса оны емдеп, денсаулығын қайтару жолын білуі керек. Ол дене мүшелерінің табиғатына сай қызметін анық білуі тиіс. Ол үшін әр ауруды жеке-жеке түріне қарай анықтау керек. Бұл мына жағдайға байланысты туған: оған денедегі [...] аурудың себебін жиі жоюға тура келеді. Аурудың көптеген себептері мен акциденциясы денеде қандай да бір аурудың бар екенін көрсететін, не ауруды емдеу мақсатында дене мүшесінде аурудың қай түрі бар екенін табу үшін ауру түрлерінің арасындағы айырмашылықты көрсететінін дәлелдеу арқылы анықталуы мүмкін. Қуықтағы бөлінетін іріңдерді бақылаудағы өзгерістер кейбір дене мүшелеріндегі аурудың кейбір түрлерінің себептерін тудырады. (16) Дәрігер сонымен бірге өзінің жұмыс құралдарын: оның ішіндегі тағамды, жәй, күрделі дәрілерді, скальпель және басқа да заттарды оқып-үйренуі тиіс. Малдан, өсімдіктен, минералдан алынатын тағамдар болады, сол үшін оған малдың көптеген түрлері мен мүшелерін, көптеген өсімдіктер мен олардың түрлерін, көптеген минералды денелерді зерттеу қажет, бірақ бұл жерде ол табиғат зерттеушінің көзқарасымен емес, қандай құралдар арқылы адам денсаулығын көтеруге болатынын анықтауы керек. Сонымен бірге аспаз бен наубайшының өз мақсаттарына жету мақсатында от пен судың қасиетін қарастырмайтыны сияқты, ол да ауруды жоюға және денсаулықтың жақсы болуына көмектесетін дәрілік заттарға айналу қасиеті мен сапасын зерттеуге міндетті емес.

(17) Табиғат зерттеуші олардың өмір сүру және басталу себептерін анықтай отырып, субстанциясын; аспаз тағамды толық дайын болғанға дейін жеткізу жағдайының қандай екенін; дәрігер солардың көмегімен ауруды жойып, денсаулығын түзеуге болатынын қарастырады. Осыған ұқсас бұл адамдардың алға қойған мақсаттарында да айырмашылық бар. Дәрігер мен аспаздың мақсаты аурудың жағдайын немесе тағамның дайын болуын танып-білуден көрінсе, табиғат зерттеуші әрбір зерттеп отырған объектілерінің ішінен оның өмір сүру себептері мен субстанциясын, яғни, материясын, нысанын, мақсатын анықтайды. Соңғысы объектінің ненің арқасында дәрігердің денсаулықты көтеру үшін немесе аспаздың тағамның дайын болуы үшін пайдаланатын затқа, не құралға айналатыны туралы ой тастайды. (18) Дәрігерлік өнердің арқасында жетілген заттар жеті жағдаймен: 1) адамның әрбір мүшесін танумен; 2) денсаулықтың әр түрін және оған тән әрбір функциясын танумен; 3) ауру түрлерін, оның себептерін танумен; 4) барлық денеңді немесе кейбір мүшелеріңді зақымдаған қандай да болмасын аурудың белгілері мен себептерін қалай пайдалануға болатынын білумен; 5) осы өнерде пайдаланатын тағамның түрлерін, жәй және күрделі дәрілерді, басқа да заттарды танумен; 6) дене мүшелерінің денсаулығын сақтауға бағытталған заңдарды білумен; 7) жоғалған денсаулығын қайта қалпына келтіру Жаратылыстану ғылымы адамның дене мүшелерін ауруды жоюға немесе денсаулығын жөндеуге қажетті объекті ретінде қарастырмайды, ол өсімдіктердің, жануарлардың, минералды денелердің тағам немесе дәрі ретінде адам денсаулығын қорғауға немесе ауруын жоюға қызмет етуін зерттемейді. Сондықтан да, дәрігердің мақсаты - адамның денсаулығын көтеруі мен ауруын жоюының арқасында заттарды зерттеу мен олардың іс-әрекетке қатынасымен санасу болып табылады, - табиғат зерттеушінің мақсатына еш сәйкес келмейді [...]. (19) Дәрігер мен табиғат зерттеушінің адамның дене мүшелерін бақылау, анықтау, анатомдау арқылы тануы екі жақты: әртекті және біртекті. Әрбір әртекті мүшелерді бақылау арқылы оның мөлшерін - ұзын не қысқалығын, үлкен не кішісін, формасы мен орнын, дәрежесін, санын, түсін, ыстық не суықтығын, ылғалдығы мен құрғақтығын, қатты не жұмсақтығын, бос не тығыздығын білуге болады. Осылардың ішінде кейбіреулері тек көру арқылы ғана қабылданады, мысалы, біртекті мүшелердің түсі; басқалары - тек қана түйсік арқылы - жылы не суық, ылғал не құрғақ, қатты не жұмсақ екендігі; үшіншісі - осы екі сезімнің де күшімен қабылданады, яғни, көру және түйсік арқылы, - мөлшері, формасы, орны, тегістігі, бостығы, тығыздығы, дәрежесі, бөлімдерінің саны, түрлі бөліктері бар бөлімдерін біріктіру, әртекті бөлімдердің қаттылығы мен жұмсақтығы және кедір-бұдырлығы. Осының барлығы көз бен түйсік арқылы қабылданады. Осыны Аристотель адамның әрбір мүшесінің іс-әрекеті жайлы айтқан өзінің «Жануарлар туралы» кітабында анықтаған. Ол әрбір мүшеден бастап, сосын біртекті мүшелерге ауысады, олардың әрқайсысы туралы біз айтып кеткеннің барлығын айтып өткен. (20) Ол [Аристотель] бір-бірінен бөліп тұратын үлкен немесе көптеген жарылулары бар мүшелерді ажырата біледі және олар түріне қарай бірыңғай мүшелер екенін айтып, бір түр ретінде қарастырады. Әрбір мүшелердің бөлшектеріне де тура осылай қарайды: егер ол бөлшектер азғана немесе көрінбейтін аралықта бөлінсе, онда мұндай бөлшектерді

біртекті деп қарастырады. Сондай-ақ егер ол мүшелердің ішінен ұқсас бөлшектерден құралып, үздіксіз байланыспай, шектесіп жатса, онда біртекті мүше ретінде қарастырады. Аристотель олардың ұқсас бөлшектерін санап шықпайды. Барлық адам мүшелерінен ол тек өзінің көргені мен бақылағанын ғана айтады. Бұл сонымен бірге Галеннің адам мүшелерінің анатомдануы туралы кітаптарында да айтылады. Онда барлық біз айтқандарды және олар әртекті, біртекті болып танылуы керек екенін айтады. Ол олардың әсерін [қандай жағдайда болса да] Аристотельден гөрі толықтай қарастырады. Гален тек мүшелерді бөлумен ғана шектелмейді, біртекті мүшелердің бөлшектерін де бөліп қарастырады. Әрбір біртекті мүшелерді бөліп тұратын жарылуларды және мүшелерді орны мен сапасына қарай бөліп тұратын жарылуларды еске түсіреді. Орналасқан орнына байланысты бөлетін жарылулар - бұлар мүшелердің үздіксіздігін жоятын және оны [қалайда] жалғасқан екі мүше жасайтын сезім ретінде қарастырылады. Сапасына байланысты бөлетін жарылулар - бұлар бір-ақ адамның [бірақ] уақытта қабылдауы арқылы көрінуі мүмкін және [сонымен бірге] бір ғана адам арқылы бөлініп, бірақ бір ғана аралықта басқа адамға көрінбейтін бір ғана сапаның ішіндегі азғана көбеюі не азаюы. Бұлардың бәрін Гален мұқият жіктеп, түсіндіріп, жазып берді. (21) Ал Аристотельге келсек, ол мұның бәрін қалдырып кеткен. Екеуі көптеген мәселелер бойынша бір көзқараста, кейбір мәселелер [...] бойынша ғана әр түрлі көзқараста болған. Гален адам дене мүшелерін түгел қарастыра отырып, Аристотель не жалпы, не жеке формада тұспалдап болса да айтпай кеткен мүшелерді талдап береді. Мысалы, Гален айтқан жуан жіпті еске түсіретін жұмсақ, ақ, ұзын және ұзынша денелер ми мен жұлыннан басталып, нерв деп аталады. Бұл жайында Аристотель ештеңе айтпайды. Ал оның нерв деп атағаны тіпті басқа [...]. Аристотель нерв деп атаған денелер жайлы, онда жүрекке, мүшелердің жалғасуына, иыққа, тізеге, сираққа, табанға ұқсас денелер бар екенін ешбір анатом, не [тіпті] Гален айтпаған. Бірақ олар бұл денелерді мүшелер демей, басқаша: біреуін - нервілер, басқасын - сіңір, үшіншісін - қан тамыры, төртіншісін - нервіге ұқсас денелер деп атайды. Тура осылар Аристотель айтқан нервіге жатады. Аристотель арқаның екі, бел омыртқаның қос жағынан немесе [бас] миында нерв деп аталатын дене бар деп ешқашан айтқан емес. Сондықтан ол мида нерв деп аталатын еш дене жоқ деп қорытындылаған және ол дұрыс та. (22) Барлық анатомдар Гален нерв деп атаған ешбір денені байқамағанын айтады. Сонымен бірге Аристотель Галеннің нерв деп атағандарының бәрін түтік жолдары деп атағаны анық. Сондай-ақ, Гален [бас] миынан әр көзге үш жол созылып жатыр, оның ішінде біреуі мидың алдыңғы жағында орналасқан және ол қуыс деп тұжырымдаған. [Оң] көзге қарай созылған [жол] солға созылған жолға барабар, немесе олар басында біріккен де, кейін [оң] жол оң [көзге], сол жол сол көзге бағытталып, біріктірілген. Ал, сіздер білесіздер ме, Гален бұл жолдарды нервілер деп, сонымен бірге денелер деп те атаған. Тура сондай Аристотель жол деп атаған екі затты Гален нерві деген. Ал Галеннің нерві деп атаған заттарын Аристотель білген, бірақ нерві деп есептемеген. Бұл заттар бастың екі жағында орналасқан. Сондықтан Аристотель ол не баста, не арқаның екі жағында да орналаспаған деген кезде ол жеке жүректе орналасқан және оны Гален нерві деп атаған заттар жөнінде айтып отыр.

(23) Аристотельдің жүректе нервілер өте көп, ал [бас] миында ол жоқ дегеніне Галеннің Аристотельді соншалықты кінәлағанын мен түсінбеймін. Сонымен бірге ол өзі жүректе көптеген сіңір, қан тамыры және нервіге ұқсас денелердің бар екенін мойындайды. Соңғысы бас миынан көз бен құлаққа созылып жатқан зат емес, Аристотельдің нерві деп атаған [заттарының] мәні. Гален сіңір, қан тамыры деп атаған заттары бас миында жоқ екенін мойындаған. Аристотель Галеннің нерв деп атағанын мидың екі жағында орналасқан денелер деп мойындаған. Онда [Гален] неліктен перипатетиктерді сынауға бос сөздерді пайдаланған? [...] Оның Гиппократтан айырмашылығын көріп тұрған жоқпын. Мұны оның Гиппократтың пікірлеріне берген түсінігінен көруге болады, ол [Гален] қай автордың [...] болса да пікірінің растығын дәлелдеп көрсете отырып, осы сөйлем дәл осы дұрыс идеяны белгілейтінін түсіндіруге тырысты. Осындай ойды айтқан кезде Гиппократ оның астарынан осы дұрыс идеяны [...] жобалап түсінді. Содан кейін Гален Аристотельді оның пікіріне еш қатысы жоқ идеялар бойынша қатты сынайды да, ал Гиппократтың осы пікірлерге байланысты қате идеяларына еш сын айтпайды. Егер бұл идеялар тап осы өнермен үйлесім таппаса, онда кейбір кітап сатқыштар қолжазбаға қосып жіберген немесе көшірмешілер қате жіберген, ал Гиппократтың кінәсі жоқ деп қорғаштайды. Содан кейін Гален Аристотельдің сөзінен онсыз да белгілі, оның сөзіне еш қатысы жоқ идеяны әдейілеп не қателесіп кінәлауға көшеді. Гален оның елу бет көлеміндегі мақаласын сынайды. Егер ол Аристотель сөздерін қарастырған Гиппократ сөздерінің оннан бірін пайдаланса немесе Аристотель кітаптарының түсінік берушісінің не айтқанына құлақ түрсе, мен оның сынымен [тіпті бір әрпімен де] келіспес едім. Галеннің Аристотельді кінәлауының жалғандығын дәлелдеген Александр Афродизийскидің пікірін оқығанда-ақ көп нәрсе анық болады. Аристотельдің қалай түсінгені де [...] анық болады, бірақ Галеннің өзі Аристотельдің анатомияны өте жақсы білетініне куә болады. (24) «Жануарлар жайлы» кітабының XІІ, XІІІ, ХІҮ бөлімдерінде Аристотель жануарлардың әр түрінде қарастырылған әртекті және біртекті мүшелердің әрқайсысының тіршілігіне байланысты қызметін белгілейді. Ол сонымен бірге адам мүшелерінің қызметі жайлы да өз пікірін айтады. Табиғат зерттеушісінің әрбір табиғат денелер! үшін анықтайтын себептерінің мәні осындай. Гален өзінің «Тәннің пайдасы жайлы» кітабында әр адам тәнінің тіршілігіне байланысты [...] қызметті белгілеп берді. Медицина оны әр мүшенің ауруын және денсаулық жайлы білім алу үшін тануы мүмкін. Гален көптеген мүшелердің жеке болмысын суреттесе, Аристотель адам мүшелерін белгілі бір қызмет үшін құрылған деп пайымдайды. Ал Гален сол мүшелер басқа қызметке арналған деп есептейді. Кейбіреулеріне қатысты олар Аристотель айтқан қызмет үшін құрылған десе, кейбіреулерін - басқа қызмет үшін құрылған дейді. Екеуінің арасындағы мүшелердің қызметіне байланысты келіспеушілік мүшелердің өзіне қатысты келіспеушіліктен өзгеше. Бұл келіспеушілік екеуінің әрқайсысының көргенбілгендерін тұжырымдауына байланысты. Мұндай келіспеушілікке байланысты бізге екеуінің қайсысының пікірінің шын екенін білу қиынға соғады, себебі олардың не көргенін, не білгенін өзіміз бақылауымыз керек. Мұны тек анатомдау арқылы ғана тануға болады, бірақ іске асыру қиынға соғады. Екі қайраткердің арасындағы мұндай келіспеушілікті біз олардың әрқайсысының не айтқанын, ой тұжырымы, дәлелдеу арқылы

не көрсетуге тырысқанын, әр мәселеге байланысты екі көзқарас, екі пікірді салыстыра отырып, І және ІІ «Аналитика» кітабынан танысуға болатын заңмен екі пікірді тексеріп біле аламыз. Мұны аз ғана уақытта жасап тастауға болады. Сонда ғана біз қате ой-пікірден арылып, дұрыс шешім қабылдаймыз. Сол сияқты бұл көзқарасты өздері де тексеруге болады. Өйткені егер олар бір-біріне қарсы келетін болса, онда олардың біреуінің шын, екіншісінің жалған пікірде екенін көруге болады. Жалған көзқарасты табиғат зерттеушісі тексере алады. Егер силлогизм формасы мен материясына қарай шын көзқарасқа әкелсе, онда бұл дұрыс шешім болғаны. Біз Аристотельдің адамның сыртқы мүшелерін кім де болса көру және сезу арқылы бақылай алатынын және олардың ішінен бұл мүшелердің әрқайсысын анатомдау арқылы бақылауға болатынын, осыларға байланысты әрбір мүше жайлы Галеннің де айтып кеткенін көрсете отырып сипаттап бергенін дәлелдей аламыз. Осыған адам мүшелерінің тіршілік қызметіне байланысты Аристотельдің не ойлағаны жайлы өз дәлелімізді келтіре аламыз. Біз сонымен біре Галеннің осы мүшелердің әрқайсысының қызметі жайлы, әсіресе Аристотельдің көзқарасын растайтын пікірі жайлы не ойлағанымен де келісеміз. Галеннің бұл мүшелер жайлы жеткілікті, толық сипаттағанын біз Аристотельдің айтқандарына түсінік бергені деп қарастырдық. Ал Галеннің өз кітаптарында дұрыс және қарсы келуге болмайтын Аристотельдің пікірінен артық ойлар айтуын Аристотельден кейін анық болған нәрсе деп қарастырамыз. (25) Біз Галеннің бұл пікірлерін қуана қабылдадық, ал Аристотельдің айтқандарына қарсы келетін тұстарын қабылдамадық. Егер ол жалған идеяларды Аристотельдің атынан жазып қойып, осы мүшелерге байланысты сын арқылы қарсы шығуға болмайтындығын айтса, онда біз мұны жалған идеяға қарсы бағытталған және [сонымен бірге] оның айтқандары Аристотельдің көзқарасына тең келмейтін пікір деп есептейміз. Оның көзқарасының дәлелі ретінде біз оның пікіріне сай орын дайындадық, ал бұл орынның негізін салушы Аристотельдің пікірлерін оның басқа кітаптарынан [...] алып [пайдаланған]. Егер пікір сыншының тура сол әшкерелегісі келген ойына дәл келсе, онда І және П «Аналитиктен» пайдаланған заңмен тексердік. Егер бұл заң сыншының пікірінің ақиқаттығын пайымдау не дәлелдеу арқылы анықтаса, онда Аристотельдің пікірін алып тастап, Галеннің көзқарасымен келісіп, оған ризашылығымызды білдірдік. Егер бұл пікірден не формасына, не материясына байланысты шикілікті көрсек, онда Галеннің келтірген пайымын қалдырып, Аристотельдің пікірін тексердік. Егер оның ақиқаттығын байқасақ, Галеннің пікірін алып тастап, Аристотельдің көзқарасын қолдадық. Егер екеуінен де шикілік байқасақ, екеуінің де пікірін алып тастадық [...]. Егер екі пікір де дұрыс болып шықса, онда біз сезіктеніп, сезігімізді шешуге тырыстық. Егер екі пікір де бір мазмұнда болса, онда екеуі шынымен де тең бе, әлде біреуінде жалғандық бар ма біз білер едік. Оның алдына белгілі бір шарттар қойған кезде жалғандық жойылмайды, жою үшін жалпы пайымдаудың алдына қандай шарт қойылады, соған қарайды, сонда қалған жалпы алғышарт ақиқат болып шығады. «Түсіндірме жайлы» және «Софистік теріске шығару жайлы» деген кітаптарда айтылғандай басқа силлогизмдермен де осылай істейді.

Сөйтіп, әр силлогизм өз шешімімен белгілі бір шартқа жауап береді, сонда екі силлогизм де қарсылықты керек етпейді. Аль-Фараби. Естественно-научные трактаты. Алма-Ата: Наука, 1987. С. 105-136. Аударған: Ж.Ошақбаева.

АДАМ ДЕНЕ МҮШЕЛЕРІНЕ БАЙЛАНЫСТЫ ГАЛЕННІҢ АРИСТОТЕЛЬМЕН КЕЛІСПЕУШІЛІГІНЕ ҚАРСЫЛЫҚ ЖАЙЫНДА Бұл трактаттың мақсаты - Аристотельдің бізде бар кітаптарынан оқығандарымыздың негізінде Гален мен Аристотельдің адам дене мүшелеріне байланысты зерттеулерін жалпы ашып көрсету, оны бақылау және сезу жолдары арқылы тану мүмкіндігі қандай екенін, сонымен бірге адам дене мүшесінде болып жатқан жағдайларды дәлелдеу жолы арқылы тану мүмкіндігі қандай екенін, адамға және белгілі бір мүшеге тән ауру түрлері мен денсаулықты анықтау. Осының бәрінде біз тек бақылау жолы арқылы ғана тануға болады деп және әр мүшені бөлек алып пайдаландық, себебі, бүгінгі күні бізде Аристотельдің «Денсаулық пен аурулар жайында» кітабы жоқ. Олардың әрқайсысының [Гален мен Аристотельдің] әдіс-тәсілі мен алға қойған мақсаты әр түрлі. Галеннің әдісі мен мақсаты таза медициналық. Аристотельдің әдісі - бұл табиғат зерттеушінің әдісі, ал мақсаты - ой-пікірінің жеткен жетістігі, бірақ екеуі де мұны өнер мәселесі ретінде қарастырады. Медицина - бұл адам ағзасы мен оның әрбір мүшесін сақтауға мүмкіндік туғызатын ақиқат негізді өнер. Жаратылыстану өнері - бұл жаратылыс денелері мен оларға тән жеке белгілерді толық біліммен қамтамасыз ететін теориялық өнер. Бұл әдістердің әрқайсысы ең толық білім ретінде белгілі анық әмбебап және жеке ережелерден тұрады. «Ең толық білім» түсінігі «Дәлелдеу» кітабынан оқығандай таза да анық білімді білдіреді. Теориялық білім ең алдымен затты қалай танитынын, оның анықтамасы және оның материяны тануы нені ескертетінін алдын ала қарастырады. Ең анық ақиқаттың шарты болмыс пен заттық болмыстың себебін тану болып табылады. Әрбір табиғи дене болмысының төрт себебі бар: материалдық, үстірт (формальды), заттың өмір сүруі үшін әрекет ететін себебі мен мақсаты. Жаратылыстану ғылымы әрбір табиғи заттың мәнін түсіндіреді, материяны, форманы, заттың өмір сүру болмысы мен мақсатын тудыру үшін әрекет ету себебін танытады, сондай-ақ әрбір жеке белгісін анықтайды. Бұл себептердің бірі заттың болмысы - бұл материя және әрекет етуші себеп; басқалары - зат ненің арқасында бар болса, онда оның бар болғаны - бұл форма; үшінші - заттың болмысы не үшін болады - бұл болмыстың мақсаты. Жоғарыда аталғанды [Аристотель] анық дәлелдермен түсіндіруге тырысады. Табиғат туралы ғылымды оқыту пәніне табиғи дене, оның түрлері және жеке белгілері кіреді. Олардың ұқсас түрлерінің әрқайсысы толықтай белгілі болуы мүмкін емес, анық білімге ақылы жетеді. [Бұл ғылымның] түпкі мақсаты - теориялық танымның жетістігі. Жаратылыстану ғылымы теориялық танымның бір бөлігі болғандықтан оның жеткен жетістіктері теориялық жетістіктің бір бөлігі болып табылады, ал бұл - адамға аямай берілген рухтың шегіне жеткен соңғы жетістігі. Оның мақсаты - сол не басқа қасиетке, жағдайға не сапаға ие мәнді түсіндіру емес, оларды рухани игілікке айналдырып, соның

арқасында жетістікке жеткізетін рух жасау. Рухани кемелділікке келу өте жақсы, мысалға кемелділіктен сауда өнеріне келу, себебі сауданың субстанциясы бар: ағаш, ағаштың түрлері және ағашқа тән акциденциялары. Біз оны рухани кемелділікке жеткізуге тырыспаймыз. Сауданың мақсаты әрекет ету және осы әрекеттің арқасында ағаш қандай да бір сапаға ие болады - оның түпкі мақсаты осында. Сауда сияқты кез келген өнер де пәрменді. Мысалы, бояу өнері, ұсталық өнер және басқалары. Олардың барлығы белгілі бір мақсаттарға ие болады және әрекет етудің арқасында өз мақсатына жетеді. Мысалы, темір ұстаның нысаны болып табылады, оның мақсаты - темірді қабылдайтын формасы. Оның игілігін көру үшін ұста оттың арқасында темірді балқытады, суытады, суарады, қайрайды. Біз оның мәнін кемелділік дәрежесіне жеткізуге тырыспаймыз, біз тек бұл мәнді жаңа сапа мен акциденциялар алатын әрекеттің нысанына айналдырамыз. Дәрігерлік өнер де пәрменді болғандықтан, оның нысаны адам денесі мен түрлі мүшелері болып табылады, ал оның мақсаты - түрлі ауруларға қарсы келетін денсаулықтың түрлері. Дәрігердің іс-әрекеті барлық адам ағзасы мен әрбір мүшелеріне де қатысты. Мысалы, тамақтану, дәрі ішу, тері қабатының жақсаруы, күйдіру, сою және cay ағзаны сақтайтын, не аурудың денсаулығын қайтаратын барлық медициналық әрекеттер. Медициналық іс-әрекет басқа да ғылым саласы сияқты өз құралдарының арқасында пәрменді болып табылады. Медицина құралдарына тамақтану, дәрі-дәрмек, скальпель және басқалары жатады. Кейде cay тәнің ауырған жерінді сезетіні және ауруды жорамалдайтыны түсінікті, ал кейде ауру ештеңе сезбей, өзін саумын деп есептейді. Кейде адамдар сырқаттың бір түрімен ауырып, ауруын сезеді, бірақ басқа аурумен ауырамыз деп ойлайды. Дәрігер ауруды растайтын дәлелдерге мұқтаж. Аурудың қай түрі екенін сипаттайтын белгілері оның басқаларынан қалай ерекшеленетінін көрсетуі керек. Әрбір пәрменді өнер өз мақсатына жету үшін еңбек пен әрекет нысанын білумен байланысты болады. Медицина өнері пәрменді өнер ретінде жеті себеппен байланыста: 1) адам мүшелерін білу медицинамен бірге табиғат зерттеушісіне де тән; 2) денсаулық түрлері және оған тән нышандар, бұл денсаулық барлық ағзаға не кейбір мүшелерге таралуы мүмкін бе; денсаулықты сақтау үшін қолданатын шарттар, адам денсаулығын [жағдайын] сақтауды бақылау - мұның бәрі медицина үшін де, дәрігер үшін де жалпы болып табылады; 3) ауру түрлерін, оның себептерін, нышандарын білу, бұл аурудың түрі барлық ағзаға не кейбір мүшелеріне таралуы мүмкін бе, аурудың адам ағзасына таралуын жою үшін қолданатын шаралар; 4) денсаулық пен ауру түрлерінің нышандарын анықтау мүмкіндігін білу және бұл ауру түрлерін сипаттайтын белгілерін қолданудағы дағдылар; ішкі мүшелерді зерттеу -барлығы дәрігердің міндетіне кіреді;

5) бұл өнердің пәрменділігін көтеретін тамақтану тәртібін білу, дәрі-дәрмекті пайдалана білу және оны адам ағзасына қолдана білу - бұлардың барлығы дәрігердің міндетіне кіреді; 6) ағзаның саулығын сақтауға әсер ететін іс-әрекет ережесін білу және оны қолданудағы дағдылар - мұның бәрі дәрігердің міндетіне кіреді; 7) ауру ағзаға денсаулықты қайтаруға ықпал ететін іс-әрекет ережесін білу және оны қолданудағы дағдылар - барлығы дәрігердің міндетіне кіреді. Аль-Фараби. Естественно-научные трактаты. Алма-Ата: Наука, 1975. С. 39-50. Аударған: Ж.Ошақбаева.

ЖАНУАРЛАРДЫҢ ДЕНЕ МҮШЕСІ, ҚЫЗМЕТІ МЕН ҚАБІЛЕТТІЛІГІ ЖАЙЛЫ (1) Жануарлардың әрбір біртекті [дене] мүшесінде ерекше күш пен табиғи жылылық бар. Солар арқылы дене бөлшектерінде үздіксіз бірігу жүзеге асады. Әрбір мүше үшін ерекше қоректенуші күшті сіңіретін табиғи жылылық құралып, толығуға дейін жеткізіп, бойға таратады және оның бір бөлшегіне ұқсас басқа бөлшегін жасап, сонымен байланыстырады. Бұл «Метеорологиядағы» төртінші пікірден, анатомиямен айналысқандардың бірауызды пікірі мен бақылауынан және дәстүр бойынша пайдаланылатын ақиқатты дәлелдеуден келіп шығады. Бұдан барлығы жануарлардың денесіндегі табиғи жылылық пен пневманың қайнар көзі болып табылатын жүрек екенін дәлелдейді. (2) Жүректе тамыр соғатын жолдарда кездесетін, жүректен әрбір бөліктерге тартылған, өзінің үздіксіз бастауын жалғастыратын [бөліктер] бар. Өйткені, жүректе оған тән үлкен жылу, ал оның қуысында пневма бар. Бұл пневма қатты қызуды қабылдай отырып, сол сияқты жалынға айналып жүрек жылуымен қыздырылады және осыған байланысты басқа мүшелерге тартылған тамыр соғатын жолдар арқылы жүректен әр мүшеге табиғи жылу бере отырып аға бастайды. Сондықтан жүрек жылуы әрбір мүшеге сай және барлық мүшелер үшін ортақ болуы тиіс. Егер жүрек жылуының қандай да бір мүшеге берілген бөлігі басқа мүшеге берілсе, онда ол біріншісі сияқты соңғысына да сәйкес келер еді. (3) [Бұл табиғи жылылық] оған басынан бөлінген табиғи жылылықпен араласып кетсе онда бұл мүше үшін ерекше болады. Егер жылудың қандай да бір бөлігі бойына сіңсе, онда оған пневмадан аққан жылу сіңген жылудың орнын толтырады. Бұл құбылыс пештің моншадағы оттың жану жолдары арқылы ағуын бақылап және оның соңғы нүктесіне дейін жетіп, әрбір мекен-жайдың өз жылу үлесін алуын еске түсіреді. Пневма лепке ұқсас. Бұл қан тамырларының кеңею, тарылу шамасында ғаламнан ескен желдей қап тамыры арқылы екпіндеп аққан от сияқты. Минералды заттарды балқытып, тазалайтын көптеген осыған ұқсас балқыту пештері жұмыс істейді. Оларға үлкен оттық соғылып, каналдар жүргізіліп, осы каналдарға жалғастырылған қазандықтар және көрік басуға арналған ошақтар құрылады. От жағылып, оның жалыны осы каналдар мен қазандықтар арқылы аға жөнеледі. Тамақ дайындауға арналған пештер де осыған ұқсас әрекет етеді. (4) Жүректен басқа әрбір мүшеге басынан бастап бөлінген табиғи жылылыққа әр мүшеге қан тамырлары арқылы пневма атқаратын табиғи жылылық көмегімен іске асырылатын қайнату, дайындау, асыра пісіріп жіберу әрекеті жеткіліксіз екені түсінікті. Бұл - жаратылысынан және жүрекке табиғаттан берілген біршама бастапқы күш. Бұл жүректен басқа әрбір мүшені жылумен жабдықтайтын, ол мүшенің жылудың көмегімен іске асыратын әрбір қимылы арқылы жылуды теңестіретін күш. Бұл - басқа мүшелердің көмегімен дайындап, мүшелерге тарататын жылудың саны мен сапасына қатысты шамасын анықтап және тепе-теңдігін қалыптастыру кезінде оның негізінде болатын жылуды қолданатын күш. Осыдан жүрек жылуы басқа мүшелердің әрқайсысына сай келетін жылылық екені түсінікті. Бұл - барлық мүшелерге ортақ жылылық. Жүрек басқа жылуға қарамай-ақ, осы өзінің жылуына қанағаттанады. Әрбір мүше өз жылуын теңестіру үшін оған мұқтаж болады. Сірә, басқа мүшелерде бар күштің оларда бар жылылық мөлшерін күшейтуі жеткіліксіз, соның арқасында олар өз әрекетін іске асырады. Осыған байланысты екі мүшеге де тән

құнарландырушы күш тағамды дайын болғанға дейін жеткізуде пайдаланатын өзінше теңесуге қабілетсіз, өйткені дене жылылығының қайнар көзінде орналасқан жылу мүшелердегі жылуды өз бетінше бөле алмайды, тек әр мүшеде аз да емес, көп те емес [сан мен сапаның] мөлшерін күшейтеді. (5) Түрлі қазандықтардағы ас дайындау үшін талап етілетін және оны дайын болғанға дейін жеткізетін оттықтағы жылу оның іс-әрекетін басқарып, сол тағамға қатысты біркелкі сан мен сапа бойынша жылуды пайдаланады. Сол не басқа қазандықта пайда болған жылылыққа сәйкес және ас дайын болғанға дейін қажет оттықтан от алынады, оттықтан от алынып, бұл қазандықтағы жылу арқылы жасанды күштің көмегімен оны аспаз басқарады, тура сол сияқты жүректен басқа мүшелерде пайда болып, дайын болуға жақын тағам түрлері қан тамырларының көмегімен жүректен басқа мүшелерге пневма арқылы жеткізіледі. Ондағы күш жаратылысынан бар; ол сол мүшелердегі жылудың іс-әрекетін басқарады және қан тамырларының кеңеюі мен тарылуына байланысты тағамды дайын қылады. (6) Пневма сол арқылы басқа мүшелердің ішіне кіреді. Кей жағдайларда өнер мен табиғат арасында өзгешелік болмайды, себебі екеуі де оларға арналған қан тамырларына дайын болғанға дейін жеткізу үшін жылуды пайдаланады [ештеңе]. Бірақ өнер арқылы қолданылатын жылылық денеге сырттай [бағытталған] өнерде әрқашан басқа денеде болады, ал табиғатта қолданылатын өнер денеде әрқашан бола бермейді, көбінесе ол сол бір денеде болады. Табиғаттың әсер етуі, жүректің басқа мүшелерге әсер етуіне ұқсас. (7) Өз тіршілігінде маңызды жетістікке жеткен жүректегі бұл күш оның табиғаты мен формасын құрайды. Дәл соның өзі қан тамырларына жіберіліп, олар оны жүрек қуысына қайтарады; бұл тамыр жолдары қысылғанда, оның әрқайсысында бар табиғи жылылық басқа мүшелерді қыздырады. Басқа мүшелерге келіп түсетін табиғи жылылық табиғи денеде пайда болатын акциденция болып табылады. Табиғи денедегі акциденция тіршілігі оның табиғаты болып табылатын осы дененің нысанына байланысты. Акциденция ешқашан бұл дененің нысанынсыз тіршілік ете алмайды және соның арқасында бұл дене субстанцияланады. Бұл бірінші әрекет етуші [жүрек] «Пайда болу және жойылу» кітабының екінші бөлімінде түсіндірілгендей құрал [іc-әрекет] ретінде ыстық пен суықты пайдаланады. Жүрек пайдаланатын жылылық - табиғи дене болып табылатын жүректегі акциденция. Тура сондай әрбір дене жылылықты өз іс-әрекетінің қайнар көзі ретінде пайдаланады. Ондағы бар жылылық оның мәнді формасы. Соған байланысты күштен басқа жүректен шығатын әр мүшеде өзіне тән күші, атап айтқанда мәнді субстанцияланатын оның табиғаты болады. (8) Жүректен [шығатын күштен] басқа мүшелердегі әрбір күшке келсек, бұл мүшелер пайдаланатын жылылықтың әрекетін басқарумен байланысты емес. Сонымен қатар одан шығатын іc-әрекет үшін қажетті шара қолдану жеткіліксіз. Ол өз мәнінің әрекетін басқарады және жүрек күшіндегі әрекетінің басы болып табылатын оған сай шара қолданады. (9) Басқа күштерге келер болсақ, оны бірыңғай, біркелкі қылып алып, кейін пайдаланады. Оның жылылыққа деген мөлшерінің әрекеті жүректегі күшке байланысты екені түсінікті.

Сондықтан жүректен басқа мүшелердің күші жүректегі күшке байланысты болады. Өз әрекетіне байланысты қандай күш болса да қандай да бір басқа күштің әрекетіне байланысты болып, осы күшке қызмет етеді, ал соңғысы басты сапасы ретінде алға шығады. Жүректен басқа барлық мүшелерде қоректенуші күш оларды азыққа айналдырып, мүшелердің жылуға қажетті мөлшерін қосатын күшке қызмет етеді. Соңғы күш негізгі қоректенуші күш болып табылады. (10) [...] Егер мүше зорлықпен жұмыс істеп, онда оның субстанциялизациялануына байланысты әрекеті мен мәні жүрек жақтан басқарусыз қалса, асты қорытпай, [оны] тек зорлықпен дайын болуға дейін жеткізеді, сонда ол ондағы [қарымды] мүмкіндікті [... ] қалай іске асырады. Егер ол қарапайым болса, онда оны қабылдау мүмкіндігінен басқа екінші жағы болмайды. Сонымен бірге бұл оның мәні болып табылады да оны қабылдау мүмкіндігін тұтастай қамтамасыз етеді. Ал егер оның субстанциясынан басқа ештеңе жоқ болса, онда өзінің субстанциясының арқасында ол тиімді болады, ал субстанция болса оның табиғаты. Яғни ол өзінің табиғатынан тиімді болып табылады. Іс бұлай болғанда, оның ықпалына мәжбүр болып, оның меншігіне жатпайтын басқаруды қалайды. Ол қоректенбейтін күштерден басқа [тіршілік етушілердің] үстінен басқармайды, оған табиғатынан қызмет етеді. Сондықтан, күре тамырдың тамыр соғу мүмкіндігі бар күш тәндік субстанциядағы ең негізгі қоректендіруші күш болып табылады. Ендеше, жүрек өз субстанциясы бойынша қалай қоректенсе, сол мөлшерде негізгі мүше болады. (11) Ары қарай тамақтанудың мақсаты - денсаулық; дайындау, қайнату және даяр болғанға дейінгі жеткізу мақсаты - онымен қоректенуде. Тағамды баптайтын жылылықты теңдестірудің соңғы мақсаты - денсаулық. Әрбір дене мүшесіндегі өз қайталанғыштығы жеке-дара барлық әрекет бұл дене мүшелеріндегі денсаулықты сақтауды мақсат етеді. Барлық дене мүшелеріндегі қайталанғыштығы жеке-дара әрбір әрекеттің сол денеге не басқа мүшелеріне қатысты жалпы, әмбебап мақсаты бар. Мұның ең ақырғы мақсаты - барлық дене мүшелеріне жалпы, әмбебап денсаулық, яғни тұтас алғанда тәннің саулығы. Егер әрекет ету өзінің жекелігімен және жалпылығымен жылу жағдайына байланысты болса, онда жылылықтан пайда болатын, ерекше әрекет ету мақсаты қай мүше болмасын жеке мақсат болады, ал оның сол не басқа мүшелер үшін ерекше емес, жалпы жылылықтан пайда болатын әрекет ету мақсаты тұтас алғанда тән үшін жалпы болып табылады. (12) Әрбір мүшеде бар және сол мүшеде ерекше болып табылатын шамадан тыс пайда болатын жылылыққа келер болсақ, одан басқа ештеңе бұл жиналған жылылықты пайдалана алмайды, қоректенудің соңғы мақсаты болып табылатын денсаулық сол дене мүшелеріне ғана ерекше болады. Әр мүшеде бар жылылықты пайдаланушы да соның арқасында әрекет етуші де, ондағы күштің арқасы. Сондықтан, қайнар көзден алатын, жалпы жылылықты пайдаланушы жүрек күшінің барлық дене мүшелеріне ортақ мақсаты, дәл айтқанда онда не бар соның жиынтығы. (13) Ондағы ерекше жылылықты пайдаланатын әрбір мүшедегі күш - ерекше жеке акциденция және жүректегі күш мақсатының жиынтық бөлігі. Әрекет ету мақсаты басқа күш бөлігін құрайтын барлық күш өз ісі арқылы сол басқа күшке қызмет етеді. Әрбір күш

өз мақсатымен белгілі акциденция болып табылады, егер оның мақсаты басқа күштің әрекет ету мақсатын құраса, онда ол өз ісімен осы басқа күшті басқарады. Егер қан тамырларының соғуы арқасында, дәлірек айтқанда жүректегі күш басқа мүшелердегі күшке осындай қатынаста болса, онда басқа қатынастағы қоректенуші күштерді өз ісімен басқарады. Ары қарай әр мүшедегі күштің әрекеті осы әрекеттің арқасында қол жеткізген мақсатқа бағытталады. Жүректегі күш өз іс-әрекетімен оны сол мақсатқа басқа нәрсенің бағыттағанына мұқтаж емес. Ол үшін [жүрекке] әрекет оның мақсатқа бағытталғанын қажетсінбейтін акциденция. Жүрек паң, ал барлығы оған мұқтаж. Олай болса, ол өзін қажет қылғандардың ішінде бастысы болып табылады. (14) Қан тамырларын қозғалысқа келтіретін күш қоректенуші мүшелерді басқарудағы жүректің орны жайлы айтып кеткеніміздей, басты қоректенуші күш болып табылады. Жүректің орны басты орында. Оның жағдайын анықтау үшін оны бауырмен бір қатынаста зерттеу керек. Ал бауырдың жағдайын басқа қоректенуші мүшелермен қатынаста зерттеу [қажет]. Бауыр екі әрекетті іске асырады дедік: оның бірі - тамақты қорыту және барлық дене мүшелері қоректенетін материяға айналуы үшін дайын болғанға дейін жеткізу; екіншісі - оған тән тағамды дайындау және онымен өзі қоректену үшін дайын болғанға дейін жеткізу. Бұл екі әрекет те сол үшін жүректі жұмсартып, теңестіретін біркелкі жылылықтың арқасында іске асады. (15) Бауырдың әрекеті осы жылылыққа байланысты; соның арқасында олар біркелкі болып, бауырдың осы жылылық үшін басқа салқындатылған мүшелерін теңестіру кезінде жүрек жылуын пайдаланатын күш мөлшерін алатын мақсатқа бағытталады. Сондықтан бауырдың әрекеті оның біркелкілігі және теңгермелілігімен жүректе орналасқан күшке байланысты мақсатқа бағытталады. Жүректің бауырға қатынасына ұқсас әрбір күштің басқа күшке қатынасында осы күштің басы ретінде іске кіріседі, өйткені жүректегі күш бауырдағы күштің басы болып табылады. (16) Бауырға тән әрекеттер барлық дене мүшелері үшін [тағам] дайындаудан тұрады: одан тағам сол не басқа мүшелерге созылып жатқан қан тамырларына келіп түседі. Содан кейін оны қайта пісіріп, басқа мүшелер дайын болғанға дейін жеткізеді. Ары қарай әрбір мүше тұтас алғанда осы мүшелердің бір бөлігі болғандықтан ондағы ерекше жылылық пен дайындық дәрежесіне сай келеді. Бұл барлық мүшелерге ортақ, екінші тағам қайнатылатын кәдімгі қазан болғандықтан да. Онда тамақ пісірілгендіктен де жылылық бар. Бірақ бұл жылылық басқа бір нәрседен шыққандықтан, біркелкі болады. Оның жағдайы оған тағам дайындау үшін аспаз қажетті жылылық беретін табиғи қазанның жағдайымен ұқсас. Жүректің жағдайы қазанға тағам дайындау үшін қажетті жылылықты беретін аспаздың жағдайымен ұқсас. Ол сонымен қатар барлық мүшелерге ортақ бірінші тағамды басатын асқазан мен жоғарғы ішек жағдайына да ұқсас. Оның тағам дайындауына қарап оның жағдайы аспаз ас дайындайтын қазанның басты жағдайына ұқсас екенін білеміз, тек оның басымдылығы мен қызметі бауырдағы күшке байланысты. Аспаздық өнердің жәрдемімен қайнатылатын көптеген заттарды қазаннан қазанға, немесе пештен пешке, не құмырадан құмыраға ауыстыратын кездер де болады. Сол

сияқты көптеген қайнатылатын заттар табиғатынан жануарлардың тағамы асқазаннан ішекке, ішектен бауырға ауысатыны сияқты ауысады. (17) Қазандардың ешқайсысы одан ауысатындарға да, оған ауысатындарға басымдылық таныта алмайды. Бауырдың тағамды дайындайтын күшінің арқасында басымдылығы болса да, асқазан мен бауырдың да жағдайы осындай. Асқазан мен ішек те басымдылыққа не және ол болғанның өзінде, ондағы тағамдардың үстінен басымдылық көрсетеді онда бұл басымдылық емес, қызмет десек те болады. Бауырдың неге қызмет ететіндігіне қарасақ тура сол сияқты. Бірақ ондағы басымдылық тамақты дайын қалпында жеткізілуінің арқасында қан тамырларының жылылығына мөлшер қосады. Жалын оларда соңғы тұтану болып табылады. Қазандықтар қыздырылатын жалын жүректен тамыр соғатын жолдар арқылы ағатын пневмаға сәйкес келеді. Қайсысы болса да жылылық басым болатын - ауаға жатады. (18) Жылылықты теңестіру мақсаты үздіксіз бірігу мен мүшелердің формасының сақталуынан тұрғандықтан, ортақ тағам дайын болуға дейін жеткізіліп, қан тамырлары арқылы сіңсе, соның арқасында тағам барлық мүшелерге ортақ болады... Біріншісі - асқазан мен ішектерде, екіншісі - бауыр мен ұлтабарда сіңеді... Жалпы жылуды пайдаланатын күш - бұл жалпы, соңғы күш болып табылады. Бауырдағы күште осындай және ол соның арқасында соңғы мақсатқа жету үшін жалпы емес, ерекше жылылықты пайдаланады. Ол өзінің әрекетін соңғы мақсаттарға бағыттайтын қажеттілікті байқап, соның арқасында іске кірісетіндіктен, жылылықтың бірыңғайлығын керек етеді. (19) Осылардың бәрінен оның әрекеттен шығатын күшке қызмет ететіні және бұл күштің басымдылығы сөзсіз келіп шығады. Тап осы күш - жүректегі күш. Оның мақсаты қандай да бір қоректенуші күштің мақсатымен сай келмейді және оның көмегімен қандай да бір мақсатқа жету қажет емес. Басымдылықтың әрбір түрі мынандай: үйде басқарылатын басымдылық, тәніңді басқаратын басымдылық, әлемді басқаратын басымдылық, осылардың бәрі бір басымдылық идеясына бағынышты, яғни бір-бірін қолдап, көмектесетін байсалды әрекеттің арқасында біркелкі, бірқалыпты бастаулар беріп, соңғы мақсатқа бағыттайды. Әлем бөліктеріне келсек, олардың арқасында әлем жетілген, жүйелі болмысқа ие болады. Үй мен қаланы құрайтын азаматтарға келсек, олардың арқасында үйлер мен қалаға халық тұрақтанып, азаматтар бақытқа жетеді. Тән бөліктеріне келсек, солардың арқасында барлық тәнге денсаулық беріледі. (20) Басшы басқа біреу қажетсінген бұл түрдің өзінде болғанына масаттануы [керек]; ол бұл затты өзі иемденуі тиіс және бұл зат одан басқа біреуге қалу керек; ал басқа біреу оны қабылдауы керек. Басымдылықтың барлық атрибуттары тамырдың соғуына әкелетін жүректе болады. Аль-Фараби. Естественно-научные трактаты. Алма-Ата: Наука, 1987. С. 147-166. Аударған: Ж.Ошақбаева.

ҒЫЛЫМДАР ТІЗБЕГІ /1/ (математика) ҮШІНШІ ТАРАУ МАТЕМАТИКА ҒЫЛЫМЫ ТУРАЛЫ /2/ Бұл тарау жеті үлкен бөлімнен құралған. Біз оларды кітаптың бас жағында санамалап тізіп айттық. Сандар ғылымы /3/ Сандар туралы ғылым дегенде қолданбалы сандар және теориялық сандар деген екі ғылымды ұғынамыз /4/. Қолданбалы сандар ғылымы мүмкін болғанша сандардың мөлшерін анықтауға қажет санамалық сандарды зерттейді. Мысалы, адамдар саны, жылқылар, динарлар, дирхемдер саны және басқа заттардың сандары. Адамдар осы ғылымды базарлық және азаматтық істерде пайдаланады. Теориялық сандар ғылымы сандарды денелерден ойша оқшаулап дерексіздендіріп, оның саналуға тиістілерінің барлығын абсолюттен мағына бойынша зерттейді. Бұл ғылым заттардың сезім бойынша қабылданып саналуға тиістілерінің барлығының дерексіздендірілуімен қатар, сан бұл арада сезім арқылы қабылданатын және қабылданбайтын заттардың барлығы үшін ортақ болып қалады. Осы ғылым барша ғылымдарға етене енеді /6/. Сандардың теориялық ғылымы сандарды олардың жеке-дара мәндеріне тән нәрсесінің барлығын ескеріп, біреулерінің екіншілерімен ара қатынасын анықтамай-ақ, мысалы, бұларға тән жұп және тақ 111 секілді, олардың ара қатынасын анықтаған кезде теңдік және теңсіздік секілді, бір санның өзге санның бір немесе бірнеше үлесіне тең болуы, немесе оған еселік, немесе тең болатыны секілді, немесе одан бір не бірнеше үлеске артық болуы секілді /8/, пропорционал және пропорционал болмайтындығы, ұқсас немесе ұқсас болмайтындығы 191, өлшемдес /10/ немесе өлшемдес еместігі /11/ ескеріліп зерттеледі; Бұл жайттар екі санның біреуіне екіншісін қосқан кезде және біреуінен екіншісін шегерген кезде, бір санды басқа санның өлшем бірлігінің еселігі /12/ ретінде қабылдағанда, санды өзге санның өлшем бірлігіне бөлген кезде, мысалы, егер сан квадрат, жазық /13/ немесе денелік /14/, кемел немесе кемел емес /15/ сандар болған жағдайларға тән. Жалпы алғанда, бұл ғылым сандардан туындатып алуға болатындардың барлығын түгелдей табу туралы ғылым. Геометрия ғылымы /16/ «Геометрия ғылымдары» деген атаумен қолданбалы геометрия және теориялық геометрия /17/ деген екі ғылымды ұғынамыз. Егер ағаш ұстасы ағаш денені пайдаланатын болса, егер темір ұстасы темір денелерді, егер тас қалаушы тас денелерді, жер бетін және егіндіктің ауданын өлшеумен жер өлшейтін адамдар айналысса, қолданбалы геометрия осылардағы сызықтар мен беттерді қарастырады.

Қолданбалы геометрияның маманы осыған ұқсас сызықтар мен беттерді, квадрат, дөңгелек және үшбұрышты денелерді /18/ осы қолданбалы өнердің заты болып табылатын материясы ретінде көз алдына елестетеді. Теориялық геометрия сызықтарды, беттерді және денелерді барлық денелер жазықтығы үшін мүлдем жалпылама қарастырады. Теоретик дененің қандай екенін ойша елемей, оған жалпылама түрде қарайды. Ол жазықтықты, квадратты, шеңберді және үшбұрышты жалпылама қарастырады да, бұл денелердің қандай екеніне, оның материясының нендей болатынына және оның қалайша түйсінілуіне мән берілмей, тек оны абсолюттік мағынада ағаш, кірпіш немесе темір ретінде емес, жалпы геометриялық дене ретінде қарастырады. Бұл ғылым барлық ғылымдарға дариды /20/. Осы ғылым сызықтардың, жазықтықтардың және денелердің барлық пішіндерін (формаларын), шамаларын, теңдігі мен айырмашылығын, бұлардың пішіндерінің түрлерін, реттілігін, өзге де әлгілерге тән болатын барша нәрселерін, мысалы, нүктелері мен бұрыштарын т.б. зерттейді. Бұл ғылым пропорционал және пропорционал емес шамаларды, бастапқы берілген мәліметтерді және өзгедей берілмеген мәліметтерді, өлшемдес және өлшемсіз шамаларды, рационал және иррационал шамаларды және бұлардың түрлерін зерттейді /21/. Бұл ғылым салуға болатын нәрселерді қандай тәсілмен салу керектігін, анықталатын нәрселердің қандай тәсілмен анықталатынын түсіндіреді. Бұл ғылым осылардың барлық себептерін бізге ешқандай күмән тудырмайтын шын (анық) мәлімет беретін дәлелдемелер арқылы түсіндіреді. Геометрияның қарастыратыны осылар. Геометрия екі бөлімнен құралған. Бір бөлімі сызықтар мен жазықтықтарды, ал екінші бөлімі денелерді қарастырады. Денелерді зерттейтін бөлім денелердің түрлеріне сәйкес: куб, конус, сфера, цилиндр, призма, пирамидаға /22/ бөлінеді де осылардың барлығын екі қырынан қарастырады: біріншіден, бұлардың әрқайсысы өз бетінше, мысалы, сызықтар өз бетінше, беттер өз бетінше, куб өз бетінше және конус өз бетінше жеке қарастырылады; екіншіден, бұларды және бұлардың салдарын біреулерін екіншілеріне қатысты, біреулерін екіншілерімен салыстыру тәсілімен зерттейді; соның нәтижесінде геометрия осылардан шығатын теңдік пен айырмашылықты және біреулерін екіншілерімен белгілі ретпен бірге, мысалы, сызықты бетке, бетті денеге немесе бетті бетке, немесе денені денеге орналастырып қарастырады. Геометрия мен сандарға арналған негіздер, бастамалар және осы бастамалардан туындайтын басқадай да нәрселер бар екенін білуіміз керек /23/. Сонымен қатар бастамалар шектеулі, ал бұлардан туындайтындар шектеусіз болады. Пифагоршы Евклид /24/ жазған кітапта геометрияның негіздері мен сандар (бастамалары) баяндалған. Ол «Негіздер кітабы» /25/ деген атпен белгілі. Бұл негіздер талдау (анализ) әдісі және синтездеу деген екі әдіспен зерттеледі. Ежелгі математиктер өздерінің шығармаларында екі әдісті үйлестірген. Евклид өз кітабын тек синтездеу әдісімен /26/ ғана құрған. Оптика ғылымы /27/

Оптика ғылымы геометрия ғылымы секілді кескіндерді (формаларды), шамаларды, реттілікті, орналасу қалпын, теңдікті, айырмашылықтарын және басқаларын қарастырады, бірақ та геометрия сызықтарды, беттерді және денелерді абсолют мағынасында қарастырады. Геометрия пәні едәуір жалпылама пән. Бірақ та оптика ғылымы геометрия енетіндердің бәріне енетіндігіне қарамастан, оны жеке ғылым ретінде қарастыру қажет болған, оның себебі: геометриядағылардың көпшілігінің міндетті түрде белгілі бір күйі, кескіні, орналасу қалпы және реттілігі болады, қарастырылу кезінде қарама-қарсы күй қабылдайды; шындығында, төртбұрыш болатын нәрсе белгілі бір қашықтықтан байқалатын болса, ол дөңгелек тәрізді болып, біртұтас (үздіксіз) нәрсе үзік-үзік (үздікті) болып, әр гүрлі нәрселер бірыңғай болып, бір жазықтықта орналасқан көптеген нәрселердің кейбіреулері тіптен аласа (қысқа), ал кейбіреулері барынша биік (ұзын) болып, алдынғы жақта орналасқандарының көпшілігі, соңғы жақта (артында) орналасқан болып, т.б. жағдайларда байқалады. Оптика арқылы нақты байқалатын көріністер елес болып көрінетіндерден ажыратылады әрі дәлелдемелер негізінде бұрмаланушылықтың себептері түсіндіріледі, көз алдамшылардың бәрі аталып айтылады, байқалушы нәрселердің ақиқаттысына көз жеткізуде ұшырасатын пішіннің, өлшемнің, орналасу қалпының, реттілігінің бұрмалануын жоюға (болдырмауға) бағытталған жасанды тәсілдердің түрлері түсіндіріледі. Адам осы өнердің арқасында тікелей баруға қиындық туғызатын жерлерде орналасқан заттардың өлшемдері мен шамаларын, олардың қашықтығын, бір зат пен екінші заттың арақашықтығын, мысалы, ағаштардың биіктігін, қабырғалардың ұзындығын, аңғарлар мен өзендер арналарының ендерін анықтай алады. Осы өнердің жәрдемімен өздеріміз тұрған жерден аспандағы бұлттарға және басқа заттарға дейінгі биіктікті (арақашықтықты) анықтауға болады, және жердің кез келген орнына қатысты аспан денелерінің арақашықтығын және олардың параллакстары /28/ бойынша әлгі денелердің өлшемдерін анықтауға болады. Бір сөзбен айтқанда, кез келген анықталушы шамаларды - өлшемдерді немесе басқа бір нәрселерден қашықтығын анықтауға болады, тек оларды көзіміздің шоли алуы қажет, кейбір жағдайларда қателіктерге жол берілмес үшін аспаптар пайдаланылады, ал өзге жағдайларда қолданылмайды. Байқалатын және көрінетін нәрселердің барлығы біздің көзімізді байқалушы нәрсемен байланыстырушы - ауадан немесе мөлдір де¬неден өтетін сәулелер арқылы көрінеді. Мөлдір денелер арқылы өтіп бақыланатын нәрсеге түсетін сәуле, не түзу сызықты таралған немесе иілген, немесе шағылысқан, немесе сынған күйдегі сәулелер болады. Түзу сызықты таралатын сәуле - көзден шығып /29/, таралып сейіліп кеткенше көру бағытында түзу сызық бойынша таралушы сәуле. Иілген сәуле - көзден шығып таралу бағытында жол-жөнекей өзінің түзу сызықты бағыт бойынша таралуына бөгет жасайтын әрі оны бұратын айнаға кезігіп, оның екінші жағына иіліп өтіп, кез кел¬ген бағытқа бұрылып таралатын сәуле. Осы сәулені айнаның қарсы беті, бақылаушы орналасқан жаққа қарай бұратын болады. Бұл жайт [2-суретте] көрсетілген.

Шағылысушы сәуле - бақылаушының көзінен шығып, айнадан өзінің бастапқы таралу бағытына қарай кері қарай қайтып, бақылаушының көзіне ілігетін сәуле. Бақылаушы осы сәулені көреді.

Сынушы сәуле - бақылаушының көзінен шығып, айнадан бақылаушы жаққа қарай кері бұрылатын сәуле, бұл сәуле айнадан кез келген бүйір жаққа бұрылып затқа немесе бақылаушының ту сыртына, немесе оның оң жағына, немесе сол жағына, немесе бақылаушының төбесіне түсетін болады және де кісі өзінің ту сыртындағы немесе әйтеуір бір бүйір жағында орналасқан нәрсені байқайды. Бұл жайт мына суреттегідей жүзеге асады. [3-сурет]

Затты көруге арналған орта: ауа немесе су, немесе аспан денесі, немесе әйнектер т.с.с. құрастырылған дене және айна жалпы алғанда мөлдір дене болып табылады. Айна немесе темірден ия өзгедей металдан жасалған айна немесе аумақта аймақтағы ылғалдың бұлануы, немесе су айдыны т.б. сәулені шағылыстырады, немесе өз бағытымен таралатын сәулеге бөгеуіл жасайды. Сонымен, оптика әлгі айналардың әрқайсысынан осы төрт сәуле түрімен көрінетін, сонымен катар бақыланатын затқа тән нәрселерді зерттейді. Ол екі бөлікке ажыратылады: алғашқысы - түзу сызықты сәуле арқылы бақыланатын нәрселерді зерттесе, екіншісі - түзу емес сәуле арқылы зерттеледі - бұл айна туралы ғылым саласы болады. Жұлдыздар туралы ғылым «Жұлдыздар туралы ғылым» деген атаумен екі ғылымды түсінеміз: алғашқысы - шырақтардың бағамдауы (жұлдыздардың «үкімдері» жайындағы) жайлы ғылым, бұл болашақта нендей жағдайлардың болатынын, қазіргі болып жатқан жағдайлардың бір қатарын, ертеде қандай жағдайлардың болғанын меңзейтін ғылым; екіншісі - математикалық астрономия, бұл ғылымға да, математика ғылымына да жатады, алғаш аталған ғылым тәсілқойлыққа да, кәсіпке де жатады, осылар арқылы адам түс көруді жори алады, нелер болатынын көз алдына елестете алады, құстардың ұшуы бойынша болжам айта, осыларға ұқсас тәсілқойлықпен балгерлік те айта алады /30/. Математикалық астрономия аспан денелері мен Жерді үш бағыт бойынша зерттейді: біріншіден, олардың пішіндері, біреулерінің екіншісіне қатысты орналасуы, бұлардың әлемдегі реті, олардың шамалары мен көлемдері және бірінің екіншісіне қатынасын, Жер, жалпы алғанда өз орнында да, өз орнында тұрғанда қозғалмайды /31/ деп есептеліп аспан денелерінің біреуінің екіншісінен қаншалықты қашықта орналасқаны анықталады. Екіншіден, бұл ғылым аспан денелерінің қозғалысын, олардың нешеу екенін анықтайды, сонымен бірге бұлардың барлық қозғалыстарының сфералық қозғалыс болатынын дәлелдейді, бұлардың қайсысы шырақтар және қайсысының шыраққа жатпайтындары үшін жалпы болатыны; мұнан әрі қарай әрбір жеке-дара шыраққа тән қозғалыстар, шырақтардың әрқайсысына осы қозғалыстар мен олардың бағыттарының неше түрі сәйкес болатыны, шырақтың әрқайсысына қай бағыттың сәйкес келетіні зерттеледі. Бұл ғылым әрбір шырақтың кез келген уақыттағы әр түрлі қозғалысының Зодиак /32/ белгілеріне сәйкес орналасқан қалпын анықтайтын тәсілдерді зерттейді, бұл ғылым, мұнымен бірге, барлық аспан денелерін және бұлардың әрбіреуіне жеке-дара нелердің тән болатынын; бұл ғылым әлгілердің эклиптикаға орналасу қалпына сәйкес тән болатын қозғалыстарды, бұларды өзара салыстырғанда нелердің туындайтынын, атап айтсақ,

олардың қосылуы (бірігуі), жақындасуы, алшақтауы және бір-біріне қатысты әр түрлі қалыпта болуы түсіндіріледі /33/. Бұл ғылым әлгілердің қозғалыстарынан, оларға қосымша бұлардың Жерге қатысты орналасуынан туындайтын, мысалы, Күннің тұтылуы секілді құбылысты, Жердің әлемдегі орнына байланысты туындайтын, мысалы, Айдың тұтылуы және осылардан туындайтын (өзге де) құбылыстар, Күннің шығуы мен батуы т.т. олардың нешеу екенін, бұлардың қандай жағдайларда және қай уақыттарда пайда болатыны әрі қанша уақытқа созылатынын зерттейді. Үшіншіден, бұл ғылым Жерді адам тіршілік ете алатын немесе тіршілік етуге жарамсыз деген тұрғыдан зерттейді, оның тіршілік етуге қолайлы (жарамды) бөлігінің шамасын мөлшерлейді, оның аумақты бөліктерінің, яғни климаттарының /34/ нешеу екенін түсіндіреді, белгілі бір уақытқа сәйкес неше елді мекеннің жайғасқанын, әрбір елді мекеннің әлемдегі орны мен ретін санамалап тізеді /35/. Бұл ғылым әлемнің айналуынан әрбір климат және елді мекен үшін нелердің туындайтынын және Жердің өз орнынан қозғалмайтындығына байланысты күн мен түннің алмасуын, бұған шырақтың тууы мен батуын, күн мен түннің ұзақтығы және оның қысқаруын т.с.с. /36/ зерттейді. Осылардың барлығы аталған ғылымға жатады. Музыка туралы ғылым /37/ Музыка туралы ғылым әуен сазының (мелодия) /38/ түрлерін: бұлардың нелерден шығарылатыны, олардың не мақсат үшін шығарылатындығы, олардың сезімді баурағыштық әсерінің ықпалды болуы үшін, бұлардың қандай болуы қажеттігін зерттейді. Осы атау аясында екі ғылымды түсінеміз: музыка туралы қолданбалы ғылым және теориялық ғылым /39/. Музыка жайлы қолданбалы ғылымға табиғи және жасанды жолмен жасалған аспаптардан сезіміміз қабылдайтын әуен сазын шығару тән. Табиғи құралдар қатарына алқымымыздағылардың барлығы - көмей, тіл, сонымен бірге мұрын да жатады. Жасанды аспаптар - бұл флейта, лютня /40/ және басқалар. Музыкант адам әдетте әуен шығаруға арналған аспаптар арқылы үн (тон) /41/ және әуен, және де осыларға қатыстылардың бәрін шығарады. Ойша жорушылық сипаттағы музыка туралы теориялық ғылым тондар мен әуен саздары (мелодиялар) жайында және әуен сазының шығу себептерін, және мұның аспапқа, және кез келген материяға қатыссыз-ақ дерексіз түрде материямен байланыста болуы себепті оның неден шығарылатыны жайлы түсінік береді. Бұл ғылым материяны қай аспаптың және қай дененің шығаратын тәуелсіз көзі болуына байланыссыз жалпылама түрде есту сезіміміздің заты ретінде қарастырады. Музыка туралы теориялық ғылым үлкен бес бөлімге жіктеледі. Біріншісінде, бұл ғылымның өзіне нелерді қамтитындығын анықтау кезінде негіздер мен принциптер, осы негіздердің қалай қолданылатыны, бұл өнердің қандай тәсілмен зерттелетіні, осы өнердің қандай және неше бөліктен құралғаны, және оны зерттеушінің қандай болуы қажеттігі туралы сөз болады. Екінші бөлімде осы өнердің бөліктері жайлы, тондар шығару жайлы, бұлардың саны, сапасы жайлы әңгіме болады, бір тонның өзге тондарға қатысы түсіндіріледі және осылардың барлығы дәлелденеді. Бұл бөлімде сонымен бірге тондардың орналасуы мен

реттік түрлеріне түсініктемелер айтылады, осының нәтижесінде соңғы жайттың қажетті тондарды іріктеп (саралап) алуы мүмкін болу үшін, олардан әуеннің сазын тудыру мақсатымен үйлестіріледі. Үшінші бөлімде пайдаланылушы әр түрлі жасанды аспаптар туралы талқылаулар мен дәлелдемелер арқылы бөліктер (элементтер), оларды жасау туралы, ал бөліктерде [музыка туралы ғылымдар] олардың шамалары мен реттері бойынша орналастыру айтылған. Төртінші бөлім тондардың /43/ метрлік негізін құраушы табиғи ритмдердің (ырғақтардың) /42/ түрлеріне арналған. Бесінші бөлімде жалпы әуендер шығару (құрастыру), сонымен қатар белгілі бір тәртіппен әрі реттілікпен құрастырылатын поэтикалық (ақындық) сөздерге арналған кемел әуендер шығару, поэтикалық сөздерді әуеннің мақсатына орай пайдалану, әрі осы сөздер арқылы [жан дүниеге] әсерлігі күшті және де арнайы мақсатты көздеп шығарылатын әуендерді айқындау туралы сөз болған /41/. Салмақтар туралы ғылым Салмақ туралы ғылым салмақ жайындағы мәселені екі түрлі қарастырады. Біріншіден, бұл ғылым олардың шамаларын немесе осылар арқылы [өзгедей] шамаларды анықтау көзқарасы бойынша қарастырады. Бұл - таразылар /45/ туралы ілімнің бөлімдерін зерттеу болып есептеледі. Екіншіден, бұл ғылым салмақтарды олардың қозғалыстары немесе ол ардың әсерінен туындайтын өзге қозғалыстар көзқарасымен қарастырады. Бұл - механизмдер бөліктері арқылы ауыр заттарды көтеру және оларды бір орыннан екінші орынға тасымалдауды зерттеу болмақ /46/. Шеберлік тәсілдері туралы ғылым /47/ Шеберлік тәсілдер туралы ғылым - аталып өткен математикалық ғылымдарда талқылау және дәлелдеу тәсілдерімен дәлелденген бар нәрселерді табиғи денелерге сәйкестендіру әрі нақты түрде көрсету үшін қандай тәсілдің керектігі жайлы ілім. Осы ғылымдардың барлығы шын мәнісінде сызықтарды, беттерді, денелерді, сандарды және осыларға ұқсағандарды табиғи денелерден дерексіздендірілген ұғымдар ретінде қарастырады. Табиғи және түйсінерлік денелерден өнер арқылы алуға қажет болатындар байқалған және анықталған кезде оларды табуға мүмкіндік беретін күш қажет болады. Түйсінерлік денелердің және материалдық заттардың адамның қалауы бойынша дәлелденген математикалық ережелерді іс жүзінде қолдануға бөгеуіл келтіретін жағдайы болады, табиғи денелерге осы математикалық жағдайларды қолдану үшін оларды дайындау қажет, сондай-ақ бөгеуілді жою үшін тетіктер жасау қажет. Сонымен, шеберлік тәсілдер туралы ғылым [математиканы] іс жүзінде табиғи және түйсінерлік денелерге жасанды жолмен пайдаланудың әр түрлі тәсілдері мен әдістерін ұсынатын ілім. Шеберлік тәсілдердің біреуі сандық тәсілдер болып табылады, бұлар әр түрлі болады. Бұлардың қатарына қазіргі уақытта алгебра және алмукабала деп аталатын, және осыларға ұқсас /48/ ғылым жатады, бірақ бұл ғылым сандар үшін де, геометрия /49/ үшін де ортақ ғылым болып табылады; онда рационал және иррационал шамаларға арналған негіздер Евклидтің «Негіздерінің» оныншы кітабында айтылған сандарды табудың алуан түрлі жасанды әдістері бар, бұл Евклидтің кітабында сөз болмаған /50/.

Рационал және иррационал шамалар бір-біріне санның санға қатынасы секілді болатындықтан, әрбір сан шамасы бойынша рационал немесе иррационал шамаларға сәйкес болады. Егер сан шамасы бойынша кез келген бір шамаға сәйкес болса, онда қандай да бір тәсілмен осы шамалар анықталады. Сондықтан берілген рационал шамалар түрі үшін бір сандар рационал сандар, ал берілген иррационал шамалар түрі үшін басқалары иррационал сандар болып есептеледі /51/. Сонымен катар геометриялық көптеген шеберлік тәсілдері бар. Бұлардың арасында - құрылысты басқару өнері /52/, әр түрлі денелерді өлшеудің шеберлік тәсілдері /53/, астрономиялық және музыкалық аспаптар жасау, сонымен қатар көптеген қолданбалы өнерлердің аспаптарын, мысалы, садақтар және басқа қару түрлері бар /54/. Бұлардың арасында алыстан бақыланатын нәрселердің ақиқат қалпын анықтау кезінде айқындап көрсететін оптикалық аспаптар жасау шеберлігінің тәсілдері; айналар жасау, сәуленің бұрылуы, шағылысуы және сынуы, мұнымен бірге күн сәулесінің қайтып оралатын орнын анықтау (табу), өртеу (от тұтату) айнасын жасау және мұның шеберлік тәсілдері туындайды. Таразылардың /55/ және басқа көптеген кәсіптерге арналған аспаптардың керемет өнерінің шеберлік тәсілдері де осыған жатады. Осы тектестердің барлығы шеберлік тәсілдер ғылымын құрайды. Осылар денелерде, пішіндерде (фигураларда) орналасу қалпында, мысалы, құрылыс, ағаш ұсталық т.б. өнерлерде қолданыс табатын азаматтық қолданыс өнерінің негізі болып саналады. Міне, осылар математика әрі оның түрлері болып табылады. Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972. С. 17-36. Аударған: Н.Көбенқұлов.

«ӘЛМАГЕСКЕ» ҚОСЫМШАЛАР КІТАБЫ (тригонометриялық тараулары) /1/ І ТАРАУ Хордалардың және синустың қасиеттері туралы /2/ ABC - дөңгелек, оның ортасы (центрі) - Е, диаметрі - AC* [4 сурет]. Е нүктесінен тік бұрыш жасайтын ЕВ-ны сызамыз.

[4-сурет] AG доғасы берілген деп есептейік. AG сызығын және АС-ге перпендикуляр GD сызығын және ВЕ-ге перпендикуляр GH түзуін сызайық та, G және С-ні қосайық. Сонда AG сызығы - AG доғасының хордасы, GC - оның толықтырушысы болады, GD - AG доғасының синусы, GH - оның косинусы, DE сызығы - GH-қа тең, AD - AG доғасының жебесі; ВН - GB доғасының жебесі, GB - AG доғасының толықтырушысы, дөңгелекті ширек - бөлікке дейін толықтырушы, GBC доғасы АС-ні дөңгелектің жартысына дейін толықтырушы. Біздің түсіндірмек болғанымыз да осы еді. ІІ ТАРАУ Егер доғаның хордасы белгілі болса, доғаны толықтырушы хорданың шамаларын анықтау туралы /3/ ABC - дөңгелек, оның диаметрі - АС болсын [5-сурет]. Мұны берілген АВ доғасымен анықтайық, АВ және ВС сызықтарын сызайық. АВ хордасын берілген деп есептейміз. Сонда мен ВС хордасы да белгілі деп есептеймін. * Аудармашының ескертпесі Мұның дәлелдемесі. ABC бұрышы - тікбұрыш, себебі бұрыш жарты дөңгелекке іштей сызылған. Сондықтан АС-нің квадраты АВ мен ВС-нің квадраттарына (қосындысына) тең, егер АВ квадрат АС квадратынан шегерілсе, онда ВС квадраты [олай болса ол] белгілі. Сондықтан, оның түбірі, яғни ВС хордасы белгілі. Міне, біздің дәлелдемек болғанымыз осы еді. Әрбір хорданың дөңгелектің диаметріне қатынасы осы хорданың жарты доғасының синусының дөңгелектің жарты диаметріне қатынасындай болатынын ескереміз, сондықтан егер біз АВ сызығын D нүктесінде екіге бөлсек және DE түзуін сызсақ, мұндағы Е - дөңгелектің ортасы, олай болса, ВСА және DEA бұрыштарының теңдігінен DE түзуі ВС-ға параллель болады; AD түзуі - АВ доғасының жартысының синусы, сондықтан ВА-ның АС-ге қатынасы DA-ның АЕ-ге қатынасындай болады. Осыдан хорда мен диаметр арқылы кез келген есептеу әлгі доғаның жартысының синусы арқылы есептеуге әкеп соғады /4/. Біздің білуімізге тиісті осы болатын. ІІІ ТАРАУ Дөңгелектің ширек хордасының шамаларын анықтау туралы /5/

ABC - дөңгелек, Е - оның ортасы, AC - оның диаметрі болсын; тік бұрышпен ЕВ түзуін сызамыз [6-сурет]. А мен В-ні, В мен С-ні қосамыз. АВ және ВС доғаларының әрқайсысы дөңгелек хордасының ширек бөлігіне тең. Бұлар белгілілер деп пайымдайық.

[6-сурет] Мұның дәлелдемесі. АЕВ бұрышы тік бұрыш болғандықтан, АВ-ның квадраты АЕ мен ЕВнің квадраттарына (қосындысына) тең; АЕ мен ЕВ сызығының әрқайсысы жарты диаметр, сондықтан бұлардың квадраттарының қосындысы белгілі, олай болса, оның түбірі, яғни АВ хордасы да белгілі. Біз осыны дәлелдеуді қалаған едік. Осыдан дөңгелектің ширек хордасының квадратының екі жарты диаметрдің квадраттарына (қосындысына) тең болатыны анық болып отыр. Диаметрдің квадраты төрт жарты диаметрдің квадратына (қосындысына) тең, себебі АС-нің квадраты - АВ мен ВС-тің квадраттарына (қосындысына) тең, сондықтан АС-нің квадраты төрт АЕ-нің квадраттарына (қосындысына) тең. Бұл жайт суреттен де айқын байқалады. ІV ТАРАУ [Дөңгелектің] хордасының үштен бір бөлігінің шамасын анықтау туралы ABC - дөңгелек, AC оның диаметрі болсын. Жарты диаметрге тең ВС-ті сызайық; бұл хорда дөңгелектің алтыдан бір үлесіне тең [7-сурет]. АВ-ні сызамыз. АВ хорда дөңгелектің үштен бір бөлігіне тең және ол белгілі деп пайымдайық.

[7-сурет] Мұның дәлелдемесі. ABC бұрышы - тікбұрыш, себебі ол жарты дөңгелекке іштей сызылған, сондықтан АС-ның квадраты АВ мен ВС-нің квадраттарына (қосындысына) тең; АС-нің квадраты белгілі және дөңгелектің алтыдан бір бөлігіне тең болатын ВС-нің де квадраты белгілі, сондықтан АС-ның квадратының қалдығы болатын АВ-ның квадраты да белгілі; сондықтан мұның түбірі, яғни АВ хордасы да белгілі. Біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын. Осыдан, хорданың үштен бір бөлігінің квадратының үш жарты диаметр квадраттарына тең болатыны түсінікті, себебі диаметрдің квадраты төрт жарты диаметрдің квадраттарына тең, ал ВС хорда диаметрдің жартысына тең; егер АСден ВСнің квадраты шегерілсе, онда жарты диаметрдің үш еселенген квадраты қалады, бұл АВ хордасының квадратына тең 111. V ТАРАУ Дөңгелектің хордасының оннан бір және бестен бір бөлігінің шамаларын анықтау туралы /8/ ABC - жарты дөңгелек, Е - оның ортасы, AC - оның диаметрі болсын [8-сурет]. ЕВ - АС-ге перпендикуляр; АЕ-ні D нүктесінде тең екі бөлікке бөлеміз де, В мен D-ны қосамыз. BD-ге тең DG-ді саламыз да, В мен G-ді қосамыз. EG дөңгелек хордасының оннан, бір бөлігіне тең, ал BG - оның бестен бір бөлігіне тең деп пайымдайық.

[8-сурет] Мұның дәлелдемесі. АЕ сызығы D нүктесінде тең екі бөлікке бөлінгендіктен және оған EG қосылғандықтан, AG мен GE көбейтіндісі DE-нің квадратымен бірге DG-дің квадратына тең болады 191. Себебі, DG сызығы DB-гe тең, олай болса DB-ның квадраты DE мен ЕВ-ның квадраттарына (қосындысына) тең. Сондықтан, AG-дің GE-гe көбейтіндісі DE-нің квадратымен бірге DE мен ЕВ-нің квадраттарына (қосындысына) тең. Ортақ ED-нің квадратын шегеріп тастайық, AG мен СЕ-нің көбейтіндісі - ЕВ-нің квадратына тең болып қалады, бірақ ЕВ сызығы ЕА-ға тең. Сондықтан, AG түзуі - Е нүктесінде орта және шеткі қатынастарға бөлінеді, АЕ - үлкен бөлігі, сонымен бірге АЕ сызығы - дөңгелек хордасының алтыдан бір бөлігі. Сол себепті EG сызығы дөңгелек хордасының оннан бір бөлігіне тең, себебі, ВЕ-нің квадраты мен EG квадраты – BG-ның квадратына тең, ЕВ хордасы - дөңгелектің алтыдан бір бөлігіне, EGхордасы оннан бір бөлігіне тең, олай болса BG хордасы дөңгелектің бестен бір бөлігіне тең. Біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын. VІ ТАРАУ Кейіннен болатын жайттың алғышарты туралы Сырттай шеңбер сызылған әрбір төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының көбейтінділерін қосатын болсаңыз, бұл осы төртбұрыштың диагоналдарының көбейтіндісіне тең болады /10/. Дөңгелекке ABCD төртбұрышы іштей сызылған болсын, оның диагоналдары - АС және BD [9-сурет] болсын. АВ-ның CD-гe және AD-ның ВС-ға көбейтінділерінің қосындысы қосындыланатын болса, ол АС-ның BD-ге көбейтіндісіне тең болады деп пайымдайық.

[9-сурет]

Мұның дәлелдемесі. ВСА-ға тең DCE бұрышын сызамыз; DCE бұрышы ВСА бұрышына тең, ал АСЕ бұрышы - ортақ, DCA бұрышы ВСЕ бұрышына тең; CAD бұрышы CBD-гe тең, себебі бұлар бір CD доғасында; олай болса, қалған ADC бұрышы - ВЕС бұрышына тең. Сондықтан, СВ сызығының ВЕ-ге қатынасы СА-ның AD-ге қатынасындай және СВ-ның AD-ге көбейтіндісі АС-тың ВЕ-ге көбейтіндісіне тең. DCE бұрышы ВСА бұрышына тең болғандықтан, ал CDB бұрышы CAB бұрышына тең, бұлар бір ВС доғасында болғандықтан, CED бұрышы ABC бұрышына тең, сол себепті CD-ның DEге қатынасы СА-ның АВ-ге қатынасындай және CD-ның АВ-ге көбейтіндісі САның DE-ге көбейтіндісіне тең; СВ-нің AD-ге көбейтіндісінің СА-ның ВЕ-ге көбейтіндісіне тең болатыны дәлелденген еді. Сондықтан, АС-ның BD-ге көбейтіндісі СВ-ның AD-ге және CD-ның АВ-ге көбейтінділеріне тең. Біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын. VІІ ТАРАУ Хордалары белгілі екі доға айырымының хордалар шамаларын анықтау туралы /11/

ABCD - жарты дөңгелек, AD - оның диаметрі әрі оның АВ және АС хордалары белгілі болсын. В және С-ті қосамыз [10-сурет]. ВС белгілі деп пайымдайық.

[10-сурет] Мұның дәлелдемесі. BD және CD-ны сызайық, бұлар белгілілер, себебі, олар АВ және АСны толықтырушы хордалар. Алғышартта дәлелденген жайт бойынша, АС-ның BD-ге көбейтіндісі АВ-ның CD-ге және AD-ның ВС-ге көбейтінділерінің қосындысына тең; бірақ та АС мен BD-ның көбейтіндісі - белгілілер; олай болса, қалған AD және ВС-ның көбейтіндісі белгілі. AD диаметрі белгілі, сондықтан ВС хордасы да белгілі. Міне, біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын. VІІІ тарау Белгілі хорда бойынша жарты доға хордасының шамасын анықтау туралы ABCD - жарты дөңгелек, AD - оның диаметрі болсын. AC хордасы берілген болсын дейік. AC доғасын В-да теңдей етіп екіге бөлеміз; А және В-ны, В және С-ны қосамыз [11-сурет].

[11-сурет] Мұның дәлелдемесі. С және D-ны қосамыз да CD-ге тең DG-ды салайық; В және D-ны, В және G-ды қосамыз, AG-ге перпендикуляр ВЕ-ні сызамыз. CD сызығы DG-ге, ал DB ортақ болғандықтан, CD және DB [бірге] GD және DB-ге тең; GDB бұрышы BDC бұрышына тең, себебі бұлар теңдей доғада жатыр; сондықтан, ВС табаны BG табанына тең. Бірақ та АВ сызығы ВС-ге тең; сол себепті АВ сызығы BG-ге тең. ABG үшбұрышы теңбүйірлі, егер ABD бұрышынан BE перпендикуляр түсірілсе, онда АЕ сызығы EG-ге тең. ABD үшбұрышы тікбұрышты болғандықтан және тікбұрыштан перпендикуляр түсірілгендіктен, ABD және ABE үшбұрыштары ұқсас; сондықтан, DA-ның АВ-ге қатынасы ВА-ның АЕ-ге қатынасындай болады. Сол себепті DA-ның АЕ-ге көбейтіндісі ВА-ның квадратына тең; DA және АЕ [сызығының] әрқайсысы белгілі; сол себепті АВ-ның квадраты да және оның түбірі де белгілі, яғни АВ хордасы белгілі. Міне, біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын. ІX ТАРАУ Хордалары белгілі екі доға қосындысы хордаларының шамаларын анықтау туралы /13/ ABCD - дөңгелек, Е - оның ортасы болсын. АВ және ВС хордалары берілген болсын дейік; А және С-ты қосайық [12-сурет]. AC белгілі деп пайымдайық.

[12-сурет] Мұның дәлелдемесі. В арқылы BD диаметрін сызамыз; А және D-ны, D және С-ны қосамыз. Сонда AD - АВ-ның толықтырушы хордасы, ал CD сызығы - ВС доғасының толықтырушы хордасы; бұлардың екеуі де белгілілер. АВ-нің CD-ге және ВС-нің AD-ге көбейтінділері [бірге] BD-ның АС-ге көбейтіндісіне тең. АВ-ның ВС, AD және CD

сызықтарының әрқайсысы белгілілер; BD диаметрі де белгілі. Сондықтан, АС хордасы да белгілі. X ТАРАУ Кейіннен болатын жайттың алғышарттары туралы Егер шеңберде екі тең емес хорда болса, онда ұзын хорданың қысқа хордаға қатынасы ұзын доға хордасының қысқа доға хордасына қатынасынан кіші болады /14/. ABCD дөңгелек болсын, АВ және ВС - оның хордалары, сонымен қатар ВС бұлардың үлкені болсын [13-сурет]. ВС хордасының ВА хордасына қатынасы ВС доғасының АВ доғасына қатынасынан кіші болсын деп пайымдайық. Мұның дәлелдемесі. ABC бұрышын В [E] D сызығымен тең екіге бөлейік. А-ны С-мен, А-ны D-ге қосамыз; ABC бұрышы BD түзуімен тең екіге бөлінгендіктен, CD сызығы AD сызығына тең, ал СЕ сызығы ЕА сызығынан ұзынырақ.

D-дан AC сызығына DG перпендикулярын түсіреміз. AD сызығы DE-ден ұзынырақ болғандықтан, ал DE сызығы DG-ден ұзынырақ, олай болса, D ортасынан DE -қашықтықта сырттай сызылған дөңгелек, AD-ны қиып өтіп, DG-ны орағытып өтеді. Оның доғасын сызамыз. Бұл - HEF, DG-ны F-ке дейін созамыз. DEF секторы DEG үшбұрышынан үлкен болғандықтан, DEA үшбұрышы DEH секторынан үлкен болады, олай болса DEF секторының DEH секторына қатынасы DEG үшбұрышының DEA үшбұрышына қатынасынан үлкен; бірақ DEG үшбұрышының DEA үшбұрышына қатынасы EG сызығының ЕА сызығына қатынасындай болады; DEF секторының DEH секторына қатынасы GDE бұрышының EDA бұрышына қатынасындай болады; сондықтан EG сызығының ЕА сызығына қатынасы GDE бұрышының EDA бұрышына қатынасынан кіші болады. Осыларды біріктіре отырып, GAның ЕА сызығына қатынасы CDA бұрышының ADE бұрышына қатынасынан кіші болатынын анықтаймыз. Жартылардың қатынасы бұлардың екі еселенген қатынасындай болады, сондықтан AG-дің екі еселенген қатынасы, яғни АС-ның АЕ-ге қатынасы CDA екі еселенген қатынасынан, яғни CDA бұрышының ADE бұрышына қатынасынан кіші; бөлектеп /16/ ала отырып, СЕ сызығының ЕА-ға қатынасы CDE бұрышының EDA бұрышына қатынасынан кіші. Бірақ та СЕ-нің ЕА-ға қатынасы СВ хордасының АВ хордасына қатынасындай, ал CDB бұрышының BDA бұрышына қатынасы СВ доғаның ВА доғасына қатынасындай; сондықтан СВ хордасының ВА хордасына қатынасы СВ доғасының ВА доғасына қатынасынан кіші. Міне, біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын. XІ ТАРАУ Бір градустық хорданы анықтау туралы және ол арқылы [өзгедей] хордаларды құрастыру Жетінші тарауда дөңгелектің алтыдан бір және оннан бір, яғни дөңгелектің он екіден бір бөлігіндей хордалардың айырымын, ал сегізінші тарауда жарты және жартының жартысын т.с.с. жарты градустық доғаның хордасына дейін және жарты градустық доғаның хордасынан ширек градустық доғаның хордасына дейін қалай анықтауға болатыны түсіндірілген болатын /17/.

Осыны негізге алып, ABC дөңгелегін алайық және төрт градустан бастап АВ сызығы алғашында жарты доғаның хордасы, ал АС сызығы - бір градус [14-сурет] доғаның хордасы болсын. Сонда АС хордасының АВ хордасына қатынасы АС доғаның АВ доғаға қатынасынан кіші; АС доғасы АВ доғасының үштен біріне тең. Сондықтан АС хордасы АВ хордасынан үштен бірге кіші. АВ хордасының үштен бірі - 1р2'49"52".

[14-сурет] Әлгі дөңгелекте дәл әлгідей АВ сызығын - бір градустық доға және жарты градустық AC сызығын сызамыз, сонда AC доғасы жарты доға АВ-ге тең және АС хордасы АВ жарты хордасынан кіші болады. Сол себепті АВ доғасы АС доғасының үштен екісінен үлкен, үштен екі доға 1р2'49"48". Егер бір градустық бір хорда бір ретте нәрселерден кіші, ал басқа ретте нәрселерден үлкен болса, бұлардың айырымы аз болса, осы айырымды теңдей екіге бөліп кішісіне қосамыз. Сонда бір градустық хорда жуықтап алғанда 1р2'49"55" /18/, ал оның толықтырушы хордасы 119°59'43"43"- ке табылады. Осыдан соң бір градустық синустың 1р2'49"43", ал ол бір градустың косинусы 59р59'27"7"/19/. Тоғызыншы тарауда екі доғаның хордаларының қосындысы түсіндірілген болатын, сондықтан, егер бір градустық хорда белгілі болса, онда екі градустық доға да белгілі болады; дәл осы секілді егер бір және екі градустық хордалар белгілі болса, онда үш градустық хорда да белгілі болады; дәл осы секілді егер бір және үш градустық хордалар белгілі болса, онда төрт градустық хорда да белгілі болады. Осылайша бір градустық доғаның хордасынан бастап жүз сексен градустық доғаның хордасын құрамыз. Егер синус анықталатын болса, онда тоқсан [градусқа] градустық доғаның хордасы анықталады. Біз бұларды кесте түрінде орналастырамыз /20/. Міне, біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын. XІІ ТАРАУ Бірінші және екінші көлеңкелердің қасиеттері туралы ABCD - биіктік дөңгелегі, Е - оның ортасы, ал DJ - биіктік дөңгелегінің жазықтығы мен көкжиек (горизонт) дөңгелегі биіктігінің қиылысуы; DE - D нүктесінде көкжиек жазықтығына тікбұрыш жасап тұрған гномон /21/, СК - биіктік дөңгелегі жазықтығының С нүктесінде көкжиекке тікбұрыш жасап тұрған жазықтықтың қиылысуы, ал СЕ - осы жазықтықта тұрған гномон. AG доғасының биіктігі берілген болсын дейік [15-сурет]. GEF-ті, яғни гномонның төбесі мен көлеңкенің соңын қосатын сәулені сызамыз; DF көлеңкесі - AG биіктігінің жазық көлеңкесі немесе екінші көлеңкесі деп аталатын DE гномонның көлеңкесі, ал СН көлеңкесі - айналдырылған көлеңке немесе AG биіктігінің бірінші көлеңкесі деп аталатын СЕ гномонның көлеңкесі.

[15-сурет]. Егер біз BG биіктігі берілген болсын дейік, сонда бұл үшін екінші гномон, яғни СЕ -жазық көлеңке, ал бірінші гномон, яғни DE айналдырылған көлеңке болады. Сондықтан DF

көлеңкесі BG биіктігінің бірінші көлеңкесі, ал СН ол үшін екінші көлеңке болады; BG биіктігі - AG-нің толықтырушысы, сондықтан әрбір биіктіктің бірінші көлеңкесі осы биіктіктің толықтырушысының екінші көлеңкесі, ал әрбір биіктіктің екінші көлеңкесі осы биіктіктің толықтырушысының бірінші көлеңкесі болады [15-сурет]. Айналдырылған көлеңке бірінші көлеңке делінеді, себебі Күн көріне бастағанда бұл көлеңке өзгереді және де Күн жоғары көтерілген сайын көлеңке де ұзара түседі, ал екінші көлеңке жазық деп аталады, осы көлеңке әлгі биіктік жоғарылаған сайын қысқара бастайды. Міне, біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын /22/.

16-сурет. [«Әлмагеске»] «Қосымша кітап» деген трактаттың дөңгелекке тангенс және котангенс сызықтары енгізілген қолжазбасының бір беті. XІІІ ТАРАУ Бірінші көлеңкенің шамасын анықтау туралы Ортасы Е болатын АВ биіктік дөңгелегі, оның диаметрі АЕА, АВ - биіктік доғасы болсын дейік. EBG (сызығын) сызамыз; АЕ-ге AG перпендикулярын тұрғызамыз. АЕ-ге тағы бір ВС перпендикулярын түсіреміз [17-сурет]; AG - АВ биіктігінің бірінші көлеңкесі. Мұны белгілі деп пайымдайық. Мұның дәлелдемесі. GA және ВС - АЕ-ге перпендикулярлар, сондықтан бұлар параллелдер болады және GA-ның АЕ-ге қатынасы ВС-нің СЕ-ге қатынасындай болады. Бірақ та АЕ - біздің болжамдаған бөлімдеріміздегі гномонға тең жарты диаметр. ВС - АВ доғасының синусы, ал СЕ оның косинусына тең. Сондықтан, AG белгілі болады. Біздің дәлелдемек болғанымыз осы еді. /23/.

XІV ТАРАУ Екінші көлеңкенің шамасын анықтау туралы Ортасы Е болатын АВ биіктік дөңгелегі, АЕА және DED дөңгелектің екі диаметрі болсын; BD доғасы берілген болсын дейік. EBG-ді сызамыз; АЕ-ге AG перпендикулярын тұрғызамыз және де АЕ-ге тағы да ВС перпендикулярын түсіреміз [18-сурет]; AG - DB биіктігінің екінші көлеңкесі. Мұны белгілі деп пайымдайық. Мұның дәлелдемесі. GA және ВС - АЕ-ге перпендикулярлар, сондықтан бұлар параллел сызықтар және GA-ның АЕ-ге қатынасы ВС-тің СЕ-ге қатынасындай; бірақ АЕ - біз болжалдаған бөліктердің гномонына тең жарты диаметр. ВС - биіктік косинусы, ал СЕ биіктік синусына тең; сондықтан АЕ белгілі. Міне, біздің дәлелдемек болғанымыз осы болатын /24/.

Аль-Фараби. Математические трактаты.

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ПІШІНДЕРДІҢ ЕГЖЕЙ-ТЕГЖЕЙІ ТУРАЛЫ РУХАНИ ӘДІС-АЙЛАЛАР МЕН БОЛМЫСТЫҚ ҚҰПИЯЛАР КІТАБЫ /1/. Шапағатты, қайырымды Аллаһ үшін. Ақыл-ой дарытушы жаратқан иемнің даңқы мәңгілік шарықтай берсін, оған Мұхаммед пен оның рухына дұға бағыштағаны үшін шексіз алғысымызды айтамыз, ризашылығымызды білдіреміз /2/. Ғылымдар жиынтығы көп болғандықтан, өнердің бәрін атап шығу мүмкін емес, - біз мұны бұрын [қашан] байқадық ол туралы жаздық /3/, - ал геометрия өнері табиғат ғылымдары үшін де, философиялық мәселелер үшін де қажет, мен ғалымдар кітаптарының маңызсыз нәрселермен толтырылып, көптеген маңызды нәрселердің елеусіз қалдырылғанын байқадым - сондықтан мен «Геометриялық пішіндердің егжей-тегжейі туралы рухани әдіс-айлалар мен табиғи құпиялар кітабы» деп аталатын осы кітапты жаздым 141. Мен мұны он кітапта ретке түсірдім. Кітаптың кіріспесінде де, соңында да Аллаһтың даңқы мәңгі асқақтай берсін демекпін! Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972. С. 90-92. Аударған: Н.Көбенқұлов.

(ДӨҢГЕЛЕКТІҢ) ОРТАСЫН БӨЛУ ТУРАЛЫ /5/ БІРІНШІ КІТАП Дөңгелектің ортасын анықтау туралы /6/ [І] Егер біреу: сегментті қалай толықтырады [толық дөңгелекке дейін] десе, онда ABC сегментін саламыз, оны В нүктеде қақ бөлеміз, АВ және ВС сызықтарын сызамыз және де А және С нүктелерінің әрқайсысына АВ және ВС түзулеріне тікбұрыш, атап айтқанда BAD және BCD-ні саламыз. BD түзуін сызамыз да оны Е нүктеде қақ бәлеміз. Сонда Е нүкте - ABC доғасының ортасы болады. Мұның суреті мынадай [19-сурет] болады.

[ІІ] Егер біреу: дөңгелектің ортасы D нүктесі болатын ВС дөңгелегіне А нүктесінен қалай жанама сызуға болады десе, онда AD сызығын сызамыз; бұл сызық ВС дөңгелегін В нүктесінде қиып өтеді. D ортасынан DA қашықтықта ВС дөңгелегіне сырттай АЕ дөңгелегін сызамыз. В нүктесіне ABE тікбұрышын саламыз да, ВС дөңгелегін С нүктесінде қиып өтетін ED түзуін сызамыз. А мен С-ні қосамыз. Сонда АС - ВС дөңгелегіне жанама болады /8/. Мұның суреті мынадай [20-сурет] болады:

[20-сурет] [ІІІ] Егер біреу: қолөнершілер тәсілімен жанаманы қалай сызуға болады десе, онда сызғышты ВС сызығына дәлдеп қоямыз да, циркульдің сирақтарын белгілі бір шамаға алшақтатамыз; егер сирақтарының біреуі жылжитын сызғыш бойынша қозғалатын болса, онда екінші сирағы А нүктесі арқылы өтіп, ВС-ге параллел сызық сызады. /9/. Мұның суреті мынау. 21 сурет

[ІV] Егер біреу: А нүктесінен ABC дөңгелегінің шеңберіне жанаманы қалай сызуға болады десе, онда А нүктесін дөңгелектің D нүктесіндегі ортасымен қосамыз, яғни А мен D-ны [AD сызығымен] қосамыз. А нүктесінде сызық бойымен AD тікбұрыш DAE саламыз. Сонда АЕ сызығы - ABC дөңгелегіне жанама болады /10/. Мұның суреті мынадай:

[V] Егер біреу: ABC үшбұрышының АВ және АС сызықтары аралығында ВС-ге параллел әрі берілген D сызығына тең (және егер де ВС сызығы D сызығынан қысқа (кіші) болса) сызықты қалай сызуға болады десе, онда ВС сызығын соның бағытымен [BE сызығы D-ге тең Е нүктесіне дейін] созамыз, ал егер ВС сызығы D сызығынан ұзын болса, онда ВС сызығына D-ге тең BE сызығын үстіне саламыз. Е нүктесінен АВ сызығына параллел сызық сызамыз. Ол АС-ні G нүктесінде қиып өтеді. G нүктесінен ВС түзуіне параллел түзу сызамыз; бұл АВ-мен қиылысатын GH сызығы болады. Сонда GH сызығы D сызығына тең [және ВС сызығына параллел] болады /11/. Мұның суреті мынау [23-сурет].

[23-сурет] [VІ] Егер біреу: ABC үшбұрышының АВ және АС сызықтары аралығында ВС-ге параллел сызықты, мысалы, DE сызығын, оның АВ сызығының бойынан қиылатын, яғни ЕВ сызығына тең кесіндіні қалай сызуға болады десе, онда BD сызығымен ABC бұрышын қақ бәлеміз де D нүктесінен ВС-ге параллел DE түзуін сызамыз. Сонда DE сызығы ЕВ-ге тең болады /12/. Мұның суреті мынадай [24-сурет].

[VІІ] Егер біреу: ABC үшбұрышында ВС сызығына параллел және BE мен F-ке тең сызықты, мысалы DE-ні қалай сызуға болады десе, онда ВС сызығына F-ке тең BG сызығын өлшеп саламыз. G нүктесі арқылы АВ-ге параллел GH сызығын сызамыз. [G нүктесі арқылы] HGC бұрышын қақ бөлетін GD сызығын сызамыз және де D нүктесінен ВС-ге параллел DE сызығын сызамыз. Сонда DE сызығы ВС сызығына параллел әрі BE мен F сызықтарына тең болады /13/. Мұның суреті мынадай [25-сурет] болады:

[25-сурет] [VІІІ] Өзге бір үшбұрышқа тең үшбұрыш салу туралы. Егер қабырғалары өзге бір үшбұрыштың қабырғаларына тең болатын үшбұрышты [мысалы, ABC] қалай салуға болады делінсе, онда DE түзу сызығын сызамыз және де АВ сызығына тең DG-ді, ВС сызығына тең GH-ты және СА сызығын тең HF-ті өлшеп саламыз. G нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып және GD қашықтықта сырттай дөңгелектің бөлігін сызамыз, Н нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде қабылдап НҒ қашықтықта [сырттай] дөңгелектің бөлігін сызамыз. Дөңгелектің алғашқы бөлігі екіншіні J нүктесінде қиятын болады. Әрі қарай GJ және JH сызықтарын сызамыз. Сонда GJH үшбұрышының қабырғалары ABC үшбұрышының қабырғаларына тең болады /14/. Мұның суреті мынадай [26-сурет] болады:

[ІX] Бұрышты теңдей үш бөлікке болу туралы. Егер біреу: ABC бұрышын қалай теңдей үш бөлікке болу керек десе, онда, егер бұрыш тікбұрышты болса, ВС сызығының бойына DBC теңбүйірлі үшбұрыш саламыз. Сонда ABD бұрышы тікбұрыштың үштен бір бөлігіне тең болады. DBC бұрышын қақ бөлеміз /15/. Мұның суреті мынадай [27-сурет] болады:

[X] Егер бұрыш тік бұрыштан кіші болса, онда В нүктені дөңгелектің ортасы деп есептеп, ВА қашықтықта сырттай DAC дөңгелегін саламыз. ВС-ге BD-ні тікбұрышпен түсірейік және СВ-ны дөңгелекпен қиылысқанша Е нүктесіне дейін созамыз. Сызғышты А нүктесіне қойып, оны CDE дөңгелегінің шеңбері бойынша DB перпендикуляры мен DE доғасының аралығында жатқан HF сызығын DB сызығымен дәл болғанша жылжытамыз, сызғыш А нүктесінен жылжып кетпеуі тиіс. Бұдан кейін EF доғасына тең ЕК доғасын саламыз, КВ-ні сызамыз да сол бағытпен оны L нүктесіне дейін созамыз. Сонда LBC бұрышы ABC бұрышының үштен бір бөлігіне тең болады. Әрі қарай ABL бұрышын қақ бәлеміз /16/. Мұның суреті мынадай [28-сурет] болады:

[XІ] Бұрышты тең үш бөлікке бөлудің басқа тәсілі. Сүйір бұрыш - ABC бұрышын саламыз, егер біз бұрышты тең үш бөлікке бөлгіміз келсе, А нүктесінен АН перпендикулярын ВС сызығына және А нүктесінен ВС-ке параллел AD сызығын сызамыз. Сызғышты В нүктесіне қоямыз да, AD және АН сызықтарының аралығындағы сызық екі еселенген АВ сызығына тең болғанша сызғышты AD және АН сызықтары бойымен жылжытамыз. Бұл, мысалы, DEB сызығы, DE сызығы екі еселенген АВ сызығына тең болуы тиіс. Сонда DBC бұрышы ABC бұрышының үштен бір бөлігіне тең болады /17/. Мұның суреті мынадай [29-сурет] болады:

[29-сурет] [XІІ] Доғаны тең үш бөлікке болу туралы. Егер біреу: ABD доғасын қалай тең үш бөлікке бөлуге болады десе, онда осы доға [орналасқан] дөңгелектің ортасын табамыз. Бұл нүкте Е болсын. А-ны Е-мен, Е-ні D-мен қосамыз және AED-ні ABCD доғасын В және С нүктелерінде қиятын ЕВ және ЕС сызықтарымен тең үш бөлікке бөлеміз. Сонда ABC[D] доғасы тең үш бөлікке - АВ, ВС және CD доғаларына бөлінеді /18/. Мұның суреті мынадай [30-сурет] болады.

[30-сурет] [XІІІ] Өзге бір үйден немесе шардан екі есе үлкен немесе басқадай қатынаспен алынған үйді немесе шарды салу туралы. Егер біреу: ұзындығы, ені және биіктігі теңдей болып өзге бір квадрат үйден екі есе үлкен үйді қалай салуға немесе өзге бір шардан екі есе үлкен шарды қалай салуға, немесе қақ бөлуге не басқадай қатынаспен алуға болады десе, онда үйдің ұзындығына және шардың диаметріне тең АВ сызығын сызамыз, екі еселенген АВнің ұзындығына тең АС сызығын тікбұрыш жасап саламыз және де DAB С жазық пішінді толықтырамыз. AD және ВС диагоналдарын сызамыз, бұлар Ғ нүктесінде қақ бөлінеді, DC және DB сызықтарын өздерінің бағыттары бойынша соза түсеміз. Сызғыштың шетін А нүктесіне дәлдеп қоямыз да оны GC және ЕВ сызықтары бойынша GF және FE сызықтары тең болғанша сырғытамыз [сызғыш Е және G нүктелерінде тоқтатылады]. Сонда үйдің ұзындығы немесе шардың диаметрі BE сызығы болады /19/. Мұның суреті мынадай [31сурет] болады:

[31-сурет] [XІV] Өртегіш айна жасау туралы. Егер біз белгілі бір қашықтықтағы заттарды күн сәулесі арқылы өртегіш айна жасамақ болсақ, онда ең алдымен айнаны анықтайтын лекалоны (үлгіні) жасауымыз керек. Бұл үшін дөңгелек сызамыз, оның жарты диаметрі «затты» өртеу қашықтығына тең. Бұл дөңгелек ABC болсын. Оның ADC диаметрін сызамыз. DC түзуінің бойынан С нүктесінен бастап бірнеше тең кесінділер саламыз. Осы кесінділер қысқа (кіші) болған сайын, лекало жақсы әрі дәл болады. Осы кесінділер CF, FH, HG, GE және ED болсын дейік. D, E, G, H және F нүктелері арқылы CD-ге тікбұрыш жасатып сызықтар сызамыз да, бұл сызықтарды екі жаққа В, J, К, L және М нүктелеріне дейін

созамыз. С-ні В-ге, С-ті J -ге, С-ні К-ға, С-ні L-ге, С-ні М-ге қосамыз. СМ сызығына тең FN сызығын, CL-ге тең НХ сызығын, СК-га тең GO сызығын, CJ-ге тең ЕР сызығын және СВ-ге тең DS сызығын салайық. С, N, X, О, Р және S нүктелерін қосамыз әрі осы сызық бойынша лекалоны жасаймыз. СО-дан кейін металдан, мысалы, темірден, қоладан, мыстан немесе мырыштан айна дайындаймыз да егер мүмкін болса оны жалтырағанша өңдейміз. Егер айна қисық болса, оны лекала бойынша түзетеміз, С нүктесі лекалоның ортасына сәйкес келетіндей етіп айна үстіне қойып, дәл үйлестіреміз. Осылайша біз өртегіштік күші үлкен өртегіш айна жасаймыз /20/. Мұның суреті мынадай [32-су-рет] болады:

[32-сурет] [XV] Өртегіш айнаға арналған лекалоны жасаудың екінші тәсілі. Егер біздің мұны жасағымыз келсе, онда кез келген ұзындық аламыз, оның жартысы АВ сызығы болсын, оны өз бағытымен С нүктесіне дейін созамыз. В нүктесінде екі жағынан, ВС-ге перпендикуляр DB-ны саламыз да ВС сызығына теңдей қысқа (кіші) сызықтар - BE, EG, GH және НС сызықтарын саламыз. АЕ-ні F нүктесінде қақ бөлеміз және F ортасынан FA қашықтықта сырттай дөңгелек сызамыз. Дөңгелек BD сызығын J нүктелерінде қияды. J нүктесінен АС-ге параллел JL сызығын, Е нүктесінен L нүктесіне дейін BD түзуіне параллел жүргіземіз. Содан кейін AG сызығын М нүктесінде қақ бөлеміз де, М ортасынан МА қашықтығында сырттай дөңгелек сызамыз. Дөңгелек BD сызығын N нүктесінде қиып өтеді. N нүктесінен АС-ге параллель X нүктесіне дейін NX сызығын сызамыз. Сонан соң АН сызығын О нүктесінде қақ бөлеміз және де О ортасынан OA қашықтығында сырттай дөңгелек сызамыз. Дөңгелек Р нүктесінде BD-ні қияды. Р нүктесінен Z нүктесіне дейін ВСге параллель сызықтар сызамыз. В, L, X және Z нүктелерін сызықпен қосамыз, осыдан лекало пайда болады. Егер біз лекалоны тексеретін болсақ, лекалоны айнаның орта шеніндегі В нүктесіне дәлдеп қоямыз. Осылайша біз өртегіштік күші үлкен өртегіш айна жасаймыз /21/. Мұның суреті мынадай [33-сурет] болады:

[33-сурет] ЕКІНШІ КІТАП Тең қабырғалы пішіндер салу туралы [І] Үшбұрыш салу туралы. Егер біреу: АВ сызығының бойына тең қабырғалы үшбұрышты қалай салуға болады десе, онда А және В нүктелерінің әрқайсысын дөңгелектің ортасы ретінде алып, АВ қашықтықта сырттай дөңгелектер сызамыз. Дөңгелектер С нүктесінде қиылысады. С нүктесін А және В нүктелерімен, СА және СВ түзу сызықтарымен қосамыз. Осыдан тең қабырғалы ABC үшбұрышы пайда болады/22/. Оның суреті мынау [34-сурет]

[ІІ] Квадрат салу туралы. Егер біреу: АВ сызығының бойына тең қабырғалы және тең бұрышты төртбұрышты қалай салу керек десе, онда А және В нүктелерінің әрқайсысына АВ сызығына тең перпендикулярлар тұрғызамыз; бұлар - АС және BD сызықтары. С және D нүктелерін қосамыз, сонда тең қабырғалы және тең бұрышты ABCD төртбұрыш пайда болады /23/. Мұның суреті мынадай [35-сурет] болады:

[35-сурет] [ІІІ] Бесбұрыш салу туралы. Егер біреу: АВ сызығына тең қабырғалы бесбұрышты қалай салуға болады десе, онда В нүктесіне АВ түзуіне тең ВС перпендикуляр тұрғызамыз. АВ сызығын D нүктесінде қақ бәлеміз, D нүктесінен оны дөңгелектің ортасы ретінде алып, DC ұзындығын, СЕ доғасын сызамыз, АВ сызығын Е нүктесіне дейін созамыз. Сонан соң А және В нүктелерінің әрқайсысынан оларды дөңгелектің ортасы ретінде алып, AF аралығында доға сызамыз. Бұлар G нүктесінде қиылысады. AG және BG сызықтарын сызамыз. Осыдан ABG үшбұрышы - бесбұрыштың үшбұрышы пайда болады. Көптеген салулар осы үшбұрышты қажет етеді. Сонан соң А және G нүктелерінен бұларды дөңгелектің ортасы ретінде алып, АВ қашықтықта сырттай доғалар сызамыз; бұлар Н нүктесінде қиылысады. Мұнан кейін осылар секілді В және G нүктелерін дөңгелектің ортасы ретінде алып сырттай доғалар сызамыз, бұлар F нүктесінде қиылысады. АН, HG, GF және FB сызықтарын сызсақ, ABFGH /24/ тең қабырғалы әрі тең бұрышты бесбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [З6-сурет] болады:

[36-сурет] [ІV] Егер біреу: АВ сызығына тең тек циркуль ашасын пайдалана отырып (оның қалпын өзгертпестен) А сызығының бойында тең қабырғалы бесбұрышты қалай салуға болады десе, онда АВ сызығына перпендикуляр әрі АВ сызығына тең ВС сызығын тұрғызамыз. АВ сызығын D нүктесінде қақ бәлеміз де D-ні С-мен қосамыз және DC сызығының бойынан D нүктесін ортасы ретінде қабылдап, АВ қашықтықта J нүктесін белгілейміз де DJ-ді К нүктесінде қақ бәлеміз және К нүктесіне АВ сызығымен Е нүктесінде қиылысатын КЕ перпендикулярын тұрғызамыз. Сонан соң А және Е нүктелерінің әрқайсысын [дөңгелектің] ортасы ретінде алып, АВ қашықтықта М нүктесінде қиылысатын сырттай доға сызамыз. ВМ-ді сызамыз, осы бағытта оны G-ге дейін созамыз және MG-ні АВ сызығына тең етеміз. А мен G-ді қосамыз. Мұнымен бірге А және G нүктелерін дөңгелектің ортасы ретінде қабылдап, АВ қашықтықта Н нүктесін белгілейміз. В және G нүктелерін дөңгелектің ортасы ретінде қабылдап, АВ қашықтықта F нүктесін белгілейміз. AH, HG, GF және FB сызықтарын сызамыз. Сонда тең қабырғалы ABFGH бесбұрышы пайда болады /25/. Мұның суреті мынадай [37-сурет] болады:

[37-сурет] [V] Алтыбұрыш салу туралы. Егер біреу: АВ сызығы бойына тең қабырғалы және теңбұрышты алтыбұрышты қалай салуға болады десе, онда АВ сызығы бойына бұл үшін ABC тең қабырғалы үшбұрышын саламыз. АС және ВС сызықтарын олардың бағыттарымен Е және G нүктелеріне дейін созамыз. ВС сызығы бойында тағы бір BCD теңқабырғалы үшбұрышын саламыз. DC сызығын оның бағытымен Н нүктесіне дейін созамыз, СЕ, CG және СА-ға тең СН сызықтарын және DE, EG, GH және НА сызықтарын сызамыз. Сонда ABDEGH теңқабырғалы және теңбұрышты алтыбұрыш пайда болады /26/. Мұның суреті мынадай [38-сурет] болады:

[VІ] Жетібұрыш салу туралы. Егер біреу: АВ сызығының бойына теңқабырғалы жетібұрышты қалай салуға болады десе, онда ВС сызығын АВ сызығына теңгереміз, АС сызығының бойында DAC теңқабырғалы үшбұрышын саламыз да, бесінші тарауда көрсетілгендей ADC үшбұрышына сырттай дөңгелек сызамыз. Дөңгелекке хорда - АВ-ге тең АЕ сызығын сызамыз да, АЕ-ні G нүктесінде қақ бәлеміз, GH перпендикулярын тұрғызамыз да, оны дөңгелектің шеңберіне дейін созамыз. АВ-ні F нүктесінде қақ бөлеміз де, буған GH перпендикулярына тең FJ перпендикулярын тұрғызамыз. А, В және J нүктелері арқылы ABJ дөңгелегін сызамыз және оған АВ доғасына тең АК, KL, LJ, JM, MN және NB доғаларын саламыз. АК, KL, LJ, JM, MN және NB сызықтарын сызамыз; осыдан теңқабырғалы әрі теңбұрышты жетібұрыш пайда болады /27/. Мұның суреті мынау [39сурет]:

[39-сурет] [VІІ] Сегізбұрыш салу туралы. Егер біреу: АВ сызығының бойына теңқабырғалы сегізбұрышты қалай салуға болады десе, онда АВ сызығын өз бағытымен С және D нүктелеріне дейін созамыз да, А және В нүктелерінің әрқайсысының қасына тікбұрыштың жартысы [тең] ЕАС және GBD бұрыштарын саламыз. АЕ және BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етіп сызамыз, Е және G нүктелерінің әрқайсысынан DC сызығына ЕС және GD перпендикулярларын түсіреміз, және CHKD квадратын толықтырамыз. HJ, HF, KL және KM сызықтарының әрқайсысын СЕ сызығына тең етіп сызамыз да, J-ге Ғ-ті, L-ге М-ді қосамыз. Сонда ABGMLFJE теңқабырғалы сегізбұрыш пайда болады /25/. Мұның суреті мынадай [40-сурет] болады:

[40-сурет] [VІІІ] Егер біреу: АВ сызығының бойына ашасының арасы АВ сызығына тең және оның қалпын өзгертпестен тек циркульді пайдаланып, теңқабырғалы сегізбұрышты қалай салуға болады десе, онда АВ сызығының бойына теңқабырғалы әрі теңбұрышты ABCD төртбұрышын саламыз, СА және BD сызықтарын сызамыз да оларды бағыттары бойынша Е және G нүктелеріне дейін созамыз. АЕ және BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етеміз де, ЕС-ні қосамыз, ЕС сызығына АВ-ге тең перпендикуляр EJ және GM тұрғызамыз және М-ді J-мен қосамыз. EJ және GM сызықтарын олардың бағыттары бойынша К және Н нүктелеріне дейін созамыз да, JMK және MJH бұрыштарының әрқайсысын ML және JF сызықтарымен қақ бәлеміз. ML және JF сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етеміз де, FL-ді қосамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты ABGMLFJE сегізбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [41-сурет] болады:

[41-сурет]

. [ІX] Тоғызбұрыш салу туралы. Егер біреу: АВ сызығы бойына теңқабырғалы әрі теңбұрышты тоғызбұрышты қалай салу керек десе, онда ортасы G нүктесінде болатын кез келген өлшемді CDE дөңгелегін сырттай сызамыз, оның бойынан С нүктесін белгілеп және оны дөңгелектің ортасы ретінде қабылдап, дөңгелектің жарты диаметріндей арақашықтықта Е және D нүктелерін белгілейміз. DE доғасын тең үшке бәлеміз. ЕН оның бір доғасы болсын. EG, ЕН және HG сызықтарын сызамыз, EG және HG сызықтарының арасында АВ сызығына тең әрі ЕН сызығына параллел FJ сызығын сызамыз. А және В нүктелерін дөңгелектің ортасы ретінде алып, FG арақашықтығында сырттай дөңгелектер сызамыз, бұлар К нүктесінде қиылысады. К нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, КА арақашықтығында сырттай ABL дөңгелегін сызамыз. ALB доғасын тең сегіз бөлікке бөліп, осы [болу нүктелерін] хордаларын қосамыз. Сонда АВ сызығы бойында теңқабырғалы әрі теңбұрышты тоғызбұрыш пайда болады /30/. Мұның суреті мынадай [42-сурет] болады:

[42-сурет] [X] Онбұрыш салу туралы. Егер біреу: АВ сызығының бойына қалай онбұрыш салуға болады десе, онда АВ сызығын С нүктесінде қақ бәлеміз, В нүктесіне АВ сызығына тең BD перпендикулярын тұрғызамыз, С нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, АВ сызығының бойында CD арақашықтығында Е нүктесін белгілейміз. Одан кейін А және В нүктелерінің әрқайсысын дөңгелектің ортасы ретінде алып, АЕ қашықтығында сырттай екі доға сызамыз, бұлар G нүктесінде қиылысады. G нүктесін қабырғасы АВ сызығы болатын онбұрыш [іштей] сызылған дөңгелектің ортасы ретінде қабылдаймыз. Сондықтан, егер біз G дөңгелектің ортасынан AG арақашықтығында ABHF дөңгелегін сырттай сызамыз, AG және BG сызықтарын бағыттарына сәйкес [дөңгелектің шеңберіне дейін] Ғ және Н нүктелеріне дейін созамыз, АН және ВҒ доғаларының әрқайсысын тең төрт бөлікке бөліп, болу нүктелерін хордалармен қосамыз, сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты онбұрыш пайда болады /31/. Мұның суреті мынадай [43-сурет] болады:

[43-сурет] [XІ] Егер біреу: АВ сызығының бойына ашасы АВ сызығына тең болатын циркуль ашасын пайдаланып, тең қабырғалы әрі теңбұрышты онбұрышты қалай салуға болады десе, онда АВ-ның бойына жоғарыда төртінші ұсыныста көрсетілгендей үшбұрыш бесбұрыш саламыз. G нүктесі АВ сызығына қарсы жатқан бұрыштың төбесі болсын дейік. А-ны G-ге, В-ні G-ге сызықтармен қосамыз. G нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, АВ қашықтығында сырттай CDFH дөңгелегін сызамыз. AG, BG түзулерін өз бағыттары бойынша дөңгелектің шеңберіне дейін [F және С нүктелеріне дейін] созамыз. HF және DC доғаларының әрқайсысын төрт тең бөлікке бөлеміз, FJ, Ж, KM, МН, CL, LN, NX, XD және GF, GJ, GK, GM, [GL], GN, GX, GD, [GC], GH сызықтарын сызамыз да, дөңгелектің ортасынан шығатын осы сызықтардың әрқайсысына CDH дөңгелегінен бастап AD сызығына тең сызықтар қосамыз (жалғаймыз). Бұлар - соңында О болатын сызықтар. Осыларды түзу сызықтармен өзара және А, және В нүктелеріне қосамыз. Сонда АВО теңқабырғалы әрі теңбұрышты онбұрыш пайда болады /32/. Мұның суреті мынадай [44-сурет] болады:

[44-сурет] ҮШІНШІ КІТАП Дөңгелекке іштей сызылған пішіндерді салу туралы Қолөнершілер шеңберлерге іштей сызылған және оның төңірегінде сырттай сызылған пішіндерді салу үшін, шеңберлерді қаншалықты керек болса, сонша тең бөліктерге бөлу тәсілдерімен салатынын біліп қой. Мысалы, дөңгелекке іштей сызылған бесбұрыш салу үшін, дөңгелекті тең бес бөлікке бөледі де, осы бөліну тұстары қосылады әрі осы тұстардан дөңгелекке жанасушы сызықтар сызылады, осылайша, дөңгелекке іштей сызылған және оның айналасына сырттай сызылған теңқабырғалы әрі теңбұрышты [сондай бесбұрыш] пішіндер салынады. Осы салу жұмысы алтыбұрыш үшін де, тіптен тәжірибесіз қолөнерші үшін де күрделі емес. Өнерді жетік меңгерген қолөнерші біздің осы тарауда дәлелдеп көрсеткендерімізге сәйкес бесбұрыштың, алтыбұрыштың, онбұрыштың және басқа пішіндердің қабырғаларының шамасындай болып (тең аралықта) жалғастырылған шекімелік жұп үлгіні айналдыра шекіп шығады. Болу жұмысын циркуль ашасын қайта-қайта алшақтату немесе жақындату арқылы жүзеге асырушы адам көздеген мақсатына көп әрекеттеніп әрі тек жуықтап қана жете алады. Геометриялық дәлелдемелері анықталған әлгі пішіндердің қабырғаларын анықтау кезінде біз көрсеткен белгілі өнер тәсілімен істейтін болсаңдар, біліп қойыңдар, онда сенің дөңгелекке іштей сызылған пішінді салуың дұрыс болмақ, егер сен дөңгелекке жанасатын бөліну тұстарынан сызықтар жүргізетін болсақ, сызбада сырттай сызылған пішін пайда болады. Пішінге сырттай сызылған және пішінге іштей сызылған дөңгелектерге қатысты, бұлар әрқилы болады, ал бұлардың әрқайсысы туралы осы кітапта оның қалай салынатындығы дәлелденген /33/. [І] Дөңгелекке іштей сызылған үшбұрыш салу. Егер біздің дөңгелекке іштей теңқабырғалы үшбұрыш салғымыз келсе, онда дөңгелектің ортасы D нүктесінде болатын ABC дөңгелегін саламыз, мұның ADE диаметрін сызамыз, Е нүктесін ортасы ретінде қабылдап, ED қашықтықта В және С нүктелерін белгілейміз, АВ, АС және ВС сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы ABC үшбұрышы пайда болады /34/. Мұның суреті мынадай [45-сурет] болады:

[45-сурет] [ІІ] Дөңгелектің маңайында сырттай сызылған үшбұрыш салу. Егер біздің ABC дөңгелегінің маңайында сырттай теңқабырғалы үшбұрыш салғымыз келсе, онда дөңгелекке іштей теңқабырғалы ABC үшбұрышын саламыз, А,В және С нүктелерінің әрқайсысынан G, Н және F нүктелеріне жеткенше жанама сызықтар сызамыз. Сонда теңқабырғалы HGF үшбұрышы пайда болады /35/. Мұның суреті мынадай [46-сурет] болады:

[ІІІ] Дөңгелекке іштей квадрат салу. Егер біреу: дөңгелекке теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрышты іштей қалай салуға болады десе, онда АВ [С] D дөңгелегін саламыз, ол үшін

тікбұрыш жасап қиылысатын АС және BD диаметрлерін сызамыз, АВ, ВС, CD және DA сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты ABCD төртбұрыш пайда болады /36/. [Мұның суреті мынадай] [47-сурет]

[47-сурет] [ІV] Егер біреу: ашасы ABCD дөңгелегінің жарты диаметріне тең болатын, циркульді пайдаланып дөңгелекке іштей теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрышты қалай салуға болады десе, онда AC диаметрін сызамыз. А нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, циркульдің ашасымен Е және G нүктелерін белгілейміз де, Е мен G-ді қосамыз. С нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, арасы АЕ қашықтығына тең Н және F-ті белгілеп, Н пен Ғ-ті қосамыз. KG және JF сызықтарын сызамыз, бұлар М нүктесінде қиылысады. М нүктесін дөңгелектің ортасымен қосып, осы сызықты В және D нүктелеріне дейін созамыз. АВ, ВС, CD, DA сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты ABCD төртбұрышы пайда болады /37/. Мұның суреті мынау [48-сурет] болады:

[48-сурет] [V] Егер қажет болса, А және С нүктелерін дөңгелектің орталары ретінде алып, циркульдің [әлгіндей] ашасымен Е, G, Н және F нүктелерін белгілейміз. EG және HF сызықтарын сызамыз, бұлар AC сызығымен J және К нүктелерінде қиылысады. Осы нүктелерді дөңгелектің ортасы ретіне алып, арақашықтығы [циркульдің ашасындай сырттай] екі дөңгелек сызамыз, бұлар L және М нүктелерінде қиылысады. L мен М-ді қосамыз, LM-ді В және D нүктелеріне дейін созамыз. АВ, ВС, CD және DA сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрыш ABCD пайда болады. Мұның суреті мынадай [49-сурет] болады:

[49-сурет] [VІ] Қажет болса, Е, G, Н және Ғ нүктелерін дөңгелектің ортасы ретінде алып, J және К нүктелерінде қиылысатын сырттай дөңгелек сызамыз. JK түзуін сызамыз, бұл түзу В және D нүктелерінде дөңгелекті қиып өтеді. АВ, ВС, CD және DA сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты ABCD төртбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынау [50-сурет] болады:

[VІІ] Егер қажет болса, A, F және С, G нүктелерін қосамыз, A, F және С, G нүктелерін қосатын сызықтар М нүктесінде қиылысады. Осы нүктені дөңгелектің ортасымен қосамыз да, оны В және D нүктелерімен қиылысқанша созамыз. Мұның суреті мынау [51-сурет] болады:

[51-сурет]

[VІІІ] Дөңгелекке іштей сызылған бесбұрыш салу. Егер біреу дөңгелекке іштей сызылған теңқабырғалы әрі теңбұрышты ABCD бесбұрышты қалай салу керек десе, онда D нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, ADC (диаметрін) сызамыз, D нүктесіне DB перпендикулярын тұрғызамыз, AD-ні Е нүктесінде қақ бөлеміз, Е нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде аламыз да, ЕВ қашықтығында G нүктесін белгілейміз, В нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде аламыз да, BG қашықтығында F нүктесін белгілейміз. Сонда BF доғасы дөңгелектің бестен бір үлесіне тең болады. ВҒ доғасы тең JF, JK, КН және НВ доғаларын салып, ҒВ, ВЫ, НК, KJ, JF сызықтарын сызамыз, сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты BFJKH бесбұрышы пайда болады /38/. Мұның суреті мынадай [52-сурет] болады:

[52-сурет] [ІX] Егер біреу: циркульдің дөңгелектің жарты диаметріне тең ашасымен және егер D дөңгелектің ортасы болса, ABC дөңгелегіне іштей сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] бесбұрышты қалай салуға болады десе, онда АВ сызығына бесбұрыш салу кезіндегідей DA сызығына үшбұрыш саламыз. ADG осы үшбұрыш болсын, ол ABC дөңгелегін С нүктесінде қиып өтеді. ABC доғасын В, Н, Е және С нүктелерінде теңдей төрт бөлікке бәлеміз, АС, СЕ, EH, HB және ВА сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] АСЕНВА бесбұрышы пайда болады /39/. Мұның суреті мынадай [53-сурет] болады:

[53-сурет] [X] Дөңгелеккке іштей сызылған бесбұрышты салудың басқа бір тәсілі. DA сызығына осы сызыққа (DA-ra) тең АЕ перпендикулярын тұрғызамыз, G нүктесінде DA-ны қақ бөлеміз, GE сызығын сызамыз, AD-ra тең GE-ні сызамыз, AD-ғa тең GH сызығын саламыз, мұны F нүктесінде қақ бәлеміз, J нүктесінде DA-мен қиылысатын FJ перпендикулярын тұрғызамыз. J нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, DA қашықтығында М және L нүктелерін белгілейміз. Сонда ML доғасы дөңгелектің бестен бір бөлігіне тең болады. Мұның суреті мынадай [54-сурет] болады:

[54-сурет] [XІ] Дөңгелекке іштей сызылған алтыбұрыш салу. Егер біреу: дөңгелекке іштей теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] алтыбұрышты қалай салуға болады десе, онда AC диаметрін сызамыз, А және С нүктелерінің әрқайсысын дөңгелектің ортасы ретінде алып жарты диаметр қашықтықта В және Н, Е және G-ді белгілейміз. АВ, BE, ЕС, CG, СН және НА сызықтарын сызамыз. Осыдан теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] ABECGH алтыбұрышы пайда болады /40/. Мұның суреті мынадай болады [55-сурет].

[55-сурет].

[XІІ] Дөңгелекке іштей жетібұрыш салу. Егер біреу: ABC дөңгелегіне теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] жетібұрышты іштей қалай салуға болады десе, онда ADC диаметрін сызамыз, А нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, AD, яғни жарты диаметр қашықтықта В және Е-ні белгілейміз де, ВЕ-ні сызамыз, бұл сызық АС сызығын G нүктеде қиып өтеді. В нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, BG қашықтықта Н-ты [нүктесін] белгілейміз. Сонда ВН доғасы дөңгелектің жуық шамамен алғанда (дәл емес) жетіден бір үлесіндей болады. Сондықтан АВСЕ дөңгелекті ВН доғасына тең бөліктерге бөліп, бөліктер белгіленген тұстарды өзара қосқанда, теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] жетібұрыш FBHJІKLM пайда болады /41/. Мұның суреті мынадай [56-сурет] болады:

[56-сурет] [XІІІ] Дөңгелекке іштей сегізбұрыш салу. Егер біреу: дөңгелекке іштей теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] сегізбұрышты қалай салуға болады десе, онда оған теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрыш саламыз, доғаның әрқайсысын қақ бөліп, бөлінген тұстарын жаңа [нүктемен] түзу сызықтармен қосамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты сегізбұрыш пайда болады. Мұның суреті мынадай [57сурет] болады:

[57-сурет] [XІV] Дөңгелекке іштей тоғызбұрыш салу. Егер біреу: дөңгелекке іштей [теңқабырғалы әрі теңбұрышты] тоғызбұрышты қалай салуға болады десе, онда дөңгелектің ішіне теңқабырғалы үшбұрыш саламыз да, әрбір доғаны тең үш бөлікке бөлеміз және де бөліктер бөлінген тұсты түзу сызықтармен қосамыз. Сонда теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] тоғызбұрыш пайда болады. Мұның суреті мынадай [58-сурет] болады:

ІX VІ Дөңгелекке іштей онбұрыш салу. Егер біреу: дөңгелекке іштей онбұрышты қалай салуға болады десе, онда әлгі дөңгелектің ішіне қажет болғанша бесбұрыш сызамыз да, доғаның әрқайсысын қақ бөлеміз және болу нүктелерін сызықтармен қосамыз, осыдан іштей сызылған онбұрыш пайда болады. Егер қажет болса, бұрынырақ салынғанға ұқсас іштей бесбұрыш сызамыз, сонан соң, бұрынғыдай DG сызығын саламыз. Бұл -онбұрыштың хордасы. Дөңгелекті DG сызығына тең бөліктерге бәлеміз де, бөлік белгісі түскен тұстарды өзара сызықтармен қосамыз. Сонда дөңгелекке іштей сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] онбұрыш пайда болады /42/. Мұның суреті мынадай [59-сурет] болады:

[59-сурет] ТӨРТІНШІ КІТАП Пішіндердің маңайына сырттай сызылған дөңгелек салу туралы [І] Егер біреу: ABC үшбұрышының маңайына сырттай қалай дөңгелек сызуға немесе бір түзудің бойында жатпайтын әр түрлі үш нүкте арқылы қалай дөңгелек сызуға болады десе, онда осы екі сұрақтың мағынасы бірдей. А және В нүктелерін дөңгелектің екі

ор¬тасы ретінде алып, D және Е нүктелерінде қиылысатын екі дөңгелек саламыз, DE түзуін сызамыз. Одан кейін А және С нүктелерінен А және В нүктелеріндегіге ұқсас G және Н нүктелерінде қиылысатын сырттай екі дөңгелек сызамыз да GH сызығын сызамыз. GH сызығы DE сызығын Ғ нүктесінде қиып өтеді. сонда А, В және С нүктелері арқылы өтетін дөңгелектің ортасы болатын Ғ нүктесі пайда болады /43/. Мұның суреті мынадай [60сурет] болады:

[ІІ] Үшбұрыштың маңайына сырттай дөңгелек салудың екінші тәсілі. А және С нүктелерінен АВ және ВС сызықтарына AD және DC перпендикулярларын тұрғызамыз; бұлар D нүктесінде қиылысады; BD-ні сызамыз да, мұны Е нүктесінде қақ бәлеміз; сонда Е нүктесі - ізделіп отырған А, В және С нүктелері арқылы өтетін дөңгелектің ортасы болады. Мұның суреті мынадай [61-сурет] болады:

[61-сурет] [ІІІ] Квадраттың маңайына сырттай сызылған дөңгелек салу туралы. Егер біреу: ABCD квадратының маңайына сырттай қалай дөңгелек сызуға болады десе, онда Е нүктесінде қиылысатын AC және BD диагоналдарын сызамыз. Сонда А, В, С және D нүктелері арқылы өтетін дөңгелектің ортасы - Е пайда болады /44/. Мұның суреті мынадай [62-сурет] болады:

[62-сурет] [ІV] Бесбұрыштың маңайына сырттай сызылған дөңгелек салу туралы. Егер біреу: бесбұрыштың маңайына сырттай қалай дөңгелек сызуға болады десе, онда А және В нүктелерін G және Н нүктелерінде қиылысатын кез келген екі дөңгелектің орталары ретінде аламыз да, GH сызығын сызамыз. Мұнан соң, А және Е нүктелерін J және К нүктелерінде қиылысатын, кез келген дөңгелектердің орталары ретінде аламыз. HG сызығымен L нүктесінде қиылысатын JK сызығын сызамыз. Сонда А, В, С, D және Е нүктелері арқылы өтетін дөңгелектің ортасы L пайда болады /45/. Мұның суреті мынадай [63сурет] болады:

[63-сурет] [V] Алтыбұрыштың маңайына сырттай дөңгелек салу туралы. Егер біреу: ABCDEG алтыбұрышының маңайына сырттай қалай дөңгелек сызуға болады десе, онда А және В нүктелерінің әрқайсысынан дөңгелектің орталары ретінде АВ қашықтығында Н нүктесінде қиылысатын сырттай екі дөңгелек сызамыз. Сонда Н нүктесі - А, В, С, D, Е, G нүктелері арқылы өтетін дөңгелектің ортасы болады /46/. Мұның суреті мынадай [64-сурет] болады:

[64-сурет]

[VІ] Егер қабырғалары мен бұрыштары көп [теңқабырғалы] пішін берілсе, оның төңірегіне сырттай бесбұрышқа ұқсас дөңгелек сызу үшін, оның қабырғаларын қақ бөліп, перпендикулярлар сызамыз. Бұл салу бесбұрыштың маңайына пішінге арналған қабырғалары көп немесе аз сырттай дөңгелек сызудан айырмашылығы жоқ. БЕСІНШІ КІТАП Пішіндерге іштей сызылған дөңгелек салу туралы [І] Егер біреу: ABC үшбұрышына дөңгелекті іштей қалай сызуға болады десе, онда В нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, АВ және ВС түзулерінің бойынан D және Е нүктелерін белгілейміз. Осы [нүктелердің] әрқайсысын дөңгелектің орталары ретінде алып, G нүктесінде қиылысатын кез келген екі дөңгелек саламыз, BG сызығын сызамыз. Будан соң С нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, АС, СВ сызықтарының бойынан Н және F нүктелерін белгілейміз; Н және F нүктелерін дөңгелектің орталары ретінде алып, J нүктесінде қиылысатын кез келген екі дөңгелек сызамыз, J-ді және С-мен қосамыз. CJ сызығы BG сызығын К нүктесінде қияды. К нүктесі ABC үшбұрышына іштей сызылған дөңгелектің ортасы болады /47/. Мұның суреті мынадай [65-сурет] болады:

[65-сурет] [ІІ] Осылайша дөңгелекке іштей теңқабырғалы әрі теңбұрышты пішіндерді сызуға болады: оның екі бұрышын қақ бөлеміз. Сызықтардың қиылысу нүктесі үшбұрышқа [төртбұрышқа, бесбұрышқа т.с.с.] іштей сызылған дөңгелектің ортасы болады. АЛТЫНШЫ КІТАП Кейбір пішіндерге іштей сызылған өзгедей пішіндер салу туралы [І] Теңбүйірлі төртбұрышқа іштей сызылған үшбұрыш салу. Егер біреу: теңбүйірлі төртбұрышқа іштей сызылған теңбүйірлі үшбұрышты қалай салуға болады десе, онда ABDC квадратын саламыз да, DC сызығын Е нүктесіне дейін созамыз және СЕ-ні CDға тең етеміз. ED сызығының бойына жарты дөңгелек саламыз да, D нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, DC қашықтығында G нүктесін белгілейміз. Одан соң Е нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, EG қашықтығында Н нүктесін белгілейміз, DH-қа тең АҒ-ті саламыз, В-ні Ғ-пен, В-ні Н-пен, Ғ-ті Н-пен қосамыз. Сонда ABDC квадратына іштей сызылған теңқабырғалы BFH үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [66-сурет] болады:

[66-сурет] [ІІ] Квадратқа іштей үшбұрыш салудың екінші тәсілі. Қажет болса BD сызығының бойына BDE теңқабырғалы үшбұрыш саламыз да, EBD бұрышын BG сызығымен қақ бөлеміз, сондай-ақ GBD бұрышын ВН сызығымен қақ бөлеміз, AF сызығын DH-пентең етеміз, ВН, BF және FH сызықтарын сызамыз, сонда ABDC квадратына іштей сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] BFH үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [67-сурет] болады:

[67-сурет]

[ІІІ] Квадратқа іштей сызылған үшбұрыш салудың үшінші тәсілі. Егер қажет болса, AD және ВС сызықтарын Е және G нүктелерінде қақ бөлеміз де, А нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, АВ қашықтығында ВН доғасын сызамыз. [Екі еселенген сызық] GH тең CF және AJ сызықтарын өлшеп саламыз. BJ, BF және FJ сызықтарын сызамыз; сонда ABCD квадратына іштей сызылған теңқабырғалы BFJ үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [68-сурет] болады:

[68-сурет] [ІV] Квадратқа іштей сызылған үшбұрыш салудың төртінші тәсілі. Квадрат сызып, AD және ВС сызықтарының әрқайсысын Е және Н нүктелерінде қақ бөліп, ЕН-ты қосамыз да, В-ні дөңгелектің ортасы ретінде алып, ВС қашықтығында G нүктесін белгілейміз, ЕН-ты GF сызығы GH-қа тең болғанша F нүктесіне дейін созамыз, BF-ті қосамыз, бұл түзу К нүктесінде AD-ны қиып өтеді, ВК, BJ және JK сызықтарын сызамыз. Сонда ABCD квадратына іштей сызылған теңқабырғалы BKJ үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [69-сурет] болады:

[69-сурет] [V] Квадратқа іштей сызылған үшбұрышты салудың бесінші тәсілі. Егер біз осыны салғымыз келсе, квадратқа сырттай ABCD дөңгелегін сызамыз, оның ортасы Е болады, BD диаметрін сызамыз, D нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, DE қашықтығында H және G нүктелерін белгілейміз, AD және DC сызықтарымен F және J нүктелерінде қиылысатын BG және ВН сызықтарын сызамыз және FJ-ді қосамыз. Сонда ABCD квадратына іштей сызылған теңқабырғалы BFJ үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [70-сурет] болады:

[70-сурет] ІVІJ Квадратқа сырттай сызылған үшбұрыш салу туралы. Егеp біреу: ABCD квадратына сырттай сызылған теңқабырғалы үшбұрышты қалай салуға болады десе, онда АВ [сызығының] бойына ABE теңқабырғалы үшбұрыш саламыз, ЕА, ЕВ сызықтарын олардың бағыттары бойынша созамыз, сонымен қатар CD сызығын да G және Н нүктелерінде [ЕА, ЕВ созындыларымен қиылысқанша созамыз. Сонда ABCD квадратына сырттай сызылған EGH теңқабырғалы үшбұрыш пайда болады. Мұның суреті мынадай [71-сурет] болады:

[71-сурет] [VІІ] Үшбұрышқа сырттай сызылған квадрат салу туралы. Егер біреу: теңқабырғалы үшбұрышқа сырттай теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрышты қалай салуға болады десе, онда [теңғабырғалы] ABC үшбұрышын саламыз, AC қабырғасын D нүктесінде қақ бөлеміз де BD-ні Е-ге дейін созамыз, DE-ні AD сызығына тең етеміз, Е-ні С-мен, Е-ні А-мен қосамыз, В нүктесінен ЕА және ЕН сызықтарына BG және ВН перпендикулярларын

түсіреміз. Сонда BGEH теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [72-сурет] болады:

[72-сурет] [VІІІ] Қабырғалары әр түрлі үшбұрышқа сырттай сызылған квадрат салу туралы. Егер біреу: қабырғалары әр түрлі ABC үшбұрышына сырттай сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] квадратты қалай салуға болады десе, онда СА сызығына С нүктесінен CD перпендикулярын тұрғызамыз да, оны СА сызығына тең етеміз, D-ні В-мен қосамыз әрі DB-ні бағыты бойынша созамыз. С нүктесінен DB түзуіне СЕ перпендикулярын түсіреміз, С нүктесінен СЕ-ге CG перпендикулярын сызамыз, А нүктесінен СЕ-ге параллел сызық сызамыз; бұл – НА сызығы. Сонда қабырғалары әр түрлі үшбұрышқа сырттай сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] HGCE төртбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [73-сурет] болады:

[73-сурет] [ІX] Үшбұрышқа сырттай сызылған квадрат салудың екінші тәсілі. ABC үшбұрышын саламыз, ВС сызығына А нүктесінен AD перпендикулярын түсіреміз, АЕ сызығын ВС сызығына тең етеміз, В-ні Е-мен қосамыз, BE сызығының созындысына С нүктесінен СН перпендикулярын, НС сызығына А нүктесінен AF перпендикулярын, AF сызығына В нүктесінен ВК перпендикулярын түсіреміз. Сонда ABC үшбұрышына сырттай сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] KFHB төртбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [74-сурет] болады:

[74-сурет] [X] Үшбұрышқа сырттай сызылған квадрат салудың үшінші тәсілі. Егер қажет болса, АВ сызығына А нүктесінен AD перпендикулярын тұрғызамыз, оны АВ-ға тең етіп саламыз. ABC үшбұрышына тең ADE үшбұрышын саламыз. Сонда DE сызығы ВС-ға тең, ал АЕ сызығы АСға тең болады. ЕВ-ны қосамыз және ЕВ сызығына С нүктесінен СН перпендикулярын түсіреміз, ал ЕВ және СН сызықтарына А нүктесінен АҒ және AG перпендикулярларын түсіреміз. Сонда AGHF - квадрат болады. Мұның суреті мынадай [75-сурет] болады:

[75-сурет] [XІ] Үшбұрышқа іштей сызылған квадрат салу туралы. Егер біреу: ABC үшбұрышына іштей теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] төртбұрышты қалай сызуға болады десе, онда В нүктесінен ВС сызығына тең BD перпендикулярын тұрғызамыз және AD-ны қосамыз; [AD] Е нүктесінде ВС-ті қиып өтеді. Е нүктесінен ЕВ сызығына EG перпендикулярын тұрғызамыз, ал АВ сызығын G нүктесінде қиып өтеді. G нүктесінен ВС сызығына параллел GH сызығын сызамыз және Н нүктесінен ВС сызығына HF перпендикулярын [түсіреміз]. Сонда ABC үшбұрышына іштей сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] EGHF төртбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [76-сурет] болады:

[76-сурет] [XІІ] Үшбұрышқа іштей сызылған квадрат салудың екінші тәсілі. В нүктесіне ВС сызығына тең BD перпендикулярын түсіреміз де, D-ні Е мен қосамыз; DE АВ сызығын G нүктесінде қиып өтеді; G нүктесі арқылы ВС-ге параллел GH сызығын сызамыз және де ВС сызығына GF және HJ перпендикулярларын түсіреміз, сонда ABC үшбұрышына іштей сызылған GHJF теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] төртбұрыш пайда болады. Мұның суреті мынадай [77сурет] болады:

[77-сурет] [XІІІ] Теңқабырғалы үшбұрышқа іштей сызылған квадрат салу туралы. Егер қажет болса, онда ВС-нің бойына BDEC квадратын саламыз да ВС-ні G нүктесінде қақ бәлеміз, DG және EG-ді сызамыз, бұлар АВ және АС түзулерін Н пен Ғ нүктелерінде қиып өтеді, Н-ты Ғ-пен қосамыз. Осылардан НК және FL перпендикулярларын түсіреміз, сонда ABC үшбұрышына іштей сызылған HFLK квадраты пайда болады. Мұның суреті мынадай [78-79-суреттер] болады:

[XІV] Қабырғалары әр түрлі үшбұрышқа іштей сызылған теңқабырғалы үшбұрыш салу туралы. Егер біреу: бір қабырғасы ВС сызығына параллел болатын, қабырғалары әр түрлі ABC үшбұрышына теңқабырғалы үшбұрышты іштей қалай сызуға болады десе, онда ВС сызығына теңқабырғалы BDC үшбұрышын саламыз, AJ және DE перпендикулярларын сызамыз, ВН-ты AJ сызығына тең, ал HG-ді DE перпендикулярына тең етеміз. С-ді G-мен қосамыз, Н нүктесінен GC сызығына параллел HF сызығын сызамыз, сонда BF сызығы ABC үшбұрышына іштей сызылған теңқабырғалы үшбұрыштың қабырғасы болады, мұның бір қабырғасы ВС сызығына параллел және қарсы жатқан бұрыштың төбесі ВС-де жатады. Сондықтан егер біз ABC үшбұрышында ВС-ке параллел және BF-ке тең LN сызығын сызамыз, L нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, LN қашықтығында ВС-нің бойынан М нүктесін белгілейміз де, L нүктесін М-мен және N-ді М-мен қосамыз, сонда ABC үшбұрышына іштей сызылған теңқабырғалы LNM үшбұрышты пайда болады. Мұның суреті мынадай [80-сурет] болады:

[80-сурет] [XV] Қабырғалары әр түрлі үшбұрышқа сырттай сызылған теңқабырғалы үшбұрыш салу туралы. Егер біреу: қабырғалары әр түрлі ABC үшбұрышының сыртына теңқабырғалы үшбұрышты қалай салуға болады десе, онда ВС сызығына параллел сызық сызамыз, ВС сызығының бойына қабырғалары әр түрлі BDC үшбұрышын саламыз, DB және DC сызықтарын бағыты бойынша созамыз, А нүктесінен ВС сызығына параллел GAE сызығын және онымен Е, және G нүктелерінде қиылысатын BD және DC сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы DEG үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [81-сурет] болады:

[81-сурет] [XVІ] Бесбұрышқа іштей сызылған үшбұрыш салу туралы. Егер біреу: ABCDE теңқабырғалы бесбұрышқа іштей сызылған теңқабырғалы үшбұрышты қалай сызуға болады десе, онда В нүктесінен DE-ге BG перпендикулярын сызамыз да, оны Н нүктесінде қақ бәлеміз, Н нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, НВ қашықтықта BG дөңгелегін сырттай сызамыз. G нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, GH аралықта дөңгелектің шеңбері бойынан F және К нүктелерін белгілейміз. ВК және BF сызықтарын сызамыз, бұлар АЕ және CD сызықтарын М мен N нүктелерінде қиып өтеді, ВМ және BN сызықтарын сызамыз. Сонда ABCDE бесбұрышына іштей сызылған BMN теңқабырғалы үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [82-сурет] болады:

[82-сурет] [XVІІ] Бесбұрышқа сырттай сызылған үшбұрыш салу. Егер біреу: теңқабырғалы ABCDE бесбұрышына сырттай сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] үшбұрышты қалай сызуға болады десе, онда бесбұрыштың ішіне теңқабырғалы үшбұрыш саламыз, бұл -BGH үшбұрышы, А және С нүктелері арқылы BG және ВН сызықтарына параллел FL және FK екі түзуін сызамыз да DE сызығын екі бағытта L және К нүктелеріне дейін созамыз. Сонда ABCDE бесбұрышына сырттай сызылған FLK теңқабырғалы үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [83-сурет] болады:

[83-сурет] [XVІІІ] Бесбұрышқа іштей сызылған квадрат салу туралы. Егер біреу: ABCDE теңқабырғалы әрі теңбұрышты бесбұрышқа теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] төртбұрышты іштей қалай сызуға болады десе, онда С нүктесінен CG перпендикулярын АЕ сызығына түсіреміз де оны Н нүктесінде қақ бөлеміз, бұл нүкте арқылы АЕ-ге параллел FHK сызығын сызамыз да, С-мен F-ті, С-мен К-ны, Кмен G-ді, Ғ-пен G-ді сызықтармен қосамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты CFGK төртбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [84-сурет] болады:

[84-сурет] [XІX] Бесбұрышқа сырттай сызылған квадрат салу туралы. Егер біреу: ABCDE теңқабырғалы бесбұрышына сырттай сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] төртбұрышты қалай салуға болады десе, онда АЕ сызығын G нүктесінде қақ бәлеміз де, оған GE-ге тең GH перпендикулярын тұрғызамыз, Н-ты Е-мен, Н-ты А-мен қосамыз, екі сызықты да бағыттары бойынша созамыз, В және D нүктелерінен HF және HL түзулеріне BF және DL перпендикулярларын түсіреміз, бұлардың бағыттары бойынша К нүктесіне дейін созамыз, Сонда ABCDE бесбұрышына сырттай сызылған теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] FKLH төртбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [85-сурет] болады:

[85-сурет] [XX] Квадратқа іштей сызылған бесбұрыш салу. Егер біреу: ABCD квадратына іштей сызылған теңқабырғалы әрі теңбұрышты бесбұрышты Е бұрышы қажетті шамада диагоналға EGHFJ бесбұрышына ұқсас қалай салу керек десе, онда қажетті шамада KLMNX теңқабырғалы бесбұрышты саламыз да, оның сыртына квадрат саламыз. Оның бір қабырғасы ZQ болсын. ZO сызығын сызамыз, QP-ді АВ қабырғасына тең етеміз, Р нүктесінен ZO сызығына параллел PG сызығын сызамыз, R нүктесінен MN қабырғасының ортасынан және Q нүктесінен өтетін сызық сызамыз. АС-ні қосамыз, QR сызығына тең CS-ті саламыз, АС сызығына перпендикуляр HSF түзуін сызамыз. Сонан соң Н пен F нүктелерін дөңгелектердің орталары ретінде алып, АВ және AD сызықтарының бойынан HF аралықта G мен J нүктелерін дөңгелектің орталары ретінде алып, GH аралықта Е-ні белгілейміз де, HG, GE, EJ және JF сызықтарын сызып [теңқабырғалы әрі теңбұрышты бесбұрышы] ABCD квадратына іштей сызылған EGHFІ пайда болады /48/. Мұның суреті мынадай [86-сурет] болады:

[86-сурет] [XXІ] Квадратқа іштей сызылған сегізбұрыш салу. Егер біреу: квадратқа іштей теңқабырғалы әрі теңбұрышты сегізбұрышты қалай салуға болады десе, онда ABCD квадратын саламыз, Е нүктесінде қиылысатын диаметрлерді сызамыз, Е нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып квадрат қабырғасының жартысына тең қашықтықта G нүктесін белгілейміз, G нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып D мен G нүктелері қашықтығында Н пен F нүктелерін белгілейміз, әрбір бұрыштан квадраттың қабырғаларының бойына тең DF пен DH сызықтарын саламыз. Бұл - MA, AL, BN, ВХ, СК, CJ сызықтары. HF, JK, LM және NX сызықтарын қосамыз; сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты JKLMNXHF сегізбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [87-сурет] болады:

[87-сурет] [XXІІ] Квадратқа іштей сызылған сегізбұрышты өзгеше салу [тәсілі]. Егер қажет болса, циркульдің ашасымен АЕ қашықтықта [яғни, квадрат диагоналының жартысы] квадраттың әрбір бұрышынан дөңгелектің ортасы ретінде АЕ қашықтықта М, N, X, Н, Ғ, J, К және L нүктелерін белгілейміз, LM, NX, НҒ және JK сызықтарын сызамыз. Сонда теңқабырғалы әрі теңбұрышты LMNXHFJK сегізбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [88-сурет] болады:

[88-сурет] [XXІІІ] Сегішбұрышқа сырттай сызылған квадрат салу туралы. Егер біреу: ABCDEGHF теңқабырғалы сегізбұрышқа сырттай сызылған квадратты қалай салуға болады десе, онда АВ, CD, EG, НҒ сызықтарын J, К, L, М нүктелерімен қиылысқанға дейін созамыз; сонда ABCDEGHF сегізбұрышына сырттай сызылған JKLM теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] төртбұрыш пайда болады. Мұның суреті мынадай [89-сурет] болады:

[89-сурет] ЖЕТІНШІ КІТАП Үшбұрыштарды бөлу туралы [І] Егер біреу: ABC үшбұрышын сызықпен қалай қақ бөлуге болады десе, онда оның бір бұрышынан сызық сызамыз; біз сызық сызатын бұрыш - А бұрышы болсын. ВС сызығын D нүктесінде қақ бөлеміз де, А-ны D-мен сызықпен қосамыз. Сонда AD сызығымен қақ бөлінген ABC үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [90-сурет] болады:

[90-сурет] [ІІ] Егер біреу: ABC үшбұрышын сызықпен қалай бөлуге болады десе, онда А нүктесінен қарама-қарсы қабырғаға перпендикуляр түсіреміз; бұл - D нүктесі. Егер біз осыны салғымыз келсе, онда ВС сызығын қақ бөлеміз. Егер бөлу D нүктесімен дәл келсе (үйлессе), онда AD сызығымен қақ бөлінген ABC үшбұрышы пайда болады. Егер D нүктесінде ВС сызығы қақ бөлінбесе, ВС-нің ортасыЕ нүктесі болсын. Сонда, егер А-ны Емен және А-ны D-мен қоссақ, Е нүктесінен AD сызығына параллел EG сызығы сызылса, D мен G-ны қосу керек, сонда ABC үшбұрышы DG сызығымен қақ бөлінеді. Мұның суреті мынадай [91-сурет] болады:

[91-сурет] [ІІІ] Егер біреу: ABC үшбұрышын сызықтармен төрт тең бөлікке қалай бөлу керек десе, онда В нүктесінен бастап ВС сызығына төрт тең бөлік саламыз. Бұлар - BE, EG, GH және НС. ВС-ге перпендикуляр AD сызамыз. Бөлу орындарынан AD сызығына параллел EL, GK, НҒ сызықтарын сызамыз және D-ні L-мен, D-ні К-мен, D-ні Ғ-пен сызықтармен қосамыз. Сонда төрт тең бөліктерге: BDL, DLK, DKF және DFC-ге бөлінген ABC үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [92-сурет] болады:

[92-сурет] Егер біз үшбұрышты үш бөлікке, бес бөлікке немесе кез келген тең бөлікке бөлгіміз келсе, дәл осындай салу жұмысы қажет болады. [ІV] Егер біреу: ABC үшбұрыштың бір қабырғасына параллел сызықпен - бұл ВС қабырғасы болсын дейік, ABC үшбұрышын қалай қақ бөлуге болады десе, онда, егер осыны салғымыз келсе, АС бағытында АС-нің жартысына тең AD-ні сызамын. DC-нің бойына сырттай жарты дөңгелек саламыз, DC-ге АЕ перпендикулярын тұрғызамыз, AG-ді АЕ-ге тең етіп сызамыз, ВС сызығына параллел GH сызығын сызамыз; сонда GH сызығымен тең бөлінген ABC үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [93-сурет] болады:

[93-сурет]

[V] Егер біреу: ВС түзуіне параллел екі сызықпен ABC үшбұрышын тең үш бөлікке қалай болу керек десе, онда AC бағытында АС-нің үштен бір бөлігіне тең AD түзуін өлшеп саламыз да, АС-нің үштен екі бөлігіне тең АЕ сызығын саламыз, DC және СЕ сызықтарының әрқайсысына сырттай жарты дөңгелектер сызамыз, АС сызығына AGH перпендикулярын тұрғызамыз, AG сызығына тең AF сызығын және АН сызығына тең AJ сызығын өлшеп саламыз. ВС сызығына параллел JK және FL сызықтарын сызамыз, сонда үш тең бөлікке: бұл - ALF, FLKJ және BKJC-ке бөлінген ABC үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [94-сурет] болады:

[94-сурет] Егер біз үшбұрышты төрт немесе одан көп тең бөліктерге бөлгіміз келсе, дәл осындай салу жұмысы қажет болады. [VІ] Үшбұрышты үш тең бөлікке бөлудің екінші тәсілі. Егер қажет болса, онда AC сызығының үштен екісіне тең AD сызығын сызамыз, DC сызығының бойына жарты дөңгелек саламыз, АЕ перпендикулярын тұрғызамыз, AG сызығын АЕ перпендикулярымен тең етіп сызамыз және ВС сызығына параллел GH сызығын сызамыз. Одан әрі осы тараудың жоғарыда сипатталғанындай ABC үшбұрышын қақ бөлеміз. Сонда үш тең бөлікке: AFJ, FHGJ, HBCG бөлінген ABC үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [95-сурет] болады:

[95-сурет] [VІІ] Үшбұрыштар туралы мәселенің басқа түрі. Егер біреу: ABC үшбұрышының ауданын ВС сызығына параллел сызықпен қалай ұлғайту керек десе, онда АС сызығының бойына екі еселенген сызық саламыз, бұл - AD болады, CD сызығының бойына DEC жарты дөңгелегін сырттай сызамыз, АС сызығына АЕ перпендикулярын тұрғызамыз, АН сызығын АЕ сызығына тең етіп саламыз, ВС сызығына параллел HG-ны АВ-мен қиылысқанша созамыз. Сонда CG пішіні (фигурасы) ABC үшбұрышына тең болады [96-сурет]. Егер үшбұрышты үш [төрт] одан да көп есе ұлғайтқымыз келсе, дәл осы секілді салуды орындаймыз /49/.

[96-сурет] [VІІІ] Егер біреу: ABC үшбұрышына А нүктесі арқылы өтетін сызықтар арқылы осы үшбұрышқа тең немесе одан екі есе, үш және одан да көп есе үлкен пішінді (фигураны) қалай біріктіруге болады десе, онда ВС сызығын екі немесе үш есе ұлғайтамыз; сонда BD сызығы пайда болады және А-ны D-мен қосамыз. Сонда ADB үшбұрышы не АСВ үшбұрышына тең немесе одан екі есе үлкен болады. Мұның суреті мынадай [97-сурет] болады:

[97-сурет]

[ІX] Егер біреу: ABC үшбұрышының ортасына (ішіне) оған ұқсас әрі үшбұрыштың жартысына немесе үштен бір бөлігіне, немесе басқадай бөлігіне тең үшбұрышты қалай салуға болады десе, онда оның ортасынан D нүктесін белгілеп, А-ны D-мен, В-ні D-мен және С-ні D-мен қосамыз да, АЕ AD-ның жартысына немесе үштен бір бөлігіне, немесе төрттен бір бөлігіне тең болатындай етіп, AD бағыты бойынша Е нүктесіне дейін созамыз. ED-нің бойына жарты дөңгелек саламыз да, AG перпендикулярын орнатамыз, DH-ты AG-ге тең етіп саламыз. Өзге сызықтармен де осы салуды орындау керек. Сонда Н, F және J нүктелері пайда болады. Осыларды қосып, өзіміздің салғымыз келген - ішіне HFJ үшбұрышы салынған ABC үшбұрышы пайда болады. Мұның суреті мынадай [98-сурет] болады:

[98-сурет] СЕГІЗІНШІ КІТАП Төртбұрыштарды бөлу туралы [І] Егер біреу: ABCD жазық пішінді (фигураны) оның бұрыштарының бірі арқылы өтетін сызықпен қалай қақ бөлуге болады десе, онда А бұрышын аламыз да, Е нүктесінде қиылысатын AC және BD сызықтарын сызамыз. Сонда егер BE сызығы ED сызығына тең болса, онда АС сызығы ABCD пішінін қақ бөледі /50/. Мұның суреті мынадай [99-сурет] болады:

[99-сурет] [ІІ] Егер BE сызығы ED-ге тең емес болса, онда BD-ні G нүктесінде қақ бөлеміз, осы арқылы АС сызығына параллел GH сызығын сызамыз, А-ны Н-пен қосамыз. Сонда ABCD [пішіні] АН сызығымен қақ бөлінеді. Мұның суреті мынадай [100-сурет] болады:

[100-сурет] [ІІІ] Егер біреу: ABCD жазық пішінін оның қабырғаларының бірінің Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай қақ бөлуге болады десе, онда ABCD пішінін В нүктесі арқылы өтетін сызықпен қақ бәлеміз, бұл - ІІ ұсыныста көрсетілгендей BG сызығы. EG және EC-Hі қосамыз. Егер EG сызығы ВС сызығына параллел болса, онда ЕС сызығы ABCD пішінін қақ бөледі. Мұның суреті мынадай [101-сурет] болады:

[101-сурет] [ІV] Егер де EG сызығы ВС сызығына параллел болмаса, онда В нүктесінен EG сызығына параллел ВН сызығын сызамыз, сонда ұл сызық пішіннің не ішінде немесе одан тысқары орналасады. Бұл сызық алғашында пішіннің ішінде болсын. Е-ні Н-пен қосамыз. Сонда ЕН сызығы ABCD пішінін қақ бөледі. Мұның суреті мынадай [102-сурет] болады:

[102-сурет] [V] Егер ВН сызығы ABCD пішінінен тысқары орналасқан болсын. DC сызығын оның ВН-пен қиылысу нүктесі Н-қа дейін созамыз, Н нүктесі арқылы ЕС сызығына параллел HF сызығын сызамыз да, Е-ні F-пен қосамыз. Сонда ЕҒ сызығы ABCD пішінін қақ бөледі. Мұның суреті мынадай [103-сурет] болады:

[103-сурет] [VІ] Егер біреу: ABCD трапециясын CD сызығына параллел сызықпен қалай қақ бөлуге болады - десе, онда АС және BD сызықтарын Е нүктесінде қиылысқанға дейін созамыз да, Е нүктесінде BD сызығына BE тузуіне тең EG перпендикулярын түсіреміз. DGді қосамыз және DG-ді Н-қа дейін, GH-ты CD-нің жартысына тең болғанша созамыз. HD-нің бойына HFD жарты дөңгелегін сырттай сызамыз, DH-қа GF перпендикулярын тұрғызамыз, GF-ке тең EJ-ді өлшеп саламыз, CD сызығына параллел Ж-ны сызамыз. Сонда ABCD трапециясы KJ сызығымен қақ бөлінеді. Мұның суреті мынадай [104-сурет] болады:

[104-сурет] [VІІ] Егер біреу: ABCD параллелограмын кез келген қабырғасының нүктесі, мысалы, CD сызығының Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай қақ бөлуге болады десе, онда АВ сызығының бойына DE сызығына тең AG сызығын өлшеп саламыз және GE-ні қосамыз. Сонда AGEC трапециясы BGED трапециясына тең болады. Мұның суреті мынадай [105сурет және 106-сурет] болады:

[105-сурет] [106-сурет] [VІІІ] Егер біреу: ABCD параллелограмынан AD қабырғасының нүктесі арқылы өтетін сызықтың улесін қалай бөлуге болады десе, онда үштен бір үлесін бөліп аламыз. AD-да Е нүктесі белгіленген болсын; Е нүктесі арқылы АВ сызығына параллел EG сызығын сызамыз. Егер АЕ AD-нің үштен бір үлесі болса, онда мен ABCD пішінінің үштен бір үлесін бөліп алған боламын, бұл пішін ABEG. Мұның суреті мынадай [107-сурет] болады:

[107-сурет] [ІX] Егер де АЕ AD-нің үштен бір бөлігі болмаса, онда AD-нің үштен бір бөлігі - АН-ты өлшеп саламыз. Сонда Н нүктесі не АЕ сызығының бойында немесе DE сызығының бойында жатады. Егер Н нүктесі бірінші суреттегідей АЕ сызығының бойында жатса, онда АВ сызығына параллел HJ сызығын сызамыз, мұны F нүктесінде қақ бөлеміз, EFG-ді сызамыз. GJF үшбұрышы HFE үшбұрышына тең. Сонда ABGE трапециясы ABCD пішінінің үштен бір бөлігіне тең. Мұның суреті мынадай [108-сурет] болады:

[108-сурет]

[X] Енді Н нүктесі ED сызығының бойында болсын, HJ сызығын F нүктесінде қақ бөлеміз, EF сызығын сызамыз да оны G-ге дейін созамыз. Сонда AEGB трапециясы ABCD пішінінің үштен бір бөлігі болады. ЕН сызығы немесе В J сызығына тең, немесе оған тең емес болады. Егер ол әлгіге тең болса, онда В-ны Е-мен қосамыз. Сонда ABE үшбұрышы ABCD пішінінің үштен бір бөлігіне тең, ал АНВ үшбұрышы ABCD пішінінің үштен бір бөлігінің жартысына тең болады. [XІ] Егер ЕН сызығы JB сызығынан қысқа болса, онда ЕН сызығына тең GJ сызығын саламыз да Е-ні G-мен қосамыз, сонда ABFH трапециясы ABCD пішінің үштен бір бөлігіне тең болады. Мұның суреті мынадай [109-сурет] болады:

[109-сурет] [XІІ] Егер ЕН сызығы JB сызығынан ұзынырақ болса, онда JB-ні FB [JB сызығынан] ЕН сызығының артық бөлігіне тең болатындай етіп F нүктесіне дейін созамыз да, Е-ні В-мен қосамыз. BE сызығына параллел FG-ді сызамыз. Сонда AGE үшбұрышы - ABCD пішінінің үштен бір бөлігіне тең болады. Мұның суреті мынадай [110-сурет] болады:

[110-сурет] [XІІІ] Егер біреу: ABCD трапециясын AD қабырғасының нүктесі, мысалы, Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай қақ бөлуге болады десе, онда ВС сызығын G нүктесінде қақ бөлеміз де, GE-ні қосамыз. Сонда, егер АЕ сызығы ED-ге тең болса, BG сызығы GC-ге тең болғандықтан, EG сызығы ABCD пішінін қақ бөледі. Мұның суреті [111-сурет] болады:

[111-сурет] [XІV] Егер де АЕ сызығы ED сызығына тең болмаса, онда HD сызығына тең АН сызығын саламыз. [BG сызығы да GC сызығына тең]. Н-ты G-мен қосамыз. Сонда ЕК сызығы трапецияны қақ бөледі. Мұның суреті мынадай [112-сурет] болады:

[112-сурет] [XV] Егер біреу: ABDC параллелограмын одан тысқары орналасқан, мысалы Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай қақ бөлуге болады десе, онда AD-ні қосамыз да AD-ні G нүктесінде қақ бөлеміз, EGH-ты сызамыз. Сонда ABCD пішіні EGH сызығымен қақ бөлінеді. Мұның суреті мынадай [113-сурет] болады:

[113-сурет] [XVІ] Егер біреу: ABCD параллелограмынан одан тысқары орналасқан нүкте, мысалы, Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен әлгі параллелограмның үштен бір, төрттен бір немесе басқадай үлесін қалай бөліп алуға болады десе, онда ABCD пішінінен бұрынғыдай АВ параллел сызығымен үштен бір бөлігі бөлініп алынатын болса; бұл сызық - GH. Е нүктесі

арқылы GHCD пішінін қақ бөлетін EFJ сызығын сызайық. Сонда FJDC трапециясы ABCD пішінінің үштен бір бөлігіне тең болады. Мұның суреті мынадай [114-cypeт] болады:

[114-cypeт] [XVІІ] Егер біреу: ABCD трапециясынан үштен бір, төрттен бір немесе басқадай үлесін белгіленген нүкте, мысалы, Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай бөліп алуға болады десе, онда AD сызығы ВС сызығына параллел болсын, ол үлес - үштің бірі болсын дейік. ВС сызығының үштен біріне тең болатын BG сызығын өлшеп саламыз және Е-ні G-мен қосамыз. Сонда, егер АЕ - AD-нің үштен бір бөлігіне және BG - ВС-нің үштен бір бөлігіне тең болса, онда EG сызығы ABCD трапециясынан үштен бір бөлігін бөледі. Мұның суреті мынадай [115-сурет] болады:

[115-сурет] [XVІІІ] Егер АЕ сызығы AD-нің үштен бір бөлігіне тең болмаса, онда AD-нің үштен біріне тең болатын AG-д өлшеп саламыз және AG сызығы АЕ-ден қысқа болсын дейік. ВС-нің үштен бір бөлігіне тең ВН-ты саламыз, G-ді Н-пен қосамыз. GH-ты F нүктесінде қақ бөлеміз, ЕҒ-ті қосамыз және оны J нүктесіне дейін созамыз. Сонда EFJ сызығы ABCD трапециясының үштен бір бөлігін бөледі; бұл - AEJB трапециясы. Мұның суреті мынадай [116-сурет] болады:

[116-сурет] [XІX] Егер біреу: ABCD трапециясын одан тысқары жатқан нүктеден өтетін, мысалы, Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай қақ бөлуге болады десе, онда АВ сызығын G нүктесінде қақ бөлеміз, G нүктесі арқылы CD сызығына параллел GF сызығын сызамыз және AD сызығын GF сызығымен Н нүктесінде қиылысқанша созамыз. HFCD параллелограмы пайда болады. Е нүктесі арқылы HFCD пішінін қақ бөлетін EJK сызығын сызамыз. Сонда ЕЖ сызығы ABCD трапециясын қақ бөледі. Мұның суреті мынадай [117сурет]

[117-сурет] [XX] Егер біреу: ABCD трапециясының қандай да бір үлесін одан тысқары жатқан, мысалы, Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай бөлуге болады десе, онда АВ-ны G нүктесінде қақ бәлеміз, ол нүкте арқылы DC-ге параллел HG сызығын сызамыз, Е нүктесі арқылы HFCD параллелограмынан қажетті үлесті бөлетін EJK сызығын сызамыз; сонда ABCD трапециясынан бөлінетін қажетті бөлік пайда болады. Мұның суреті мынадай [118-сурет] болады:

[XXІ] Егер біреу: ABCD трапециясының үштен бір бөлігін қалай бөліп алуға болады десе, онда АС мен BD-ні қосамыз. [Олар Е нүктесінде қиылысатын болсын]. Егер BE сызығы BD-

нің үштен бір бөлігіне тең болса, онда ABCD пішінінен үштен бір бөліктің бөлінгені; бұл – ABD үшбұрышы. Мұның суреті мынадай [119-сурет] болады:

[119-сурет] [XXІІ] Егер BE сызығы BD-нің үштен бір бөлігіне тең болмаса, онда BD сызығына үштен бір бөлік - BG сызығын өлшеп саламыз. G нүктесі арқылы АС сызығына параллел GH сызығын сызамыз және АН-ты қосамыз. Сонда ABCD пішінінен үштен бір бөлік бөлінеді. Мұның суреті мынадай [120-сурет] болады:

[120-сурет] [XXІІІ] Егер біреу: ABCD пішінінен оның қабырғасында жатқан нүкте арқылы, мысалы, Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен үштен бір бөлігін қалай бөлуге болады десе, онда ABCD пішінінен үштен бір бөлігін бөлетін В нүктесі арқылы BG сызығын сызамыз және EG мен ED сызықтарын сызамыз. Егер EG сызығы BD сызығына параллел, ал DC АЕВ сызығына параллел болса, онда ED сызығымен ABCD пішінінен үштен бір бөлік бөлінген болады. Мұның суреті мынадай [121-сурет] болады:

[121-сурет] [XXІV] Егер BD сызығы EG-га параллел болмаса, онда В нүктесі арқылы пішіннің ішінде немесе одан тысқары орналасқан EG сызығына параллел ВН сызығын сызамыз. Алғашында ол сызық пішін ішінде болсын дейік. Е-ні Н-пен қосамыз. Сонда ЕН сызығы ABCD пішінінен үштен бір бөлік бөледі. Мұның суреті мынадай [122-сурет] болады:

[122-сурет] [XXV] Егер ВН сызығы пішіннен тысқары орналасқан болса, онда ED-ні қосамыз, CD-ні Н-қа дейін созамыз, DE-ге параллел HF сызамыз және Е-ні Ғ-пен қосамыз. Сонда ЕҒ сызығы ABCD пішінінен үштен бір бөлік бөледі. Мұның суреті мынадай [123-сурет] болады:

[123-сурет] [XXVІ] Егер біреу: ABCD квадратын суретте көрсетілген квадратқа тең болатындай етіп, оның әрбір қабырғасы ұзартылатын болып, қалай ұлғайтуға болады - десе, онда DB сызығын өз бағытымен ВЕ-нің, BD-нің екі еселенген ұзындығына тең болатындай етіп Е нүктесіне дейін созамыз. DE сызығының бойына EGD жарты дөңгелегін сырттай сызамыз, АВ сызығын G нүктесіне дейін созып, квадраттың әрбір қабырғасына AG сызығының жартысына тең сызықтар өлшеп салып квадратты толықтырамыз; ABCD квадраты өзіне тең шамаға ұлғаяды /52/. Мұның суреті мынадай [124сурет] болады:

[124-сурет] Егер біз квадратты бірнеше есе ұлғайтқымыз келсе, жоғарыдағыдай істейміз: бұл жағдайда BE сызығын әлгі еселік санмен бірдей болатын BD сызығына тең етеміз. [XXVІІ] Егер біреу: ABCD квадратының ортасына суретте көрсетілгендей квадраттың жартысына тең болатын квадратты қалай салу керек десе, онда BD сызығынан мұның жартысына тең болатын BE сызығын өлшеп саламыз. DE сызығының бойына АВ-ні G нүктесінде қиятын DGE жарты дөңгелегін сырттай сызамыз да, AG сызығының жартысына тең ВН сызығын саламыз. А, В, С, және D сызығының бұрыштарынан НВ сызығына тең сызықтарды өлшеп саламыз және де болу тұстарынан квадраттың қабырғаларына параллел сызықтар сызамыз. Сонда ABCD квадратының ортасында FJLK квадраты пайда болады, бұл ABCD-ның жартысына тең болады. Мұның суреті мынадай [125-сурет] болады:

[125-сурет] [XXVІІІ] Егер біреу: ABC дөңгелегінің үштен бір немесе төрттен бір немесе басқадай үлестерін параллел екі сызықпен қалай бөлуге болады десе, онда D нүктесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, дөңгелектің ішіне оның үштен бір бөлігіне тең болатын хорда сызамыз, бұл -АС сызығы болады, АС-ге параллел BD-ні сызамыз және В мен С-ні қосамыз. AC доғасын Е нүктесінде қақ бөлеміз де, Е нүктесі арқылы ВС-ге параллел EG сызығын сызамыз. Сонда дөңгелектің ішіндегі параллел екі сызық арасында орналасқан GBCE пішіні дөңгелектің үштен бір бөлігі болып табылады. Мұның суреті мынадай [126-сурет] болады:

[126-сурет] [XXІX] Егер біреу: ABC секторын қалай қақ бөлуге болады десе, онда ВС доғасын D нүктесінде қақ бөлеміз де, А мен D-ні қосамыз, сонда, егер СА сызығы АВ-га тең болса, онда ABC пішіні AD сызығымен қақ бөлінетін болады. Егер де АС сызығы АВ-ге тең болмаса, онда СВ сызығын Е нүктесінде қақ бәлеміз, AD сызығына параллел EG-ді сызамыз және де D мен G-ді қосамыз. Сонда ABCD пішіні DG сызығымен қақ бөлінетін болады. Мұның суреті мынадай [127-сурет] болады:

[127-сурет] [XXX] Жолақ қалдыру туралы. Егер біреу: ABCD квадратын ені DH-ке тең жолақ қалдырып қалай қақ бөлуге болады десе, онда САны бағыты бойынша МА сызығы СН-қа тең болатындай етіп М-ге дейін созамыз, ВА-ны оның бағыты бойынша L-ге дейін созамыз, дөңгелектің С ортасынан СМ аралығында ВА сызығын L нүктесінде қиятын сырттай дөңгелек сызамыз да, L-ді С-мен қосамыз. СН-қа тең LK-ны өлшеп саламыз, AL сызығына параллел KEG сызығын сызамыз және DB сызығына параллел HF-ті сызамыз. Сонда НЕ пішіні ЕВ пішініне тең болады /53/. Мұның суреті мынадай [127-сурет] болады:

[127-сурет] [XXXІ] Егер біреу: ABCD квадратын екі тең кесінді [CD қабырғасында] арасында орналасқан белгілі бір ені MN болатын жолақ қалдырылып, үш тең бөлікке қалай бөлуге болады десе, онда AJ сызығы СМ-ге тең болатындай етіп СА-ны J-ге дейін, ВА-ны бағыты бойынша Е-ге дейін созамыз, С нүктесін дөңгелектің ор¬тасы ретінде алып, Е нүктесінде ВА сызығымен қиылысатын CJ аралығында сырттай дөңгелек сызамыз және СЕ-ні қосамыз. СЕ сызығының бойына СМ сызығына тең EG сызығын өлшеп саламыз және G нүктесі арқылы ВАЕ сызығына параллел GHL сызығын сызамыз. М және N нүктелері арқылы АС сызығына параллел MF және NK сызықтарын сызамыз. Сонда МН, NL және AL пішіндері тең болады. Мұның суреті мынадай [129-сурет] болады:

[129-сурет] [XXXІІ] Егер біреу: белгілі бір ені бар, жиекке параллел жолақ қалдырылып, егер де ол жолақтың ені CD болса, ABC үшбұрышын қалай тең екі бөлікке бөлуге болады десе, онда CD-ні Е нүктесінде қақ бөлеміз, ВС-ге параллел EG және DH-ті, АС-ге параллел НҒ-ті сызамыз, С-ні Ғ-пен қосамыз, HG-ге тең НК-ны өлшеп саламыз, GF-ке параллел KL-ді сызамыз, AL трапециясының жартысына тең және ABC үшбұрышына ұқсас NMG үшбұрышын саламыз. MN-ді О-ға дейін созамыз. Сонда ABC үшбұрышы тең бөліктер: ВМО үшбұрышына және АХ трапециясына бөлінеді, бұлардың арасында ені CD болатын XC жолағы қалдырылған. Мұның суреті мынадай [130-сурет] болады:

[130-сурет] [ХХХШ] Егер біреу: ені CD-ге тең жолақ қалдырылып, ABC үшбұрышы үштен бір, үштен екі бөлікке қалай бөлуге болады десе, онда CD-нің үштен бір бөлігіне тең СЕ-ні өлшеп саламыз, ВС сызығына параллел DH және EG-ні сызамыз, Н нүктесі арқылы АС сызығына параллел HF сызығын саламыз, СҒ-ті қосамыз және HG-ге тең НК-ні өлшеп саламыз. Одан кейін GF-ке параллел KL-ді сызамыз, AL трапециясының үштен бір бөлігіне тең [және ABC үшбұрышына ұқсас] GMN үшбұрышын саламыз және MN-ді О-ға дейін созамыз. Сонда ABC үшбұрышы үштен бір бөлікке және үштен екі бөлікке тең, сонымен қатар үштен бір бөлік ВМО үшбұрышына, ал үштен екі бөлігі АХ трапециясына тең. Мұның суреті мынадай [131-сурет] болады:

[131-сурет] [XXXІV] Егер біреу: ені ED-ге тең жолақ қалдырылып, соны¬мен қатар AD сызығы ВС-ке параллел болатын ABCD трапециясын қалай қақ бөлуге болады десе, онда G нүктесінде DE-ні қақ бөлеміз, CD сызығына параллел GH және ЕҒ-ті сызамыз, АВ мен GH-ты бұлар М нүктесінде қиылысқанша созамыз және АҒ трапециясының жартысына тең және MAG үшбұрышына ұқсас MKL үшбұрышын саламыз. [AD сызығына параллел KXLN-ді сызамыз]. Сонда ХКАЕ трапециясына тең NCBK трапециясы және NXED жолағы пайда болады. Мұның суреті мынадай [132-сурет] болады:

[132-сурет] ТОҒЫЗЫНШЫ КІТАП Квадраттарды бөлшектеу және оларды құрастыру туралы [І] Біз осы шығарманың алдыңғы кітаптарында қолөнершілер жиі пайдаланылатын бірбіріне іштей сызылған және бір-біріне сырттай сызылған пішіндерді салу туралы, бұларды әр турлерге бөлшектеуді түсіндірдік. Осы айтылғандар математика бойынша жеткіліксіз білімдері барларға жеткілікті болар деп сенемін. Мен осы кітапта қолөнершілер жиі пайдаланатын пішіндерді бөлшектеуді және әлгілер сұрайтын мәселелер туралы баяндаймын. Бұл - квадраттарды бөлшектеу, оларды құрастыру, бұлардың ішіне (іштей сызылған пішіндер) салу жұмыстары. Біз қолөнершілер өз жұмыстарында сүйенетін ережелерді тұжырымдадық. Осы кітаптағы мәселелермен шұғылданушы қолөнершілердің барлығы пішіндерді бөлшектеу мен құрастырудың көптеген қателіктері бар бастапқы негіздерді басшылыққа алып жұмыс істейді. Егер, Аллаһ қаласа, біз осы кітапта айтылған мәселені оңай жүзеге асырылатындай етіп баяндаймыз. Біз сандардың арасында квадрат және квадрат емес сандар бар дейміз. Квадрат сандар, ол мынадай сандар, егер сан өзіндей тең санға көбейтілсе, онда мынадай сан пайда болады, мысалы, төрт саны, егер өзіндей тең санға көбейтілгенде төрт саны пайда бола¬тын сан, бұл сан - екі саны, себебі, егер екі саны өзіндей тең сан - екі санына көбейтілсе, төрт саны пайда болады емес пе? Мысалы, жиырма бес санын алайық, мынадай сан бар, егер ол санда өзінде тең санға көбейтілсе, жиырма бес саны пайда болатын сан - бес саны. Өзін өзіндей тең санға көбейткенде пайда болатын сан квадрат сан деп аталады. Өзіне өзі көбейтілетін сан қабырға деп немесе осы квадрат санның түбірі деп аталады. Егер сан квадрат сан болмаса, онда ол сан екі квадрат саннан құралуы немесе екі квадрат саннан құралмауы да мүмкін. Мысалы, он үш саны екі квадрат саннан құралған: олар - тоғыз саны мен төрт саны, тоғыз саны - квадрат сан - оның қабырғасы - үш саны, төрт саны -квадрат сан және оның қабырғасы - екі саны. Мысалы, қырық бір саны екі квадрат саннан құралған: оның біреуі - он алты саны, оның қабырғасы - төрт, ал екіншісі - жиырма бес саны - оның қабырғасы - бес саны. Екі квадраттан құралмайтын сандарға қатысты не айтуға болады? Мысалы, жеті санын алайық, қосындысы жеті санына тең болатын екі квадрат сан жоқ немесе он бір санын алайық, қосындысы он бірге тең болатын квадрат екі сан да жоқ. Сондықтан, егер квадрат сандардан құралған сандар жайлы әңгіме болса, онда квадраттарды тек квадрат сан болатын санға және де квадраттардан құралған санға ғана бәлеміз. Егер квадрат құралған квадрат сандар жайлы сұрақ бола қалса, онда мен ол санды қарастырам және егер ол сан квадрат сан болса немесе екі квадрат саннан құралған болса, онда бұл іс қарапайым әрі жеңіл болады, ал егер квадрат емес сан болса әрі квадрат екі саннан құралмаса, онда іс қиын болады. Егер Аллаһ қаласа, біз бұл тұста осы түрлердің әрқайсысы үшін ең қарапайым әдіспен салу жұмысын жүзеге асыра аламыз. Егер де тең квадраттардың квадрат сандарынан құралған квадратты болу туралы соз бола қалса, онда квадраттың әрбір қабырғасын тең бөліктерге бөлеміз, бұлардың саны квадраттарға бөлінетін квадрат қабырғасының қураушы квадратына тең болады. Бөліну

тұстары арқылы осы тұстарға қабырғадан оған қарама-қарсы сәйкес қабырғаға түзулер сызамыз. Сөйтіп берілген квадратты осы айтылғанға ұқсас квадраттарға бөлеміз. Егер біз бір квадратты тоғыз квадратқа бөлмек болсақ, онда квадраттың бір қабырғасын үш тең бөлікке бөлеміз. Өзге қабырғаларды да дәл осылайша үш тең бөліктерге бөлеміз, бұл - тоғыз санының түбірі. Осыдан кейін бөліну тұстарының әрқайсысынан қарсы жатқан қабырғаларға түзулер сызамыз. Сонда квадрат тоғыз тең квадраттарға бөлінеді. Мұның суреті мынадай [133-сурет] болады:

[133-сурет] [ІІ] Дәл осы секілді, квадратты төрт квадратқа болу қажет болса, қабырғалардың әрқайсысын екі бөлікке бөлеміз - бұл төрт квадраттың қабырғасы, қарама-қарсы бөліктерді қосамыз, сонда квадрат төрт тең бөлікке бөлінеді. Мұның суреті мынадай [134сурет] болады:

[134-сурет] [ІІІ] Квадраттардың квадрат сандарынан квадрат салу туралы. Егер біз көп квадрат сандар квадратынан бір квадрат салғымыз келсе, онда осы квадраттардың қабырғаларына тең қабырғалы квадрат саламыз. Осы квадраттарға тең бір квадрат пайда болады. Осының мысалы: егер біздің өзге он алты квадраттан бір квадрат салғымыз келсе, берілген төрт квадратты бір қатарға орналастырамыз әрі оған өзгелерін біріктіреміз, сонда бір квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [135-сурет] болады:

[135-сурет] [ІV] Саны екеу болатын екі квадраттан құралған квадрат салу туралы. Егер біз осыны салмақ болсақ, екі квадраттан құралған сан алып, осы екі квадратты қарастырамыз. Егер бұлар тең болса, онда екі тең квадрат саламыз. Осылардың әрқайсысын диагоналы бойынша бөлеміз. Сонда төрт тең үшбұрыш пайда болады. Бұлардың диагоналдары ізделуші квадраттың қабырғасына тең. Егер осы үшбұрыштарды өздерінің тікбұрыштарымен бір-біріне қабысатындай етіп біріктірілсе, квадрат пайда болады. Осының мысалы. Егер біз өзге екі квадраттан квадрат салмақ болсақ, онда бұлардың әрқайсысын диагоналдары бойынша қиямыз, сонда бүйір қабырғалары және табандары тең төрт үшбұрыш пайда болады. Осы үшбұрыштарды бұлардың тікбұрыштары қабысатындай етіп біріктіріп, қабырғалары үшбұрыштың табандарына тең квадрат саламыз. Мұның суреті мынадай [136-сурет] болады:

[V] Егер біз сегіз тең квадраттан квадрат салмақ болсақ, онда ол әрқайсысы төрт квадраттан құралған екі квадрат болады. Әрқайсысы төрт квадраттан құралған екі квадрат саламыз. Сонан соң бұларды диагоналдарымен бәлеміз; сонда төрт тең үшбұрыш пайда

болады. Бұрын {[ІV] бөлімшеде} айтылғандай бұлардан квадрат саламыз. Мұның суреті мынадай [137-сурет] болады:

[VІ] Егер саны екеу болатын тең емес квадраттардан құралған квадраттар берілген болса, онда әрқайсысының ұзындығы үлкен квадраттың қабырғасына тең, ал ені кіші квадраттың қабырғасына тең екі тіктөртбұрыш саламыз. Бұлардың әрқайсысын диагоналымен қақ бәлеміз; қабырғалары квадраттардың қабырғаларына тең, олардың диагоналдары ізделуші квадраттың қабырғасына тең төрт тең үшбұрыш пайда болады. Егер біз қабырғасы берілген екі квадраттың қабырғаларының айырымына тең және үшбұрыштардың қабырғаларын олардың қабырғаларының үстіне орналастырылған квадратты ортасына жайғастырсақ, квадраттардан құрастырылған бір квадрат пайда болады. Осының мысалы. Егер біздің қабырғалары мен диагоналдары тең он үш квадраттан квадрат салғымыз келсе, онда бір квадрат бірлік өлшемді квадраттардан құралады, бұлардың саны - тоғыз, бұл квадраттың қабырғасы үшке тең; өзгесі төрт бірлік квадраттан құралған, мұның қабырғасы екіге тең. Бір қабырғасы - үшке, ал екінші қабырғасы - екіге тең екі тіктөртбұрыш саламыз. Әрқайсысы алты квадраттан құралған екі тіктөртбұрыш пайда болады. Бұларды диагоналы бойынша қиямыз; әрқайсысының ұзын катеті - үшке, қысқа катеті - екіге, ал гипотенузасы - он үштің түбіріне тең төрт үшбұрыш пайда болады [138-сурет].

[138-сурет]. Квадраттардан бірлік квадратты бөліп алып, оны ортаға орналастырамыз да, оған үшбұрышты ұзын катетімен квадраттың қабырғасына тақап орналастырамыз. Бұлардан әрбір қабырғасы үшбұрыштардың гипотенузасы, яғни он үштің түбірі болатын квадрат пайда болады /54/. Мұның суреті мынадай [139-сурет] болады:

[139-сурет] [VІІ] Егер біздің он тең квадраттан квадрат салғымыз келсе, онда он квадрат екі квадраттан құралған, оның біреуі - тоғыз квадраттан, оның түбірі - үш, ал екіншісі - бірлік квадраттан, оның қабырғасы - бір бірлік. Біреуінің қабырғасы - үшке, ал екіншісінікі -бірге тең болатын екі тіктөртбұрыш саламыз. Бұларды диагоналы бойынша қиямыз. Он квадраттан төрт квадрат қалады. Төрт квадраттан квадрат саламыз, мұны ортаға орналастырамыз және де мұның қабырғаларына үшбұрыштарды тақап қоямыз. Сонда әрбір қабырғасы үшбұрыштың гипотенузасы яғни, оның түбірі болатын квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [140-сурет] болады:

[140-сурет] Дәл осы секілді он жеті тең квадраттан квадрат саламыз [141сурет].

Екі квадраттан құралған санға сәйкес келетін квадраттардан квадрат салу осыған негізделген. [VІІІ] Квадрат саны екеу болатын квадраттан құралған квадраттарға болу туралы. Квадрат берілген болсын. Егер біз квадратты екі квадрат саннан құралған квадраттарға бөлмек болсақ, онда осы санды қарастырамыз. Егер олар тең болса, квадратты диагоналымен бәлеміз; сонда төрт тең үшбұрыш пайда болады. Егер осылардың әрбір екеуін квадраттың қабырғасы болып табылатын қабырғасымен біріктірілсе, біз әрқайсысы екі үшбұрыштан құрылған екі квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [142-сурет] болады:

[142-сурет] [ІX] Егер біз пайда болған квадраттардың әрбір қабырғасын тең бөліктерге бөлсек, бұлардың саны тең квадраттардың қабырғаларына тең болады, сөйтіп біз квадратты ізделуші квадраттарға бөлеміз. Мұның мысалы. Егер біздің квадратты сегіз квадратқа бөлгіміз келсе, оның диагоналдарын сызамыз; сонда төрт тең үшбұрыш пайда болады. Әрбір екі үшбұрыштан квадрат саламыз; сонда екі квадрат пайда болады. Одан соң екі квадраттың әрбір қабырғасын екі тең бөлікке бөлеміз және бөліну тұстарын қарама-қарсы түзу сызықтармен қосамыз. Біз осылайша сегіз тең квадрат саламыз. Мұның суреті мынадай [143-сурeт] болады:

[143-сурeт] [X] Егер біздің квадратты он сегіз тең квадраттарға бөлгіміз келсе, дәл жоғарыдағы секілді істейміз, оған диагоналдар сызамыз, [төрт тең үшбұрыш пайда болады], осы сызбаға әлгілерден екі квадрат саламыз. Одан соң екі квадраттың әрбір қабырғасын үш тең бөлікке бөлеміз және бөліну тұстарын қосамыз. Сонда қабырғалары тең он сегіз квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [144-сурeт] болады:

[144-сурет] [XІ] Квадратты тең емес саны екеу болатын квадраттан құралған квадраттарға болу туралы. Квадратты [квадраттарды] саны екеу болатын әр түрлі квадраттарға болу үшін, квадраттың бір қабырғасын тең бөліктерге бәлеміз. Одан соң берілген квадраттың әрбір қабырғасына төбесінен бастап бір қабырғасына кіші квадраттың қабырғасына тең сызық өлшеп саламыз және квадраттың әрбір бұрышынан қарама-қарсы жатқан бөлу белгіленген тұстарға қарай түзу сызықтар сызамыз; ортасында квадрат орналасқан және квадратты қоршаған төрт үшбұрыш пайда болады. Осы квадрат квадраттар қабырғаларының айырымының квадратына тең болады. Осы квадраттың қабырғаларын айырымға тең бөліктер санына бөлеміз; сонда квадраттар айырымына тең квадраттар саны анықталады. Үшбұрыштарды екі-екіден біріктірсек, ұзындығы үлкен квадраттың қабырғасына тең тіктөртбұрыш пайда болады, ал ені екі квадраттың кішісінің қабырғасына

тең болады. Сондықтан егер осы екі тіктөртбұрышты салып және олардың қабырғаларын квадраттардың қабырғаларына тең бөліктер санына бөлсек, ізделуші квадраттар саны белгілі болады. Мұның мысалы. Егер квадратты он квадратқа бөлмек болсақ, біз он квадраттың екі квадраттан - бірлік квадраттан және он квадраттан құралғанын, сонымен қатар біреуінің қабырғасы - үшке, ал екіншісінікі - бірге тең екенін анықтаймыз. Квадраттың бір қабырғасын үш тең бөлікке бөлеміз, әрбір қабырғаға бірлікке тең кесінді өлшеп саламыз, қарсы жатқан бұрыштардан болу белгіленген тұстарға түзу сызықтар сызамыз; сонда ортасында квадрат, осы квадратты қоршаған төрт үшбұрыш пайда болады. Мұның суреті мынадай [145-сурет] болады. Будан кейін ортадағы квадраттың қабырғасын екіге, яғни он квадрат құралатын квадраттардың қабырғаларының айырымына бөлеміз. [Бөліну тұстарынан] параллел сызықтар сызамыз: ортада төрт квадрат пайда болады. Әрбір екі үшбұрыштан ұзындығы үшке, ал ені бірлік квадратқа тең үш квадратқа бөлеміз;

[145-сурет] [XІІ] Егер біз квадратты жиырма квадратқа дәл осы секілді бөлмек болсақ, онда жиырма квадрат екі квадраттан құралады: оның бірі-он алты [оның қабырғасы - төртеу], екіншісі - төрт, мұның қабырғасы - екеу болады. Квадраттың қабырғасын төрт тең бөлікке бөлеміз, қабырғаларға екінші квадраттың қабырғасына тең сызықтар өлшеп саламыз және бұрыштардан болу белгіленген тұстарға сызықтар сызамыз; сонда қабырғасы екі квадраттың қабырғаларының айырымына тең квадрат және төрт үшбұрыш пайда болады. Квадратты қоршаған осы үшбұрыштардың әрбір екеуінен ұзындығы төртке, ені екіге тең тіктөртбұрыш құрастырамыз. Ортада орналасқан квадратты төрт квадратқа ажыратамыз (жіктейміз), ал екі тіктөртбұрышты он алты квадратқа жіктейміз. Сонда жиырма квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [146-сурет] болды:

[146-сурет] [XІІІ] [Саны] екі квадраттан құралған квадраттарды бөлу әдістерін квадраттар саны екі квадрат болмайтын квадраттар құрастыруға және бөлуге қолдануға болмайды. Кептеген геометрлер мен қолөнершілер осындай квадраттар салу және оларды болу де: геометрлерлердің іс жүзіндегі қолданыстары мардымсыз болғандықтан, ал қолөнершілердің дәлелдемелер туралы білімдерінің жеткіліксіз болуы себепті жаңсақтықтарға жол берілген. Геометрлердің салудың (қолданбалық) әдістерін білмеуі себепті сызықтармен дәлелдеу арқылы жуықтап салудың дұрыс тәсілдерін табу оларға қиынға соқтырған. Қолөнершілер болса, олар жуықтап салуды тапқанда сызықтар арқылы дәлелдемей-ақ әрі геометрияға назар аудармай-ақ біздердің сезетіндеріміз бен байқамайтындарымызды білген. Бір жайттың дәлелдемесін теориялық ой жүгірту арқылы анықтаған адам оның ақиқаттығын іс жүзінде тексермейді. Қолөнершінің білетіндері - геометрлер дәлелдеген фактілер және осының ақиқаттығының дәлелдемесі ғана екеніне мен күмәнданбаймын. Бірақ та қолөнерші мен жер өлшеуші істің мәнісін қарастырады да, оны қалай дәлелдеу керектігін ойламайды, сондықтан олар қателеседі. Геометрлер, қолөнершілер мен жер

өлшеуіштердің нелермен пайдаланатынын дәлелдейтін болса, біздің дәлелдемелер арқылы білгіміз келетін ақиқаттар оларға белгілі болмақ. Геометрлерден пішіндерді болу және сызықтарды көбейту сұралатын болса, олар әбігерге түседі және олардың ойлануына көп уақыт кетеді. Кейде бұл оларды мәселені шешуге жақындата түссе, кейде олай болмайды. Мен қолөнершілер мен геометрлердің бірқатар пікір-таластарына қатыстым. Олардан үш квадраттан квадрат салу туралы сұралған-ды. Геометр үш квадраттан құралған квадраттың қабырғасын оп-оңай таба білді. Қолөнершілерді бұл қанағаттандыра алмады, себебі қолөнершіге екі және бес квадрат жағдайындағыдай орын алған әлгі үш квадратты бір квадрат құрастырылмақшы бөліктерге бөлу қажет еді /55/. Қолөнершілер бұл мақсат үшін бірнеше тәсіл ұсынды. Бұлардың кейбіреулері үшін дәлелдемелер келтірілді, ал өзгелері жаңсақ болып шықты. Дәлелдеу келтіру мүмкін болмағандар үшін ақиқат өте жақын болып және осы салуға қарайтын адамға бұлар дұрыс болып көрінеді.

Біздің осы тәсілдерді айтып отырғанымыздың себебі бұлардың қайсысының дұрыс, қайсысының бұрыс екенін білу. Біз көзімізге сенбейміз, себебі көз жақсы көмекші емес, егер, Аллаһ қаласа, ғана осы тәсілдердің қайсысының дұрыс емес екені айтылады. Кейбір қолөнершілер бір квадратты ортасына орналастырады, екінші квадратты диагоналмен қақ бөледі және осы екі бөлікті квадраттың қабырғаларының бойына орналастырады. Үшінші квадраттың ортасын бір диагоналдың бойында жатпайтын оның екі төбесімен-екі сызықпен қосады және квадраттың ортасын сызықпен екі сызықтан және квадраттың қабырғасынан пайда болған, қарама-қарсы үшбұрыштың қабырғасының ортасымен қосады. Осы квадрат екі трапецияға және үшбұрышқа бөлінеді. Осы үшбұрышты бірінші квадраттың төменгі қабырғасына, ал екі трапецияны - жоғарғы қабырғаның үстіңгі жағына ұзын қабырғалары ортасында болып орналастырылады. Суретте [147-сурет] көрсетілгендей квадрат пайда болады:

[147-сурет] Олар салған суретке қатысты мынаны айтуға болады, бұл тұста айлакерлік қолданылған. Геометрия өнерін оқымаған адам бұл салуды дұрыс деп есептейді, егер оған егжейтегжейлі зер салсаңыз, онда бұл тәсілдің дұрыс еместігі байқалады. Біздерге бұл дұрыс секілді көрінгенімен, бұрыштарға және қабырғалардың тендігіне қатысты, квадраттың әрбір бұрышы - тікбұрыш, ал оның қабырғалары - тең, сондықтан бұл тәсіл дұрыс секілді көрінеді. Квадраттың бұрыштары болып саналатын үшбұрыштың әрбір бұрыштары С, В, Dтікбұрыш, ал төртінші бұрыш әрқайсысы тікбұрыштың жартысы болатын екі бұрыштан, яғни екі трапецияның Е және G бұрыштарынан құралған. Қабырғаларға қатысты болса, олар - түзу сызықты және тең қабырғалар болады. Осы қабырғалардың әрқайсысы квадраттардың қабырғаларынан құралған. Сондықтан олар тең. Осылайша салу кезінде әлгілер - тікбұрыштар, бұл дәлелденген, себебі тікбұрыштар түйіскен нүктеде барлық бұрыштардың қосындысы екі тікбұрышқа тең және осы бұрыштардың біреуі квадраттың бұрышы болғандықтан, Н нүктесіндегі бұрыштардың үшеуінің қосындысы екі тікбұрышқа тең, ал өзге екі бұрыш - үшбұрыштардың бұрыштары, бұлардың әрқайсысы тікбұрыштың жартысына тең. F бұрышы да осындай. J бұрышы екі бұрыштан құралған, мұның біреуі - үшбұрыштың бұрышы, яғни тікбұрыштың жартысы, ал екіншісі -трапецияның бұрышы, яғни бір жарым тікбұрышқа тең. Бұл К нүктесіндегі бұрышқа да қатысты. Сондықтан бұрыштар - тікбұрыштар, ал қабырғалар түзу сызықтар [өзара тең] болғандықтан, үш квадраттан құралған квадраттың пайда болатыны әрбір адамға айқын, қай тұста қателік жібергенін ол біле алмайды. Бірақ та осы квадраттың әрбір қабырғасы квадраттардың бірінің қабырғасына және оның диагоналының жартысына тең екенін атап өтелік. Бірақ үш квадраттан құралған квадраттың қабырғасы осы шамаға тең бола алмайды, себебі ол әлгі шамадан артық болуы қажет. Квадраттың әрбір қабырғасы он шынтақ болсын дейік; сонда үш квадраттан салынған квадраттың қабырғасы жуық шамамен алғанда он жеті шынтақ және шынтақтың үштен бір үлесіне тең, ал осы квадраттың қабырғасы он жеті шынтаққа және шынтақтың жетіден бір үлесінің жартысына тең екені сауатты адам үшін белгілі. Осы мәндер арасында үлкен айырмашылық бар. Біз ВС квадратын қақ бөлгенімізде және ВС квадраттан HJ және FK сызықтарымен бөлінген оның әрбір жартысын квадраттың қабырғасына тақағанда, бұл мүмкін болмайды, себебі айқын, квадраттың ВС диагоналы үшінші квадраттың қабырғасына тең емес, HJ сызығы ВС

квадраттың қабырғасына және оның екінші қабырғасының жартысына тең, бірақ ол осы қабырғадан қысқа, себебі ВС квадратының диагоналы жуықтап алғанда он төрт шынтаққа және шынтақтың жетіден бір үлесіне, ал HJ сызығы он бес шынтаққа тең. Осымен әлгідей бөлудің және салудың жарамсыздығы дәлелденді /56/. [XІV] Кейбір кісілер осы квадраттарды өзгедей тәсілдермен бөледі, оның жарамсыздығы айтылған алғашқы бөлуден гөрі ап-айқын байқалады. Әлгі кісілер екі квадраттың диагоналдарынан оның ортасынан осы квадраттың қабырғасына тең кесінді бөліп алады да [квадрат] төбелерінен диагоналдар бойынша төрт үшбұрыш қиып алады. Осылайша, екі квадраттан қабырғалар әр түрлі төрт бесбұрыш және төрт үшбұрыш пайда болады. Сонан соң олар әрбір бесбұрышты үшінші квадраттың қабырғасына орналастырады және төрт бұрышта төрт үшбұрыш сиятын орын қалады. Олар осы үшбұрыштарды әлгі орындарға орналастырады [және] осылайша квадраттан құрастырылған үш квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [148-сурет] болады:

[148-сурет] Бұл жайт геометриямен және дәлелдемелермен айналыспайтындар үшін тура болып көрінеді, ал олар егжей-тегжейлі ойлана бастағанда, осы тәсілдің жарамсыздығы байқалады, себебі олар квадраттың төбелеріндегі бос орындарға орналастырмақшы үшбұрыштар әлгі бос орындардан үлкен болып шығады, оған себеп - әлгі бос орындар екі қабырғаның арасында орналасқан, ал үшбұрыштың әрбір қабырғасы квадраттан бөлініп алынатын үшбұрыштың гипотенузасының жартысына тең. Сондықтан бос орында орналасқан осы үшбұрыштың қабырғасы үшбұрыштың гипотенузасына тең, ал бұл мүмкін емес. Мұның мысалы. Егер біз бір үшбұрыш ABC және бір бесбұрыш AEGHD салатын болсақ және бесбұрышты квадраттың қабырғасына салсақ, ал үшбұрыштарды өз орындарына орналастырсақ, сонда ABC үшбұрышының С нүктесі квадраттың Н нүктесімен беттеседі, ABC үшбұрышының AC сызығы бесбұрыштың АН сызығымен беттеседі, бірақ бесбұрыштың АН сызығы үшбұрыштың НА сызығына, яғни оның гипотенузасының жартысына тең, тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы қабырғаға, яғни АС-ге тең болып шығады, ал бұл да мүмкін емес. Егер АВ - квадратқа іштей сызылған сегізбұрыштың қабырғасы, ал АЕ мен ВҒ сегізбұрыштың қабырғасына тең болса, онда квадраттың қабырғасы сегізбұрыштың қабырғасынан ұзын (артық), ал EF сызығы сегізбұрыштың үш қабырғасына тең болады. Себебі квадраттың қабырғасы сегізбұрыштың қабырғасынан ұзын, бұл да мүмкін емес. Сондықтан үш квадраттан құралған квадраттың қабырғасы, әлбетте будан қысқа. Осымен қолөнершілердің істегендерінің қолдануға болмайтындығы дәлелденді. [XV] Квадратты біз әңгіме еткен қажетті дәлелдемелер арқылы анықталған дұрыс тәсіл бойынша болу жайлы әңгіме етсек, онда үш квадраттың екі квадратын диагоналдары бойынша бөлеміз (төрт тіктөртбұрыш пайда болады), осылардың әрқайсысының қабырғасын үшінші квадраттың қабырғаларына орналастырамыз, сонымен қатар үшбұрыштың тікбұрыштың жартысына тең болатын бұрышын квадраттың бір бұрышының үстіне, ал үшбұрыштың гипотенузасын [квадраттың] қабырғасына орналастырамыз; сонда үшбұрыштың екінші бұрышы жағындағы бөлігі сыртқа шығып тұрады. Үшбұрыштың тікбұрыштарының [төбелерін] түзу сызықтармен қосамыз; сонда ізделуші квадраттың

қабырғасы анықталады. Үлкен үшбұрыштың әрқайсысынан кіші үшбұрыш бөліп аламыз да оны үшбұрыштың қабырғасының екінші жағындағы жетіспей тұрған орынға орналастырамыз. Осыған мысал. Егер біз осыны ABCD, EPGH және FJKL үш тең квадраттардан салмақшы болсақ, онда осы квадраттардың екеуін бұларды BD және PG диагоналдарын сызып екі бөлікке бөлеміз, бұлардың үшінші квадраттың қабырғаларының үстіне орналастырамыз. Сонан соң үшбұрыштардың тікбұрыштарының төбелерін ВО, GP, PD және DB сызықтарымен қосамыз. Үшбұрыштың қабырғасының сыртында үлкен үшбұрыштың әрбір қабырғасының бойында осы үлкен үшбұрыштан бөлініп алынған үшбұрышқа тең кішкене үшбұрыш бар. Сондықтан ВМ үшбұрышы MFG үшбұрышына тең, себебі С бұрышы тікбұрыштың жартысына тең және MFG бұрышы да тікбұрыштың жартысына тең, М бұрышының бойындағы үшбұрыштың екі вертикаль бұрышы да тең, ВС қабырғасы FG қабырғасына тең, сондықтан бір үшбұрыштың өзге қабырғалары екінші үшбұрыштың басқа қабырғаларына тең және бір үшбұрыш екінші үшбұрышқа тең. Сондықтан, егер біз ВСМ үшбұрышын MFG үшбұрышының орнына орналастырамыз, сонда BG сызығы үш квадраттан құралған квадраттың қабырғасы болады. Осы тәсіл дұрыс әрі ақиқатқа барынша жуықтау, себебі бұл дәлелдемелер арқылы анықталған /57/. Мұның суреті мынадай [149-сурет] болады:

[149-сурет] [XVІ] Егер де геометрден саны көп немесе саны аз квадраттардан квадрат салу туралы сұралса, онда ол квадраты осы квадраттарға тең сызықты табады да квадраттарды бөлуге назар аудармайды. Сондықтан одан үш квадраттан квадрат салу туралы сұралса, онда ол бір квадраттың диагоналын сызады да, диагонал сызығының бір ұшынан оған квадраттың қабырғасына тең болатын перпендикуляр тұрғызады, перпендикулярдың ұшын диагоналдың басқа ұшымен түзу сызықпен қосады; сонда үш тең квадраттан құралған квадраттың қабырғасы анықталады. Осының мысалы. Біз әрқайсысы ABCD квадратына тең үш тең квадрат салмақшымыз. AD диагоналын сызамыз. Сонда AD - екі квадраттан салынған квадраттың қабырғасы болады. Одан соң AD сызығына А нүктесінде АЕ перпендикулярын тұрғызамыз да, Е-ні D-мен қосамыз. Сонда ED сызығы - әрқайсысы ABCD квадратына тең үш тең квадраттың қабырғасы болады. Геометр осы сызықты анықтаған соң, ол осы квадраттарды болу тәсілін іздемейді, ED сызығының бойына үш квадратқа тең квадрат салуды ғана ойлайды. Мұның суреті мынадай [150-сурет] болады:

[150-сурет] Егер біздің үштен көп немесе одан аз квадраттардан құралған квадрат салғымыз келсе, дәл осы секілді салуды жүзеге асырамыз /58/. [XVІІ] Қабырғаларының шамасы белгісіз әр түрлі екі квадраттан квадрат салу туралы. Егер біз баяндап өткен квадраттар салу жұмысына ұқсас салу орындалса, біз квадрат немесе әр

түрлі екі квадрат салудың жалпы әдісіне тап боламыз, бутан екі квадратты қосу кезінде сүйенуге тура келеді. Егер біз үш квадраттан квадрат салмақ болсақ, онда біз екі квадраттан квадрат саламыз. Кіші, яғни үшінші квадратпен салыстырғанда үлкен квадрат жасаймыз. Егер біз әлгілерден квадрат салсақ, ізделуші квадрат пайда болмақ. Егер біз осы квадратты салмақ болсақ, онда кіші квадраттың бір бұрышы үлкен квадраттың бұрышының біреуімен беттесетін етіп, кіші квадратты үлкен квадраттың үстіне беттестіреміз, ал екі қабырғасы екі қабырғаның үстіне дәл етіп орналастырамыз. Одан соң кіші квадраттың қабырғаларын үлкен квадраттың қабырғаларымен қиылысқанша созамыз да, үлкен квадраттан кіші квадраттың қабырғасындай, үлкен квадраттың екінші қабырғасына параллел тіктөртбұрышты бөліп шығарамыз. Сонда үлкен квадраттың ішінде тіктөртбұрыш қалады. Тіктөртбұрыштан үлкен квадраттан бөлініп алынған, кіші квадратпен бірге басқа бір тіктөртбұрыш қурайтын бөлікті қиып аламыз. Сонда үлкен квадратта кіші квадрат қана қалады. Оны сақтап қоямыз. Одан соң екі тіктөртбұрышты олардың диагоналдарымен қиямыз; сонда төрт үшбұрыш пайда болады. Бұлардың гипотенузасы ізделуші квадраттың қабырғасы болып табылады. Сонан соң, сақталып қойылған кіші квадратты ортаға орналастырамыз да оған төрт үшбұрышты біріктіреміз, бұлардың әрқайсысы оның бір қабырғасына квадраттың тікбұрышы үшбұрыштың тік бұрышына қабысатындай болып орналастырылады. Сонда екі квадраттан құралған үлкен квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [151-сурет] болады:

[151-сурет] Мұның дұрыстығын дәлелдеу үшін ABCD үлкен квадраты мен GEHF кіші квадратын саламыз. Кіші квадратты үлкен квадраттың үстіне былайша саламыз, F бұрышы D бұрышының үстіне, GF сызығы CD сызығының үстіне, ал HF сызығы BD сызығының үстіне түсетіндей болып орналастырылады. Үлкен квадратты НЕ қабырғасымен J нүктесінде қиямыз; сонда үлкен квадраттан HJAB тіктөртбұрышы бөлінеді. HJAB тіктөртбұрышынан JEGC тіктөртбұрышына тең КВНЕ тіктөртбұрышын қиып алып тастаймыз. Үлкен квадраттан кіші AKEJ квадраты қалады. Будан соң екі тіктөртбұрыштан төрт үшбұрыш қураймыз, яғни тіктөртбұрыштарды диагоналдарымен қиямыз. Осының нәтижесінде төрт үшбұрыш және кіші квадрат пайда болады. Кіші квадратты ортаға орналастырып, оның айналасына төрт үшбұрышты DCH үшбұрышының С бұрышы К бұрышына, ал DC қабырғасы КА қабырғасына, CHD үшбұрышының D бұрышы А бұрышына, ал CD сызығы AJ қабырғасына жанастырып орналастырамыз. Қалған екі үшбұрышты да осы екі үшбұрыш секілді жанастырамыз. Сонда, біздің бұрын сызғанымыздай сурет [152-сурет] пайда болады:

[152-сурет] [XVІІІ] Бір квадратты квадраттардан құралмаған квадраттарға бөлу туралы. Біз әрқайсысының қабырғаларының шамасы белгілі квадратты үлкен және кіші квадраттарға осылайша бөлуді түсіндірген болатынбыз. Егер де қабырғалардың шамасы беймәлім болса, онда квадратты екі квадратқа бірнеше рет бөлуге тура келеді, яғни үлкен квадраттан белгілі шамадағы кіші квадратты қалай бөлуге болатыны және квадраттың қалған бөлігінен басқа квадратты қалай құрастыруға болатыны жайлы сұралатын басқа

мәселені шешуге тура келеді. Егер біздің айтқанымыздай істейтін болсақ, онда жоғарыда баяндалған салуға көңіл аударуымыз керек. Үлкен квадрат, мысалы, ABCD квадраты, кіші квадрат, мысалы, Е квадраты берілген болсын. Үлкен квадраттан кіші квадратқа тең квадратты қалай салу және қалған бөліктерден басқа квадрат қалай құрастыру айтылған болатын, сондықтан жоғарыда айтылғанды істейміз. Егер біз ABCD квадратынан Е-ге тең квадрат бөліп алмақ және қалған бөліктерден басқа квадрат салмақ болсақ, онда ABCD квадратының әрбір қабырғасына сырттай жарты дөңгелек сызамыз. А, В, С және D бұрыштарының әрбір төбесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, Е квадратының қабырғасындай аралықта жарты дөңгелек бойынан G, Н, F және J нүктелерін белгілейміз де AGH, BJG, DFJ және CHF сызықтарын сызамыз. Сонда ортасында квадрат пайда болады, ал СН, DF, BJ, AG сызықтарының әрқайсысы кіші квадраттың қабырғасына тең. Сондықтан төрт үшбұрыш және кіші квадрат пайда болады. Әрбір екі үшбұрыштан тіктөртбұрыш құрастырамыз, ортада орналасқан квадратты осы, тіктөртбұрыштың бірінің үстіне бір-біріне тақап бастыра саламыз. Сонда тіктөртбұрыштың ұзындығының квадраттың ұзындығынан артылған бөлігі екі тіктөртбұрыштың қиысуы болып табылатын екі квадраттың кішісін қурайды. Осы квадратты ескермей тастасақ үлкен квадрат пайда болады. Мұның суреті мынадай [153-сурет] болады:

ОНЫНШЫ КІТАП Сфераларды бөлу туралы [І] Егер біреу: сфераға үлкен дөңгелекті қалай салуға болады десе, онда оған полюсі С болатын кез келген сырттай сызылған ABC дөңгелегін саламыз, одан кейін А және В нүктелерінде ABG дөңгелегін қақ бөлеміз де, сфераға А, С, В және D нүктелері арқылы өтетін дөңгелек сызамыз. Осы - дөңгелек сферадағы үлкен дөңгелек болады. Мұның суреті мынадай [154-сурет] болады:

[154-сурет] [ІІ] Егер біреу: сфераға тік бұрышпен қиылысатын екі үлкен дөңгелекті қалай салуға болады десе, онда сфераға үлкен дөңгелек сызамыз, мысалы, ABCD дөңгелегі, мұны А, В, С, D нүктелерінде төрт тең бөлікке бәлеміз. Одан соң А нүктесін полюс ретінде алып, А нүктесінен В және D-ra дейінгі аралықта сырттай дөңгелек сызамыз. Бұл BED дөңгелегі болады. ABCD және BED екі үлкен дөңгелек тікбұрыш жасап қиылысады. Мұның суреті мынадай [155-сурет] болады:

[155-сурет] [ІІІ] Егер біреу: сфераға тікбұрыш жасап қиылысатын үш үлкен дөңгелек саламыз десе, онда бұрынғыдай А және С нүктелерінде тікбұрыш жасап қиылысатын екі үлкен дөңгелек саламыз. Осы ABCD және BEDG дөңгелектер тікбұрыш жасап қиылысады. Одан соң BCD доғасын С нүктесінде қақ бөлеміз, В нүктесін полюс ретінде алып, ВС аралықта сырттай

CEAG дөңгелегін сызамыз. Сонда бір-бірімен тікбұрыш жасап қиылысатын ABCD, BEDG және CAEG үш дөңгелек пайда болады /59/. Мұның суреті мынадай [156-сурет] болады:

[156-сурет] [ІVJ Егер біреу: сфераның екі нүктесі арқылы өтетін үлкен дөңгелекті қалай сызуға болады десе, осы нүктелердің [А және В осы нүктелер болсын] әрқайсысын полюс ретінде алып үлкен дөңгелектің төрттен бір бөлігіндей аралықта CDEB және CGEA дөңгелектерін сызамыз. Бұл дөңгелектер С және Е нүктелерінде қиылысады. Одан соң қиылысу тұстарын полюстер ретінде алып олардан берілген нүктелерге дейінгі аралықта дөңгелек сызамыз, бұл үлкен дөңгелек болып табылатын АВН дөңгелегі болады. Мұның суреті мынадай [157сурет] болады.

[157-сурет] [V] Сфераны теңқабырғалы үшбұрыштар болатын төрт тең бөліктерге болу туралы. Егер біреу: сфераны теңқабырғалы әрі теңбұрышты төрт тең бөліктерге қалай бөлуге болады десе, онда оған үш дөңгелек сызамыз: бұлар - ABCD, BEDG және CEAG дөңгелектері. Сөйтіп сфераны сегіз тең теңқабырғалы үшбұрыштарға бәлеміз; бұл үшбұрыштар: ABE, AED, ADG, AGB, СВЕ, CED, CDG және CGB. Үшбұрыштардың біреуінің ортасынан және осы үшбұрыштардың әрбір бұрышы арқылы үлкен дөңгелектер доғасын сызамыз және де оларды орталыққа тақалатын үшбұрыштардың орталарына дейін созамыз. Егер біз осы орталықтардан осы үшбұрыштардың өзге екі бұрышына дейін доға сызсақ және бұлардың тақалған үшбұрыштардың орталарына дейін созсақ, онда біз сфераны төрт тең теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрыштарға бөлеміз; бұлар: JHF, JKH және FKH, және FJK үшбұрыштары /60/. Мұның суреті мынадай [158-сурет] болады:

[158-сурет] [VІ] Сфераны төрт тең теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрышқа бөлудің басқа тәсілі. Егер біреу: егер сфераның диаметр! белгілі болса, сфераны теңқабырғалы әрі тең бұрышты төрт тең]үшбұрышқа қалай бөлуге болады десе, онда, егер сфераның диаметр! АВ сызығына тең болса, АВ сызығының бойына АВ жарты дөңгелегін саламыз, АВ-ның үштен біріне тең АС сызығын өлшеп саламыз, АВ сызығына перпендикуляр CD сызығын сызамыз; бұл сызық ADB жарты дөңгелегіне D нүктесінде түйіседі. Дөңгелектің бойынан кез келген Е нүктесін алып қарастырайық, мұны полюс ретінде аламыз да BD қашықтықта FGH дөңгелегін сызамыз, G, Н, F нүктелерінде оны үш тең бөлікке бәлеміз және полюс арқылы, және әрбір G, Н пен F нүктелері арқылы J нүктесінде қиылысатын үлкен дөңгелектің доғасын, ал G, Н және F нүктелерінің әрбір екі нүктесі арқылы үлкен дөңгелектің доғасын сызамыз. Сонда төрт теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрыштарға бөлінген сфера пайда болады. Бұл үшбұрыштар: JHF, JHG, FJG және GHF /61/. Мұның суреті мынадай [159-сурет] болады:

[ 159-сурет] [VІІ] Сфераны теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрыш болып табылатын алты тең бөлікке болу туралы. Егер біздің осыны салғымыз келсе, сферада тікбұрыш жасап қиылысатын үш үлкен дөңгелек сызамыз. Одан соң сферада пайда болған сегіз үшбұрыштың әрбір екеуінің ортасы арқылы үлкен дөңгелектің доғасын сызамыз. Сонда сфера алты теңқабырғалы әрі теңбұрышты алты төртбұрышқа бөлінеді, сонымен өзіміздің салғымыз келген төртбұрышты салдық /62/. Мұның суреті мынадай [160-сурет] болады:

[160-сурет] [VІІІ] Сфераны алты теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрышқа бөлудің басқа тәсілі. Егер біреу: егер сфераның диаметрі АВ сызығына тең болса, сфераны алты теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрышқа қалай бөлуге болады десе, онда АВ сызығының бойына жарты дөңгелек, АВ-нің үштен бір бөлігіне тең болатын АС сызығын өлшеп саламыз, С нүктесінен АС сызығына CD перпендикулярын тұрғызамыз [А-ны D-мен қосамыз], сфераға Е және G нүктелерінде тікбұрыш жасап қиылысатын екі дөңгелек сызамыз, Е және G нүктелерінің әрқайсысын полюс ретінде алып, AD қашықтықта H, F, J, К, L, M, N және X нүктелерін белгілейміз, осы нүктелердің әрқайсысы арқылы үлкен дөңгелек, яғни Н, F, J және К нүктелері мен L, M, N және X нүктелері арасында төрт доға сызамыз. Сонда сфера теңқабырғалы әрі теңбұрышты төртбұрыштар болатын алты бөлікке бөлінеді /63/. Мұның суреті мынадай [161-сурет] болады:

[161-сурет] [ІX] Сфераны теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрыштар болып табылатын жиырма тең бөлікке болу туралы. Егер біреу: сфераны теңқабырғалы әрі теңбұрышты болатын жиырма үшбұрышқа қалай бөлуге болады десе, онда сфераға ABCD үлкен дөңгелегін сызамыз, ал оның полюстері - Н пен G нүктелері. Осы дөңгелекті он тең бөлікке бөлеміз, бұл бөліктер: АВ, ВС, CD, DE, EF, FJ, Ж, KL, LM және MA. А және В нүктелерін полюстер ретінде алып, Н полюсі жағындағы Z нүктелерінде қиылысатын ВС доғасының қашықтығында екі дөңгелек сызамыз. Сонан соң В және С нүктелерін полюстер ретінде алып, G полюсі жағындағы Q нүктелерінде қиылысатын ВС доғасының қашықтығында екі дөңгелек сызамыз. Үлкен дөңгелектің әрбір он бөлігінің әрқайсысында он бөлікке бөлінген Н нүктесі жағында Z нүктелерінде және G полюсі жағында Q нүктелерінде қиылысатын дөңгелектер саламыз. Сонда Н полюс! жағында Z-пен белгіленген бес нүкте, G полюсі жағында Qмен белгіленген бес нүкте пайда болады. Осы нүктелердің әрбір екеуін, яғни Z пен Q нүктелерін үлкен дөңгелектің доғаларымен қосамыз. Сонда төбелері Z және Q нүктелері, ал табандары QQ және ZZ сызықтары]болатын он үшбұрыш пайда болады. Сонан кейін Z нүктелерінің әрқайсысы Н полюсі арқылы және Q нүктелерінің әрқайсысы және G полюсі арқылы үлкен дөңгелектің доғасын сызамыз. Сонда төбесі Н нүктесінде болатын бес үшбұрыш және төбесі G нүктесінде болатын бес үшбұрыш пайда болады. Сонымен, біз сфераны жиырма теңқабырғалы және теңбұрышты үшбұрыштарға бөлдік /64/. Мұның суреті мынадай [162-сурет] болады:

[162-сурет] [X] Осы салудың өзге тәсілі. Егер біз сфераны теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрыштарға және сфера диаметрі АВ сызығына тең болатын жиырма бөлікке бөлмек болсақ, онда АВ сызығының бойына АСВ жарты дөңгелегін саламыз, АВ-нің бестен бір бөлігі болатын BD-ні өлшеп аламыз, DB сызығына DC перпендикулярын тұрғызамыз, В нүктесін [дөңгелектің] ортасы ретінде алып ВС ұзындығында CEG дөңгелегін сызамыз. CEG дөңгелегінің бестен бір бөлігіне тең СЕ доғасын өлшеп саламыз. Сферадан кез келген Н нүктесін белгілейміз, мұны полюс ретінде алып, СЕ ұзындығында сфераға дөңгелек саламыз. Ғ нүктелерінде дөңгелекті бес тең бөлікке бәлеміз, осындай әрбір екі нүкте арқылы үлкен дөңгелектің доғасын сызамыз және осы нүктелердің әрқайсысы, және полюс арқылы да дәл осындай үлкен дөңгелектің доғасын сызамыз. Сонда сферада төбелері Н нүктесінде және табандары FF нүктелерінде болатын бес теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрыштар пайда болады. Одан соң Ғ нүктелерінің әрқайсысын полюс ретінде алып, алынған қашықтықта J нүктелерінде қиылысатын өзгедей дөңгелектерді сызамыз. Сонан соң F нүктелерінің әрбір екеуі арқылы және J нүктесінің әрбір екеуі арқылы үлкен дөңгелектің доғасын сызамыз. Сонда он теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрыштар пайда болады. Осыдан соң J-дің әрбір екі нүктесін полюс ретінде алып әлгі қашықтықга К нүктесінде қиылысатын дөңгелектер сызамыз. Мұнан соң J нүктелерінің әрбірі және К нүктесінің әрбірі арқылы үлкен дөңгелектің доғасын саламыз. Сонда теңқабырғалы [әрі теңбұрышты] бес үшбұрыш пайда болады. Сондықтан, сфераның бетін теңқабырғалы әрі теңбұрышты үшбұрыштар болатын жиырма бес бөлікке бөлдік /65/. Мұның суреті мынадай [163-сурет] болады:

[163-сурет] Осы кітапты бітіретін уақыт та келіп жетті. Мұхаммед пен оның руы үшін дуга бағыштаймын әрі екі дүниенің құдіреттісі Аллаһты мадақтаймын. Кітап Мұхаммед Әбу Насыр ибн Мұхаммед ибн Узлағ ибн Тархан әл-Фарабидің қолымен жазылып, үш жүз жиырма бірінші жылдың он бірінші раджабында біткен. Ақыл-ой дарытқан жаратушымның даңқы мәңгілік болғай /66/. Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972. С. 92-206. Аударған: Н.Көбенқұлов.

ЕВКЛИДТІҢ БІРІНШІ ЖӘНЕ БЕСІНШІ КІТАПТАРЫНЫҢ КІРІСПЕЛЕРІНДЕГІ ҚИЫН ТҰСТАРЫНА ТҮСІНІКТЕМЕЛЕР Нүкте - ешқандай бөлігі жоқ нәрсе. Сызық - енсіз ұзындық. Сызықтың шеттері - екі нүкте. Түзу сызық - бойындағы кез келген нүктеге қатысты біркелкі орналасқан сызық. Бет - тек ұзындық пен ен ғана. Беттің шеттері - сызықтар. Жазықтық деп аталатын тегіс бет - бойында түгелдей жатқан кез келген түзу сызыққа қатысты біркелкі орналасқан бет /2/. Әбу Насыр Мухаммад ибн Мұхаммад әл-Фараби былай деген: "Аталғандардың барлығы денелерде бар және олар сезілуіне немесе елестетілуіне орай, сезілетін немесе елестетілетін болуы мүмкін. Бірақ та денелердің қандай болуына қарай ойша елестетілетіннің өзі жеке-дара елестетіледі, ал сезілетіндер болса олар өзгедей сапалармен қабаттасып, әлгі денелерден таралатын жылу және суық, сыз немесе құрғақтық, немесе бұлардың кейбіреулерінен қаттылық және жұмсақтық, тегістік және кедір-бұдырлық аңғарылады /3/; немесе дәмімен сезілетін дәмдердің бірі - тәттілік, ащылық немесе басқадай дәмдер; немесе иісімен сезілетін - иісті заттар, естілуімен аңғарылатын - дыбыс шығаратын нәрселер; көзбен байқалатын, түр-түсі болатын нәрселер - осындайлар болады. Евклидтің шығармаларындағы санамаланып айтылғандар да сезіну және көзбен көріп байқау немесе осылардың біреуімен аңғарылады. Бірақ та сезінумен аңғарылатындар жылумен, суықпен немесе басқадай түйсінумен, ал көріп аңғарылатындар аппақ түспен, қара түспен немесе басқа көрінетін түстермен байланысты анықталады. Ойша елестетілетіндерді сапалармен бірге де, бұларсыз да елестетуге болады. Математиктердің шығармаларында осылардың барлығы әлгі сапалар ескерілмей, дерексіздендіріліп әрі оқшауланып елестетіледі, ал физикада әлгі сапарлармен бірге қарастырылады /4/. Ақыл-ой бұларды жеке-дара бөліп алып зерттеген кезде, әлгі қасиеттерсіз қарастырылғанда, олардың мән-мағынасына нелердің тән болатыны түйсікпен дерексіздендіріліп түсіндіріледі /5/. Ақыл-ойдың әрекеті әрбір заттың тек мән-мағынасын зерттеу үшін онымен байланысты түйсіктерден ажыратуға бағытталады. Ақыл-ойдың қызметінің мәнісі осы. Осы шығармада өзінің анықтамасы бойынша-ақ елестетілетін заттар қарастырылады, яғни олар өздерімен байланысты, қабаттасып сезілетін жылу мен суық, ақ түс пен қара түс, қозғалыс пен тыныштық /6/ секілді сапаларынсыз, мұнымен бірге осы заттардың ешқандай себептерінсіз анықталады. Олар осы кітаптарда тек бұл шығармаларда нелердің ойланатындығы ғана анықталған. Осы заттардың түйсік және түспен, жылумен немесе суықпен, немесе басқадай түйсіктермен қалай байланысқанына ұқсас олар ең алдымен өздерінің мәндері бойынша байланысқан, себебі, шындығында нүкте сызықтан оқшауланбаған, сызық беттен оқшауланбаған, ал бет денеден оқшауланбаған. Ақылдың заттарды оңашалап әрі жекелеп ойша елестеткеніндей, денені қалай оқшаулап ажыратқанына ұқсас, бұлардың әрқайсысы дәл солай өздерінің мәндері бойынша өзге мәндерден оқшаулануға бейім. Ақыл нүктені сызықтан бөлектенген, сызықты беттен, ал бетті денеден бөлектенген деп есептеген, өйткені, бір-бірімен байланысты болғанымен, олардың мән-мағынасы дараланған. Себебі ақылдың әрекеті кез келген мүмкін затты оның мән-мағынасы бойынша өзге мәнмағынадан оқшауландырады, ақыл осы заттарды бір-бірінен оқшаулап анықтауға бағытталады. Осы шығармада мазмұндаудың ең жақсы тәсіліне қатысты реттілік екі түрлі болады: біріншісі - сезінуге арналғандардың барлығын дерлік ұсынушы, ал екіншісі - ақылға жуықтайтындардың барлығын ұсынушы реттілік.

Сезіну үшін бәрінен ең жақыны - дене, одан кейін - бет, сонан соң - сызық, осылардың ең алыстағысы нүкте болып табылады. Ақыл үшін бәрінен ең жақыны оның ойлауы бойынша өзгедей анықталушы заттарға қарағанда ең аз бөліктері деп құралған заттар. Бөліктері қаншалықты аз болса, ақыл үшін соншалықты ең жақыны болып табылады. Сөйтіп, біз мән-мағынасы бойынша ойша пайымдап, мүмкіндігінше бөліктері болмайтын заттарға дейін жетеміз. Сондықтан ақылға сәйкес келетін реттілік мынадай болады: ең алдымен нүкте келеді, одан кейін - сызық, сонан соң - бет, со¬нан соң дене болады /8/. Бірақ шәкірттерді ескеретін болсақ, онда мынаны ұмытпау керек: шәкірт оқудың бастапқы кезеңінде сезінуге едәуір бейім болатындықтан, біз алғашында қайтадан сезуге сәйкес болатын реттілікті қолданамыз, шығармада ақылға үйлесімді бола¬тын реттілік қолданылады. Сондықтан оқыту сезілетін денелерден басталуға тиісті, содан кейін әлгімен байланысқан сезінулерден оқшауландырылған денені, одан соң беттерді, одан кейін сызықты және нүктені қарастыруға көшу керек. Сондықтан ақыл өз әрекетін сезілетіннен бастап, талдану бағытына қарай бағыттағаны дұрыс; сонан соң ғана ақылға сәйкес реттілікке, яғни біріктірілу қасиетіне бағытталғаны жөн /9/. Дене - әр бағытта ұзындығы болатын нәрсе, зерттеу заты ретіндегі дене осындай. Физиктер дененің мән-мағынасы ұзындық емес әрі ұзындыққа енетін нәрсе де емес деп есептейді; дененің мән-мағынасы тек ұзындықпен қабаттас болады, ақ түстің адамда да және қарда да болуына ұқсас, бірақ та ақ түстің қардың мән-мағынасы бола алмайтындығы секілді, ұзындықтың денеге тән болуы оның мән-мағынасы болғандығынан емес. Қар туралы ол ақ түсті деп айтқанға ұқсас, дене ұзындыққа ие дегенімізбен, дене осы ұзындыққа байланысты нәрсенің мән-мағынасы деп есептеледі, осы мән-мағына заттарда және бұлардан тысқары әр бағыттағы ұзындық болады. Сондықтан біз әр бағытқа созылған ұзындығы болатын затты қарастырғанда, біз оның денелік мән-мағынасы болады дейміз. Аристотель осылай қарастырған /10/: ол бірде мән-мағынаны ұзындыққа ие дене деп есептесе, кейде денені оның мән-мағынасынан өзге [барлық] жан-жаққа бағытталған ұзындық деп есептеген. Оның «Категория» деген кітабында дене мөлшер түрлерінің бірі болып қарастырылған /11/. Мөлшердің дене деп аталатын түрлерінің бірі, тек егер ол «Категорияның» бастамасында айтылған, «Физиканың» көптеген тұстарында дене деп аталған сапалардың бір түрі ретінде қарастырылса, ұзындыққа ие болатын мән-мағына бола алады /12/. Ол денелікке және шамаға ие мән-мағына дегеннің не екені айтылған өзінің «Аспан туралы» деген шығармасының кіріспесінде де дәл осыны айтқан /13/. Бұл жайт Аристотельдің денеден ұзындығының болуын талап етуімен түсіндіріледі. Ол денеліктің мән-мағынасы және денелік мән-мағына туралы көптеген тұстарда [«Аспан туралы» кітабында] айтқан және өзінің «Пайда болу және жойылу» деген кітабында да қайталаған /14/. «Аспан туралы» деген кітабында мұны ол мазмұндауды оңайлату үшін істеген, бұл оның әдеттегісінен емес, әлгі кітабының күрделілігін оңайлату үшін істелген. Өзгелер басқа мән-мағыналар барлық бағыттарда ұзындыққа ие бола алмайды деп есептейді, осы үш ұзындық тек өз беттерінше ғана болады, ұзындық осыдан басқадай мән-мағынаға ие бола алмайды, дене ұзындықты бола алады және де денелердің барлық бағыттардағы ұзындығының айырмашылығы жоқ және де жылу мен суық, ақ түс пен қара түс секілді басқадай сапалардың иеленушісі болып табылса, онда мән-мағына дене болып

табылмақ. Демокрит /15/ және басқа физиктер осы бағытта өздерінің көптеген шығармаларын жазған. Математик осы тұжырымдардың ешқайсысымен келіспейді, себебі, егер зат барлық бағытта созылыңқылыққа ие болса, математик заттың мән-мағынасын өзге ешқандай басқа қасиеттермен қабаттаспайтын заттың мүмкін болатын мән-мағынасы ретінде қарастырады. Олар заттың мән-мағынасын оқшауланған күйінде және өз бетінше жеке қарастырады, себебі бұлар математиктер үшін тек мүмкін болатын нәрселер ғана. Математик осы екі түсіндірмені елемей, өзінің шығармасында өзіне барынша жарамды деп есептеген реттілікті таңдаған. Математик созылыңқылықты ұзындық деп атаған және оны денеге, бетке және сызыққа қолданған. Көптеген адамдар денені - денелік мәнмағына деп есептейтін көптеген физиктер секілді ол айтқандай, денені ұзындығы бойынша созылыңқы ол ұзындық болып табылмайды, бірақ та бұл тұста денені денелік м.ш мағына ретінде қарастырмау керек. Мән-мағынаға ұзындық атауы бұлар барлық бағытта мүмкіндігінше созылыңқы болғаны үшін, атап айтқанда, олардың ең ұзын созылыңқылығына қолданылған. Бұл атау енсіз созылыңқылыққа қолданылады. Егер де созылыңқылық екі бағытта болса, онда оның біреуі - ұзындық, ал екіншісі - ен деп аталады. Математик ұзындықты жай созылыңқылық деп ұғынып, одан еннің болуын талап етпейді. Сондықтан, дененің ұзындығы, бет және сызық туралы сөз болғанда, ол үш бағытта орын алатын, үшіншісі жоқ (үшіншісіз) екі бағытта немесе екеуі жоқ (екеуінсіз) бір бағытта орын алатын созылыңқылықтар еске алынады. Математиктердің шығармаларынан мынаны аңғарамыз: олар ен деп ең қысқа созылыңқылықты емес, екінші бағыттағы созылыңқылықты есептейді, үшінші бағыттағы созылыңқылық - тереңдік немесе қалыңдық болып есептеледі. Олардың пайымдауларынша ұзындық адам тағайындайтын кез келген бағыттағы созылыңқылық болып табылады, осы үш атау біріктірілген. Біз тек ұзындық туралы айтқанымызда бағыттың қандай екеніне қарамастан белгілі бір бағыттағы созылыңқылықты айтқанымызбен пара-пар. Тек ұзындық пен ен туралы сөз болғанда, бірінші және екінші бағыт деп қабылданған кез келген екі бағыт көрсетіледі, ал ұзындық, ен және тереңдік немесе биіктік туралы сөз болғанда, бірінші, екінші және үшінші деп қабылданған бағыттардағы созылыңқылықтар көрсетіледі. Осы бағыттардың әрқайсысын оқшауланған ретте де, сондай-ақ бірге, алғашқы жағдайдағы секілді әрбірі екі бағытты, үшіншісін ескермей бірге көрсетуге болады. Біз ұзындық, ен және тереңдік немесе биіктік туралы айтқанымызда, шындығында біз үш бағыттағы созылыңқылықтарды қарастырамыз, бұларды біріктіруіміз мүмкін және оларды біріктіріп ойлаймыз. Осы жағдайда болуы мүмкін нәрсе дерексіздендірілген дене, яғни математикада қарастырылатын дене болады. Егер де бағыттардың бірі еленбей әрі ұзындық пен ен қарастырылатын болса, онда мүмкін болатын нәрсе бет болады, ал егер ен деп аталатын тағы да бір бағыт еленбесе және де ұзындық деп аталатын бір бағыт қана қалса, болуы мүмкін нәрсе сызық болады. Денелердің шеттеріндегі нәрселерден, яғни дененің шетін құруға болады; осы жағдайда дененің шеті болмақ. Денені оның шетінсіз ойлауға болады, себебі дененің шеті дене болып табылмайды, ол - бет болмақ. Бет тереңдік немесе қалындық бағытта бөлінбейді, бірақ та ұзындық пен ендік бағыттарда, яғни екі бағытта созылыңқы болады /16/.

Бет - дененің тереңдік немесе қалыңдық бағыттарындағы шеті, сондықтан бет - шет болып табылатын бағытта бөлінбейді. Беттің де шеті болады, мұндағы шет - сызық. Сызық өзінің созылыңқы бағыты бойынша бөлінеді, сызық беттің созылыңқылықтары болмайтын бағыттарда, яғни ендік және тереңдік бағыттарындағы шеті болып табылады; осы бағытта; яғни ол шеті болатын бағытта сызық бөлінбейді /17/. Сонымен, сызық екі бағытта - ендік бағытта және тереңдік бағытта бөлінбейді. Сызықтың да шеті болады, ол сызық болмайды. Сызық пен бет созылыңқылығы болмайтын бағытта шетті құрайды, сызықтың шеті сызықтың созылыңқылығы жоқ бағытта оның шеті ретінде құралады; ал сызықтың тек бір ғана бағытта созылыңқы болуы себепті, сызықтың шеті барлық бағытта бөлінбейді. Математик сызықтың шетін нүкте деп атайды, оған нүкте деген атаудың берілу себебі - ол сызықтан оқшауланып болжанады. Физиктер нүктені сызыққа жанасып жатушы ретінде қарастырады, ал математиктер оны сызықтан оқшау жеке-дара болу мүмкіндігі болатын нәрсе ретінде қарастырып, баяндауды содан бастайды. Нүктенің сызықтың соңы болуына қарамастан, ол оқшауланып болжанады да біз айтқан себеп бойынша ең бастапқы орынға қойылып, соның анықтамасымен басталады. Нүктенің математикадағы анықтамасы оның қажет етілуіне байланысты мүмкін болғанша ықшамдалған /18/. Математиктер нүктені бөлінбейтін нәрсе дейді. Сызықты, бетті және денені бөлгеніміз секілді нүктені бөлуге болмайды, шындығында математиктер үшін оның тек бөлінбейтін болу қасиеті ғана қажет. Бірақ та нүктенің мән-мағынасы осы анықтамамен түсіндірілмейді, сондықтан осы шығарманың қажеттілігіне жеткілікті болғанымен, бұл анықтама нүктенің мән-мағынасын түсіндіруге жеткіліксіз. Нүктеден өзге де бөлінбейтін заттар [айтылған анықтамада] көп-ақ, бұлар онымен бірігеді, мысалы, сан бірліктері /19/. Сондықтан, осы шығарманы түсіндірушілер әлгі анықтаманы толықтырып, нүкте де¬ген бөлінбейтін әрі орны болатын нәрсе деген /20/. Нүктені және сан бірліктерін ажырату үшін осы пайдалы толықтыру енгізілген. Математик сызық деген тек жалғыз ғана ұзындық деп, оны жоғарыда айтылғандай түсінеді. Сызықтың шеттері - екі нүкте. Бұл өзінен өзі түсінікті. Бұдан әрі қарай түзу сызық дегеніміз өзінің бойындағы кез келген нүктелерге қатысты біркелкі орналасқан сызық дейді. Бұл анықтаманың сөздерінде шатасу мен кемшілік бар /21/. Мұның мән-мағынасы мынада: түзу сызықтың бойында жататын нүктелердің сызық бойында бір-біріне қарамақарсы жатуы қажет. Бұл жайт түзу сызықты қисық сызықпен салыстырған кезде анық байқалады және бұл түзу сызықты сипаттайды, себебі қисық сызықтың бойында жататын нүктелер осы сызықтың бойында бір-біріне қарама-қарсы орналаса алмайды, тек түзу сызық болатын өзге сызықтардың бойында ғана нүктелер бір-біріне қарсы орналасады /22/. Бұдан әрі қарай ол: бет дегеніміз - бұл тек ұзындық пен ен ғана, ал беттің шеті - сызық, - дейді. Бұл да өзінен өзі түсінікті. Бұдан әрі ол: жазық бет дегеніміз - оның бойында жататын кез келген түзу сызыққа қатысты біркелкі орналасқан бет, - дейді. Мұны былай ұғыну керек, жазық беттің бойында жататын сызықтар осы беттің бүкіл он бойында бірбіріне қарама-қарсы жатуы талап етілетін бет /23/. Бұл денелік бетпен салыстырылғанда айқын байқалады, өйткені беттер екі түрлі: жазық бет және денелік бет болады; сфера осындай денелік бет. Сферада жататын сызықтар осы беттің бойында бір-біріне қарамақарсы жатпайды, жазық беттерде ғана әлгілер бір-біріне қарама-қарсы жатады /24/.

Бұдан әрі қарай ол: жазық бұрыш - жазықтық бойында түйісетін, бірақ та бір түзудің бойында жатпайтын екі сызықтың бір-біріне көлбеулігі, - дейді /25/. Осы сөйлемде шатасу мен қайшылық бар, мұны былай ұғыну керек, жазық бұрыш - бұл бір жазықтықта жататын әрі бір түзудің бойында жатпайтын екі сызықтың түйісуінен, яғни бұлар созылыңқылығы бойынша беттеспейтін түзулерден түзілген ойыстық. Ойыстық бір сызықтың бойында иілу туғызады, ал егер екі сызық түйіссе, онда олардың түйіскен тұсында дөңестік және ойыстық пайда болады, ал сыртқа қарай бағытталған тұсында дөңестік, ішке қарай бағытталған тұсында ойыстық пайда болады /26/. Сондықтан бұрыш - жазықтықтағы бірбіріне көлбеу екі сызықтың түйісуінен пайда болатын, бірақ та кез келген емес, бір түзудің бойында жатпайтын ойыстық. Денелік бұрыш дегеніміз - әрбір екеуі жазық бұрыш түзуші үш сызықтың түйісуінен пайда болатын ойыстық /27/. Жазық бұрыштың анықтамасы екі түзу сызықтың көлбеулігі болатын екі түзу сызықтың аралығындағы жазық бұрышты қамтиды. Сондықтан да математик: егер бұрышты қамтитын екі сызық та түзу болса, онда бұрыш түзу сызықты /28/ деп аталады, - дейді. Бұл өзінен өзі түсінікті. Математиктің осы кіріспедегі шекара дегеніміз - бұл заттардың шеті дегенін түсіндіру керек /29/. Мұны былай ұғыну керек, шекара - затты қоршайтын шеті. Нүкте дегеніміз -бір нәрсенің шеті, бірақ оны шекара демейді, ал шекара немесе шекаралар - пішінді (фигураны) қоршайтын нәрсе. Пішін деген - бұл бір сызықтың немесе бір, екі, үштен немесе одан да көп сызықтардың шеттерімен қоршалған бет, немесе оны бір, екі, үш немесе одан да көп беттер қоршайтын дене. Кез келген бетті сызық немесе бірнеше сызық қоршайды, ол денені бір немесе бірнеше бет қоршайды /30/. Пішіндер екі текті: жазық және денелік болады. Жазық пішіндер - тек ұзындығы мен ені болатындар, ал денелік пішіндер - жазық пішіндердің анықтамасына қалындық немесе тереңдік деген сөздердің бірі қосылып анықталатын пішіндер. Осы кіріспедегі өзгелердің барлығы өзінен-өзі түсінікті.

БЕСІНШІ КІТАПТАН Әбу Насыр: «Үлес дегеніміз - бүтінді теңдей бөліктермен өлшейтін нәрсе, ол бөлік деген - тең емес бөліктермен өлшейтін нәрсе», - деген. Евклидтің осы кітабында үлес /31/ туралы сөз болғанын ұғынуымыз керек, ол: мен осы сөздердің кез келгенімен үлес және бөлік дегеннің дәл өзін түсінемін, шынында осы екі ұғымды ешкім шатастырмайды деген. Одан әрі қарай үлеске еселік қарама-қарсы /32/, ал кейбір шығармаларда бүтіннің өзгедей ұғымдармен шатастырылуына қарамастан бөлікке бүтін қарама-қарсы қойылған. Әрі қарай ол: қатынас дегеніміз - ең болмағанда біртекті екі шама арасындағы мүмкін болатын өзара тәуелділік, - дейді, осы шамалардың біреуі мүмкіндігінше екіншісінен үлкен немесе тең, немесе кіші болады дегенді айтқысы келген. «Біртектілер» дегенде математикада қарастырылатын үш тектің, атап айтқанда: сызықтар, беттер және денелердің біреуінің екі шамасын айтқан. Бұларды тектер деп атаған, себебі математикада осы үшеуінен өзге жалпылама тек жоқ және математикада осы үш тек қарастырылады. Шынында осыларға қарағанда едәуір жалпылама тектер болуына қарамастан, атап айтқанда тек ретінде осы үшеуі алынған. Сондықтан екі шама екі бет, немесе екі сызық, немесе екі дене болып табылады. Сызық пен бет бойынша сәйкес өзара тәуелділік мүмкін емес, себебі бетті сызыққа қарағанда үлкен деп айту мүмкін емес; тек беттің ұзындығы сызықтан үлкен деп айтуға болады. Бірақ та жалғыз ұзындық сызық болады, бұл: беттің сызығы өзге сызықтан ұзынырақ деумен пара-пар, сөйтіп біз екі біртекті сызықпен істес боламыз. Дәл осы секілді дене беттен үлкен немесе кіші дегенде, дененің беті өзгедей беттен үлкен немесе кіші дегенді білдіретінін ескеру керек /34/. Бұдан әрі қарай ол: қатынас болып табылатын шамалар еселік ретінде алынған болса, олар бір-бірінен артып түспекші - дейді /35/. Ол: егер шамалар еселік болып алынып, бірбірінен артып түсетін болса, онда шамалар біртекті болады - дейді. Ол осылайша еселіктің не үшін алынатынын айтқан /36/. Сонан соң, еселік болып алынған шамаларды бір-біріне қосуға болады, - дейді. Шамаларды еселік ретінде алудың алдында, олардың бір-біріне қосылу мүмкіндігінің болуы қажет /37/. Егер солай болса, онда шамаларды үлестерге бөлгенде еселік алумен бірге, сонымен қатар бұларды бір-біріне қосу мүмкіндігінің болуы да қажет. Сонымен бірге шамаларды бір-бірінен шегеру туралы емес, оларды бір-біріне қосу [мүмкіндігі] туралы айтылған. Бірақ та, егер шамаларды бір-біріне қосуға болса, осының нәтижесінде бұларды бір-бірінен шегеруге де болады, сонымен қатар шамалардың тең болуы да мүмкін делінген. Өзгедей екі мүмкіндіктің орнына қосу мүмкіндігіне артықшылық берудің, ал сонымен қатар шамаларды еселік боларлықтай тандап алудың себебі - шамаларды еселік етіп алу және бұларды қосу, және бұларды шегеруге және де үлестерге бөлуге қарағанда едәуір көз жетерлік әрі айтарлықтай белгілі екенін білу керек. Сонымен, осы ұғымды анықтау едәуір белгілілер арқылы жүзеге асырылады. Бұл шынында арасында қатынас болатын, ол рационал немесе иррационал бола ма, болмай ма оған тәуелсіз түрде шамалардың анықтамасы деп есептеледі /38/. Сонымен, арасында қатынас болатын шамалардың біртекті болатынын айтудың қажеті жоқ, өйткені бұл жайт қатынастың анықтамасы бойынша біртекті болмақ. Шамалардың арасындағы қатынастар кейде рационал, ал кейде иррационал сандар болады.

Арасында қатынас болатын шамаларды анықтауды қалай отырып, ол: шамалардың жиынтығындағы әлгі шамалардың арасында қатынас болса, егер олар еселік болатындай болып таңдалып алынса, онда бұлардың біреуінің басқаларға қосылуы мүмкін, - дейді. Егер де әрқайсысы әр текте бірнешеуден болатын сызықтар, беттер және денелер қатынаста болса, беттердің сызықтарға, ал дененің сызықтарға және беттерге қатынасы мүмкін болмақ. Сонда осы шамалардың әрқайсысы еселік болатындай таңдалып алынса, осы шамалар өзге шамаларға қосыла да, өзге шамалардан шегеріле де, немесе оларға тең де бола алады, себебі шамалардың арасында қатынастардың болуы, егер де осы шамалардың кез келгені еселік болып таңдалып алынса, өзге шамалар арасынан оған қосылатын немесе одан шегерілетін шамаларды табуға болады. Сондықтан егер шамалар сызықтар, беттер және дене болса, бұлардың арасында қатынастар да болмайды, дәл солай екі сызық арасында немесе екі дене және беттер арасында, және жалпы алғанда біртекті шамалар арасында, және басқа текті бір шама арасында қатынас та болмайды. Ал, бұл біз айтқан қатынас шындығында мүмкін болмақ, егер осы екі шамаға әлгі шама қосылатын болса. Біз айтып өткен екі шама үшін анықталған пікірлердің алғашқысы тек екі шамаға ғана қатысты болады /39/. Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972. С. 251-255. Аударған: Н.Көбенқұлов.

TYCІHІKTEMEЛEP Жұлдыздар үкімдеріндегі ненің дұрыс, ненің бұрыс екендігі туралы трактат 1. «Жұлдыздар үкімдеріндегі ненің дұрыс, ненің бұрыс екендігі туралы трактат» (Рисала фи ма йасиху ва ма ла йасиху мин ахкам ан-нуджум). Қолжазбалар Ташкентте сақтаулы (Шығыстану институты, 1883/32,57), Рампурда (Раза 1400, ІІ 840), Хайдарабадта (Асаф ІІІ 756/731/1). Бұл трактат Дитерич басылымындағы әл-Фарабидің философиялық трактатының арабша мәтінінен аударылған (F. Dіterіcі. Alfarabіs phіlosophіsche, Abhandlungen, Leіden, 1890, s.104114). Бұл трактаттың мұнымен қатар басқа басылымдары да бар: Маджму' фалсафа ли-АбуНаср аль-Фараби, изд. Абу р-Рахим Макави. Каир, 1907 и 1925; Рисала фи-л фадила алулум ва-л-сина'ат (Ғылымдар мен өнердің құндылықтары туралы трактат), Хайдарабад, 1931; Расаил аль-Фараби. Бомбей, 1937. Немісше және түрікше аудармаларда да бар (Ғ. Dіetіrіcі, Alfarabіs phіlosophіsche Abhandlungen, Leіden, 1982; Burslan, Ulken. Farabі. Іstanbul, 1941). Трактаттың мазмұнын A. Көбесов зерттеген (Фарабидің астрологиялық трактаты, «Білім және еңбек», 1968, №1). Трактат өте ықшам, шағын болып, кейде бір-бірімен аздап қана байланысқан мәтіндер мен үзінділермен жеке-дара жазылған, бұл жайт трактаттың кейбір тұстарын түсінуді қиындатқан. Мәтіннің кейде жеке бір бөлігі кездеседі. Осы трактат өзінің атауынан байқалып тұрғандай юдициар астрологияға арналған, бұл бойынша жер бетіндегі істер мен оқиғалар аспан шырақтарының әр түрлі үйлесімімен, байланысымен, физикалық күйлерімен басқарылады. Трактат пікір талас сипатта жазылған, әл-Фараби өзінің астрологияны жақтаушы оппоненттерімен пікір таласқа түсетін сияқты. Аудармада Дитеричтің аталған басылымының беттелуі көрсетілген. 2. Мәтін бойынша қарағанда әл-Фарабиді құрмет тұтушыларының бірі, астрономиямен шұғылданушы Әбу Ысқақ әл-Бағдади туралы мәлімет сақталмаған ұқсайды. 3. Әдетте әл-Фарабидің аты-жөні «Мухаммад ибн Мухаммад ибн Узлаг ибн Тархан» түрінде жазылатын. «Тархан» деген сөз түрік ақсүйектерінің қоғамда ерекше пұрсатты жағдаймен пайдаланушыларының лауазымы, осыдан орысша «тарханная грамота» деген соз тіркесі қалыптасқан «Тархан» деген ат қарастырылып отырған жағдайда Тарханның ұрпағы немесе Тархан руының адамы дегенді білдіреді. Айта кетейін, қазақ халқының ежелгі үлкен бір руы қазір де «Тархан» деп аталады. 4. Бұл тұста әл-Фараби ғылым мен өнерді олардың маңыздылығына орай топтастырған. Бұл мәселе оның «Ғылымдар тізбегі» деген трактатында едәуір егжей-тегжейлі түрде қарастырылған (жинақтың 1-16-беттерін қараңыз) және «Ғылымдардың пайда болуы» (С.Н. Григорьян. «Из истории философии Средней Азии и Ирана». М., І960, 148-156беттер).

5. Бұл тұста әл-Фараби түрлі жалған ғылымдардың болуының әр түрлі жалпылама себептерін талдаған; әл-Фарбидің түсінігі бойынша бұл жайт негізінен адамдардың жеке басының немқұрайдылық көрсетуіне байланысты субъективтік себептерге байланысты, мысалы, ғылыми өресінің дамытылу деңгейінің төмендігі, тумысынан біткен ғылымдарға деген жек көрушілігі, осы жалған ғылыммен айналысушы ғалымдардың лауазымдық мәртебесінің жоғары болуы, кейбір ғалымдардың пайдақорлық мақсатпен саналы түрде үндемей қалуы себепті болады екен. Осыған байланысты Роджер Бэкон (1214-1294) ақиқат ғылымды тануға кесірін тигізетін бөгеуілдер деп аталатындардың тізбесін мысалға келтірген. Бэкон осындай бөгеуілдер ретінде: жалған бедел алдымда тәжім етуді, надан адамның, паң даналықтың нанымы, ескілікті әдетті атаған (Стяжкин Н.И. «Формирование математической логики». М., 1967, 140-бет). 6. Бұл тұста әл-Фараби логикалық қателіктерге жол беруден сақтандырған, атап айтқанда: біртекті емес құбылыстарға ұқсастықты қолдану кезінде сақ болуды талап етеді, ненің ұқсас, ненің ұқсас еместігін мұқият зерттеу керек екенін ескертеді. 7. Кездейсоқ құбылыстар - амур ал-иттифакиййа, сөзбе-сөз «үйлесумен сипатталушы құбылыс тар», иттифак сөзінен - «үйлесу» («дәл келу»). Әл-Фараби бойынша кездейсоқ құбылыстарды анықтау тәсілінің болмауы кездейсоқ құбылыстарға тән белгі болады. 8. Бұл пайымдау әл-Фараби үшін астрологтардың жұлдыздар үкімі бойынша жерде өтетін оқиғаларды алдын ала болжау мүмкіндігі туралы басшылыққа алынатын негіздерді сынауда ең бастысы болып саналады. Мұнымен қоса ол кейбір аспанда және жерде өтетін құбылыстардың арасында байқалатын объективті байланыстарды жоққа шығармайды, бірақ та осы байланысты мұқият зерттеуді талап етеді. Кездейсоқтық туралы ғылыми танудың болмауын Аристотельдің де дәлелдегенін атап өтейік, оның пікірінше, кездейсоқтық қажетті түрде болуы міндетті емес, көпшілік жағдайларда болатын да емес, бірақ ол онымен де, мұнымен де қабаттаспай пайда бола береді (Аристотель. «Аналитики», кн. Первая и вторая. М., 1952, 241-бет). 9. Бұл тұста әл-Фараби кездейсоқ құбылыстардың болуын өзінше негіздейді. Кездейсоқтық категориясының ұқсас танымы Аристотельде кездесетінін атап өткіміз келеді, ол былай деп жазған: «Оқиғаны жою қисынсыз салдарлар тудырады. Көптеген құбылыстар қажеттіліктен емес, кездейсоқ пайда болады. Егер құбылыстарда оқиға болмаса, бірақ та, барлығы пайда бола береді әрі қажеттіліктен туындай береді, егер де осылай істелгенде бұл болмас еді, егер басқаша болғанда әлгідей болмас еді деп, кеңесуге де, әрекет етуге де болмас еді» (Аристотель. «Об истолковании», гл. ІX, пер; Э.Л. Радлова. СПб, 1891). 10. Бұл тұста әл-Фараби табиғаттың әр түрлі құбылыс тарын танудағы ғылымның маңызын атап көрсеткен. Оның пікірінше, ғылыми талдау арқылы болжауға болатын көптеген құбылыстар болмақ, сонымен бірге оның өзін тікелей ашқанға дейін, оны алдын ала білу мүмкін болмайтын құбылыс тар категориялары да болады. 11. Бұл тұста әл-Фараби ықтималдығы бірдей құбылыстарды қарастырған. 12. Әл-Фараби кездейсоқтықты (мүмкіншілікті) «мүмкін емес», «болуы сирек», «ықтималдығы бірдей», «көпшілік жағдайда болуы мүмкін», «қажетті» (сенімді) деп топтастырған. әл-Фарабидің кездейсоқтық туралы ілімінің басты бағыты табиғаттың

зандылықтарын зерттеуге бағытталды. Ол көптеп (жаппай) байқалатын кездейсоқтық, яғни көп жағдайда мүмкін болатын құбылыстарды зерттеуге ашықтан-ашық шақырды. Сонымен, әл-Фараби әр түрлі ғылыми тәжірибелерге ерекше көңіл аударған. 13. Бұл тұста әл-Фараби «көпшілік жағдайда болуы мүмкін» деген категорияға көп мән берген. Әл-Фарабидің түсіндіруі бойынша кездейсоқтықтың өзгедей категориялары мұның дербес жағдайлары болып саналды. Мысалы, «мүмкін емес» және «қажетті» (сенімді) кездейсоқтықтар оның шектік жағдайлары болады, бұл жағдайлар мүлде болмайды, немесе оқиғалардың бірінің білінуіне арналған барынша қолайлы шарттар пайда болады. Сонымен, әл-Фарабиде ықтималдық категориялары берілген жағдайлар кезінде пайда болатын оқиғалар аралығында болатын объективті өзара байланысты сипаттайды. 14. Бұл тұста әл-Фараби жалпы және дербес жағдайларды теңдестіруге қарсы: берілген жағдайдағы «беймәлім» - жалпы жағдай, ал «мүмкін» - дербес жағдай болып табылады; жалпы және дербес жағдайларды араластыру логикалық қателік болады. Әл-Фараби астрологтардың алдын ала болжауларының негізсіздігінің себебін осыдан көреді. Мысалы, аспан денелерінің жердегі оқиғаларға әсер етуі, дербес жағдайда адамдар тағдырына әсер етуі мүмкін, бірақ адамдардың тағдырларының әрқилы болуының себептері белгісіз, сондықтан аспан денелері жердегі әр түрлі денелердің көрсеткіштері бола алмайды. 15. Бұл тұста әл-Фараби таным мәселесін қозғайды. Ол танылмақшы құбылыстарды екі түрге бөледі: 1) шын (актуал) танылмақшы құбылыстар, яғни оз табиғаты бойынша танылуға жататын және оның танылуы жүзеге асырылатын құбылыс ; 2) танылуы мүмкін құбылыс тар, яғни оз табиғаты бойынша танылатын, бірақ та танылуы жүзеге асырылмайтын (буған мысал орта ғасырларда Аллаһты тану жиі-жиі соз болғаны мысал бола алады) құбылыс . 16. Шырақтардың тоғысуы (киран) - екі шырақтың эклиптикалық бойлықтарының бірдей болуы кезіндегі орналасу қалпы («Ғылымдар тізбегінің» 33-ескертпесін қараңыз). 17. Осы тұста әл-Фараби ғылымдар тарихында алғашқылардың бірі болып ғылыми астрономияның ақиқат пәнін анықтаған. Сонымен, ол астрологтардың жұлдыздардың орналасуы қалпы бойынша адамдардың тағдырын, жердегі құбылыстарды алдын ала болжамдап айтуға әрекеттенген қате көзқарастарын жоққа шығарған. Себебі ол кездері астрономия мен астрология ортақ бір атаумен - жұлдыздар туралы ғылым деп аталған болатын, әл-Фараби бұларды шатастырып алмау жөнінде сақтандырған және де бұлардың әрқайсысының мән-мағынасын ашқан. Әл-Фараби бойынша, ғылыми астрономия арифметика және геометрия сияқты дәл (қажетті) заңдылықтармен айналысуға, бұған қоса аспан денелерін, олардың өлшемдерін, әлгі денелерге дейінгі қашықтықты анықтаумен шұғылдануға тиісті. Астрономия пәніне мұнымен қатар көптеген жағдайларда мүмкін болатын құбылыстар категориялары жатады, мысалы, Күннің Жер бетіндегі заттарға тигізетін жылулық әсерлерін зерттеу осыған тиісті. Әл-Фараби осы тұста жұлдыздар бойынша болжам айтушылардың (астрологтардың) кәсіби пәнін анықтайды және өздерін астрономияның білгірлері ретінде санайтын

әлгілердің өте шүбәлі, сенімсіз нәрселермен айналысып жүргендігін айтқан. Әл-Фараби өзінің «Ғылымдар тізбегі» деген трактатында астрономия мен астрологияға мынадай анықтама берген: «Жұлдыздар туралы ғылым» деген атаумен екі ғылым ұғынылды: біріншісі - жұлдыздар үкімдері туралы ғылым, бұл ғылым шырақтардың болашақта нелердің болатынын, қазіргі кезде нелердің болып жатқандығын және бұрынғы кезде нелердің болып өткенін аңғартатын ғылым. Екіншісі - математикалық астрономия. Бұл пән ғылымға да әрі математикаға да жатады. Алғашқысы адамның қабілеттілігі мен қолөнері кәсібіне қатысты, солар арқылы адамның нелердің болатыны, түс көруді жору, құстардың ұшуы бойынша алдын ала болжау айту, бал ашу және осыларға ұқсас басқадай қабілеттілік көрсетуді елестете алады (осы жинақтың 5-6-беттерін қараңыз). 18. Бұл тұста әл-Фараби жаратылыс ғылымдарына сүйене отырып, аспан мен жердегі құбылыстардың арасында болатын объектива байланысты тағы да айтқан. 19. Бұл тұста әл-Фараби сол кездегі астрономдар арасында болып өткен, аспан денелерінің қайсысы жарық сәуле таратады, ал қайсыларының шағылысқан сәуле арқылы жарқырайтындығы туралы талқылауды айтып отыр. 20. Бұл тұста әл-Фараби ақиқатқа тікелей жету сезімі бойынша Күн мен жұлдыздардың жарық сәулесінің әсерлерінің жер бетіндегі денелерге жеке-дара немесе бірігіп әсер етуіне байланысты, сонымен бірге әлгі денелердің физикалық күйлері мен қабылдағыштық дәрежелеріне байланысты сапалық әрі сандық өзгерістерге ұшырауы туралы физикалық дұрыс ой тұжырымдаған. 21. Бұл тұста да әл-Фараби әр түрлі объективті бар себептер мен құбылыстарды, олардың қол жеткізілушілігі, зерттелуінің оңайлығы бойынша таптастырған. Ол көптеген құбылыстардың себептері белгілі, ал кейбіреулерінікі тек жуық шамамен ғана белгілі деп есептейді. 22. Бұл тұста әл-Фараби себептерін алдын ала болжау мүмкін болмайтын құбылыстарды жеке бөліп көрсеткен. Осыған байланысты ол астрологтардың нағыз субъективті болжау мен ғылыми зерттеулерді тіптен елемей, жердегі оқиғаларды алдын ала болжай алу мүмкіншілігіне нандыруларын қате пікір екенін ескертіп, сынға алған. 23. Әл-Фараби адамның немесе өзгедей құбылыстардың жекелеген іс-әрекеттері мен әр түрлі субъективті алдын ала болжаулар арасындағы кез келген бір сәйкестіктерді табу және анықтау мүмкіншілігіне жол береді. Бірақ ол бұл сәйкестікті нағыз кездейсоқтық үйлесу деп бағалайды. 24. Бұл тұста әл-Фараби жұлдыздар бойынша алдын ала болжау жасауды, құстардың сайрауы, қойдың жауырын сүйегі мен адамның алақанындағы сызықтар бойынша бал ашумен теңестіреді т.б. 25. Зодиак градусы аспан күмбезінің Күннің бір жылдық көрінерлік жолы өтетін үлкен дөңгелек - эклиптиканың 1/360 үлесіне тең. Зодиак белгілері зодиактық жұлдыздарға сәйкес келетін эклиптиканың 1/12 бөлігіне тең.

26. Бұл тұста әл-Фараби Птоломейдің «Гармония туралы ілімінде» пифагоршылардан соң музыкалық және аспан гармонияларының арасында өзара байланыс болатынын нандырғаны үшін сынаған. 27. Бұл тұста әл-Фараби Зодиак белгілерінің шарттылығы себепті астрологтардың жер бетіндегі денелердің тағдырлары туралы планеталардың Зодиак белгілерінде орналасуы бойынша алдын ала жору жасауының дұрыстығына күмән келтірген. 28. Бұл тұста әл-Фараби астрологтардың Күннің тұтылу мысалы бойынша айтылған пікірлерінің логикалық негізсіз екенін айтқан. 29. Бұл тұста әл-Фараби көпшілікке белгілі жаратылыстану мен логикалық ережелерге негіздей отырып аспан денелерінің физикалық күйлерінің (жылдамдық, түс т.б.) Жердегі оқиғалардың өтуіне ықпал ете алмайтындығын айтқан. 30. Бұл тұста әл-Фарабидің осының алдындағы негізге алынатын бастамасының дұрыстығы Марс (Маррих) планетасының нақтылы мысалымен негізделген, бұл планета ежелден-ақ өзінің қан-қызыл түсі бойынша қан төгіс пен өлім-жітімнің белгісі іспетті болған. 31. Әл-Фараби ежелгі заман мен орта ғасырларда пайдаланылған адам ағзалары мен Зодиак шоқжұлдыздарының арасындағы байланыстың ғылыми негізі жоқ есептейді, әлгі байланыс бойынша Зодиактық 12 шоқжұлдыздың әрқайсысының түсініксіз жұмбақ әсерлері адамның кез келген ағзасына әсер етпекші, дербес жағдайда Тоқты (ал-хамал - «қой») - Күннің көктемдегі күн мен түннің теңелуінен кейінгі кездесетін алғашқы шоқжұлдыз басқа әсер етеді, ал Торпақ (ас-саур - «өгіз») мойынга әсер етпекші т.с.с. 12шоқжұлдыз - Балық (ал-хут - «үлкен балық») табанға әсер етпек. 32. Птоломейдің геоцентрлік жүйесі бойынша Ай Жерге жақын сфера бойынша, ол Сатурн (Зухал) - ең алыс сфера бойынша қозғалады. Бұл тұста әл-Фараби аспан құбылыс тарына қатысты айтылған тура және кері пікірлердің дұрыстығына баға беру оңай емес екендігі және әрқашан мүмкін болмайтынын тұспалдап білдірген. 33. Бұл тұста астрологтардың жер бетіндегі құпия істердің Ай жарығының көрінбей қалуымен байланыстыратын пікірлеріне сын айтқан. Әл-Фараби Айдың жарығының артпағаның және кемімегенін ескерткен, мұның барлығы көрінерлік жағдай, осыдан дұрыс қорытынды шығарған: «назарымызға сөзсіз елестейтін нәрсе, құбылыстарға қатысты оларды жаратылған түрінде көрсету емес». Әл-Фараби бұл тұста да біздің әлем туралы біліміміздің салыстырмалы екенін еске алады. 34. Планетаның Күнмен тоғысуы оның «жануы» (ихтирак) деп аталған, себебі планета Күн сәулесшде жанған секілді көрінбей қалады. 35. Бүл тұста Күн мен Меркурийге (Утарид) байланысты, астрологиялық ырымдары, сонымен қатар астрологтардың алғышарттарының қайшылықтары да айтылған. 36. Әл-Фараби осы негізге алынатын бастамада астрологтардың алдын ала болжауларының дұрыстығын тәжірибе жүзінде тексеру көпшілік жағдайларда олардың пікірлерінің дұрыс еместігін көрсеткенін атап өткен.

37. Бұл тұста әл-Фараби аса атақты астрологтардың өз істерінде, күнделікті тұрмыстарында өздерінің астрологиялық болжауларының бірде-біреуін басшылыққа алынбағанын кекесінмен ескерткен. Әл-Фараби осы қорытынды негізге алынатын бастамасында астрологтардың кәсібін әр түрлі ғылыми негіздерден жұрдай, тек жекелеген адамдардың субъективтік психологиялық кемістіктеріне ғана сүйенген іс деп бағалаған. Бұл трактатта астрологияға қарама-қарсы түрде Әлемді танудың ақиқат ғылыми тәсіліне үлкен артықшылық берілген. Әл-Фараби өзінің басқадай да шығармаларында астрономияны жоғары бағалаған және де астрономиялық құбылыстарды, математикалық әдістерді кең түрде қатыстырып зерттеуді ұсынған. Әл-Фараби ежелгі және өз дәуірінің астрономиялық білімдерін жетік меңгерген және өзі Птоломейдің «Әлмагесіне» түсініктемелер жазған автор. Әл-Фарабидің осы трактатта айтылған пікірлері мен идеяларының тағдырына қатысты мынаны айтуға болады, бұлардың барлығы әл-Фарабидің замандастарының және оның ізбасарлары тарапынан еленбей қалған жоқ, қызу қолдау тапқан. әл-Фарабидің осы трактаттағы астрологиялық болжамдарға айтқан сындарын кейіннен Шығыстың көрнекті ғылымдары әл-Бируни (973 - шамамен 1050), Ибн Сина (980-1087) және Омар Ғайям (1048-1131) әрі қарай дамыта түскен. Мысалы, әл-Фарабидің жұлдыздар бойынша алдын ала болжау айту мүмкіндігін жоққа шығарудағы көпшілік ой желісі әр түрлі күйде әл-Бирунидің еңбектерінде кездеседі. ӘлБирунише әл-Фарабидің пікірі сияқты аспан шырақтарының заңдылықтарын жаратылыстық-математикалық білімдерсіз ғылыми тану мүмкін емес. Ол өзінің «Астрология өнерінің негізін зерттеуге арналған кітабы» (Китаб ат-таф-хим ал-аваил санаат ат-танджим) деген астрономиялық трактатының алғы сөзінде әл-Фарабидің астрологтардың дәлелдемелерінің ғылыми толықтай негізсіздігі жайлы ойын түгелдей қайталаған, әл-Бируни былай деп жазған: «Арабтар жұлдыздардың шығуы мен батуына сілтеме жасай отырып метеорологиялық барлық құбылыстарды түсіндірген, өйткені олар жаратылыс ғылымдарын білмеген және осы өзгерістер аспан сферасының бөлігіне және буған Күннің енуіне байланысты емес, жұлдыздық денелер мен олардың шығуларына байланысты болады деп ойлаған» (Бируни. Сборник статей. М., 1950,45-46-беттер). Әл-Бируни жекелеген адамдардың жұлдыздар бойынша болжам жасаушыларға сенуін әл-Фарабидің ұстанған бағытындай, нағыз психологиялық себептерден болады деген ойда болған. «Әрбір адам, - деп жазған Бируни, - қиыншылық жағдайға және ауыртпалыққа тап болса да, ол мейлі қаншалықты дана адам, ең көреген адам болса да жеңілдікке үміт артады. Ол оны жағымды болжамдардан іздейді, жағымсыз, жаман болжамдардан қашқақтайды. Ол жақсы түс көрсе қуанады, бал ашудан немесе жұлдыздық алдын ала болжамдардан сүйеніш іздейді» (Бируни. «Минералогия». Л., 1963, 285-бет). Әл-Фарабидің атақты ізбасары Ибн Сина да астрологияға қарсы шыққан. Ең соңында, әлФарабидің Әлем туралы білімдердің шарттылығы және салыстырмалығы туралы кейбір идеялары әл-Бирунидің және Шығыстың басқадай ғалымдарының гелиоцентрлік сипаттағы пікірлеріне қолайлы жағдай туғыза алды.

Ғылымдар тізбегі 1. «Ғылымдар тізбегі» деген математикалық тарау (Ихса алулум) Каирда басылған басылым бойынша аударылған (әл-Фараби. Ихса ал-улум, баспагер д-р Осман Амин, Каир, 1949, 75-95 беттер). Қолжазбалар Парижде (9335), Стамбулда (Кепрюлю, 1604), Мадридте (Эскуриал, 646/3) сақтаулы. Бұл трактаттың мазмұны Еуропада XІІ ғасырда Герардо Кремонскийдің (1187 ж. қайтыс болған) латынша аудармасынан белгілі болған. Осы трактатты Г.Камерарио латын тіліне аударып, 1588 ж. Парижде бастырып шығарған. Басқадай да аудармалары бар (толық немесе ішінара), сондай-ақ көне еврейше (XІV г.), немісше (Э.Видеман, 1907), ағылшынша (Фармер, 1932), испанша (А.Г.Паленсиа, 1932), французша (М.А.Мархаба, 1954), түрікше (А.Атеш, 1955), қазақша (А.Көбесов, 1964) және басқа тілдерде . «Ғылымдар тізбегі» деген математикалық тараудың мазмұнын ішінара зерттегендер: Э.Видеман (E.Wіedeman. Uber al-Farabіs Aupzflhlung der Wіssenschapten (De scіentіss), Sіtz.d.phys. = med. Soz. іn Erlangen, Bd. 39. 1907, 74-101-беттер), Г.П.Матвиевской ( в кн. «Учение о числе на средневековом Востоке», Ташкент, 1967,104-106беттер), А.Кобесов («Фарабидың Ғылымдар энциклопедиясының математикалық тарауы», «Білім және еңбек», 1969, №5, 12-бет). Музыка туралы бөлімнің негізіне А.В .Сагадеевтің «Музыкальная эстетика стран Востока» деген кітабында жарияланған аудармасы алынған. Жалпы редакциясы мен кіріспе мақаласы В.П.Шестаковтікі. Л. 1967, 259-261-беттер. 2. Математикалық ғылым - 'илма т-та'лим. «Та'лим» деген сөз - сөзбе-сөз «білім» деген сөз - грек тіліндегі mathema терминінің аудармасы, осы сөзден математика атауы шыққан. 3. Сандар ғылымы - "илм ал "-ад ад, арифметика мен сандар теориясын қамтыган. 4. Сандардың қолданбалық ғылымы - 'илм ал'-адад ал'-амали, сандардың теориялық ғылымы - 'илм ал"-адад ан-назари. Нақты зат. 5. Саналмалы - ма'дуд, дерексіз (абстракт) саннан ("адад) айырмашылығы - санау объектісі болып табылады. «Сан» мен «Саналмалының» айырмашылығын Ибн-алХайсамда (965-1039 ж.ж.) өзінің Евклидке түсіндірмелерінде және кейінірек ислам елдерінің көрнекті ғалымдары атап көрсеткен. 6. Әл-Фараби бұл тұста сандар ғылымы өзінің дерексіздік сипатына орай барлық ғылымдарда қолданыла алатындығын айтып отыр. 7. Жұп (заудж) сам мен тақ (фард) санның арасындағы қарама-қарсылық -пифагоршылар ілімінің негізгі мәселелерінің бірі. 8. Санның үлесі (джуз) - а санының бөлгіші b санының «бір немесе бірнеше үлесі» болып табылады а саны санынан «бір немесе бірнеше үлеске» артық болады. немесе 9. «Ұқсас сандар» (муташабиха) - тіктөртбұрыштарға немесе параллелепипедтерге ұқсас бейнеленетін сандар (13 және 14-ескертпелерді қараңыз).

10. «Өлшемдес сандар» (муташарика) - сөзбе-сөз «ортақ бөлгіші болатын». 11. «Өлшемдес емес сандар» (мутабайина) - сөзбе-сөз - «қарама-қарсылар». 12. «Еселікке алу» - «тад'иф», «да'ф» дегеннен - «еселік», бүтін санға көбейту. 13. «Жазық сан» (мусаттах) - тіктөрбұрыш болып бейнеленетін, қабырғалары осы санның көбейткіштерімен өрнектелетін екі санның көбейтіндісі, ал егер көбейткіштері өзара теңцей (беттесетін) болатын жағдайда, сан квадрат (мурабба) сан деп аталады, п2 үшін «квадрат» деген термин осыдан қалыптасқан. 14. «Денелік сан» (муджассам) - параллелепипедті бейнелейтін, үш санның көбейтінісі, қабырғалары осы сандардың көбейткіштері болып өрнектелетін сан, ал егер көбейткіштері бір-біріне өзара тең болса (беттессе), онда сан - кубтық сан деп аталады, и3қа арналған «куб» деген термин осыдан қалыптасқан. 15. «Кемел сан» (тамм) - өзінің бөлгіштерінің қосындысына тең сан; кемел сандар пифагоршылардың ілімінде маңызды сан болған. 16. «Геометрия ғылымы» - 'илм алхандаса. 17. Әл-Фарабидің қолданбалы және теориялық геометрияның объектілерін қарама-қарсы қоюы «саналмалылар» және «сандарды» қарама-қарсы қоюмен ұқсас. 18. Орта ғасырларда «сызықтар» (хутут) және «беттер» (сутух) деп түзу сызықты кесінділер және шектеулі беттер түсінілген, соңғы жағдайда көбінесе жазық пішіндер есте болып отыр. 19. «Квадрат, дөңгелек және үшбұрышты денелер» - тарби'ва тадвир ва таслис фи джисм, сөзбе-сөз - денедегі квадраттылық, дөңгелектілік және үшбұрыштылық. 20. Бұл тұста сандар ғылымы жайындағыдай геометрия өзінің дерексіздік сипатына байланысты барлық ғылымда пайдаланыла алады. 21. «Рационал шамалар» «" ал-мантикат» - сөзбе-сөз «сөйлеуші», «иррационал шамалар» (ас-сами) - сөзбе-сөз - «мылқау, саңырау» (гректің сәйкес сөздерінің аудармасы). 22. «Куб-мука"аб (ка'б сөзінен - «ойын суйегі», грекше «kubos» дегенге ұқсас), «конус» - махрут, сөзбе-сөз - «ушкірленген», «сфера» (кура), «цилиндр» - (устувана), «призма» - (маншур) («қырқылған», грекше «prіsma» дегеннің аудармасы), «пирамида» - (санавбары) (санавбар - «қарағай»). 23. Әл-Фараби негіз (аркан) және бастама (усул) деп геометрияның негізгі анықтамалары мен аксиомаларын айтып отыр; Евклидтің «Негіздері» ортағасырлық араб әдебиеттерінде «Геометрия негіздерінің кітабы» (китаб ал-усул ал-хандаса) деп аталған. 24. Әл-Фараби Евклидті (Уклидис) пифагоршыл (ал-фисагури) деп есептеген; шындығында Б.Л.Ван дер Варденнің айтуынша, Таренттік Архиттің өңделген шығармасы болып есептелетін «Негіздердің» тек VІІ-ІX кітаптарында, «Негіздердің» І кітабының бірінші анықтамасында, Платонның мектебіне қосылған біздің заманымыздан бұрынғы (б.з.б.) ІV ғасырындағы Хиостық Гиппократтың, Афиналық Теэтеттің және Книдтік Евдокстың шығармаларының өңделген нұсқалары болып табылатын «Негіздердің» басқа кітаптарында пифагоршылардың атомистік анықтамаларының іздері болған.

25. «Негіздер кітабы» - бұл жерде китаб ал-истиксат, истиксат - осы кітаптың грекше атауы «Stoіcheіa» - «элементтер, стихиялар» дегеннің бұрмаланған атауы. 26. «Талдау» (анализ - тахлил) - бұл жерде индуктивті әдіс, тұтастыру (синтез - таркиб) - бұл жерде дедуктивті әдіс; әл-Фарабидің Евклид көзқарасынан өзгешелігі ол геометрияға осы екі әдісті де қолдану қажет деп есептейді, осы мәселе оның Евклидтің «Негіздерінің» І және V кітаптарына түсініктемелерінде талқыланған (осы жинақтың 230-251-беттерін қараңыз). 27. «Оптика ғылымы» - "илм ал-маназир (маназир сөзінің сөзбе-сөз мағынасы) - «көру аспаптары». 28. «Параллакс» - инхираф алманзар, сөзбе-сөз көрінерлік ауытқу. 29. Әл-Фараби көру жүзеге асырылатын сәуле көзден таралады деп есептеген. Мұндай көзқарасты пифагоршылар және Евклид өзінің «Оптикасында» ұстанған; өзге ғалымдардың пікірінше, көру жарық көзінен шығатын сәуле арқылы жүзеге асатын болған. Ибн алХайсам (ал-Ъайсам) өзінің «Оптика кітабында» алғашқы көзқарасты - «математикалық көзқарас», ал екіншісін - «физикалық көзқарас» деп атаған әрі осы соңғы көзқарасқа қосылған. Әл-Фарабидің өзінің астрологиялық трактатында көрудің физикалық көзқарасын ұстанған (осы жинақтың 148-166-беттерін қараңыз). 30. «Жұлдыздар туралы ғылым» - ' илм ан-нуджум; «жұлдыздардың укімдемесі туралы ғылым» - ' илм ахкам ан-нуджум - юдицинарлық астрология; «математикалық астрономия» - ' илм аннаджум ат-та'лими («жұлдыздар туралы математикалық ғылым»), Бұл тұста әл-Фараби осы ғылымдардың тек екіншісі ғана ғылымға қатысты деп атап көрсеткен. 31. Бұл тұста әл-Фараби сол кездері көпшілік қабылдаған Птоломейдің геоцентрлік жүйе догмасын ұстанған. 32. «Зодиак белгілері» - бурудж, эклиптиканың (аспан күмбезінің Күннің жылдық көрінерлік қозғалысы өтетін үлкен дөңгелегі) 30°- тық жолы (учаскесі), осы аралықтар Зодиактың 12 шоқжұлдызына сәйкес келеді. 33. Егер аспан күмбезіне эклиптикалық жүйе, яғни сфералық координаттар енгізілсе, экватордың орнын эклиптика басады, сонда екі шырақтың эклиптикалық бойлықтарының беттесуі (бір-біріне дәл келуі) әлгі екі шырақтың бірігуі (киран) деп аталады, екі шырақ бір Зодиак белгісінде тұрса, бұл әлгі екі шырақтың жақындасуы (иджтима) делінеді. Шырақтардың әр түрлі қалыпқа алшақтауы, олардың қарсы тұруы (бұлардың эклиптикалық бойлықтары бір-бірінен 180°- тық алшақта болса немесе Зодиактың қарама-қарсы белгілерінде тұрса), - квадратура (әлгілердің эклиптикалық бойлықтары немесе Зодиак белгілері бір-бірінен 90°-қа алшақ болса), тригоналдық аспект (әлгілердің эклиптикалық бойлықтары немесе Зодиак белгілері 120°-қа алшақ болса) болады. 34. Жердің «Тіршіліктік бөлігі» (алмамұра) - ойкемуна (ойкумена), ерте кезде және орта ғасырларда ойкемуна жердің бетінің төрттен бір үлесін алып жатыр деп есептелген. Климаттар (иклим) - ойкемунаның жолақтары, ерте кезде және ортағасырларда ойкемуна жеті климатқа бөлінеді деп есептелген.

35. Бұл тұста «географиялық кестелер», яғни Птоломейдің «Географиясынан» және исламның көптеген ғалымдарының трактаттарынан алынған географиялық координаттары көрсетілген қалалардың тізімі еске алынып отыр. Жердің әр түрлі пункттерінің географиялық координаттарын есептеп анықтау математикалық географияға жатады. 36. Бұл тұста әл-Фараби күнтізбесі теориясының күннің және түннің ұзақтығын есептеу, және басқа мәселелер жататын математикалық жылнаманы сөз еткен. 37. «Музыка туралы ғылым» - "илм ал-мусика; «мусика» деген сөз грекше «mousіka» деген сөздің транскрипциясы. 38. «Мелодия» («әуен») - лахи, бұл сөз дыбыс дегенді және мотив дегенді білдіреді. 39. Әл-Фарабиде қолданбалы және теориялық ғылымды қарама-қарсы қою жұлдыздар туралы екі түрлі ғылымды қарама-қарсы қоюмен ұқсас, бірақ та соңғы аталғаннан айырмашылығы - әл-Фараби музыка туралы қолданбалы ғылымды ғылым деп атаған. 40. «Флейта» - мизмар, көпше түрде мизамир, сөзбе-сөз - «сыбызғы», «лютня» - "уд, көпше турде -" идан, сөзбе-сөз - «түтік». 41. «Тон», яғни белгілі бір жоғарылықты дыбыс - нагма, көпше турде - нагамат; бұл тұста нагам. 42. «Ритм» - ика", көпше турде ика'ат. 43. «Метрлік» - вазин - вазн сөзінен - музыкалық әрі өлеңдік өлшем, сөзбе-сөз -«салмақ». 44. Музыка туралы теориялық бес бөлім әл-Фарабидің «Музыканың үлкен кітабы» деген трактатының негізгі бөлімдеріне сәйкес келеді. 45. «Салмақтар туралы ғылым» - "илм ал-аскал. Бұл тұста таразылар (мизан, көпше турде мавазин) деп күйентелі таразылар аталған. «Салмақтар туралы ғылымның» сәйкес тарауы статикаға жатады, бұл ғылымның негізін Архимед қалаған; бұл мәселеге ІX ғасырдағы Багдаттық ғалым Сабит ибн Корраның (Курраның) «Карастун туралы кітап» деген трактаты арналған. 46. Бұл тұста біз алат - «аспаптар» деген сөзді «механизм» деген сөзбен аударамыз. Осы тұста негізінен қарапайым машиналар - рычагтар, блок, шығыр, винт және сыналарды еске аламыз. «Салмақтар туралы ғылымның» сәйкес тарауы Аристотель мектебінде жазылған «Механикалық мәселелерге» негізделген. Сонымен бірге статикаға жатады, бірақ та бұл тұста динамиканың бөліктері (элементтері) бар. 47. «Шеберлік тәсілдері туралы ғылым» - илм ал-хийал, гректің «teclіne mechanіke» деген сөзінің аудармасы, алғашында механизмдер мен автоматтар туралы ілім мағынасында механиканы білдірді. Дербес жағдайда, ІX ғасырдағы Багдаттық ағайынды ғалымдар Бану Муса ибн Шакирдің «Механика кітабы» (Китаб ал-хийал) осы ғылымға арналды. әл-Фараби осы терминді математиканы қолданбалы мәселелер шешуге қолданудың шеберлік тәсілдері туралы ілім ретінде едәуір кең түсінген. Осы терминді алғаш рет едәуір

кең мағынада әл-Фарабидің із ашары арабтардың философы Я'куб әл-Кинди де кездескен, X ғасырдың тарихшысы Ибн ан-Надимнің хабарлағанындай, ол «Сан шеберлігі тәсілдері және бұларды анықтау туралы трактат» (Рисала фи-л-хийал ал-"ададиййа ва илм идмарха, мұның қолжазбасы сақталмаған, Іbn al-Nadіm. Kіtab al-Fіhrіst, т. 1, 256-бет) деген еңбек жазған. Әл-Фараби әл-Киндидің идеясын дамыта отырып «хийал» сөзінің мәнін бұрынғыдан едәуір кеңейткен, осы сөзді «рухтық шеберлік тәсілдеріне» таратқан, бұл жайт оның «Геометриялық пішіндердің егжей-тегжейі туралы рухани әдіс-айлалар мен болмыстық құпиялар кітабы» деген трактатының атауынан белгілі (осы жинақтың 36-130беттерін қараңыз). 48. «Алгебра және алмукабала» (ал-джабр ва-л-мукабала) - алгебраның алғашқы атауы. «Ал-джабр және ал-мукабала» сөзінің атауы алғашқыда «қалпына келтіру» және «қарамақарсы қою» - алгебралық екі амалдың атауы (азайтқыш мүшелерін теңдіктің бір жақ бөлігінен екінші жақ бөлігіне көшіру әрі теңдіктің екі жақ бөлігіндегі теңдей (бірдей) мүшелерді қысқарту), осы амал арқылы алгебралық теңдеулер канондық түрге келтіріледі. Осы математикалық пәннің атауы ІX ғасырдағы ортаазиялық математик Мухаммад әл-Хорезмидің «Алгебра және алмукабаланы есептеу туралы қысқаша кітабы» деген еңбегінде пайда болған. X ғасырда алгебраның өзге де атауы болған, мысалы Абу Камил алгебраның «жазық пішіндерді есептеу» (хисаб ас-сутух) деп атаған, себебі мұның алгебрасы әл-Хорезмидің алгебрасы секілді тек сызықтық және квадраттық теңдеулермен, яғни жазық пішіндер кескіндейтін сандардың көбейтінділері мен квадраттарымен ғана істес болған. Кейіннен ислам елдерінің алгебрашылдары куб теңдеулерді зерттей бастағанда, олар әл-Хорезмидің атауына қайтып оралған. 49. Бұл тұста әл-Фараби алгебралық тендеулердің коэффициенттері әл-Хорезмидегідей тек бүтін сандар ғана емес, үздіксіз геометриялық шамалар болатындығын да атап көрсеткен. 50. Евклидтің «Негіздері» - бұл тұста Истиксат (25-ескертпені қараңыз) «Негіздерінің» X кітабы квадраттық иррационалдыққа арналған. Әл-Фараби бұл тұста X ғасырдың кейбір математиктерінің «Негіздердің» X кітабының нәтижелерін «Негіздің» V кітабында айтылған едәуір жалпылама иррационалдықтың ұқсас нәтижелерін арифметикаландыру мен алгебраландыруын айтып отырған ұқсайды. 51. Әд-Фарабндің «рационал сандар» (ал - "адад мунтика) және «иррационал сандар» (ал- " адад самма) деген терминдерді, «сан» деген сөзді оның натурал санға қарағанда едәуір кең мағынада түсінетінін, XІ ғасырда Омар Ғайямның «Евклидтің кітабының кіріспесіндегі қиындықтарға түсіндірмелеріндегі» сандар ұғымын жалпылауын болжап білген. «Шама» деген сөз бұл тұста «узм» деген сөзбен аударылған, «узм» сөзбе-сөз -«үлкендік». ӘлФараби өлшемсіз шамалардың қатынасы натурал сандардың қатынасымен өрнектеледі дегенді өлшемсіз шамаларды жалпыланған сандар арқылы өрнектеу деп отыр. Осы тұстың өзге аудармасын, ортағасырлық латындық аудармасын Г.П.Матвиевскаяның аталып өткен «Сандар туралы ілім» (246-бет) деген кітабынан қараңыз. Әл-Фарабидің аталған жағдайдағы сан ұғымын кеңейтуі алгебра пәнімен табиғи байланыс тапқан, себебі алгебралық сипаттағы есептерді сандармен шешуге жасалған көптеген талпыныс сандар ұғымын кеңейтуге бағытталған объективті ынталандырудың бірі болды.

Әл-Фарабидің «Ғылымдардың пайда болуы туралы» деген трактатында автор санды субстанцияның бір бөлігінің екінші бөлігіне қатынасы ретінде анықтайды, бұл жайт ұғымды философиялық тұрғыда кеңейтудің белгілі бір тұспалы еді. 52. «Құрылысты басқару» - рийаса ал-бина - архитектуралық ғимараттың жобасын жасау. 53. Бұл тұста әл-Фараби 47-ескертпеде айтылған өзінің трактаты арналған геометриялық салуларды атамаған, осыдан ол «рухани әдіс-айлалар» деп аталған трактатты аяқтаған соң айналысқаны байқалады. 54. Садақ (құс, көпше түрде аквас) және қарудың басқа түрлері дегенде баллистаны, катапультті және басқадай қабырғаларды төмпештеп соққылау құралдарын айтқан секілді. 55. Каирлік басылымда «салмақтар» (авзан, көпше түрде вазн - «салмақ» деген сөзден) деген сөздің орнында аван - «уақатта» деген сөз тур. Біз бұл сөздің «авзан» секілді ортағасырлық латындық аудармаларына сәйкес (Г.П.Матвиевская. «Сандар туралы ілім», 106-бет); егер дұрыс оқылуы «аван» болса, онда бұл тұста уақытты анықтауға арналған аспаптар еске алынып отыр: күн сағаты, клепсидра немесе астролябия. «Әлмагеске» қосымшалар кітабы (тригонометриялық тараулары) *Осы аударма жасалған «математикалық трактаттар» атты орыс тілдегі нұсқада кейбір графикалық бейнелердің өлшемдері негізгі мәтінде берілген бейне шамаларымен сәйкес келмеген. Сондықтан аудармашы осы олқылықтың орнын толықтыру үшін оларды әлФараби мәтінінде көрсетілген шамалармен сәйкестендіруді жөн көрді. 1. «Қосымшалар кітабы» (Китаб ал-лавахик) - әл-Фарабидің «Әлмагеске» (Шарх алМаджисти) түсініктемелеріне қосымша. «Әлмагес» (ал-Маджисти) - александриялық ғалым Клавдий Птоломейдің (біздің заманымыздың ІІ ғасыры) «Математикалық құрылыс» деген классикалық астрономиялық шығармасының арабша атауы. Бұл еңбек ислам елдерінде тригонометрияның дамуында ерекше маңызды болды. Бұл еңбек 828 жылы алғаш рет араб тіліне аударылған, орта ғасырлық Шығыстың көптеген ғалымдары бұл еңбекке түсініктемелер жазды қайта өңдеді де, бұл ғалымдардың арасында әл-Ферғани (ІX ғасыр), Сабит ибн Корра (836-901), әл-Баттани (850-929), Әбу-лВафа (940-998), әл-Бируни (973-1050), На-сир ад-Дин ат-Туси (1201-1274) т.б. болды. ӘлФараби «Әлмагеске» алғаш түсініктемелер жазғандардың бірі болды. «Әлмагеске» түсініктемелер және «Қосымшалар кітабының» Британ мұражайында (Лондон №7368) жалғыз ғана қолжазбасы сақтаулы. «Қосымшалар кітабы» деген атауды әл-Фараби «Әлмагеске» түсініктемелерінің алғысөзінде атаған (1 парақтың сырт беті). «Қосымшалар кітабы» (160-197 парақ, сырт беті) 59 тараудан құралған. Осы жинақта тригонометрияға қатысты алғашқы 14 тараудың аудармасы жарияланған, өзге 45 тарау астрономияға арналған еңбекті қамтыған. Аудармада парақтарды нөмірлеу (пагинация) лондондық қолжазба бойынша жүзеге асырылған. Осы тригонометриялық тараулардың қысқаша мазмұнын А.Көбесов жариялаған. (Фарабидің тригонометриясы. «Білім және еңбек», 1969, №1).

2. Ислам елдеріндегі тригонометриялық түсініктердің және әдістердің дамуының басталған жері үнділік астрономиялық трактаттар - сиддханттар болды. Әл-Хорезмидің (780-850 жыл шамасы) астрономиялық трактаттарында үнділік астрономдардан алып пайдаланылған синустар кестелері болған. Гректік математиктерде синустер орнына бұрыштар хордалары пайдаланылған. Үнділіктер синус сызықтарынан өзге косинус сызықтарын және «садақты» (си-нус-версусты) қарастырған. Үнділер хорданы, одан соң жарты хорданы, яғни синус сызығын «джива» (адырна) деген сөзбен атаған. Осы мағынаны латынның «chorda» деген сөзі де береді. Латынның «arcus» деген сөзі «доға» дегенді, сонымен бірге «садақ», ал хорданың ортасы мен доғаның ортасын қосатын сызық латынша «sagіtta» - «садақ» дегенді білдіреді. Латынның осы терминдері арабтың «ватар» - «адырна, хорда», «каус» - «садақ, доға» және «сахм» - «садақ» деген сөздерінің аудармасы болып табылады. Араб ғалымдары үнділердің терминдерін аударғанда «джива» сөзін аударусыз қалдырған, сол кезге дейін үнді ғалымдары бұл сөзбен толық хорданы емес, жарты хорданы айтқан және ол сөзді «джайб», сөзбе-сөз «ойыс, шұңқыр» деп транскрипциялаған. Осы термин араб тіліндегі ғылыми эдебиеттерде қалыптасып сіңіскен, ортағасырлық аудармашылар мұны әлгідей мағынасы бар «sіnus» деген латын сөзімен аударған. Үнділіктер косинусты «котиджива», яғни толықтырушы синус ,араб тілінде «джайб тамам» деп атаған. Осы термин Еуропада «sіnus complementі» (толықтырушы синус) деп аударылған және кейіннен «cosіnus» делініп қысқаша аталған. Осы тұста әл-Фараби хорданың, синус сызығының, косинус сызығының және садақтың анықтамаларын берген, оған қоса хордалармен және тригонометриялық сызықтар арасындағы қатынастар жарыспалы түрде сипатталады. Әл-Фараби синустар мен косинустар сызықтарын бірінші ширекте, ал хордаларды Птоломей секілді жоғарғы жарты ширекте қарастырған. Бұдан былай біз а доғасының синус пен косинус сызықтары sіna және cosa, ал а доғасының хордасын chda арқылы белгілейміз. 3. Бұл тұста әл-Фараби а доғасын хорда бойынша 180° - а доғасының хордасын салуды айтып отыр. 4. Бұл тұста дәлелденіп отыр. Осыдан Осы қатынас арқылы гректердің барлық хордаларының тригонометриясын синустар мен косинустар тіліне көшіруге болады. 5. Бұл тұста 90° хордаларды есептеу тәсілі көрсетілген. болатыны дәлелденеді, бұдан (1) тендік бойынша

6. Бұл тұста 7. Бұл тұста 120° хорданы есептеу тәсілі көрсетілген: , бұдан (1) тендік бойынша

8. Бұл тұста 36° және 72°-тық хордаларды есептеу тәсілдері көрсетілген. Дәлелдеме Птоломейдің «Әлмагесінің» 1-кітабындағы дәлелдемемен уйлеседі (С/. Ptolemaus. Handbuch der Astronomіe, ubers, A. Manіtіns,T. 1, Leіpzіg, 1963, s. 27).

дәлелденеді, будан (1) теңдік бойынша

9. Бұл «Негіздердің» ІІ кітабының 6 пайымдауы (Евклид. «Негіздер», т. І, 67-68-беттер). 10. Бұл Птоломейдің белгілі теоремасы, «Әлмагестің» І кітабында дәлелденген (С/. Ptolemaus. Handbuch der Astronomіe, т. І, s. 28). Әл-Фараби дәлелдемесі Птоломейдің дәлелдемесімен үйлеседі. 11. Бұл пайымдау және оның дәлелдемесі Птоломейдің «Әлмагесінде» бар {CІ. Ptolemaus. Handbuch der Astronomіe, ііbers, A. Manіtіns, т. І, s. 29). Бұл тұста дәлелденген ереже мына формулаға мәндес: sіn(a -b) = sіna • cosb-sіnb cosa • 12. Бұл пайымдау және оның дәлелдемесі Птоломейдің «Әлмагесінде» бар {CІ. Ptolemaus. Handbuch der Astronomіe, ііbers, A. Manіtіns, т. І, s. 30). Дәлелденген ереже мына формулаға мәндес:

13. Бұл пайымдау және оның дәлелдемесі Птоломейдің «Әлмагесінде» бар {CІ. Ptolemaus. Handbuch der Astronomіe, ііbers, A. Manіtіns, т. І, s. 32). Дәлелденген ереже мына формуламен мәндес: sіn(a +b) = sіna -cosb + sіnb-cosa . 14. Бұл пайымдау және оның дәлелдемесі Птоломейдің «Әлмагесінде» бар {CІ. Ptolemaus. Handbuch der Astronomіe, ііbers, A. Manіtіns, Т. 1, s. 33). Бұл тұста егер болса, онда

егер болса, онда

15. Қатынастарды біріктіру - таркиб ан-нисба, қатынасынан қатынасына және пропорциясынан пропорциясына көшу (ауысу) «Негіздердің» V кітабының 14 - анықтамасында айтылған (Евклид. «Негіздердің», т. І, 144-бет). Осыған ұқсас теңсіздік қатынастары үшін, мысалы, қатынастарды біріктіргенде мынау шығады 16. Қатынастарды айыру - тафсил ан-нисба, А> В болғанда қатынасынан қатынасына және пропорциясынан пропорциясына ауысу «Негіздердің» (Евклид, т. І, 144-бет) V

кітабының 15-анықтамасында айтылған. Осыған ұқсас теңсіздіктер қатынастары үшін, мысалы, қатынастарды айыру мынаған әкеп тірейді 17. Бұл тұста әл-Фараби Птоломейдің ізімен алдымен доғалар хордаларының айырымын (72о-60°=12°) табады, ал сонан соң бірте-бірте 6°, 3°, 1'/2° және 3/4° хордаларын табады. 18. Бұл тұста әл-Фараби мына теңсіздікті шығарады:

Сонымен, әл-Фараби бойынша г2-49"48"'

24. Егер екінші көлеңке шамасы, яғни а доғасының котангенс сызығы ctga арқылы белгіленсе, онда осы тұста дәлелденген пайымдау мына түрде жазылады:

Осы ереже кейіннен Ұлықбекте де кездескенін атап өтейік, ол былай деп жазған: «Сонымен, егер кез келген доға берілген болса және менің осы доғаның көлеңкесін білгім келсе, мен оның синусын оның косинусына бөлем және бөліндіден бірінші көлеңкені табам; егер де мен, керісінше, косинусты синусқа бөлсем, онда екінші көлеңкені табамын - бұлардың әрқайсысы модульдің алпыстық үлесіне тең» (Кары-Ниязов. Ұлықбектің астрономиялық мектебі, 1950. 155-бет). Геометриялық пішіндердің егжей-тегжейі туралы рухани әдіс-айлалар мен болмыстық құпиялар кітабы 1. «Геометриялық пішіндердің егжей-тегжейі туралы рухани әдіс-айлалар мен болмыстық құпиялар кітабы» (Китаб ал-хийал, ар-руханййи ва-л-асрар ат-таб'иййа фи дакаик алашкал ал-хандасиййа) Упсала университеті (Торнберг, 324) кітапханасындағы қолжазбадан тәржімеленген. Өзгедей қолжазбалар табылмаған. Осы трактаттың мазмұнын А. Көбесов зерттеген (Фарабидің геометриялық трактаты, «Білім және еңбек», Алматы, 1969, №7). Әл-Фарабидің осы шығармасы 10 кітаптан құралған, бұлар Әбу-л-Вафа әл-Бозжанидің (940-998) соңғы кезде жазылған «Геометриялық салулардан қолөнершілерге нелер қажет екені жайлы кітабында» (қараңыз «Физико-математические науки в странах Востока» вып. І (ІV). М., 1966, 56-130-беттер) толықтай қамтылған. Әл-Фарабидің І кітабы Әбу-л-Вафаның ІІ тарауының екінші жартысында қамтылған, ІІ-ІХ кітаптары Әбу-л-Вафаның ІІІ-Х тарауларымен толықтай үйлеседі, X кітабы Әбу-л-Вафаның XІ тарауының бірінші жартысында қамтылған. 2. Ислам елдері ғалымдарының шығармаларының басталуының дәстүрлі бастамасы. О л кездері Аллаһ пен Мұхаммед пайғамбарды еске алмай бірде-бір шығарманың шығарылуы мүмкін емес-ті. 3. Ғылымдарды санамалап шығу мәселесіне әл-Фарабидің «Ғылымдар тізбегі» деген трактаты арналған (осы жинақтың 1-17беттерін қараңыз). 4. «Әдіс-айлалар» - әл-Фараби бойынша математиканың оны іс жүзінде, өзгедей ғылымдар мен өнерге қолдану мәселелері қарастырылатын ерекше тарауы («Ғылымдар тізбегінің» математикалық тарауына арналған 47-ескертпені қараңыз). 5. «Дөңгелектің ортасын болу туралы» (фи аксам ад-марказ) тақырыбы бір мәтіннің бұрмаланған тіркесі болса керек. 6. Дөңгелектің ортасын анықтау туралы мәселе қолжазбада жоқ, бірақ Әбу-л-Вафаның аталған трактатында бар. 7. Евклидтің «Негіздерінің» ІІІ кітабының 25-ұсынысының салуымен үйлеседі (Евклид. «Начала», т.1. 105-бет). 8. Евклидтің «Негіздерінің» ІІІ кітабының 17-ұсынысының салуымен үйлеседі (т.1, 99-бет). 9. Әл-Фараби бұл тұста сызғыш пен ашасы тұрақты циркуль арқылы шеңбердің берілген нүктесіне жанама салудың тәсілін баяндап отыр. 10. Евклидтің «Негіздерінің» ІІІ кітабының 16-ұсынысындағы салумен үлеседі (т.1, 97-бет).

11. Салудың дұрыстығы Евклидтің «Негіздерінің» І кітабының 34-ұсынысынан туындайды (т.1, 45-бет). 12. Салудың дұрыстығы Евклидтің «негіздерінің» І кітабының 29 және 6-ұсыныстарынан туындайды (т.1, 41 және 20-бет). 13. Салудың дұрыстығы BEKG пішінінің параллелограм болуынан және алдыңғы ұсыныстан туындайды. 14. Евклидтің «Негіздерінің» І кітабының 22-ұсынысымен толық үйлеседі (т.1, 34-бет). 15. Салудың дұрыстығы теңқабырғалы үшбұрыштың әрбір бұрышы тікбұрыштың үштен екісіне тең деген тұжырымнан туындайды. 16. Мағынасы бойынша Архимедтің «Леммалар кітабының» 8-ұсынысының салуымен үйлеседі (Архимед. Сочинения, пер. Веселовского И.Н., пер. арабских текстов Б.А. Розенфельда. М., 1962, 395-бет). 17. Бұл салу да «қосымшаны» пайдалануға негізделген. 18. Салудың дұрыстығы Евклидтің «Негіздерінің» ІІІ кітабының 26-ұсынысынан туындайды (т.1, 106-бет). 19. Геронның «Механикасындағы» салумен үйлеседі (Архимед. Сочинения, 161-бет). 20. «Өртеу айнасы» - парабола, «заттың жану қашықтығы» -тоғысу қашықтығы. Әл-Фараби лекалоны сызғыш, яғни «мастара» деген сөзбен атаған. 21. Бұл тұста «Өртеу айнасы» - параболаны жасаудың өзге бір тәсілі айтылған. 22. Евклидтің «Негіздерінің» І кітабының 46-ұсынысындағы салумен үйлеседі (т.1, 15-бет). 23. Евклидтің «Негіздерінің» І кітабының 46-ұсынысындағы салумен үйлеседі (т.І, 57-бет). 24. Евклидте берілген қабырғалы дұрыс бесбұрыш салу жайлы ештеңе айтылмаған. ӘлФарабидің салуының дұрыстығы «Негіздердің» ІІ кітабының 2-ұсынысындағы сызықтарды орта және шеткі қатынастарға болу туралы деген (т. І, 75-бет) және Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 10-ұсынысындағы табанындағы бұрышы 72ғ, ал төбесіндегі бұрышы Збғ болған кездегі тең бүйірлі үшбұрыш салу туралы деген (т. І, 132-бет) тұжырымдардан туындайды. 25. Бұл сызғыш пен ашасы берілген қабырғаға тең тұрақты болып келген циркуль арқылы салу болып табылады. 26. Евклидте берілген қабырғалы дұрыс алты бұрыш салу қарастырылмаған. ӘлФарабидің салуы Евклидтің теңқабырғалы үшбұрыш салуына сүйенген. 27. Дұрыс жетібұрыш қабырғасының мәні мыңдық үлеске дейін алынған дәлдігі сырттай сызылған дөңгелектің 0,868 радиусына тең; әл-Фарабидің салуы 0,866 радиустық кесіндіге тең. Осы жуық мән Геронның «Метрикасында» бар (Hero Alexandrіnus, Ratіones dіmetіendі (Vermessungslehге), herausg undubers. H. Sehone,-"Heronіs Alexandrіnі opera quae supersunt omnіa", Bd. ІІІ. Leіpzіg, 1907, S. 1-185, S. 55.). Бұл тұста әл-Фараби өзінің салуының жуық сипатта екенін ескертпеген, бірақ ол кейінірек осыған ұқсас дөңгелекке іштей сызылған жетібұрышты салу кезінде айтқан (41-ескертпені қараңыз).

28. Евклидте берілген қабырғалы дұрыс сегізбұрыш салу қарастырылмаған. Әл-Фарабидің салуы гипотенузасы берілген қабырғаға тең, теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштарды салуға келіп тіреледі. 29. Бұл тұста әлгі мәселе сызғыш пен ашасы берілген қабырғаға тең тұрақты болып келген циркульмен шешіледі. 30. Евклидте берілген қабырғалы дұрыс тоғызбұрыш салу қарастырылмаған, дұрыс тоғызбұрыштың қабырғасы циркуль мен сызғыш арқылы дәл салынуы мүмкін емес. Бұл тұста әл-Фараби өзінің салуының жуық сипатын атап көрсетпейді. 31. Евклидте берілген қабырғалы дұрыс онбұрыш салу қарастырылмаған. Әл-Фарабидің салуы сырттай сызылған дөңгелектің радиусын болу кезінде үлкен кесінді және орта әрі шеткі қатынаста берілген қабырға болып табылатын әлгі радиусты салуға келіп тіреледі, бұл Евклидтің «Негіздерінің» XІІІ кітабының 9-ұсынысынан туындайды (т. ІІІ, 114-бет). 32. Бұл тұста әлгі мәселе сызғышпен және берілген қабырғаға тең тұрақты ашалы циркульмен шешіледі. 33. Бұл тұста әл-Фараби қолөнершілер өнерлерінің геометриялық негіздері туралы тағы да еске салады. 34. Бұл мәселе Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабындағы теңқабырғалы үшбұрыштарға арналған 2-ұсынысының дербес жағдайы болып табылады. Әл-Фарабидің салуы Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 15-ұсынысындағы іштей сызылған дұрыс алтыбұрышты салу туралы тұжырымына сүйенген (т. І, 138 бет). 35. Бұл мәселе Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабындағы теңқабырғалы үшбұрыштарға арналған 3-ұсынысының дербес жағдайы болып табылады (т. І, 124-бет). 36. Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабындағы 6-ұсынысындағы салумен үйлеседі (т. І, 128бет). 37. Бұл тұста әлгі мәселе сызғыш және дөңгелектің радиусына тең тұрақты ашалы циркульмен шешіледі. Әрі қарай әлгі мәселенің тағы да сызғыш пен әлгіндей ашасы бар циркульмен шешілетін үш шешімі айтылған. 38. Мән-мағынасы бойынша Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 2-ұсынысындағы салумен үйлеседі (т. І, 133бет). Әл-Фарабидің аталған салуы және оның дұрыстығының дәлелдемесі Птоломейдің «Әл магесінің» (Ptolemaus, Handbuch der Astronomіe, 25-бет) І кітабының 1-ұсынысында тұжырымдалған. 39. Бұл тұста да әлгі мәселе сызғыш және дөңгелектің радиусына тең тұрақты ашасы болатын циркульмен шешіледі. Әрі қарай әлгі мәселенің тағы бір шешімі айтылады. 40. Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 15-ұсынысындағы салумен үйлеседі (т.І, 138бет). 41. Бұл тұста әл-Фараби өзі салған доғаның «жуықтап алғанда дөңгелектің жетіден бір бөлігі ғана, дәл емес» деп атап өткен. 42. Бұл тұста іштей сызылған дұрыс онбұрышты салудың нақты екі тәсілі айтылған.

43. Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 5-ұсынысындағы (т.І, 126-бет) салумен үйлеседі. Әрі қарай әлгі мәселенің тағы бір шешімі айтылған. 44. Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 9-ұсынысындағы (т.І, 131-бет) салумен үйлеседі. 45. Мәселе Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 14ұсынысымен үйлеседі (т.І, 138-бет), бірақ та Евклидтен өзгешелігі, сырттай сызылған дөңгелектің ортасы екі биссектрисаның қиылысуынан емес, әл-Фараби оны қабырғалардың ортасына тұрғызылған екі перпендикулярдың қиылысуынан анықтаған. 46. Салу іштей сызылған дұрыс көпбұрыштың қабырғасының дөңгелектің радиусына тең болу фактісіне сүйенілген. 47. Евклидтің «Негіздерінің» ІV кітабының 4-ұсынысындағы салумен үйлеседі (т.І, 125-бет). 48. Бұл тұста бесбұрыштың төрт төбесі квадраттың қабырғаларына, ал бесінші төбесі квадраттың диагоналына орналастырып, сырттай сызылған квадратты салу және осылайша квадратқа іштей сызылған дұрыс бесбұрыш салу айтылған. Екінші салу тәсілі бойынша бесбұрыштың қабырғасы мен квадраттың қабырғасы мынадай қатынаста болып салынады: QR тузуі MN қабырғасының ортасы арқылы өтеді; бесбұрышқа сырттай сызылған квадрат салынады және ізделуші бесбұрыш салынған бесбұрыштың қабырғаларын әлгі қатынаста ұзарту (ұлғайту) бойынша пайда болады. 49. Бұл тұста берілген үшбұрыштан көрсетілген сан есе үлкен немесе кіші үшбұрыштар салу әңгіме болған. Салынатын үшбұрыш берілген үшбұрышқа ұқсас болатын бірінші және үшінші жағдайлардағы үшбұрыштарды түрлендіру - гомотетия болып табылады; бірінші жағдайда дөңгелектің ортасы үшбұрыштың төбелерінің бірінде, үшінші жағдайда үшбұрыштың ішкі нүктелерінің бірінде орналасады. Екінші жағдайда үшбұрыштарды түрлендіру түзуге қатысты созу болып табылады. 50. Бұл тұста төртбұрыштарды қақ бөлудің жеті тәсілі әңгіме болған. 51. Бұл тұста трапециядан оның үштен бір және басқа үлестерін бөліп алудың тоғыз мәселесі және оны қақ болу қарастырылған. 52. Салу ортасы квадраттың ортасында болатын гомотетия болып табылады. 53. Бұл тұста «жолақ қалдыра отырып» квадратты, үшбұрышты және трапецияны екіге және тең үшке, үштен бір, үштен екі бөлікке бөлудің бес мәселесі қарастырылған. Бұл мәселе жаңа жер теліміне ені берілген жол қалдыра отырып бөлуге арналған. ӘлФарабидің салуы жолақтың тек белгілі бір енінде ғана дұрыс. 54. Квадратты т2+п2 тең квадраттардан салу т2+п2 =(т-п)2+2тп қатынасына негізделген. 55. Квадраттардың қосындысына тең шамалы квадрат салудың «Геометрлер тәсілі» тікбұрышты параллелепипедтің диагоналының квадраты оның өлшемдерінің квадраттарының қосындысына тең делінетін Пифагор теоремасын жалпылдауға негізделген (58-ескертпені қараңыз). Геометр әл-Фарабидің сегізінші кітабының XXVІ мәселесінде пайдаланылған салуына ұқсас осы мәселені квадратты гомотетиялық ұлғайту арқылы шеше алар еді. Бұл тәсілдер қолөнершілерді қанағаттандырмайды, себебі үш квадратты берілген үш квадратқа тең боларлық бөліктерге бөліп пішудің тәсілін ұсына алмайды.

56. «Қолөнершілердің тәсілі» бойынша салынған квадраттың қабырғасы мынаған тең боладымынадан кіші болады: әл-Фараби осы шамаларды жуықтап мына бөлшектермен өрнектейді: және

57. Бұл тұста әл-Фараби үш тең квадраттың қосындысына тең шамалы квадрат салудың өзіндік әдісін ұсынған. Әл-Фарабидің пікірінше, мұндай тәсіл қолөнершілер үшін өте ыңғайлы болмақ, себебі ол тәсіл арқылы үш кіші квадраттан бір үлкен квадрат құрастыру оңай. 58. Бұл тұста әл-Фараби үш квадраттың қосындысына тең шамалы квадрат салудың «геометрлер тәсілін» егжей-тегжейлі баяндайды. п квадрат болған жағдайда осы мәселені квадратты гомотетиялық п есе ұлғайту арқылы шешуге болады, мұны әл-Фараби сегізінші кітапта қолданған; осы мәселені Пифагор теоремасын (п-1) еселік рет пайдаланып та шешуге болады. Бұл тұста «геометрлер тәсілі» жазық салу емес, кеңістіктік салу ретінде тұжырымдалады, онда әл-Фарабидің «іс дәл осылай болып тур, егер біз үшеуден көп немесе үшеуден аз квадраттардан құралған квадрат салмақ болсақ» дегені көп өлшемді кубты ойша салуды аңғартса керек. XІІІ ғасырдың тарихшысы Ибн Аби Усейбия өзінің «Дәрігерлердің мамандық деңгейлері туралы мәліметтердің көзі» деген трактатында әл-Фарабидің қазіргі кезге дейін сақталмаған «Болжамдалған геометрияға кіріспе» (Китаб ал-мудхал ал-хандаса ал-вахмиййа) деген трактатын еске алған, онда кубты көп өлшемді жалпылауға байланысты мәселелердің қарастырылуы мүмкін. Осыған байланысты мынаны атап өтейік, ІХ-Х ғасырларда Шығыс елдерінде үшінші дәрежеден жоғары геометриялық дәрежелер - «квадратты квадрат», «квадратты куб», «кубты куб» т.б. таралғандығын атап өтейік. Бұл атаулар Диофанттың ғылыми атауларының аудармалары еді, сондықтан әл-Фарабидің осы дәрежелерді кубты көп өлшемді жалпылау деп қабылдауы табиғи нәрсе. Қорытындыда мынаны атап өтейік, көпбұрыштарды болу мәселесінде әл-Фарабидің алдында ізашар әл-Кинди секілді тұлға тұрды, Ибн ан-Надимнің айтуынша, әл-Киндидің қазірге дейін сақталмаған «Үшбұрышты және квадратты болу және оларды салу туралы трактат» (Рисала фи таксим ал-мусаллис ва-л-мұрабба ва амалхума) деген еңбегі болған. 59. Сфераға іштей сызылған дұрыс октаэдр салумен мәндес, Евклидтің «Негіздерінің» XІІІ кітабының 14-ұсынысында (т.ІІІ, 124бет). 60. Сфераға іштей сызылған дұрыс тетраэдр салумен мәндес, Евклидтің «Негіздерінің» XІІІ кітабының 13-ұсынысында (т.ІІІ, 121бет). 61. Мән-мағынасы бойынша Евклидтің «Негіздерінің» XІІІ кітабындағы 13-ұсынысында айтылған салумен үйлеседі. 62. Сфераға іштей сызылған куб салумен мәндес, Евклидтің «Негіздерінің» XІІІ кітабындағы 15-ұсынысында (т.ІІІ, 125-бет). 63. «Негіздердің» XІІІ кітабындағы 15-ұсынысындағы салумен үйлеседі.

64. Евклидтің «Негіздерінің» XІІІ кітабының 16-ұсынысындағы сфераға іштей сызылған икосаэдр салумен мәндес (т.ІІІ, 127-бет). 65. Евклидтің «Негіздерінің» XІІІ кітабындағы 16-ұсынысында айтылған салумен үйлеседі. Суретте кемістік бар. 66. Хижраның 321 жылы И раджабы - 933 жылдың 7 шілдесі. Евклидтің бірінші және бесінші кітаптарының кіріспелеріндегі қиын тұстарға түсініктемелер 1. «Евклидтің бірінші және бесінші кітаптарының кіріспелеріндегі қиын тұстарға түсініктемелердің» (Шарх ал-мустаглак мин мусадара ал-макала ула ва-л-хамиса мин Уклидис) араб тіліндегі түпнұсқасы сақталмаған, бұл трактаттың атауы Ибн Аби Усейбидің жоғарыда аталған «Книга источников» деген кітабында («Деректер кітабында», (т. ІІ, 140бет) айтылған. Осы аударма Монпольеде (Франция) қызмет еткен Моисей ибн Тиббонның (1210 жыл шамасы - 1290 жыл шамасы) ежелгі еврей тіліне аударған тәржімесінен .аударылған секілді. Аударма Бавария мемлекеттік кітапханасында (Мюнхен) сақтаулы екі қолжазбадан: №290 (2-6-парақтан) және З6-дан (17-18-парақтан) аударылған. Аудармадағы беттеу нөмірлері №290 қолжазба бойынша көрсетілген, №36 қолжазбада І кітапқа түсініктеме 17-парақта (астыңғы бетінде), ал V кітапқа түсініктеме 18-парақта мазмұндалған. Екі қолжазбадағы ежелгі еврейлік аударманың тақырыбы «Евклидтің бірінші және бесінші кітаптарының кіріспелеріндегі қиын тұстарға Әбу Насыр әлФарабидің түсініктемелері» делінген (Пируш Абунецер Алфараби ли-ф Тихут хамамар ха рашун ва ха-хамиш миспар Оклидис). Әлгі аударма Б.А. Розенфельдтің еекертпелерімен «Проблемы Востоковедения» (1959, №4, 93-104-беттер) журналында жарияланған болатын, осы жарияланған еңбектің 95-бетінде №290 қолжазбаның 2-парағының фотокошірмесі жарияланған. Осы трактаттың мазмұнын зерттеуге А. Кобесовтың «Евклид және әл-Фараби» («Білім және еңбек», 1970, №4) деген мақаласы арналған. Әл-Фараби «Кіріспе» деген сөзбен Евклидтің анықтамалардан, аксиомалардан және постулаттардан құралған «Негіздер» деген кітабының таныстырма бөлігін түсінген (Евклид. «Начала», т. І, 215-және 142-144-беттер). Әл-Фараби Аристотельдің математиканың негізгі ұғымдарын қалыптастыруды математиктің емес, философтың құзырлық уәкілділігіне жатады деген ережесін дамытқан, өзінің «Ғылымдар тізбегі» деген еңбегінде осы мәселені метафизикаға жатқызған. әлФарабидің топтастыруы бойынша метафизиканың үш бөлімінің екеуі «дербес (нақтылы), мынадай теориялық ғылымдармен логика, геометрия, арифметика сияқты және басқа осыларға ұқсас ғылымдармен шұғылданады, бұлардың әрқайсысы жеке-дара ерекше мән-мазмұнды зерттейді; метафизика логиканың принциптерін, математиканың негіздерін, физиканың негіздерін зерттейді: оларды түзетеді, олардың түп негіздерін анықтайды, жаңсақ пайымдауларды, осы ғылымдардың негіздері туралы ежелгілердің айтқан пікірлерін; мысалы, нүкте, бірлік, сызықтар мен беттердің өзгешеленетін түп негіздерін анықтайды, сонымен қатар басқа ғылымдардың осы пікірлерге ұқсас негіздері туралы ескерткен» (Аль-Фараби. «Ихса ал-Улум», 99-100-бет). Әл-Фарабиден кейін дәл осындай мақсатты Омар Ғайям (Хайям), Насир ад-Дин ат-Туси т.б. ұстанған. Трактаттың

атауынан байқалып тұрғандай әл-Фараби Евклидке берген өзінің түсініктемелерінде Евклидтің енгізген геометриялық негізге алынатын кейбір ұғымдарды түсіндіру және негіздеу мақсатын көздеген. 2. Бұл - Евклидтің бірінші анықтамасы (Евклид. «Начала», т. І, 11-бет). 3. Ежелгі грек ғалымдарының арасында барлық сапалар жылудың, суықтың, ылғалдың және құрғақтың әр түрлі араласып топтастырылуынан туындайды деген пікір таралған болатынды; барлық заттар төрт «стихиядан» - от, ауа, су және топырақтан құралған, ал от, ауа, су және топырақ - жылу мен ылғалдың, суық пен құрғақтың әр түрлі араласып топтастырылуы болып табылады (Қараңыз: мысалы, Arіstote. De la generatіon et de la corruptіon. Trad.І. Trіcot. Parіs, 1934, p. 105.). 4. Бұл тұста әл-Фараби математика пәнінің физика пәнінен өзгеше ерекшелігін айтқан. Математика пәні мен Физика пәні туралы әл-Фараби сөз етілген «Ғылымдар тізбегі» деген трактатында егжей-тегжейлі тоқталған. Әл-Фараби өзінің «Ғылымдардың пайда болуы» деген трактатында барлық ғылымдардың, дербес жағдайда физика-математика ғылымдарының қалай пайда болғанын, түп негізден және кездейсоқтықтан олар қалайша өз бетінше жеке ғылым болып қалыптасқанын түсіндіреді (Григорьян С.Н. «Из истории философии Средней Азии и Ирана». М., 1960, 148-156-беттер). 5. Бұл тұста әл-Фараби Платонның математикалық ұғымдар - тумысынан біткен қасиет дейтін идеалистік көзқарасына қарама-қарсы Аристотельдің - математикалық ұғымдар - нақты дүниенің заттарын дерексіздендіру жолымен алынған дейтін материалистік тезисін қолдаған (Аристотель. «Метафизика», пер. А.В. Кубицкого. М.,1934, 185-186-беттер). Осы ойды дамыта және айқындай отырып әл-Фараби «Ғылымдар тізбесінде»: «Осы математикалық ғылымдардың барлығы шын мәнісінде сызықтарды, беттерді, денелерді, сандарды және осыларға ұқсағандарды табиғи (физикалық) денелерден дерексіздендірілген ұғымдар ретінде қарастырады» (Қараңыз: осы жинақтың 8-бетін қараңыз), - деп жазған. 6. Аристотель "Қозғалыс математикада қарастырыла алмайды,- деп есептеген. - «Математикалық пәндер астрономияға қатысты қозғалыстардан басқалардан қол үзген» (Аристотель. «Метафизика», 33-бет). Бірақ әл-Фараби қозғалысты зерттеуге математиканың қолданылуын теріске шығармаған. Оның математикалық әдістерді «Музыканың улы кітабында» дыбыстық (тербелістік) құбылыстарды ойдағыдай қолдануы осының мысалы болады. (Al-Farabі. Grande Traіte de la Musіque, т.б). 7. Әл-Фараби Аристотельдің нүктелер, сызықтар және беттер нақты заттардан жеке-дара бола алмайды дейтін материалистік көзқарасын ұстанған, осының нәтижесінде Платонның идеяларының заттардан жеке-дара бола алуы туралы орныққан идеалистік пікіріне қарсы болған. (Аристотель. «Метафизика», 220-бет). Әл-Фараби геометриялық дене - бұл физикалық дененің ең таяу дерексіздендірілуі деп ерекше көңіл аударған; бет - дененің тек физикалық қасиеттері ғана емес, сонымен қатар өлшемдерінің бірі ескерілмеген, бұрынғыдан гөрі дерексіздендірілуі болып табылады; сызықтар - екі өлшемнен айрылған бұрынғыдан гөрі әрі қарай дерексіздендірілу, ал нүкте

13. Аристотельдің «Аспан туралы» трактатының І кітабының І тарауынан: «Табиғатта болатын күрделі мән-мағыналардың арасында біреулері денелер мен шамалардың мәнісі, басқалары дене мен шамаға ие болады, ал үшіншісі шама мен денеге ие болатындардың бастамалары болады» дегенді оқимыз (Arіstote. Traіte du cіel. Trad. J.B.StHіlaіге. Parіs, 1866, p.2). 14. Аристотельдің «Пайда болу және жойылу туралы» трактаты физикалық денелердің пайда болуы мен жойылуына арналған. Бұл еңбек Аристотельдің «Физика», «Аспан туралы» және «Метеорология» деген трактаттарымен бірге физикалық трактаттар тобына енеді. (Қараңыз: 3 - ескертпені). 15. Ежелгі грек материалисті Демокриттің математикалық еңбектері кеңістіктің шектілігі, «сезілгіштігі әлсіз» болса да ұсақ көлемді бөлінбес элементтері туралы атомдық түсініктерге негізделген. Әрине, шектеулі дене Демокритше кеңістіктің саны шектеулі элементтерінен құралған. Осы түсініктер Демокриттің пирамидалардың және басқа денелердің кәлемдерін есептеулері кезінде қолданылған. Демокриттің кеңістіктің «атомдары» туралы көзқарасы оның геометриялық және физикалық денелер туралы түсініктерін жақындастырады. (Демокриттің математикалық жұмыстары туралы қараңыз: С.Я. Лурье. «Теория бесконечно - малых у древних атомистов». М.-Л., 1935.48-78-беттер). Кеңістікті шексіз бөлінуші деп есептейтін Аристотель көп жағдайда Демокриттің геометриялық көзқарастарымен айтысқа түскен. Аристотель, мәселен, «Физикасында»: «Үздіксіз ештеңе бөлінбес бөлшектерден, мысалы, сызықтың нүктелерден құралуы мүмкін емес, сызық үздіксіз болса, нүкте - бөлінбес бөлшек» (Аристотель. «Физика», 124бет). Аристотельдің «Пайда болу және жойылу туралы» трактаты көп жағдайда Демокритпен айтысқа түсуге арналған, бұл трактатта ежелгі гректің улы материалисінің шығармасының қазірге дейін сақталған үзіндісінде оның математикалық көзқарасы баяндалған (Arіstote. De la generatіon et la corruptіon, кн. І, гл. 11,14-20-беттер). 16. Аристотель бойынша бет екі бағытта бөлінеді, үшінші бағыттағы (тереңдік немесе қалыңдық бағыттағы) бетті Аристотель бөлінбейді деп есептейді (қараңыз: 10-ескертпені). 17. Аристотельдің айтуына сәйкес, сызық тек бір бағытта ғана бөлінеді; өзге екі бағытта (ендік және тереңдік бағыттарда) бөлінбейді (қараңыз: 10-ескертпені). 18. Нүктенің Евклидтегі «қысқартылған» анықтамасы: - «Нүкте - бөлігі жоқ нәрсе», яғни бөлінбейтін нәрсе (Евклид. «Начала», т.І, 11-бет). Аристотельде былай анықталған: «Барлық жағынан алғанда бөлінбейтін және орны болатын нәрсе нүкте деп аталады». (Аристотель. «Метафизика», 86-бет). 20. Әл-Фараби Евклидтің нүктенің орнын көрсетпейтін анықтамасынан гөрі Аристотельдің нүктені бөлінбейтін әрі орны берілген нәрсе ретіндегі анықтамасын жоғары бағалаған. Евклидтің нүктенің орнын көрсетуден бас тартуы, сонымен бірге оның анықтамасының бірліктің анықтамасынан айырмашылығының болмауы Евклидтің геометрия мен нақты дүниенің арасындағы барлық байланыстарды мойындамауына байланысты болды. Бұл ұстаным, бір жағынан, пифагоршылардың мистикалық және платоншылардың сандар қатынастары мен геометриялық сыртқы түрлердің нақты дүниеге табиғаттан тыс әсерлері туралы көзқарастарымен салыстырғанда алға басушылық болды; екінші жағынан, Евклидтің ұстанымы оның іс жүзіндегі қолданыстық маңызы болатын геометриялық мәселелерді шешпеуге бағытталған идеалистік ұмтылысын бейнеледі. Әл-Фараби

Евклидті нүктені анықтауға байланысты өзінің сынын Аристотельдің материалистік жетекші түпкі ойына сүйенген. 21. Түзу сызықтың Евклидтік анықтамасы мынадай: «Түзу сызық - өзінің бойындағы нүктелерге қатысты біркелкі орналасқан сызық» (Евклид. «Негіздер», т.І, 11-бет). Бұл өте бұлыңғыр әрі әр түрлі түсініктемеге жол ашады. Христофер Клавий (Шлюссель, 1537-1612) V постулатқа өзінің осы анықтамасының қате түсініктемелерінің біріне негізделген өзінің «дәлелдемесін» ұсынған: түзу сызықтан бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық орны болып табылатын сызықты қарастыра отырып, Клавий оның барлық нүктелерінен түзуге перпендикулярлар түсірген, осы перпендикулярлардың барлығының тең болатынын байқап, сызық өзінің бойындағы барлық нүктелерге қатысты біркелкі орналасқан, яғни Евклидтің анықтамасы бойынша түзу болады. (Clavіus. Euclіdіs elementorum lіbrі XV. Colonіae, 1591, p. 50). Сызықтың түзуден бірдей қашықтықта орналасқандығы жайындағы пікір түзу деген сөз, бұл Евклидтің V постулатына және басқадай аксиомаларына пара-пар. Сонымен, Евклидтің түзу сызық туралы үйлесімсіз анықтамасын пайдаланып Клавий V постулатты «дәлелдейді». Лобачевскийдің Евклидтің V постулатынан өзгелердің барлығы тура болатын евклидтік емес геометриясында түзуден бірдей қашықтықта орналасқан сызық түзу болып табылмайды (Б.А. Розенфельд. «Неевклидовы геометрии». М., 1955, 175бет). 22. Түзу сызықтың бойында жатқан нүктелері «бір-біріне қарама-қарсы жатады» деген анықтаманың мағынасы мынадай: түзу сызықтың барлық нүктелері көзімізге бір нүктеге шоғырланып тоғысқандай елес беруі мүмкін (яғни көрерменнің көзінен бір нүктеге шоғырланып түсуі мүмкін). 23. Евклид жазықтықты былайша анықтайды: «Жазық бет - өзінде жатқан түзуге қатысты біркелкі орналасқан. бет» (Евклид. «Начала», т.І, 11-бет). Осы анықтама түзудің анықтамасы секілді соншама бұлыңғыр. Мұның мағынасы мынада: жазықтықта жатқан түзу сызықтың барлығын бір сызыққа беттесетіндей елестетуге болады. . 24. Әл-Фараби «денелік беттер» (яғни денелердің беттері) деп қисық беттерді түсінген. Қисық бет түзу сызықпен беттесетіндей елестетіле аламайды. 25. Жазық бұрышты Евклид былай анықтайды: «Жазық бұрыш деген - жазықтықта бірбірімен түйісетін екі сызықтың біріне-бірінің көлбеулігі» (Евклид. «Начала», 11-бет). Қазіргі кезде бір нүктеден [бұрыштың төбесінен] таралатын (шығатын) жұп сызық -жазық бұрыш болып түсініледі. 26. Жазық бұрыш деп түсінілетін бұрыштың төбесінен таралатын жұп сызық бұрыштың төбесінің маңайын екі аймаққа бөледі, мұның біреуі - дөңес (яғни, осы аймақтағы екі нүктені қосатын кез келген түзу сызықты кесінді түгелдей осы аймақта жатады), ал екіншісі - дөңес емес, яғни, әл-Фарабидің сөзімен айтқанда, «ойық» аймақ болады. 27. «Денелік бұрыш» Евклидтің XІ кітабында былайша анықталған: «Бір-біріне жанасушы және бір жазықтықта жатпайтын екіден артық түзу болған жағдайдағы денелік бұрыш барлық түзулер арасындағы көлбеулік болады. Басқаша айтқанда: бір жазықтықта жатпайтын екі жазық бұрыштың арасында қамтылған бұрыштан және бұларға қоса бір нүктеден құралған бұрыш» (Евклид. «Начала», т. ІІІ, M.-JL, 1950, 10-бет). Әл-Фараби денелік бұрыштың дербес жағдайы - үшжақты бұрышты қарастырған. Егер бір нүктеден

(денелік бұрыштың төбесінен) бірнеше түзу және осы түзулердің жұбымен шектелген соншама жазықтық жүргізілсе, онда осы жазықтықтар бұрыштың төбесінің маңайын екі аймаққа бөледі, мұның біреуі - дөңес, ал екіншісі - «ойық» болады. 28. Бұрышты қамтитын сызықтар түзу болса, онда бұрыш «түзу сызықты» деп аталады (Евклид. «Начала», т. І, И-бет). 29. «Шекара әйтеуір бір нәрсенің шеті болып табылады» (Евклид. «Начала», т. І, 12-бет). 30. Әл-Фараби біздің қазіргі кездегі математикада шекара деп есептеліп жүргенімізді шеті деп, ал жазық пішінді не денені айнала қоршайтын «шеттің» дербес жағдайын шекара деп атаған. Жазық пішіннің шекарасы туралы айтқанда әл-Фараби екі өлшемді көзқараста болған, бірақ та сызықтың шетін қарастырғанда ол осыған ұқсас бір өлшемді көзқараста болған, осы көзқарас кезінде «шекара» мен «шеттің» арасындағы айырмашылық жойылады. Евклидтің «шекара - заттың шеті» деген анықтамасын сынай отырып, әлФараби шекараны - пішінді барлық жағынан түгелдей қоршайтын шеттің дербес жағдайы деп есептеуді ұсынған. Сонымен, кесіндінің шеттері әл-Фарабише шекара емес, шет, ал дөңгелектің шеңбері немесе шардың беті - шекаралар. Бұл ойдың толықтай жүйелілігі жоқ: дөңгелектің шеңбері дөңгелекті жазықтықта ғана қоршайды, оны кеңістікте қоршай алмайды; дәл осы секілді кесіндінің соңы оны кеңістіктегі жазықтықта, қоршамайды, бірақ оны түзудің бойында қоршайды. 31. «Негіздердің» V кітабының І анықтамасы: «Егер де кіші шама үлкен шаманы өлшейтін болса, үлкен шамадан кішісі бөлік болады» (Евклид. «Начала», т. І, 142-бет). Әл-Фараби «бөлікті» мына мағынада айтады, яғни аликвоталық бөлікті үлес деп оны аликвоталық емес деп ұйғарылған «бөліктен» ажыратқан. 32. «Негіздердің» V кітабының ІІ анықтамасы: «Егер үлкені кішісімен өлшенсе, кішіден үлкені - еселік болады» (Евклид. «Начала», т. І, 142-бет). 33. «Негіздердің» V кітабының ІІІ анықтамасы: «Қатынас деген - біртекті екі шаманың мөлшер бойынша алынған әйтеуір бір тәуелділігі» (Евклид. «Начала», т. І, 142-бет). ӘлФарабидің түсіндіруі бойынша бұл анықтама қатынаста тұрған екі шаманың міндетті түрде екі сызық, екі бет немесе екі дене болуын білдірген, ежелгілерде бұл едәуір жалпылама сипатта болған. 34. Сызықты бетпен және бетті денемен салыстыру туралы сөз болғанда әл-Фараби беттің түзу сызықтағы проекциясын берілген сызықпен салыстыруды және дененің жазықтықтағы проекциясын берілген бетпен салыстыруды есте ұстаған. 35. «Негіздердің» V кітабының ІV анықтамасы: «Егер шамалар еселік болып алынып, бірінен-бірі артатын болса, осы шамалардың арасында қатынас болады» делінеді (Евклид. «Начала», т. 1,142-бет). Осы анықтаманы Архимед өзінің «Шар және цилиндр туралы» деген кітабының V аксиомасы ретінде қабылдаған (Архимед. Сочинения, пер. И.Н. Веселовского. М., 1962, 97-бет) және бұл «Архимед аксиомасы» деген атпен белгілі. Осыған ұқсас пікір Аристотельде де бар (Аристотель. «Физика», 64-бет). 36. Әл-Фараби барлық біртекті шамалар «Архимед аксиомасын» қанағаттандырады деп есептейді. Біртекті шамалар деп тек әдеттегі сызықтар, беттер және денелер ғана ұғынылатын болғандықтан ол дұрыс айтады. «Архимедтік емес шамаларға» «жанасу

бұрышы», яғни жанама сызықтар арасындағы бұрыштар мысал бола алады: осындай бұрышты қанша рет алсақ та, әрқашан кез келген бұрыштан кіші, төбесі ортақ түзу сызықты бұрыштың қабырғаларына жанасатын бұрыш пайда болады. Геометриялық шамалары Архимед аксиомасын қанағаттандырмайтын «Архимедтік емес геометрияны» Гильберт ұсынған (Д. Гильберт. «Основания геометрии». M.-JІ., 1948, 106-110-беттер). 37. Бұл тұста әл-Фараби араб сөзі «Зийаданың» өзге мағынасына сүйеніп отыр, бұл сөз тек «басымдық, артық» дегенді ғана білдірмейді, сонымен қатар «қосу» деген де мағынасы бар. Арабтың көпшілікке белгілі «зада» етістігін жаңсақ түсіну Евклидтің «Негіздерінің» V кітабының ІV анықтамасындағы «артық» деген сөздің орнына «қосу» деу ортағасырлық әдебиеттерде едәуір көп таралған-ды. Әрине, осы түсініктемелердің түпнұсқасында «басқаны қосу» емес, «басқадан арту» деп ұйғарылған. 38. Бүтін сандардың қатынасымен өрнектелетін - рационал қатынас (мунтик, сөзбе-сөз - «сөйлеуші»), бүтін сандармен өрнектелмейтін - иррационал қатынас (ассам, сөзбе-сөз - «саңырау», латын аудармашыларында - surdus). Әл-Фараби өзге трактаттарында да Евклидтің талқыланып отырған кітабында баяндалған гректердің қатынастар теориясына зор ынта қойған. Оның осы теорияны арифметикаландыру бағыттылығы байқалады. Мысалы, «Музыканың улы кітабында» ол сандар қатынастары мен геометриялық шамалар қатынастары арасында ерекше айырмашылық жасамаған. Әл-Фараби бүтін сандардың қатынасын шамалар қатынастарының дербес жағдайы ретінде қарастырады, сондықтан да сандар қатынастарымен өрнектелетін музыкалық аралықтарды (интервалдарды) түрлендіру кезінде, ол ылғи да «Негіздердің» V кітабына сілтеме жасайды. 39. Бұл тұста әл-Фараби «Негіздердің» V кітабының ІV анықтамасын ұғынудың арабтың біз атап өткен зада етістігінің екі мәніне негізделген екі пікір туралы айтып отыр, біріншісі екі шаманы ұйғарса, оның біреуі еселік болып алынып екіншісінен артып түсетін болады. Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972. Аударған: Н. Көбенқұлов.