МАТЕМАТИКАНЫҢ БАСТАУЫШ КУРСЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕСІ

А.В.Калинченко редакциялаған

«Білім беруді дамытудың Федералды институты»

орта кəсіптік білім беру бағдарламасын іске асыру барысында, білім беру мекемелерінің оқу процесінде оқу құралы ретінде ұсынылады.

Стереотипті 4- басылым

ӘОЖ 37.022:51(075.32) КБЖ 74.262.21-і 723 К172

Бұл кітап Қазақстан Республикасының Білім жəне ғылым министрлігі жəне «Кəсіпқор» холдингі» КЕАҚ арасында жасалған шартқа сəйкес «ТжКБ жүйесі үшін шетел əдебиетін сатып алуды жəне аударуды ұйымдастыру жөніндегі қызметтер» мемлекеттік тапсырмасын орындау аясында қазақ тіліне аударылды. Аталған кітаптың орыс тіліндегі нұсқасы Ресей Федерациясының білім беру үдерісіне қойылатын талаптардың ескерілуімен жасалды. Қазақстан Республикасының техникалық жəне кəсіптік білім беру жүйесіндегі білім беру ұйымдарының осы жағдайды ескеруі жəне оқу үдерісінде мазмұнды бөлімді (технология, материалдар жəне қажетті ақпарат) қолдануы қажет. Аударманы «Delta Consultіng Group» ЖШС жүзеге асырды, заңды мекенжайы: Астана қ., Иманов көш., 19, «Алма-Ата» БО, 809С , телефоны: 8 (7172) 78 79 29, эл. поштасы: іnfo@dcg.kz

Рецензент — Мәскеу қаласы ГБОУ СПО №4 колледжінің оқытушысы орта кәсіптік білім беру ісінің құрметті қызметкері

В. Е. Корватовская

Калинченко А. В.

К172                Математиканы бастауыш курсын оқытудың əдістемесі: студенттер мен орта кәсіптік білім беру мекемелеріне арналған оқу құралы /А.В. Калинченко, Р. Н.Шикова, Е.Н.Леонович ; А. В. Калинченко редакциялаған. — стер. 4-бас.,

Оқу құралы «Бастауыш сыныптарда білім беру» ПМ.01 «Жалпы бастауыш білім бағдарламасы бойынша білім беру» (МДК.01.04) мамандықтары бойынша орта кәсіптік білім беру Федералды мемлекеттік оқу стандарттарына сәйкес әзірленді. Оқу құралында бастауыш сыныптарда натурал сандар, арифметикалық әрекеттер, оқушыларды арифметикалық есептерді шешуге арналған тәсілдер қамтылған. Әрбір тақырып үшін студенттердің білімі мен қызмет деңгейі бойынша үш топқа бӛліп, бақылау есептері келтірілген. Оқу құралының материалы студенттердің әдістемелік білімі, ептілігі мен дағдыларын, бастауыш мектептің оқушыларын тиімді оқыту мен дамытуға мүмкіндік беретін жеке шығармашылық педагогикалық қызметін дамытуға бағытталған. Орта кәсіптік білім беру мекемелерінің студенттеріне арналған. Мұғалімдер мен жоғарғы педагогикалық білім беретін мекемелердің студенттерінің де қолдануына болады.

Бұл кітап Қазақстан Республикасының Білім жəне ғылым министрлігі жəне

КБЖ 74.262.21-і 723

Қҧрметті оқырман!

Бұл оқу құралы «Бастауыш сыныптарда оқыту» мамандығы бойынша оқыту әдістемелік жиынтығының бӛлімі болып табылады. Оқу құралы ПМ.01«Жалпы бастауыш білім бағдарламасы бойынша білім беру» (МДК.01.04) кәсіптік модулін оқытуға арналған . Жаңа буындағы оқыту әдістемелік жиынтығына дәстүрлі және инновациялық оқу материалдары енгізілген. Олар жалпы білім беру және жалпы кәсіптік пәндер мен кәсіптік модульдерді қамтамасыз етеді. Әрбір жиынтық құрамында жалпы және кәсіптік құзіреттілікті меңгеруге қажетті, оның ішінде жұмыс берушінің талабын ескере отырып, оқулықтар мен оқу құралдары оқыту және бақылау құралдары қамтылған. Оқу басылымдары электронды білім беру ресурстармен толықтырылады. Электронды ресурстар жаттығу құрылғысы және интерактивті жаттығулардың теориялық және практикалық модульдерімен, мултимедиялық нысандарымен қосымша материалдарға сілтемелер және интернеттегі ресурстармен терминдер сӛздігі мен электронды журналмен қамтылған. Мұнда оқу процесінің негізгі параметрлері тіркеледі: жұмыс уақыты, бақылау және практикалық тапсырмалардың нәтижесі. Электронды ресурстар оқу процесіне оңай  ендіріледі және әртүрлі оқу бағдарламаларына бейімделуі мүмкін.

Кіріспе

Математиканы оқыту әдістемесі «Математиканы оқытудың бастауыш курсы әдістемесінің теориялық негізі» пәнаралық курсының «Жалпы бастауыш білім беру бағдарламасы бойынша оқыту» кәсіптік модуліне кіретін негізгі құрамдас бӛлігі болып табылады. Мұнда тек жалпы кәсіптік құзіреттілік қана емес, келесі кәсіптік құзіреттіліктер: мақсат пен міндеттерді анықтау; сабақты жоспарлау; сабақ ӛткізу; педагогикалық бақылауды жүзеге асыру; оқыту барысы мен нәтижесін бағалау; сабақты талдау;  бастауыш білім бағдарламасы бойынша оқытуды қамтамасыз ететін құжаттарды жүргізуді меңгеру қарастырылған. Мұнан ӛзге бұл курс білім беру барысында әдістемелік қамтамасыз ету бойынша меңгеруге бағытталған. Бұл құзіреттілік алынған білім мен шеберлікті , жаңа , шығармашылық жағдайларда қолдануды талап етеді. Осыған байланысты аталған құрал оқу курсын оқыту барысын мақсатты бағытталған ерекшелік құрылымдарын есепке ала отырып әзірленді. Олар студенттер қызметінің (оқытушының жетекшілігімен семинарлық білім кезінде және ӛзіндік жұмыс барысында) әртүрлі сипаттамасын болжайды. Игерілген ақпаратты қолдану тәсілі бойынша қызмет екі түрге бӛлінетіні белгілі: ӛнімді және ӛнімсіз болып бӛлінеді. Адамның ақпаратты оқу барысында меңгергені бірге-бір айтылатын орындаушылық қызметі ӛнімсіз деп аталады. Ӛнімді қызмет барысында меңгерілген ақпарат негізінде жаңа нәрсе құралады. Ӛнімсіз процес барысында оқытылған ақпаратты меңгеру негізінде жаңа нәрсе жасалады. Е.Л.Белкина, В.П.Беспалько, А.И.Иванова, Е.Н.Леонович және де басқа авторлардың еңбектерінде ӛнімсіз қызмет кӛмегі нысанды қайта қабылдаған кезде белгілерін салыстыру жолымен анықтауға назар аударады. (мұндай жағдайда кӛрсетілген үлгі алдында меңгерілген қайталап қабылдау нәтижесінде теңестіріледі.Бұл жағдай мысалы, қажетті алгоритмді таңдап алдағы уақытта бағыт-бағдар алуға мүмкіндік береді). Кӛмек        берілмеген        ӛнімсіз        қызмет        есте        сақтау        бойынша

меңгерілген ақпаратты айту немесе алдында меңгерілген дәл осындай жағдайдағы әрекет әдісін қосымшада қарастырады (бұл жағдайда жаттап алған алгоритм туралы тапсырманы ӛз бетімен орындауды болжайтын үлгі бойынша қызмет немесе типтік жағдай қызметі туралы айтуға болады). Ӛнімді қызмет кӛмегімен жаңа тапсырмаларды шешу үшін бұған дейін белгілі әдістер қызметін қайта жаңғыртуға болады (үйренуші ӛз бетінше жаңа ақпаратты құрастырады; мысалы оған тапсырманы орындаудың амалы белгісіз, бірақ бұрынғы ӛткен тәжірибесі шешімін табуға жол сілтейді) Кӛмек берілмеген ӛнімді қызмет үйренушіні меңгерілген ақпарат негізінде бұған дейін ғылымда белгісіз объективті жаңа ақпарат құруға (бұл жағдайда шығармашылық жӛнінде айтуға болады) негізделген. Осылайша қызмет тӛрт (деңгей) түрге бӛлінеді:1) Ӛнімсіз қызмет (анықтау деңгейі) кӛмегімен; 2) Ӛнімсіз қызмет (айту деңгейі) кӛмегінсіз, 3) Ӛнімді қызмет (қолдану деңгейі) кӛмегімен; 4) Ӛнімді қызмет (шығармашылық деңгей) кӛмегінсіз. Сәйкесінше қызметтердің бұл деңгейлері білімді меңгерудің тӛрт деңгейін бӛліп кӛрсетеді: 1) анықтау-білімі; 2) ӛнімсіз – білімі; 3) ептілік –білімі; 4) ӛзгеру – білімі. Адамда бірінші деңгейлі білімнің болуы оның алдында оқыған нысандардың құрылымын, бар белгілерін сол нысандармен салыстырмалы түрде қайтадан қабылдауы барысында анықтауға мүмкіндік береді. Екінші деңгейлі білім адамға алдында меңгерген сол ақпаратты дәл солай етіп айту арқылы яғни адам тек қана ақпараттың мазмұнын ғана емес, амалдарын да меңгеруге мүмкіндік береді. Үшінші деңгейдегі білім негізінде адам меңгерілген ақпараттың қызметтің зерттелмеген тәсілдерін құру мақсатында қайта құруға қолдануға мүмкіндік береді (адам ӛзіне жаңа амал ойлап табады). Тӛртінші деңгейдегі білімді меңгеру барысында адамда жаңа (оқу барысында меңгерілмеген) білім пайда болады. Бұл жағдайда адам ӛзіне белгілі ғылым саласында «ережесіз» ӛздігінен іс-әрекеттің жаңа ережесін ойлап табады. Студент айтылған білім деңгейлерімен танысу арқылы ӛзін бақылауды қолға алады, ал оқытушы қазіргі және аралық бақылауды, оқушылардың білімді қабылдау деңгейі мен құзіреттілігін анықтайды. Бірінші деңгейлі білімді алу құзіреттіліктің (міндетті) шектік деңгейін кӛрсетеді. Егер оқу материалы екінші деңгейде меңгерілген болса, онда құзіреттіліктің деңгейінің алға жылжығандығын айтуға

болады.

Үшінші        деңгейлі        білім        студент        құзіреттіліктің        жоғары

деңгейінде екенін кӛрсетеді. Білімнің тӛртінші деңгейі орта кәсіптік білім стандартына кірмейтін  ғылыми жаңалықтар және теориялық мәні бар зерттеу жұмыстарымен айналысуға мүмкіндік береді.

Берілген теориялық жағдайларға сүйене отырып, авторлар аталған оқу құралында математиканы оқыту әдістемесінің әрбір бӛлімі мен құзіреттіліктің сәйкестік деңгейіне арналған тапсырмалар жиынтығын ұсынды. Бұл жағдай студенттерде берілген деңгейдің құзіреттілігін алдын ала анықталған талаптар бойынша ӛзіндік бақылауға мүмкіндік беретін ӛзіндік жұмысты ұйымдастыруға, оның сапасын анықтауға, әдістемелік сауаттылықты дамытуға бағдар алуға қалыптастырады. Бірінші деңгейде (анықтау мен айыру) білім меңгеру қызметін талап ететін тапсырмалар беріледі. Анықтау бойынша тапсырмаларды үйренушілерге баламалы түрде «ия» немесе «жоқ», «болады» немесе «болмайды» , «жатады» немесе «жатпайды» т.б жауап талап ететін сұрақтар қойылады. Студентке берілетін тапсырмада нысанның белгілері, құрылымы мен сипаттамасы туралы міндетті түрде түсінік беріледі. Үйренушінің міндеті тапсырмада кӛрсетілген берілген нысан мен белгілерді айырмашылығын салыстыра отырып, олардың сәйкестігі туралы қорытынды шығару. Айырмашылығын табу туралы тапсырмалардың жауаптары беріледі. Олардың ішінен үйренуші бір немесе бірнеше жауабын таңдау мүмкіндігі бар, яғни мүмкін болған жауаптар тізімі мәтіннің ішінде болады. Бұл тапсырмалардың анықтау туралы тапсырмалардан   айырмашылығы,   онда   іс   әрекеттерді   орындау «кедергілер» жағдайында жүзеге асады. Яғни құрылған жауаптың нұсқаларының жауабы бір жағынан нақты шешімді табуды қиындатса, екінші жағынан олармен үйлесіп тұрады. Екінші деңгейлі тапсырмаларда ақпараттарды талдау, оқу құралына сүйенусіз әдіспен, яғни есте сақтау бойынша айту қажет. Үшінші деңгей тапсырмаларда орындау ӛз бетінше жаңа ақпараттарды құруды талап ету негізінде жүзеге асырады.Бұл тапсырма меңгерілген білімді нақты тәжірибелік іс әрекетте қолданып, іс әрекеттің зерттелген әдісін жаңа деңгеймен сәйкес жаңадан жасауға бағытталады. Студенттер бойында шығармашылық әдістемелік ойлау мен олардың ӛздігінше дамуын қалыптастыру үшін әртүрлі жағдай мен шешімдерін талдауға болатын тапсырмалар беріледі.Бұл тапсырмалардың мақсаты – студенттерді нақты   жағдайға барынша

жақындатылған оқиғаларға қатыстырып, одан берілген мәселеге байланысты ерекше білімді, қажетті әдістерді, тәсілдер мен мүмкіндіктерді таңдап, есепті шешуге қолдануды талап етеді. Мұндай есептер студенттің әдістемелік дайындығының теориялық деңгейін кӛтереді, математиканың бастауыш курсының негізгі түсініктерін, бастауыш сыныпта осы түсініктерді меңгеруге бағытталған оқу процесін ұйымдастыру әдістерінталдай білуді талап етеді. Пәнді игеру сапасын бақылау педагогикалық процестің заңды және қажетті бӛлімі болып табылады. Педагог пен студент арасындағы кері байланыс қаншалықты сенімді қамтамасыз етілгеніне , әртүрлі деңгейдегі оқу тапсырмаларын студенттің сапалы орындауы талданатын семинар сабақтары қаншалықты пайдалы ӛтетіндігіне, болашақ бастауыш сынып мұғалімдерінің кәсіптік педагогикалық дайындығы байланысты болады. Тестілеудің нәтижесін белгілеу үшін негізге студенттің тапсырылған деңгейдегі білімін меңгеру коэффициенті қабылданады:

y

а

y > 0,7 болғанда студенттердің жұмысы аталған деңгейде тұрақты сипатта болады. Меңгеру коэффициентінің бағалау балын бес балдық шкала бойынша анықтай аламыз (1 кесте)

y

y

y

Тәжірибелі

Жоғары

Бақылаудың берілген амалдары студенттерді сәтті оқу танымдық қызметке ынталандырады. Құзіреттілік деңгейіне сәйкес есептерді орындау жетістікті шынайы қабылдауды қамтамасыз етеді, сонымен қатар, оны орындау барысында қажетті білім мен қабілеттің жоқтығын анықтап оны толтыру үшін жағдай жасауға мүмкіндік береді.

Кіріспе

БАСТАУЫШ СЫНЫП ОҚУШЫЛАРЫНА МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДЫҢ ПСИХОЛОГИЯЛЫҚ –ПЕДАГОГИКАЛЫҚ АСПЕКТІЛЕРІ

Федералды мемлекеттік білім берудің жалпы білім стандартының негізінде жүйелі қызмет тәсілі маңызды. Мұнда оқушылардың жеке және танымдық дамуының әлеуметтік күтілетін нәтижесінің жетістігі үшін жағдай жасалады. Ресей ғалымдары (Л. С. Выготский, А. Н.Леонтьев, С.Л. Рубинштейн және басқалары) теориялық дәлелдеуінше , адамның дамуына оның санасына арнайы ұйымдастырылған қызмет арқылы ықпал жасауға болады. Кішкентай оқушыларды оқыту барысында қолданылатын жүйелі қызмет әдісі білімнің метапәндік, пәндік және жеке нәтижелеріне қол жеткізуге мүмкіндік береді. Л.С. Выготский оқушыларға ғылыми түсініктерді меңгерту барысында оқулықтағы білімнің мазмұны мен оқыту қайнар кӛзінің дамытушы ролін атап кӛрсетті. Сондықтан математиканы оқыту барысында оқыту материалының мазмұнындағы сонымен қатар, оқыту әдістемесіндегі жасырын резервтерді барынша ескере отырып, оларды зияткерлік қызметін дамытуға бағыттап отыру қажет. Дерексіздендірудің деңгейі айқындау кӛкжиегімен нақтыланатыны белгілі. Яғни сӛздерде айқын кӛрсетілгендей оқушылардың ғылыми абстркацияларды шынайы меңгеруі үшін бұл оқушылардың толықтай нақты тәжірибесінде абстракциялардың мықты тірегі болғаны қажет. Бұл жағдайдың ары қарай дамуы П. Я. Гальпериннің ақыл-ой әрекетін кезеңімен қалыптастыру теориясы болып табылады. Мұнда орталық орынды әрекеттің бағдарлаушы негізі (ӘБН) алады, онда

оқушылар қалыптасқан әрекетті орындамайды, тек қана оның мазмұнымен танысып, талдау жасау арқылы ары қарай орындалу барысын бақылай алады. Бұл жағдай оқушыларға берілген есептің шығару тәсілін қолдануға қатысты қорытынды шығаруға мүмкіндік береді(Е. Н. Кабанова- Меллер). Осылайша есептеудің бағалаушы бӛлімі іс әрекеттің орындауға қатысты шарттарының нәтижесі мен компоненттер арақатынасын болжайды. Осындай арақатынас негізінде есептеу әдістерінің сәйкестік таңдауы жасалады. Есептеу әрекетінің бұл бӛлімінде таңдаудан ӛзге арифметикалық әрекеттерді орындау шарттарының толық жүйесі қажет. Ол оқушылардың әрбір берілген есепті қабылдауда орындау қажеттілігін түсінуді қамтамасыз етіп, нақты әдісті мықты игеруге септігін тигізеді. П. Я. Гальперин, Л. С. Георгиев, В. В. Давыдов, Н. И. Непомнящая және басқалары маңызды арифметикалық әрекеттер мен түсініктердің нақты мазмұнын ашу, балалардың шығыс математикалық кӛріністерінде дұрыс бағдарды ұйымдастыру, олардың кӛптеген заттардың кӛлемін анықтауға  , осы кӛлемді бетте ғылыми математикалық әдісті қалыптастыруға, математикалық түсініктер мен әрекеттерді саналы түрде меңгеруге алып келетінін атап кӛрсетеді. Әрекеттің бағдарлаушы негізі (ӘБН) ақыл-ойдың мүмкіндігін кезең-кезеңімен қалыптастыратын таптырмас әдіс болып табылады. Дәл осы (ӘБН) іс-әрекеттің естілім, айтылымнан тыс және ой- әрекеті орындаушы бӛлімін сәтті жүзеге асыруын қамтамасыз етуі қажет. Әрекетті орындаудың әрекеттік түрі есептеу амалын қалыптастырудағы маңызды кезең болып табылатындықтан кӛрнекіліктердің әртүрлі түрлерін (табиғи, сызба, таңбалық, кестелік) қолдану қажет. Кӛрнекі құрал баланың мұғалімнің жетекшілігімен білім алу барысында ішкі әрекетінің сыртқы тірегі қызметін атқару қажет (А. Н. Леонтьева). Оқыту нысанының ішкі қатынастарын тіркеп анықтау құралы В. В. Давыдовтың пікірінше, үлгілеу болып табылады. Б. Эльконин үлгілеуді оқу әрекеті деп есептеді,оқушының үлгілеуі тараптардың нақты әрекетін, құрылу заңыноқытушының жетекшілігімен жүргізілетін меңгерудің жалпы қағидасы деп қарастырады.

Үлгілеу  кӛрнекілікке  қарсы  қойылмайды,  тек  оның  дамуы  мен

жинақтау барысындағы жоғарғы деңгейі болып табылады. Үлгілер оқулық пен кӛріністерді алмастырушы қызмет атқарады және кӛрініс пен түсінікті қалыптастыру үшін қажетті кӛрнекілікті кӛрсетеді (С. Г. Шаповаленко). Үлгілеу әдісі математикалық түсінікті сәйкес  пәндік мазмұнмен толықтыруға кӛмектеседі. Л. М. Фридман мектептегі математиканы оқытудағы психологиялық-педагогикалық негіздерді қалыптастыра келе, оқушының математикалық дерексіздік түсініктерін оқытудың мәні бұл түсініктердің негізгі ерекшеліктері үлгі түрінде кӛрсетілген кезде жеңілдейтіндігін айтады. Н. Г. Салмина, В. П. Сохина сандар түсінігін қалыптастыру барысын талдай отырып, сандар нақты іс-әрекеттен емес үлгіні құраудың шығатынын анықтады. Сандардың қарым-қатынас сияқты түсінікті сипаттамасын беруді қалыптастыратын осы үлгі болып табылады. Моделдеу, есептеу барысында бағдарлау мен амалдарды материалды қалыпта шығаруға қолданылады. Үлгілеудің кӛмегімен амалдар мен іс әрекеттерді орындау әдісін жинақтап , әрекетті орындау тәсілін алып, зерттеп жатқан сандардың ішкі себепті ізді байланыстарын орнатады. Барынша тиімді әдіс дайын үлгілерді қолдану керісінше оларды оқушылардың ӛздері құрастыруы. Сондықтан үлгілеуді сабақта қолдану ғана емес, оларды оқушылардың ӛздері құруды үйрету маңызды. Үлгілеуді құрау ӛз қызметін жоспарлап үйренуді дамытуға алып келеді (Л. А. Венгер, В. П. Зинченко, Н. Н. Поддъяков, А. Г. Рузская және басқалары). Сыртқы жоспарда құралған амалдар мен түсініктер сӛз түрінде жинақталып, етістікке айналып, кейіннен мидың жоспарына ӛткізіледі. Н. Г. Салминаның зерттеуі бойынша, сӛзді материалды әрекет кезеңінде енгірген жӛн. Оқушылар жасалған әр әрекетті айтады, жеткізеді. Сӛзден тыс қалып, дауыстап айту, жазбаша айту, іштен айту болып беріледі. Осылайша оның нәтижесінде сыртқы заттай құралдармен болатын амалдар ӛзінің қалпынан ақыл-ой деңгейінде келетін сана деңгейінде процестерге айналады.Бұл орайда олар ӛзіндік ӛзгерулерге ұшырайды – жинақталады, айналады, қысқарады және бастысы, сыртқы іс-әрекеттің мүмкіндік шегінен шығып, ары қарай дамуға қабілетті болады.

Алайда, танымдық әрекеттер жүйесі – оқу процесі тиімділігінің

жеткіліксіз жағдайы (В. П. Беспалько). Білімді меңгерудің психологиялық тетігін оқу ақпаратын меңгеру және беру әдістерімен келісе отырып, дидактикалық мақсаттар тапсырмалар әдістемесін қолдану арқылы талап етілген білім деңгейіне жету мүмкін болады (Е. Л. Белкин, Е. Н. Леонович, Ф. П. Хакунова және басқалар). С. И. Архангельский оқып жатқан танымдық  қызметті басқару, олардың тарапынан сол немесе басқа жаттығулар тобын жоспарланғандай деңгейде ептілікпен талап етілген білімді меңгергенде ғана тиімді болады деп санайды. Ӛздері меңгерген ақпарат негізінде сыртқы жоспарда орындалған оқушылардың қызметін анықтау В. П. Беспалько білім деңгейіне сәйкес қызметтің деңгейін жіктеуге мүмкіндік береді. Сыртқы жоспарда орындау тәсіл бойынша меңгерілген ақпарат қызметтің екі түрін анықтайды. Олар дербестіктің (кӛмекпен және кӛмексіз) әртүрлі деңгейімен орындалатын ӛнімсіз және ӛнімді түрлерге бӛлінеді. Сәйкесінше меңгерілген білім сапасына тікелей қатысты қызметтің тӛрт деңгейі қарастырылады. Егер есепті шығару кезінде оқушы ӛнімсіз әрекет етсе және кӛмекпен (қосымша сұрақтар, кӛмек, сызбаға сүйену және т.б) болатын болса, онда оның білімі тек қана оқытылып жатқан нысанның тану -білімі (бірінші деңгей) деңгейінде ғана болады. Егер де оқушы ӛз бетінше меңгерген ақпаратты оның берілген тапсырманың сипаты нақты әрі толық айтып беретін болса,  онда оның әрекеті ӛнімсіз, ал білімі ӛнімсіз білім (екінші деңгей). Жаңа есептерді шешу үшін игерген ақпаратты түрлендіру мүмкіндігі ӛнімді қызметтің барлығына бар екендігінің белгісі. Егер ол кӛмек арқылы орындаса, бұл ептілік білім кӛрсеткіші (үшінші деңгей), ал егер ӛз бетінше орындаса онда – ӛзгеру білімі (тӛртінші деңгей). Берілген дидактикалық оқу мақсаттарының жетістігінің тиімділігі дидактикалық факторларға әсер етеді: Дидактикалық қағидалар, білімді меңгеру барысында сатылап жоғарылау заңдылығы, әдістер, құралдар, оқудың ұйымдасқан түрлері және т.б.

1.2.

Дәстүрлі түрде мектепте оқытудың ұйымдасқан түрлерінің ішінде басты орын сабақтардың әртүрлі түрлеріне берілген деп санаймыз. Сабақ дегеніміз – мұғалімнің оқушыларға мектеп пәнін оқыту барысында бекіткен танымдық қызметті ұйымдастыру түрі. Оқытудың осы түрін тәжірибеге алғаш енгізгендердің бірі педагог Иоганн Фридрих Гербарт (1776 — 1841) деп саналады. Олар тарихта тұңғыш рет мектептегі мұғалімдер үшін әдістемелік нұсқаулықтар шаблон қалпын әзірледі. Онда сабақтың барлық кезеңі тізіліп, сонымен қатар мұғалім сабақта айту керек әрбір сӛзін жазып қойған. Ол кезде бұл жағдай педагогикадағы үлкен жаңалық болып саналатын. Сондықтан И. Ф. Гербартқа оның шәкірттері ӛз отанында ескерткіш орнатты. Алайда уақыт ӛте келе бұл жаңалық ӛзінің мәнін жоғалта бастады, себебі, кӛптеген мұғалімдер сабаққа дайындық барысында дайын үлгіні қолдана отырып, ӛздерінің шығармашылық шабытын жоғалта бастады. Жағдайдың бұлай ӛзгеруі қоғам аузында шынайы сын айтуға алып келді.

Ҥлгілеу.

Қазіргі таңда мұғалімнің сабаққа дайындығы, конспекті жоспарын жазуы, үлгілеу (үлгі жасау) ретінде қарастырылады. Байытылған, әрі толықтырылған педагогикалық  шындықпен салыстырғанда үлгілеу оның қарапайым баламасы болып табылады. Сабақты үлгілеу талдау, жинақтау, нақтылау, дерексіздік және т.б.

Жинақтау (synthesіs – грек тілінен бірлесу)мұғалімге сабақ бӛлшектерін ойша және нақты біріктіруге мүмкіндік береді. Олардың ӛзара байланыстары толық бірлік немесе бір жүйе секілді қарауға болады.

Нақтылау (

concretus

Кӛп жағдайда нақтылық деп шын мәнінде бар заттай анықталған нақты анықталған заттарды айтамыз. Нақтылыққа түсініксіздік қарсы тұрады.

Түсініксіздік (

abstractіo

Үлгілеу дәріптеушілік ретінде қарастырылады. Сабақты үлгілеуді құру барысында қашан да оның кейбір тұстары мен құрамынан саналы түрде бас тартуға тура келеді. Әйтпесе сабақ үлгісі сабақтың педагогикалық түрі ретіндегі қарапайым баламасы болыпқала береді және ешқашан күрделіліктің толық деңгейіне жете алмайды. Үлгілеуді құрау барысында белгілі жеңілдетуге жүгінеміз. Сабақ үлгілерін жеңілдетудің мақсаты бүкіл нысанды емес, оның кейбір аспектілерін барынша толық сипаттап бейнелеп кӛрсетуге тырысу. Ондағы мақсат бірқатар жеңілдетілген жағдайларды ендіру арқылы мұғалім үшін сабақтың маңызды құрамын анықтау. Ю. К. Бабанскийдің зерттеуіне сүйене отырып, сабақтың әзірленген үлгісі мынадай маңызды әрекеттерді орындайды: Мұғалімнің жұмысы жазушының жұмысымен салыстыруға болатын қызықты жұмыс. Шығармашылық алдымен ойдағы жалпы жоспарды сызып, кейіннен ӛз шығармасының әрбір бӛлшегін мұқият ойланып, егжей-тегжейлі жазады.

Сабақ оқыту тҥрі.

Жүйелі құрылымдық дидактика позициясымен сабақты оқыту түрі деп қабылдаймыз. Оқыту түрін анықтау барысында бәрінен бұрын форма

түр- қызмет қарым-қатынасына назар аударуымыз қажет. Қазіргі педагогикалық ғылым түсінігінде қозғалыс қашанда әрекеттен түрге қарай жылжу қажет,  керісінше емес. Әйтпесе оқыту барысының қызметі оқытудың осы немесе басқа түрін анықтауға апарады. Қызметтің әртүрлілігі қалыптың әртүрлі себебінен болады. Тәжірибеде бұл мынадай жағдайда анықталады: сабаққа дайындық барысында  бірінші  алдына  мақсат  қоя  білу  қажет  және  оқыту

тапсырмалары мен оқыту мазмұнын кӛру керек, осыларды басшылыққа ала отырып, мұғалім оқытудың ыңғайлы түрін ұтымды анықтауға тырысады. Оқыту мазмұны оқыту түрімен байланысты, бірақ оған толықтай тәуелді болмау керек.Сабақтар ӛзі атқаратын қызметіне байланысты мынадай түрге бӛлінеді:

Жаңа білім қатынастары сабағы жаңа тақырыпты оқитын кезде жүргізіледі. Мұғалім аталған сабақтың үлгісін құрау барысында білім талаптарын бағдарға ала отырып, берілген тақырып бойынша жеткілікті және қажетті білім кӛлемін анықтау қажет. Бұл ретте алдында игерілген білім алдында алынған білімнің ӛзектілігінің кезеңімен байланысты болады, ал жаңа білім – жаңа білімді меңгерумен байланысты сабақ кезеңіне қатысты болады. Ары қарай алынған білім негізінде оқушыларда пәндік ептіліктер мен дағдылар (құзіреттілік) қалыптасады. Аталған түрдегі материалдардың дидактикалық мүмкіндіктердің мәні былай болады. Сабақтарда әдеттегідей тану білімін қамтамасыз ететін оқытудың ӛнімсіз әдісі қолданылады. Оқушыларды зерттелетін нысанның құрылымдары мен белгілері туралы        алғашқы        түсінік        қалыптасады.        Бұл        ретте                олар        кӛмекпен (сыртқы тіреу немесе жауаптарға сүйене отырып)ӛнімсіз әрекет етеді. Оқытушының        шеберлігі        оқушыларға        берік        және                саналы                түрде алынған                біліміне                сүйене                отырып,        оқушыларды        оқытудың                ӛнімді әдісін  қолдана  отырып,  жекелей  ізденіс  қызметін  ұйымдастыруға

сабағында жаңа тақырып жоқ. Бұл сабақта оқушылар бірінші деңгейлі білімді меңгереді (кӛмек беру арқылы ӛнімсіз қызметті қалыптастыру барысында) және екінші деңгейлі білімді игеруге ӛтеді (кӛмек берусіз, ӛнімсіз қызметті қалыптастыру барысында). Мұғалім білім талаптарын бағдарға ала отырып, оқушылардың оқу тапсырмаларын, алынған білімдерін қолдана отырып, оқу жылдамдығын ӛсіре береді, сӛйтіп беріктік пен білімнің мәнділік деңгейін кӛтереді. Аталған түрдегі сабақтарда оқушылардың      бір      деңгейден      екіншісіне      ӛту      барысында

тапсырмалардың қиындық деңгейі үнемі ұлғая береді, нәтижесінде олардың белсенділігі мен ӛз дербестігі жоғарылайды. Мұндай сабақтардың дидактикалық мүмкіндігі мынада, белгілі бір оқу қызметінің жүзеге асуынан кейін оқушылардың алған білімі беріктік ептілігі және дағдылары ұлғая береді; ептілік білімнен ӛнімсіз білім пайда болады, жаңа стандарты емес жағдайда ӛзінің білімімен оқылған оқу материалын қатесіз дербес жеткізуге дайындайды.

Жинақтау сабағы тақырыпты оқып болған соң немесе оқу курсының бӛлімінде ӛткізіледі. Бұл сабақта мұғалім бағдарламадағы бір-бірінен алыс тақырыптарды біріктіруге мүмкіндік алады. Сӛйтіп білімді жүйеге түйіндейді. Бұл жағдай оқу материалының жүйелілігіне байланысты талаптарды орындауға мүмкіндік  береді. Бұл түрдегі сабақтардың дидактикалық мүмкіндігі , олар ӛнімсіз білім мен ептілік білімді (білімді бекітуептілік пен дағдылар сабақтарынан айырмашылығы, олар кӛп жағдайда ептілік білімді қамтамасыз етуге мүмкіндік береді); оқыған нысандар арасындағы қатынастар мен тәуелділікті анықтауға бағытталған оқушыларда танымдық белсенділік жоғарылайды және субъективті жаңа білімді ашуға алғышарттар жасалады.

Білімді, ептілік пен дағдыны тексеру сабағы (бақылау сабағы) оқушылардың аталған тақырып бойынша екінші деңгейдегі білімінің дағдылары мен ептілігін меңгеру барысында тақырыпты оқып болған соң ӛткізіледі. Тәжірибе кӛрсеткендей, бақылау сабағын оқушыларда тек бірінші деңгейлі білім пайда болғанда ғана ӛткізу орынсыз. Кӛмек берілген ӛнімсіз қызметі соңында кӛптеген қателіктер мен шатасуға әкеліп соғады. Сабақтың бұл түрі кӛп жағдайда сабақтың бір бӛлігі (20 — 25 мин) ауызша және жазбаша түрде ӛткізіледі. Сабақтардың дидактикалық мүмкіндіктері оқушылардың оқу бағдарламасын меңгергендігі нәтижесін анықтауға мүмкіндік береді, оқу танымдық қызметтің белсенділігін арттырудың жағдайы болып табылады, меңгерілген білімнің психологиялық механизмдерін ӛзектілендіру, сәтті оқу танымдық қызметке ынталандыруға септігін тигізеді.

Қателермен жұмыс сабағы оқушылардың қатесі туралы мәліметтердің жиналу жағдайына қарай бақылау жұмысын тексергеннен кейін жүргізіледі (кӛп жағдайда ұзақтығы 20-25 мин сабақтың бӛлігі ретінде)

Аралас сабақ ӛзінің атауын XX ғасырдың 50-жылдары аяғында алып,  кеңінен  тарала  бастады.  Бұл  сабақтарды  бір  мезгілде  жаңа

материалды меңгеру, қайталау, білімді тексеру және басқа үйлестіріледі. Әртүрлі түрдегі сабақтардың дидактикалық мүмкіндіктерін жүзеге асыру бастауыш мектепте мақсатты түрлде оқыту процесіне қызмет түрін есепке ала отырып және кішкентай оқушылардың білімін әртүрлі деңгейін қойылған дидактикалық материалдарға сәйкес қояды.

Бұл жерде оқушы аталған тақырып бойынша игеретін білімнің барлық элементтері тізіліп жазылады. Бірінші жоспарда оқушылар алдыңғы сабақтарда игеріп қойған тақырыптар бойынша элементтерді айтқан дұрыс; екінші жоспарда оқушылар осы сабақта меңгеруі тиіс тақырып бойынша білімнің элементтері. Тұтастай алғанда, бұл мақсатты қалыптастыра отырып мұғалім осы сабақтың тақырыбы бойынша қажетті және жеткілікті білімді анықтайды.

(тәрбиелік міндет) жеке адамның адамгершілік яғни белсенділік, дербестік, жауапкершілік, тәртіптілік т.б қасиеттерін дамытады.

Сабақтың кезеңдері.

Берілген есепті шешу оның макроқұрылымын құратын сабақ кезеңінің жиынтығын анықтайды.(ағылшын

makros

Сабақ үлгісін жүзеге асыру барысында сабақ кезінде мұғалім мыналарды бақылайды: Сонымен қатар, кез келген жұмыс үшін жұмысқа қабілеттілігінің үш кезеңінің сипаттамасы немесе сатысы бар екендігін естен шығармағанымыз жӛн: бабына ену сатысы, ыңғайлы жұмысқа қабілеттілік сатысы, шаршау сатысы (қажу). Оқушылардың шаршауын басу және ескерту үшін қарапайым денешынықтыру жаттығуларын жасау керек.Оның ұзақтығы шамамен 40 — 60 с болады. бұл жаттығуларды шаршаудың алғашқы белгілері  білінгенде  жасайды:отырысын  жиі  ауыстыру,  селқостық

2 Тарау

Натурал сандарды оқыту математиканың барлық бастауыш курсы барысында жүзеге асады және кезеңімен кеңейтіліп, оқушының білімін тереңдетеді. Мынадай концентрларға бӛліп кӛрсетеді:алғашқы ондық сандармен, екінші ондықпен, бірінші жүздікпен, бірінші мыңдық және кӛпмәнді сандармен танысу. Сан туралы түсінікті қалыптастыру бастауыш мектептің математика курсының негізгі мақсаты болып табылады. Әдістемелік әдебиетте санды оқытудың сандық және аксиоматикалық амалдары жазылған. Сандарды түсіну әдістері нәтиженің шамасын ӛлшеу деп кӛрсетілген. Бұл әдістер ӛзара байланысты. Қазіргі заманғы кӛптеген математикалық білім бері жүйесінде сандық және аксиоматикалық шамалық амалдар ӛзара байланыста қолданылады. Н. И. Непомнящая [14] былай деп жазады: математикалық білімді толық меңгеруді қамтамасыз ететін бастауыш оқу курсының мазмұны қандай да бір қызмет түрі негізінде әрекет ететін сандарды игеруге келмейді (ӛлшеу, салыстыру және т.б) Оның айтуынша, сандар мен іс әрекет игерілетін және соған сәйкес қызмет қатынастарының әртүрлі қатынастар жинағының нәтижесі . Егер былай болса, онда математикалық білім оқу материалына енгізілген әртүрлі мазмұн жинағына байланысты болуы керек. «Пәндік әрекет - сандармен амал» қарапайым қатынасын құрамында барынша құрылымы  күрделі  жағдай мен  пәндік әрекеттерді   ,   жалпы   математикалық   түсініктерді   («жиынтық». «теңдік»,        «бүтін-        бӛлік»        және        басқалар)        логикалық        амалдар, сандармен іс-әрекеттермен алмастыру қажет.

Сандық амалдар.

М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова А. И. Маркушевич, М. И. Моро, А. С.Пчелко және басқа авторлардың еңбектерінде сандық амал ашыла түседі.

Жиынтық теориясы бойынша натурал сандар соңғы эквивалентті жиынтықтың сандық сипаттамасы ретінде кӛрінеді, ал сан туралы түсінік пайда болатын негізгі амал екі салыстырмалы жиынтық элементтердің ӛзара бір мәнді сәйкестігін орнату. Аталған кӛрініс сапалы амалдың негізіне жатқызылды. Оған сәйкес бүлдіршін сандық қарым-қатынастарды анықтауды үйрену керек. Бұл үшін қоршаған ортадағы кӛптеген біртекті заттарды анықтап, үйрену керек (бір құрылымдағы ұқсас заттар, мәселен, дӛңгелек) оларды саны бойынша басқа жиынтықтармен салыстырып, бір жиынтықтың әрбір элементін келесінің бір элементімен – бірге-бір салыстырып, яғни ӛзара бір мәнді сәйкестікті анықтайды. Бір заттан алып немесе қосып отырып, жиынтықты теңдей немесе теңсіз етуге яғни жиынтық элементінің санын кӛбейтіп немесе азайтып отыруға болады. Ӛзара бір мәнді сәйкестікті орнату барысында заттар жиынтығымен сандық алым жиынтығы арасында «бір» сӛзін қоса алғанда, берілген жиынтықтың әрбір затына ӛзінің жеке атауы беріледі. Осылайша есеп пайда болады. Жиынтықтың соңғы элементіне берілген атау саналған жиынтықтың барлығына қатысты болып «қанша?» деген сұраққа жауап береді, жиынтық элементінің сандық кӛрсеткіші болып табылады. Жиынтықтармен амалдар жүргізуге болады, мысалы, екі шеңбердің жиынтықтарын үш квадраттың жиынтығымен біріктірсек, онда екі шеңбер және үш квадраттан тұратын жаңа жиынтық пайда болады (1- сурет) Бастауыш сынып оқушылары бір жиынтықтан екіншісін алуды орындайды. Мысалы, геометриялық пішіндердің жиынтығынан шеңбердің ішкі жиынтығын азайтып тастау қажет(2 сурет). Азайтудың нәтижесі айырма деп атайды.Жиынтық айырмасын бір жиынтықтан екіншісіне дейін толықтауыш деп атайды.

Егер

3 сурет

Аксиоматикалық амал.

Бұл амал сандарды оқытуды натурал қатарының элементі ретінде болжайды. Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымы натурал қатарын суреттейді: қатар ешқандай натурал санның артында тұрмайтын 1 санынан басталады; әрбір натурал санның артында міндетті түрде 1 санға жоғары жеке натурал сан тұрады және әрбір натурал сан міндетті түрде ӛзінен бір санға кіші санның артында тұрады; 1-ден басталып міндетті түрде келесі натурал сандар жалғасын табады. Соңында бұл сандардың барлық жиынтығы құралады. Сандардың натурал қатарының аксиоматикалық құрылымы сандардың номерімен танысқаннан кейін ӛзінің бейнесін табады, сан туралы түсінікті сандық жалғастықтың мүшесі ретінде қалыптастыруға мүмкіндік береді. Бастауыш сынып оқушылары сандардың атауымен танысып, санақтың ретін оқиды, оларға әрбір санның

(л±1) қалай алынғанын түсіндіреді. Аталған әдіс негізінде бірлікті қосу және алу амалдары орындалады.

Санды шама өлшемінің нәтижесі ретінде түсіну Э. И. Александрова, П. Я. Гальперин, Л. С. Георгиев, В. В. Давыдов еңбектерінде қарастырылады. В. В. Давыдов бүлдіршіннің мектепке дейінгі ӛмірі, тоқтаусыз ӛлшемдер мен тәжірибесіз  әрекет ретінде болғандықтан математика курсы ӛлшемдер мен олардың ӛзара қарым-қатынасын оқытудан басталу керек деп есептейді. Әртүрлі заттармен әрекет етіп, оларды берілген белгілері бойынша сәйкес келетін басқа заттармен ауыстыра отырып, балалар ӛлшем болып табылатын заттардың параметрін анықтайды. Сӛйтіп бір ӛлшемнен екіншісін алуға болатын санақтың құралы ретінде түсінік қалыптасады. П. Я. Гальперин, Л. С. Георгиевтің айтуынша, оқушыларды ӛлшеу әрекетімен таныстырып, ӛлшемге арқылы бірліктерді анықтауды үйрету керек:1 дм — 10 см және 1 банкада — 4 стакан су және т.б Сан туралы ӛлшемді ӛлшеудің нәтижесі ретінде түсінік (ұзындық, алаң, салмақ және басқа) мәселен, ӛлшем бірлігі ретінде қабылдаған кесіндіні кесіндімен ӛлшеуішті ӛлшенетін затпен салыстыру барысында қалыптасады. Салыстыру ӛлшенетін кесіндіге бірлік кесіндісін салу жолымен орындалады. Нәтижесі ӛлшеудің таңдалған бірлігін анақталған сандық мағынасымен тіркейді. Осылайша ӛлшеу процесі барысында есеп пайда болады.

Қҧзіретіліктің шектік деңгейі а) М.А.Бантова; б) Э.И.Александрова; в) М.И.Моро; г) А.С.Пчелко; д) В.В.Давыдов?

а) бір жиынтықтың әрбір мәніне басқа жиынтықтың бір мәнін қойғанда; б) мәндердің астындағы бір жиынтықты бір-біріне қарсы басқа мәндермен орналастыр;

в) жұп сандарды жазыңыз?

5-тен 9-ға дейінгі және 6-дан 3-ке дейінгі сандарды атаңыз. Б. 5 + 1.

10.Тӛменде кӛрсетілген ғалымдардың қайсысы сандарды оқытуда шама тәсілін ұстанған: а) М.А.Бантова; б) Э.И.Александрова;

в) М.И.Моро; г) А.С.Пчелко; д) В.В.Давыдов?

11. Энциклопедиядан «шама» терминінің мағынасын кӛшіріп жазыңыз. .

Қояндарға сәбіздер жетеді ме? анықтаңыз. Б. Қызыл және кӛк доптар тең бе?

Үстелдің үстіне қанша тарелка болса, сонша кесе қойыңыз.

Г. Гүл шоғында 5 гүлдің  3-уі  қызыл раушан гүл мен бірнеше ақ раушан болды. Гүл шоғында ақ раушан гүлі қанша? үшін        алдыңғы        ӛткен        5        санына        бірлікті        қосу        арқылы        бастауға болады. Бұл сандар туралы білімді қалыптастыру тәсілінің негізінде санды оқытудың қандай амалы қарастырылған? 11.Мұғалім оқушыларға 5 санының «кӛршісін» атауды ұсынды. Мұғалім сандар туралы түсінікті қалыптастыруда қандай амалдарға сүйенді?

26.

я

5        4        3

Сенің жазған барлық сандарың сабақтың есебі үшін Егер 5 > 4 ж ә н е 4> 3, онда 5        3 қолданылады.бұндай        сандар

аталады.Қазір        сен9        ғана        натурал        сандарды        жаздың, алайда олар ӛте кӛп.

1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 ... — натурал сандардың қатары Сандардың  соңындағы  нүктелер  ары  қарай  натурал

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...

Осы қатарды натурал сандардың қатары деп айта аламыз ба? Не үшін? Натурал сандардың қатары болуы үшін нені ӛзгертуіміз керек? Натурал сандардың қатарын жаз. Мұндай қатарда келесі санның алдыңғысынан қаншалықты кӛп болды  ?

6  3        6  8        3  6

Бұлардың  қайсысын  натурал  сандардың  қатары  деп 29.

Әжемде үйректерге қарағанда, тауықтары кӛп.

Бұлардың қайсысын натурал сандардың қатары емес мүмкін? Бірнеше жауаптар бер.деп атай аламыз? Не үшін?

6 сурет

Оқушылар қандай қателіктер жіберуі мүмкін?Қателіктерінің себептері қандай? Осы қателіктердің алдын алу мен орнын толтыру үшін қандай тәсілдерді қолдану қажет?16.        «Бастауыш        сынып        оқушыларына        сандарды        түсіндіруді қалыптастыру тәсілдері» тақырыбында реферат жазыңдар.

2.2.

Ондық сандарға дейінгі кезеңнің мақсаты мектепке дейінгі алғансандар, мӛлшер, пішін сонымен қатар кеңістік және уақыт түсініктерін ӛзектендіру. Мектепке дейінгі кезеңде балалар қоршаған ортаның заттарына сандық баға беруді үйренеді (кӛр, аз, біреу) заттардың санын кӛбейту мен азайту, немесе оларды теңдей бӛлу ӛлшемі( ұзын –қысқа, жоғары-тӛмен, кең-тар, ауыр- жеңіл) пішіні (шеңбер, тӛртбұрыш, кӛпбұрыш және т.б.) туралы түсінік қалыптасады.

Балалар кеңістік кӛмекші және тік үстемелерді (жоғарыда, тӛменде,

үстінде, асытнда және т.б.) кӛлденеңінен (алға, артқа, дейін, кейін және т.б), сагиталды бағыттар (оңға, солға және т.б.), уақыт қатынастарын түсіне бастайды (кеше, бүгін, ертең, кейін, алдында, кейінірек және т.б.) Бірінші сынып мұғаліміне оқушылардың бойында нысандар нақтылығын әртүрлі белгісі бойынша бағалаумен талдай білуді ӛзектендіру қажет. (саны, пішіні, кӛлемі, түсі, кеңістікте орналасуы).

Санның құрамын оқуға кірісе отырып, кез келген жиынтық бӛлшектерден тұратыны туралы білімді ӛзектілендіру қажет: балалардың жиынтығы - қыздар мен ұлдардан, ойыншықтар жиынтығы – қуыршақтар мен доптардан тұрады. Сандар натурал сандар қосындысынан тұратыны түсіндіру керек, арифметикалық мысалдарды шешу барысында сандардың құрамы туралы білімді қолдануға үйрету керек. Сандардың құрылымын оқушылар екі заттай қосындыны біріктірген кезде, сонымен қатар, заттай қосындыны екі топқа бӛліп және әр топтағы зат кӛлемін анықтағанда меңгереді. . Санның құрамын оқу үшін мәселен, 2 цифрінің құрамын белгілі және кең тараған әдісті қолданған ыңғайлы: бір жағы кӛк түсті, екінші жағы сары түсті екі шеңберді алып, оқушыларға кӛк түсті екі шеңберді алып олардың санын санап, екі цифрімен белгілеу керек. Мұнан соң бір шеңберді келесі сары бетімен аудару керек. жалпы шеңбер кӛлемі ӛзгермегенін анықтай отырып (ешқандай шеңберді алмадық та, қоспадық та) шеңберлер жиынтығы екі элементтен тұрады бір сары, екіншісі кӛк түсті шеңберден тұрады, әр шеңбердің жанында цифр жазу керек, оқушылардың назарын аудару керек. 1 сур(р7).

Кейін қорытындысын шығарамыз: 2 саны 1 және 1 деген сандардан тұрады. Тек бір ғана мысалмен шектеліп қалуға болмайды, 2 санының құрамын әртүрлі кӛрнекі құралдармен кӛрсетіп беру керек. Ары қарай сандардың құрамы туралы білімді алу мен қосу амалдарында қалай қолдануға болатынын кӛрсету керек.Алғашқы ондықтың сандарын оқу барысында кӛрнекі құралдары таңдау және олармен заттық тәжірибелік әрекет орындау маңызды. Есептеу үшін заттар: әртүрлі түс пен ӛлшемдегі пішіндер, геометриялық денелер (мысалы, бірге біріктірілген жіптегі он шар, бір-бір таяқшалар) қоршаған ортаның заттары (нақты заттар, олардың макеті және суреттегі заттар) есептер; сандар жазылған карточка мен белгілер;

8 Сурет

9 Сурет

10 Сурет

Сабақтың тапсырмасы мен мақсатына сәйкес келетін кӛрнекі құралдарды таңдап алу қажет.

4 санының шегінде берілген сандардың құрамы мен берілген білімді қайталау; оқушыларды 5 санымен таныстыру;5 санының құрамын оқыту; натурал сандардың бірізділігі туралы білімді бекіту; 5 саны шегінде цифр мен санның арақатынасына қатысты білімін бекіту;5 санының шегінде салыстыра білуді қалыптастыру, 5 санының шегінде қосу және азайтуды орындау.

1.Цифр мен санның арақатынасын анықтаңыз(11 сурет). Сандарды аздан кӛбіне қарай ретімен орналастырыңыз. 2.Қажетті кеспеқағаздарды кӛтеріңіз. 4 –тен қандай сандар аз? 1- ден қандай сандар кӛп? 4-тен қандай сандар аз, бірақ 2-ден кӛп? 3 санының қандай «кӛршілері» бар?

10 Сурет

3. 1-ге қарағанда 4-тен кіші,сандарды атаңыз.1–ге қарағанда 3 –тен кіші сандарды атаңыз,. 4. 2, 3 және 4 сандарына «үйді» табыңыз (12 сурет). Ӛз таңдауыңызды түсіндіріңіз.

Білімді жаңарту. 1–ден 4-ке дейінгі сандарды атаңыз. 2 санын қалай алуға болады? (1-ге 1-ді қосу.) 3 санын қалай алуғаболады? (2- ге 1-ді қосу.) 3-ке 1-ді қоссақ қандай сан пайда болады.?

Жаңа білімді меңгеру.

Біз бүгін 4-ке 1-ді қосамыз. 4 қызыл шеңбер мен 1 кӛк шеңберді аламыз. Барлық шеңберлерді  санаймыз: бір,екі.үш, тӛрт,бес. Шеңбердің саны 5-еу.5 саны 5 цифрымен жазылады. 5 саны қандай сандардың қосындысынан тұратындығын анықтайық. Тақтада 5 шеңбер бар. Олардың 4-уі қызыл және 1-уі кӛк. Сонда 5 бұл 4 пен 1-дің қосындысы. Қызыл және кӛк шеңберлердің санын ауыстырайық. Кӛк шеңберлердің санын кӛбейтейік, мәселен – 2 , ал қызылдардың санын азайтсақ -3 деп ӛзгертсек. Шеңберлердің жалпы саны ӛзгерген жоқ. Сонымен5 бұл 3 пен 2-нің қосындысы.

Алынған білімді қолдану.

Кабинетте 5 затты табыңыз. 5 шаршы мен сонша үшбұрыш алыңыз. Қажетті цифрды алыңыз. Үшбұрыштың санын 1-ге азайтыңыз. Үшбұрыштар саны қанша болды? 4 саны қалай шықты? (5-тен 1-ді азайттық) Қандай пішіндер саны кӛбейді? 4-тен 5 саны қаншаға кӛп? Қандай пішіндер саны азайды? 5-тен 4 саны қаншаға аз?

B.Тордың жоғарғы оң жақ кӛлбеу сызығының бұрышының ӛрнектерін кезектестіріп тордың тӛменгі сол жақ бұрышына және тордың сол жақ жоғарғы бұрышынан оң жақ тӛменгі бұрышына қарай  ӛрнек құрастырыңыз.

а) санның сандық мәні туралы ұғым қалыптасады;

а) кез келген заттан бастап, сандық есепті жүргізуге болады; б)сандардың реттік және сандық ӛзара байланыстылығы; в) Санаған кезде бірде-бір затты қалдырып кетуге және екі рет қайталап қоюға болмайды?

Қҧзіреттіліктің тәжірибелі деңгейі шығыңыз. Оқушыларда 6 саны мен цифрін таныстыруда қандай білімді қалыптастыру ұсынылатындығын анықтаңыз.

Қҧзіреттіліктің жоғарғы деңгейі

Қандай амалдар орындау ұсынылады? Берілген тақырып оқыту барысында әрбір бағдарламаның ерекшелігі неде? Дайындық кезеңіндегі оқу материалының үлкен кӛлемі қандай бағдарламада ұсынылған? «Әдістемелік әдебиеттерде сандар туралы түсінікті қалыптастыру мәселелері»; «Натурал сандардың алғашқы ондығын оқытуда кездесетін негізгі қиындықтар»; «Бірінші ондық сандарды оқыту барысында  қолданылатын  кӛрнекі  құралдардың  ерекшеліктері»; «Бірінші ондық сандарды оқыту барысында жеке және сараланған амалдарды ұйымдастыру».

2.3.

сандарды оқыту; 2) 21 ден 100-ге дейінгі сандарды оқыту. Бұл екінші ондықтың атауының ерекшеліктерімен байланысты . Олардың айтылуы олардың жазылуымен сәйкес келмейді. Алдымен бірлікті айтып, кейін ондықты айтады. Алдында ондықтарды жазады, кейін бірліктерді. Екі мәнді сандарды айту барысында 20 санына кейін ондықтар разрядын, кейін бірліктерді айтады. Дәл осындай тәртіппен жазылады. Оқушылар мынадай сандардың айтылуын шатастырып алуы мүмкін. Мысалы, 17-70, 15 және 50 және т.б. Бұл сандар сол:

«жеті», «он» және «бес» , «он» т.б. сол сияқты сандардан құрылған. Жүз кӛлеміндегі сандарды белгілеуді үйрету барысында оқушылардың бойында бірінші және екінші разрядты білімдер туралы, разрядты сандар туралы, разрядты қосылғыштардың қосындысы туралы, бір және кӛп мәнді сандар, екі мәнді сандардың мәнін құрастыру маңызды. Олар сандар ондықтар мен бірліктерден тұратыны меңгеріп, алу және қосу амалдарымен сандардың нӛмірлері туралы білім негізінде танысып меңгеру қажет. Мұнан бӛлек оқушыларға белгілі бірліктерді алу мен қосу негізінде сандарды оқытуды жалғастыра беру қажет.

Аузыша және жазбаша нӛмірлеу оқытылады. Ауызша (сӛздік) нӛмірлеу түсінігі әрбір натурал санды сан есім кӛмегімен айту. Жазбаша нӛмірлеу деп әрбір натурал санды жазу әдісі айтылады. Екі мәнді сандардың ауызша және жазбаша нӛмірлері есептеу барысында  сандардың  ондық  тобындағы  екі  мәнді  сандарға  және

сандарды жазу барысында цифрлардың жергілікті мағынасы бар қағидасына сүйенеді, яғни әрбір сан жазу барысында екі түрлі мағынаға ие болады: біреуі сызуға байланысты, келесісі алатын орнына байланысты. Мысалы, 44:4 бірінші орында (оңнан солға қарай) бірлік санды белгілейді, екінші ондық санды белгілейді. Бірінші жүздік сандарының екі жүйелі оқыту ұсынылады. М. И. Моро тең авторлар бағдарламасында алдымен оқушыларды, екінші ондық сандармен таныстырып, кейіннен разрядты ондық және жүз кӛлеміндегі сандармен таныстырамыз. Н. Б. Истомино мен Л. Г. Петерсон бағдарламаларында бірінші жүздіктің сандарын разрядты ондықпен оқыту қажет, одан соң екінші ондық сандармен жұмыс істеуге кӛшіп ары қарай 20-дан 100-ге дейінгі сандарға ӛтеміз. Екі мәнді сандарды оқыту -1 ондық есеп бірлігінің жаңа түсінігін қалыптастырудан басталады. Бұл үшін мақсатты түрде ӛзімен бірге бәрі бір бүтін ретінде реттелетін он заттардан тұратын кӛрнекі құралдарды қолдану қажет. Мысалы, бір бумаға байланған 10 таяқша (барынша тиімді кӛрнекі құрал); қағаздың бір парағында салынған 10 геометриялық пішін ( үшбұрыш ішіндегі 10 шеңбер, жазықтық бойындағы 10 шеңбер және т.б); жіпке тізілген 10 моншақ; қорапқа салынған он жұмыртқа бейнесін т.б.қолдаған дұрыс. Бұл кезеңде ұзындықтың 1дм бірлігі жаңа сандық санақ түрінде қолданылады. Сантиметрлерге бӛлінген дм, дм-ге бӛлінген метр кӛрсетіледі. Бір бума қып байланған 10 таяқшаны санап шығу ұсынылады, одан кейін ондап санату қажет. Оқушыларға ондықтарды бірліктер сияқты сануға болатынын кӛрсетіледі. Ауызша нӛмірлеу разрядты ондықтарды дұрыс айту ептілігін пысықтауға ұсынады. «Жиырма» және «отыз» сандары ондықтың «дцать» ескі орыс атауын қолдану арқылы айтылады, яғни екі ондық два-дцать, үш ондық - три-дцать «қырық» саны басқа сандарға қарағанда айтылуы ӛзгеше болады, екі мәнді санды білдіретін ондық оның тарихи маңызына байланысты. «Елу», «алпыс», «жетпіс», «сексен» сандарын айту барысында айтылуы бойынша таныс «десять» қолданылады, бұл сандарды оқушылар аса қиналмай меңгереді. «Тоқсан» саны айтылуы бойынша «десять» санымен байланысты емес және оның айтылуы ерекше еңбекті қажет етеді. Жазбаша нӛмірлеу санаудың позициялық жүйесінің негізделеді. Санды   белгілеу   барысында   оның   ондық   құрамын   анықтайды.

Мысалы, 16- бұл 1 ондық және 6 бірлік. Солдан оңға қарай бірліктер бірінші, ондықтар екінші жазылады. Разрядтық ондықтарды жазу мен құрамына ерекше назар аударылады. Оқушылар: 0 дегеніміз разрядта бірліктің болмауын білдіретін түсіну керек. «Он» санын белгілеу үшін 1 санын ондық разрядына қойып, тағы да бір – разряд бар екенін 1-ден кейін 0 санын қойып кӛрсету керек. Мұнан соң екінші ондықтың сандары қалай алынатынын түсіндіру керек. Мұғалім 1 –ді 10 санына кӛбейтеді, оның разрядтық құрамына сипаттама бере отырып, жаңа санды жазып оқуды үйретеді.Ары қарай, әрбір келесі санмен таныса береміз. 21-ден 100-ге дейінгі екі мәнді сандарды нӛмірлеу туралы білім 20 шегінде сандарды нӛмірлеу туралы оқылған оқу материалына сүйенеді. Оқушылар оның баламасы бойынша оларға оған дейін белгілі екі мәнді сан арқылы құрылу тәсілін түсінгені дұрыс, сӛйтіп бұл сандарды оқып, жазып, салыстыруды үйрену керек. Сандардың ондық талдауына баса мән берген жӛн. Оқушыларда сандарды ондық пен бірлік арқылы құрау ептілігі пайда болады, оларда ондықтар мен бірліктерге бӛледі. «Санда қанша бірлік бар?» және «санда барлығы қанша бірлік бар?» сияқты сұрақтарды айыра білуді үйрету керек. Бірінші сұрақта бірлік разрядындағы бірлік саны туралы, разрядты бірліктер туралы айтылады . Екіншіде – бірліктің жалпы саны туралы айтылады. Мәселен, 58 разрядты бірлікте 8 бірлік, ал барлығы бұл санда 58 бірлік. Сандарды жүз шегінде нӛмірлеу туралы білімді қалыптастыру үшін кӛрнекі құралдарды дұрыс пайдаланған жӛн. Әдістемелік әдебиетте жұмысты келесі құралдармен ұйымдастыру ұсынылады.

10данадан бумаға байланған 100 таяқша.

Оқушыларға бумадағы таяқшалар санын, ондық бумалар санын санап шығу ұсынылып, ондықтарға атау беру (мәселен, 4 ондық – қырық) ондықпен санау, берілген ондықтар кӛлемін бір ондыққа алып және азайтып(кӛбейтіп) , қосу амалдарын орындату керек.

Метрлік сызғыш.

Бірінші жүздік сандарын нӛмірлеу бойынша білімді қалыптастыру барысында метрлік ӛлшеуішті әр сабақта пайдаланады. Ары қарай келесі сандармен таныстық жүргізіледі.

«Жҥз лентасы».

Кӛрнекі құрал бұл ұзындығы 100см он бірдей бӛлшек дециметрге бӛлінген,  әрқайсысы бірдей бӛлік сантиметрге бӛлінген қағаз жолағы. Ӛлшеуіштің сызғыштан айырмашылығы лента дециметрлік белгілерде иіле алады, сӛйтіп жүздікте неше ондық бар екенін есептеп кӛрсетуге мүмкіндік береді. Лентаны қолдана отырып бірліктер разрядында сандар барынша үлкен кӛлемдегі 9-ға дейін ұлғая алады, соңында ондықтар кӛлемі ұлғаяды. Сандардың натурал қатарының білімді бекіту үшін тапсырма беріледі.

10 бірдей тӛрбҧрышқа бӛлінген 10 сызық.

Аталған кӛрнекі құралды қолдану арқылы жұмыс істеу бумаға байланған таяқшалар жұмысына баламалы түрде жүргізіледі.

Монеталық тақта.

Ондық құрам туралы білімді бекіту үшін ақша купюраларын пайдаланған ыңғайлы. Мұнда құны 1 сомдық 10 монета, құны 10 сомдық 1 купюраға, ала 10 сомдық 10 купюра 100 сомдық 1 купюраға сай келетіні кӛрсетіледі. Мұнда барлық монеталарды, 10 сомдық купюралардың санын санап шығуға мүмкіндік беріліп, 3 он сомдық купюра отыз сом екендігін анықтауға мүмкіндік беріледі; он сомдық купюраларды қосып және алып жүз сомдық купюраларды он сомдықтарға ұсақтап, ал он сомдық купюраларды бір сомдықтарға ұсақтаймыз.

«бірлік» деп жазылған үш қалтасы болады (бұл жерде олардың астына иллюстрация) келтіруге болады. Сәйкес қалталарға санның құрамындағы бірліктер мен ондықтар кӛлемін білдіретін сандық карточкалар салынады. Оқушыға берілген санды шығару үшін сан жазылған карточканың кӛмегімен және оқушы сандарды оқып, қажетті сан жазылған карточкаларды тапсырылған сан шығу үшін ӛздігінше сәйкес қалталарға салу керек. Кесте бойынша жұмыс сандардың жазуын кӛрсету мен жазуын олардың орындық мәнін түсіндіруге арналады.

1 ден 20-ға дейінгі сандар жазылған плакат.

Плакаттың бірінші қатарында бірден онға дейінгі бір мәнді сандар жазылған екінші қатарда 11-ден бастап бірінші қатардағы сандардың бірлігі мен екінші қатардағы сандардың бірлігі сәйкес келетіндей етіп орналастырылады. (15 сурет).Мұндай кӛрнекілік екі мәнді сандар бірмәнді сандар секілді бірліктердің реттілігін қайталай отырып,бірліктерге ұлғаяды.Бірмәнді және екімәнді сандарды салыстыру   бойынша   жұмыс   жүргізіледі.   Бұл   кӛрнекі   құралды

сандардың  натурал  қатарының  қасиеті  туралы  білімді  бекітуге  де қолдануға болады.

Разрядты ондықтар және бірліктері бар плакат.

Плакаттың бірінші қатарында 1-ден басталатын бірмәнді сандар жазылған, ал екінші қатарында – 10-нан бастап 90-ға дейінгі разрядты ондықтар жазылған.(16 сурет)Бұл кӛрнекі құрал екімәнді сандардың жазбаша ретін есте сақтау дағдысымен разрядтардың орнын бекітуге кӛмектеседі.Оқушыларға осы кестедегі сан есімдерді жұптап: екі – жиырма, үш-отыз т.с.с. оқу ұсынылады.

Разрядты сан жазылған карточкалар.

Разрядты ондықтарда нӛл бірлік санын анықтайтын санмен жабылады (17сурет). Аталған кӛрнекі құралды пайдалану арқылы берілетін тапсырма разрядты қосындылар туралы,разрядты қосындылар санын ауыстыру туралы білімді қалыптастыруға кӛмек береді. Берілген сандарды осындай карточкалардың кӛмегімен жасай отырып, оқушылар екімәнді санның құрамын меңгереді.

1-ден 100-ге дейінгі сан жазылған кесте.

Кесте  сандардың 10 қатарынан тұрады. Бірінші қатарды 1-ден 10-ға дейінгі сандар, келесі қатар келесі ондықтан басталады (18 сурет).Сандар былай жазылады: ондық ондықтың астына түседі, бірліктің бірліктің астына жазылады. Мынадай тапсырма беріледі: «кӛрші» сандардың кӛрсетілген сандар арасында тұрған барлық разрядты ондықтарын атау,мысалы: 5 ондық пен 4 бірлік; немесе 35-тен 42-ге дейін, 53-тен 48-ге дейін осылайша берілген саннан бір бірлікке жоғары немесе тӛмен ,

Бір ондыққа жоғары немесе тӛмен болып жалғаса береді. берілген саннан кӛп немесе аз сандарды салыстыру, бір қатардағы немесе бір бағанада тұрған сандарды салыстыру болып жалғаса береді. Сандардың реттілігі білімін меңгеру кезінде оқушыға ұзақтау уақыт керек, сондықтан «Екі мәнді сандарды қосу және алу» тақырыбын оқытқан кезде әрбір сабақта ауызша және жазбаша тапсырмалар беріп отырған дұрыс.

Қҧзіреттіліктің шектік деңгейі

2.4.

Сандарды ауызша және жазбаша түрін оқытуда келесі тапсырмаларды орындауды ұсынады:

546+ 10 =..., 546 -10 =..., 900+1 =..., 900 -1 =..., 840+ 1 =..., 840 -1 =...,

546+1 =..., 546 -1 =...; 500 + 30 + 6=..., 682 =        3        4        6        - 300 =..., 346 - 40 =..., 346 - 6 =...,

Сандарды ауызша оқытуда әртүрлі кӛрнекі құралдар қолданылады. Сонымен қатар, жүздіктерді санау білімін бекіту мен қалыптастыруға мүмкіндік беретін;  жүздіктер,  ондықтар мен бірліктермен: 10-нан 100-ге дейін санайтын таяқшалар, санақтар; 100 торға бӛлінген 10 шаршы, «мың лента» («жүз лента да» ұқсас орындалады, 2.3 тараушаны қараңыз) және т.б. Есепшотта оқушыларға әрбір 10 бірлікті (сүйек) кӛрсетіп әрбір 10 бірлік жаңа есеп бірлігі ондықты құрайтындығын кӛрсетеміз.(келесі сымдағы тастар), ал он ондық (ондықтар сымындағы тастар) жаңа есеп бірлігі –жүздікті құрайды (бір тас жоғары шығарамыз)он жүздік— мыңдыққа (тағы бір тасты келесі сымға) жібереміз. Мұнда үш қатарға бӛлінген ӛзінің кестесі бар, сәйкес бірлік, ондық, жүздік разрядтары бар абак есептақтасын қолдануға болады. Жылжытпаларда - жүздіктер – бумалар, ондық – бумалар және жекелеген бірліктер  бейнеленген. Жылжытпаның кӛмегімен кез келген үш мәнді кӛрсетуге болады. Мұнда бір мәнді құрылымды, екі мәнді және үш мәнді сандарды құрайтын ӛзара байланысты талдап, олардың ұқсастығы мен айырмашылығын кӛрсететін кӛрнекі құралдарды пайдалану барынша тиімді болады. Бұл үшін сандарды тоғыз бағанаға бӛліп, әрбір бағанада разрядты бірліктер, ондықтар, жүздіктер (разряд разрядтың астына түседі) кӛрсетілген кестені пайдалануға болады (19 сурет) Әрбір қатардағы сандарды оқып, анықтап, санның қандай бірлігі есептегенде бірінші, екінші, үшінші қатарда болатынын, бағанадағы сандарды оқып, оларды салыстыру ұсынылады.

Сандардың натурал қатары мен сандар (мыңдық лента» кӛмегімен мыңдық сандар шегінде тарату туралы бар білімді жалғастыру үшін қажет.Оқушыларға берілген саннан келесі берілетін сандарға дейін сануды ұсынамыз. Бұл тапсырма келесі жаңа разрядқа ӛтетін санақты қосады. (378 ден 382 дейін, 496-дан 503-ге дейін, 563-ден 558-ге дейін, 704-тен 696-ға дейін және т.б.). Бірдей топтармен есептеу жүргізіледі. (ондықтар, бестіктер, жиырмалықтар, жүздіктер т.б). берілген санды бірлікке, ондыққа, жүздікке кӛбейту немесе азайту тапсырмасы беріледі. Мұнан бӛлек кӛбірек, азырақ үш мәнді сандарды, кӛбірек, азырақ бір мәнді, екі мәнді сандарды атау. Сандардың ондық құрамы туралы білімді бекіту шаманы салыстыру туралы тапсырмаларды орындау барысында да (мәселен, 340см-ді 3 м 4 дм-мен салыстыру т.б) ӛлшеу барысында алынған сандарды құрау (мәселен, 334 см барынша ірі ӛлшеммен айтып бер т.б) жүзеге асырылады. Жазбаша реттілікпен танысу барысындағы кӛрнекі құралдар сан жазылған карточкалар, разрядтар кестесі, разрядты жүздіктер, ондықтар және бірліктер карточкасы.

Үш мәнді сандарды кӛре білу ептілігін қалыптастыру үшін разрядты қосылғыштардың қосындысы түрінде жүздік, ондық және бірліктерді пайдалану керек. Мысалы, оқушы қолына жеті жүз елу және тоғыз сандары жазылған карточкаларды алып, бұл разрядтарды ондық және бірлік разрядтарды жеті жүз саны жазылған карточкаға алдымен елу санын кейін тоғыз санын қоямыз (20 сурет), содан кейін жеті жүз елу тоғыз саны пайда болады. Және керісінше тапсырма беруге  де болады: ол үшін сандарды разрядты сандарға бӛлу керек. Мұнда карточкаларды қолдану бірлік разрядтың бірліктері нӛлге тең екендігін, жазу барысындағы қателіктерді ескертуге мүмкіндік береді. Разрядты жүздіктер, ондықтар (мәселен, 800 және 40 саны жазылған карточкалардың кӛмегімен) жүздік және бірлік сандардан (мәселен, 300 және 5 саны жазылған карточкалардан ) разрядты жүздік сандарды құраймыз. Үш мәнді сандарды құрау және оларды жазу кестелер разряды кӛрнекі құрал кӛмегімен кӛрсетеміз. (2 кесте)

Оқушылар кестемен жұмыс жасай отырып, тӛменде кӛрсетілген тапсырмаларды жалғастыра алады. 300, 303, 30, 333 сандарды жазыңыз.Мына жазған сандарда 3 цифрі нені білдіреді?

Екі мәнді (үш мәнді) неғұрлым кӛп (неғұрлым кіші) санды жазыңыз. 3, 505, 55, 555 сандарды жазыңыз. Осы сандарды жазуға қанша цифр қажет болған? Осы сандарды жазуға қанша әртүрлі цифр қажет болған?

Қосылғыштар разрядын сандармен алмастыруды үйрену және қосылғыштар разрядынан сандар құрастыру; бірінші мыңдық сандарды жазып, оқу білімін бекіту, сандардың жеке цифрлық мағынасын білу, сандар разрядының қатынасы (бір яразрядтың әрбір 10 бірлігі келесі жоғарғы разрядтың бірлігін құрайды)натуралдар қатарында бірінші мыңдықтардың орны туралы, бірінші мыңдық сандарды салыстыру арқылы білімді бекітіп, олармен

1. Карточкада жазылған сандарды оқып шығыңыз және кішісінен үлкеніне қарай орналастырыңыз:

сандарды атап, қолдарындағы 700, 50 және 9 жазылған карточкалардың әрқайсысын ӛзіне тиісті санның жанына қоюды сұрайды (20 суретті қара); 759 санында қанша жүздік, ондық және бірлік бар екенін қайталатады.

Жаңа білімді меңгеру.

Бүгін біз қосылғыштар тобының қосындысын жазып үйренеміз. Сонымен, 759 санында 7 жүздік (бұл жеті жүз саны), 5 ондық (елу) және 9 бірлік бар. 700+50+9 сандарды қоссақ 759 саны шығады. Біз қосылғыштар разрядын бӛлек алып қарастырып, нәтижесінде берілген қосындының мағынасын шығардық.

571 санында қандай разрядты сандар бар? Разрядты сандары жазылған қажетті карточкаларды алыңдар. Қосынды разрядтар тобын сан түрінде қлай жазамыз? Құрамында 6 жүздік және 7 бірлік бар санды жазыңыз. 607 санында қанша жүздік, ондық және бірлік бар?

5. 500 + 20; 600 + 8; 634 - 30; 506 – 500 мысалдарды орындауға қандай білім мен ептілік қажет? Берілген есепті шешу үшін қандай дайындық жаттығулары жүргізіледі?

Қҧзіреттіліктің жоғарғы деңгейі бойынша  бастауыш  мектеп  оқушыларына  тексеру  жұмыстарын жүргізіп, қателердің себептерін саралаңыз.

2.4.

Кӛп        мәнді        сандарды        оқыту        келесі        міндеттерге бағытталады: натурал сандар қатарындағы кӛп мәнді сандардың орны туралы білімді қалыптастыру;

Кӛп мәнді сандарды оқыту жүйелілігі тӛмендегідей болуы мүмкін: «мың»  сӛзімен        жазу        (қысқаша        «мың»)  және  келесіде  қысқаша

«мың» сӛзінің орнына үш нӛлмен жазу; Сандарды ауызша және жазбаша        нӛмірлеу келесі тапсырмаларды орындауды ұсынады:

90000+1        =...;        90000-1        =...;        462        546+        1        =...;        462        546-1        =...;

200 000 + 50 + 30=...; 500 080=... + ...;

1) сандарды оқы;

21сурет

6) сандарды жазу үшін барлығы қанша цифр және әртүрлі қанша цифр қажет болғандығын кӛрсет.

Кӛп мәнді сандарды ауызша оқыту барысында негізгі кӛрнекі құрал

Разрядты тордың кӛмегімен разрядты саандардың мәнін цифрмен кӛрсету ыңғайлы (3 кесте). Санда қанша белгі бар, әр сандағы бір цифр нені білдіреді, есептегі әрбір бірлікті келесі бірлікпен салыстыру (бір ондықта он бірлік бар, бір жүздікте он ондық бар және т.б.) әрбір санақтағы келесі бірлік келесі саннан кӛп екендігі туралы білімді орнықтырып, анықтау ұсынылады. Топтар мен разрядтар кестесімен жұмыс істеу барысында (4 кесте) сандарды кестеге жазуды; кестеде кӛрсетілген сандарды жазып оқу; кестеге бірнеше санды жазып, олардың ондық құрамы және басқаларын салыстыру ұсынамыз. Жүздіктерді санау дағдысын қалыптастыру барысында 21 суретте берілген суретті қолдануға болады. Жазу реттілігі дағдысын қалыптастыруда қосылғыштар разрядынан тұратын сандардың құрамы, қосылғыш сандардың қосындысын жазу барысында разрядты сандар карточкасын қолдану тиімді. (22 сурет). Оларды қолдану кӛп мәнді сандарды барысында қателіктерді кӛрсетуге кӛмек береді.

Оқушыларға сандары жазылған карточка алдырамыз, мысалы, 200 000, 6 000 және 3, сӛйтіп сандарды құратқызып оқытамыз. Егер оқушы кӛп мәнді сандардың жазуда және оқуда қателік жіберетін болса, разрядты қосылғыштардың қосындысын табу, разрядты қосылғыштар қосындысын жазу, разрядты сандарды қосу және алу барысында карточкамен жұмыс жүргізу тиімді.22 сурет

Қҧзіреттіліктің шектік деңгейі а) 1 000000 санының шегінде кез келген кӛп мәнді сандарды оқып және жаза алуы керек; б)теріс сандарды оқып және жаза алуы керек;      в) сандардың ондық құрамын анықтай алуы қажет; г) топтар мен разрядтарды атап айту қажет; д)разрядты сандар құрамы жӛніндегі білімі негізінде сандарды салыстары алуы қажет. А. Ұқсастықтары жағынан келесі жағдайда анықталады. Алдымен оқушыларға мына ӛрнектерді шешуді тапсырады: 9 + 1, 99 + 1, 999 + 1. Кейін мына жайттарға назар аудартады, ең үлкен бір мәнді санға 1-ді қоссақ, ең кіші екі мәнді немесе ең кіші үш мәнді және т.б. сандар шығады. Ең үлкен бес мәнді санға 1-ді қоссақ, ең кіші алты мәнді шығады деген қорытынды шығаруға болады. Егер ең кіші алты мәнді саннан 1-ді алсақ, ең үлкен бес мәнді сан шығатын кері мысалдарды есептеп кӛрсетеді. Б. Екінші тәсілдің негізінде қосындыға санның қосылу қасиеті жатыр:99 999  санын  (99  000+  +999)+1  =99  000+(999+1)=99 000+1 000=100000 екінші топтың қосындысымен ауыстыруға болады.Мысалды түсіндіру кезінде: 100000-1 қосындыдан сандарды  азайту  ережесі  қолданылады:  100000-1=(99  000+1

3 Тарау

3.1.

АРИФМЕТИКАЛЫҚ АМАЛДАР ОЛАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ        ТУРАЛЫ        ТҤСІНІКТІ ҚАЛЫПТАСТЫРУ

Натурал сандар мен арифметикалық амалдарды орындауды оқыту бастауыш сыныптың оқушыларын математикаға дайындауда маңызды орын алады. Аталған бӛлім келесі материалдарды зерттеуді қамтиды: Арифметикалық амалдардың қасиеттері туралы түсінікті қалыптасыруда қосу, азайту, кӛбейту, бӛлудің мәндерін түсіндіру қажет. Әрекет, қасиет компоненттерімен таныстырып, қосу мен азайтудың , кӛбейту мен бӛлудің ӛзара байланысын кӛрсету керек.

Қосу.

Қосу компоненттері 23 суретте кӛрсетілген натурал сандарды қосу сандарды теориялық кӛпреттік түсіндірмемен сәйкес орындалады. Жиынтық териясында ортақ элементтері жоқ, екі жиынтықтың бірігуінде жиынтықтарды біріктіріп, осы жиынтықтардың элементтері болатын жиынтық пайда болатыны туралы түсінік бар. Осы жағдайға байланысты әдістеме қосудың мәнін жиынтық пен элементтер бірлестігінің саны ретінде түсіндіру ретінде қарастырады. Заттардың   санын   табу   туралы   оқиғалар   ұсынылады.   Мәселен. «Димада 3 қалам бар, Севада екі қалам бар. Балаларда қанша қалам бар?». Сонымен қатар аталған жағдай сандардың кӛбейтуін санның құрамын білуге сүйене отырып жасауға мүмкіндік береді. Мысалыға,

5 саны 3 пен 2- ден тұрады. Яғни 3 пен 2-нің қосындысы 5–ке тең. Жиынтықтармен жасалатын негізгі амал салыстырылып жатқан екі жиынтықтың элементтері арасында бірмәнді ӛзара сәйкестікті орнатылады. Егер бір жиынтық ӛзге жиынтықтардың ешқандай кӛпшілігіне сәйкес теңдессіз тең келмесе, онда бірінші кӛпшіліктің күші екіншінің күшінен кӛп. Мұндай жағдай қосындының мәнін ашуға кӛмек береді. «Мысалы: Димада 3 қалам бар, ал қаламсабы 2-ге кӛп, Димада қанша қаламсап бар?" Бұл есепті шығару үшін қанша қалам бар сонша қаламсапты алып, одан бӛлек тағы 2 қаламсапты алу қажет.Осы тәсілден бӛлек әдістемелік математикалық әдебиетте қосу бірнеше бірлікке ұлғаю болып қарастырылады. Мынадай жағдай ұсынылады, онда заттардың саны кӛбейеді және қанша зат болғанын анықтау керек. Мысалы: «Ленада 3 түйреуіш болды, оған тағы 2 түйреуіш сыйлады. Ленада неше түйреуіш бар?». Осылайша оқушыларға бүтін теріс емес сандардың қосу әрекетінің мәнін үйрету үшін тапсырманың үш түрін қолдануға болады: «Бұтақта 2 торғай отырды. Оған тағы бір торғай келіп қосылды. Бұтақта неше торғай бар?»);

Қаламсауытта қанша қаламсап бар?») ; Натурал сандарды қосу мынандай қасиеттерге ие: ауыстырмалы (коммутативті) және терімділік (қауымдастық қасиет.

Ауыстырымдылық қасиет қосылғыш орнын ауыстырғанмен қосындының мәні ӛзгермейді. Мысалы: 2+1 = 1+2. Бұл қасиет 1 сыныпта алғашқы ондық шегіндегі сандарды қосу барасында оқытылады. Ауыстырымдылық қасиетпен оқушыларды келесі тәсілдер арқылы таныстыруға болады: Тәжірибелік әрекет нәтижесін математика тіліне аударып былай жазамыз:4 + 3 = 7 және 3 + 4=7. Жазбаларды салыстыра отырып қай жерде қандай ұсыныс бар, олардың қай жері ұқсас?

2 + 7 немесе 7 + 2.

Ӛмірлік жағдаймен бақылауға сүйене отырып, оқушылардың теңдеуді қосудың қалай орындалғаны бәрібір екеніне кӛзі жетеді де, ӛздеріне ыңғайлы тәсілді таңдайды.

Терімділік қасиеті немесе қосылғыштар тобының ережесі бірнеше қосылғыштың қосынды мәні қосу орындалатын тәртіпке байланысты емес екендігін нақтылайды, мысалы:

(8 + 3)+7 = 8 + (3 + 7).

Ережемен танысуды ӛрнектің мәнін іздеуден бастауға болады: (4 + 3)+2. Мысалды кӛрсету үшін жинақ кенебінде 4 қызыл үлкен кесе, 3

қызыл  кішкентай  үшбұрыш  және  2  кӛк  кішкентай  кесеқояды  (24 сурет) Теңдеуді шешу керек: (4 + 3) + 2 = 9, 4 + (3 + 2) = 9. Алынған мысалдар мен оның нәтижесін оқушылар қорытындылай алады: үш қосылғышты қосқан кезде, егер кӛрші қосылғыштар ауыстырылса да, қосындысы нәтижесі ӛзгермейді. Содан кейін дәл осындай жолмен оқушылардың ұқсастығы бойынша мынадай ереже шығады: үш немесе одан да кӛп қосылғыштарды қосқан кезде кӛршілес сандар оларды қосындысымен ӛзгерте алады. Терімділік қасиеті рационалды есептерде қолданылады. осы қасиетті қолдану қажет қосындының бірнеше тәсіліне назар аудару керек:

7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3)+2 = 10 + 2 = 12; 10 + 2) ары қарай терімділік қасиетін кейін ауыстырымдылық қолданамыз. Ауыстырымдылық қасиеті мұнда терімділік қасиетін тек қана кейбір тұрған қосындыларға қолдану мүмкін болған соң қажет:

Келтірілген жазба түсіндіруді ӛте қиындатады, оқушыларға тек түрлендірудің соңғы нәтижесі айтылады және алдымен ондықтың қосындысын кейін бірліктің қосындысын табу ұсынылады.

24 сурет

25 сурет

Натурал сандарды азайту мәнін түсіндіру келесі жағдайдың негізінде құралады: А және

жиынтығының түрлері жиынтық деп аталады, оның құрамында В жиынтығына жатпайтын тек қана А жиынтығына жататын элементтер ғана болады. Бастауыш сыныптың оқушыларына заттардың жиынтығын кӛрсетеді, жиынтықтан біраз заттарды алып тастайды (бұл кезде кейбір заттар қалады) сӛйтіп оқушылардан қанша зат қалғанын сұрайды, мысалы: «Үстелде 3 табақ болған еді, 1 табақ құлап сынды. Үстелде неше табақ қалды?». Қосымша жиынтық туралы жағдайда сандардың әртүрлілігі мәнін түсіндіру негізінде болады. Бір мәнді ӛзара сәйкестікті орнату барысында екі жиынтық арасында бір жиынтық қанша элементке кӛп, ал екіншісі аз екендігі анықталады. Мұны келесі мысалда кӛрсетуге болады: «Гүлбақта 5 түймедақ пен 3 кекіре гүлі ӛсті. Гүлбақта кекіреге қарағанда қанша түймедақ артық ӛскен?» Жиынтықты әрбір элемент бойынша салыстыру бір жиынтық екіншісінен бірнеше бірлікке аз кезіндегі жағдайда қарауға мүмкіндік береді, мысалы: «Ленада 5 түйреуіш бар, ал бантигі 2-ге аз. Ленада қанша бантик бар?». Бұл есепті шешу үшін қанша түйреуіш болса, сонша бантик алып, оның кӛлемін екіге азайту керек. Осылайша оқушыларда азайту амалы туралы түсініктерді қалыптастыру барысында тапсырмалардың келесі түрлерін беруге болады. а) Берілген зат жиынтығын бірнеше затқа азайту ( мысалы: 5 конфет болған еді, 3 –ін жеп қойдық. Неше конфет қалды?»); б) Берілгенге        тең        жиынтықтан        бірнеше        затқа        азайту        (мысалы: «Үстелде  5  кітап  бар.  Ал  журнал  2-ге  аз.  Үстелде  неше  журнал бар?»); в) жиынтықты салыстыру: бір жиынтықта заттар екіншісіне қарағанда қаншаға кӛп, (қаншаға аз?). Мысалы: «Юрада 5 кеме,   3

машина бар. Юраның машинасы кемеге қарағанда қаншаға кӛп?»

Математиканың бастауыш барлық курстарында азайту амалы қосуға қарсы әрекет ретінде қаратырылады. Себебі, натурал сандардың азайтуы а

және b

болғанда, яғни азайту деп қосынды кӛмегімен бір қосылғыштан екінші қосылғыш алынатын амалды айтады. Сондықтан математиканың бастауыш курсы қосу мен азайту амалдарының ӛзара қарым-қатынасын оқытуды кӛздейді. М. И. Моро,С. И. Волкова, С. В. Степанова(1 б), Б.П.Гейдман, Т.В.Ивакина, И. Э. Мишарина 1 сыныпқа арналған оқулықтарында бұл арифметикалық амалдар бір сабақта қарастырылып, олардың ӛзара қарым-қатынасын бірден кӛрсетуге мүмкіндік береді. Н. Б. Истомина және Л.В.Занков, В. В. Занков 1 сыныпқа арналған оқулықтарында алдымен қосу кейін азайту амалдары қолданылады, алайда бұл тақырыптар бір бӛлімге енгізілген және оларды оқу арасы бар болғаны бірнеше сабақты ғана құрайды. Бұл амалдардың ӛзара қарым-қатынасын кӛрсету үшін арнайы сабақтар жүргізу ұсынылады. Қазіргі заманның бастауыш сыныптарына арналған математика оқулықтарында екі қосалқы жиынтықтан тұратынжиынтықтың сандық сипаты ретінде қарастыруға мүмкіндік беретін тапсырмалар берілген. Осылайша 5 геометриялық пішінен тұратын жиынтық тӛртбұрыштың үш қосалқы жиынтығынан және шеңбердің екі  қосалқы жиынтығынан тұрады. «Бӛлім-бүтін» осындай қатынастың мысалында Н. Б. Истоминаның 1 сыныпқа арналған оқулығында бӛлімдерді (қосалқы жиынтықтарды) біріктірген кезде бүтін пайда болады. Ал егер бүтіннен (берілген жиынтық) бір бӛлігін (бір қосалқы жиынтық) алып тастасақ, онда келесі бӛлім (ӛзге қосалқы жиынтық) қалады. Бұл жағдай оқушылар үшін теңдеуді шешу үшін қажет қиын ережені кӛрнекі түрде кӛрсетеді: азайтылатын санды табу үшін азайғышқа айырманы қосу керек; азайғышты табу үшін азайтқыштан азайғышты кеміту керек; қосылғышты табу үшін қосындыдан келесі азайғышты кеміту керек. Бастауыш сынып курсына қосындыдан және  санның қосындысынан сандарды азайту тәртібін оқыту кірмейді.

a+b

a+b

қосылғыштарынан с

Қосындыдан     санды     азайту        ережесін оқушылар заттық жиынтықтарымен іс-әрекетті орындау үрдісінде меңгереді. Мысалы, оқушыларға (5 + 4)-3 ӛрнегінің мәнін табу беріледі. Шешудің түрлі әдістері қарастырылады – қосындыны тауып, алынған нәтижеден 3 санын азайтады немесе осы санды қосылғыш және алынған нәтижені келесі қосылғышқа қосады:

(5 + 4) - 3 = 6; 5 + (4 - 3) = 6; 4 +( 5 - 3) = 6.

Мысалдардың шешімін салыстыра отырып, балалар ӛздігінше қорытынды шығара алады: қосындыдан санды азайту үшін алынған нәтижеден санды азайтып, қосындыны табуға болады, сонымен бірге бұл сандарды кез келген қосындыдан азайтып алынған нәтижені басқа қосылғышқа қосуды анықтайды. Осы қасиеттегі білімді қалыптастыру үшін мынадай түрдегі мәтіндік есепті қолдануға болады: «Аулада 10 қызжәне 7 ұл қыдырып жүрді. 3 бала үйіне қайтты. Қанша бала қалды?» Оқушыларға есепті шешуге үш түрлі жолды ұсынады. Оқушылар мұғаліммен бірге шешімді салыстырады, олар ұқсас немесе қандай айырмашылығы бар екенін анықтайды, кейіннен тиісті қорытынды шығарады. Бұл ереже разрядты сандарды азайту кезінде қолданылады. Азайғыш разрядты қосылғыштардың қосындысы түрінде беріледі де, қосылғыштың қажетті разрядынан разрядтты сан азайтылады. Мысалы, 36-дан 2 алу үшін 36-ны разрядты қосылғыштардың қосындысы түрінде беру керек (30 + 6) және 6 бірліктен 2-ні азайтып, қалған ондықтарды қосу керек (30). Дәл осылай 36-20 амалын да орындауға болады: сонымен қатар 36-ны 30 + 6 разрядты қосылғыштарының қосындысы ретінде алып, 20-ны ондықтардан азайту керек, сӛйтіп қалған бірліктерді қосамыз:

санынан b+c

қосындысынан азайту, а санынан қосындыны азайту мүмкін екенін кӛрсетеді, әрбір қосылғышты кезегімен азайтуға да болады:

a-(b+c) = (a-b)-c=(a-c)-b.

Бұл ережені мынадай түрдегі есептерді шешуде қолдануға болады: Мысалы: «Оля 10 дәптер сатып алды. Ол құрбысына тор кӛз 3 дәптер, 1 жол дәптер берді. Оляда неше дәптер қалды?» есептің шешімін түрлі әдістермен жазуға болады:

а) 10 - ( 3 + 1 ) = 6 (д.); б) (10 - 3) -1 = 6 (д.); в) (10 - 1)- 3 = 6 (д.). Есептің шешімін салыстыра отырып, (заттай жиынтықтың әртүрлі жағдайларын қарастыра отырып) оқушылар қорытынды шығарады: сандардың қосындысын үш әдіспен табуға болады. Бұл ереже екі мәнді саннан разряд арқылы ауыса отырып бір мәнді саннан азайту кезінде қолданылады. Мысалы, 16-дан 7–ні азайту үшін, азайғыш 7-ні 6 + 1 ыңғайлы қосылғыштарының қосындысы түрінде алып, алдымен 16 дан 6-ны кейін 1-ді азайтамыз:

16 - 7 = 16 - ( 6 + 1 ) = (16 - 6)-1 = 10 -1 = 9.

Ауызша азайту барысында екі мәнді саннан разряд арқылы ауыса отырып бір мәнді саннан азайту кезінде кӛрсетілген ереже қолданылады.Мысалы, 36- дан 28-ді азайту үшін, азаятын 28-ді 20+8 разрядты қосылғыштарының қосындысы түрінде алып, 36-дан алдымен 20-ны , кейін 8-ді азайтамыз.

1)

5 + 4 = 9, 5 + 5 = 10, 5 + 6 = 11; 2)

8 + 2= 10, 7 + 3 = 10, 6 + 4 = 10.

Шешімді салыстыра отырып, оқушылар мынадай қорытындыға келеді: егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке ұлғайтсақ (азайтсақ), онда қосылғыш та сонша бірлікке ұлғаяды (азаяды). Бұл заңдылық ауызша есептеуде қолданылады. Ол үшін оқушыларға мұндай жаттығуларды ұсыну керек: «27 + 3 = 30 екенін біле отырып, 27 + 5 қанша екенін табыңдар».

Бұл есепті орындау барысында мынадай талқылау болуы мүмкін: «Бірінші қосылғыштар бірдей, екінші қосылғыш 2-ге кӛп. Яғни, қосынды да 2 бірлікке кӛп болады. 30-ға 2-ні қосамыз, сонда 32 болады. Шешімін жазамыз 27 + 5 = 32». Мұнан бӛлек оқушылар егер бір қосылғышты ұлғайтып, екіншісін дәл сонша азайтсақ, нәтиже ӛзгермейтінін түсіндіріп, естеріне сақтату қажет. Компоненттердің ӛзгеруінен тәуелді нәтиженің ӛзгеруін оқу барысында азайту амалы үлкен кӛлемдегі жаттығу есептерін жүргізуді қажет етеді, себебі бұл материал оқушылар үшін қиындық тудырады.

Мысалы, егер азайтқышты бірнеше бірлікке ұлғайтсақ, онда олардың

26 сурет

әртүрлілігі сонша бірлікке кӛп болады. Егер азайтқышты бірнеше бірлікке ұлғайтсақ, онда оның әртүрлілігі сонша бірлікке аз болады. Егер біз мезгілде азайтқыш пен азайғышты дәл сол бірлікке арттырсақ, онда оның әртүрлілігі ӛзгермейді.

Кӛбейту.

Кӛбейтуді құраушылар 26 суретте келтірілген. Математикалық        әдіс        әдебиеттерінде        кӛбейтуді        анықтау        үшін

«соңынан жүру керек» қатынастары мен негізқұраушы аксиомалар қолданылады: 1) а

• 1 = а;2) а •

b'=a •

а

санына 1-ді кӛбейтсеңіз онда а

саны шығады .

Ары қарай санды 2-ге кӛбейтсеңіз онда мәні а

және 1мәніне үлкен сан шығады .

Ал санды 3-ке кӛбейтсек онда а

мен 2 санын кӛбейткеннен а мәніне үлкен сан шығады. Сӛйтіп жалғасып кете береді де кӛбейту кестесі құрылады,мысалы:

Әдістемелік әдебиетте кӛбейту кестесінің мәнімен теориялық жиынтық негізінде танысу тәсілдері кӛрсетілген. Оқушыларға мынадай түрдегі есептер беріледі: «Дима мен Севаға мектеп таңдайды. Ата-аналарына үш мектеп ұнайды. Балалар үшін қанша

2, 3}. Диманы 1-ші мектепке жіберуге болады, немесе 2-ші мектепке, болмаса 3-ші мектепке: Севаны да дәл осылай жіберуге болады. Жұп жиынтықтан декарттық шығарманы жазамыз: АхВ={(а1), (а2), (а3), (b1), (b2), (Ь3)}. А бірінші жиынтығы екі элементтен тұрады

Қарастырылған жағдайлар қосылғыштардың бірдей қосындысы ретінде қарастырылады. Натурал сандарды жұптап қиылыспайтын ішкі жиынтыққа тең біріктірумен кӛбейтудің ӛзара қарым-қатынасына негізделген бұл тәсіл математиканың мектептегі курсындағы кӛбейту әрекетімен танысу негізінде құралады. Оқушыларға бірінші кӛбейткішті кӛрсетеді, қай санды «азайту» керек екендігін түсіндіреді. Ал екінші кӛбейтуде бұл санды неше рет азайтуды айтады. Мысалы:

3*5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Бастауыш сыныптарда кӛбейтудің мәнін ашуға мүмкіндік беретін мына есептерді береді.:

27 сурет

28 сурет

Кӛбейтудің мынадай қасиеттері бар: ауыстырымдылық (коммутативтік қасиет), терімділік(ассоциативті қасиет), үлестірімділік (дистрибутивті қасиет).

Ауыстырымдылықтың        қасиеті кӛбейтудің        орнын ауыстырғанымен теңдеудің мәні ӛзгермейді. Мысалы:2-3 = 3-2 Оқушылар бұл қасиетпен кӛбейту кестесін оқығанда танысады. Оқушыларға ойлау әрекетінің қолдану кӛмегімен мүмкіндік беретін кӛрнекі құралдарды таңдау керек (теңдеу, балама, жинақтау) ӛздігінше ереже қалыптасыруға, мысалы есептеуді жүргізуді топтап, бӛлшектердің қатардағы және бағанадағы саны бойынша пішіндерді орналастыру (27 сурет)

Терімділік қасиетте (теңдеудегі сандарды кӛбейту ережесі ) бірнеше кӛбейткіштен тұратын теңдеудің мәні теңдеу амалы жүретін қатарға байланысты емес, мысалы (4-3)-2 = 4-(3-2) бұл қасиет разрядты сандарды кӛбейтудің рационалды шығару үшін оқытылады. Мысалы,

8-300=8-(3-100) = (8-3) • 100=24-100=2 400. ережені түсіндіру үшін, кӛрнекі құралдарға сүйене отырып, есептеудің үш тәсілін қарастыру қажет: әрбір қатарында 2 теңгелік бірнеше монеталар жайылып, үш қатарға қойылады (28 сурет). Қатарлар бірінің астына біріне қойылғанда бірдей бағаналар пайда болады. Монеталардың құны бағаналар қатары мен саны кӛбейткіш болады. Осылайша бағаналар мен қатардың теңдеуін тауып, оған монеталардың құнын кӛрсететін санды кӛрсету керек: (3-5)-2 = 30. Келесі  тәсіл-монеталардың  құнын  кӛрсететін  санды  бағаналарға кӛбейтіп, алынған нәтижені қатарлар санына кӛбейтеміз: (2-5)-3 = 30. Тағы бір тәсіл – монеталардың құнын кӛрсететін санды қатарлар

санына        кӛбейтеміз        де,        алынған        нәтижені        бағаналар        санына кӛбейтеміз: (2*3)*5 = 30.

қосындыны санға кӛбейткенде (санды қосындыға кӛбейту) санға қосындыны кӛбейтіп немесе санға әрбір қосылғыштар және теңдеуді кӛбейту: a

*(b + c) = (a * b) + (a * c).

Бұл қасиет екі мәнді санды бір мәнді санға ауызша кӛбейту ептілігін қалыптастыру барысында оқытылады. Мәселен, 43 ті 6-ға кӛбейту үшін 43–ті разрядты қосылғыштар қосындысы ретінде алып, олардың әрбірін 6-ға кӛбейту керек:

43-6 = (40 + 3)-6 = 40-6 + 3-6 = 240+ 18 = 258.

Бұл қасиет екі мәнді санды жазбаша кӛбейту негізінде де болады (бұл туралы ары қарай қараңыз). Қосындыны санға кӛбейту ережесімен танысуды: «екі қыз шыршаға ойыншықтар жасады. Олар 4 қар бүршігі мен 3 жұлдызшадан жасады. Қыздар шыршаға қанша ойыншық жасады?» деген есеппен бастауға болады. Кейіннен шешу әдістерін салыстырып, қосындыны санға әртүрлі кӛбейтуге болатыны туралы санға сәйкес шығарады: қосындыны тауып алынған нәтижені санға кӛбейтеміз. Әрбір қосылғышты санға және нәтижеге кӛбейтуге болады. Санды қосындыға кӛбейту әдісімен танысуда дәл осылай жүргізіледі. Ауыстырымдылық қасиетін де қолдануға болады:

Бӛлу.

Бӛлудің компоненттері 29 суретте кӛрсетілген. Теориялық жиынтық кӛзқарасы бойынша сандарды бӛлу соңғы жиынтықты жұптауға теңестірілген қиылыспайтын ішкі жиынтыққа ұсақтаумен байланысты болып табылады. Екі жағдай кӛрсетіледі. Ұсақтаудың ішкі жиынтығында бӛлшек сандарды іздеу (бірдей бӛлшектерге бӛлу) және сондай жиынтықтардың сандарын іздеу (мазмұны бойынша бӛлу) математикалық әдістеме әдебиетінде бӛу кӛбейтуге кері амал ретінде қарастырылады. a

және b

a : b=c

бӛлуді мәні бойынша екі кӛбейтумен теңдеуінің мәнінің нәтижесінде оның біреуіне белгісіз кӛбейтуді табатын амал деп

29 сурет

атаймыз. Кӛбейту және бӛлу амалдары ӛзара байланысты және мұғалім алдында бұл байланысты нақты мысалдармен кӛрсету міндеттері тұрады. Келесі мынадай тапсырмалар бӛлудің мәнін ашуға мүмкіндік береді:

Бірдей бӛліктерге бӛлу («8 қаламды екі қорапқа бӛліп салыңыз»); Есеп заттай тәжіибелік әрекет кӛмегімен орындалады – оқушылар 8 қаламды әр қорапқа бір-бірден бӛліп салады. Осылайша барлық қаламды екі қорапқа салып біткенше жалғасады. Әрбір қорапта қанша қалам бар екенін анықтап, ӛздерінің әрекетін математикалық таңбалармен жазады: 8:2 = 4. Кейін 8 қаламда әр қорапқа 4-тен салады. Бірден 4 қаламды алып, бірінші қорапқа салды, кейін тағы сондайын алып екіншісіне салады. Сӛйтіп қораптың санын санайды. 8 : 4 = 2 деп жазады. Мұғалім 4 реттен қанша рет салғанда 8 болатынын түсіндіру керек. Кӛбейту мен бӛлудің компоненттер арасындағы ӛзара байланысты амал нәтижесімен кестелік жағдайын меңгеруге жақсы жағдай жасау үшін  үш  оқиға  кӛрсетіледі.  Бірінші  оқиға:        3  табақта  4  алмадан

барлығы 12 алма. Теңдеуді жазады: 4 • 3 = 12.

Ары қарай басқа оқиғаларды қарастырады: 12 алманы үш табаққа бӛлеміз   (12:3   =   4   теңдеуді   жазамыз);   12   алманы   табақтарға

әрқайсысына 4 алмадан салады. (12:4 = 3 теңдеуін жазамыз).

Жазуларды салыстыра отырып, теңдеулердің ұқсастығы мен айырмашылығын анықтаймыз. Егер теңдеуді кӛбейткішке бӛліп, екінші кӛбейткішке алатын болсақ, онда келесі жұмыс теңдеуді түсіндіруге әкеледі, суреттерге жазылған – немесе сол немесе басқа суретке сәйкес теңдеуді таңдауға апарады.

Оқушыларға осындай жағдайларды ұсынады. Осындай тапсырмаларды орындау барысында оқушылар кӛбейту мен бӛлудің арасындағы ӛзара байланысты сезінеді: :

Қосындыны санға бөлу ережесі төмендегідей:

Қосындыны санға бӛлу үшін осы санға әрбір қосылғышқа бӛліп, алынған нәтижені кӛбейту керек. Мәселен, 12 + 32 қосындысын 4-ке бӛлу үшін, оның мәнін тауып 4-ке бӛлу керек, сонымен қатар 4-ке әрбір қосылғышты бӛліп, бӛліндінің алынған мәнін қосындысын табу керек.

(12 + 32) :4 = 12:4 + 32:4 = 3 + 8= 11.

Қосындыны санға бӛлу ережесімен танысу үшін:(«8 қыз бен 6ұл ойнау үшін екі командағы тең бӛлінді. Әр командадар қанша баладан бар?» деген есепті беру керек. Есепті талдау барысында оқушылар шешудің әртүрлі тәсілін табады, оларды салыстырып қорытынды шығарады: қосындыны тауып алып, кейіннен алынған нәтижені санға бӛледі немесе әрбір қосылғышты санға бӛліп нәтижелерін қосуға болады. Оқушыларға егер ешбір қосылғыш санға бӛлінбейтін болса, оның қосындысы санға бӛлінеді. Мысалы:

30 сурет

(7 + 8): 5 = 15:5 = 3 , 7- де 8- де 5-ке бӛлінбейді. Бірақ санға тек бір қосылғыш бӛлінетін болса, онда қосынды бұл санға бӛлінбейді. Мысалы: (10 + 8) :5 – бұл жерде жауапта толық натурал сан шықпайды, себебі 10:5 = 2. болса да 18 саны 5-ке бӛлінбейді. Бұл ереже бӛлудің кестеден тыс түрінде қолданылады.

56:4 = (40+16) :4 = 40:4+16:4 = 10+4 = 14.

Теңдеуді санға бөлу ережесі.

Теңдеуді санға бӛлу үшін кӛбейтудің бір санын бӛліп, алынған нәтижені келесі кӛбейткішке кӛбейтеміз. Мысалы, 14 және 13 сандарының теңдеуін 7-ге бӛлу үшін, 14 пен 13 теңдеуінің мәнін табу керек. Кейін алынған нәтижені 7-ге бӛлу керек немесе кӛбейткіштердің бірін 7-ге бӛліп,  алынған нәтижені келесі кӛбейткішке кӛбейту керек.

(14• 13) :7 = (14:7) • 13 = 2• 13 = 26.

Бұл ереже екі мәнді санға бӛлуді оқытуда қоланылады. Мұнан бӛлек ережені қолдана білу оқушыларға жоғарғы сыныптарда бӛлінгіштік кӛріністі меңгеруге кӛмектеседі.

Бірінші жағдайда ұзындығы 12 см кесіндіні 6 бірдей бӛлікке бӛледі, екіншіде осындай кесіндіні алдымен 2 бірдей бӛлікке бӛледі, сосын 3-ке бӛледі. Үшіншісінде кесіндіні 3 бірдей бӛлікке бӛледі, кейін әрбірін 2бӛлікке бӛледі. Алынған суреттерді салыстырып және олар ұқсас немесе айырмашығы қандай екенін анықтай отырып, оқушылар теңдеуге бӛлуді әртүрлі тәсілдермен жүргізуге болатыны туралы қорытындыға келеді: санды теңдеуге бӛлу немесе санды кӛбейткіштердің біріне бӛліп, алынған келесі кӛбейткішке бӛледі.

Айырманы санға бөлу ережесі.

Бастауыш сыныптардағы математика бағдарламасына кірмейді, бірақ бұл амал балама бойынша қосындыны санға бӛлумен бірдей орындалады. Оқушыларды кӛбейту мен бӛлу амалдарының қасиеттері және мәнін таныстыруды мынадай: бақылау, салыстыру, жағдайды талдау және сәйкес математикалық жазбаларжұмыстарын ұйымдастырған маңызды

Қҧзіреттіліктің шектік деңгейі

а) кӛбейтудің ауыстырымдылық қасиеті; б)кӛбейтудің терімділік қасиеті; в)кӛбейтудіңүлестірімділік қасиеті?

Үш қораптың әрқайсысында 6 данадан қалам бар.Барлық қорапта қанша қалам бар?

Б. 3 тӛртбұрыш, ал шеңбер 2-ге кӛп. Қанша шеңбер бар?

31 суреттегі кӛріністен  2 • 7 и 7 • 2 жазбасына сәйкес келетінін таңдап алыңыз. Г.        Есепті        шығармас        бұрын,        15        •        9        және        15        •        8        есептерді салыстырыңыз.

Бұтақта 5 торғай отыр. Оның 2-уі ұшып кетті. Бұтақта қанша торғай қалды? Б. Бірінші сӛреде 7 кітап, ал екіншісінде 2-ге аз. Екінші сӛреде қанша кітап бар?

Бірінші сӛреде 7 кітап бар, екіншісінде 5 кітап бар. Бірінші

(екінші) сӛреде қаншаға кӛп (аз)?

31 сурет

Кӛбейту амалдарын орындай отырып, бӛлу амалын орындаңыз (5 • 8 = 40 и 40:5 = ... және т.б.).

Б. 7 • 3 мысалы бойынша бӛлу амалына екі мысал құрастырыңыз.

9, 2, 18 сандарын пайдаланып кӛбейтуге екі мысал және бӛлуге екі мысал құраңыз..

Орындалған        әрекеттерді        талдау        және        жиынтық        сандарды салыстыру негізінде мәнін ашуда; Б)        практикалық        және        арифметикалық        тәсілдер        арқылы тапсырмаларды шешуге оқыту;

Математикалық        таңбадалардың        жазылуы        мен        ұсынылған таңбаларды талдау?

Қҧзіреттіліктің тәжірибелік деңгейі

32 сурет

А. Есепте (30+ + ...) :5нүктенің орнына 5 санына бӛлінуі үшін қандай сан қоюға болады?

Талқылау: «Нүктенің орнына 5 санына бӛлінетінкез келген сандарды, 5,10 сандарын қоюға болады». Б. Қосылғыштар разрядының қосындылары түріндегі 66 алайық.Қосынды қандай сандарға бӛлінеді?

Byrle.z.ep Mee oerrweіcTep

:іaJіbl3. 6,

і:?

® l

...k

e . o

..o... ,

K,OCb lH

,l:(bІJіap

8-3 =

6yr іH , an:

u

6enІІІeKTepі

-...і Vo

Erep oіp

bІ

na , TeK

cep.

A3aHfbІІІІTap-6¥JІ        oyrіH , an:

olіnaHMhІH.

5-2 5-3 5-

5-

34 сурет

В. Ӛрнектерді салыстырыңыз: (40 + 8):4 және 40:4 + 8; (40 + 8):4 және 40:4 + 8:4.

Талқылау: «Ӛрнектің мәнін тауып, салыстырыңыз: (40+8):4=12; 40:4+8 = 18, сонымен (40+8):4 <<40:4+8, оң жақтағы ӛрнектің мәні 8 саны 4ке бӛлінген жоқ. Ӛрнектің мәнін табайық. 40:4+8:4 = 12. Салыстыру мынаны кӛрсетеді (40+8):4 = 40:4+8:4. Бұл қосындының санға бӛлінуі».

Қҧзіреттіліктің жоғарғы деңгейі = 8:2+6:2=4+3 = 7, есептеу тәсілдерін салыстырып, шешімін былайша шығарды, қосындыны санға екі тәсіл арқылыбӛлуге болады: қосындыны тауыпсанға бӛлу керек немесе әрбір қосылғышты бӛліп берілген санға бӛліп, нәтижесінде шыққан санды қосу. Кейін мұғалім әртүрлі тәсілдермен тапсырманы орындауды ұсынды: «8 балажәне 6 қыз екіге бӛлініп, 2 команда болып ойнады.Әр командада қанша балалар болды?» Мұғалімнің түсіндіргені дұрыс па? Ол оқытудың қандай әдісін қолданды, оқушылардың білімін қалыптастыру үшін тағы қандай әдістерді қолдану қажет? Берілген есепті түрлі әдістермен орындап, шешу барысын түсіндіріңіз. нәтижелерді салыстырып қосындыны санға кӛбейту ережесін сол әдіспен түсіндірді. Басқа мұғалім оқушыларға бірнеше тәсілмен шығаруға мәтіндік есеп берді: «Екі қораптың әрқайсысында 5 кӛк және 3 қызыл қалам бар. Екі қорапта барлығы қанша қалам бар?». Ол содан кейін шешімдерді салысытырып, сәйкес келетін ережені түсіндірді. Мұғалімдердің әдістемелік амалдарын талдаңыз.

(дұрыстылық      пен      оңтайлылық      тәрбиелік,        дамытушы тапсырмалардың шешу мүмкіндігі)

бағытталған:

Алғашқы ондықтың сандарын қосу мен азайтуды оқыту барысында пәндік тәжірибелік, кӛрнекілік және құралдармаңызды роль атқарады. Оларды сабақтың мақсатымен тапсырмасына сәйкес сонымен қатар, бастауыш сынып оқушыларын жастық ерекшеліктіре мен деңгейіне байланысты дайындауда таңдайды. Жеке-таратылатын және кӛрсетілетін кӛрнекі құралдарды қолдануға болады: заттар (ойыншықтар, нақты заттар), әртүрлі нақты заттарды бейнеленген суреттер, абак есепшоттары, геометриялық пішіндер жиынтығы т.б. Мұнда оқушылар таратылған дидактикалық материалдармен ӛздігінен тәжірибелік амалдарды  орындағаны  маңызды. Бірінші сыныптағы математика сабағында заттық жиынтықпен нақты іс- әрекетті орындауға бағытталған, бұл амалдардың қатынасы қосу және

а± 1 түрінде болады. Берілген есептеу әдісінің негізінде натурал қатарда сандарды құрау қағидасы жатыр ( сандардың натурал қатарының қасиеттерін білу): әрбір келесі сан алдыңғы саннан бірлікке жоғары, ал әрбір сан келесіден бірлікке аз. Берілген түрдің есептеуін оқушылар егер бірлікті қоссақ, онда келесі берілген сан шығады, егер бірлікті алсақ алдыңғы берілген сан шығатынын меңгереді. Бұл әдісті кӛрсету барысында қажетті кӛрнекі құралдар сандық басқыш – сызғыш және сандардың натурал қатарының ӛзгеше бейнелері. Берілген теңдеудің мәнін анықтауда сызғышты қолдану барысында оқушы санның орнын механикалық түрде анықтап және одан алдыңғы немесе келесі санға онға немесе солға «қадам» жасағанын жасамау керек. Берілген сан алдыңғы сандардың (ӛзін қосқанда) жиынтық санының сипаттамасы екенін олардың түсінгені маңызды. Сызғыштағы әрбір сан ол қосып азайтатын сантиметрлердің нақты анықтамасына сәйкес болу керек (37 сурет). Сондықтан заттай тәжірибелік кӛрнекі құралдарды пайдаланған ыңғайлы, мысалы, мұғалім шеңберді кӛрсетеді, оқушылар оны санайды, содан соң мұғалім тағы бір шеңберді қосалды да қанша шеңбер болғанын сұрайды( яғни қосу амалын орындайды); дәл осылай Санап шығу амалы да орындалады (38 сурет). Амалдың жолдары мен нәтижесі арифметикалық есеп түрінде жазылады. Санап шығу амалы оқушылардың орындауы қиындық соғатыны ескеру керек, себебі, бұл заттай тәжірибелік тұрмыстық жағдайлармен байланыспаған. Осыған байланысты біртіндеп санайтын амалдарды орындайтын жағдайды қолданған тиімді. Мысалы, тек қана 9 және 10 орындары белгілі залдағы орынның ретін табу.

37 сурет

38 сурет

а

а±

Бірлікті азайтып және қосып санау әдісі берілген жағдайларды қосу және азайтумен танысу кезіндегі дайындық кезеңінде қарастырылады. Ары қарай а+

1 + 1; а 1 – 1 түріндегі есептер беріледі. Әрбір ретте оқушының назарын бар болғаны екіні қосып азайтқанына назарын аудартып отыру қажет. Былайша талдаймыз: «3-ке 1-ді қостық. Сӛйтіп келесі 4 санын аламыз. 4-ке бірді қосып 5-ті аламыз. Бар болғаны 3-ке 2 бірлікті қосып5-ті аламыз» . а±1 есептеу жағдайындағы әдіспен танысудағы кӛрнекі құралдарды қолдануға болады. Бұл заттай кӛрнекілік құралдар сандардың натурал қатары түрімен тәжірибелік амалдарды орындауға арналған. а±2 түріндегі мысалдарды да сандар құрамын туралы білімге сүйене отырып шешуге болады. Сандардың құрамын оқушылар екі заттай жиынтықты біріктірген кезде сонымен қатар, жиынтықты ішкі жиынтық бӛлшектеу барысында бӛлшектеу және оның элементтерін сану барысында меңгереді. Санның құрамын меңгергеннен кейін оқушылар қосу мен амалға арналған арифметикалық есептерді құрастырып шешуге кірседі. Оқушыларға қосындының қалып кеткен компонентін қоюды талап ететін жаттығуларды орындау оңай болады. Мысалы, 3 дегеніміз 1мен 2-ден тұратынын білген оқушы, 4 арифметикалық есепті құрып шеше алады: 1 + 2; 2+1; 3 -1; 3 – 2 осылайша 1 және 2-ні қосып, қосылғыштарды ауыстырып, 2 мен 1-ді қосып, одан кейін 3 санына 1 санын алып, одан кейін 2-ні алып, 3 саннан 2-ні алыпбір санын шығарамыз. Ӛзара байланысты жағдай сандарды сараптап, амал нәтижесімен компоненттерді салыстыруға мүмкіндік береді. Санның құрамын механикалық жаттаудан қашу үшін заттар жиынтығының біріктірумен алуды қажет ететін практикалық жұмыстарды орындау

керек. Ондай жаттығулар арифметикалық амалдар қосу мен алумен тікелей байланысты. Сондықтан сандар құрамын қаратыру ғана емес, сандармен арифметикалық амалдарды орындау және меңгерілген білімді қолдана отырып, арифметикалық амалдарды шешу де маңызды. Үш пен тӛртті қосу да, дәл осындай амалмен жүргізіледі. Кӛрнекі құралдардың кӛмегімен бұл сандарды қосу және азайтудың әртүрлі тәсілдері кӛрсетіледі: мысалы: 5 + 4=5+1 + + 1 + 1 + 1= 9; 5 + 2 + 2 = 9 Бұл жағдай оқушыны жақшасыз жағдайдағы ӛрнекті орындау амалының тәртібімен танысып, оның қосу амалының қасиетін меңгеруге мүмкіндік береді. а

+ 5 (6, 7, 8, 9) есептеу тҥрі. а+5 (6, 7, 8, 9) түріндегі мысалдарды шешу үшін қосудың ауыстырымдылық қасиеті негіз болады. Сондықтан алдымен оқушыларды қосудың ауыстырымдылық қасиетімен таныстырады. Егер оқу бағдарламасы бұл қасиетті а+2 (3, 4) түріндегі есептерді шешу үшін қолдануды қажет етсе, (санның құрамы негізінде) онда қасиетпен танысу бұрын болады да,берілген кезеңде ол қайталанады. Алынған білімді жинақтау кезеңінде оқушылар мұғалімнің жетекшілігімен он шегіндегі қосу кестесін құрастырады (39 сурет). Кӛптеген бағдарламада қосу мен азайтудың кестелік жағдайын жатқа білудің қажеттілігі айтылады. Бұл мақсатқа жету үшін әрбір сабақта түрлі жаттығулар енгізу ұсынылады. Мұнда оқушылардың: ауыстырымдылық қасиетін пайдалану, жаттап алу қажет жағдайлардың санын екі есеге қысқартады.

а-5 (6, 7, 8, 9) есептеу тҥрі. а-5 (6, 7, 8, 9) түріндегі жағдай үшін азайту амалын оқыту негізіне оқушылардың қосындымен қосылғыш арасындағы ӛзара байланысы сонымен қатар, қосылғыштардан тұратын сандардың құрамын білу туралы біліміне байланысты болады. Дайындық кезеңінде 10 шегінде қосылғыш сандардың құрымын бекіту бойынша жұмыс жүргізіледі. Жаңа тәсілді ендіру алдында оқушылар қосу және азайту арасындағы ӛзара байланыспен танысады. Жұмысты кӛрнекілікпен бастауға болады. 4 қызыл және 3 кӛк үшбұрышты алып , үшбұрыштың барлығы қанша екенін тауып, берілген кӛрнекілікке ӛрнекті жазу керек. 4 + 3 = 7 кейін 7 үшбұрыштан 3 кӛкті алып тастау керек.

Соңында 4 қызыл қалады. (39 сурет)

39 сурет

4 = 3 мысалдарын салыстыру, оқушыны: егер қосындыдан бір қосылғышты алып тастасақ, келесі қосылғыш шығады деген қорытындыға алып келеді. Қорытынды түрлі тапсырмаларды орындаған соң кестені толтырумен жүзеге асады. Берілген ӛрнектің мәнін табу мен танысу бойынша мысал келтірейік, мұғалім 9 – 7 ӛрнегін шешуді тапсырады, оқушылар оны азайтуды бӛлшек бойынша орындау әдісімен шешеді: 9 - 3 - 4; 9 - 2 – 5 және т.б. мұғалім теңдеуді шешудің бұдан да ыңғайлы жолын ұсынады. «9 санын 7 мен 2 санының қосындысымен ӛзгертеміз. Егер қосындыдан қосылғыштың біреуін азайтатын болсақ, онда келесі қосылғышты аламыз» былай жазылады.

9-7 9 = 7 + 2 9-7=2.

Кейбір оқушылар үшін бұндай пайымдау қиындық тудырады, ал бәрінен де оңай қабылдау түрі мынадай:

5 кесте

қосылғыш

«9-дан        7-ні        азайту        үшін,        9        шығу        үшін        7-ге        қосатын        санды

таңдауымыз        қажет».        Осылайша        берілген        есептеу        әдісінде        азайту амалының мәні жатады.

амалдарын орындаудың ережесін меңгеру үшін заттай практикалық оқиғаны құрау және оның математикалық жазбамен сәйкестігі кӛмектеседі. Мысалы: «Катяның бір қалтасында 2 конфет бар, екінші қалтасында конфет жоқ. Катяның екі қалтасында неше конфет бар?». Оқушылар 2 конфет деген жауапты біледі, бірақ математикалық жазба жасау кезінде тиісті белгі мен санды таңдай алмай қиналады. Осындай түрдегі есептерді шешу және талдау жаттығулары қажет.

3.2.2. Екінші ондық сандарды қосу және азайту.

Осы тақырып бойынша тапсырмаларды оқыту келесі бағыттар бойынша жүзеге асырылады: Азайту мен қосу амалдарын екінші ондық сандардың нӛмірлері білу негізінде (мәселен, 10 + 5 = 15, 15 - 5 = 10, 14+1, 15 -1) оқушылар нӛмірлерді тікелей оқуды игереді. ( 2.3 бӛлімді қараңыз).

Разряд арқылы ӛтпейтін қосу  мен азайту арқылы.

Екінші ондықтардың шегінде разряд ӛтпейтін қосу мен азайту арқылы оқытуда келесі жағдайлар қарастырылады:бір мәнді және екі мәнді сандарды қосу; екі мәнді сандардан бір мәнді сандарды азайту; 20 қосындысын алу үшін 20 бір мәнді санынан азайту; екі мәнді саннанекі мәнді санды азайту.

Екі мәнді және бір мәнді санды қосу үшін екі мәнді санды разрядты

қосылғыштар қосындысы ретінде алып, ұсынудың терімділік қасиетін қолдану керек, бірліктің қосындысын тауып, кейін оны ондыққа қосу керек. Мысалы:

15 + 3 = (10 + 5)+3 = 10 + (5 + 3) = 10 + 8 = 18.

Егер бір мәнді санға екі мәндіні қоссақ, онда алдымен қосудың ауыстырымдылық қасиетін қолданып, кейінен қосуды келтірілген алгоритм бойынша орындаймыз. Егер бағдарламада қосудың терімділік қасиеті қарастырылмаса, онда айқындалмаған түрде қолданады. Яғни оқушыларға: «бірліктерді бірліктермен қосып, кейін ондықты қосамыз» ережесі айтылады. Берілген алгоритм негізінде қосындыға санды азайту ережесі болса да, оны оқушыларға айтпаймыз. Оларға разрядты бірліктерді азайту ережесін айтамыз: «бірлікті бірліктен азайтып, ондықты қосамыз, мысалы, 14 - 3 = (10 + 4)-3 = 10 + (4 - 3) = 10+1 = 11». Қосындыдан 20-ны азайту жағдайымен 20-дан бір мәнді азайту жағдайын бӛлек қарастыру қажет. Берілген жағдайлардың алгоритмін талдау оқушыларды екі мәнді сандардың қосу және азайту әдістерін оқытуға дайындайды. 20 қосындысын шығару үшін екі мәнді санға бір мәндіні қосу қиындатылады, ондықты қосу жағдайы пайда болады. Мысалы:

14 + 6 = (10 + 4)+6= 10+(4 + 6) = 10+10 = 20.

Егер оқушылар бағдарламаға сәйкес разрядты ондықты қосуға әлі кіріспеген болса, оларды осы әдіспен бӛлек таныстыру қажет. 20-дан бір мәнді санды азайту үшін, 20-ны 10 мен 10-ның қосындысы ретінде алу керек, бір ондықтан санды азайтып, азайтқанда алған санмен қалған ондықты қосу керек. Мысалы:

20 - 6 = (10 + 10)-6 = 10 + (10 - 6) = 10 + 4= 14.

Оқушылар жүз шегіндегі сандармен танысқанда осы алгоритм разрядты ондықтан бір мәнді санды азайту кезінде қолданылады. Екі мәндіден екі мәндіні азайту мынадай тәсілдермен орындалады: азайтылатын санды разрядтты қосылғыштардың қосындысы ретінде аламыз, ары қарай әрбір қосындыны азайтамыз., мысалы:

Қосу мен азайтуды разряд арқылы ӛтпейтін 20 шегінде орындау разрядтты  қосылғыштардың  қосындысын  сандарға  жіктеуді  талап

етеді. Бұл математикалық жазбаны барынша қиындатады, сондықтан кӛптеген әдіскерлер сызбаны қолдануды рұқсат етеді. Разрядты қосылғыштардың қосындысына бӛлетін саннан тӛменге екі бағыт жібереміз. Оның астына разрядты қосылғыштарды жазып, жазба үлгісінде берілген кезеңді ӛткіземіз:

14 - 3 = 10 + (4 - 3) = 10+1 = 11.

10        4

Разряд арқылы ӛтпейтін ондық шеңберінде қосу мен зайтуды оқыту барысында кӛрнекі құралдарды разрядты бірліктерді қосу және азайту ережесін кӛрсету мақсатында таңдайды: ондықтарды, ондықтармен жинайды  (ондықтардан  азайтылады), бірліктерді бірліктермен жинайды (бірліктерден азайтылады) , бұл заттай кӛрнекі құрал болуы мүмкін (бумаға байланған таяқшалар, жеке таяқшалар; 10-нан біріктірілген шеңберлер тізбесі және т.б.) және санның қандай разрядты қосылғыштан тұратыны кӛрсететін сызбалық кӛрнекі құрал.

Ондық арқылы ӛтетін бір мәнді сандарды қосу мен азайтудың кестелік жағдайын оқыту тәжірибесінде ерекше кӛңіл бӛлінеді, себебі бұл алгоритмді  игеру оқушыларға барынша қиындық тудырады. Дайындық кезеңінде оқушыларды толықтыру әдісімен таныстырады, яғни «10-ға дейін толтыр» тапсырмасын орындайды. Оқушы 8 санын 10-ға дейін толтыратын болса – бұл санды 8-бен қосқанда 10 шығатын санды таңдайды. Сонымен қатар, оқушылар екінші ондықтың сандарының ретін білу негізінде қосу мен азайтуды орындайды. Мысалы,

10 + 5 = 15, 15 - 5 = 10, 14+1, 15 -1.

Мұнан бӛлек оқушыларға бірінші ондық шеңберінде сандардың реттілігі мен арифметикалық амалдар алгоритмі туралы білімін қолдануға мүмкіндік беретін мысалдарды ұсынады:

6 + 4 + 5= 10 + 5 = 15;        15 - 5 -1 = 10-1 = 9.

Бұл жерде мынадай талқылау болуы мүмкін: «15 бұл 10 және 5 , 5- ке азайтамыз 10 шығады. 10-нан бірлікті азайтамыз сонда алдыңғы сан 9 шығады». Ондық арқылы ӛтумен бір мәнді санды қосу және азайту әдістерімен танысу барысында кӛрнекі жинақ кенебін ұсынылады. Онда мұғалім разряд арқылы ӛтетін бірмәнді санды қосу мысалын кӛрсетеді, мысалы, 9+4: жоғары сӛреге 9 қызыл кесе қояды. Тӛменгі сӛреге 4 кӛк кесе. Содан кейін 4-дің бреуін жоғарғы сӛреге қояды. Жоғарғы сӛреде 10 кесе , тӛменгі сӛреде 3 кесе болады ( барлығы13 ). Мұнан соң мұғалім талдауды жазуды ұсынады, яғни тәжірибелік жағдайды математика тіліне аударады:

9 + 4=9 + (1 + 3)= 13.

Сонымен қатар, ондықтың кӛрнекі және жеке тарату үлгілерін мақсатты түрде қолдану керек. Үлгіміз бұл 10 шеңбер суреті салынған үшбұрыш болып табылады. Оған бір түсті 10 шеңбер тіркеседі. Екі үлгіні алып, оған біртүсті 10 шеңбер және басқа түсті тағы 10 шеңбер аламыз. Бірінші үшбұрышқа бірінші қосылғыш қанша кӛрсетсе, сонша шеңбер саламыз, келесісіне (жиектерін жаба отырып) басқа түсті екінші қосылғышта қанша кӛрсетілсе сонша кӛлемді басқа түсті шеңберлерді саламыз.

40 сурет

Мұндағы талқылау жинақ кенебіндегі тәсілдегідей жүргізіледі. Ондық үлгілерін пайдалану оқушыларға алдымен 10-ға дейінгі бірінші қосылғышты қосып, бұл үшін ыңғайлы қосылығш қосындысына екінші қосылғышты бӛлшектеу керек екендігін бірден анықтауға мүмкіндік береді. Бұл әдісті игеру үшін  оқушылар амалдың ретін есте сақтау қажет. Сан құрамын бӛлшекетудің қажетті жағдайын  таңдауды  игеріп,  екінші  ондық  шеңберінде  разрядты

қосылуды орындап, 10-ға дейінгі бір мәнді санмен толықтыруды есінде сақтау керек. кейін 10 арқылы ӛтетін бір мәнді сандарды қосу кестесі жасалады:

9 + 9= 18; Бұл жерде әрбір кесте неліктен бірдей қосылғыштарды қосумен аяқталатындығын және кестені неге жалғастыру керек емес екеніне назар аудары керек. Егер бірінші қосылғыш екіншіден кӛп болған жағдайда ауыстырымдылық қасиетіне қолданамыз. Кестелік жағдайды есте сақтау баяу жүреді, сондықтан бірдей қосылғыштарды қосу жағдайынан бастау ұсынылады:

6 + 6, 7 + 7, 8 + 8, 9 + 9.

Бірдей қосылғыштардың қосу нәтижесін қолдана отырып, басқа қосылғыштардың қосындысын табамыз.Мысалы:

6 + 6= 12, 6 + 7 = 13.

Бұл жердегі талқылау былай болады: «6-ға 6-ны қосамыз. 12 шығады. 6-ға 7-ні қосамыз: 7 саны 6-дан 1 сан артық болғандықтан , онда 6 мен 7-нің қосындысы да үлкен болады 6 + 7 = 13». Бірмәнді санды азайту әдісі (мысалы, 17 - 9) қосылғыш пен қосындының ӛзара байланысына негізделген.: «17- бұл 9 бен 8. 9-ды азайтамыз 8 шығады.

Сонымен қатар, саннан қосындыны азайту әдісі де қолданылады:

Бұл

17 - 9 = 17 - (7 + 2) = 17 - 7 - 2 = 8. жағдайда азайтылатын қосындыны азайтылатын разрядты бірлік санына тең ыңғайлы қосылғышпен ауыстырамыз. Разряд арқылы ӛтетін азайтуды оқыту барысында кенеп жиынтығы ондық моделдерін қосудағыдай қолданамыз. Алдымен азайтылатын қанша кӛрсетсе, сонша шеңбер аламыз. Ондық үлгіні қолдану барысында 2 үшбұрышқа орналасады. Кейіннен  10 қалу үшін қанша алу керек болса, сонша шеңберді алып тастаймыз. Үлгіде екінші үшбұрышта қанша шеңбер алып тастау керектігі кӛрсетілген. Кейіннен азайтылатында қанша кӛрсетілсе, сонша шеңберді алып тастау қажеттігіне орай шеңберлерді тағы да алып тастаймыз ( 41сур). Орындалған тәжірибелік жұмыстан кейін математикалық жазбаны жазамыз.

3.2.3 Бірінші жҥздік сандар шегінде қосу мен азайту

Бірінші жүздік сандар шегінде қосу мен азайту        келесі міндеттерді шешугебағытталған: Бірінші жүздік сандар шегінде қосу мен азайтуды қарапайымнан мейлінше күрделі түрін келесі үлгіде орналастыру:

Нӛмірлеуді оқытуға негізделген қосу мен азайту амалдары Бірінші жүздік сандар шегінде қолданылған сол кӛрнекі құралдармен орындалады (таяқшалар, бумалармен қатысты, разрядтар кестесі және т.б). Оқушылар бірінші ондық шеңберіндегі қосу мен азайту туралы білімін қолдануды бірліктер жеке сан емес, екі мәнді санның разрядты құрамына кіретін жаңа жағдайды игереді. Амал компоненттерін талай отырып, келесі жұп мысалды ұсынуға болады

5+1, 25+1; 5-1, 25-1.

Ондық бірліктерді қосу және азайту бір мәнді сандарды апарады. Таяқшалар бумасын (бумаға байланған 10 таяқша) біріктіру мен азайтуды орындай отырып, оқушылар ондықтарды бірліктер сияқты қосып және азайтуға болатындығына кӛзі жетеді. Оларға мысалдардың келесі тобын шешу ұсынылады.

3+ 2, 3 д.+2 д., 30 + 20; 3-2, 3 д.-2 д., 30-20.

Разрядты ондықтың екі мәнді санына екі мәнді санды қосу және азайту разрядқа ӛтпейтін екі мәнді және бір мәнді сандарды қосу мен азайту оқушыларды екі мәнді санды қосу мен азайту , ауызша алгоритмін меңгеруге дайындайды.

Оқушылардың талқылауы тӛмендегідей болуы керек:

А. 54-ке 30-ды қосады.54 саны 5 ондықтан және 4 бірліктен тұрады.5 ондыққа 3 ондық және 4 бірлік қосамыз. Сонда84 шығады.

Б. 74-тен 30-ды азайтамыз. 74 саны7 ондық пен 4 бірліктен тұрады. 7  ондықтан  3  ондықты  азайтамыз,  сонда  4  ондық  және  4  бірлік қалады. Сонда 44 шығады. Содан соң оқушылар разрядтар арқылы ӛтпейтін бір мәнді және екі мәнді сандарды қосу мен азайтуды меңгереді:

Оқушылардыңталқылауы тӛмендегідей:

А. 74-ке 3-ті қосамыз. 74 саны 7 ондық пен 4 бірліктен тұрады. 4 бірлікке 3 бірлікті қосамыз және тағы 7 ондықты. Сонда 77 болады. Б. 74-тен 3-ті азайтамыз.74 саны 7 ондық пен 4 бірліктен тұрады. 4 бірліктен азайтылатын 3-ті аламыз, сонда 1 қалады. Алынған санды 70-ке қосамыз, 71 болады. Берілген мысалдарды орындаудың негізінде - қосудың терімділік қасиеті және қосындыдан азайту әдісі әдістемелік әдебиетте разрядты бірліктерді қосу мен азайту әдісіне сүйену ұсынылғанына қарамастан: ондықтар ондықтармен біріктіріледі, (ондықтардан азайтылады) бірліктер бірліктермен біріктіріледі (бірліктерден азайтылады). Жазбаның үлгілі түрін қолдануға болады.

74- 3 = 70 + (4- 3) = 71;        74 + 3= 70+(4+3) = 77.

70        4        70        4 Ары қарай разряд арқылы ӛтпейтін екі мәнді санды қосу және азайту әдістері меңгеріледі. Енді амалдың бірінші емес екінші компонентін разрядты қосылғыштардың қосындысы түрінде алып, ары қарай амалды бірінші ондықтармен, кейін разрядты бірліктерді қосу және азайту әдістерін қолдана отырып, бірліктермен орындау керек:

А. 74-ке 23-ті қосамыз. Екінші қосылғыш 23 саны 2 ондық пен 3 бірліктен тұрады. Алдымен 74-ке 20-ны қосамыз, кейін тағы 3 санын қосамыз, сонда 97 болады. Б. 74-тен 23-ті азайтамыз. Екінші азайғыш 23 саны 2 ондық пен 3 бірліктен тұрады. 74-тен алдымен 20 –ны, кейін 3 санын азайтамыз, 51 болады

Қосындысы разрядты сан шығатын екі мәнді санды бір мәндімен немесе екі мәнді санмен, сонымен қатар, разрядты санман бір мәнді немес екі мәнді санды оқыту барысында амал бірліктермен орындалып, бірақ ондықтар кӛлемі ӛзгеретінін кӛрсету қажет. 36 + 4, 36 + 24 түріндегі мысалдарда бірліктердің қосындысы 10-ға тең, бұл ондықты ондықтарға қосу қажет.

Екі мәндіні бір мәнді санды разряд арқылы ӛтпейтін қосумен екі мәнді санды разряд арқылы қосуда да дәл осылайталқылау жүреді. 40 – 6 түріндегі азайтуды орындай отырып 40 санын (30+ 10) сандырының қосындысы түрінде беріп, мұнан ондықтың ішіндегі азайтылатын қажетті бірлік кӛлемін (6) азайтамыз.

Разряд арқылы ӛтпейтін екі мәнді саннан бір мәнді санды азайту біреуі 10 болатын ыңғайлы қосылғыштардың қосындысы түрінде қосындысы түріндегі айырмашылығымен беріліп, дәл осылай талқылау жүреді. Екі мәнді санды азайту барысында азайтқыш разрядты ондықты азайту кезеңі қосылады және мындай алынған азайғыш разрядты қосылғыштардың қосындысы ретінде беріледі.

Оқушылардыңталқылауы тӛмендегідей: «60-тан 27  азайтқышты алу үшін , 27 санын (20+ 7) қосылғыштар санының разрядымен алмастыру керек және 60-тан қосылғыштарды азайтамыз. 60-тан 20- ны азайтамыз, 40 қалады, енді 40-тан 7-ні азайтамыз. Ол үшін 40-тан «қарызға» ондық аламыз, 40-ты 30 бен 10-ның қосылығыштарының қосындысы ретінде елестетеміз, 10-нан 7-ні , 30 бен 3 қалады, барлығы 33» Берілген екі мәнді сан түрлерін қосу және азайту жағдайларында дәл осы амалдың екінші компоненті разрядты қосылғыштардың қосындысы түрінде беріп, ары қарай амалдарды алдымен ондықтармен кейін бірліктермен орындаймыз. Разряд арқылы ӛтетін екі мәнді сандарды қосу мен азайту оқуышларға барынша қиындық тудырады. Себебі, мысалдағы амалдар саны барынша кӛбейеді. Сондықтан разрядқа ӛту арқылы бір мәнді санды қосудың тұрақты

дағдысына жету мақсатын қойған дайындық кезеңіне және екі мәнді саннан разряд арқылы ӛтетін бір мәнді санды азайту мен разрядты сандарды қосу мен азайтуға баса мән беру қажет. Алдымен екі мәнді және разряд арқылы ӛтетін бірмәнді сандарды қосу мен азайту орындалады:

Оқушылардыңталқылауы тӛмендегідей:

А.74-ке 9-ды қосамыз. Бірінші және екінші қосылғыштар бірлігінің қосындысы оннан кӛп, сондықтан екінші қосылғышты біртіндеп қосамыз. Ондықты бүтін алу үшін 74-ке 6 –ны қосу керек, сондықтан екінші 9 қосылғышын 6 мен 3-тің қосылғыштар қосындысының тиімді түрі ретінде қарастырамыз. Алдымен 74-ке 6-ны, кейін 3-ті қосамыз. Сонда 83 шығады. Б.74-тен 9-ды азайтамыз. Азайғыш бірлігінен азайтқыш бірлігін кемітуге болмайды, сондықтан бӛлшектеп азайтамыз.Бүтін ондық алуымыз үшін, 74-тен 4-ті аламыз, азайтқыш 9-ды 4 пен 5-тің қосылғыштар қосындысының тиімді түрі ретінде қарастырамыз. 74- тен алдымен 4 –ті, кейін 5 санын азайтамыз. Сонда 65 болады. Разряд арқылы ӛтетін екі мәнді санды қосу (азайту) мысалының толық кӛпсатылы жазбасында: амал компоненттерін жіберіп алу, («тең», «қосу», «азайту»белгілер) сияқты қателіктер жиі болады. Сондықтан(толық қандай разрядты және ыңғайлы қосылғыштарға қоюға болатыны санның астына кӛрсетілген жазба) сызбалы жазбасын қолдануға болады. Алгоритмді қателіксіз қолдана білетін оқушыларға жауапты бірден жазуға рұқсат етуге болады. Алайда оқушылар мысалды шеше отырып, әрбір амалдың жолын айтып отыратын толық кӛп сатылы жазбадан мүлдем бас тартуға болмайды, бұл жүйелі қалыптасуды орындауды талап етуге, сонымен қатар ойлаудың реттеуші қызметін дамыту, жоспарлай білу  және ӛз қызметін бақылай білуге дайындайды. Мысалдың толық жазбасы тӛмендегідей болуы мүмкін: 34 + 28 = 34 + 20 + 8 = 54 + 8 = 54 + 6 + 2 = 62;

74 - 28 = 74 - (20 + 8) = 74 - 20 - 8 = 54 - 8 = 54 - 4 - 4 = 46. Азайту мысалының келесі үлгілі сызбасын қолдануға болады: 74 - 28 = 74 - 20 - 8 = 54 - 8 = 54 - 4 - 4 = 46.

20        8        4        4

« Ондықты ондықпен, бірлікті бірлікпен қос» ( « ондықты ондықтан, бірліктен бірлікті азайт») ережесін қолданғанда шешу жолы мен мысалдың жазбасы басқаша болу да мүмкін.Мысалы:

Мұндай талдау мен амалдарды орындау оқушылар үшін ӛте қиын. Сондықтан бағдарламада қосудың жазбаша түрлерімен таныстыру қарастырылады. Мұғалім жазбаша қосудың алгоритмі және жазу түрімен таныстырады:

Оқушылардыңталқылауы тӛмендегідей: «ондықты ондықтың астына, бірлікті бірлікті бірліктің астына жазамыз. Бірліктерді қосып (азайтып) жауабын бірліктің астына жазамыз. Ондықтарды қосып (азайтып) жауабын ондықтардың астына жазамыз». Оқушылардың назарын жазудың мұндай түрімен алдымен амалды бірліктермен, кейін ондықтармен жүргізуге назар аударады. Оқушыларды жазбаша қосуды орындау мен разряд арқылы ӛтетін сандарды азайтуды дайындау үшін екі мәнді санды бір мәндімен, немесе екі мәнді санмен қосудың жазбаша түрін қарастырамыз. Мұның қосындысында разрядты сандар шығады, сонымен қатар бір мәнді разрядты сандармен екі мәнді сандардан азайту амалы жүргізіледі:

-10

Оқушылардың талқылауы тӛмендегідей:

А. 45-ке 25 санын қосамыз.Бірліктерді бірлік түрінде, ондықтарды ондық түрінде жазып аламыз. Бірліктерді жинақтаймыз. 5-ке 5-ті қосамыз, 10 болады. 10 санында 0 бірлік сондықтан бірліктер разрядының қосындысының мәнін 0 деп жазамыз, ал 1ондықты ондыққа қосамыз, ондықтар қосындысын жазамыз, барлығы – 7 ондық. Ондықтар разрядының қосындысының мәні 7 деп жазамыз. Сонда 70 болды.

Б. 40-тан 15-ті азайтамыз. Бірліктерді бірлік түрінде, ондықтарды

ондық түрінде жазып аламыз. Бірліктерден бастап орындаймыз. 0- ден 5-ті ала алмаймыз, сондықтан ондықтар разрядынан бір ондық «қарыз» аламыз, содан кейін оны 10 бірлікке бӛлшектейміз (разрядтардағы ондықтарға нүкте қоямыз, енді азайғыштағы ондықтар бір санға аз, 10 бірлікті) жазамыз. 10-нан 5-ті азайтамыз, 5 қалады. 5-ті бірліктер разрядында әртүрлі мәнінде жазамыз. Азайғышта 33 ондық қалды, 1-ге тағы азайтамыз, 2 ондық қалады. Ондықтар разрядының әртүрлілік мәнінде 2 деп жазамыз, 25 шықты.

-10

Содан кейін оқушыларды разрядтар арқылы  азайту мен қосуды жазбаша түрде таныстыруға болады:А. +

Оқушылардыңталқылауы тӛмендегідей:

А. 45-ке27-ні қосамыз.Бірліктерді бірлік түрінде, ондықтарды ондық түрінде жазып аламыз. Бірліктерді жинақтаймыз. 5-ке 7-ні қосамыз, 12 шығады. 12 саны 1 ондық пен 2 бірліктен тұрады, ал 1ондықты ондыққа қосамыз, ондықтар қосындысын жазамыз, барлығы – 7 ондық,ондықтар разрядының қосындысының мәні 7 деп жазамыз, 72 шықты. Б. 42-ден 15-ті азайтамыз. Бірліктерді бірлік түрінде, ондықтарды ондық түрінде жазып аламыз. Бірліктерден бастап орындаймыз. 2- ден 5-ті ала алмаймыз, сондықтан ондықтар разрядынан бір ондық «қарыз»      аламыз,      содан      кейін        оны 10 бірлікке бӛлшектейміз.разрядтардағы ондықтарға нүкте қоямыз, енді азайғыштағы ондықтар бір санға аз, 10 бірлікті жазамыз. 12-ден 5-ті аламыз, 7 қалады. 7-ні ондықтар разрядының қосындысының мәні 7 деп жазамыз. Азайғыш 3ондық қалды. Тағы да 1-ді азайтамыз. Ондықтар разрядының қосындысының мәні 2 деп жазамыз. Барлығы 27 болды Есептеудің жазбаша амалдарын оқытудың бірінші кезеңдерінде оқушылардан амалдарды орындау жолдарын айтуды талап ету керек, бұл оларға алгоритмді меңгеріп оны үлкен сандармен ұқсас мысалдарды шешу барысында ӛздігінен қолдануға мүмкіндік береді. Қосу мен азайтудың әрбір жаңа жағдайын түсіндіруде нӛмірлеуді оқу барысында қолданылған кӛрнекі құралдар мен дидактикалық материалды қайтадан қолдануға болады.

Үлкен  кӛрнекілік  үшін  сонымен  қатар  цифрлардың  позициялық

мәнін жақсы түсіну үшін тақтадағы және дәптердегі сандардың жазбасында бірліктермен ондық сандардың жазбасын біраз уақыт әртүрлі түспен жазуға болады.

Жүздік сандар шегіндегі нӛмірлерді қайталау; азайтудың мен қосуды орындау дағдыларын бекіту; нӛмірлеу біліміне негізделген ондық разрядынан екі мәнді сандарды азайту мен екі мәнді сандарды қосу; разрядты және разрядсыз екі мәнді, бір мәнді сандарды азайту мен жинақтау; бірінші жүздіктер шегіндегі сандарды азайту мен қосудың жазбаша алгортимдерімен оқушыларды таныстыру; азайтудың мен қосудың жазбаша тәсілдерінің формасын кӛрсету

Ауызша есеп. 1. Ондықтарды санаңыз 30 ден 80 дейін,        100 ден 60 дейін. 2.

Қалып кеткен сандарды қойыңыз: 74, 75, ..., 77, 78, ..., ..., ..., 82. 3. 49 санына сипаттама беріңіз. Бұл сан қандай сандардың аралығында орналасқан. Санда разрядты бірліктер мен ондықтарқанша? Сан қандай цифрлардан жазылған? Санды дӛңгелектеңіз. 4.

6 ондық пен 3 бірліктен тұратын санды атаңыз. 5.

56 санын разрядты қосылғыштармен алмастырыңыз. 6.

Қателерді табыңыз: 57 + 30 = 87; 46 - 2 = 26; 76 + 4 = 90; 62 - 5=57. 3 ондық жұимыртқа , ал келесісі біріншісіне қарағада 2 ондық аз жұмырқа алды. Сатылымда қанша жұмыртқа қалды?

32 + 45 = 32 + (40 + 5) = (32 + 40)+5 = 72 + 5 = 77. 32 -ге 45-ті қосамыз. Екінші қосылғыш 45 саны 4 ондықтан және 5 бірліктен тұрады, 32-ге алдымен 40-ты қосамыз, кейін тағы 5-ті, 77 шығады.

Азайтқыш 23 саны 2 ондықтан және 3 бірліктен тұрады, 74-тен алдымен 20-ны, кейін 3-ті азайтамыз. 51 шығады.

Жаңа білімді  меңгеру.

Бұл мысалдарды сіздер ауызша тәсілмен орындадыңыздар, ойымызда да солай болу керек. Бүгін біз азайту мен қосудың жазбаша тәсілімен танысатын боламыз. 32 мен 45 сандарын қосуды тағы орындайық. Қосылғыштарды бір бӛлек «бағанаға»,назар аударыңыздар, бірліктер бірліктердің астына, ондықтар ондықтардың астына орналасады. Сол жағына қосындылардың арасына «қосу» белгісін, екінші қосындыларға да белгі ретінде «бірдей» деп жазамыз.

Бірлік разрядтарын қосудан бастайық. 2 бірлікке 5 бірлікті қосамыз, 7

бірлік шығады. Бірліктердің астына 7 деп жазамыз. Ондықтарды қосамыз. 3 ондыққа 4 ондықты қосамыз,7 ондық шығады. Ондықтардың астына жазамыз. Қосудың нәтижесінде қандай сан шықты?(77).Азайту амалы да осыған ұқсас орындалады. Тағы да  «бір бағанаға» жазуды қолдана отырып, 74 – 23 мысалын шешейік.сандарды қалай  жазу керек? (бірді басқаға, разрядты разрядтың астына) 74 санын жазайық. 23 санындағы бірлікті -3 цифрін қай жерге жазамыз (4 санының астына). Азайтқыш ондық сандағы - 2 санын қай жерге жазамыз? (7 цифрінің астына). Не үшін? (ӛйткені 7 азайғыш ондықтардыңсанын кӛрсетеді,  ал  бізге  ондықтарды  ондықтардың  астына  жазу  керек). «минус» таңбасын қайда қоямыз? (компоненттер құрамының сол жағына). Азайтқыштың астындағы сызық нені білдіреді? («бірдей» белгісі). 4 бірліктен 3 бірлікті азайтамыз, 1 шығады. Бірліктердің астына 1 санын жазамыз. Ондықтарға келеміз. 7 ондықтан 2 ондықты азайтамыз, 5 ондық қалады. 5 санын ондықтардың астына жазамыз. Азайтудың нәтижесінде қандай сан пайда болды (51). Жазбаша түрде былай: +

Егер біз есепті шығаруда қосу мен азайтудың жазбаша тәсілдерін қолданатын болсақ, мысалдың жазбасы қалай орындалады? Бірінші компонент құрамы бірлігінің астынане жазу керек? Қолданылу таңбасы қай жерге қойылады? «Бірдей» белгісі қайда қойылады? Орындауды қайсы бірліктен бастаймыз?

Теңдікті оқыңыз --

23.

азайғышты атаңыз. Қанша бірлік бар?

Бірінші қосылғыштар бірліктеріне нені қосу керек? Бірінші қосылғыш ондықтарына нені қосу керек? Ондық азайғыш бірлігінен азайту үшін не істейміз? Бірліктерді қолдану нәтижесін қай жерге жазамыз? Ал ондықтар ше? Азайғыш қайда жазылады?Азайғыш ондықтары қанша? Азайтқыштарды атаңыз. Азайтқыш бірлігі қанша? Азайтқыш ондығы қанша? Қосу мен азайтудың бірліктері қалай орналасқан? Қосу мен азайтудың ондықтар қалай орналасқан? Әртүрлілік мәніндегі 1 саны нені білдіреді? Әртүрлілік мәніндегі 7 саны нені білдіреді? Әртүрлілік мәніндегі 7 саны қалай шықты?

Бірінші  мыңдықтар  шегінде  сандарды  қосу  мен  азайту с

ды оқыту мына міндеттерді шешуге бағытталған:

Бірінші мыңдықтар шегінде қосу мен азайту ауызша және жазбаша амалдарын ажыратады.

Оқушылар мыңдықтар шегіндегі сандардың нӛмірлерін білу барысында бірліктер мен ондықтарды, жүздіктерді санауды, ары қарай жүздіктерді игереді, сонымен қатар мысалдарды шешеді және жазады (300+ 100, 300 - 100, 300+ 10, 350+ 10, 300 -10, 350 - 10, 599+ 1, 345+ 1, 500 -1, 345 -1), разрядты қосылғыштар қосындысын үш мәнді сандармен алмастыруды және арифметикалық әрекеттерде орындау дағдыларын қабылдауды үйренеді, мәселен:599+ 1 = (500 + 99) + + 1 = 500 + (99 + 1) = 500+ 100=600. Ондықтар мен бүтін жүздіктерді, бірліктер мен бүтін жүздіктерді азайту мен қосу сандарды разрядтар бойынша қосу біліміне сүйене отырып орындалады. Тӛменде оқушылардың мысалды шешу барысындағы талқылаулары кӛрсетілген:

А. 500-ге 67-ні қосамыз. 500 санында ондықтар разряды мен бірліктер 0-ден тұрады, оған 67 санының   6 ондығы мен 7 бірлігін

қосамыз. Қосындының мәні 5 жүздіктен, 6 ондықтан және 7 бірліктен тұрады, бұл 567 саны. Б.567-ден 67-ні азайтамыз. 567 саны 5 жүздіктен, 6 ондық және 7 бірліктен тұрады.6 ондық пен 7 бірліктен тұратын 67 санын азайтамыз. 5 жүздік қалады.Айырымдылық мәні — 500. Натурал сандар қатарының қасиеттерін білуге негізделген бірліктердің азайту мен қосу тәсілдері. Оқушылар алдыңғы және келесі сандарды алудағы ӛздерінің білімі мен ептілігін үш мәнді санмен амалдарды орындау барысында меңгереді. Жүздеп санауды оқығаннан кейін (разрядты жүздіктерді жүзге қосу және азайту) қалыптасқан бір мәнді және екі мәнді, үш мәнді сандардың байланысын кӛрсету разрядты жүздіктерді қосу және азайту амалы ұсынылады. Мысалы:3 ж.+2 ж.=5 ж бір мәнді және екі мәнді сандарды азайтуға әкелетін 300 + 200 Бүтін ондықтарды қосу және азайтудың сәйкес жағдайларын бір мәнді және екі мәнді сандардың азайтуына теңестіруіне болады.

онд. Бұл үшін жүз шегіндегі қосу мен азайтудың амалдарын қайталау қажет, сандағы ондықтар кӛлемін анықтау үшін жаттығу керек. Қосындыны санға қосындыны қосындыға қосу ережесін, саннан қосындыны азайту ережелерін қолдануға болады. Егер оқушылар бағдарламаға сәйкес бұл ережелермен әзірге таныспаған болса, онда оларға белгілі разрядты бірлікті қосу және азайту ережесін қолдануға болады. «бірлікті бірлікпен, ондықты ондықпен қос, бірліктен бірлікті азайт, ондықтан ондықты азайт») оған қосымша жүздікті жүздікпен қос (жүздіктен жүздікті азайт) талаптары қосылады. Оқушыларды азайту мен қосудың әртүрлі тәсілдерімен таныстырып, басқа тәсіл ұсынуға болады.

Оқушылардың талқылау тӛмендегідей болады:

А. 640 –қа 320-ны қосамыз. Екінші қосылғыш (320) 3 жүздік пен 2 ондықтан тұрады.640 –қа алдымен 320 –ны қосамыз, кейін тағы 20, 640 шығады. Б.        130-дан        50-ді        азайтамыз.        Азайтқышқа        қарағанда        азайғышта

разряд ондықтары азырақ, сондықтан азайту амалдарын біртіндеп орындаймыз, оны тиімді қосылғыштар түрінде (30 бен 20) ретінде елестетеміз. 130-дан алдымен 30-ды кейін 20-ны азайтамыз, 80 шығады. В. 640-тан 320-ны азайтамыз. Азайтқыш 320 3 жүздік пен 2 ондықтан тұрады. 640-тан алдымен 300-ді, кейін 20 –ны азайтамыз. Сонда 320 шығады. Үш мәнді сандарды азайту қосуды орындау үшін разряд бойынша қосу мен азайтуды орындауда сандардың нӛмірлік мағынасының дағдысы қолданылады. Мәселен, 640 пен 300-ді жинақтасақ, оқушылар былайша талқылауы мүмкін: «640-қа 300-ді қосамыз. 640 саны 6 жүздіктепн және 4 ондықтан тұрады. 6 жүздікті 3 жүздікке арттырсақ, 9 жүздік, тағы 4 ондықты қосамыз. 940 шығады» . 940-тан 300-ді азайту амалын орындауда келесі талқылаулар болады: « 940-тан 300-ді азайтамыз. 940 саны 9 жүздік пен 4 ондықтан тұрады. 9 жүздіктен 3 жүздікті азайтамыз, 6 жүздік пен тағы 4 ондық қалады. 640 қалады». Разряд арқылы ӛтпейтін үш мәнді  санмен разрядты бірліктерді, ондықтарды, жүздіктерді қосу және ссәйкес жағдайларды азайту қосылғыш және азайтқыш топтардың ережесіне негізделген, қосындыдан санды азайту разрядты қосу мен азайтуға негізделеді. Мысалы:

А.643-ке 300-ді қосамыз. 643-ті қосылғыштар разрядының қосындысымен алмастырамыз. Сонда 6 жүз, 4 ондық және 3 бірлік болады. 6 жүздікке 3 жүздікті қосамыз, 9 жүздік болады, оған  4 ондық пен 3 бірлікті қосамыз.943 шығады. Б. 675-тен 30-ды азайтамыз. 675-ті қосылғыштар разрядының қосындысымен алмастырамыз. Бұл санда 6 жүздік, 7 ондық, 5 бірлік бар. 6 жүздік, 7 ондықтан 3 ондықты азайтамыз, 4 ондық шығады. 6

жүздікті, 4 ондық пен 5 бірлікті жтнақтаймыз. 645 шығады.

Ауызша есептеу тәсілдерімен таныстырғаннан кейін , оқушыларға бұларды әр сабақтың ауызша есептеу кезеңдерінде қолдануды ұсынған жӛн.

мәнді        және        үш        мәнді        сандарды        қосу,        азайтудың        сәйкес жағдайлары(236 + + 324, 843 - 542, 531 + 54, 357 - 46);

«қарыз» алатын азайту.(364+ 126, 375 + 225; 708 -156); ■

Мыңдықтан азайту (1000 - 345, 1000 - 45, 1000 - 5).

Жазбаша амалдарды оқу үш мәнді және екі мәнді санды қосу олардың разряд арқылы ӛтпейтін сәйкес жағдайын азайту разряд арқылы ӛтпейтін қосу мен азайтудың барынша қарапайым тәсілдерінен басталады. Оқушыларға жазбаша қосу мен азайтуды орындау барысында сандарды разрядты разрядтың астына жазып, есепті кіші разрядтың бірліген бастап ары қарай  әрбір разрядта жеке жүргізу керектігін естеріне салып отыру керек. Амал 20 шегінде қосу мен азайтуға апарады. Оқушылар мысалдарды амал құрағыштар үш мәнді және үш мәнді сан, үш мәнді және бір мәнді сан болғанда дұрыс жазып жаттығу керек.

Тӛменде мысалды шешу барысындағы талқылаулары келтірілген:

531-ге

54-ті        қосамыз.

54        санын        былайшабірінші        қосылғыш 3ондықтың астында тұру үшін 5 ондықты , ал 4 бірлікті -1 бірліктің астынажазамыз. 3 ондықты 5ондықпен қоссақ 8 ондық шығады, 8-ді ондықтардың астына жазамыз. ал 5 жүздікті ешнәрсеге қоспаймыз, жүздіктер қосындысының астына 5 деп жазамыз, 585 шығады. Б. 357-ден 46-ны азайтамыз. 46 санын былайша азайғыш 5 ондықтың астында тұру үшін 4 ондықты, ал 6 бірлікті азайғыш 7-нің астына жазамыз. Алдымен 7 бірліктен 6 бірлікті азайтамыз, 1 бірлік шығады. Бірліктердің астына 1 –ді жазамыз. 5 ондықтан 4 ондықты азайтамыз, 1 ондық шығады, ондықтардың астына 1 жазамыз. 3 жүздікті азайтудың керегі жоқ, сондықтан 3   мәнін жазамыз. сонда

311 шығады.

-10

Амал алгоритмі қосындының мәні бір немесе екі разрядта 0 болғанда және бір разрядта азайғыш 0 болып кӛрші разрядтан ондықты «қарыз» алуды талап ететін қосу жағдайында күрделенеді:А. +

Оқушылардың талқылау тӛмендегідей болады:

А.364-ке 126-ны қосамыз. Разрядтарды разрядтардың астына жазамыз.Бірліктерді қосуды бастаймыз. 4-ті 6-ға қосамыз, 10 шығады. 10 санында разрядтар бірлігінде 0 саны тұр, сондықтан қосындының мәнін бірліктің астына 0 жазамыз, ал 1 ондықты ондықтарға жазамыз. Ондықтардың қосындысын табамыз. 6-ға 2-ні және 1-ді қосамыз. 9 ондық шығады. Ондық разрядтар қосындысының мәніне 9 деп жазамыз. Жүздіктерді жинақтаймыз. 3-ке 1-ді қосамыз.  4 шығады. Жүздіктердің астына 4 деп жазамыз. 490 шығады. Б.708-ден 156-ны азайтамыз. Разрядтарды разрядтардың астына жазамыз.Бірліктерден бастап есептейміз. 8 бірліктен 6 бірлікті азайтамыз, 2 бірлік қалады. Азайтылатын ондықтың астында 0 тұр. 0- ден 5-ті азайта алмаймыз, сондықтан кӛрші тұрған жүздік разрядтан 1 бірлік «қарыз» аламыз. Жүздіктің жанына нүкте қоямыз, енді жүздік азайғыштан бір сан кіші. 10-нан 5-ті азайтамыз, 5 қалады. 5-ті ондықтардың астына жазамыз. Жүздіктердің айырмасын табамыз. Азайтылатын 6 жүздік қалды 1-азайтамыз. 5 қалады. Жүздіктердің астына 5 жазамыз. 552 шықты. Жайлап айтылып ықшамдалған формаға ауысады. Бір немесе екі разрядты разряд арқылы ӛтетін қосу және азайтуды орындау амалдарында орындауы күрделі кӛп сатылы алгоритмі бар. Сондықтан амалдарды орындау жолын айту қажет:

1  1

-10

Оқушылардың талқылау тӛмендегідей болады:

А.        375-ке        486-ны        қосамыз.        Разрядтарды        разрядтардың        астына жазамыз.        Күрделі        бірліктерден        бастап        орындаймыз.        5-ке        6-ны

қосамыз, 11 шығады. 11 саны разрядта 1 бірліктен тұрады, сондықтан мәнін бірліктердің астына 1 жазамыз. Ал 1ондықты ондықтарға қосамыз, 1-ді ондықтардың астына жазамыз. Ондықтардың қосындысын табамыз. 7-ге 8-ді және 1-ді қосамыз, 16 ондық шығады. 16 ондық – бұл 1 бірлік пен 6 ондық, сондықтан 6 санын ондықтардың астына жазамыз.  Ал 1ді келесі жүздіктер разрядына қосамыз, 1-ді қосылатын бірінші жүздіктердің астына жазып, шешмін табамыз. 3-ке 4-ті және 1-ді қосамыз, 8 шығады. 8 санын жүздіктердің астына жазамыз. 861 шығады. Б. 375-тен 186-ны азайтамыз.Разрядтарды разрядтардың астына жазамыз. Күрделі бірліктерден бастап орындаймыз.5-тен 6-ны азайта алмаймыз,  сондықтан     кӛрші  тұрған  жүздік  разрядтан  1  бірлік «қарыз» аламыз. Жүздіктің жанына нүкте қоямыз,енді жүздік азайғыштан бір сан кіші. 10 санын разрядтар бірлігінің астына жазамыз. 15-тен 6-ны азайтамыз. Ӛйткені 10 алдық және азайтылатын 5 бар болатын. 15-тен 6-ны азайтсақ 9 қалды. 9 санын бірліктердің астына жазамыз. ондықтарды санаймыз. Азайтылатын 7 ондық болатын, біреуін «қарызға «алдық, 6 қалды. 6-дан 8-ді азайта алмаймыз,   сондықтан   кӛрші   тұрған   жүздік   разрядтан   1   бірлік «қарыз» аламыз. Жүздіктің жанына нүкте қоямыз,енді жүздік азайғыштан бір сан кіші.10 санын разрядтар бірлігінің астына , яғни 1 жүздік, 10 ондық жазамыз. 16-дан 8-ді азайтамыз. 8 –ді ондықтардың астына жазамыз. Жүздіктерді санаймыз. Азайтылатын 3 жүздік болатын, біреуін «қарызға» алдық 2 жүздік қалды. 2-ден 1-ді азайтамыз, 1 шығады. Жүздіктердің астына жазамыз. 189 шығады. Біртіндеп айту барынша ықшамдалып, есептеудің басқа жағдайларындағы сияқты қысқартылған түрге келеді. Негізгі қиындық бір, екі, үш разрядта азайғыш 0 немесе бірлік болып, бірнеше разрядта ондықты «қарыз» алу талап етілетін жағдайда болады:

1 010 -10 -

861        556        955

жазамыз. Күрделі бірліктерден бастап орындаймыз. 8-ден 9-ды азайта алмаймыз.  Сондықтан     кӛрші  тұрған  жүздік  разрядтан  1  бірлік «қарыз» аламыз. Жүздіктің жанына нүкте қоямыз,енді жүздік азайғыштан бір сан кіші. 10 санын разрядтар бірлігінің астына жазамыз. Яғни 1 жүздік, 10 ондық жазамыз. Енді ондықтар разрядынан «қарыз» алуға болады. Жүздіктің жанына нүкте қоямыз,ондық енді 10 емес, 9. Бірліктер разрядына 10 қоямыз, 1 ондықта 10 бірлік бар емес пе. Енді 18 деп қарастырамыз. 18-ден 9 бірлікті азайтамыз, 9 бірлік қалады. Разряд бірлігінің айырмасының мәні 9 деп жазамыз. Ондықтарды санаймыз. 9 ондықтарды азайтамыз. 9 ондықтан 6 ондықты азайтамыз, 3 ондық шығады. 3 санын разрядтағы ондықтар айырмасының мәніне жазамыз. Жүздіктерді есептейміз. Азайтылатын 6 жүздік қалды. 6 жүздіктен 2 жүздікті азайтамыз, 4 жүздік шығады. 4 санын разрядтағы жүздіктер айырмасының мәніне жазамыз. 439 шығады. Б. 910-нан 354-ті азайтамыз.Разрядтарды разрядтардың астына жазамыз. Бірліктерден бастап орындаймыз. 0 бірліктен 4 бірлікті азайта алмаймыз, сондықтан кӛрші тұрған ондық разрядтан 1 бірлік

«қарыз» аламыз. Ондықтың жанына нүкте қоямыз,енді ондық 1 емес, В. 1000-нан 45 ті азайтамыз. Разрядтарды разрядтардың астына жазамыз. Бірліктерден бастап орындаймыз.0-ден 5-ті азайта алмаймыз,     сондықтан  кӛрші  тұрған  ондық  разрядтан  1  бірлік «қарыз» аламыз. Алайда кӛрші 0 саны тұрғандықтан келесі разрядтағы жүздік разрядтан «қарыз» аламыз. Жүздіктер разрядындада  сондай  0.  Келесі  разрядтан     -  мыңдық  разрядтан «қарыз» аламыз. Мың бірліктің жанына нүкте қоямыз. Жүздік разряд қазір 10, 1 мың бірлікте 10 жүздік. 10-ды жүздіктер жанына жазамыз. бір жүздіктің «қарыз» ондықтар разряды үшін аламыз. Жүздіктердің жанына нүкте қоямыз, жүздік енді 10 емес 9. 1 жүздікте 10 ондық болғандықтан ондық разрядтар қатарына 10 санын жазамыз. 10 бірліктен 5 бірлікті азайтамыз. Бірліктер разрядының айырмасыныңк мәні 5 жазамыз. ондықтарды есептейміз. 9 онндықты азайтамыз. 9 ондықтан 4 ондықты азайтамыз, 5 ондық шығады.

Бірліктер разрядының айырмасының мәніне 5 жазамыз. жүздіктерді есептейміз. Азайтылатын сан 9. Ешнәрсені азайтпаймыз. Бірліктер разрядының айырмасының мәніне 9-ды жазамыз. 955 шығады.

Сандарды азайтудың жазбаша алгоритмі тӛмендегідей болу мүмкін: а) азайтудың әрбір разрядты бірлігі азайғыштың сәйкес разрядты бірлігінің астына жазылады; б)азайтуды кіші разрядтың бірлігінен және алынған нәтижені сәйкесразрядтың астына жазу керек ; в)егер азайғыштың разрядты бірлігі сәйкес разрядтың бірлігіне аз болса, ондажоғарғы разрядтың 1 бірлігін «аламыз» («қарыз») оны ұмытпас үшін оның тӛбесіне нүкте қоямыз; г) жоғарғы разрядтан алған бірлікті тӛменгі разрядтың бірлігімен алмастырып, 10 санын шығарамыз, кейін алынған саннан жалпы бірлік санын тауып, азайтқыштың разрядты бірлігін азайтамыз. Нәтижесін разряд астына жазамыз. Қосу мен азайтуды орындауға оқушыларды қалыптастыру қажет ететін негізгі ептіліктің бірі болып табылады. Бұл кӛп сатылы күрделі алгоритмді ретпен орындауды  талап  етеді,  оқушыларда тек есептеумен жаттығу емес, соынмен қатар зияткерлік мүмкіндіктерін, бақылау және ӛзін бақылау дағдыларын, ӛз қызметін жоспарлау талдау, жинақтау қызметін дамытуға мүмкіндік береді. Сондықтан оқушылар қосу мен азайту алгоритмін қолдануды ӛз бетінше игеріп білгені маңызды және бастысы шешу жолын сауатты айта біліп, сандардың позициялық мәні арасындағы себепті –тіркеу байланысын анықтап, бір разрядтан келесісіне бірліктерді ӛткізу ережесінің алгоритм талаптарын сақтап, анықтауды білу керек. Тек осы жағдайда ғана математиканы оқытудың дамуы жӛнінде айтуға болады.

3.2.5. Кӛп мәнді сандарды қосу және азайту.

Кӛп мәнді сандарды қосу және азайтуды оқыту тӛмендегі міндеттерді шешуге бағытталған: қосу мен азайтудың жазбаша тәсілдерін қолдануды үйрету; кӛп мәнді сандарды қосу мен азайтуда ауызша және жазбаша есептеу әдістерін бӛліп кӛрсетеді.

Сандарды қосу мен азайтудың келесі ауызша тәсілдерін қолданады: Тӛменде бірінші мыңдық шегінде сандарды қосу және азайтудың жазбаша тәсілдері келтірілген: Кӛп мәнді сандарды оқытуға бастауыш сыныптарда үлкен мән беріледі. Ешқандай жаңа ереже қарастырылмағанына қарамай, берілген оқу материалдары оқушыларға қиындық тудырады. Сондықтан миллиард шегінде натурал сандармен амал жасау барысында, кӛп сатылы алгоритмдерді орындауда, қосу мен азайтудың қасиеттері мен ережелерін білуді қолдануды талап етеді. Сандардың нӛмерленуі туралы білімді қалыптастыру бойынша оқушылар бірліктерді қосу және азайтуды орындау ептілігін қабылдайды, разрядты қосылғыштардың қосындысын табады. Санды разрядты қосылғыштардың қосындысы түрінде қабылдайды. Бұл ептіліктер кӛп мәнді сандар мен амалдар орындау барысында қолданылады. Оқушыларды кӛп мәнді санды бірлікке ондыққа, жүздікке, мыңдыққа, он мыңдыққа, жүз мыңдыққа азайтып және қосып , разрядты қосылғыштарды қосуға , разрядты бірліктерді азайтуға жаттықтыру қажет.

Бүтін мыңдықтарды қосу және азайту бүтін жүздіктердегі жағдай

сияқты бір мәнді және екі мәнді сандарды амал жасауға , сонымен қатар жазбадағы үш нӛлді қысқартылған «мың» - «м» сӛзімен алмастыруға апарады. Сандарды жазбаша қосу және азайту алгоритмдері кӛп мәнді сандар мен амалдарды орындау барысында ӛзгермейді, бірақ амалдар санының кӛбеюіне байланысты барынша қиындайды. Сондықтан мұғалім амалдарды орындау жолын айтуға кӛбірек назар аудару керек, алгоритм амалдарын жүз, мың шегіндегі сандармен және кӛп мәнді сандармен салыстыра отырып, олардың ӛзара байланысын түсіндіру керек. Бүтін мыңдықтарды қосу және азайту бүтін жүзідктер жағдайына, бір және екі таңбалы сандармен амалдарға саяды, бұл жағдайда жазылған үш нӛл «мың-м» деп қысқартылып жазылады, Кӛптаңбалы сандармен амалдарды орындау кезінде сандарды қосу және азайтудың жазу алгоритмдері ӛзгермейді, бірақ кӛп операциялардың пайда болуымен едәуір қиындайды. Сондықтан мұғалім амалдарды орындау жолын дауыстап айтуға кӛбірек назар аударуы, жүз, мың кӛлеміндегі және кӛп таңбалы сандармен амалдар алгоритмдерін салыстыру, олардың ӛзара байланысын түсіндіруі керек.

Қҧзіреттіліктің шектік деңгейі а)        қосу        амалдарын        орындаңыз        және        оларды        азайту        арқылы тексеріңіз; б)        азайту        амалдарын        орындаңыз        және        оларды        қосу        арқылы тексеріңіз; в) x - y ӛрнегінің мәнін табыңыз, егер x = 240, y = 36 болса,; г) математикалық ӛрнектерді салыстырыңыз, мысалы, 200 + 40 +

а) бірінші қосылғышты разрядтық қосылғыштар қосындысымен алмастырып санды қосындыға қосу ережесін қолданады; б) бірінші қосылғышты ыңғайлы қосылғыштармен алмастырып, санды қосындыға қосу ережесін қолданады        правило прибавления числа к сумме;

в)        жуықтау әдісін қолданады. 4. 6 + 1; 7-1; 10 + 5; 25 - 5; 740-40; 700 + 40 түрлерін есептегенде оқушыға қосудың және сәйкесінше азайтудың кестелік жағдайын, сандардың құрылуын (мың кӛлеміндегі нумерацияны); санды разрядты қосылғыштар қосындысына алмастыруды; санды қосындыдан азайтуды және есептеу кезінде оны қолдана білу қажет екені дұрыс па? Б. Санды қосындыдан азайту ережесін қолдана отырып 25-ті разрядтық қосылғыштар қосындысына алмастырамыз: 25=20+5. Келесідей ӛрнекті аламыз: (20+5)-5. Бірлікті бірліктен азайту ыңғайлы, сонда 20 қалады. А. Санды разрядтық қосылғыштар қосындысына алмастырыңыз (теңдік дұрыс болатындай нүкте орнына санды қойыңыз): 345 = 300+...+5.

Г. Азайту амалын орындаңыз және шешімін тексеріңіз: 345-281, 508-39 және т.б.

9. 30+20; 300 + 200; 50 - 30; 80 + 70; 500 - з0о түрін есептеуде қандай білім мен дағыдылар қажет? Бұл есептеу әдісіне қандай дайындық жаттығулары сай келеді приему? 10. Екі таңбалы сандарды ауызша қосу әдістерінің негізінде жатқан қасиеттерді (ережелерді) атаңыз және мысал келтіріңіз.

Біліктіліктің жоғарғы деңгейі

Рис. 44

сурет

3.3.

Кестелік        кӛбейту        және        бӛлінуді        оқуыту        барысында        келесі тапсырмаларды орындау қажет: Кестелік жағдайға нәтижесі кӛбейту амалы мәнінің негізі болып табылатын бір таңбалы сандарды кӛбейту жатады. Кӛбейту және бӛлу амалдарын меңгеру үшін келесі тапсырмаларды дайындалық ретінде пайдалануға болады: Кӛбейту кестесін құрастыра отырып, кӛбейту амалы мәнінің біліміне негізделген тәсілді қолданады. Оқушыларға ӛрнектің мәнін табу, қосуды кӛбейтумен алмастыру, пән-практикалық жағдайды қарастырып шешімнің дұрыстығын тексеру ұсынылады ( 45-сур). Жанында орналасқан сурет оқушыға кесте құру қағидатын түсінуге және қарастырылатын жағдайларды суреттейтін кӛп заттай элементтерді қайта санау арқылы нәтижеге қол жеткізуге кӛмектеседі.

Кӛбейту кестелерін құрастырғанда, алдыңғы нәтижеге қосу әдісін қолдануға болады.

45 сурет

46 сурет

Оқушыларғақандай жағдайда қосуды кӛбейтуге алмастыруға болатынын түсіну маңызды, мысалы,

4+ 4 + 4=4*3, 4 + 4 + 3≠4*3.

Бірқатар математика оқулықтарында тұрақты бірінші және екінші кӛбейткіш бойынша кестелік кӛбейту бір мезгілде қарастырылады, мысалы, 2-ні кӛбейту және 2-ге кӛбейту:

Сол сияқты, «үш», «тӛрт» және т.б. кестелер жасалады.

Кестелерді құрастырғанда, жаңа жағдайлардың саны азаяды, ӛйткені кӛбейтудің ауыстырушылық қасиетіқолданылады. «Тоғыз» кестесінен кейін кӛбейтудің жиынтық кестесі жасалады. 1а

,  0а түрін кӛбейту бірдей қосылғыштардың қосындысы ретінде кӛбейту амалының мәні негізінде оқытылады. Мысалы,

2- 1*3 = 1 + 1 + 1 = 3; 0-3 = 0 + 0 + 0 = 0.

Бӛлу жағдайымен оқушылар екіге және үшке кӛбейтудің таблицалық жағдайларын игергеннен кейін танысады. Кӛбейту кестесінің негізінде тиісті бӛлу жағдайлары қарастырылады:

2-3 = 6; 6: 2 = 3 және т.б.

Мәнді кӛбейту мен бӛлу арасындағы арақатынас негізінде келесі ережені қолдана отырып табады: егер шыққан мәнді кӛбейткіштердің біріне бӛлсе, екінші кӛбейткіш шығады. Оқытудың бұл кезеңінде затты мазмұны бойынша және бірдей бӛлікке бӛлу бойынша пәндік- практикалық амалдарды орындауды ұсыну, кӛрнекі иллюстрацияны қолдану маңызды болып табылады (46-сур).

Санды        1-ге бӛлу бӛлу мәнінің негізінде енгізіледі: а санын бірге

бӛлу – бұл бірге кӛбейткенде ізделген санды беретін санды таңдау дегенді білдіреді. Мысалы, 5:1 = 5. Таңдау әдісі қолданылады: «2-ні 1-ге кӛбейтеміз, 2 шығады – болмайды......5-ті 1-ге кӛбейтеміз, 5 шығады. Демек, 5-ті 1-ге бӛлсек, 5 шығады». Осы сияқты тапсырмаларды орындай отырып, оқушылар қорытындылай отырып мына ережені тұжырымдайды: кез келген санды 1-ге бӛлгенде, сол санның ӛзі шығады.

жҥз кӛлеміндегі бӛлу Кӛбейту мен бӛлудің ерекше жағдайлары, кестеден тыс кӛбейту және бірінші жүз кӛлеміндегі бӛлу келесі міндеттерді орындауға бағытталған: Ерекше жағдайларға нӛлге және бірге кӛбейту мен бӛлу жатады: 4-1, 4-0, нӛлге бӛлу мүмкін еместігі. Кестеден тыс жағдайларға екі таңбалы санның бір таңбалы санға кӛбейту және екі таңбалы санды екі таңбалы немесе  бір таңбалы санға бӛлу жатады. Мысалы, 72:12, 72: 6, 23-4.

1 және 0-ге кӛбейту кӛбейту анықтамасының кӛмегімен жүзеге асады: бірге кӛбейту дегеніміз- сол санды алу деген сӛз; нӛлге кӛбейту дегеніміз нӛлді алу деген сӛз. Әдістемелік әдебиеттерде ауыстырушылық қасиетті уақытынан ерте пайдалану әдіснамалық қателік болып табылады деп кӛрсетеді, ӛйткені бұл сандардың сала ауыстырушылық қасиетті қарастырмайды. Келесі түсінік те болмайды: «5-ті бір рет », «5-ті нӛл рет», ӛйткені қосындыда кем дегенде екі қосылғыш болады, ал жоғарыда айтылған түсініктеменің мағынасы жоқ.

жатқанын кӛрсетеді.

Нӛлге бӛлу мүмкін еместігін балаларға былай түсіндіруге болады: нӛлге кӛбейткенде, нӛлден ӛзгеше нәтиже беретін санды таңдаңыздар, мүмкін емес, сондықтан нӛлге бӛлу де мүмкін емес - нӛлге бӛлуге болмайды. Кестеден тыс кӛбейту мен бӛлу жағдайларын оқушылардың меңгеруіне дайындық ретінде кӛбейту мен бӛлу амалдарының мәнін, ӛрнектегі амалдардың реті ережесін қайталау керек, кестеден тыс кӛбейту мен бӛлу жағдайларының ауызша есептеу тәсілінің теориялық негізі болып табылатын арифметикалық амалдар ережелерін қарастыру керек: қосындыны санға кӛбейту және санды қосындыға кӛбейту ережесі; қосындыны санға бӛлу; кӛбейткіштерді топтастыру ережесі – терімділік қасиеті.

Разрядтық        сандарды        бір        таңбалы        санға        көбейту        және        бөлу

кӛбейту және бӛлудің кестелік жағдайларына алып келеді :

(мысалы, 80: 20= 4) бӛлу амалының мәні біліміне негізделеді және таңдау әдісі қолданылады. Келесідей мысал келтіруге болады: «80-ді 20-ға бӛлу үшін, 20-ны кӛбейткенде 80 шығатын санды таңдау керек. Тексереміз: 20 кӛбейту 3 тең болады 60. 3 саны сәйкес емес. 20-ны 4-ке кӛбейтсек, 80 шығады, демек, 80-ді 20-ға бӛлсек, 4 болады».

Екі таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту (мысалы, 12 • 3) оқушыларға (10 + 2) • 3 және 12 • 3 тәрізді мысалдарды шешу арқылы игерілуі мүмкін. Келесі алгоритм ұсынылады:

ір таңбалы санды екі таңбалы санға көбейту (мысалы, 3-14) санды қосындыға кӛбейту ережесіне немесе кӛбейтудің ауыстырымдылық қасиетіне негізделген:

ережесін        қосындыны        санға        қосу        ережесімен        шатастырмас        үшін салыстыру пайдалы.

Екі таңбалы санды бір таңбалы санға бөлу қосындыны санға бӛлу ережесін білуге негізделген. Дегенмен, есептеу алгоритмі кейбір жағдайларда қосындыны разрядтық қосылғыштар қосындысы ретінде кӛрсету керектігімен (мысалы, 42:2), ал басқа жағдайларда ыңғайлы қосылғыштар қосындысы (42: 3) түрінде кӛрсету керектігімен қиындатылады. Дайындық кезеңінде санды разрядтық  қосылғыштар қосындысына, екі қосылғыштар қосындысына ауыстыру, разрядтық санды бір таңбалы санға бӛлу, қосындының санға бӛлу ерекшелігі және ауызша қосу әдісі туралы білімді маңызды деп тану қажет. Оқушыларға алдымен 42:2, одан кейін 42:3 типті мысалдарды шешу ұсынылады. 42-ні 2-ге бӛлгенде, бӛлінгіш 42-ні разрядтық қосылғыштар қосындысына ауыстырады. 42-ні 3-ке бӛлгенде, 42 разрядтық қосылғыштарын 3-ке бӛлуге болмайтындығы анықталады. Мұғалім: «42 санын әрқайсысы 3-ке бӛлінетін разрядтық қосылғыштарға ауыстыруға болады ма?» деп сұрақ қояды. Барлық жағдайларда есептеуге ең жеңіл болатын біреуін таңдайды. Бӛлінгіш 42-ні ыңғайлы қосылғыштар 30 және 12 сандарына ауыстырады. Бірінші қосылғыш - 3-ке бӛлінетін ең үлкен разрядтық сан, екінші қосылғыш - қалдық.

Оқушылар былай ойлайды: «42-ні 3-ке бӛлу керек. 42-ні разрядтық қосылғыштар түрінде берсек 40 және 2 болады, бірақ 40 3- ке бӛлінбейді және 2 де 3-ке бӛлінбейді, сондықтан 42-ні ыңғайлы қосылғыштар қосындысы ретінде кӛрсетеміз. 3-ке бӛлінетін ең үлкен разрядтық сан ол- 30. 42-ні 30 және 12 түрінде беруге болады. 30-ды 3 ке бӛлеміз, 10 шығады. 12-ні 3-ке бӛлеміз 4 шығады. Барлығы 14 болады».

Екі таңбалы санды екі таңбалы санға бөлу (мысалы, 81:27) санды таңдауға негізделген. 2-саннан бастап, оқушылар 27-ге кӛбейтілгенде 81 мәнін беретін барлық натурал сандарды тексеріп шығады және табады. Бұл тәсілді оқытуға кіріспес бұрын кӛбейту мен бӛлудің арақатынасын, екі таңбалы санды бір таңбалы санға кӛбейту және сандарды салыстыруды қайталау қажет.

Бұл тәсілдің қиындығы оқушылардың ізделіп отырған санды бірден таңдай алмауында. Олар тексеруді екіден бастайды да кезегімен барлық кӛбейткіштерді қарастырады. Сондықтан оларға мүмкін сандардың шеңберін азайтуды үйрету керек. Оның бірі – сандарды жуықтау, мысалы, 85-ті 17-ге бӛлу қажет. Ойлау келесідей болуы мүмкін: «17-ні 20-ға дейін жуықтаймыз, 80-ді 20-ға бӛлеміз, бірінші сыналатын сан - 4. Тексереміз: 17 * 4 = 68, 4 саны жарамайды. 5-ті байқап кӛрейік. 17-ні 5-ке кӛбейтеміз, 85 шығады. Демек 85:17= 5».

Келесі жағдайларды есте сақтау ӛте пайдалы: 50: 2, 75: 25, 75:15, 60:12. Оқушылар 90:15 мысалын есептегенде, 75:15 = 5 салыстырып, бірден 5-ті тексеріп кӛреді. 5 саны сай келмейді, 6-ны кӛреді. 15-ті 6- ға кӛбейткенде, 90 шығады, демек, 90:15 = 6.

Қалдықпен бөлу айырмашылығы екі санды бӛлу кезінде (бӛлінгіш және бӛлгіш) екі сан шығады: бүтін сан және қалдық. Қалдықпен бӛлуді үйрету кезінде оқушылардың ӛмірлік тәжірибесіне сүйене отырып, практикалық мәселелерді шешу арқылы түсіндіре бастауға болады, мысалы: «Мерекеге дайындық кезінде 3 вазаға 10 гүлді тең бӛліп қою керек. Әр вазада қанша гүл болады?» Мәселені шешу іс жүзінде орындалады. Оқушылар вазаға гүлдерді орнатады, 3 вазада 3 гүл және тағы 1 қалып қалғанын анықтайды. Мұғалім оқушылардың назарын 10-ды 3-ке бӛлуге болмайтынын аударады, алайда 9-ды бӛлуге болады және 1 қалдық қалатынын жазба арқылы кӛрсетеді: 10: 3 = 3 (қалд. 1). Содан кейін ол компоненттерді атайды: 10 - бӛлінгіш, 3 - бӛлгіш, 3 – толымсыз бүтін, 1 - қалдық. Енді тексеріс жүргізу керек. Ол үшін бӛлгішті толымсыз бүтінге кӛбейтіп, нәтижеге қалдықты қосу керек. Содан кейін, бірнеше мысалдарды шеше отырып, қалдық әрдайым бӛлгішке қарағанда аз болуы керек - бұл қалдықпен бӛлудің негізгі талабы деуге болады,  мысалы,  14: 5 = 2 (қалд.4) ;  12: 7 = 1 (қалд.5) ;

7: 9 = 0 (қалд 7) және т.б.

Қалдықпен бӛлу мысалдарын шешу кезінде оқушылар бӛлу ережесін біліп алуы керек: мысалы, 56-ны 9-ға бӛлу үшін, бӛлгішке кӛбейткенде 56-ға жақын сан шығатын санды таңдау қажет. Содан кейін қалдықты тауып, бӛлгішпен салыстыру қажет. Қалдық бӛлгіштен кіші болса, бӛлу дұрыс орныдалған болып есептеледі. Бірінші мыңдықтар, кӛп таңбалы сандарды ауызша кӛбейту мен бӛлудің тәсілдерін оқытуда келесі міндеттер орындалады: Бірінші        мыңдықтар,        кӛп        таңбалы        сандарды        ауызша        кӛбейту        мен бӛлудің келесі тәсілдері бар:

Разрядтық бірліктердің арақатынасын 47 – суреттегі кестені қолдана отырып қайталайды ( 2.4 тармақшасын қараңыз):Әр бағандағы сандарды салстырады, әр бағандағы сандар 10 есе ӛсіп жатқанын анықтайды, ал жазбада нӛл пайда болады.

10, 100, 1 000 сандарына кӛбейту кезінде кӛбейту мәніне және ауыстырушылық

Ӛрнектерді және нәтижелерді салыстыра отырып, оқушылар 10- ға кӛбейткенде санның оң жағыда бір нӛл пайда болғанын, ал 100-г кӛбейткенде екі нӛл жазылады деген қорытындыға келеді. Осы сияқты 1 000, 10000 және т.б. кӛбейту орындалады. Разрядтық бірлікке бӛлу компоненттер арасындағы қатынас пен кӛбейту амалының нәтижесі негізінде қарастырылады. Мысалы, 3•10=30, шыққан сан 30-ды екінші кӛбейткішке бӛлсек, бірінші кӛбейткішті аламыз: 30:10= 3. Мысалдарды салыстыра отырып, келесі қорытынды жасалады: 10-ға бӛлу дегеніміз нӛлді алып тастау. Сол сияқты 100; 1000 сандарына бӛлу дәл осылай түсіндіріледі: 100- ге бӛлу екі нӛлді алып тастау деген сӛз және т.б. Қалдықпен бӛлудің келсі жағдайын қарастырайық: 24:10 = 2 (қалд.4). Осы есептеу тәсілін жақсы меңгеру үшін, тапсырмаларды жұппен орындау ұсынылады: 20:10, 24:10. Мұндай тапсырмаларды орындау оқушылардың жазбаша бӛлу тәсілін меңгеруге үйретеді.

бӛлу тәсілдері Бірінші мыңдық, кӛп таңбалы сандарды жазбаша кӛбейту және бӛлу тәсілдерін оқыту барысында келесі міндеттер шешіледі:

Кӛбейту мен бӛлінудің жазбаша тәсілдері келесі ретпен оқытылады: Бір таңбалы санға кӛбейтуді оқыту кӛбейту амалының мәнін, кестелік және кестеден тыс кӛбейту мәнін, қосындыны санға кӛбейту ережесін қайталанумен басталады,.

Жазбаша кӛбейту.

Қосындыны санға кӛбейту ережесі кӛп таңбалы сандарды бір таңбалы санға кӛбейтудің теориялық негізі болып табылады. Дайындық кезеңінде оқушыларға екі таңбалы сандарды бір таңбалы санға кӛбейту ұсынылады, оны орындау үшін сандардың қосындысын бір таңбалы санға кӛбейту керек, мысалы: 24

Әдістемелік әдебиетте бір таңбалы санға жазбаша кӛбейтудің мынадай жағдайлары қарастырылады:

Бір таңбалы санға кӛбейтуді түсіндіруді ауызша кӛбейту тәсілінен бастау ұсынылады:

1 278

Мұғалім жазба формасын кӛрсетуі керек: алдымен бірінші кӛбейткіш жазылады. Екінші кӛбейткіш – бір таңбалы сан, ол бірінші

кӛбейткіштің бірлігі астына жазылады. Екінші кӛбейткіш астына сызық сызылады. Бірінші және екінші кӛбейткіштің арасына сол жағына кӛбейту таңбасы қойылады. Бірінші кезеңде (толық әрекет кезеңі), орындалған барлық әрекеттерді ауызша айту керек, мысалы: « Кӛбейтуді бірліктерден бастаймыз. 6-ні 3-ке кӛбейтеміз, 18 болады. 18 саны - 1 ондық 8 бірліктен тұрады. 8 бірлікті бірліктер астына жазамыз, ондықты есте сақтаймыз. 2 ондықты 3-ке кӛбейтесіз, 6 ондық аламыз, ойдағы 1 ондық бар, барлығы 7 ондық, ондықтар астына 7 санын жазамыз. 4 жүздікті 3-ке кӛбейтеміз, 12 жүздікке тең. Он екі жүздік бұл 1 мыңдық және 2 жүздік, демек 2 жүздіктердің астына, ал 1-ді мыңдықтардың астына жазамыз. Барлығы 1 278 болады ». Мұғалім оқушыларға барлық қажетті разрядтық бірліктерді дәптерге немесе шимай дәптерге жазуды ұсынады: 6 бірл • 3 = 18, 18 бірл. = 1 онд. + 8 бірл. және т.б. Екінші кезеңде (ішінара толық әрекет) мұғалім ойлау барысында разрядтарды ауызша айтпауды ұсынады. Үшінші кезеңде (жабық әрекет) оқушылар ойлану кезінде барлық аралық әрекеттерді ӛздерінің ішінен айтады. Нӛлге аяқталатын санды бір таңбалы санға кӛбейтуді оқушылар ауызша орындаса болады, алайда мұндай мысалдарды жазбаша шешуге жол беруге болады. Бұл жағдайда жазбаның ӛзгертілген формасын түсіндіру керек. Мұғалім оқушыларға бірінші кӛбейткіштің бірлігінде 0 бар екенін хабарлайды, ал кез келген санды 0-ге кӛбейткенде 0 шығады, сондықтан кӛбейтуді ондықтан бастап, жауабын ондық астына жазып, нәтиженің бірлігіне нӛлді тіркеу керек:

Жазу формасы разрядтық сандарға кӛбейту кезінде де ӛзгереді. Оқушыларға екінші кӛбейткіштің нӛлі мәні бар цифра болып есептелмейтіні хабарланады. Бірінші кӛбейткіштің бүтін ондықтарға кӛбейтуі орныдалады, содан соң алынған нәтиже 10-ға кӛбейтіледі, яғни, соңына нӛл тіркеледі. Бұл есептеудің теориялық негізі – кӛбейтудің терімділік қасиеті. Осылайша,  мысалы,  127-ні  20-ға  кӛбейтуді  келесідей  беріуге

болады: 127 * 20 = 127 * 2 * 10 = 254 * 10 = 2540. Бұл ереже бүтін жүздіктерге, мыңдықтарға және т.б. кӛбейтілгенде қолданылады. *

2 540 Екі таңбалы, үш таңбалы немесе кӛп таңбалы сандарға кӛбейту санды қосындыға кӛбейту ережесіне негізделеді. Санды қосындыға кӛбейту ережесін оқушылар екі таңбалы сандарды кестеден тыс кӛбейту және бӛлуге арналған тапсырмаларды орындау барысында меңгерген. Сондықтан, оларға әртүрлі тәсілдермен ӛрнектің мәнін табуды және ең оңай тәсілді таңдауды ұсынуға болады:

15 * (2 + 8) = 15 * 2+15 * 8 = 150;        15 * (2 + 8) = 15 * 10 = 150. Оқушылар санды шыққан бӛліндіге кӛбейту ережесін санды қосындыға кӛбейту ережесімен шатастырмау үшін, есептеу үшін мынадай тапсырмаларды ұсыну ұсынылады: 15 • 40; 15 • (10,4); 15 •

(10 + 4).

Екі таңбалы санға жазбаша кӛбейту кезінде бірінші кӛбейткіш екінші кӛбейткіштің бірліктеріне кӛбейтіледі, содан кейін екінші кӛбейткіштің ондығына кӛбейтіледі, содан кейін шыққан толымсыз бӛлінділер қосылады. Екі таңбалы санға кӛбейтудің жазбаша алгоритмін түсіндіру үшін екі таңбалы санды екі таңбалы санға кӛбейтудің ауызша әдісін қолданады.

Мысалы, 38 * 26 = 38 * (20 + 6) = 38 * 20 + 38 * 6 = 760 + 228 = 988. Содан кейін, бірінші кӛбейткіш екінші кӛбейткіштің әр разрядтық қосылғыштарына кезегімен кӛбейтіледі және толымсыз ӛнімдер қосылады. Оқушылар келесідей қорытынды жасайды: екі таңбалы санға кӛбейту үшін үш әрекетті орындау қажет. Мұғалім екі таңбалы сан бойынша кӛбейту жазбасын бағанда кӛрсетеді:

2 540

Оқушылардың        ойы        келесідей        болуы        мүмкін:        «38-ді        26-ға кӛбейту        керек.        Алдымен                36-ны        екінші        кӛбейткіштің        6        бірлігіне

кӛбейеміз. Бірліктерден бастаймыз. 8-ді 6-ға кӛбейткенде 48 болады. 8-ді бірліктер астына жазамыз, 4 ойда. 3-ті 6-ға кӛбейтеміз 18, және ойдаңы 4-пен 22 болады. Ондықтардың астына 2-ні және жүздік разрядында 2-ні жазамыз. Алғашқы толымсыз ӛнімі - 228. Енді  38-ді 2 ондыққа кӛбейтеміз. Ондықтарды кӛбейкендіктен нәтижені деондықтарастына жазамыз. 8 кӛбейту 2, 16 болады. 6-ны ондықтар астына жазамыз, 1 ойда қалады. 3-ті 2-ге кӛбейтеміз, 6 және ойдағы 1- мен барлығы 7. Жүздік астына7 жазамыз. Екінші толымсыз ӛнім- 76 ондық. Енді бірінші және екінші толымсыз ӛнімдердің арасында қосу таңбасын қойып, оларды қосамыз. 988 шығады». Кӛбейткіштер нӛлдерде аяқталатын екі таңбалы сандарға кӛбейту жағдайларын қарастырған жӛн, мысалы, 600 • 80. алдымен ауызша кӛбейту орындалады:

Оқушылардың назарын бірінші және екінші кӛбейткіштерде қанша нӛл болса, кӛбейтіндіде де сонша нӛл болатынына аудару керек. Содан кейін «бағанда» кӛбейту жазуын кӛрсетіп, кӛбейткіштің мәні бар сандар қатарына нӛл кірмейтінін еске салу керек: *

4 8000 Есептеу тәсілдерін түсіндіргенде оқушылар барлық негізгі операцияларды белгілі бір жүйемен кӛрсетеді. Бұл әр операцияның орны мен мағынасын түсінуге кӛмектеседі. Мұндай түсіндірмелер тек оқушылар үшін жаңа болып табылатын операцияларға берілуі керек. Таныс операцияларды орындаған кезде түсіндірмелер қысқаша баяндалуы керек. Үш таңбалы және кӛп таңбалы санға кӛбейтуді оқыту да сондай- ақ санды қосындыға, санды бӛліндіге кӛбейту ережелеріне негізделген. Мұғалім ауызша кӛбейту алгоритмін талдау кезінде түсіндіреді. Бірінші кӛбейткішті екінші кӛбейткіштің әрбір разрядтық қосылғышына кӛбейту және толымсыз ӛнімдерді қосу амалы орындалады. Екі таңбалы санға кӛбейтумен салыстыру жүргізіледі.

. Кестелік кӛбейту, кестеден тыс кӛбейту,разрядтық санды бір таңбалы санға жазбаша кӛбейту, қосындыны санға кӛбейту

ережесін қайталау, бір таңбалы санға жазбаша кӛбейту алгортмін зерттеу оқушыларды «бағанда» кӛбейту жазбасымен таныстыру, бір таңбалы санға жазбаша кӛбейтуді орындау қабілетін қалыптастыру.

Ауызша есеп . 1. 674 санын оқыңыз. Санда қанша жүздік бар? Санда қанша разрядтық ондық бар? Қанша разрядтық бірлік бар? Санды разрядтық қосылғыштар қосындысы ретінде кӛрсетіңіз. 4. Қатарды жалғастырыңыз: 12, 15, 18 ..., ...; 12, 16, 20, 24, ..., ....

Білімді жаңарту . Мысалды шешейік: 234 • 2. Қалай орындау керектігін есіңізге түсіріңіз. 234-ті разрядтық қосылғыштар қосындысы ретінде қарастырайық, әр разрядтық қосылғышты 2-ге кӛбейтіп шығамыз да, мәнін табамыз:

. Бүгін біз «бағанда» жазбаша кӛбейту жазбасымен танысамыз. Мысалды жазу былай болуы керек. Біріншіден, бірінші кӛбейткішті жазып аламыз. Екінші кӛбейткіш - бұл бір таңбалы сан, біз оны бірінші кӛбейткіштің бірлігі астына жазамыз. Содан кейін бірінші және екінші кӛбейткіштің арасына сол жағына кӛбейту белгісін қойып, астына сызық сызамыз. Енді бірліктерден кӛбейте бастаймыз: 4 кӛбейтілген 2, 8 болады; 8 бірлікті бірліктер астына жазамыз. Содан кейін 3 ондықты 2-ге кӛбейтіп, 6 ондығын аламыз, ондық разряды астына 6 жазамыз; 2 жүздікті 2-ге кӛбейтеміз, 4 жүздікке тең, жүздіктер астына 4-ті жазып қоямыз. Жауап: 468. *

Алынған білімді қолдану . Ауызша және жазбаша кӛбейтуді шешу қадамдарын салыстырайық. Екі жағдайда да әрбір разрядтық сан бір таңбалы санға кӛбейтеді. Назар аударыңыз, ауызша кӛбейтуде кӛбейту ең жоғарғы разрядтан басталады, ал жазбаша кӛбейтуде ең кіші – бірліктер разрядынан басталады.

312-ні ауызша және жазбаша түрде кӛбейту орындалады. Есептеу

жолын салыстырыңыз. Қалай есептеу ыңғайлы? *

936;

= (300 +10 + 2) • 3 = 300 • 3 +10 • 3 + 2 • 3 = 900 + 30 + 6 =

«Бағанда» жазу қалай жүзеге асады? Екінші кӛбейткіш қайда жазылады? жазбаша кӛбейтуді қандай разрядтан бастау керек? Кӛбейту нәтижелері қайда жазылады?

Бір таңбалы санға жабаша бӛлудің теориялық негізі - бұл қосындыны санға бӛлу. Сондықтан мынаны қайталау керек: Кіші санды үлкен санға бӛлу жағдайына ерекше назар аудару керек, мысалы: 5: 8 = 0 (қалд. 5). Бӛлімді тексереміз: 5 = 0 • 8 + 5. Жаңа материалмен танысуды ауызша бӛлуден бастауға болады. Бұл жағдайда бӛлінгішті қосылғыштар қосындысы түрінде ұсынудың мүмкін нұсқаларын талқылау ұсынылады: 378: 6 = (300 + 70 + 8): 6;

378: 6 = (300 + 60 + 18): 6; 378: 6 = (360 + + 18): 6.

Ӛрнектерді салыстыру арқылы оқушылар бӛлінгішті әрқайсысы осы санға бӛлінетіндей етіп қосылғыштар қосындысы ретінде кӛрсетуі керек екенін түсінеді. Жазбаша тәсілмен танысуды әр разрядтық бірлігі осы бір таңбалы санға бӛлінетін санды бӛлумен бастауға болады, мысалы, 648: 2. Бӛлінгішті разрядтық қосылғыштар қосындысымен ауыстырады да қосындыны санға бӛлу ережесі қолданылады: 648: 2 = (600 + 8 + 40) : 2 = 600 :2 + 40: 2 + 8: 2 = 300 + 20 + 4 = 324. Бӛлу

жазбасын «бұрышпен» кӛрсетеді. Оқушылар бӛлудің жазбаша әдісі

негізінде қосындыны санға бӛлу принципі жатқанын түсінуі керек. Содан кейін бӛлінгішті ыңғайлы қосылғыштар қосындысымен ауыстыру қажет болған жағдай ұсынылады: 984: 4 = (800 + + 160 +

Ой мынадай болады: «Алдымен, бӛлінгішті жазып аламыз. Бӛлу таңбасын тік бұрышпен белгілейміз, оның бір жағы тӛмен қарай жалғасады. Бұрыштың  ішіне бӛлгішті жазамыз. Бӛлуді ең жоғары разрядтан бастаймыз. Бӛлінуден алынған әр разрядтың бүтін санын бӛлінгіш астына жазамыз. 9 жүздікті 4-ке бӛлеміз, 9 4-ке қалдықсыз бӛлінбейді, 4-ке 8 бӛлуге болады, 2 шығады, жауапқа 2 деп жазамыз. Біз алғашқы толымсыз бүтінді дұрыс анықтай алдық па? Тексереміз, 4-ті 2-ге кӛбейтеміз, 8 аламыз. 8-ді бірінші толымсыз бӛлінгіш 9-дың астына жазамыз, қалдық табамыз: 9-дан 8-ді азайтамыз, жүздік разрядта 1 шығады. Қалдық 1 бӛлгішке қарағанда кіші, демек, бірінші толымсыз бүтін бӛлінді дұрыс болып табылады. Екінші толымсыз бӛлінді қалыптастырамыз. Қалдық 1-дің қасына бӛлінгіштің келесі саны 8-ді жазамыз. Екінші толымсыз бӛлінгіш - 18. Енді 18-ді 4-ке бӛлеміз. 18 4-ке қалдықсыз бӛлінбейд. Сондықтан 16-ны 4-ке бӛлеміз, 4 шығады. Тексереміз, толымсыз бӛлінді дұрыс таптық па? Анықтаймыз. 4-ті 4- ке кӛбейтеміз, 16 шығады. 16-ны екінші толымсыз бӛлінгіш 18 астына жазамыз. Қалдықьы табамыз: 18-ден 16 азайтамыз, 2 болады. Қалдық 2 бӛлгіштен кіші, демек екінші толымсыз бӛлінді те дұрыс анықталды. Үшінші толымсыз бӛлінгішті құрамыз. Қалдық 2 жанына бӛлінгіштің келесі саны 4-ті жазамыз. Үшінші толымсыз бӛлінгіш - 24. Енді, 24-ті 4-ке бӛлеміз, 6 шығады. Жауапқа 6 жазылады. Толымсыз бӛлінді дұрыс анықтағанымызды тексереміз. 4-ті 6-ға кӛбейтеміз, 24 шығады. 24-ті үшінші  толымсыз  бӛлінгіштің  астына  жазамыз,  қалдық  табамыз.

Қалдық 0. Бӛлінгіште басқа сан жоқ. Бӛлу аяқталды. 246 шықты». Бастауыш сынып оқушылары бӛлінді таңдауда жиі қателеседі. Сондықтан, оқушылар бӛлуге кірісерде, оларға бӛліндідегі сандар санын анықтауды үйрету керек. Егер бірінші толымсыз бӛлінгіш – бір таңбалы сан (бӛлінгіштегі бірінші сан бӛлгішке тең немесе одан үлкен) болса, онда бӛліндіде бӛлгіште қанша сан болса сонша сан болады. Егер бірінші толымсыз бӛлінгіш –екі таңбалы сан болса (бӛлінгіштегі бірінші сан бӛлгіштен кіші, сондықтан бӛлуді алғашқы екі цифрлі саннан бастау керек), онда бӛліндідегі сан бӛлінгіштеге сандардан бір цифрге кем болады. Оқушылар бірінші толымсыз бӛлінгіш қандай сан екенін анықтай отырып, (бір таңбалы немесе екі таңбалы) бӛлінді жазатын жерге нүкте қояды, сондан соң бӛлінгіште неше сан болса, сонша нүкте қойылады. Бӛліндіде қанша сан болуы тиіс екенін алдын ала болжау бӛліндідегі нӛлді ӛткізіп алмауға мүмкіндік береді. Әсіресе бӛлінді ортасында нӛл болатын жағдайларды шешуге назарды кӛбірек аудару керек.

Нӛлмен аяқталатын сандарды бір таңбалы санға бӛлу кезінде, қалдықта нӛл алғаннан кейін де бӛлу аяқталмағанына назар аудару

керек, себебі бӛлінгіште тағы бір сан бар – нӛл. Нӛлді бӛлгішке бӛлеміз және тағы бір толымсыз бӛлінді аламыз – нӛл, оны бӛліндіге жазамыз. Екі таңбалы немесе үш таңбалы санға бӛлудің теориялық негізі бӛліндіге бӛлу ережесі болып табылады. Бұл ережені қайталап, арнайы таңдап алынған жаттығулар кешенін орындау қажет, мысалы:

32: (2 * 4), 90: (5 * 2), 280:(7 * 4), 80:(5 * 4).

Әртүрлі тәсілдермен тапсырмаларды орындау арқылы оқушылар есептеудің ыңғайлы әдісін таңдап, қатесіз әрі тезірек шешуге болатынын түсінеді. Олар разрядтық сандарға бӛлуді орындағанда да осы ережені қолдануға үйренеді, мысалы:

720: 80 = 720: (8 * 10) = 720: 10: 8 = 72: 8 = 9.

Оқытудың осы кезеңінде қалдықпен бӛлу енгізіледі: 150: 30 = 5; 158: 30 = 5 (қалд.8). Бұдан кейін мұғалім бӛлудің жазбаша тәсілін кӛрсетеді: 5 130: 90. Түсіндірме бұл жағдайда келесідей болуы мүмкін: «Бірінші толымсыз бӛлінгіш - 513 ондықты құрайды, яғни бӛлінді жазбада 2 цифр - екі таңбалы сан болады. Бұл туралы ұмытпас үшін нүтелер қойылады. Бӛліндіде неше ондық болатынын білеміз. 513-ті 90-ға бӛлеміз. Бӛліндіде бірінші сынамалы санды жеңілдету үшін алғашқы толымсыз бӛлінгішті 10-ға, сосын 9-ға бӛледі. Шамамен 5 шығады. Бӛліндіде сонша ондық болады. Қанша ондықты бӛлгенімізді анықтамыз, ол үшін 90-ды 5-ке кӛбейтеміз, 450 болады. 513-тен 450-ді азайтамыз, қалдық 63-ке тең. Бӛліндідегі санды тексереміз. Бұл  үшін қалдықты бӛлгішпен салыстыру керек: 63 <90, яғни бӛліндінің алғашқы сынама саны дұрыс таңдалды. Екінші толымсыз бӛлгішті құрамыз: 63 ондық - бұл 630 бірлік. 630- ды 10-ға бӛліп, нәтижені 9-ға бӛлеміз. 7 шығады. Бұл разрядтағы қанша бірлікті бӛлгенімізді тексереміз. Бұл үшін 90-ды 7-ге кӛбейтеміз және нәтижені екінші толымсыз бӛлінгіштен азайтамыз. Қалдықта 0 қалды. Бӛлу аяқталды. Бӛлінді – 57».

Келесі кезеңде екі таңбалы санға бӛлу енгізіледі. Бірінші мысал Түсініктеме келесідей  болуы мүмкін: «Бӛлгішті ең  жақын ең кіші разрядтық санмен ауыстырамыз - бұл 60. Сынамалы санды таңдауды жеңілдету үшін бӛлінгішті 10-ға бӛлеміз: 488:10~48. Сосын 48-ді 6-ға бӛлеміз, болады 8 - бұл сынамалы сан (пробная цифра). Бӛліндінің сынамалы саны дұрыс таңдалғанын тексереміз. Бұл үшін 61-ді 8-ге кӛбейтіп, 488 аламыз. Бӛліндінің сынамалы саны дұрыс таңдалған». Содан        кейін        тӛрт        таңбалы        санды        екі        таңбалы        санға        бӛлу

неғұрлым күрделі мысалы ұсынылады.

Бӛлу бірінші толымсыз бӛлінгішті анықтаудан, бӛлндідегі сандардың цифрін анықтаудан басталады. Түсіндірме әрбір есептеу амалының негіздемесі бойынша егжей-тегжейлі жүргізіледі.

Айта кететін жайт, жуықтауды екі жолмен жүзеге асыруға болады: бірінші толымсыз бӛлінгіш 95-ті 10-ға және 2-ге бӛлеміз. Бӛліндінің сынама санын анықтаймыз. Бұл үшін 9-ды 2-ге бӛлеміз, 4 шығады және қалдықта 1. Таңдалған санның дұрыстығын тексереміз. 28-ді 4- ке кӛбейтеміз, 112 шығады. 112> 95, демек сынамалы сан дұрыс таңдалғмаған, егер бӛлгішті 30-ға дейін жуықтасақ, бӛліндінің бірінші сынақ саны дұрыс болады. Бӛлудің дұрыс орындалғанын тексеру үшін бӛлгішті бӛліндіге кӛбейту және бӛлінгішті бӛліндіге бӛлу арқылы жүзеге асыруға болады. Оқушылар мынаны меңгеруі тиіс:  бӛліндіге  сынамалы санды таңдау үшін бӛлгішті жуықтап және толымсыз бӛлінгішті 10-ға және бӛлгіштің разрядтық ондығына бӛлу керек (үш таңбалы санға бӛлгенде – 100-ге және бӛлгіштің жүздігіне бӛлу керек). Бұл жағдайда, бір таңбалы немесе екі таңбалы санды бір таңбалы санға бӛлудің арифметикалық мысалын алуға және ауызша толымсыз бӛліндіні табуға болады. Бӛлінді санын табу үшін бірнеше сынама сандарды таңдау қажет болатын жағдайларға ерекше назар аудару керек, мысалы 25 623: 34. Оқушылар жазбаша бӛлудің алгоритмін оқып үйренгеннен кейін, бӛлінді жазбасынынң ортасында нӛл болатын екі таңбалы санға бӛлу жағдайларын қарастыруға болады, мысалы, 9 648: 24.

Кӛптеген мұғалімдер оқушыларға мынаны ұсынады:

Біліктіліктің межелік деңгейі *

Оқушы жауабының дұрыстығын тексеріңіз: «3425 тексеру - бірінші кӛбейткіш 24 - екінші кӛбейткіш, 13700 - алғашқы толымсыз кӛбейтінді, 68 500 екінші толымсыз кӛӛбейтінді деп атаймыщ. 82 200 - бұл толық кӛбейтінді». тексеріңіз: «бірінші толымсыз бӛлінгішті таңдаймыз — 345 ондық, бӛліндіде— 2 цифр. Бӛліндідегі цифрді табу үшін бӛлгішті ең жақын кіші разрядтық санмен ауыстырамыз— 50. 345-ті 10-ға бӛлеміз, алынған бӛліндіні 34 5-ке бӛлеміз. Бӛліндінің бірінші сынамалы саны— 6. Қанша ондықты бӛлгенімізді анықтау үшін 54-ті 6-ға кӛбейтеміз, 324 шығады. 324-ті 345-тен азайтамыз, 21 шығады. Қалдықты 21 бӛлгішпен 54 салыстырамыз. 21 54-тен кіші. Бӛліндінің бірінші саны дұрыс болып шықты, екінші толымсыз бӛлінгішті құрамыз — 216. 216-ны алдымен а 10-ға, алынған бӛліндіні —5-ке бӛлеміз,  4 шығады.  4-ті 54-ке кӛбейтеміз, 216 шығады. 216-дан 216 азайтамыз, қалдық нӛлге тең, бӛлу аяқталды. Жауабы 64». Б. 80-ді 20-ға бӛлу үшінбӛлінгіш пен бӛлгішті 10-ға бӛлуп алу керек, сонда мына ӛрнекке ие боламыз: 8:2=4. Г. 80-ді 20-ға бӛлу үшін, 20-ға кӛбейткенде 80 шығатын санды таңдау керек. 3-ті 20-ға кӛбейтеміз, 60 болады. 3 болмайды, келесі сан 4-ті кӛреміз. 20 кӛбейту 4 болады 80. демек, 80:20=4. Дұрыс жауапты таңдаңыз. Түсіндірмелердің қайсысы есептеуде қателік жасауға алып келуі мүмкін болғандықтан пайдалану ұсынылмайды? а)        бӛлінгішті разрядтық қосылғыштар қосындымен ауыстырылады, содан соң қосындыны санға бӛлу ережесін қолданады; б)        бӛлінгішті екі санның бӛліндісімен ауыстырылады және бӛліндіні санға бӛлу ережесі қолданылады; в)        бӛлінгішті        ыңғайлы        қосылңыштар        қосындысымен ауысытырылады, қосындыны санға бӛлу ережесі қолданылады;

г) тиісті санды таңдау әдісі қолданылады.

дұрыстығын тексеріңіз: «бірінші толымсыз бӛлінгіш — 324 ондық. Бӛлінді екі саннан тұратын болады, 324-ті 60-қа бӛлеміз. Бұл үшін алдымен 10-ға бӛлеміз, сонда сынама санды таңдау жеңілдейді, содан соң 6-ға бӛлеміз, 5 шығады – сонша ондық бӛліндіде болады. Қанша ондықты бӛлгенімізді анықтаймыз. Ол үшін 60-ты 5-ке кӛбейтеміз, 300 болады. 300-ді 324-тен азайтамыз, 24 шығады. 24 ондықты бӛлу керек. Қалдықты бӛлгішпен салыстырамыз: 24 < 60, демек, сан дұрыс таңдалған. Екінші толымсыз бӛлінгіш— 240 бірлік. 240-ты 60-ға бӛлеміз. Бұл үшін 240-ты 10-ға бӛлеміз, 24 шығады. 24-ті 6-ға бӛлеміз, 4 болады — бӛліндідегі бірлік сонша болады. 60-ты 4-ке кӛбейтеміз, 240 шығады. Барлық бірліктер бӛлінді. Жауап — 54». және бӛлгішке кӛбейтілгенде бӛлгішке жақын, бірақ одан үлкен емес санды беретін санды таңдау болып табылатыны рас па? Б. 16-ны мына сандарға бӛлгенде: 3, 4, 5, 6 қандай қалдық қалатынын тексеріңіз.

Санды разрядтық санға кӛбейткенде бӛліндіге кӛбейту ережесіне – һ кӛбейтудің терімділік қасиетіне сүйенеді: a(bc)= = (ab)c? Есептеу барысында жазба келесідей: 8 • 300=8 • (3 • 100) = =(8 • 3) -100=24 •

100=2 400. Есептеудің бұл тәсілімен таныспас бұрын мыналарды қайталаған дұрыс болып табылады: а) санды 10, 100, 1 000-ға кӛбейту; б) санды бӛліндігекӛбейту ережесі. Оқушыларды бӛлудің жабаша тәсілдерін (бағанда) меңгеруге дайындық ретінде қалдықпен бӛлу деп аталатын бӛлудің ерекше жағдайымен таныстыру керек, мысалы 5:7 және т.б. Ойлау келесідей болуы мүмкін: « санды бӛлу үшін, 7-ге кӛбейткенде 5 ке жақын сан шығатын, алайда одан үлкен емес санды таңдау керек. Бұл сан -нӛл. 5:7=0 (қалд. 5)». 42:3, 96:4, 70:2, 528:4 сияқты мысалдарды шешу үшін кӛбейту кестесін және тиісінше бӛлу жағдайларын білу керек, санды ыңғайлы қосылғыштар қосындысы ретінде бере алу, қосындыны санға бӛлу ережесін білу және пайдалана алу, мың кӛлеміндегі сандарды қоса білу (разрядтық сандар қосындысы), мысалы: 96:4 = (80+16):4 = 20 + 4; 70:2

= (60+10):2 = 30 + 5 = 35; 528:4 = =(400+120+8):4=100+30+2 + 132. Санды бӛлудің жазбаша тәсілі қолданылса, бір таңбалы санға бӛлу алгоритмін білу және қолдана алу керек.. *

Оның ойының дұрыстығын тексеріңіз: «2 345 –ті 7-ге кӛбейту керек. Екінші кӛбейткішті жазамыз, екінші кӛбейткіш астына сызық сызамыз, сол жаққа кӛбейту белгісін қоямыз. Кӛбейтуді бірліктерден бастаймыз, 5 кӛбейту 7 болады 35, немесе 3 ондық және 5 бірлік. 5 бірлікті бірліктер астына жазамыз. 3 ондық ойда сақталады. 4 ондықты 7-ге кӛбейтеміз, 28 шығады, ойдағы 3-ті қосамыз, 31 ондық шығады. Бұл 3 жүздік және 1 ондық, 1 ондық ондықтардың астына жазылады, 3 жүздік ойда сақталады. 3 жүздік кӛбейту 7, болады 21 жүздік, ойдағы 3 жүздікті қосамыз, 24 жүздік шығады — бұл 2 мыңдық және 4 жүздік. 4 жүздікті жүздіктер астына жазамыз, 2 мыңдық ойда сақталады. 2 мыңдықты 7-ге кӛбейтеміз, 14 мыңдық болады, ойдағы 2 мыңдықпен 16 мыңдық болады, шыққан санды жазамыз: 16 415».

а)     сәйкес санды таңдау; б) бӛлінгішті разрядтық қосылғыштар қосындысымен ауыстыру және қосындыны санға бӛлу ережесін қолдану;

в)     бӛлінгішті ыңғайлы қосылғыштар қосындысымен ауыстыру және

Біліктіліктің ілгері деңгейі .13. Мың кӛлеміндегі және кӛп таңбалы сандарды ауызша есептеу әдістері қандай? Әр әдісті оқытудың теориялық негізі мен әдісі қандай? Есептеу мысалдарын келтіріп, оқушының ойлау үлгісін келтіріңіз. • 2 • 50 = 32 • (2 = 50) = 3,200; 32 • 80 + 32 • 20 = 32 • 100 = 3 200; 83 • 15

мысалын шешкенде мұғалім ауыстырушылық қасиетті қолдануды ұсынды: 1 • 5 = 5, 5 • 1 = 5.

Сол сияқты, мұғалім бірнеше мысал құрастырды: 1 • 4 = 4 и 4 • 1 =4; 14 • 1 = 14 и 1 • 14=14 • және т.б. Мысалдардың шешімін салыстыру арқылы, ол: санды бірге кӛбейту кезінде де бірді санға кӛбейткенде де бірдей сан шығатынын анықтады. Мұғалім қандай қателік жасады? 3 = (30 + 12): 3. Қосындыны санға бӛлу ережесін қолданамыз. Қосындыны санға бӛлу үшін әр қосылғышты осы санға бӛліп, нәтижелерді қосу керек. 42: 3 = (30 + 12): 3 = 30: 3 + 12: 3 = 10 + 4 = 14». Түсіндіруден кейін мұғалім бекітуге арналған есеп ұсынды: 56: 4. Мұғалім қандай әдісті пайдаланды? 7.

а) 48:2+6 • 3, (48:2+6) • 3, 48:(2 + +6) • 3; б) 48 - 6+7+8, 48:6-7:8 сияқты есептер ұсынылады. Олар тӛмендегі мәселелерді шешуге мүмкіндік береді ме: ӛрнектерде амалдар реттігі ережелерін қолдануқабілетін бекіту; белгілі бір ереже бағытталған ерекшеліктер тұрғысынан әртүрлі сандық ӛрнектерді талдауды үйрету; ӛрнектердегі амалдар тәртібін есте сақтау қабілетін дамыту?

B. Жазбаны аяқтау: (200 + 60 + 4) * 3 = 200 * 3 + ... + ...

C. 245 * 3 = (200 + 40 + 5) 3 = = 200 * 3+40 * 3+5 * 3 = 600+120 + 15 =

735 есептеу тәсілін түсіндіру Мұғалімнің әрекетіне сипаттама беріңіз. Осы жаттығулар арқылы кӛбейтудің жазбаша алгоритмін қолданбауға, жазбаша және ауысша тәсілдер арасында байланыс орнатуға, ауызшадан жазбаша тәсілге ӛтуге, оқушыларды жазбаша алгоритмнің  артықшылығына сендіруге кӛмектеседі ме? Жауабыңызды дәлелдеңіз. т.б.); D) алгоритмдерді талдау (мысалы, ӛрнек салыстыру: 240:6 және 24:66, т.б.). Тапсырмалар дұрыс таңдалған ба? Жауапты дәлелдеңіз,

= 3, 15 : 3 =5. Содан кейін кӛбейту мысалын бӛлу мысалымен салыстырып, қорытындылады: егер бӛліндіні кӛбейткіштердің біріне бӛлсек, онда екінші кӛбейткіш шығады. Бӛлінді мен кӛбейткіш арасындағы байланысты меңгеру үшін мұғалім бӛлуге арналған мысалдарды шешуді ұсынды (5 * 8 = 40 және 40: 5 = ... және т.б.); кӛбейту мысалымен бӛлуге арналған 2 мысал келтіру; 9, 2, 18 сандарын қолданып кӛьейтуге 2 мысал және бӛлуге 2 мысал келтіруді ұсынды. Мұғалім қандай міндеттерді қойды? Мұғалімнің қолданған әдістерінің дұрыстығын дәлелдеңіз.

4 Тарау

МӘТІН АРИФМЕТИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ

4.1.

Мәтіндік есептер жалпы білім беру есептерін шешу қабілетін қалыптастыру мақсатында ғана емес, сонымен қатар оларды математикалық білімді игеру мүмкіндігімен қаматамасыз етіп, сондай-ақ оқушылардың интеллектуалды қабілеттерін дамыту үшін пайдалану мүмкіндігімен анықталады. Мәтіндік есептер арифметикалық іс-әрекеттердің мағынасын анықтау үшін және кейбір математикалық қатынастар мен түсініктерін түсіну үшін қолданылады. Есептерді шешу математиканың бастапқы сыныптарға арналған бағдарламаларына енгізілген теориялық сұрақтарды терең меңгеруге, математиканы ӛмірге байланыстыруға мүмкіндік береді. Есептерді шешу процесі оқушылардың ой-пікірін дамытады және табандылық, ерік-жігер, дәлдік сияқты жеке қасиеттерді тәрбиелеуге кӛмектесіп, шешім табу үдерісіне қызығушылығын оятып, проблеманы сәтті шешуге байланысты терең қанағаттануды сезінуге мүмкіндік береді және тағы да басқасы. Осылайша, мәтіндік есептер оқыту, тәрбиелеу және психикалық дамуды арттыруға арналған құрал болып табылады. Әдістемелік әдебиеттерде (Ю.М. Колягин, Ми Моро, А.М. Пишалка және басқалар), есептер мұғалім кӛмегімен математиканы үйрететін құрал болып табылады , яғни олар математиканы оқытуда анықталған функцияларды орындайды және осы мағынада оқытудың құралы болып табылады. Оқушыларды оқыту, тәрбиелеу  және дамыту құралы ретінде мәтіндік есептерді қолдану, білім беру, тәрбиелеу және білім беру функцияларын жүзеге асырумен байланысты. Оқыту ретінде математикалық білім мен дағдыларды қалыптастыруға бағытталған міндеттердің функциялары, мысалы, сандық   түсініктер,   арифметикалық   операциялар   және   олардың

қасиеттері және т.б. түсінеледі.

Даму функциялары психикалық процестерді (қабылдау, ойлау, сӛйлеу, қиял, кӛңіл, жады) дамытуға, психикалық белсенділік әдістерін меңгеруге, психикалық операцияларды қалыптастыруға бағытталған (талдау, синтездеу, салыстыру, қорыту, абстракция, индуктивті және дедуктивті қорытындылар, оларды болжау және тестілеу, зерттелген материалдың қоршаған ортамен байланысын табу). Білім танымдық қызығушылық пен тәуелсіздікті, білім беру жұмысының дағдыларын, адамның адамгершілік қасиеттерін қалыптастыруға, эмоционалдық саланы дамытуға, ӛзін-ӛзі бақылау және ӛзін-ӛзі бағалауға, және тұтастай - адамның қалыптасуына және дамуына бағытталған функцияларды білдіреді. Кез-келген есеп ӛз алдына жасырын немесе айқын түрде әрекет ететін әртүрлі функцияларды орындайды, сонымен қатар есептің басты функциясы негізгі мақсатпен анықталып, оқушылардың алдында тұжырымын қалыптастыру және бірінші кезекте іске асыру керек. Есепте бір уақытта бірнеше жетекші функция болуы мүмкін, мысалы, оқытулық        және        дамулық. Тәрбиелеу функциясы ӛте сирек негізгі функция болуы мүмкін, бірақ әресепте тәрбиелеу элементі болуы мүмкін және болуы  керек (Ю.М.Колягин).

4.2.

Сӛздің кең мағынада, зерттеулер мен рұқсаттар адам немесе шешімді модельдеуді талап ететін белгілі бір мақсатпен проблемалық жағдай деп түсініледі. Әдістемелік әдебиетте [2, 8] есепті орындау үшін қандай да бір есеп ретінде, оны іске асыру үшін іс-шара кӛрсетілмеген, бірақ нақты ақпараттың қажетті бӛлігі беріледі, оның негізінде таңдауға және әрекеттер жасауға болады . Басқаша айтқанда, кез-келген математикалық тапсырманы есептер ретінде қарастыруға болады, онда ол шартты және сұрақты таңдауды талап етеді, яғни сізге қажет нәрсені кӛрсету арқылы, мысалы:

Математикадан бастауыш курс барысында «есеп» ұғымын, әдетте, жағдайға байланысты лаконикалық пішінде сипатталған есептерге жатқызып, кейбір қатынастар мен шамалардың мәндері қарастырылады және деректерге тәуелді және олардың міндеттер мәтінінде кӛрсетілген нақты қатынастармен байланысты шамалардың белгісіз мәндерін табу ұсынылады. Сондықтан, есептерді мәтіндік, сюжеттік немесе есептеулік деп атайды. Мәтіндік есеп - жағдайдың, оқиғаның, процестің немесе құбылыстың ауызша үлгісі. Сандық немесе алфавиттік деректер (шамалардың мәндері) және мәтін келтірілген деректердің не екенін түсіндіреді, бұл есептің күйі болып табылады. Сұраныс сұранымның (сұрақтың) барлығында, ол императивті де, сауалнама түрінде де болуы мүмкін. Кейде есеп шарттың бір бӛлігін немесе есептің бір бӛлігін сұрақ түрінде кӛрсетуге болады, мысалы: «Олегке екі белгі ұсынылғаннан кейін, онда 7 белгі болса, Олегте оған дейін қанша белгі болды?» «Есепті        шешу»        термині        әр        түрлі        мағынада        қолданылады: Есепті шешу - есепке кіретін байланыс пен тәуелділікті орнату және осы негізде шешімді таңдап, содан кейін орындау және есептің сұрағына жауап беру. Толық шешім міндеттерді талдаудан, іс-әрекеттердің кезектілігін кӛрсететін жоспарды, әрбір іс-әрекет үшін түсіндірулерді, осы әрекеттерді орындауды, алынған шешімді тексеруді және есептің сұрағына жауапты жазуды қамтиды. Тәжірбиеде мұндай жағдайлар жиі туындайды. Мұғалім есепті бергеннен кейін (мысалы, Бірнеше алма болды, 3 алма желінді, 7 алма қалды. Қанша алма ыдыста болды?). Оқушылар «10» деп жауап береді. Мұғалім: «Сіз қалай білдіңіз?»,  - деген сұраққа оқушылар «болжау»,        «ойластыру»,        «себебі        3        пен        7-нің        қосындысы        10-ды

береді» деген жауап береді. Мұғалім осындай жауапқа риза емес. Сондықтан, оқушы түсіндіру тиіс, яғни есепті шешу үшін қандай іс- әрекеттер қолдану және есептің сұрақтарына жауап берілу керек. Шешім жазу - сандар мен белгі кӛмегімен сіз қалаған санын алу үшін не істеу керек кӛрсету.

4.3.

Әдістемелік себептер бойынша әртүрлі есептер топтары бӛлінеді. Барлық мәтін есептеры әрекеттер санына қарай қарапайым және күрделі болып бӛлінеді. Қарапайым есеп бір әрекетте шешіледі , ал күрделі есеп екі немесе одан кӛп әрекетте шешіледі. Кейбір есептерді шешкен кезде, әрекетті таңдаудың қажеті жоқ. Кейбір есептердің сұрағына жауап беру үшін, мән-мағынаны ақылға қонымды негізде байланыстыру жеткілікті, ал арифметикалық әрекет талап етілмейді. Мұндай есептерді сұрақтар есепсы немесе логикалық есептер деп атайды, мысалы: А. Екі пункттен бір уақытта қарама қарсы екі кеме шығып 6 сағаттан соң кездесті. Әр кеме жолда қанша уақыт болды?

Деректердің санына және белгісіз есептерге сәйкес анықталған, анықталмаған және аса анықталған болады. Анықталған есептер шешім   үшін   қанша    дерек    қажет    болса,    соншасын қамтиды. Анықталмаған және аса анықталған есептер жеткіліксіз деректер немесе артық деректерді қамтиды. Сюжет бойынша қозғалыс, жұмыс, уақыт және т.б. үшін есептер ерекшеленеді. Шешім әдістеріне сәйкес міндеттердің келесі түрлері болады: пропорционалды бӛлу; арифметикалық орта; пайыздар; соңынан бастап шешілетін есептер және т.б. Есептерді шешу әдістері арифметикалық, алгебралық, геометриялық (графикалық), логикалық және т.б. болады.

Қарапайым есептердің жіктелуін қарастырайық.

Бастауыш мектептегі қарапайым мәтіндік есептерді таңдау және орналастыру      жаңа      сұрақтарды      қараудың      арифметикалық

теориясының логикасына бағынады, сонымен бірге есептерді біртіндеп асқыну қажеттілігіне жауап береді. Бірінші топқа, оқушылар әрбір арифметикалық әрекеттердің нақты мағынасын қамтитын қарапайым есептері кіреді: Екінші топқа, оқушылар компоненттер мен нәтижелердің арасындағы арифметикалық әрекеттерді қамтитын, қарапайым есептері кіреді.

Бұған белгісіз компоненттерді табу есептеры жатады: және оны екіге бӛл деді. Баласы 9 деген жауап алды. Баласы қандай сан ойлады ? «); Үшінші топқа айырмашылық тұжырымдамасын (6 түр) және кӛптеген арақатынасты шешетін есептер(6 түрі) кіреді. Келесі есеп түрлері айырмашылық тұжырымдамасымен байланысты:

«Миша 8 дәптер , ал Оля 2 дәптер сатып алды». «Миша Оляға қарағанда неше есе аз дәптер сатып алды?»); сатып алды, бұл Оля сатып алған дәптерден 2 есе аз. Оля неше дәптер сатып алды? »);

Қосу мен алудың арифметикалық операцияларын зерделеу кезінде қосу және алудың қарапайым есептеры қарастырылады.Кӛбейту және бӛлу әрекеттерін зерттеуге байланысты осы әрекеттермен шешілетін қарапайым есептер енгізіледі. Бастауыш сыныптардың математика курсында іріктеу жүйесі, оларды орындау әдістемесі жаттығудың осы түріне жүктелген функцияларды, оқытудың жалпы мақсаттарына және сонымен қатар есептердің біртіндеп қиындауына қойылатын талаптар ескерілуі керек. Есептерді шешуді үйренудің кез келген тәсілімен , есептерді орындау белгілі бір жүйе бойынша жүзеге асырылатынын айта кету керек. Қарапайым есептерді енгізу тәртібі бағдарламалық материалдардың мазмұнына бағынады

Қазіргі кезде математиканы бастауыш мектептегі практикада оқыту түрлі бағдарламалар мен оқулықтар бойынша жүргізіледі. Әрбір оқулықта мұғалімге әдістемелік нұсқаулар беріледі, олар нақты есепке қалай жақындауға қатысты қысқаша нұсқаулар мен түсіндірмелер береді. Оқыту белгілі бір типтердегі есептерді шешу қабілетін қалыптастыруға бағытталған. Осы проблемаларды шешу кезінде оқушылар арифметикалық әрекеттер ұғымын қалыптастырады және біріктіреді. Олар алдымен қарапайым есептерді шешуді үйренеді, содан кейін қарапайым есептердің түрлі комбинацияларын . (Н. Б. Истомина).

Балаларды        мәтіндік        есептердің        семантикалық        және

математикалық талдауына үйрету, жағдай мен сұрақ, деректер және ізденіс арасындағы байланысын анықтау, осы сілтемелерді схематикалық және символикалық үлгілер түрінде кӛрсету. Шешім үдерісі ауызша үлгіден математикалық немесе схемалық моделге кӛшу деп қарастырылады. Бұл тәсіл жалпыланған дағдыларды қалыптастыруға бағытталған: есепті оқып-үйрену, жағдайды және есепті анықтау, олардың арасындағы қарым-қатынасты орнату, есептің сұрақтарына жауап беру үшін арифметикалық операцияларды таңдағанда математикалық тұжырымдарды саналы түрде пайдалану. Есепті шешумен танысар алдында, оқушылардың мәтіндік есептерді шешуде пайдаланатын тұжырымдамалар мен қарым-қатынастарды меңгеруге бағытталған арнайы жұмыс жүргізіледі. (А. В.Белошистая, Н. Б. Истомина и др.). Есептерді шешу қабілетін дамыту үшін, П.М.Эрдниев ӛзара әрекеттесу әдісін қолдануды ұсынады. Мысалы, олар ұсынылған проблеманы шешуді табады, содан кейін осы есеп бойынша екі ӛзара міндеттерді құрайды және тағы басқалар. Әдістемелік әдебиетте [2] есептерді шешудің алдында дайындық жұмыстарын жүргізу қажет деп кӛрсетілген. Оқушылар білуі керек: Н.И. Истомина [8] пікірінше, оқушылардың мәтіндік есептермен танысуға дайындығы мыналарды қалыптастыруды кӛздейді: Оқытушының алдында тұрған маңызды міндеттердің бірі (мұғалім жұмыс        істейтін                бағдарламаға        қарамастан)        –                оқушылардың арифметикалық есептерді шешуге жалпы қабілеттігін қалыптастыру. Есептерді                шешу        қабілеті        күрделі                дағдылар        болып        табылады,        ол бірқатар дәйекті түрде байланысты жеке дағдыларды қамтиды: Есептерді шешуді үйрену осы нақты дағдылардың әрқайсысында жеке-жеке және проблеманы шешу үдерісінде оларды кешенді түрде пайдалануға мүмкіндік береді. Сонымен қатар, кез-келген проблемаларды шешуге жалпы кӛзқарас ұғылады.(М. И. Моро). Математиканы оқытуда мәтіндік есептерді қолдануды ескере отырып, М.И.Моро проблемаларды шешудің мақсаты оқушылардың белгілі бір типтердегі есептерді шешу жолдарын үйрену емес екенін атап кӛрсетеді. Мақсаты бағдарламаға енгізілген теориялық сұрақтарды меңгеруді қамтамасыз ету, теориялық білімді іс жүзінде қолдану және оқушылардың ойлауын дамытуы болып табылады. Ю.М. Колягин ӛз еңбектерінде бір типті немесе басқа проблемаларды шешу алгоритмдерін үйренудің қажеті жоқ екенін атап кӛрсетеді, бірақ белгілі бір типтегі есептерді шешу үшін осы немесе басқа әдістерге (алгоритм, ереже) бірнеше есептердің шешімін қорытудан аулақ болу керек, себебі есептердің түрі ӛз сипаттамаларына ие. Бастауыш мектептегі барлық математикалық оқулықтарда міндеттер топтары бӛлінеді, мысалы, қозғалыс міндеттері (есептер тобы сюжетке сәйкес таңдалады) және т.б.

Есепті орындау барысында келесі кезеңдерді ажыратуға болады: есеп

мазмұнымен танысу; шешімді іздестіру (міндеттерді талдау), проблеманы шешу; жауапты тексеріп жазу.

Есептің мазмҧнымен таныстыру.

Есеппен және оның бӛліктерімен танысуды есеп құрудан бастауға болады. мысалы оқушыларға саңырауқұлақтар туралы есепті құруды ұсынуға болады : Оля мен Таня саңырауқұлақ жинауға орманға кетті. Оля 3 ақ саңырауқұлақ (себетке салды), Таня - 2 ақ саңырауқұлақ (себетке салды) тапты. Белгілі болғандай («Біз не білеміз?» («Оляда 3 саңырауқұлақ бар, Таняда 2 саңырауқұлақ бар») - бұл есептің күйі. Есеп туралы сұрақ қалыптасты. («Саңырауқұлақтар туралы не сұрасам болады?» - «Балалар барлығы қанша саңырауқұлақ тапты?»). Оқушылар есептің жай-күйі мен есепсін қайталайды, содан кейін бүкіл есепті. Сосын олар: «Балалардың қанша саңырауқұлақ тапқанын қалай білуге болады?» («3 саңырауқұлаққа 2 саңырауқұлақ қосып, 5 саңырауқұлақ аламыз, 3 + 2 = 5 ») деген сұраққа жауап береді. Бұл тапсырамның шешімі. Оқушылар есептің сұрағын қайталайды және оған жауап береді. Сонымен, есеп мына құрамдас элементтерді қамтиды: шарт (Оляда 2 саңырауқұлақ бар және Таняда 2 саңырауқұлақ бар), сұрақ, шешім (3 саңырауқұлақ + 2 саңырауқұлақ), жауап (5 саңырауқұлақ). «Есеп» және оның құрамдас бӛліктері туралы ұғымды жақсы түсіну үшін жұмыс келесі түрде жүзеге асырылады. Есеп рӛлдермен ойнайды. Бір қатысушы шартты тұжырымдайды, екіншісі - сұрақты, үшіншісі - шешім, тӛртіншісі - жауап. Одан кейін қалғанын табу үшін есеп құрылады. Есептің шешімін таңдаған кезде жағдайды суреттеп кӛрсету қажет, сондықтан нәтиже табу үшін оқушылар әрекетті таңдап, нәтижелерді таба алмай, нәтиже жасырын болуы керек. Қайта есептеу - бұл нәтиженің дұрыстығын тексеру тәсілі.

Мектеп тәжірибесінде кӛптеген мұғалімдер оқушыларға ескерту ұсынады: 1. Бұл белгілі... 2. Білу керек.... 3.Мен түсіндіремін .... 4.Мен шешемін

.... 5 Жауап. .

Осы кезеңде міндеттерді ұсынуға тура келеді, оны іске асыру есептің мәнін және құрылымын жақсы түсінуге мүмкіндік береді, мысалы тӛмендегі мәтіннен есепті таңдау: 1. Оля 5 ақ саңырауқұлақ, Таня3 саңырауқұлақ тапты. Барлығы балалар 8 саңырауқұлақ тапты.

2.Екі сақина, екі ұшты, ортасында шеге. Бұл не?

3.  Оля  5  ақ  саңырауқұлақ,  Таня  3  саңырауқұлақ  тапты.  Балалар барлығы қанша саңырауқұлақ тапты? Оқушылартер жаңа есеп түрінің мазмұнымен танысқан кезде, оларды оқып үйрету керек (интонация деректерін бӛлектеу, сұралған сӛздерді және әрекетті таңдауға әсер ететін сӛздерді ұстап тұру, логикалық үзілістерді ұстап тұру) және реформа жүргізу (проблеманың мазмұнын қысқаша және анық сипаттау, барлық қажетсіз сӛздерді алып, бірақ мағынасын сақтау). Осындай жұмысты орындау міндеттің мазмұны бойынша арнайы сұрақтарды қалыптастыруды талап етеді: Есеп нені білдіреді? Есептің жай-күйі туралы не білеміз? Сізге не қажет? Бұл сұрақтар оқушылартерге проблеманың мәнін түсінуге кӛмектеседі. Міндетті жағдайды нақты объектілердің немесе оларды алмастырғыш заттардың (тақырыптық үлгілеу) кӛмегімен кӛруге болады, мысалы:«Ыдыста 3 қызыл және 2 жасыл алма болды. Пластинада қанша        алма                жатыр? Есептің суретін схемалық сызба түрінде жасауға болады, мысалы: 3 қызыл шеңбер және 2 жасыл; екіуінің ұзындығы 3 см және 2 см. Тақырыптық модельдеу немесе схемалық сызба есептің мәнін түсінуге кӛмектеседі және орындалатын әрекеттерді таңдауды негіздейді. Біртіндеп, тақырыптық иллюстрация әдіснамалық әдебиетте қысқа жазба деп аталатын схемамен ауыстырылады. Қысқаша жазбада негізгі «қолдайтын» сӛздер, деректер және ізденістер, сондай-ақ іс-әрекетті таңдауға әсер ететін және есепке кіретін мәндердің арасындағы қатынастарды кӛрсететін кейбір сӛздер белгіленді.                Есепті визуалды түсіндірудің әртүрлі түрлерін мысалға келтірейік: «Анам 1 кг 30 р-дан болатын 3 кг алма және 1 кг. 40 рубль болатын 2 кг алмұрт сатып алды.» Барлық сатып алу құны қанша?»Тӛменде схемалық қысқаша жазба берілген:

Алма- 3 кг 30 рубль. ? Алмұрт - 2 кг 40 рубль. ?

Схемалық жазба барлық деректерді, сұралған және есебін кӛрсетеді. Қысқаша  жазба  кесте  түрінде  ұсынылуы  мүмкін  (6-кесте).  Кесте түрінде  есепті  жазу  үшін,  есепда  талқыланатын  мәндерді  таңдап, кестеде түзетіп, деректерді орнатып, түзетіңіз. Белгісіз мәндер сұрақ белгісімен кӛрсетіледі. Осы кестеде деректер мен сұраулар оңай кӛрінетін пішінде түзетіледі, бұл  есептің  мазмұнын  жақсы  түсінуге  кӛмектеседі,  кіріс  шамалар

Кейбір есептердің мәнін түсіну үшін сызбалар тиімді болады, мысалы: «18 километр қашықтықты құрайтын екі нүктеден қарама қарсы екі жаяу жүргінші шықты және олар 2 сағаттан кейін  бір- бірімен кездесті. Егер екінші жаяу жүргінші 5км/сағ жүрсе, біріншісі қандай жылдамдықпен жүрді??» Сызбаны орындаған жағдайда жіберілу пунктін кӛрсету керек, қатынасты бақылап отырып, қозғалыстың бағытын бағдармен кӛрсету керек: үлкен қашықтыққа кесіндінің үлкен ұзындығы сәйкес келуі керек. Бұл сызба барлық байланыстар мен величиналар арасындағы тәуелділікті кӛрсетеді және тасырамны шешудің жолын табуды жеңілдетеді. Кӛрнекі түсіндірме едәуір тиімдірек болып келеді , егер оны оқушылардың ӛздері орындаса , бірінші мұғалімнің жетекшілігімен содан кейін ӛз бетімен. Есептерді шешуде оқыту процесінде кӛрнекі құралдарды қолданудың орындылығы осы кӛрнекі құралдарды және олар қолданылатын білімді меңгеруден тұрады. Мұғалім оқушыларды деректерді бӛліп беруді, есепті нақты және визуальды түсіндіруді, деректермен және проблемаға қатысы бар белгісіз мӛлшердегі жасырын байланыстарды табуға кӛмектесетін етіп үйрету керек. Кӛрнекі түсіндірмелер әртүрлі болуы мүмкін, бірақ олардың қажеттілігі - бұл оқушыларға есепті шешуге кӛмектесу. Әйтпесе, оларды пайдалану тиімсіз. Әдістемелік әдебиетте [2] атап ӛткендей, кӛптеген оқушылар үшін қысқа тұжырым жасауға қажеттілік болмауы мүмкін: «Егер бір оқығаннан кейін қатысушыға есептің қалай шешілетіні белгілі болса , оны шешуді талап ету уақыттың босқа жұмсалуына алып келеді.

49 рисунок

Есептің мазмұнымен танысу және оның кӛрнекі иллюстрациясын орындау барысында кейбір оқушылар есепке кіретін мӛлшердің арасындағы байланысты біледі және оны шешу жолын таба алады. Дегенмен, кейбір оқушылар үшін бұл  есеп жағдайын жүзеге асыру және шешім қабылдау үшін, жоспар жасау үшін жеткіліксіз. Бұл жағдайда мұғалім әдістемелік әдебиетте проблеманы талдау немесе шешімді іздеу деп аталатын әңгіме жүргізеді.

Есепті шешу жолын табу.

Дұрыс және саналы таңдау есепті шешу жолын әңгімелесу әдісімен қамтамасыз етіледі. Талқылау есепн бастап деректерге дейін және деректерден сұраққа дейін жүргізілуі мүмкін. Шешімді іздестіру кӛрнекі иллюстрация кӛмегімен (қысқа жазба, кесте, сызба сызу немесе сурет және т.б.) немесе есептің мәтініне кӛрнекі құралдарды пайдаланбастан ғана ӛткізугеболады. Осы        әдісті        нақты        есепті        мысал        ретінде        қарастырайық: «Балабақшада әрқайсысы 10 кг болатын 4 қызанақ жәшікшасы және 8 кг болатын бірнеше қияр әкелінді.. Балабақшаға қанша қияр әкелді, егер 64 кг кӛкӛніс әкелінген болса? Деректерді негіздей отырып, мұғалім келесі сұрақтарды қояды: Есеп нені білдіреді?

Шешім жоспары жасалады: «Бірінші қызанақ массасын табамыз, екіншісі - қияр массасын, ал үшінші - қиярдағы жәшіктардың саны». Мұғалім оқушылардан есепті оқып шығуды және ойланып, есепке қатысты сұрақтардың жауабын алуды сұрайды. Есепті «деректерден сұраққа» талдаудың мәні мынада: мұғалім оқушылардың назарын екі ӛзара байланысты сандық деректерге аударады және осы деректерден не білуге болатыны туралы сұрақтарды кӛтереді. Нәтиже (величина мәні) проблеманың күйімен салыстырылады, олар қайтадан екі ӛзара байланысты сандық деректерді таңдап, бірдей сұрақтарды жасайды. Есеп туралы сұраққа жауап алғанша әрекет етеді. Шешімді іздеу сұрақпен басталады. Мұғалім сұрақтар қояды: Есептің басты сұрағы қандай? Бұл сұраққа жауап беру үшін не білу қажет? (Барлық қияр салмағы және бір жәшік қиярдың салмағы.) Кӛптеген қиярлар табу үшін нені білу керек? (Кӛкӛністердің жалпы массасы және қызанақ массасы.)

Қызанақтардың     массасын     табу     үшін     нені     білу керек? (Қызанақтары бар бір жәшіктың салмағы және біз білетін жәшіктардың саны.)

Есепті шешу жоспары жасалады.

Егер есеп мәтініне шешім іздеу оқушыларға қиындық тудырса, онда есеп шартының қысқа жазбасын немесе жазбаны кесте түрінде пайдалануға болады. Мұғалім сұрақтар бойынша қысқа жазба орындауды басқара алады:

Балабақшаға қандай кӛкӛністер әкелінді? (Қияр мен қызанақ - кестеде кӛрсетілген.)

Қызанақтардың салмағы белгілі ме? (Жоқ - сұрақ белгісімен кестеде кӛрсетілген).

Бір жәшік қиярдың салмағы қандай? (8 кг - кестеде кӛрсетілген). Мұндай жәшіктердің қаншасы әкелінгені белгілі ме? (Жоқ - кестеде сұрақ белгісімен кӛрсетілген). Қияр массасы қанша? (Белгісіз, сұрақ белгісімен белгіленген). 64саны нені білдіреді? (Барлық кӛкӛністердің массасы кестеде

кӛрсетілген.) Содан кейін мұғалім оқушылардың назарын есептің басты сұрағына аударады және кестелік есеп жазбасында кӛрсетілген. Деректер мен ізденістің қиындықтары проблеманы шешуге кӛмектесетін оңай кӛрінетін пішінде ұсынылған. Осылайша, қысқа мерзімде барлық есептер, барлық деректер мен проблемалар, есептің басты есепсі анықталды. Әдістемелік әдебиетте мұндай кӛзбен шолу есептің қосалқы моделі деп аталады. Осылайша, «сұрақтардан» талдау есепдегі есепті шешудің мәні есептің басты есепсіне назар аударылады және осы сұраққа жауап беру үшін ӛзара байланысты шамалардың қандай құндылықтары белгіленетіні анықталады. Сонда шаманың қай мән-мағынасы белгісіз және бұл белгісіз мәнді табу үшін қандай 2 мән қажет екенін анықтайды. Осындай пікірталас қойылған сұраққа жауап беру үшін

қажетті деректерге жеткенше орындалады. Шешім жоспары проблемаларды талдау бағытына қарама-қайшы келетін аргументтермен жасалады.

50 сурет

«Деректерден сұраққа» талдауы есептің синтетикалық әдісі деп аталады (есепті шешу жолымен) (50-сурет, а), ал «сұрақтан» - талдауы аналитикалық тәсіл деп аталады (50-суретті қараңыз). Сұрақ туындайды: қандай амалға артықшылық беру керек? Кейбір мұғалімдер сұрақтан басталатын есепті талдауға артықшылық беруге тырысады. Олар, бұл әдіс- есепті шешуге арналған жоспарды құрастыруға нақты бағытталған, алайда оқушылар бӛлек таңдалған іс-әрекеттер туралы емес, есептің тұтастай шешілуіне ие болады деп есептейді. Нұсқалар есептің деректерінен есепке талдауға артықшылық береді, бұл талдау әдісі есептің жай-күйі туралы мәліметтерден білуге болатындығын болжай алатын оқушылар үшін қол жетімді және түсінікті. Сонымен қатар, қатысушының ойын дұрыс бағытқа бағыттау оңай. Басқалар есептің деректерінен есепке талдауға артықшылық береді, бұл талдау әдісі есептің жай-күйі туралы мәліметтерден білуге болатындығын болжай алатын оқушылар үшін қол жетімді және түсінікті. Сонымен қатар, қатысушының ойын дұрыс бағытқа бағыттау оңайбұл екеуі де дұрыс, ӛйткені олар есептің шешімін табудың әрқайсысының оң аспектілеріне бағдарланған деп айтуға болады. Бірақ әр әдіс бойынша кемшіліктер туралы ұмытпауымыз керек. Осылайша, «деректерден сұраққа» талдауын жасағанда, жиі сұрақтың жауабына қатысты жауапсыздықпен күресуге  тура  келеді. Мысалы, қарбыз массасының 6 кг екенін және қауынның салмағы 2 кг екенін біле отырып, келесіні таба аламыз:

а)     қарбыз және қауынның салмағы; б)        қарбыз салмағының қауын салмағынан қанша есе кӛп екенін в)        қауын салмағының қарбыз салмағынан қанша есе аз екенін;

г)        қарбыз салмағының қауынның салмағынан қанша рет асуы; е)        қауынның массасы қарбыз массасынан қанша есе аз екенін. Ол «деректерден сұраққа» дәлел ойлау жоғары деңгейін талап етеді атап ӛткен жӛн, және кӛптеген оқушылартер үшін, бұл ойларын әрбір қатысушы жадында пайымдау бүкіл тізбегін ұстап алады, үш немесе одан да кӛп қызметпен есепті емес шешу ретінде қол жетімді емес. Егер есепті шешуге әртүрлі жол берсе, онда біз есептің басты сұрағына бірдей жауап береміз.Әдістемелік әдебиетте (И.И. Моро және т.б.). Бірде-бір әдісті әмбебап деп санауға болмайды. Әмбебаптау зиянды.  Ең бастысы, бұл  есепті шешкен деректерден іздестіруге дейін және іздестіруден деректерге ғана бағытталуы туралы әрқашан ойлар болу керек, бұл екі бағытта да осындай қарсыласу қозғалысы және міндеттерді талдауды мақсат етеді. Есепті кез-келген түрде талдай отырып, негізгі есепті ұмытып кетпеу керек. Егер бірден сұраққа жауап бере алмай қалсаңыз, онда сұраққа жауап беру үшін не табу керек екенін және есеп деректеріне сәйкес дереу табуға болатындығын білуіңіз керек. Сұрақ        қойғаннан        кейін,        деректерге        жүгіну        керек,        ал «деректерден» ой жүгірту кезінде біз есепсының басты есепсіне назар аударуымыз керек. Талдаудың ерекшеліктері есептің құрылымына, ойлау ерекшеліктеріне, оқушының дайындығы мен даму деңгейіне байланысты екенін  атап ӛткен  жӛн; бұл мұғалімнен есепті  талдау әдісін таңдауға мұқият қарауды талап етеді.

Есептерді әр тҥрлі әдістер мен жолдары арқылы шешу.

Мәтіндік есептерді шешуді үйрену кезінде оқушылар әртүрлі шешімдердің мүмкіндіктері туралы біледі және саналы түрде олардың ең ұтымдысын таңдауға тырысады. Сондықтан, оқыту практикасында әртүрлі жолмен проблемаларды шешуге кӛп кӛңіл бӛлу қажет. Есептерді әр түрлі жолдармен шеше білу ойлаудың икемділігін дамытуға байланысты және ойлау қабілетін дамытуда және математикалық ойлауда маңызды рӛл атқарады. Есептерді әр түрлі жолдармен шешуге үйрету есеп жағдайын тереңірек түсінуге, есепке тартылған кӛлемдер арасындағы, деректер мен ізденістер арасындағы ӛзара түсіністікті түсінуге кӛмектеседі, байқау және математикалық қырағылықты дамытады. Әдістемелік әдебиеттерде есептерді әр түрлі жолдармен шешілуі, бір әдіспен шешуге қарағанда жиі пайдалы деп айтылады. Әр түрлі әдістерді бағалау кезінде талдау, синтезтеу, салыстыру, қорыту сияқты ойлау әрекеттері белсенді пайдаланылуда, бұл оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуға оң әсер етеді.

Әдістемелік әдебиеттерде проблемаларды шешудің арифметикалық және алгебралық әдістері бар. Осы негізгі әдістерге қосымшаграфикалық, практикалық, кестелік, логикалық және аралас болуы мүмкін.

Есепті шешуге арналған арифметикалық әдіс арифметикалық операцияларды таңдауға негізделген, бұл әртүрлі қарым-қатынастар мен проблемаға қатыстырылған кӛлемдер арасындағы, деректер мен ізденістер арасындағы байланыс. Таңдау санына және олардың таңдауы бойынша реттелуіне қарай, сіз бірнеше есепті шеше аласыз. Шешу әдістер бір –бірінен кем дегенде бір немесе бірнеше әрекеттермен ерекшеленеді. Мысалы, есеп берілген: «Туристерге 96 банка консервілер сатып алынды. Сол күні олар әрқайсысы 8 банка жұмсады. 10 күн ӛткеннен кейін қанша банка консерві қалды? Есеп 2 әдіспен шешілген.

1 әдіс:1)        8 • 10 = 80 (б.); 2)        96 - 80 = 16 (б.).

2 әдісі:

1)        96:8 = 12 (дн.);2)        12 -10 = 2 (дн.); 3)        8 • 2 = 16 (б.).

Есептерді шешудің алгебралық әдістері белгісіздікті құруда  , оны әріппен белгілеп, есептің мәтініне енгізудің жалпы әдісіне негізделген. Содан кейін, сандар арасындағы таңдалған тәуелділіктердің негізінде теңдеуді немесе теңдеулер жүйесін жазуға мүмкіндік беретін теңдік қатынасымен байланысты екі ӛрнектер жасалады.Есептерді шешудің алгебралық әдістері белгісіздікті құруда оны әріппен белгілеп, есептің мәтініне енгізудің жалпы әдісіне негізделген. Содан кейін, сандар арасындағы таңдалған тәуелділіктердің негізінде теңдеуді немесе теңдеулер жүйесін жазуға мүмкіндік беретін теңдік қатынасымен байланысты екі ӛрнектер жасалады. Осылайша, есептің мәтінін математика тіліне аударып, олар    есептің    математикалық    моделін     қалыптастырады. Белгісіз таңдауды және ойлау бағытына байланысты бірнеше теңдеуді сол есепке қайта құруға болады, яғни бірнеше алгебралық жолмен есепті шешуге болады. Мысалы, есеп: «Бір мезгілде екі пунктен бір біріне қарама-қарсы екі шаңғышы шығып, 2 сағаттан соң кездесті. Егер шаңғышылар арасындағы арақашықтық 44 километр болса, ал бір шаңғышының жылдамдығы екінші шаңғышының жылдамдығынан 2 км / сағ-қа үлкен болса, әр шаңғышының жылдамдығын анықтаңыз».

Бірінші шаңғышының жылдамдығы - Х км / сағ болсын , онда

екінші шаңғышының жылдамдығы - х +2 км/сағ. Бірінші шаңғышымен 2 сағатта ӛткен арақашықтық - 2-х км, ал екінші шаңғышымен ӛткен арақашықтық — (х + 2) • 2 км. Есептің шарты бойынша, пункттер арақашықтығы 44 км.Теңдеу құрамыз : 2- х + (х + 2) • 2 = 44. Бұл жерден 4-х = 40, х = 10. Жауабы : бірінші шаңғышының жылдамдығы - 10км/с, екінші шаңғышынікі - 10 + 2 = 12 (км/с). Есеп шарты бойынша, екінші теңдеуді құруға болады : (х-2) х х 2 + 2-х = 44. Бұл жерден : 4• х = 4 + 44; 4• х = 48; х = 12. Жауабы :екінші шаңғышының жылдамдығы — 12 км/с, бірінші шаңғышының жылдамдығы — 12 - 2 = 10 (км/сағ). Осылайша, есеп екі алгебралық әдіспен шешілді.

Есепті шешудің практикалық әдісі берілген жағдайды суреттейтін объектілердің әрекеттерін орындау, ал арифметикалық әрекет сұрақтары үшін жауап бермеуге болады. Мысалы, есеп берілді: «8 алманы2 ыдысқа салды. Әр ыдыста қанша алма бар?»Оқушылар осы есепті 1-сыныпта ғана практикада шеше алады: алманың суретін (немесе кружкалар) бейнелейді және оларды тарелкаға салады. Сұрақтың жауабы әр ыдыстағы алманы қайта санау арқылы анықтайды. Осы әдісті пайдалану есепті суреттейтін бірнеше тақырыптық жиындарда жасалатын жағдайда ғана орынды. Есептерді шешудің графикалық әдісі сурет салу арқылы,арифметикалық операцияны орындамай, есептердің сұрақтарына жауап беруге мүмкіндік береді.

Сұраққа жауап сегменттерді қайта есептеу немесе алынған сегментті ӛлшеу арқылы берілуі мүмкін. Есепті графикалық түрде шешу оқыту функциясын күшейтуге мүмкіндік береді, сонымен қатар, есепті арифметикалық түрде тексеру үшін де қызмет етеді. Кейде графикалық әдіспенесепті шешу тек қана сегменттердің құрылысына ғана емес,  сонымен қатар олардың ӛлшемімен байланысты. Әдістемелік әдебиетте [2] бірінші сыныпта шешілген кез келген арифметикалық есепті арифметикалық операцияларсыз графикалық түрде шешуге болады деп атап ӛтіледі. Сонымен қатар, оқушыларға кейде есептерді шешу қиындық туғазады, ал кейде бұл есепті оңай шешуге мүмкіндік береді.

Бұл ерікті болжамды әдіс. Ол елеулі қиындықтарды тудыратын есептерді анық және айқын түрде шешуге мүмкіндік береді. Мысалы, есеп: «Паркте 40 ағаш отырғызылды, әр жӛке ағашында 4 үйіңкі ағаш тең келеді.. Паркке қанша жӛке және үйіңкі отырғызылды? ».Есептің шешуі кестеде жазылған ( 7кесте)

Кестені толтырып, есеп жағдайында берілген санға назар аударыңыз - барлығы 40 ағаш, тиісті бағандардағы сандардың мәні есептегі берілген сұраққа жауап береді.

мынада, бұл есепті шешу барысында логикалық негізде есептің сұрағына жауап беруге болады.

Аталған мәселені мысалмен келтірейік: «Жұмысшыға 10 сағат ішінде 30 бірдей бӛлік жасау туралы нұсқау берілді, бірақ жұмысшы, уақыт  унемдеп  15  минут  ішінде  біреуін  жасады.  Уақыт  үнемдеп берілген        бӛліктің        үстінен        қаншасын        жасап        үлгерді?» Әңгімелесу барысында оқушы уақыт бӛлімдерінің (10 сағат = 600 мин) қатынасына назар аударған мұғалім оларды есепті шешудің немесе дайын шешімді ұсынуға қабілетті болуы мүмкін, және студенттер әр шешімнің түсіндірілу, түрлі әдістерді салыстыру және қандай ең қарапайым, ұтымды шешімін айту керек.

1-ші амал:        2-ші амал 1) 600:30=20 (мин)        1) 15*30=450(мин) 2) 20-15=5 (мин)        2) 600-450=150(мин) 3) 5*30=150 (мин)        3) 150:15=10 (дет.) 4) 150:15=10 (дет.)

3-ші амал:        4-ші амал 1) 60:15=4 (дет.)        1) 600:15=40(дет.) 2) 4*10=40(дет.)        2) 40-30=10(дет.) 3) 40-30=10 (дет.) Мұғалім шешімді жалғастыруды ұсына алады, мысалы: 1) 600: 30 = 20; 2) 20 - ... = 5; 3) 5 -... = 150; 4) ...: ... = 10. Ұсынылған жоспар бойынша есеп шешілуі мүмкін. Мысалға, мұғалім есепті шешуге арналған жоспарды ұсынады , ал оқушылардың жоспардың әрбір тармағына әрекет таңдауы керек: Белгілі бір тапсырмаларды орындау үшін әртүрлі шешімдерді іздестірудің тиімді құралы - бұл мәселені ойдағыдай түсіндіру. Мысалы, тапсырма берілді: «Тӛртбұрышты бақшаның ұзындығы - 40 м, ал ені 2 есе аз. Бау-бақша аймағының пайызы кӛкӛніспен қамтылған, ал қалған бӛлігі картоппен қамтылған. Картоппен жердің қанша квадраттық метрі қамтылған? Есептің мәтінін талдау процесі және оны шешудің пікірі мынадай бола алады : «Бақшаның ұзындығы-40 м, ал ені 2 есе аз, сонда  бақтың енін табуға болады: 40: 2 = 20 (м). Белгілі: ұзындығы - 40 м, ені - 20 м. Учаскенің ауданын табуға болады: 40-20 = 800 (м2). Кӛкӛністермен қамтылған жердің аумағын табайық: 800: 4-3 = 600 (м2). Қалған бӛлігі картоппен қамтылған- 200 м2.» Егер осы мәселеге схемалық сызбаны салсақ, онда оны шешудің басқа жолдарын таба аламыз. Картоппен  қамтылған  аумақты  табу  үшін  (52-сурет,  a,  b,  c), картоп үшін бӛлінген алаңның ұзындығын және енін табу жеткілікті. Мұндай пікірталас оқушыларға қол жетімді және олар осы мәселені түсіндіруге  ӛз  бетімен  шешімін  таба  алады.52-Суреттегі  шешімді іздеу кезінде қиындықтар туындауы мүмкін. Бұл жағдайда мұғалім оқушыларға үшбұрыштың  облыс бойынша тең екендігін түсінуге кӛмектеседі және мәселені шешуге болады: 1) 40-20 = 800 (м2); 2) 800: 4 = 200 (м2).

Шамалау        -        қажетті        санның        шекарасын        белгілеу -        есепті шешудің тексеруінің ең қарапайым тәсілі. Бұл әдістің мәні шешім қабылданғанға        дейін                немесе        кейін        орнатылады,                шешімнен туындайтын сан мәселеде берілген кез келген саннан кӛп немесе аз. Басқаша                айтқанда,        нәтиженің        кейбір                дәрежесі                дәлелденеді. Есепті        шешу        мысалында                осы        техниканы        пайдалануды кӛрсетейік: «Бір қорапта 7 қарындаш бар, бұл екіншіден 2-ге кӛп. Екінші                        қорапта                қанша                қарындаш                бар                        еді?» Есеп шешімі бойынша оқушылар таңдау әрекетін жиі қателеседі, сондықтан алынған нәтижені тексеру орынды. Шешім орындалды: 7 + 2 = 9. Біз бағалауды жасаймыз: 7 немесе одан да кӛп деген нәтижеге жетеміз. Есепте айтылғандай, бірінші қорапта 7 қарындаш және екіншіден кӛп. Демек, екінші қораптағы қарындаштар аз , яғни жауап 7-дан аз болуы  керек.  Нәтиже  салыстырсақ,  мәселенің  дұрыс  шешілмегені туралы        қорытындыға        келеміз. Есепті талдау негізінде біз дұрыс шешім табамыз: 7 - 2 = 5. Біз оның нәтижесін болжанған санымен салыстырамыз - 7, қорытындыға келдік:  алынған  сан  болжамды  мәннен  аз,  сондықтан  есеп  дұрыс шешілді Бұл әдіс күрделі мәселелерді шешуге қолданылуы мүмкін. Дегенмен, бұл тек қана ақылға қонымды ойларды байқауға кӛмектеседі, бірақ есепте жасалған қателіктер байқалмайды. Кері есепті құрастыру және шешу жолымен растау бастапқы (ұсынылған) есеп бірінші рет шешілетіндігінде. Содан кейін олар кері берілген есепті қалыптастырады және оны шешеді. Егер кері есепті шешу нәтижесінде бастапқы есепте белгілі болатын сан алынса, онда мәселе дұрыс шешілді деп есептеледі. Есептің мысалында не айтылғанын түсіндірейік: «3 кг алма үшін 45 рубль тӛледіңіз. Осындай 5 килограмм алма сатып алу үшін қанша ақша қажет?Есепті шешу барысында оқушылар келесі шешімге келеді:

1) 45:3 = 15 (руб.); 2) 15 • 5 = 75 (руб.).

Есептің дұрыс шешілуін тексеру үшін мұғалім оған кері тапсырманы қалыптастыруды ұсынады. Бұл үшін белгілі болатын есептің күйіне шешімнің бастапқы (75) нәтижесі енгізіледі, ал деректердің біреуі (45, 3, 5) белгісіз. Содан кейін оқушылар жаңа тапсырма дайындайды, мысалы, «75 рубльге. 5 кг алма сатып алды. 45 рубльге осындай қанша килограмм алма сатып алуға болады?».

Есепті талдау процесінде келесі шешімді аламыз: 45: (75:5) = 3 (кг). Кері есептерді шешу нәтижесінде түпнұсқадағы сан алынады, яғни есеп дұрыс шешілді деп айтуға болады. Кӛптеген есептерді шешу үшін осылайша шешімді тексеру қиындық тудырады, ӛйткені кері міндеттерді құрастыру, тұжырымдау және шешу қажет, бұл оқушылар үшін қиын , әрі  күрделі болуы мүмкін. Сондықтан тексерудің бұл әдісі қарапайым есептерді шешуде жиі қолданылады. Нәтижесінде алынған сандар мен мәселенің жай-күйі арасындағы сәйкестік дәлелдер мен арифметикалық операциялардың кӛмегімен осы шамалардың арасындағы барлық қатынастардың орындалуы және табылған нәтиже тексеріледі. Есептің мысалында не айтылғанын түсіндірейік: «600 жӛке және 400 емен отырғызылды. Олардың бір қатарға тең дәрежеде отырғызды. Бұл жағдайда жӛкеағашы 5 қатарға кӛп отырғызылды, емеен ағашына қарағанда. Қанша қатар жӛке және емен отырғызылды?

Талдау үдерісінде жоспар жасалып, содан кейін есепті шешуге болады: 1) 600 - 400=200 (д.); 2) 200:5 = 40 (д.); 3) 600:40 = 15 (қатар.); 4) 400:40 = 10 (қатар.). Шешімнің шынайылығын тексеру үшін, бұл ара қатынасты орнатамыз «жӛке ағашы еменге қарағанда 5 қатарға кӛп» екенін анықтаймыз. Мұны істеу үшін біз жӛке (15) қатарының емен(10) қатар санымен салыстырамыз. Біз (15 -10 = 5) жӛке қатарының емен ағаштарынан 5 есе артық екенін аламыз. Сонымен қатар, есепте ағаштар қатарларға тең  бӛлінгіен.  Біз тексереміз, бұл  қатынас орындалды ма. Мұны істеу үшін бір жолдағы жӛке санын, сосын сол жолдағы емен санын: 600: 15 = 40; 400: 10 = 40. Кӛріп отырғаныңыздай,   бұл   арақатынас   да   орындалады.   Осылайша,

жауапта алынған сандар және есептер жағдайындағы деректер есептерде кӛрсетілген қатынастарда болады. Демек, мәселе дұрыс шешілді. Тексерудің бұл әдісі пропорционалды бӛлу бойынша мәселелерді шешуге және екі айырмашылық бойынша сандарды табуға ыңғайлы.

Бірдей        нәтиже        беретін        есепті әртүрлі        тәсілдермен        шеше отырып, есептің дұрыс шешілгенін білуге мүмкіндік береді. Аталған есепті мысалмен түсіндірейік: «Айлақтан қарама қарсы бағытта екі кеме алшақтады. 4 сағаттан кейін олар бір-бірінен 224 км қашықтықта болды. Олардың бірі 30 км / с жылдамдықта жүрді. Екінші кеме қандай жылдамдықпен ӛтті?».

Есептің шешімі келесі түрде орындалды: 224: 4 - 30 = = 26 (км /

сағ).

Есептің        шешімі        шын        екендігін        тексеру        үшін        басқа        шешім

Шешімнің нәтижелерін салыстыру арқылы, әртүрлі тәсілдермен есепті шешуде бірдей нәтижелерге қол жеткізгеннен кейін, есеп дұрыс шешілді деп қорытынды жасаймыз. Мәселені шешудің дұрыстығын алгебралық жолмен шешу арқылы тексеруге болады. Мысалы, екінші кеменің жылдамдығын «x» әрпімен        белгілеп, ойлау процесінде мәселенің күйі бойынша теңдеуді қалыптастыра аламыз: x-4 + 30-4 = 224. Теңдеуді шешу арқылы, мынаны аламыз: x = 26. Нәтиже арифметикалық шешімге ұқсас. есепті шешу барысында шешім бірдей болғандықтан, мәселе дұрыс шешілді. Есепті шешудің пайдасы мен қажеттілігін түсіну жағдайында және туындауы жағдайында шешім қабылдау дұрыстығының оқушылар арасында күмән тудыратынын немесе шешімнің нәтижесі ретінде дұрыс емес жауап алынғандығын ескереміз. Аталған мәселені шешудің мысалын келтірейік: «Пакеттен 18 дәптер алынды. Осыдан кейін пакетте дәптер алдыңғысынан, екі есе аз қалды . Алғашында пакетте қанша дәптер болды? ». Есепті дербес шешу арқылы кӛптеген оқушылар қате шешім қабылдайды: 18: 2 + 18 = 27 (т.).

Басқа оқушылар бұл есепті мынадай түрде шешеді: 18-2 = 36

(т.).

Бұл        жағдайда        осы        жәйтті        пайдалана        отырып,        мұғалім

оқушыларды  есепті  шешуді  тексеруге  шақыра  алады.  Мұғалімнің

жетекшілігімен олар кері есепті құрады: «Бумада 27 дәптер бар, олар 18 дәптерін алды. ең алғашымен салыстырғанда бумада неше есе аз дәптер қалды?». Оқушылар оны шешеді: 27 -18 = 9 (том); 27: 9 = 3 (есе). Жауап: Ең алғашымен салыстырғанда дәптерлер 3 есе аз қалды. Бұл бастапқы есептің күйіне қайшы келеді, ӛйткені ол дәптерлер 2 есе аз екендігін айтады. Демек, есеп дұрыс шешілмеген. Содан кейін 36 деп жауап алынған шешім қабылданды. Оқушылар керісінше есепті құрайды және шешімінің нәтижесінде мынадай жауап алуға болады: қалған дәптерлер алғашымен салыстырғанда 2 есе аз. Бұл бастапқы есептің күйіне сәйкес келеді. Оқушылар бұл шешімді дұрыс деп санайды. Мәтіндік есептерді шешуде оқу процесінде бастауыш сынып оқушылары есептерді шешу қабілетіне ғана ие болмай, сонымен қатар шешімді тексеруді де әдетке айналдыруы керек. Мәселені шешуге арналған әдісті таңдау, кӛбінесе, тапсырманың құрылымына және мұғалім сабаққа қойған мақсатына байланысты. Кейбір тапсырмалар үшін тексеру әдістерінің кез келгені қолайлы.

Есеп шешімінің жазбасы . Әдістемелік әдебиетте және оқушыларды бастауыш сыныптарда оқыту тәжірибесінде есептерді шешу үшін шешімдердің әртүрлі формалары қолданылады.. Оларды мысалға келтірейік: «Бір матадан 12 баланың жадағайларын тігуге болады, әр киімге 2 м-ге жұмсалады, егер әрбір киім 4 м-ге дейін пайдаланылса, ересектерге қанша жадағай тігіледі?». Әр  іс-әрекеттің  түсініктемесі  бар  іс-әрекеттер  туралы  шешім қабылдау        мынадай        түрде        жүзеге        асырылады: 1) 2 • 12 = 24 (м); 2) 24:4 = 6 (пл.).

Жазба шешім мынандай болады: (2• 12) :4 = 6 (пл.).

Тӛменде сұрақтардың жазылуы және әр мәселе бойынша тиісті әрекеттер        жазылған:

2 * 12 = 24 (м).

Теңдеу   формасында   және   оның   шешімі   тӛменде   келтірілген. X - ересектерге арналған жадағай саны болсын, содан кейін (x -4)м ересектерге үшін барлық жадағай кетті; 2 • 12 = 24 (м) балалар жадағай кетті. Жадағайлар үшін мата саны бірдей болған кезде, ӛрнектерді теңестіре аласыз: х -4 = 2-12.

Айта кету керек, әрбір ӛрнектің түсіндірмесі жазылмайды, бірақ анық айтылмайды, онда теңдеу форманы қабылдайды: х-4 = 2-12. Оқушыларды        есептерді        шешуге        үйрету        барысында        оқушылар тӛмендегі дағдыларды меңгеру керек: әр әрекетті таңдауды негіздеу, алынған нәтижелерді түсіндіру және тапсырманың сұрағына жауап

беру, мәселені шешуде алынған нәтижені тексеру.

Бастапқы сыныптарда қарастырылатын қозғалыс есептері бір немесе екі дененің қозғалысын сипаттайды. Бірақ бұл есептерді, мәні бойынша, міндеттерге, құрылымға және модельдерге тартылған кӛлемдер арасындағы тәуелділіктерді, белгілі бір міндеттерге жатқызуға болмайды. Мысал ретінде бірнеше есепті қарастырайық: 2)     120: (6:3) = 60; 3)     6 сағ = 360 мин, 3 ч = 180 мин, 180: (360:120) = 60. Келесі        алгебралық        және        арифметикалық        шешімдерді        келесі жұптық шешімдерге келтірейік:

Арифметикалық шешім келесідей: 280: (60 + 80) = 2.

Алгебралық шешу әдісі келесідей жазылады: (80 + 60) x = 240, x = 2; мұнда - қозғалыс немесе жұмыс уақыты.

Келесі есептерді қарастырайық:

Осы есептерді шешу, қосындылардың бірдей суммасын табуға алып келеді және мына түрде болады : 6-3 = 18. Кӛріп отырғанымыздай, есептерді шешудің құрылымы, модельдері мен әдістері толығымен сәйкес келеді. Алайда әдіснамалық әдебиеттерде дене қозғалысымен байланысты есептер әдеттегідей таңдалады, ӛйткені олар ӛздерінің ерекшелігіне ие, олар үш мӛлшердегі функционалды байланыс негізінде құрылған: жылдамдық,        уақыт,        қашықтық.        Міндеттерді        шешу                әдісі        кӛбінесе суретті пайдалануымен байланысты және дене қозғалысының орташа жылдамдығы туралы және «бір-біріне қарай жылжу», «бір бағытта (кейін)»,                «бір                мезгілде                кетіп,        кездеседі»,                «жақындастыру жылдамдығы». Оқушыларды осы ұғымдарды қабылдауға дайындаған кезде, оларда суреттермен жұмыс істеу қабілетін қалыптастыру керек, оларды                «қозғалыс        жылдамдығы»        түсінігін        түсіндіруге                және тапсырмаға  қатысатын  шамалардың  арасындағы  байланысқа  жету керек.        Ол        үшін        оқушыға        сол        құрылымның        және        бірдей                сандық деректердің жұптарын ұсынуға болады, олардың біреуі «жылдамдық» терминін                қолданбай        органдардың        қозғалысымен                байланысты. Тӛменде мысалдар келтірілген. \

6 км / сағ.

Жылдамдықты салыстыру үшін олардың мәндерін берілген шамалардың бірдей бірліктерінде кӛрсету қажет. Бір уақытта дәлелдеу: «300 км / сағ - бұл ұшақтың 1 сағаттық ұшуына 300 км жетеді дегенді білдіреді. 1 сағат = 60 минут, яғни 1 минут ішінде ол 300 шақырымнан 60 есе тӛмендейді. Біз 300-ден 60-ға бӛлінеміз, 5 км

/ мин, яғни 300 км / сағ = 5 км / мин ».

Мұндай тапсырмалардың орындалуы жылдамдық ұғымын қалыптастыруға       және       әртүрлі       бірліктерде       кӛрсетілген

жылдамдықтарды  салыстыруға  мүмкіндік  береді,  бұл  ӛз  кезегінде қозғалыс        міндеттерін        шешуге        оң        әсер        етеді. «Орташа жылдамдық» ұғымы келесідей есептерді шешу арқылы енгізіледі: «Алғашқы сағат жаяу жүргінші 6 км қашықтық, ал келесі сағаттан 4 км жүріп ӛтті. Жалпы, ол жолда 2 сағат бойы жүрді, жаяу жүргіншінің орташа жылдамдығы қандай? Жаяу жүргіншінің қаншалықты жылдам жүретінін табу үшін, оның ӛту уақытын (6 + 4) = 10 км бӛлу қажет: 10: 2 = 5 (км / сағ) - бұл жолдың осы учаскесінде жаяу                        жүргіншідің                орташа        жылдамдығы. Жылдамдық, уақыт және қашықтық арасындағы қатынастарды игеру        үшін        үш        ӛзара        кері        есеп        қарастырылады.                Оқушыларға тапсырма берілді: «Жаяу жүргіншілер 3 сағатта 15 шақырымға жетті, жаяу жүргіншілердің орташа жылдамдығы қандай?» Кесте түрінде қысқаша жазба жасаңыз және сӛйлесу барысында шешім табыңыз. Содан кейін берілген екі сұраққа жауап беру, қалыптастыру және шешу. Мәселені нақты түсіндіру 8 кестеде келтірілген

Есептерді және олардың шешімдерін салыстыра отырып, оқушылар қаралған шамалардың әрқайсысын табу және формулаларды жазу ережесін тұжырымдайды:

t=s

Саны (жылдамдығы, уақыты, қашықтығы) арасындағы сана- сезімнің ассимиляциясы үшін қарапайым мәселелерге шешім қабылдау ұсынылады және тапсырмаларды салыстыру және олардың шешімдері негізінде сандар арасындағы қарым-қатынасқа назар аудару және оқушыларды бір немесе бірнеше тұжырымға келтіру. Мысалы, келесі тапсырмалар беріледі:

Есептерді және олардың шешімдерін салыстыру: 5 * 2 = 10

(км); 10 * 2 = 20 (км), оқушылар қорытындыға келеді: неғұрлым кӛп жылдамдық болса, қашықтық соғұрлым үлкенірек бір уақытта ӛтетін болады. Келесі есептерді шешу және олардың шешімдерін салыстыру оқушылардың сандар арасындағы кері байланысын жүзеге асыруға мүмкіндік береді. Оқушылардың назарын құндылықтардың арасындағы қарым- қатынасқа аударады: жылдамдық неғұрлым жоғары болса, бірдей қашықтықты ӛтуге неғұрлым аз уақыт кетеді. Бұдан басқа, осы жұмыстың орындалуы мәтіндік мәселелерді оқыту мен дамыту функцияларын толығымен іске асыруға мүмкіндік береді және жылдамдықтың немесе қашықтықтың теңдігі қатынасында тӛртінші пропорционалды табу үшін оқушыларды кешенді есептерді шешуге дайындауға мүмкіндік береді. Мысал ретінде есепті қарастырайық: «Туристтер соңғы 6 сағат ішінде 24 шақырым қашықтықты ӛтті, қалған жолды сондай жылдамдықпен 3 сағатта ӛтті. Оларға қанша шақырым жүру қалды?». Қысқа кесте жазбасы есепті шешу жолын табуға кӛмектеседі (9-кесте), ал шешім жолын іздеу (есепті талдау) деректерден сұраққа дейін және сұрақтан дерекке дейін оңай.

3 сағ ?

Есеп жағдайына енгізілген деректер әртүрлі тәсілдермен шешілуі мүмкін. Оқушылардың қызметі әртүрлі тәсілдермен ұйымдастырылуы мүмкін. Әңгіме барысында мұғалім оқушыларға есепті шешу жолдарының әрқайсысына апаруы немесе проблеманы есепке арналған кеңесте жазуы және оқушыларға әр әрекетті түсіндіріп, ӛз таңдауын ақтауға мүмкіндік беруі мүмкін.

Оқулықтардағы белгілі бір орындар жинақталу және жоюдың міндеттеріне жүктелген, онда белгілі жылдамдықтардағы нүктелер мен дене қозғалысының уақыттары арасындағы арақашықтықты табу

қажет; дененің белгілі бір жылдамдықта жүру жылдамдығы, жақынырақ (жою) уақыты мен нүктелер арасындағы қашықтық; Белгілі жылдамдықтағы дене қозғалысының уақыты және нүктелер арасындағы қашықтық. Мысалы, есепті ескере отырып:

53 сурет

/ сағ болса, нүктелер арасындағы қашықтықты табыңыз.

Осы түрдегі есептерді шешу кезінде суретті пайдалану ұсынылады, себебі ол қозғалыс сипатын кӛрнекі түрде ұсынуды қамтамасыз етеді және кӛптеген жолмен оқушыларға есепті шешуге кӛмектеседі. Сонымен бірге, мұғалім оқушылармен бірге суретті енгізсе,    тапсырманы    кӛрнекі    түсіндіру    тиімдірек    болады Осы түрдегі есептерді екі жолмен шешуге болады: 1) 5• 3 + 4- 3 = 27 (км); 2) (5 + 4) • 3 = 27 (км). Сондықтан, шешімдерді салыстыру және ұтымды таңдау мүмкін. Әрине, екінші әдіс ұтымды. Дегенмен, бірінші жағдайдағы түсінік әлдеқайда оңай, ӛйткені студенттер жылдамдық, уақыт және қашықтық арасындағы қатынастарды жақсы түсінеді. Мәселелерді шешудің бірінші жолы - жылдамдық, уақыт және қашықтық арасындағы байланыс және екі деректерден құндылықтардың бірін табу қабілеті. Шешімдерді табу барысында проблемалар оқушылардың назарын жылдамдық пен уақыттың белгілі болуына әкеледі, сондықтан сіз жаяу жүргіншілермен ӛткен қашықтықты, содан кейін бүкіл қашықтықты таба аласыз. Мәселені шешуде жүйелілік және жазба реті сәйкес келеді. Мәселені шешудің екінші әдісі: «жылдамдықтың (жоюдың) жылдамдығы», «жақындаудың уақыты (жойылу)» және «дененің қозғалысы болатын қашықтық (жол)» ұғымдарына негізделген.

54 сурет

саг саг саг саг

54 сурет

Бұл шешу әдісі оқушыларға қиындық келтіреді . Сондықтан, динамикалық кестені қолдану арқылы түсіндірілген «жақындаудың (жоюдың) жылдамдығы» терминін енгізу керек (сурет 55). Мұғалім жаяу жүргіншілердің фигураларын бір бӛлікке қарай жылжытады және «Жаяу жүргіншілер бірінші сағатта қанша шақырымға жақындады?» деген сұрақты кӛтереді (қосу орындалады: 5 + 4 = 9 км). Содан кейін мұғалім фигураларды қайтадан ауыстырады. Оқушылар әр сағат ішінде жаяу жүргіншілердің бір- біріне 9 шақырымға жақындап, 3 сағаттан кейін кездеседі. Әр сағат сайын жаяу жүргіншілер 9 шақырымға жақындап, жақындасу 3 сағатқа созылғанын біле отырып, қашықтықты таба аласыз: 9 = 3 = 27 (км). Қарама-қарсы бағыттарда қозғалыс мәселесін шешу кезінде ұқсас дәлелдер де жасалады. Бұл мәселенің мысалы 56-суретте кӛрсетілген. Қозғалыс уақытын табу қажет.

Есептің шешімі келесідей: 27: (4 + 5) = 3 (h).

Бұл материалды жақсы меңгеру кері нәтижелерді жасау және шешу, сурет бойынша тапсырмаларды жасау, қысқа мерзімде енгізу, бұл шешім арқылы жеңілдетіледі. Осындай жаттығуларды жүзеге асыру оқушыларды күрделі есептерді дайындауға мүмкіндік береді, мысалы: «Қалалар арасындағы қашықтық 360 км, автобус оны 6 сағатта ӛтеді, ал мотоцикл 12 сағатта ӛтеді, егер олар бір мезгілде шықса. олар қанша уақытта кездеседі?». Осындай қиын есептерді шешуде оқушылар елеулі қиындықтарды бастан кешіреді және жиі қателеседі. Бұл қателердің себебі кӛбінесе есептің      сәтсіз      қысқа      жазбаға      ұшырауына      байланысты.

Есепті        шешудің        саналы        іздестірілуіне,        барлық        жағдайлар кӛрсетілген қысқа жазба кӛмектеседі (10-кесте):

10 кесте

360 км Мұндай жазба есептің үлгісі болып табылады, себебі бұл есепте қарастырылған барлық жағдайларды, сондай-ақ, деректер мен сұралғандардың арасындағы қатынастар мен тәуелділіктерді кӛрсетеді. Осы модельге сәйкес оқушыларды есепті шешуге оңай жеткізуге болады, себебі сұраққа жауап беру үшін автобус пен мотоцикл арасында жақындастыру жылдамдығын табу керек , ал олардың жылдамдығын бірден табуға болады. Кейбір бағдарламалар мен оқулықтар күрделі және аса күрделі есептерді шешуге мүмкіндік береді: «Екі қаладан бір-біріне қарама- қарсы бір уақытта екі пойыз шығып, 18 сағаттан соң кездесті. Әр қаланың арасындағы қашықтық 1620 км болса, ал бір пойыздың жылдамдығы екіншісіне қарағанда 10 км / сағ - қа үлкен болса, әр пойыздың жылдамдығын табыңыз. Әңгімелесу барысында мұғалім оқушыларды теңдеуді қалыптастыруға әкеледі. Бірінші пойыздың жылдамдығы - у (км / сағ) болсын, екінші пойыздың жылдамдығы - y +10 (км / сағ). Пойыздардың жақындасу жылдамдығы y + y + 10 (км / сағ). Олардың кездесу алдында ӛткен жолы: (y + y + 10) • 18 = 1 620. Алгебралық жолмен есептерді шеше отырып, оқушылар теңдеулер жасаған кезде жазу жазуға кӛп уақыт жұмсайды, және оларға барлық ойлау тізбегін есте сақтау қиын. Мұны білетін кӛптеген мұғалімдер пойыздардың бірінің жылдамдығын әріппен белгілей отырып, кестедегі қысқа енгізілімді пайдаланады (11-кесте).

11 кесте

у

18 с ?

Екінші пойыз у +10

18 с ?

Екі пойыз

Мұндай қысқа енгізу (есеп үлгісі) аналитикалық және синтетикалық белсенділіктің нәтижесі болып табылады және барлық қосылыстарды және тәуелділікті оңай болжанатын түрде кӛрсетеді. Кестелік қысқа жазбаны талдау процесінде теңдеуді жазу оңай: (y + y +10) • 18 = 1 620. Бұл теңдеудің шешімі әрекеттің аталған қасиеттерін және сандық теңдік        қасиеттерін        (теңдеулердің                эквиваленттік)        пайдалануына негізделген.        Теңдеудің        шешімі        белгісіз        мәнді                табуға        мүмкіндік береді: y = 40. Бұл бірінші пойыздың жылдамдығы. Екінші пойыз жылдамдығын        анықтаймыз:                40        +        10                =        50        (км                /        сағ). Мұндай                кесте        оқушыларды        теңдеуді        құруға        оңай                жеткізуге мүмкіндік                                                                                                                                                береді. Кӛптеген оқытушылар проблемаларды арифметикалық жолмен шешуді        ұсынады. Мұғалім мен оқушыларға қиындық туғызған сол есепті шешудің арифметикалық тәсілдерін қарастырайық. Шамамен дәлелдер келтіреміз: «Қалалардың арасындағы қашықтық 1620 шақырымды құрайды, жиналыс 18 сағаттан кейін болды, 1 620: 18 = 90 (км / сағ) жылдамдығын таба аласыз. Осылайша, жақындаған кездегі жылдамдықты анықталды, ал есептің жағдайынан басқа бір жылдамдықтан екінші жылдамдықтың 10 км / сағ үлкен екенін білдік. Бұл бірінші пойыз екіншісімен бірдей жылдамдықпен жүрсе, пойыз сағатына 90-10 = 80 (км) жақындайды. Екі пойыздың жылдамдығын білу (80 км / сағ) және олардың бірдей жылдамдықпен жүріп келе жатқаны екінші пойыздың жылдамдығын білуге болады: 80: 2 = 40 (км / сағ). Бірінші пойыздың жылдамдығы сағатына 50 км / сағ, себебі бірінші пойыздың жылдамдығы екінші жылдамдық жылдамдығынан 10        км        /        сағ        артық        болған        жағдайда        айтылады.Мәселені        шешу: 1620:18 = 90 (км/сағ); 1) 90 -10 = 80 (км/сағ); 2) 80:2 = 40 (км/сағ); 3) 40+10 = 50 (км/сағ). Мәселені шешудің тағы бір жолы - жобаны қолдану арқылы қарастырайық. Шамамен дәлелдер келтіреміз: Қандай пойыз ұзағырақ жүреді? (Екінші.) Неліктен? (Оның жылдамдығы 10 км / сағ артық.) Екінші пойыз қанша километрге кӛбірек жүреді? (18-10 = 180 (км).        Барлығы - 1620 км, екінші пойыз ұзындығы 180 км (сызбада кӛрсетілген). Екі пойыздың екеуі де алғашқы пойыздың жылдамдығымен жүрсе, 18 сағатта жүретін еді. (Ия, 1 620 - 180 =

1,440 (км).

Осылайша, 1440 шақырым екі пойыздан да бірдей жылдамдықта жүрсе еді. Алғашқы поезд қанша километрден ӛткенін біле аламын ба?        (Ия,        1        440:        2        =        720        (км).) Осылайша, алғашқы пойыз 18 сағатта 720 шақырымдық кездесуді ӛткізді, сол себепті оның жылдамдығын таба аласыз: 720: 18 = 40 (км / сағ). Екінші кезеңнің жылдамдығы бірінші жылдамдықпен салыстырғанда 10 км / ч жоғары: 40+ 10 = 50 (км / сағ). Шешім жазылады:

10-18 = 180 (км/сағ); 1) 1 620 -180 = 1 440 (км); 2) 1 440:2 = 720 (км); 3) 720:18 = 40 (км/сағ); 4) 40+ 10 = 50 (км/сағ). Бұл мәселені шешу кейбір жорамалдар жасау қажеттілігімен байланысты белгілі бір қиындықтармен байланысты. Қиындықтарды болдырмау және оқушыларды осы мәселені шешуге дайындау үшін, оларды қарапайым тапсырмаларды шешу үшін ұсынуға болады, мысалы: 2.Екі пойыз бір-біріне 90 сағатқа 1 сағатқа жақындайды. Олардың біреуінің жылдамдығы басқа  жылдамдығынан 10 км / с жоғары. Әрбір пойыздың жылдамдығын табыңыз (Сурет 58, a, b). Іске асыру сызбасы есептерді  шешуді  түсінуге  кӛмектеседі. Бір бағытта қозғалыстың мәтіндік тапсырмалары кейбір бағдарламалар мен оқулықтарға енгізілген (Л. Г. Петерсон, И. И. Аргинская және басқалар). Кӛптеген оқушыларға осы типтегі есептерді шешу ӛте қиын екенін атап ӛткен жӛн. Міндеттердің мәнін және саналы әрекеттерді таңдауды түсіну үшін оқушылар алдында тапсырмалар жүйесімен орындалатын үлкен дайындық жұмыстарын жүргізу қажет. Осы жұмыстың барысында оларды бір бағытта қозғалу үшін есептерді шешу кезінде пайдаланатын құндылықтардың арасындағы қатынас туралы түсініктер қалыптастырылуы керек.

57-сурет

а

Қосалқы және шешуші модельдер арасындағы есептің мәтінінің сәйкестігі. Мысал ретінде бірнеше есептерді келтірейік.

1-тапсырма. 2.Екі жаяу жүргінші бір мезгілде екі нүктеден бір-біріне қарама- қарсы шығып, 1 сағатта бір-бірімен кездесті. Бірінші жаяу жүргінші 6 км / с жылдамдықпен жүрді, екіншісі 4 км / с жылдамдықпен жүрді. Екі пункттің арасындағы қашықтық қандай болды? Әрбір есеп бойынша сызба салып және түсініктемелерге сәйкес келетін ерекшеліктерді түсіндіріңіз: 6 - 4; 6 + 4, әр есеп үшін дұрыс шешімін таңдаңыз.

2-тапсырма.

Екі пункттен арасындағы қашықтықтары 2 км болатын, екі жаяу жүргінші бір уақытта шығып, бір бағытта жүрді. Бірінші жаяу жүргіншінің жылдамдығы - 6 км / сағ, екіншісінікі - 4 км / сағ. Жаяу жүргіншілер 1 сағатта қайда болатынын сызбада кӛрсетіңіз? Шкаламен масштабы 1 см 1 км болатын сызба сызу. Мұндай есептердің орындалуы қарапайым сызбаларды (модельдерді) орындау мүмкіндігін қалыптастыруға, қарапайым есеептердің мәтінін талдауға және шамалар арасындағы қатынастарды қалыптастыруға ықпал етеді. Объектілердің орналасуын кӛрсету қабілеті тапсырма жағдайын жақсы түсінуге және кӛрсетуге кӛмектеседі. Жобаның және практикалық іс- әрекеттердің орындалуы (сызбада ұяшықтардың немесе сантиметрдің белгілі бір  санын кейінге қалдыру)  шешімдерді қабылдау арқылы саналы таңдау әрекеттерін қолдайды. Алғашқы танысу үшін бір бағытта қозғалу міндеті бар, оңай суреттелуі мүмкін есептерді ұсынуға кеңес беріледі. Мысалы, келесі мәселені шешуден бастауға болады: «Екі пункттен жылдамдығы 6км/с болатын екі шаңғышы бір бағытта шықты . Біреуі сағатына 11 км / сағ, ал екіншісі - 9 км / сағ жүріп келеді. Неше сағатта бірінші

шаңғышы екіншішаңғышыны құып жетеді және ол қаншалықты алысқа барады? Бұл жағдайды сызбаға, масштабқа келтіреміз: 1 ұяшықта - 1 км - 1 км (сурет 59). Бірінші сағатта бірінші шаңғышы 11 шақырым (сызбада 11 ұяшықты белгілейміз ), ал екіншісі - 9 шақырым (сызбадағы 9 ұяшыққа назар аударды) ӛткен. Екінші сағатта алғашқы шаңғышы 11 шақырым,ал екіншісі - 9 шақырым (сызбада белгілейміз) ӛтті. Ал үшінші сағатта бірінші шаңғышы 11 шақырым,ал екіншісі - 9 шақырым (сызбада белгілейміз) ӛтті. Сызбада екі шаңғышының бір бірінің жанында тап болғанын кӛреміз, яғни, алғашқы бірінші шаңғышы екінші шаңғышыны 3 сағатта қуып жетті. Сонымен, екінші шаңғышыға жету үшін, бірінші шаңғышыға 6 шақырым жүру керек. Әр сағат ішінде олардың арасындағы қашықтық 2 км-ге азаяды (11 - 9 = 2). Сондықтан, ол 6 шақырым қашықтыққа қанша 2 шақырым қашықтық сиятынын, яғни бірінші шаңғышы екіншісіне жететін уақытты табу үшін, 6-ны, 2-ке бӛлеміз. 3-ті аламыз. Жазамыз: 6: 2 = 3 (h) . Шаңғышы жылдамдығының 11 км / с жылдамдықпен жүретінін біле отырып, оның қозғалыс уақыты 3 сағатты құрайды, сол арқылы жүретін жолды анықтаймыз: 11 = 3 = 33 (км)

Содан соң есептің шешімін жазамыз: 1)        11 -9=2 (км/с); 2)     6:2 = 3 (с); 3)     11 • 3 = 33 (км). Ұтыс ойынын пайдалану және практикалық іс-әрекеттерді жүзеге асыру (сызбадағыі белгілі бір тор кӛздерін жасыру) проблемалық жағдайдың мәнін іске асыруға кӛмектеседі және есеп шешілетін іс-қимылдарды саналы түрде таңдауды қолдайды. Осындай есептерді шешуде ӛзара түсіністікті жақсырақ түсіну есептерді ӛзара жұптастыру жолымен шешіледі. Екі есепті шешу мысалында айтылғандарды түсіндірейік:

Бірінші мәселені талдау барысында әр жаяу жүргіншінің назарын қозғалыс жылдамдығы мен уақыты белгілі болғандығына аударады. Сондықтан, олардың әрқайсысы арқылы ӛткен қашықтықты таба аласыз: 7 * 3 = 21 (км) - бірінші жаяу жүргінші ӛтті, 5 * 3 = 15 (км) - екінші жаяу жүргінші ӛтті. Сонда есептің негізгі сұрағына жауап таба аламыз: 21 - 15 = 6 (км). Сызба салу (масштаб: 1 торда - 1 км) осы есепті шешу үшін оқушыларға есеп жағдайын және есепті шешуді жақсы түсінуге мүмкіндік береді. Сызбада арақашықтықты белгілеп , әрбір жаяу жүргінші ӛтетін қашықтықты байқап, бірінші жаяу жүргінші екінші жаяу жүргіншіге қарағанда 6 км-ге кӛп жүргеніне кӛз жеткізуге болады. Есепті шешудің екінші әдісін іздестіру кезінде суретте әр сағат сайын 1 сағатқа созылған қашықтықты ескере отырып , оқушылардың назарын әр сағат сайын жаяу жүргіншілер арасындағы қашықтық 2 км-ге артатынына, ал 3 сағаттан кейін олар арасындағы қашықтық 6 км болатынына аудару керек.

Есептің шешімі мынадай: (7-5) * 3 = 6 (км).

Оқушыларға екінші есептің тапсырмалық жағдайын және оның шешілуін іздеуде жақсы түсіну үшін, осы есептерді салыстырып, олардың қандай екендігін және қандай айырмашылықтар бар екенін анықтауға болады және есепті шешпей-ақ, есепті шешу барысында қандай санды алуға болатынын болжауға болады . Екінші есепті шешу және оқушылардың есепті шешетін әрекеттерін таңдау туралы түсінігі, іздестіру жолына жаяу жүргіншілер жіберілген деп болжанса, бірінші есеп бойынша екінші есепті орындауды жеңілдетеді. Мәселенің шешімін табу барысында шамамен осындай дәлелдер болуы мүмкін: «Жаяу жүргінші қайтып келеді. Арасындағы қашықтық 6 км құрайды. Бірінші жаяу жүргінші екіншісіне жете ме? (Ия, оның жылдамдығы кӛп болғандықтан). 1 сағ ішінде бірінші жаяу жүргінші  7  км,  екіншісі  -  5  км  жүріп  ӛтеді(сызбадағы  ескертпе).

Олардың арасындағы қашықтық қандай болды? Сурет бойынша біз - 4 км деп аламыз. Қаншаға ол азайған? 2 км-ге : 7 - 5 = 2. Ойлана отырып және сызбаға сыза отырып жаяу жүргіншілердің екінші сағаттағы қашықтықты , содан соң үшінші сағаттағы қашықтығын ескеріп, оқушылар бірінші пойыздың екінші пойызды 3 сағатта жететініне сенімді. Содан кейін жоспар жасалып, есептің шешімі жазылады: «Бірінші жаяу жүргіншілердің жақындау жылдамдығын анықтаймыз, содан кейін бірінші жаяу жүргіншінің екіншіні қуып жету уақытын табамыз: 1) 7-5 = 2 (км / сағ); 2) 6: 2 = 3 (сағ)». Есептерді , олардың сызбаларын және шешімдерін салыстыра отырып, оқушылар дұрыс әрекеттер таңдап және оны дұрыс түсіндіре алады

Біліктіліктің межелік деңгейі a)        оқыту;        б)        дамыту;        в)        тәрбие        беру;        г)        бақылау;e)        есептеу дағдыларын дамыту.

Г Қыз жол бойымен жүріп: «Орманда неше саңырауқұлақ тапсам болады?» - деп ойлады. D. екеуі сирақпен, ал жетуі қасықпен. Дұрыс жауап санын кӛрсетіңіз. В. Оля 3 ақ саңырауқұлақты, ал Надияны - 5 қара саңырауқұлақ тапты. Қыздар қанша саңырауқұлақ тапты? Г. Оля 5 ақ саңырауқұлақты тапты, ал Надя – 2-ге аз тапты. Қыздар барлығы қанша саңырауқұлақты тапты?

Д. Оля 5 саңырауқұлақты тапты және оларды анасына берді. Оля

қанша саңырауқанды тапты?

Б.  тәрелкеге  2  алмадан  8  алма  салыңыз.  Алма  қанша  тәрелкеге орналастырылды? В. жоғарғы жолдағы - 8 қызыл жалаулар, және тӛменгі жолында 2 есе аз. Тӛменгі жолда қанша жалау бар? Г.Бір  тәрелкеде  8  алма,  басқада  -  4.  Бір  ыдыста  екінші  ыдысқа қарағанда зат неше есе кӛп? Д, бір бұтақта 8 құс, және басқада – 4 құс отыр. Екінші бұтақтағы құс біріншіден неше есе кем?

д) қалдықты табуға арналған ба? Дұрыс жауапты кӛрсетіңіз. «Бірінші қорапта - 6 қарындаш, екіншісінде - 2 есе кӛп. Екінші қорапта қанша қарындаш бар? «. Тӛменде ұсынылған әдістемелік тәсілдердің қандайы осы есептерді шешуде ең тиімді болып табылады: а) есепту салыстыру және олардың шешімін салыстыру; b) әртүрлі шешу тәсілдерін іздеу; в) тапсырма сұрағын нақты мақсатпен ӛзгерту; г) мәселенің осы шарты бойынша құрастырылған ӛрнектерді түсіндіру; д) осы жағдайға қатысты сұрақтарды кӛтеру керек пе?

A. 1) 600: 30 = 20; 2) 20 -15 = 5; 3) 5-30 = 150; 4) 150: 15 = 10.

D. 1) 15 * 30 = 450; 2) 600-450 = 150; 3) 150: 15 = 10.

Қате шешім кӛрсетіңіз.

14  шелек  су  болды,  екішісінде  10.  Суаруға  16  шелек  жұмсалды. Қанша шелек су қалды?

D. x + 16 = 14 + 10, x = 8.

Дұрыс шешімді кӛрсетіңіз. 10. Ӛзіндік жұмысты орындау барысында оқушы түрлі жолдармен мәселені шешті: «арасы 6 км екі жердден, бір бағытта бір уақытта екі жаяу жүргінші шықты. Бірінші адам жылдамдығы -. 7 км / сағ, ал екінші - - 5 км / сағ болса, бірінші жаяу жүргінші екіншісін қанша сағатта қуып жетеді? Ол келесіларді жазды: а) 6: (7 - 5) = х; b) x: s = (x

+ 6): 7; C) X - қозғалыс кезінде, х -x * 7 5 = 6; d) (7 - 5) x = 6. Тексеру        кезінде        мұғалім        бір        теңдеудің        дұрыс        жасалмағанын анықтады. Қайсысы қате?.

Біліктіліктің ілгері деңгейі А.  Бір  бұтақта  2  торғай  отыр,  және  басқасында  –  4.  Барлығы бұтақта қанша торғай отыр?

Б. Бір бұтақта 2 торғай отыр, және басқасында – 4. Барлығы бұтақта 6 торғай отыр. А табаққа 4 қызыл алма және 2 сары алма болды. Табақта барлығы қанша алма болды? Б. табақта 4 қызыл алма, және 2-ге артық сары алма болды, барлығы қанша алма болды? А  гаражда  5  автокӛлік  болды,  3  автокӛлік  кетті.  Гаражда  қанша автомобиль қалды? Б гаражда 5 автокӛлік және 3 жүк кӛлігі болды. Қандай кӛлік саны үлкен және қаншаға? В  гаражда  5  автокӛлік  бар,  жүк  кӛлігі  одан  3-ке  кем.  Гараждағы қанша жүк машинасы болды? А Саябақта 8 қарағай, және 2 есе кӛп қайың отырғызылды. Саябақта қанша қайың отырғызылды?

В.Верада  7  дәптер  болды.  Достарына  5  дәптерін  берді.  Верада қанша дәптер қады? ӛзгерту). Бақшаға қызыл қарақаттың 9 бұтағы, ал қара қарақаттан – 2 артық отырғызылды. Бақшада қанша қара қарақат бұталары бар? Бір бӛшкеде 40 шелек су, ал екіншісінде - 25 шелек су бар. Суару үшін 20 шелек пайдаланылады. Екі бӛшкеде қанша шелек су қалды? «Жұмысшыға 10 сағат ішінде 30 бірдей дананы шығаруға нұсқау берілді. Бірақ уақытты үнемдеген жұмысшы бір дананы 15 минутта орындады. Жұмысшы уақыт үнемдеу есебінен қанша дана артық істеді?

әдіснамасының ерекшеліктері қандай? «Пункт А-дан екі жаяу жүргінші шықты және қарсы бағытқа беттеді. Екі сағаттан кейін олардың арасындағы қашықтық 18 км болды. Егер біріншісінің жылдамдығы 5 км / сағ болса, екінші жаяу жүргінші жылдамдығын анықтаңыз. Бұл тапсырма үшін қай интерпретация орынды?

Біліктіліктің жоғарғы деңгейі

таңдаудың орындылығы тұрғысынан есептерді талдау жолдарына назар аударыңыз. Сіз авторлардың пікірімен келісесіз бе? А. Бір жотасынан 4 қап картоп жиналған, екіншісінен дәл сондай 6 қап. Екінші жотадан жиналған картоптың массасы бірінші жотадан жиналған картоптың массасынан 100  кг-ға артық болса, әрбір жотадан жиналған картоптың массасын табыңыз. Б. Бірінші қорапта екінші қорапқа қарағанда 3 есе кӛп қарындаш болды. Екінші қорапқа 16 қарындаш салған кезде, екі қорапта да тең болды. Әр қорапта қанша қарындаш бар еді? В. 6 м матаға 480 рубль тӛленді.  960 рубльге қанша метр мата сатып алуға болады?

1-інші жолы:        2-інші жолы: 1)     10 + 15 = 25;        1) 150:10=15;        1) 10+15=25; 2)     150:25 = 6(күн).        2) 150:15=10;        2) 50:25=6(күн). Екі әдісті де дұрыс деп есептеуге бола ма? Егер солай болса, оқушылардың пікірлерін келтіріңіз. Егер олай болмаса, онда оқушыларға жауаптардың біреуінің дұрыс емес екенін қалай түсіндіру керектігі туралы ойланыңыз. Есептің шешімін іздеуде мақсатты        түрде        қандай        кӛрнекі        түсіндірмені (интерпретация)қолдануға болады? «Айлақтан қарама-қарсы бағытта екі қозғалтқыш кеме шықты. 4 сағаттан кейін олар бір-бірінен 224 км қашықтықта болды. Олардың біреуі сағатына 30 км жылдамдықпен жүрді. Басқа қозғалтқыш кеменің жылдамдығы қандай?

2-інші жолы: (224 - 30 • 4):4 = 26 (км/сағ). Басқа оқушы есепті тӛмендегідей шығарған:

А. Бір бӛлікте – 5 м мата, екіншісінде – дәл сондай 7 м мата. Егер екі бӛлікке 360 рубль тӛленсе, матаның әр кесегі қанша тұрады? Сіз қандай тексеру әдісін ұнатасыз? Жауапты дәлелдеңіз. Б. Поезд сағатына 70 км жылдамдықпен жүрді. Алғашқы аялдамаға дейін ол жолда 3 сағат болды, ал біріншісінен екіншісіне дейін - 2 сағат. Осы уақыт аралығында поезд қанша қашықтықты жүріп тастады? Тексерудің қандай әдісі пайдалы? Жауапты бағалау неліктен орынсыз? Жауапты дәлелдеңіз. 16 кг-ға аз сатылды. Бір күнде тосаптың әр сұрыбынан қанша кг сатылды?» Оқушы бұл есепті келесідей шешті: 1) 20 -12 = 8 (құты); 2) 16:8 = 2 (кг); 3) 2 • 12 = 24 (кг); 4)

24+16=40(кг). Артынша ол тексеруді осылай орындады:  40-16=24 (кг). Тексерудің бұл түрі пайдалы ма? Тексерудің бұл түрін негізделген деп санауға бола ма? Берілген шешімді есепте берілген сандар мен алынған нәтижедегі сандар арасындағы сәйкестікті орнату арқылы тексеріңіз. кестелік әдісін қолдану арқылы тексеріңіз және оқушыларды есепті шешудің кестелік әдісімен таныстыру барысындағы әңгімелесу мәтінін келтіріңіз. А. Асханада түскі асқа 100 порция дайындалған. Бірінші 34 оқушы түскі ас ішті, сосын 37 оқушы. Түскі астың қанша порциясы қалды? Шешімі: 1) 100 - 34 = 66 (п.); 2) 66 - 37 = 23 (п.); 3) 66 + 23 = = 89 (п.). Б. Аулада 6 қыз бала ойнап жүрді, ал ұлдар 2-ге кӛп. Аулада қанша бала ойнады?

Шешімі: 6 +2 =8 (б.).

Жіберілген қателерді жою және алдын алу үшін, сіздің ойыңызша, тӛменде келтірілген әдістерден ұтымдырағын таңдаңыз: а)        әңгімелесу        барысында        оқушыны        дұрыс        шешім        қабылдауға бағыттау, ұқсас есепті шешу;

б) оқушыны тақтаға шақыру және осы есептің шешілуін түсіндіруді сұрау; в) оқушыға дайын шешімді беру және орындалған әрбір іс-әрекетті түсіндіруді сұрау; г) берілген шарты бірдей, бірақ әр түрлі сұраққа жауап беретін екі есеп ұсынып, есеп мен оның шешіміне салыстыру жүргізу;

д) есеп бір іс-әрекетпен шешілетіндей етіп сұрағын ӛзгерту;

Осы тектес есептермен танысу үшін қандай дайындық жұмыстары жүргізіледі? Есепке «мазмұннан сұраққа» және «сұрақтан мазмұнға» талдау жүргізіңіз. Есепті талдаудың қандай әдісін ұтымды кӛресіз? Алғаш таныстыру сатысында есепті орындау әдістемесін сипаттаңыз. Есептерді шешуге үйренуді бекіту кезеңінде қандай тәсілдерді қолданасыз? А. Саябақта 10 қарағай ӛсірілді, бұл жӛкеге қарағанда 2-ге артық. Саябақта неше жӛке ӛсірілді? Б. Саябақта 10 қарағай ӛсірілді, ал жӛке – 2-ге артық. Саябақта неше жӛке ӛсірілді? А. Қыз 5 ақ саңырауқұлақ және 3 қайың саңырауқұлақ тауып алды, ал бала 3 ақ саңырауқұлақ тапты. Балалар қанша ақ саңырауқұлақ тапты? Б. Оля 2 рубльге қарындаш, 13 рубльге дәптер және қалам сатып алды. және қалам. Сатып алған барлық зат үшін ол 50 рубль тӛледі. Қалам қанша тұрады? Осы мақсатпен қандай тапсырмалар ұсынуға болады? «Қаламның құны 14 рубль, ол қарындаштан 6 рубльге қымбат. Қарындаш қанша тұрады?» А. Әңгімелесу барысында қарындаш қаламға қарағанда арзан екені белгілі болады (тапсырма тікелей формаға аударылады), сондықтан жауапта 14-тен аз сан шығады. Әрекет таңдалады және шешімі жазылады.

Есеппен жұмыстың қандай нұсқасын ұтымды кӛресіз? Оқушыларға есептің шешілуін түсіндіруге кӛмектесетін әңгіме мәтіндерін келтіріңіз. А. Бір сынып оқушылары 50 кг дәрілік шӛп жинады, ал екіншісі - 2 есе кӛп жинады. Екі сыныптың оқушылары қанша килограмм дәрілік шӛп жинады? Б. Бір сынып оқушылары 50 кг дәрілік шӛп, ал екіншісі - 2 есе аз жинады. Екі сыныпта қанша килограмм дәрілік шӛп жиналды? 1-нұсқа. Мұғалімнің басшылығымен оқушылар есептің қысқаша мазмұнын жазды, талдау мазмұннан сұраққа жүргізілді. Олар бірлесіп, есепті шешудің жоспарын жасады. Басқа тапсырма үйге берілді. 2-нұсқа. Мұғалім есептерді оқып және салыстырып, жауабын шешпей тұрып, қандай есептің шешімінде үлкен сан шығатынын анықтауды ұсынды. Оқушылар бірінші есепті ӛз бетінше орындады, екінші есеп үйге тапсырылды. 3-нұсқа. Мұғалім оқушыларға екі есепті оқып, салыстыруды ұсынды. Содан кейін осы есептердің шешімдерін тақтаға жазды (50-2 + 50 = 150, 50: 2 + 50 = 75) және тапсырма берді: әрбір тапсырма үшін шешімді таңдап, орындалатын әрбір әрекетті түсіндіру. Үйге осындай ұқсас тапсырмалар берілді. Берілген нұсқалардың қайсысын тәжірибеде іс жүзінде қолданар едіңіз? Неліктен? Оқушылардың тапсырмалармен жұмысын тағы қалай ұйымдастыруға болады? А. Ағаш ұстасы мен оның шәкірті орындықтарды жӛндеді. Шәкірті күніне 10 орындық жӛндеп, 6 күн жұмыс істеді. Шебер дәл осы жұмысты 3 күнде аяқтады. Ағаш ұстасы күніне неше орындықтан жӛндеген? Б. Шыттың бір бӛлігінен 32 балаларға арналған кӛйлек немесе 16 ересектерге арналған   кӛйлек тігуге болады. Балаларға арналған әр

кӛйлекке 2 м шыт кетеді. Ересектерге арналған әр кӛйлекке неше метр шыт кетеді? Тапсырмаға кіретін мӛлшерлер арасында қандай байланыс бар екенін кӛрсетіңіз. Осы тектес тапсырмалармен таныстыру алдында қандай дайындық жұмыстарын жүргізу ұсынылады? Берілген есепті шешуде оқушылар қандай қиындықтарға тап болады? Қиындықтарды болдырмау үшін қандай дайындық жұмыстары қажет? Осы есепті шешуде оқушының пікірін келтіріңіз. «Бекеттер арасындағы қашықтық 150 км. Бір велосипедші бұл қашықтықты 10 сағатта, ал екіншісі 15 сағатта жүре алады. Егер олар бір-біріне қарама-қарсы бір уақытта шықса, бір-бірімен қанша уақыттан кейін кездеседі?» Қандай кӛрнекі түсіндірме (интерпретация) оқушыларға есептің мазмұнын түсінуге және оны шешу жолын табуға кӛмектеседі? таңдайсыз? Мұндай есептерді шешуге дайындық кезеңінде оқушыларға қандай міндеттер қойылуы керек? «Бір себетте 24 кг алма, екіншісінде алмұрт болды. Алмұрт салынған себетке тағы 8 кг алмұрт салынған кезде, алмадан 10 кг артық болды. Себетте қанша килограмм алмұрт болды?»

Есептің әр шешімін бағалаңыз. Егер шешімдер дұрыс болса, онда оқушының пікірін келтіріңіз. Егер олай болмаса, оқушыны шешімінің дұрыс еместігіне кӛз жеткізуге тырысыңыз. Бастауыш мектептің оқушылары үшін графиктің кӛмегімен есепті шешуге қолжетімді болады ма?

60-сурет

63-сурет

5 Тарау

5.1.

Шамаларды зерттеу математиканың бастауыш курсының негізі болып табылады. Математика пәні бойынша бастауыш сынып оқушылары үшін қазіргі заманғы бағдарламаларда бұл ұғымды қалыптастыру үшін әртүрлі тәсілдер ұсынылған. Шамалар түсіндіріліуі әркелкі сипатта болуына байланысты. Шама - жеке қасиеттердің сандық сипаттамаларың абстракциясы пайда болған сияқты, негізгі математикалық ұғымдардың бірі және ұзындық, аудан, салмақ сияқты тағы басқа нақты ұғымдардың жалпылануы болып табылады деген пікірге кӛптеген математиктер (И. К. Андронов, В.М.Брадис, А. И. Маркушевич және т.б.) қосылады. Бір шама түрін ӛлшем бірлігі ретінде таңдап, кез келген басқа шамасын сол түрдегі қосымша ӛлшем бірлігіндегі санымен қатынасы ретінде білдіруге болады, яғни белгілі бір жағдайларды қанағаттандыратын, біршама заттардың  қасиеті. Шаманың мұндай математикалық түсіну кіші мектеп жасындағы балаларға қол жетімсіз. «Осы ұғымдардың шынайы шығу тегі және мәні, олардың ӛзара байланысы және ӛзара шарттылығы, ӛкінішке орай, басым кӛпшілігі мектеп оқушылары мен кӛптеген мұғалімдер санасынан тыс қалады». (Л. М. Фридман) Алайда, бұл ұғымды қарастырмау да, мүмкін емес. Санды шаманың ӛлшем бірлігіне қатынасы ретінде қарастыруға болады, сондықтан сан тұрақты сипаттама болып табылмайды, ол ӛлшем ретінде қабылданатын бірлікке ғана қатысты. "Сан" және "шама" ұғымдары бір-бірімен байланысты, неғұрлым жоғары сатысыдағы абстрактыда ажыратылмас ұғымдар. Нақты бір сан арқылы сипатталатын нысанды скаляр шамасы деп атайды. "Мемлекеттік білім беру стандарттарына сәйкес бастауыш сынып оқушыларының оқу бағдарламасында ("Ресей мектебі", "Гармония" және т. б.) ұзындық, салмақ, кӛлем, аумақ, уақыт сияқты

шамалар қарастырылады.

Шама ұғымының анықтау күрделілігі оны қалыптастыру үшін дидактикалық негізделген шарттарын талап етеді. Бастауыш мектеп оқушыларына қол жетімді оқу материалын анықтау  үшін осы тақырыпты фрагментік зерттеуге әкеледі. Осыдан кейін, балалардың шамалармен жұмыс жасау кезінде кӛптеген қателіктер байқалады. Бастауыш сынып оқушылары «шама» және «ұзындық» ұғымдарын тең санайды, олардың ӛлшем бірліктерін сараламайды. Есепте қандай шама туралы сӛз қозғалды деген сұраққа, метр, килограмм, заттар шоты деп қате жауап береді. Есепті оқып: «5 кг сәбіз және 4 кг қырықжапырақ сатып алынды». «Барлығы неше килограмм кӛкӛніс сатып алынды?» - деген сұраққа, оқушылардың жартысынан кӛбісі есепте килограмм жайлы сӛз қозғалғалды деп жауап берді, тек бірнешесі ғана есепте масса жайлы сӛз қозғалғалды деп дұрыс жауап берді. Геометриялық мазмұндағы есепті шешу кезінде жиі естуге болады: «алаңның шамасын табамыз», алаң – ол шама екенін ескерсек, тұл тіркесті пайдалану дұрыс емес. Бастауыш сынып оқушыларды ӛлшеу кезінде алынған сандарды салыстыру үлкен қиындық тудырады. Кӛбісі әр түрлі ӛлшем бірлігімен кӛрсетілген шамалардың теңдігін кӛрмейді. 18 см 1 дм 8 см тең емес деп қате санайды. Кейбірі, 1 м=100 см тең екенін біле тұра, 5 м мен 78 см дұрыс салыстыра алмайды, себебі тек оң сандардың жазулыуна ғана бағыттарын аударады.Балалардың салыстыру кезінде тек бір ӛлшем бірлігіне сүйенетінін кездестіруге және басқа да қателер табуға болады. Мысалы, дұрыс белгі қоймай 65 кг=65 кг 200 г деп алады. Бұның себебі тек тапсырманы орындау кезінде назардың болмауы ғана емес. Мұндай қателіктер жіберген оқушылармен әңгіме олардың шама мәнін түсінбейтінін белгілеуге кӛмектесті. Ӛлшеу кезінде алынған санды ӛзгерту неғұрлым күрделі болып табылады. Ірі ӛлшемдерді кіші ӛлшемдерге ауыстыру кезінде кіші ӛлшемдердің мӛлшерін дұрыс анықтамайды және нӛл санын қалдырып кетеді. (немесе қосады, немесе ӛз орнына қоймайды). Мысалы, 8 км 75 м = 875 м, 38 м 9 дм = 3 809 дм, 35 м 8 см = 3 580 см деп қате санайды. Оқушылар  әртүрлі шамалардың ӛлшем бірлігін таңдау орындылығын түсінбейді және қандай шамалар ондық санау жүйесіменен байланысты бірліктерімен ӛлшенетінін білмейді. Шаманы ӛлшеу кезінде алынған сандармен арифметикалық іс- әрекет орындау кезінде, оқушылар ӛрескел қате жіберіп сандардың әртүрлі ӛлшем бірліктермен қосу немесу азайту орындайды. Мысалы,

Оқушылардың        шамаларды                ӛлшеу                практикалық                тәжірибесі жеткіліксіз болуы, мұндай қателерге әкеледі.        Кіші                                                жастағы оқушыларға метрикалық жүйесінде ӛлшем бірліктер 10, 100, 1 000 және  одан  әрі  тең  бӛлшектерге  бӛлінетіндігін  түсіндіруге  болады. Метрикалық жүйесінде ұзындық шамасының негізгі ӛлшем бірлігі – метр,        масса                шамасының                негізгі        ӛлшем        бірлігі        –        килограмм. Ұзындық пен массаның қалған (еселі) ӛлшем бірліктері, негізгі ӛлшем  бірліктің  10,  100,  1  000  және  одан  әрі  ұлғаюынан  немесе азаюынан пайда болады. Осы бірлік атаулары  тіркеуіш кӛмегімен құрылады.        Бірліктің                10        есе                азайған        кезінде        «деци»                тіркегіші қолданылады, 100 рет – «санти»,        1 000 рет — «милли».Бірліктің 10 есе        кӛбейген        кезінде        «дека»        тіркегіші        қолданылады,        100        рет        —

5.2. «гекто», 1 000 рет — «кило». Кӛптеген практикалық есептерде ұзындық бірлігінің, декаметр және гектометр бірліктері пайдаланылмайды, бірақ ӛлшеу алаңында қолданылады. Алаңның ӛлшем бірліктері – ар мен гектар болып табылады. Алаңның шарша метр ұзындығы -10 м (декаметр2) тең болса ар деп аталады: алаңның шарша метр ұзындығы -100 м (гектометр2) тең болса гектар деп аталады.

Ұзындықты ӛлшеу заттың ұзындығын шартты ӛлшеммен салыстурынға негізделеді. Оқушыларға практикалық тапсырма ұсынуға болады: қанша жолақты қағаздарды (тең ұзындықпен) үстелдің жоғарғы жиегі бойымен салып қоюға болады. Оқушылар дайындалған жолақ қағаздарды алып оларды үстелдің шетіне қояды. Назар келесіге аударылады, бірінші жолақ қағаздардың шеті үстелдің шетімен жанасады, ал екінші жолақ қағаздардың шеті бірінші жолақ қағаздардың шетімен жанасады. Жолақ қағаздар саны саналады. Бұдан әрі ӛлшем бір ӛлшем кӛмегімен орындалады - жолақтар қозғалысын, оның бойымен ӛлшенетін беті және қарындашпен оның шетін белгілеуімен. Практикалық орындау барысында оқушылар ӛлшеу нәтижелерін салыстыру, тек қашықтықты бірдей ӛлшеммен ӛлшесе се ғана, ал егер ӛлшемдер тең емес болса, онда ӛлшем кӛп болған сайын, соғұрлым бір қашықтық ӛлшеген сайын мӛлшері кіші ӛлшемдер бола беретінін белгілейді.

Ұзындықтың негізгі бірлігі метр болғаннан соң, балаларға картоннан

жасалған ұзындығы 1 м жолақты кӛрсету керек, ұзындықты метрмен ӛлшеуге ұсыныс жасап және ӛлшеу кезінде алынған санды жазуға үйрету керек. Сыныптық бӛлмеде барлық заттарды метрмен ӛлшеуге келмегендіктен, ұсақ ӛлшем бірліктері, мысалы дециметр туралы айтқан жӛн. Ұзындығы 1 дм жолақты кӛрсетіп, 1 м және 1 дм салыстырып, жаңа терминдермен сӛздік жұмысын ӛткізу және ұзындықты дециметрмен, және содан кейін — метрмен және дециметрмен ӛлшейтін практикалық тапсырмалар ұсыну. Ӛлшеу нәтижиелерін әртүрлі бірліктерде кӛрсетілуі - объективті күрделі оқу материалы. Бұл кезеңде ӛлшеу кезінде алынған сандарды түрлендіру; ұзындықты ӛлшеу және алдымен неғұрлым ірі, ал содан кейін ұсақ ӛлшемдер кӛмегімен ӛлшеу нәтижелерін жазу тапсырмаларын ұсынуға болады. Сантиметрмен таныстыру жұмыстары ұқсас жүргізіледі, содан кейін ұзындықтың аз сантиметр ӛлшеуі қажеттілігі негізделеді және жаңа ұзындық бірлігі — миллиметр зерттеледі. Оқушыларға карточкалар таратады, оның ішінде бірің астына бірі сызылған екі кесінді салынған: бірі- ұзындығы 4 см, екіншісі - 4 см, 5мм. Басқа кесіндінің ӛлшенуі неғұрлым ұсақ ӛлшем – миллиметрді пайдалануға әкеледі. Шақырым ұғымын қалыптастыру сабақтан тыс іс-шараларда ұсынылады, оқушылар 1 км ұзындықты жолды ӛтеді, серуендеуге бӛлінген уақытты есептейді. Шама ұғымымен таныстыру кезінде кӛбірек ӛлшеу бойынша практикалық жұмыстарды жүргізу керек. Бұл ретте бір қашықтықты әртүрлі ӛлшеу бірліктерімен ӛлшеу қажет. Кейін оқушылар кесінділерінің ұзындығын ӛлшеген кезде алынған сандарды қосумен және азайтумен танысады. Сол сияқты, сантиметрмен танысу жұмыстары жүргізілуде, содан кейін ұзындығы бір сантиметрден аз кесінділерді ӛлшеу қажеттілігі негізделген және ұзындығы - миллиметрдің жаңа бірлігі зерттеледі. Оқушыларға екі сегменттің бір-бірінің астына түсетін карталар беріледі: бір - ұзындығы 4 см, екіншісі - 4 см 5 мм. Қысқа бӛліктің ұзындығы белгіленеді. Басқа сегменттің ұзындығын ӛлшеу, кішігірім шараларды қолдану - миллиметрді анық кӛрсетеді.

6 Тарау

6.1.

Жай бӛлшектерді зерттегенде келесі міндеттер шешіледі:

6.2.

Жаңа материалды түсіндіру кезінде маңызды сәттерге назар аудару қажет: нақты зат немесе геометриялық фигура бүтін болып табылады және сол бүтін тең бӛліктерге (үлестерге) бӛлінеді. Заттарды кез-келген тең бӛлікке бӛлген процессінде  оқушылар келесіні біледі, егер бүтінді екі бірдей бӛлікке бӛлсе, екі үлес және оның бүтінде екеуі болады, егер үшке бӛлсе бүтінде үшеу болады және т.б. Мұндай жұмыс үлестер бір бүтіннің тең бӛліктері және олардың бүтіндегі саны атауына сәйкес келетіні туралы білім береді.

Оқушылардың жұмысын жандандыру үшін келесі сұрақтарды қоюға болады:

Үлесті табу бойынша тапсырмалар ұсынған жӛн: жолақ қағаздарды кесуге, дәптерге үлестерді жапыстырыруға, берілген шамалар үлесін бояуға. Бұл ретте оқушылар бүтінді қанша тең бӛлікке бӛлетінін және қанша үлес алатынын айтуға тиіс. Бұдан басқа, келесі тапсырмаларды, орындау керек: геометриялық фигуралар моделінде екінші, үшінші және басқа да үлесін табу, екінші, үшінші және басқа да үлесін кӛрсету, кӛптеген үлестерінің ішінен екінші, үшінші және басқа да үлесін іріктеу, қандай үлестер бейнеленгенін анықтау, бірдей бүтіннің үлесін кӛлемі бойынша орналастыру –аз үлестен үлкен үлеске дейін. Осы кезеңде үлестердің атаулары бойынша олардың мӛлшерін айтуға болатынына назар аударылады. Ең ірі – екінші үлес және олар бүтінде екеу ғана. Үшінші үлес екінші үлеспен салыстырғанда кіші және олар бүтінде кӛп. Үлес кіші болған сайын, соғұрлым олардың саны жалпы алғанда бүтінде кӛп.

Үлес туралы білімдерін бекіту үшін практикалық тапсырмалар ұсынылады:

6.3.

Бӛлшек бір немесе бірнеше тең бӛліктерінен құралған сан және екі бүтін сандардың кӛмегімен және бӛлшек сызығымен бейнеленеді. Бӛлшектің астындағы сан неше үлеске бӛлінгенін кӛрсетеді - бұл бӛлшектің бӛлімі деп аталады. Бӛлшек сызықтың үстіндегі сан неше үлестің алынғанын кӛрсетеді - бұл бӛлшектің алымы деп аталады. Бұл туралы білім заттық-практикалық жұмыс барысында беріледі. Олар бӛлшек алу үшін бірлікті (бір нақты затты немесе геометриялық фигураны) бӛлшекке бӛлу керек екендігін және бір немесе бірнеше осындай үлес алу керектігін біледі. Оқушылар бірте-бірте бӛлшектерді алу процессінде, ережені есте сақтай бастайды: бӛлшек сызықтың үстіндегі сан неше үлестің алынғанын кӛрсетеді - бұл бӛлшектің алымы,ал бӛлшектің астындағы сан неше үлеске бүтіннің (геометриялық фигураның) бӛлінгенін кӛрсетеді - бұл бӛлшектің бӛлімі деп атайды. Н. А. Менчинская бӛлшектермен жүмыс кезінде үлкен ой икемділігін талап ететінін атап ӛткен, себебі бӛлшек оқу кезінде бүтін сандар ережесінен басқа жаңа ережелер пайда болады. Тең бӛлектерді әр түрлі сандармен кӛрсету, оқушыларға мүлдем жаңаша мәлімет болып табылады. Осының барлылығы ӛткен кездің тәжерибиесіне қарама-қайшы болып табылады, сол себепті қиын қабылданады. Бүтінді бӛлшектің бӛлігі ретінде кӛрсету үшін бекіту тапсырмаларын келтірейік:

үлесін бояңдар

бӛлшекті таңдаңыз және қоршаңыз.

атаңдар.

6.4.

Жаңа        оқу        материалын        түсініктемесін        практикалық        есеп

шешемінен бастаған дұрыс, мысалы: «60 см тақтаның

бӛлігін алып

керек екенін сұрайды. Егер үлестер туралы білімдері қалыптасқан жағдайда, оқушылар тақтаны үш тең бӛлікке бӛлу және оныңі бір бӛлігін алу керек екендігі туралы жауап бере алады. Осыдан: 60 см тақтаны 3 бӛлу керек. Есептің шешімі: 20 см, 60:3 = 20 (см).

Санның бірнеше бӛліктерін табуы екі арифметикалық әрекеттер

кӛмегімен жүргізіледі. Бірінші әрекетте санның

бӛлігі, ал екінші

Санды бір  бӛлігінен  табу  практикалық  мазмұнды  есептермен

байланыстырған жӛн, мысалы: м

-25 см екендігі белгілі. 1 м қанша

сантимер? Оқушылар 1 м =100 см тең екендігін  біледі, 25 см  — тӛрттен бір үлесі, ал жалпы тӛрт осындай үлесі бар екенін анықтай алады, онда 25 см 4 есе ұлғайту керек. Шешімі жазылады: 25 * 4 = 100 (см).

Есептер        шешімін        салыстыруға,        шарттардың                айырмашылығы                мен ұқсастығын        анықтауға        болады.        Мысалы:        «        Кӛйлекке        3        м        мата

жұмсалды, барлық сатып алынған    маталарды құрайды. Қанша метр

құрайды,енді тексеріс жасаймыз: 15: 5=3 (м). Есеп дұрыс шығарылды.

Қҧзіреттіліктің шектік деңгейі 1.Математика оқулығынан «Үлестерді зерттеу» тақыры бойынша тапсырмалар таңдамыз. 72 см, ал ені -2 есе кіші, бақша- кӛкӛністерге толы, қалғаны — картоп.   Қанша   шаршы   метрді        картоп алады». Бақшаның тікбұрышты формасы есепті әр түрлі кӛрнекі түрде кӛрсетуге мүмкіндік береді: тіктбұрышты тӛрт бірдей бӛлікке кӛлденең, тік және ӛзара перпендикулярными сызықтармен бӛлуге. Әңгіме барысында оқушыларды тӛменде келтірілген әдістермен шешу жолдарына әкелуге болады.

Әдебиеттер тізімі

Мазмҧны

Кіріспе...........................................................................................................

1        тарау.        Бастауыш        сынып        оқушыларын        оқытудың психологиялық-педагогикалық аспектілері

1.2.        Сабақ        -        оқытудың        үйымдастырушылық        түрі        ретінде.

Леонович .......................................................................................................

2.1. Сан туралы түсінік қалыптасуының жолдары .................................

2.2. Бірінші ондық сандарын оқыту..........................................................

2.3. Бірінші жүздік нумерациясын оқыту ................................................

2.4. Мың кӛлеміндегі сандар нумерациясын оқыту ................................

2.5. Кӛп таңбалы сандар нумерациясын оқыту .......................................

3.1. Арифметикалық амалдар дәне олардың қасиеті туралы түсініктің қалыптасуы.................................................................................

3.2. Бастауыш мектепте қосу және азайтуды оқыту ...............................

3.2.1. Бірінші ондық сандарын қосу және азайту ..............................

3.2.2. Бірінші ондық сандарын қосу және азайту...............................

3.2.3. Бірінші жүздік кӛлеміндегі сандарды қосу және азайту.........

3.2.4. Бірінші мыңдық сандарын қосу және азайту............................

3.2.5. Кӛп таңбалы сандарды косу және азайту..................................

3.3. Бастауыш мектепте кӛбейту және бӛлуді оқыту

3.3.2. Кӛбейту мен бӛлудің ерекше жағдайлары, алғашқы жүздік кӛлемінде кестеден тыс кӛбейту мен бӛлу..........................................

3.3.3. Бірінші мыңдық сандарын, кӛп таңбалы сандарлы ауызша кӛбейту және бӛлу тәсілдері ................................................................

3.3.4. Бірінші мыңдық сандарын, кӛп таңбалы сандарды жазбаша

кӛбейту және бӛлу тәсілдері.................................................................

Оқу басылымы Калинченко Анна Викторовна, Шикова Раиса Наумовна, Леонович Евгений Николаевич

Г. Н. Петрова

Басп. № 104113567. Подписано в печать 21.09.2016. Формат 60 х 90/16. Гарнитура «Балтика». Қағаз офс. № 1. Офсеттік баспа. Усл. печ. л. 13,0. Тираж 1 000 экз. тапсырыс №

«Тверской полиграфический комбинат» ААҚ, 170024, Тверь қ, Ленин даңғылы, 5. Телефон: (4822) 44-52-03, 44-50-34. Телефон/факс: (4822) 44-42-15.