Ей, пенделер! Жердегі ұсақ қайғыны тастаңдар, Зияткерлік күштің биік шыңын енді таныңдар. Ньютон ашты ақиқаттың құпия сандығын бүгін, Шешіп берді табиғаттың ең күрделі түйінін. ЭДМ. ГАЛЛЕЙ.

Әрбір дене өзінің тыныштық күйін немесе түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын, сыртқы әсер етуші күштер сол күйін өзгертуге мәжбүр етпегенше сақтайды.

Сынапты снарядтар ауаның кедергісінен баяулағанша және тартылыс күші (гравитация) әсерінен төмен қарай итерілгенше өз қозғалысын жалғастыра береді. Бөліктері біріккендіктен үнемі түзу сызықты қозғалыстан ауытқып отыратын зырылдауық та, ауа кедергісінен баяулағанша айналуын тоқтатпайды. Ал Планеталар мен Кометалардың ірі денелері кедергісі аз кеңістіктерде өздерінің ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстарын ұзағырақ сақтайды.

Қозғалыстың өзгеруі әсер етуші қозғалтқыш күшке пропорционал және сол күш бағытталған түзу сызық бойымен жүзеге асады.

Әсерге әрқашан қарсы әрі тең әсер болады: немесе екі дененің бір-біріне әрекеті әрқашан тең және қарама-қарсы бағытталған.

Дене біріккен күштердің әсерінен параллелограммның диагоналы бойымен, жеке күштер әсерінен оның қабырғалары бойымен өтетін уақытта жылжиды.

Осыдан тікелей AD күшінің кез келген қиғаш АВ және ВD күштерінен құралуы, және керісінше, кез келген тікелей AD күшінің кез келген қиғаш АВ және ВD күштеріне жіктелуі анық көрінеді. Бұл құрастыру мен жіктеу Механикада толығымен расталады.

Егер Р салмағына тең p салмағы ішінара Np жібіне ілініп, ішінара pG қиғаш жазықтығына тірелсе: pH және NH жүргізілсін, біріншісі горизонтқа параллель, екіншісі pG жазықтығына перпендикуляр болсын; егер p салмағының төмен қарайғы күші pH түзуімен көрсетілсе, ол pN, HN күштеріне жіктелуі мүмкін. Егер pN жібіне перпендикуляр қандай да бір pQ жазықтығы pG жазықтығын горизонтқа параллель түзумен қиып өтсе; және p салмағы тек осы pQ, pG жазықтықтарына тіреліп тұрса; ол бұл жазықтықтарды pN, HN күштерімен перпендикуляр басатын еді, атап айтқанда pQ жазықтығын pN күшімен және pG жазықтығын HN күшімен. Сондықтан, егер pQ жазықтығы алынып, салмақ жіпті керсе, жіп салмақты ұстап тұрып, алынып тасталған жазықтықтың орнын басатындықтан, ол бұрын жазықтық басылған дәл сол pN күшімен керіледі. Содан бұл қиғаш жіптің керілуі перпендикуляр PN жібінің керілуіне pN-нің pH-қа қатынасындай болады. Сондықтан, егер p салмағы мен А салмағының қатынасы олардың AM, pN жіптерінің дөңгелек орталығынан ең қысқа қашықтықтарының кері қатынасы мен pH-тың pN-ге тікелей қатынасынан құралса; салмақтар дөңгелекті қозғалтуға бірдей әсер етеді және бір-бірін ұстап тұрады, мұны кез келген адам тәжірибе арқылы тексере алады.

Ал сол екі қиғаш жазықтыққа тірелген p салмағы жарылған дененің ішкі беттері арасындағы бастапқы үлгі (сына) ретінде қарастырылады: осыдан сына мен балғаның күштері белгілі болады: p салмағы pQ жазықтығын басатын күштің оның өз салмағымен немесе балға соққысымен pH түзуі бойымен итерілетін күшіне қатынасы pN-нің pH-қа қатынасындай; ал екінші pG жазықтығын басатын күшіне қатынасы pN-нің NH-қа қатынасындай. Сондай-ақ Бұранданың (винт) күші де күштерді осылай бөлу арқылы анықталады; өйткені ол иінтірекпен итерілетін сына іспеттес. Сондықтан бұл Салдардың қолданылу аясы өте кең және оның кеңдігі оның ақиқаттығын дәлелдейді, өйткені бұған дейін түрлі авторлар әртүрлі жолмен дәлелдеген бүкіл Механика осыған негізделген. Осылардан дөңгелектерден, дабылдардан, шығырлардан, иінтіректерден, айналмалы радиустардан, керілген жіптерден және тікелей немесе қиғаш көтерілетін салмақтардан, сондай-ақ басқа да механикалық күштерден құралатын Машиналардың күштерін, сондай-ақ жануарлардың сүйектерін қозғалтатын жүйкелердің (нервтердің) күштерін оңай шығаруға болады.

Бір бағытқа бағытталған қозғалыстардың қосындысын және қарама-қарсы бағытталғандардың айырмасын алу арқылы есептелетін қозғалыс мөлшері, денелердің өзара әрекетінен өзгермейді.

Ортақ ауырлық орталығы денелердің өзара әрекетінен өзінің тыныштық немесе қозғалыс күйін өзгертпейді, сондықтан бір-біріне әрекет ететін барлық денелердің (сыртқы әрекеттер мен кедергілерді есептемегенде) ортақ ауырлық орталығы не тыныштықта болады, не түзу сызықты бірқалыпты қозғалады.

Қисық сызықтар мен беттер туралы дәлелденген бұл қағидалар денелердің қисық беттері мен көлемдеріне де оңай қолданылады. Мен бұл Леммаларды ежелгі геометрлерше ab absurdum (қайшылыққа тіреу) әдісімен ұзақ дәлелдеуден қашу үшін алдын ала ұсынып отырмын. Бөлінбейтін бөлшектер әдісі арқылы дәлелдеулер қысқарақ болады. Бірақ бөлінбейтіндер туралы болжам қатаң емес деп есептелгендіктен, мен дәлелдеулерді жоғалып бара жатқан шамалардың шекті қосындылары мен қатынастарына немесе жаңадан пайда болып жатқан шамалардың алғашқы қатынастарына (яғни, шектерге) негіздеуді жөн көрдім.

Егер эллипстің орталығы шексіздікке кетіп, ол параболаға айналса, дене осы парабола бойымен қозғалады және шексіз алыс орталыққа бағытталған күш тұрақты болады. Бұл — Галилей теоремасы. Егер параболалық қима гиперболаға айналса, дене орталыққа тартқыш күш орталықтан тепкіш күшке ауысқан күйде оның периметрімен қозғалады.

Мұны орындалды деп айтамын. Себебі егер sp-ге қатынасы sh-тың sq-ға қатынасындай болатын және vsp бұрышы hsq бұрышына, ал vsh бұрышы psq бұрышына тең болатын sv жүргізілсе, svh, spq үшбұрыштары ұқсас болады, сондықтан vh-тың pq-ға қатынасы sh-тың sq-ға қатынасындай болады, яғни (VSP, hsq үшбұрыштарының ұқсастығынан) VS-тің SP-ға немесе ab-ның pq-ға қатынасындай. Демек, vh мен ab тең. Бұдан әрі, VSH, vsh үшбұрыштарының ұқсастығынан VH-тың SH-қа қатынасы vh-тың sh-қа қатынасындай, яғни қазір сипатталған конустық қиманың осінің оның фокустар арасындағы қашықтығына қатынасы ab осінің sh фокустар арасындағы қашықтығына қатынасындай болады, сондықтан қазір сипатталған фигура apb фигурасына ұқсас. Бұл фигура P нүктесі арқылы өтеді, өйткені PSH үшбұрышы psh үшбұрышына ұқсас; және VH оның осіне тең болып, VS түзуі TR түзуімен перпендикуляр бағытта қақ бөлінгендіктен, ол TR түзуін жанайды. Бұл орындалуы керек еді.

2-жағдай. Егер үш сызықтың екеуі, айталық AZ және BZ тең болса, Z нүктесі AB қашықтығын қақ бөлетін перпендикулярда орналасады және басқа түзудің орны жоғарыдағыдай табылады. Бұл табылуы керек еді.

3-жағдай. Егер үшеуі де тең болса, Z нүктесі A, B, C нүктелері арқылы өтетін шеңбердің орталығында орналасады. Бұл табылуы керек еді.

Траекториялардың центрлері немесе асимптоталары (қисық сызық шексіздікке ұмтылғанда жақындайтын, бірақ оны ешқашан қимайтын түзу) берілген мәселелер алдыңғы жағдайларға кіреді. Себебі нүктелер мен жанамалар және центр берілсе, центрден бірдей қашықтықта орналасқан басқа да нүктелер мен жанамалар берілген болып саналады. Асимптотаны жанама ретінде қарастыру керек, ал оның шексіз алыстағы ұшы — жанасу нүктесі болады.

Бірақ кез келген шексіз созылған түзу спиральді шексіз көп нүктеде қияды, ал екі сызықтың қиылысуын табатын теңдеу олардың барлық қиылысу нүктелерін тиісті түбірлер арқылы көрсетеді, демек, қиылысу нүктелерінің саны қанша болса, өлшемі де сонша жоғары болады. Екі шеңбер бір-бірін екі нүктеде қиятындықтан, бір қиылысу нүктесі тек екі өлшемді теңдеу арқылы табылады, ол арқылы екінші нүкте де анықталады. Екі конустық қиманың (эллипс, парабола немесе гипербола) төрт қиылысу нүктесі болуы мүмкін болғандықтан, олардың кез келгенін бәрін бірге табатын төрт өлшемді теңдеусіз жалпы түрде табу мүмкін емес. Өйткені, егер бұл қиылысулар бөлек ізделсе, барлығының заңы мен шарты бірдей болғандықтан, әр жағдайда есептеу бірдей болады, демек, қорытынды да әрқашан бірдей болып, барлық қиылысуларды бірдей қамтуы тиіс.

Сол себепті, конустық қималар мен үшінші дәрежелі қисықтардың қиылысулары алты нүкте болуы мүмкін болғандықтан, олар алты өлшемді теңдеулер арқылы, ал екі үшінші дәрежелі қисықтың тоғыз қиылысуы тоғыз өлшемді теңдеулер арқылы бірге шығады. Егер бұл солай болмаса, барлық стериометриялық (күрделі денелердің көлеміне қатысты) мәселелерді планиметриялық мәселелерге, ал одан да күрделілерін стериометриялыққа дейін төмендетуге болар еді. Дәл осы себепті, түзулер мен конустық қималардың екі қиылысуы әрқашан екі өлшемді теңдеулермен, түзулер мен үшінші дәрежелі қисықтардың үш қиылысуы үш өлшемді теңдеулермен, түзулер мен төртінші дәрежелі қисықтардың төрт қиылысуы төрт өлшемді теңдеулермен шығады және бұл шексіздікке дейін жалғасады.

Егер эллипстің көлденең жағы (үлкен осі) тік жағынан (латус ректумнан) әлдеқайда үлкен болса және дененің эллипс төбесінің жанындағы қозғалысын анықтау қажет болса (бұл жағдай Кометалар теориясында кездеседі), G нүктесінен AB осіне перпендикуляр GI түзуін жүргізуге болады, оның GK-ға қатынасы AVPS ауданының AK × AS тіктөртбұрышына қатынасындай болуы тиіс; содан кейін орталығы I, радиусы AI болатын шеңбер сызыңыз. Бұл шеңбер эллипсті дененің ізделіп отырған P орнында барынша дәл қияды. Дәл осындай құрылыммен (тиісті өзгерістермен) гипербола мәселесі де шешіледі. Бұл құрылымдар жоғарыдағыдай дәлелденеді және егер фигура (B алыс төбесі шексіздікке кеткенде) параболаға айналса, олар XXII мәселенің дәл құрылымына ауысады.

1. Дәл осындай дәлелмен, егер RPB фигурасы парабола болса және сол негізгі B төбесіне басқа BED параболасы сызылып, ол тұрақты болып қалса, ал периметрімен P денесі қозғалатын алдыңғы параболаның латус ректумы азайып, жойылғанша CB түзуімен сәйкес келсе, BDEB параболалық сегменті (қисық сызық пен оны қиятын түзу арасындағы жазықтықтың бөлігі) сол P немесе C денесінің B орталығына дейін төмен түсу уақытына пропорционал болады. _Д.Т.Қ._

Алдыңғы тұжырымдағы $AP$ сызығын айырмашылық үшін Шар сыртындағы Циклоида Циклоида — дөңгелек түзу бойымен домалағанда оның жиегіндегі нүктенің сызатын қисығы , ал кейінгі тұжырымдағы сызықты Шар ішіндегі Циклоида деп атаймыз.

1-салдар. Осыған байланысты, егер $ASL$ толық циклоидасы сызылса және ол $S$ нүктесінде қақ бөлінсе, $PS$ бөлігінің ұзындығының $VP$ ұзындығына ($EB$ радиус болғанда $VBP$ бұрышының екі еселенген синусына тең) қатынасы $2CE$-нің $CB$-ге қатынасындай, демек берілген қатынаста болады.

2-салдар. Және $AS$ жартылай циклоида периметрінің ұзындығы, дөңгелектің $BV$ диаметріне қатынасы $2CE$-нің $CB$-ге қатынасындай болатын түзу сызыққа тең болады.

3-салдар. Сондықтан, егер Шардың радиусы берілсе, ол ұзындық $BEC$ тіктөртбұрышына пропорционал болады.

Салдар. $AR$ жібі циклоиданың жарты доғасы $APS$-ке тең.

1-салдар. Осыған байланысты тербелетін, құлайтын және айналатын денелердің уақыттарын өзара салыстыруға болады. Өйткені, егер шар ішінде циклоида сызылатын дөңгелектің диаметрі шардың радиусына тең деп алынса, циклоида шардың орталығы арқылы өтетін түзу сызыққа айналады және тербеліс енді осы түзу бойымен түсу және кейінгі көтерілу болады. Осыдан кез келген орыннан орталыққа қарай түсу уақыты да, осыған тең дене шар орталығының айналасында кез келген қашықтықта біркелкі айнала отырып квадранттық Квадранттық — шеңбердің төрттен бір бөлігіне қатысты доғаны сызу уақыты да табылады. Өйткені бұл уақыт (екінші жағдай бойынша) кез келген $APS$ трохоидасындағы жарты тербеліс уақытына қатынасы ½$BC$-нің $\sqrt{BEC}$-ге қатынасындай болады.

2-салдар. Осыдан сондай-ақ Д. К. Ренн мен Д. К. Гюйгенстің кәдімгі циклоида туралы тапқандары шығады. Өйткені егер шардың диаметрі шексіздікке дейін ұлғайса, оның сфералық беті жазықтыққа айналады, ал орталыққа тартқыш күш осы жазықтыққа перпендикуляр сызықтар бойымен біркелкі әрекет етеді және біздің циклоидамыз жалпы жұрт білетін кәдімгі циклоидаға ауысады. Ол жағдайда сол жазықтық пен сызушы нүкте арасындағы циклоида доғасының ұзындығы, сол жазықтық пен сызушы нүкте арасындағы дөңгелек доғасының жартысының төрт еселенген верзус-синусына тең болады, бұны Д. К. Ренн тапқан болатын: Және осындай екі циклоида арасындағы маятник...

Біз дәлелдеген Тұжырымдар Жердің шынайы құрылымына бейімделген, өйткені дөңгелектер оның үлкен шеңберлері бойымен қозғалғанда, шегелердің қозғалысы шардың сыртында циклоидалар түзеді; ал Жердің қазбалары мен үңгірлерінде төменде асылып тұрған маятниктер, барлық тербелістер изохронды (уақыты бірдей — изохронды) болуы үшін, шар ішіндегі циклоидалар бойымен тербелуі тиіс. Себебі, ауырлық күші (үшінші кітапта көрсетілетіндей) Жер бетінен жоғары қарай оның орталығынан қашықтықтың квадратына кері пропорционал түрде, ал төмен қарай жай пропорция түрінде азаяды.

Қисық сызықты фигуралардың квадратураларын (фигура ауданын есептеу — ) қолдана отырып, денелер берілген қисық сызықтар бойымен әрқашан изохронды тербелістер жасайтын күштерді табу.

Қисық сызықты фигуралардың квадратураларын қолдана отырып, денелердің кез келген орталыққа тартқыш күштің әсерінен, күштер орталығы арқылы өтетін жазықтықта сипатталған кез келген қисық сызықтар бойымен төмен түсу және жоғары көтерілу уақыттарын табу.

Егер дене осі күштер орталығы арқылы өтетін кез келген қисық бетте қозғалса және денеден оське перпендикуляр түсірілсе, сондай-ақ осьтің кез келген нүктесінен оған параллель әрі тең сызық жүргізілсе: сол параллель сызық уақытқа пропорционал ауданды сызып шығатынын айтамын.

Қисық сызықты фигуралардың квадратураларын қолдана отырып, берілген орталыққа бағытталған орталыққа тартқыш күш заңы және осі сол орталық арқылы өтетін қисық бет берілген жағдайда; дене берілген орыннан, берілген жылдамдықпен сол беттегі берілген бағытқа қарай шыққанда сипатталатын траекторияны табу керек.

Жоғарыдағы Тұжырымда құрылған шарттарды сақтай отырып, дене S орнынан табылуы тиіс STtR траекториясына шықсын және оның SC биіктігіндегі берілген жылдамдығынан оның кез келген басқа TC биіктігіндегі жылдамдығы белгілі болады. Осы жылдамдықпен, берілген өте аз уақыт ішінде дене өзінің траекториясының Tt кішкентай бөлігін сипаттасын және Pp оның AOP жазықтығындағы ізі болсын. Op-ны қосайық, және T орталығынан Tt арақашықтығымен қисық бетте сипатталған кішкентай шеңбердің сол OAPp жазықтығында сипатталған PpQ эллипстік (сопақша — эллипстік) ізі болсын. Кішкентай шеңбердің шамасы мен орны берілгендіктен, сол PpQ эллипсі де белгілі болады. POp ауданы уақытқа пропорционал болғандықтан және берілген уақыттан анықталғандықтан, Op-ның орны белгілі болады, содан оның эллипспен ортақ қиылысу нүктесі p, сонымен бірге APp траектория ізі OP сызығын қиятын OPp бұрышы анықталады. Осыдан кейін траекторияның сол APp ізі XLI Тұжырымдағы VIKk қисық сызығы ұқсас деректерден қалай табылса, дәл сондай әдіспен табылады. Содан соң іздің әрбір P нүктесінен AOP жазықтығына перпендикуляр PT түзулерін қисық бетпен Т нүктесінде қиылысқанша тұрғызу арқылы траекторияның әрбір Т нүктесі анықталады. Бұл дәлелденуі тиіс мәселе еді.

Орталыққа тартқыш күштермен бір-біріне ұмтылатын сфералық денелердің қозғалысы туралы.

Осы уақытқа дейін мен тартылатын денелердің қозғалмайтын орталыққа қарай қозғалысын баяндадым, бірақ табиғатта мұндай орталық жоқтың қасы. Өйткені тартылыстар әдетте денелерге қарай бағытталады; тартушы және тартылатын денелердің әрекеттері үшінші заң бойынша әрқашан өзара және тең болады: сондықтан екі дене болған жағдайда тартушы да, тартылатын да тыныштықта тұра алмайды, бірақ екеуі де (Заңдардың төртінші салдары бойынша) өзара тартылыс арқылы ортақ ауырлық орталығының айналасында айналуы тиіс: ал егер бір орталыққа тартылатын немесе бәрі бір-бірін тартатын денелер көп болса, олар өз араларында ортақ ауырлық орталығы не тыныштықта болатындай, не түзу сызықпен біркелкі қозғалатындай етіп қозғалуы керек. Осы себепті мен енді бір-бірін тартатын денелердің қозғалысын түсіндіруге көшемін, мұнда орталыққа тартқыш күштерді Тартылыстар ретінде қарастырамын, дегенмен, физикалық тұрғыдан айтқанда, оларды Серпіндер (импульстер — серпін) деп атаған дұрысырақ болар. Өйткені біз қазір Математикамен айналысып жатырмыз, сондықтан физикалық таластарды жиып қойып, математик оқырмандарға түсінікті болуы үшін үйреншікті тілді қолданамыз.

Бірін-бірі тартатын екі дене ортақ ауырлық орталығының айналасында да, бір-бірінің айналасында да ұқсас фигуралар сипаттайды.

Егер екі дене кез келген күштермен бір-бірін тартса және сол уақытта ортақ ауырлық орталығының айналасында айналса: менің айтарым, осылай қозғалатын денелердің бір-бірінің айналасында сипаттайтын фигураларына ұқсас әрі тең фигураны қозғалмайтын екінші бір дененің айналасында дәл сол күштермен сипаттауға болады.

2-нұсқа. Енді ортақ ауырлық орталығы денелер бір-біріне қатысты қозғалатын кеңістікпен бірге түзу сызықпен біркелкі ілгерілейді деп есептейік; сонда, Заңдардың алтыншы салдары бойынша, осы кеңістіктегі барлық қозғалыстар бұрынғыдай орындалады, демек денелер бір-бірінің айналасында бұрынғыдай фигураларды сипаттайды, демек pqv фигурасына ұқсас әрі тең болады. Бұл дәлелдеу керек болған нәрсе.

Ортақ C ауырлық орталығының айналасында айналатын екі S және P денелерінің периодтық уақытының, қозғалмайтын S денесінің айналасында айналатын және денелердің бір-бірінің айналасында сипаттайтын фигураларына ұқсас әрі тең фигураны сипаттайтын P денесінің периодтық уақытына қатынасы, S денесінің S + P денелерінің қосындысына қатынасының квадрат түбіріндей болады.

Егер өз арақашықтығының квадратына кері пропорционал күштермен бір-бірін тартатын екі S және P денесі ортақ ауырлық орталығының айналасында айналса: менің айтарым, осы қозғалыс кезінде P денесінің екінші S денесінің айналасында сипаттайтын эллипсінің көлденең осінің, сол P денесінің қозғалмайтын S денесінің айналасында дәл сол периодтық уақытта сипаттай алатын эллипсінің көлденең осіне қатынасы, екі S + P денесінің қосындысының осы қосынды мен екінші S денесі арасындағы екі орташа пропорционалдың біріншісіне қатынасындай болады.

Егер кез келген күштермен бір-бірін тартатын екі дене, басқаша қозғалмайтын немесе кедергі жасалмайтын болса, қалай қозғалса да; олардың қозғалысы олар бір-бірін тартпай, керісінше екеуі де ортақ ауырлық орталығында орналасқан үшінші дене тарапынан дәл сол күштермен тартылғандай болады: Және тартушы күштердің заңы денелердің сол ортақ орталықтан қашықтығына қатысты да, денелер арасындағы жалпы қашықтыққа қатысты да бірдей болады.

Өз арақашықтығының квадратына кері пропорционал күштермен бір-бірін тартатын және берілген орындардан жіберілген екі дененің қозғалысын анықтау.

Өз арақашықтығының квадратына кері пропорционал күштермен бір-бірін тартатын және берілген орындардан, берілген түзулер бойынша, берілген жылдамдықтармен шығатын екі дененің қозғалысын анықтау.

Денелердің бір-бірін тарту күштері орталықтардан қашықтықтардың жай пропорциясында артқан жағдайда: бірнеше дененің өзара қозғалыстарын табу керек.

Егер ені шексіз азайғандықтан жойылуға шақ қалған (Evanescent — шексіз аз мөлшерге ұмтылатын шама) EFfe беті, өзінің PS осінің айналасында айналуы арқылы ойыс-дөңес сфералық дене түзейтін болса және оның әрбір тең бөлшектеріне тең ортаға ұмтылушы күштер (Centripetal force — денені қисық бойымен қозғалуға мәжбүрлеп, орталыққа қарай бағытталған күш) бағытталса: мен айтар едім, бұл дененің P нүктесінде орналасқан бөлшекті тарту күші DEq. × Ff көбейтіндісі мен Ff орнындағы берілген бөлшектің дәл сол бөлшекті тарту күшінің біріккен қатынасында болады.

1-мысал. Егер сфераның әрбір бөлшегіне бағытталған ортаға ұмтылушы күш қашықтыққа кері пропорционал болса; V орнына PE қашықтығын, содан кейін PEq. орнына 2PS × LD-ны қойыңыз, сонда DN шамасы SL - ½LD - ALB ÷ 2LD түрінде болады. DN-ді оның екі еселенген мәніне тең деп алайық: 2SL - LD - ALB ÷ LD. Тұрақты 2SL бөлігін AB ұзындығына көбейтсе, 2SL × AB тіктөртбұрышты ауданы шығады; ал айнымалы LD бөлігі сол ұзындық бойымен үздіксіз қозғалыспен, қозғалыс барысында әрдайым LD ұзындығына тең болатындай өсіп немесе кеміп отырса, {LBq. - LAq.} ÷ 2, яғни SL × AB ауданын түзеді; бұны алдыңғы 2SL × AB ауданынан азайтсақ, SL × AB ауданы қалады. Ал үшінші бөлік ALB ÷ LD дәл солай қозғалыс арқылы Гиперболалық ауданды түзеді; бұны SL × AB ауданынан азайтсақ, ізделіп отырған ABNA ауданы шығады. Осыдан мәселенің мынадай құрылымы (конструкциясы) туындайды: L, A, B нүктелеріне Ll, Aa, Bb перпендикулярларын тұрғызыңыз, мұндағы Aa = LB және Bb = LA болсын. Ll және LB асимптоталары (қисық сызық шексіздікте жақындайтын, бірақ оны қиып өтпейтін түзу) арқылы a және b нүктелері арқылы ab гиперболасын сызыңыз. Сонда жүргізілген ba хордасы ізделіп отырған ABNA ауданына тең болатын aba ауданын шектейді.

3-мысал. Егер әрбір бөлшекке бағытталған ортаға ұмтылушы күш бөлшектерден қашықтықтың төртінші дәрежесіне кері пропорционал болса, V орнына PE^4 ÷ 2AS^3, ал PE орнына [sqrt]2PS × LD қойыңыз, сонда DN келесідей болады: (SL × SI^{3/2} / [sqrt]2 × LD^{3/2}) — (SI^{3/2} / 2[sqrt]2 × LD^{1/2}) — (ALB × SI^{3/2} / 2[sqrt]2 × LD^{5/2}). Оның үш бөлігін AB ұзындығына көбейткенде келесідей үш аудан шығады: ( [sqrt]2 × SL × SI^{3/2} / LA^{1/2} ) — ( [sqrt]2 × SL × SI^{3/2} / LB^{1/2} ), ( LB^{1/2} × SI^{3/2} - LA^{1/2} - SI^{3/2} / [sqrt]2 ) және ( ALB × SI^{3/2} / 3[sqrt]2 × LA^{3/2} ) — ( ALB × SI^{3/2} / 3[sqrt]2 × LB^{3/2} ). Бұлар тиісті қысқартулардан кейін және соңғы екеуін біріншіден азайтқан соң 8SI cub. ÷ 3LI болып шығады. Демек, P бөлшегінің сфера орталығына тартылуының жалпы күші SI cub. ÷ PI-ге, яғни PS cub. × PI-ге кері пропорционал. Т. К. К.

P сфераның орталығындағы дене болсын, ал RBSD — RDS жазықтығымен және RBS сфералық бетімен шектелген оның бөлігі (Segment — шардың бір бөлігі). P орталығынан сызылған EFG сфералық бетімен DB-ны F нүктесінде қиып, бөлікті BREFGS және FEDG бөліктеріне жіктеңіз. Бұл бет таза математикалық емес, ең кіші тереңдігі бар физикалық бет болсын. Осы тереңдікті O деп атайық, сонда бұл бет (Архимедтің дәлелдеулері бойынша) PF × DF × O шамасына тең болады. Бұған қоса, сфера бөлшектерінің тарту күштері қашықтықтың n дәрежесіне кері пропорционал деп есептейік; сонда FE бетінің P денесін тарту күші DF × O ÷ PF^{n - 1} түрінде болады. Бұған пропорционал етіп O-ға көбейтілген FN перпендикулярын алыңғыз; сонда FN ординатасының DB ұзындығы бойымен үздіксіз қозғалысы нәтижесінде түзілген BDLIB қисық сызықты ауданы бүкіл RBSD бөлігінің P денесін тартуының жалпы күшіне пропорционал болады. Т. К. К.

1-салдар. Демек, егер бөлшектердің тарту күштері, тартылатын бөлшектердің қашықтығы артқан сайын, қашықтықтардың қандай да бір дәрежесіне байланысты кемісе: бүкіл денелерге қарай үдеуші тартылыстар денелердің өзіне тура пропорционал және қашықтықтардың сол дәрежелеріне кері пропорционал болады. Мысалы, егер бөлшектердің күштері тартылатын бөлшектерден қашықтықтың квадратына кері пропорционал болып кемісе, ал денелер A cub. және B cub. ретінде болса, демек денелердің кубтық қабырғалары да, тартылатын бөлшектердің денелерден қашықтығы да A және B ретінде болса: денелерге қарай үдеуші тартылыстар A cub. ÷ A quad. және B cub. ÷ B quad. ретінде болады, яғни сол денелердің A және B кубтық қабырғаларына пропорционал. Егер бөлшектердің күштері тартылатын бөлшектерден қашықтықтың кубына кері пропорционал болып кемісе; бүкіл денелерге қарай үдеуші тартылыстар A cub. ÷ A cub. және B cub. ÷ B cub. ретінде, яғни тең болады. Егер күштер төртінші дәрежеге кері пропорционал болып кемісе, денелерге тартылыстар A cub. ÷ Aqq. және B cub. ÷ Bqq. ретінде болады, яғни A және B кубтық қабырғаларына кері пропорционал болады. Басқалары да дәл солай.

2-салдар. Осыдан керісінше, ұқсас денелердің өздеріне қатысты ұқсас орналасқан бөлшектерді тарту күштерінен, тартылатын бөлшектің алыстауына байланысты тартушы бөлшектердің күштерінің кему қатынасын қорытып шығаруға болады; егер сол кему қашықтықтардың қандай да бір дәрежесіне тура немесе кері пропорционал болса.

Салдар. Осыдан тартылатын Z денесінің қозғалысы тартатын RSTV денесі сфералық болғандағыдай болады: сондықтан егер ол тартатын дене тыныштықта тұрса немесе түзу сызық бойымен біркелкі ілгерілесе, тартылатын дене орталығы тартатын дененің ауырлық орталығында орналасқан Эллипс бойымен қозғалады.

Өздерінің айырмаларына (дифференциалдарына) пропорционал болатын шамалар үздіксіз пропорционалды болады. A-ның A - B-ға қатынасы B-ның B - C-ға және C-ның C - D-ға қатынасындай болсын. Сонда бөлген кезде A-ның B-ға қатынасы B-ның C-ға және C-ның D-ға қатынасындай болады. Қажетті дәлел осы.

• **2-жағдай.** DAV секторының да, DAQ үшбұрышының да өте кішкентай TDV және PDQ бөлшектерін кесіп өтетін DQV жүргізілсін; бұл бөлшектер бір-біріне DT²/DP² қатынасында болады, яғни (егер TX пен AP параллель болса) DX²/DA² немесе TX²/AP² қатынасында және бөлу арқылы (DX² - TX²)/(AD² - AP²) қатынасында болады. Бірақ гиперболаның қасиеті бойынша DX² - TX² — бұл AD², ал болжам бойынша AP² — бұл AD × AK. Демек, бөлшектер бір-біріне AD²/(AD² - AD × AK) қатынасында болады; яғни AD/(AD - AK) немесе AC/CK сияқты: сондықтан сектордың TDV бөлшегі PDQ × AC/CK болады, демек берілген AC және AD бойынша, PQ/CK сияқты болады; сондықтан II кітап, VIII проп., 5-корол. бойынша, ол жылдамдықтың PQ өсіміне сәйкес келетін уақыт бөлшегі сияқты. Біріктіру арқылы, жылдамдықтың барлық AP бөлшектері (PQ) туындайтын уақыт бөлшектерінің қосындысы ADT секторының бөлшектерінің қосындысы сияқты болады, яғни бүкіл уақыт бүкіл сектор сияқты. Д. К. К.

Осы дәлел бойынша, өрлеу барысындағы жылдамдық (дененің қозғалыс қарқыны), дене кедергісіз кеңістікте дәл сондай уақыт ішінде өзінің бүкіл өрлеу қозғалысын жоғалтуы мүмкін болатын жылдамдыққа қатынасы, ApD үшбұрышының AtD шеңберлік секторына (шеңбер бөлігі) қатынасындай немесе Ap түзуінің At доғасына қатынасындай болады.

Демек, дененің кедергісі бар ортада құлау арқылы AP жылдамдығына ие болу уақытының, кедергісіз кеңістікте құлау арқылы ең жоғары AC жылдамдығына ие болу уақытына қатынасы ADT секторының ADC үшбұрышына қатынасындай болады. Сондай-ақ, кедергісі бар ортада өрлеу арқылы Ap жылдамдығын жоғалту уақытының, кедергісіз кеңістікте өрлеу арқылы дәл сол жылдамдықты жоғалту уақытына қатынасы At доғасының оның Ap тангенсіне (жанама кесіндісі) қатынасындай болады.

Дәл осындай дәлелмен fg уақыт квадратына пропорционал, демек уақыттар тең болғандықтан, ол FG-ге тең; ал кері қайтқан денені итеретін импульс (серпін) hf ÷ fg ретінде өрнектеледі. Бірақ кері қайтқан дененің импульсі мен ілгерілеген дененің кедергісі қозғалыстың дәл басында тең болады, демек оларға пропорционал hf ÷ fg және HF ÷ FG де тең болады; сондықтан fg және FG тең болғандықтан, hf және HF те тең болады. Осылайша CF, CH (немесе Ch) және Cf арифметикалық прогрессияда болады, демек HF – Cf пен CF айырмасының жартысына тең; ал жоғарыда HF ÷ FG ретінде көрсетілген кедергі {Cf - CF} ÷ FG түрінде болады.

Алайда кедергі ортаның тығыздығы мен жылдамдықтың квадратына пропорционал. Жылдамдық сипатталған CF ұзындығына тура, ал уақыттың [sqrt]FG көрсеткішіне кері пропорционал, яғни CF ÷ [sqrt]FG, демек жылдамдықтың квадраты CFq. ÷ FG ретінде болады. Сондықтан кедергі және оған пропорционал {Cf - CF} ÷ FG шамасы ортаның тығыздығы мен CFq. ÷ FG көбейтіндісіне пропорционал; осыдан ортаның тығыздығы {Cf - CF} ÷ FG-ге тура және CFq. ÷ FG-ге кері пропорционал, яғни {Cf - CF} ÷ CFq. ретінде анықталады. Бұл дәлелденуі тиіс болған нәрсе.

Осыдан мынадай қорытынды шығады: егер Cf кесіндісінде CF-ке тең Ck алынса және AK көкжиек жазықтығына ki перпендикуляры түсіріліп, ол ACK қисығын l нүктесінде қиса; онда ортаның тығыздығы {FG - kl} ÷ {CF × {FG + kl}} қатынасына пропорционал болады. Өйткені fC-ның kC-ға қатынасы [sqrt]fg немесе [sqrt]FG-ның [sqrt]kl-ге қатынасындай, ал бөлу арқылы fk-ның kC-ға қатынасы, яғни Cf - CF-тің CF-ке қатынасы [sqrt]FG - [sqrt]kl-дің [sqrt]kl-ге қатынасындай болады; бұл (егер екі мүшені де [sqrt]FG + [sqrt]kl шамасына көбейтсе) FG - kl-дің kl + [sqrt]FG × kl шамасына немесе FG + kl шамасына қатынасындай. Өйткені жаңадан түзілген kl + [sqrt]FG × kl және FG + kl шамаларының бастапқы қатынасы теңдікті білдіреді. Сондықтан {Cf - CF} ÷ CF орнына {FK - Kl} ÷ {FK + Kl} жазылсын; сонда {Cf - CF} ÷ CF quad. пропорционал болған орта тығыздығы {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl} түріне ауысады.

Осыдан, егер қисық сызық (әдеттегідей) AB негізі немесе абсциссасы (х осі) мен BC ординатасы (у осі) арасындағы қатынас арқылы анықталса және ординатаның мәні жинақталатын тізбекке (мүшелері кішірейе беретін қатар) жіктелсе: мәселе келесі мысалдардағыдай тізбектің алғашқы мүшелері арқылы тез шешіледі.

Мұндай тізбектерді мен келесі ретпен бірізді мүшелерге бөлемін. Бірінші мүше деп шексіз кішкентай o шамасы жоқ мүшені атаймын; екіншісі – ол шама бір өлшемде болатын мүше; үшіншісі – екі өлшемде, төртіншісі – үш өлшемде және осылайша шексіздікке дейін. Бірінші мүше, мұндағы e, әрқашан B анықталмаған шамасының басында орналасқан BC ординатасының ұзындығын білдіреді; екінші мүше, мұндағы ao ÷ e, BC мен DF арасындағы айырмашылықты, яғни BC - ID параллелограмын (қарама-қарсы қабырғалары параллель төртбұрыш) толықтыру арқылы кесілетін IF кіші сызығын білдіреді, демек ол әрқашан CF жанамасының орнын анықтайды: бұл жағдайда IF-тің IC-ға қатынасы ao ÷ e-нің o-ға немесе a-ның e-ге қатынасындай етіп алынады. Үшінші мүше, мұндағы nnoo ÷ 2e^3, жанама мен қисық арасында жатқан FG кіші сызығын көрсетеді, демек ол FCG жанасу бұрышын немесе қисық сызықтың C нүктесіндегі қисықтығын анықтайды. Егер сол FG кіші сызығы шекті шамада болса, ол үшінші мүшемен бірге шексіздікке дейінгі кейінгі мүшелер арқылы өрнектеледі. Ал егер ол кіші сызық шексіз азайса, кейінгі мүшелер үшіншіден шексіз аз болады, сондықтан оларды ескермеуге болады. Төртінші мүше, мұндағы anno^3 ÷ 2e^5, қисықтықтың өзгеруін көрсетеді; бесіншісі – өзгерудің өзгеруін және осылайша жалғаса береді. Осыдан бұл тізбектерді жанамалар мен қисықтықтарға негізделген мәселелерді шешуде қолданудың маңыздылығы көрінеді.

Бұдан бөлек, CF – CIq. және IFq. қосындысынан, яғни BDq. және екінші мүшенің квадратынан алынған квадрат түбір. FG + kl үшінші мүшенің екі еселенгеніне тең, ал FG - kl төртіншінің екі еселенгеніне тең. Өйткені DG мәні il мәніне, ал FG мәні kl мәніне BD орнына Bi-ді, немесе +o орнына -o-ны жазу арқылы ауысады. Сәйкесінше FG шамасы - nnoo ÷ 2e^3 - anno^3 ÷ 2e^5 және т.б. болғандықтан, kl = - nnoo ÷ 2e^3 + anno^3 ÷ 2e^5 және т.б. болады. Олардың қосындысы - nnoo ÷ e^3, айырмасы - anno^3 ÷ e^5. Бесінші және одан кейінгі мүшелерді бұл мәселеде қарастырылатын шамалардан шексіз аз болғандықтан ескермеймін. Сонымен, егер тізбек жалпы түрде ± Qo - Roo - So^3 және т.б. мүшелерімен белгіленсе, CF шамасы [sqrt]{oo + QQoo}-ға, FG + kl шамасы 2Roo-ға, ал FG - kl шамасы 2So^3-ке тең болады. CF, FG + kl және FG - kl үшін осы мәндерді жазсақ, {FG - kl} ÷ {CF * (FG + kl)} қатынасына пропорционал болған орта тығыздығы енді S ÷ {R [sqrt]{1 + QQ}} қатынасына пропорционал болады. Сонымен, әрбір мәселені жинақталатын тізбекке келтіріп және мұнда Q, R және S үшін тізбектің сәйкес мүшелерін жаза отырып; содан кейін кез келген G нүктесіндегі ортаның кедергісінің тартылыс күшіне қатынасын S[sqrt]{1 + QQ} ÷ 2RR ретінде алып және жылдамдықты C нүктесінен CF түзуі бойымен шыққан дененің CB диаметрі мен {1 + QQ} ÷ R параметрлі (параллельдік өлшем) параболада қозғалатын жылдамдығындай етіп алсақ, мәселе шешіледі.

Осылайша, қазір шешіліп жатқан мәселеде [sqrt]{1 + QQ} орнына [sqrt]{1 + aa ÷ ee} немесе n ÷ e, R орнына nn ÷ 2e^3 және S орнына ann ÷ 2e^3 жазсақ, орта тығыздығы a ÷ ne қатынасындай болады, бұл (n берілгендіктен) a ÷ e немесе OB ÷ BC қатынасындай, яғни AK-ға перпендикуляр OL жарты диаметрімен шектелетін CT жанамасының ұзындығындай болады; ал кедергінің тартылыс күшіне қатынасы a-ның n-ге, яғни OB-ның OK шеңбер жарты диаметріне қатынасындай, жылдамдық болса [sqrt]2BC-ге пропорционал болады. Сондықтан, егер дене C белгілі бір жылдамдықпен, OK-ға параллель сызық бойымен L нүктесінен шықса және әрбір C нүктесіндегі орта тығыздығы CT жанамасының ұзындығындай болса, сондай-ақ қандай да бір C нүктесіндегі кедергінің тартылыс күшіне қатынасы OB-ның OK-ға қатынасындай болса; ол дене LCK шеңбер тоқсанын сипаттайды. Бұл ізделген нәрсе.

Параболаның қасиеті бойынша, ADK тіктөртбұрышы DG ординатасы мен қандай да бір берілген түзудің көбейтіндісіне тең: яғни, егер сол түзу b, AB – a, AK – c, BC – e және BD – o деп аталса; a + o мен c - a - o көбейтіндісі немесе ac - aa - 2ao + co - oo мәні b мен DG көбейтіндісіне тең, демек DG шамасы {ac - aa} ÷ b + {{c - 2a} ÷ b}o - oo ÷ b тең. Енді осы тізбектің екінші мүшесі {{c - 2a} ÷ b} o – Qo үшін, ал оның коэффициенті {c - 2a} ÷ b – Q үшін жазылуы керек; үшінші мүше oo ÷ b – Roo үшін, ал оның коэффициенті 1 ÷ b – R үшін жазылуы тиіс. Ал мүшелер бұдан көп болмағандықтан, төртінші мүше So^3-тің S коэффициенті жойылуы керек, сондықтан орта тығыздығы пропорционал болатын S ÷ R[sqrt]{1 + QQ} шамасы нөлге тең болады. Демек, лақтырылған дене парабола бойымен ешқандай орта тығыздығысыз (кедергісіз) қозғалады, бұл туралы кезінде Галилей (ұлы физик) дәлелдеген болатын. Бұл ізделген нәрсе.

AGK сызығы AK көкжиек жазықтығына перпендикуляр NX асимптотасы (қисық сызық шексіз жақындайтын, бірақ қиып өтпейтін түзу) бар гипербола болсын; лақтырылған дененің осы сызық бойымен қозғалуына мүмкіндік беретін ортаның тығыздығын табу талап етілсін.

Бұл тізбектің екінші мүшесі {d ÷ e}O - {nbb ÷ A^{n+1}}O – Qo үшін, үшінші мүше {{nn + n} ÷ 2A^{n+2}}bbO^2 – Ro^2 үшін, төртінші мүше {{n^3 + 3nn + 2n} ÷ 6A^{n+3}}bbO^3 – So^3 үшін алынуы керек. Осыдан кез келген G нүктесіндегі орта тығыздығы S ÷ {R * [sqrt]{1 + Q Q}} келесідей болады:

демек, егер VZ-де n VG-ге тең VY алынса, ол XY-ге кері пропорционал болады. Өйткені A^2 және {dd ÷ ee}A^2 - 2dnbb ÷ eA^n A + nnb^4 ÷ A^{2n} – бұл XZ және ZY қабырғаларының квадраттары. Ал сол G нүктесіндегі кедергінің тартылыс күшіне қатынасы S XY ÷ A-ның 2RR-ге қатынасындай, яғни XY-дің {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}VG шамасына қатынасындай болады. Сондай-ақ ондағы жылдамдық лақтырылған дененің G төбесі, GD диаметрі және {1 + QQ} ÷ R немесе 2XY quad. ÷ {{nn + n} VG} параметрі бар параболадағы жылдамдығындай болады. Бұл ізделген нәрсе.

XYGT параллелограмы толықтырылсын және осы гиперболалардың қасиетінен GT түзуі гиперболаны G нүктесінде жанайтыны оңай аңғарылады, сондықтан G-дегі орта тығыздығы GT жанамасына кері пропорционал, ал ондағы жылдамдық [sqrt]{GTq. ÷ GV} шамасына пропорционал болады, кедергінің тартылыс күшіне қатынасы болса GT-ның {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}GV шамасына қатынасындай болады. Сәйкесінше, егер дене A нүктесінен AH түзуі бойымен жіберіліп, AGK гиперболасын сипаттаса және созылған AH NX асимптотасымен H нүктесінде қиылысса, ал AI түзуі екінші MX асимптотасымен I нүктесінде қиылысса: A-дағы орта тығыздығы AH-қа кері пропорционал болады, дененің жылдамдығы [sqrt]{AHq. ÷ AI} шамасына пропорционал, ал ондағы кедергінің тартылыс күшіне қатынасы AH-тың {3nn + 3n} ÷ {n + 2} * AI шамасына қатынасындай болады. Осыдан мынадай ережелер шығады:

Шынында да, жылдамдықтың PQ импульсін және берілген уақыт импульсіне сәйкес келетін DET секторының DTV импульсін бөліп алатын DVQ жүргізілсін: сонда жылдамдықтың PQ кемуі DB² ауырлық күші мен AP² + 2BAP кедергі күштерінің қосындысына, яғни (Элементтердің II кітабы, 12-тұжырымы бойынша) DP²-қа пропорционал болады. Демек, PQ-ға пропорционал DPQ ауданы DP²-қа пропорционал; ал DTV ауданы (оның DPQ ауданына қатынасы DT²-тың DP²-қа қатынасындай) берілген DT²-қа пропорционал болады. Сондықтан EDT ауданы берілген DTV бөлшектерін азайту арқылы алдағы уақытқа сай біркелкі кемиді, демек, ол болашақ көтерілу уақытына пропорционал. Д. К. К.

Себебі, берілген уақыт бөлшегіндегі жылдамдықтың PQ кемуі AP² + 2ABP кедергісі мен AB² - BD² ауырлық күшінің қосындысына, яғни BP² - BD²-қа пропорционал. Ал DTV ауданының DPQ ауданына қатынасы DT²-тың DP²-қа қатынасындай, демек, егер DF-ке GT перпендикуляры түсірілсе, ол GT² немесе GD² - DF²-тың BD²-қа қатынасындай және GD²-тың PB²-қа қатынасындай, ал бөлу арқылы DF²-тың BP² - DB²-қа қатынасындай болады. Сондықтан, DPQ ауданы PQ-ға, яғни BP² - BD²-қа пропорционал болғандықтан, DTV ауданы берілген DF²-қа пропорционал болады. Олай болса, EDT ауданы әрбір тең уақыт бөлшектерінде соншама берілген DTV бөлшектерін азайту арқылы біркелкі кемиді, демек, уақытқа пропорционал. Д. К. К.

3-жағдай. AP дененің төмен түсу барысындағы жылдамдығы, AP² + 2ABP кедергі, ал DB² - AB² ауырлық күші болсын, мұнда DAB бұрышы тік. Егер D центрімен, негізгі B төбесімен созылған DA, DP және DQ-ды E, T және V нүктелерінде қиятын BETV тікбұрышты гиперболасы сызылса; осы гиперболаның DET секторы түсу уақытына пропорционал болады.

1-жағдай. Егер дене көтерілсе және BET шеңбер болса (XIII Тұжырымның 1-жағдайындағы сызба), ауырлық күші AB² + BD²-қа пропорционал болып, AC сызығы {AB² + BD²} ÷ Z-ке тең болады және DP² немесе AP² + 2BAP + AB² + BD² шамасы AK × Z + AC × Z немесе CK × Z болады; демек DTV ауданының DPQ ауданына қатынасы DT² немесе DB²-тың CK × Z-ке қатынасындай болады.

2-жағдай. Егер дене көтерілсе және ауырлық күші AB² - BD²-қа пропорционал болса, AC сызығы (XIII Тұжырымның 2-жағдайындағы сызба) {AB² - BD²} ÷ Z болады, ал DT²-тың DP²-қа қатынасы DF² немесе DB²-тың BP² - BD²-қа немесе AP² + 2BAP + AB² - BD²-қа, яғни AK × Z + AC × Z немесе CK × Z-ке қатынасындай болады. Сондықтан DTV ауданының DPQ ауданына қатынасы DB²-тың CK × Z-ке қатынасындай.

3-жағдай. Дәл осы дәлелмен, егер дене төмен түссе және ауырлық күші BD² - AB²-қа пропорционал болып, AC сызығы (алдыңғы XIII Тұжырымның 3-жағдайындағы сызба) {BD² - AB²} ÷ Z-ке тең болса, DTV ауданының DPQ ауданына қатынасы DB²-тың CK × Z-ке қатынасындай болады: жоғарыдағыдай.

Осы аудандар әрқашан осындай қатынаста болғандықтан; егер өзіне әрқашан тең уақыт импульсін білдіретін DTV ауданының орнына белгілі бір BD × m тіктөртбұрышы жазылса, DPQ ауданы, яғни ½BD × PQ-ның BD × m-ге қатынасы CK × Z-тің DB²-қа қатынасындай болады. Осыдан PQ × BD³ шамасы 2BD × m × CK × Z-ке тең болады, ал жоғарыда табылған AbNK ауданының KLON импульсі BP × BD × m ÷ AB болады. DET ауданынан DTV немесе BD × m импульсін шегерсек, AP × BD × m ÷ AB қалады. Демек, импульстердің айырмасы, яғни аудандар айырмасының импульсі AP × BD × m ÷ AB-ге тең; сондықтан (берілген BD × m ÷ AB шамасына байланысты) AP жылдамдығына, яғни дененің көтерілу немесе түсу кезінде жүріп өтетін қашықтығының импульсіне пропорционал. Олай болса, аудандардың айырмасы мен сол қашықтық пропорционал импульстермен өсіп немесе кеміп, бірге басталып немесе бірге жоғалатындықтан, олар өзара пропорционал. Д. К. К.

OP-ға QD, SE перпендикулярлары түсірілсін, сонда сызықтардың соңғы қатынастары мынадай болады: TQ-ның PD-ге қатынасы TS немесе PS-тің PE-ге, немесе PO-ның PS-ке қатынасындай. Сондай-ақ PD-нің PQ-ға қатынасы PQ-дың PO-ға қатынасындай. Және ауыстыру арқылы TQ-ның PQ-ға қатынасы PQ-дың PS-ке қатынасындай болады. Осыдан PQ² шамасы TQ × PS-ке тең болады. Д. К. К.

Алдыңғы Леммадағы шарттар қабылдансын және SQ түзуі V-ға дейін созылсын, сонда SV шамасы SP-ге тең болсын. Тең уақыт ішінде дене өте аз PQ және QR доғаларын сызсын, PSQ және QSr аудандары тең болсын. Денеге P нүктесінде әсер ететін орталыққа тартқыш күш SP²-қа кері пропорционал болғандықтан және (I кітап, X Лемма бойынша) сол күшпен туындайтын TQ кесіндісі осы күш пен PQ доғасы жүріп өтілетін уақыттың квадратының көбейтіндісіне пропорционал болғандықтан (бұл жағдайда кедергіні орталыққа тартқыш күштен шексіз аз деп есептеп, ескермеймін), TQ × SP², яғни (соңғы Лемма бойынша) PQ² × SP уақыттың квадратына пропорционал болады, демек уақыт PQ × [sqrt]SP шамасына пропорционал, ал дененің сол уақытта PQ доғасын жүріп өтетін жылдамдығы PQ ÷ {PQ × [sqrt]SP} немесе 1 ÷ [sqrt]SP шамасына, яғни SP-нің түбіріне кері пропорционал болады. Осыған ұқсас дәлелмен, QR доғасы жүріп өтілетін жылдамдық SQ-дың түбіріне кері пропорционал. Бірақ бұл PQ және QR доғаларының өзара қатынасы оларды сызатын жылдамдықтардың қатынасындай, яғни SQ-дың SP-ге қатынасының түбіріндей немесе SQ-дың [sqrt]SP × [sqrt]SQ шамасына қатынасындай; және тең SPQ, SQr бұрыштары мен тең PSQ, QSr аудандарына байланысты PQ доғасының Qr доғасына қатынасы SQ-дың SP-ге қатынасындай болады. Пропорционал шамалардың соңғы мүшелерінің айырмасын алсақ, PQ доғасының Rr доғасына қатынасы SQ-дың SP - SP^½ × SQ^½ немесе ½VQ-ға қатынасындай болады; өйткені P және Q нүктелері беттескенде, SP - SP^½ × SQ^½ шамасының ½VQ-ға соңғы қатынасы теңдікке жетеді. Кедергісіз ортада тең PSQ, QSr аудандары (I кітап, I Теорема) тең уақыт ішінде сызылуы керек еді. Кедергіден аудандардың RSr айырмасы туындайды, сондықтан кедергі Qr кесіндісінің Rr кемуін оның туындаған уақытының квадратына бөлгенге пропорционал. Өйткені Rr кесіндісі (I кітап, X Лемма бойынша) уақыттың квадратына пропорционал. Сонымен кедергі Rr ÷ {PQ² × SP} шамасына пропорционал. Ал PQ-дың Rr-ге қатынасы SQ-дың ½VQ-ға қатынасындай еді, осыдан Rr ÷ {PQ² × SP} шамасы ½VQ ÷ {PQ × SP × SQ} немесе ½OS ÷ {OP × SP²} шамасына пропорционал болады. Себебі P және Q нүктелері беттескенде, SP және SQ сәйкес келеді; және PVQ, PSO ұқсас үшбұрыштарына байланысты PQ-дың ½VQ-ға қатынасы OP-ның ½OS-ке қатынасындай болады. Демек, OS ÷ {OP × SP²} шамасы кедергіге пропорционал, яғни P нүктесіндегі орта тығыздығы мен жылдамдықтың квадратының көбейтіндісіне тең. Жылдамдықтың квадратын, яғни 1 ÷ SP қатынасын алып тастасақ, ортаның P-дағы тығыздығы OS ÷ {OP × SP} шамасына пропорционал болып қалады. Спираль берілген болса және OS-тің OP-ға қатынасы тұрақты болса, ортаның P нүктесіндегі тығыздығы 1 ÷ SP шамасына пропорционал болады. Демек, тығыздығы SP орталықтан қашықтыққа кері пропорционал ортада дене осы спираль бойымен айнала алады. Д. К. К.

1. [!I]2-жағдай. Енді мен осы сұйықтықтың барлық сфералық бөліктері жан-жағынан бірдей қысылатынын айтамын: сұйықтықтың сфералық бөлігі EF болсын, егер ол жан-жағынан бірдей қысылмаса, ол жан-жағынан тең қысылғанша кішірек қысым арттырылсын; сонда оның бөліктері, бірінші жағдай бойынша, өз орындарында қалады. Бірақ қысым арттырылғанға дейін де олар өз орындарында қалатын еді (сол бірінші жағдай бойынша), ал жаңа қысымның қосылуымен олар өз орындарынан қозғалуы керек (сұйықтық анықтамасы бойынша). Бұл екеуі бір-біріне қайшы. Демек, EF сферасы жан-жағынан бірдей қысылмайды деген тұжырым қате. [CONCLUSION] Б.К.Д.

1. [!I]3-жағдай. Сонымен қатар, әртүрлі сфералық бөліктердің қысымы тең болатынын айтамын. Өйткені іргелес сфералық бөліктер түйісу нүктесінде бір-бірін тең қысыммен итереді (қозғалыстың III Заңы бойынша). Бірақ екінші жағдай бойынша, олар жан-жағынан бірдей күшпен қысылады. Демек, іргелес емес кез келген екі сфералық бөлік те, аралықтағы сфералық бөлік екеуіне де тиіп тұра алатындықтан, бірдей күшпен қысылады. [CONCLUSION] Б.К.Д.

1. [!I]4-жағдай. Енді мен сұйықтықтың барлық бөліктері барлық жерде бірдей қысылатынын айтамын. Өйткені кез келген екі бөлікке сфералық бөліктер кез келген нүктелерде тиіп тұра алады және сол жерде ол сфералық бөліктерді тең қысыммен итереді (3-жағдай бойынша) және өз кезегінде олардан тең қысым алады (қозғалыстың үшінші Заңы бойынша). [CONCLUSION] Б.К.Д.

1. [!I]5-жағдай. Демек, сұйықтықтың кез келген GHI бөлігі қалған сұйықтықтың ішінде ыдыстағыдай қамалып, жан-жағынан тең қысылатын болғандықтан, оның бөліктері де бір-бірін тең қысып, өзара тыныштықта болады; жан-жағынан тең қысылатын кез келген GHI сұйықтығының барлық бөліктері бір-бірін тең қысатыны және өзара тыныштықта болатыны анық. [CONCLUSION] Б.К.Д.

1. [!I]6-жағдай. Сондықтан, егер сол сұйықтық қатты емес ыдысқа қамалып, жан-жағынан тең қысылмаса, ол сұйықтық анықтамасы бойынша күштірек қысымға жол береді.

1. [!I]7-жағдай. Сондықтан қатты ыдыстағы сұйықтық бір жағынан екінші жағына қарағанда күштірек қысымға төтеп бере алмайды, бірақ соған жол береді, ол да қас қағым сәтте болады, өйткені ыдыстың қатты қабырғасы шегінген сұйықтықтың соңынан ермейді. Шегіну арқылы ол қарама-қарсы жақты итереді және осылайша қысым жан-жақтан теңелуге ұмтылады. Сұйықтық көбірек қысылған жақтан шегінуге тырысқан бойда, ол қарама-қарсы жақтағы ыдыстың қарсылығымен тежеледі; қысым жергілікті қозғалыссыз-ақ қас қағым сәтте жан-жақтан теңеледі; содан кейін сұйықтық бөліктері, бесінші жағдай бойынша, бір-бірін тең қысып, өзара тыныштықта болады. [CONCLUSION] Б.К.Д.

Төмендеген дене жүріп өткен ең кіші Dd арақашықтығын алайық және оны RG мен rg параллель сызықтарының арасындағы ең кіші RGgr ауданымен белгілейік; rg сызығын h-қа дейін созайық, сонда GHhg және RGgr сәйкесінше IGH және PIGR аудандарының бір мезгілдегі кемуі болып табылады. Ал {OR ÷ OQ} IEF - IGH ауданының өсімі GHhg - {Rr ÷ OQ} IEF немесе Rr × HG - {Rr ÷ OQ} IEF болады; бұл PIGR ауданының кемуі RGgr-ге немесе Rr × RG-ға қатынасы, HG - {IEF ÷ OQ}-тың RG-ға қатынасындай болады; демек, OR × HG - {OR ÷ OQ} IEF қатынасы OR × GR немесе OP × PI қатынасындай болады: бұл (OR × HG, OR × HR - OR × GR, ORHK - OPIK, PIHR және PIGR + IGH теңдігіне байланысты) PIGR + IGH - {OR ÷ OQ} IEF қатынасының OPIK-ке қатынасындай. Сондықтан, егер {OR ÷ OQ} IEF - IGH ауданын Y деп атасақ және PIGR ауданының кемуі RGgr берілсе, Y ауданының өсімі PIGR - Y сияқты болады.

Егер V арқылы сипатталатын CD доғасына пропорционал, денені D нүктесінде итеретін ауырлық күшін белгілесек және R-ді кедергі ретінде алсақ: V - R — денені D-да итеретін толық күш, демек, ол берілген уақыт аралығындағы жылдамдықтың өсіміне пропорционал. Ал R кедергісі (болжам бойынша) жылдамдықтың квадратына пропорционал, демек (II Лемма бойынша), кедергінің өсімі жылдамдық пен жылдамдық өсімінің көбейтіндісіне, яғни берілген уақыт аралығындағы жүріп өткен қашықтық пен V - R көбейтіндісіне пропорционал; сондықтан, егер қашықтық моменті берілсе, V - R-ге пропорционал болады; яғни, V күшінің орнына оның өрнектеушісі PIGR-ді жазсақ және R кедергісін басқа бір Z ауданымен өрнектесек, ол PIGR - Z болады.

Осылайша, PIGR ауданы берілген моменттерді шегеру арқылы біркелкі кемігенде, Y ауданы PIGR - Y қатынасымен өседі, ал Z ауданы PIGR - Z қатынасымен өседі. Сондықтан, егер Y және Z аудандары бір уақытта басталып, басында тең болса, олар тең моменттерді қосу арқылы тең болып қала береді және дәл солай тең моменттермен кеміп, бір уақытта жойылады. Керісінше, егер олар бір уақытта басталып, бір уақытта жойылса, олардың моменттері тең болады және олар әрдайым тең болады: бұл сондай-ақ, егер Z кедергісі артса, жылдамдық дене көтерілгенде сипатталатын Ca доғасымен бірге азаяды; және барлық қозғалыс кедергімен бірге тоқтайтын нүкте C нүктесіне жақындаған сайын, кедергі Y ауданына қарағанда тезірек жойылады. Кедергі азайған кезде керісінше жағдай орын алады.

Z ауданы кедергі жоқ жерде, яғни қозғалыстың басында және соңында, CD доғалары CB және Ca доғаларына тең болғанда, демек RG түзуі QE және CT түзулерімен сәйкес келгенде басталып, аяқталады. Ал Y ауданы немесе {OR ÷ OQ} IEF - IGH ол жоқ жерде басталып, аяқталады, демек {OR ÷ OQ} IEF және IGH тең болғанда: бұл (құрылым бойынша) RG түзуі QE және CT түзулеріне түскен кезде болады. Демек, бұл аудандар бір уақытта басталады және бір уақытта жойылады, сондықтан олар әрдайым тең. Олай болса, кедергіні өрнектейтін {OR ÷ OQ} IEF - IGH ауданы Z ауданына тең, демек оның ауырлық күшін өрнектейтін PINM ауданына қатынасы, кедергінің ауырлық күшіне қатынасындай. Д.Д.Э.

Дене ең қысқа уақытта Dd қашықтығын жүріп өтсін және DE, de перпендикулярларын шеңбермен E және e нүктелерінде қиылысқанша тұрғызсақ, бұл сызықтар дененің B нүктесінен төмен түскенде вакуумда D және d нүктелерінде ие болатын жылдамдықтары сияқты болады. Бұл 1-кітаптың LII-теоремасынан белгілі. Осы жылдамдықтарды DE, de перпендикулярларымен белгілейік; ал DF дене кедергілі ортада B-дан D-ға түскенде ие болатын жылдамдық болсын. Егер C орталығымен және CF радиусымен de және AB түзулерін f және M нүктелерінде қиып өтетін FfM шеңберін сызсақ, M — дене бұдан әрі кедергісіз көтеріле алатын нүкте болады, ал df — оның d-дағы жылдамдығы болады. Осыдан, егер Fg дененің D-дан d-ға ең қысқа Dd қашықтықты жүріп өткенде орта кедергісінен жоғалтқан жылдамдық моментін білдірсе және CN-ді Cg-ға тең етіп алсақ: N — дене бұдан әрі кедергісіз көтеріле алатын нүкте болады және MN — жылдамдықтың жоғалуынан туындаған көтерілудің кемуі болады.

df-ке Fm перпендикулярын түсірейік, сонда DK кедергісінен туындаған DF жылдамдығының fg кемуінің, CD күшінен туындаған сол жылдамдықтың fm өсіміне қатынасы, тудырушы DK күшінің тудырушы CD күшіне қатынасындай болады. Бірақ Fmf, Fhg, FDC үшбұрыштарының ұқсастығына байланысты, fm-нің Fm-ге немесе Dd-ға қатынасы, CD-ның DF-ке қатынасындай, демек Fg-нің Dd-ға қатынасы DK-ның DF-ке қатынасындай. Сондай-ақ Fg-нің Fh-қа қатынасы CF-тің DF-ке қатынасындай; демек, Fh немесе MN-нің Dd-ға қатынасы DK-ның CF-ке қатынасындай. DR-ді ½aB-ға қатынасын DK-ның CF-ке қатынасындай етіп алсақ, MN-нің Dd-ға қатынасы DR-дің ½aB-ға қатынасындай болады; сондықтан барлық MN × ½aB қосындысы, яғни Aa × ½aB, барлық Dd × DR қосындысына, яғни барлық Dd × DR немесе DRrd тіктөртбұрыштарынан құралған BRrSa ауданына тең болады.

Aa мен aB-ны P және O нүктелерінде қақ бөлейік, сонда ½aB немесе OB CP-ға тең болады, сондықтан DR-нің DK-ға қатынасы CP-ның CF немесе CM-ге қатынасындай, ал KR-дің DR-ге қатынасы PM-нің CP-ға қатынасындай болады. Сондықтан M нүктесі дене тербелістің ортасында O-да болғанда P нүктесімен дерлік сәйкес келетіндіктен және тербелістің алғашқы бөлігінде A мен P арасында, ал соңғы бөлігінде P мен a арасында болғандықтан, екі жағдайда да P нүктесінен қарама-қарсы бағыттарға теңдей ауытқиды: тербелістің ортасындағы K нүктесі, яғни O нүктесінің тұсындағы V нүктесі, R нүктесімен сәйкес келеді; тербелістің алғашқы бөлігінде ол R мен E арасында, ал соңғы бөлігінде R мен D арасында жатады, екі жағдайда да R нүктесінен қарама-қарсы бағыттарға теңдей ауытқиды. Осыған байланысты, KR сызығы сипаттайтын аудан тербелістің алғашқы бөлігінде BRSa ауданынан тысқары, ал соңғы бөлігінде оның ішінде жатады және бұл өлшемдер екі жағынан да бір-біріне дерлік тең болады; сондықтан алғашқы жағдайда BRSa ауданына қосылып, соңғысында одан алынып тасталғанда, BKTa ауданын BRSa ауданына жуықтап алғанда тең етіп қалдырады. Демек, Aa × ½aB немесе AaO тіктөртбұрышы BRSa ауданына тең болғандықтан, ол BKTa ауданына да жуықтап алғанда тең болады. Д.Д.Э.

Бұл жағдай, егер сол орталықтар қозғалмай тұрса, IV-теореманың 1, 2 және 7-салдарлары бойынша орын алады. Ал егер олар қозғалса, орын ауыстырулардың ұқсастығына байланысты олардың жүйе бөлшектері арасындағы орналасуы ұқсас болып қалады; сондықтан бөлшектер сипаттайтын фигураларда ұқсас өзгерістер туындайды. Демек, сәйкес және ұқсас бөлшектердің қозғалыстары алғашқы соқтығысқанға дейін ұқсас болады, сондықтан соқтығысулар да ұқсас, шағылысулар да ұқсас болады және бұдан әрі (жоғарыда көрсетілгендей) олар қайтадан бір-бірімен соқтығысқанша өзара ұқсас қозғалады және осылайша шексіз жалғаса береді. Д.Д.Э.

Алғашқы түрдегі кедергілер оларды тудыратын толық қозғаушы күштердің өзара қатынасындай болады, яғни сәйкес бөліктердегі толық үдеткіш күштер мен зат мөлшерлерінің көбейтіндісіндей; бұл (болжам бойынша) жылдамдықтардың квадратына тура, ал сәйкес бөлшектердің қашықтығына кері пропорционал және сәйкес бөліктердегі зат мөлшерлеріне тура пропорционал болады: сондықтан (бір жүйенің бөлшектерінің қашықтығы екінші жүйенің сәйкес бөлшектерінің қашықтығына қатынасы, бірінші жүйедегі бөлшектің немесе бөліктің диаметрінің екінші жүйедегі сәйкес бөлшектің немесе бөліктің диаметріне қатынасындай болғандықтан және зат мөлшерлері бөліктердің тығыздығы мен диаметрлердің кубының көбейтіндісіндей болғандықтан) кедергілердің өзара қатынасы жылдамдықтардың квадратының, диаметрлердің квадратының және жүйе бөліктері тығыздығының көбейтіндісіндей болады. Д.Д.Э.

Соңғы түрдегі кедергілер сәйкес шағылысулар саны мен күштерінің көбейтіндісіндей болады. Ал шағылысулар саны сәйкес бөліктердің жылдамдықтарына тура, ал олардың шағылысулары арасындағы қашықтыққа кері пропорционал болады. Шағылысу күштері болса жылдамдықтардың, шамалардың және сәйкес бөліктер тығыздығының көбейтіндісіндей; яғни жылдамдықтар, диаметрлердің кубы және тығыздықтардың көбейтіндісіндей болады. Және осы барлық қатынастарды біріктіргенде, сәйкес бөліктердің кедергілерінің өзара қатынасы жылдамдықтардың квадратының, диаметрлердің квадратының және бөліктер тығыздығының көбейтіндісіндей болады. Д.Д.Э.

Кез келген берілген Сұйықтықта көлемі шексіз өсетін, түрі берілген қатты дененің соңғы қарсылығын табыңыз. Содан кейін былай деңіз: оның алға жылжып өз радиусының ұзындығын жүріп өткен уақытта жоғалтқан қозғалысының оның басындағы барлық қозғалысына қатынасы, кез келген берілген қатты дененің дәл сол аса сұйық болып өзгерген Ортада өз диаметрінің ұзындығын жүріп өткенде жоғалтатын қозғалысының басындағы барлық қозғалысына қатынасына жуықтайды. Табылуы керек болған нәрсе осы (Q. E. I.). [/TASK]

Қысым сұйықтық (мұнда: газ тәріздес немесе сұйық күйдегі аққыш орта) бөлшектері (заттың ең кіші құрамдас бөлігі) түзу сызықтың бойында орналасқан жағдайларды қоспағанда, сұйықтық арқылы түзу сызықпен таралмайды.

Егер берілген нүктеден сұйықтық арқылы таралатын қысымның қандай да бір бөлігі кедергімен бөгелсе, кедергіге ұшырамаған қалған бөлігі кедергінің артындағы бос орындарға тарайды. Мұны былай да дәлелдеуге болады: А нүктесінен қысым жан-жаққа, мүмкіндігінше түзу сызықтармен таралсын және BC тұсында тесігі бар NBCK кедергісі арқылы BC дөңгелек тесігінен өтетін APQ конус тәрізді бөлігінен басқасының бәрі бөгелсін. de, fg, hi көлденең жазықтықтарымен APQ конусын бөліктерге бөлейік; ABC конусы қысымды тарату арқылы de бетіндегі degf конустық бөлігін итеріп жатқанда, бұл бөлік fg бетіндегі оған жақын fghi бөлігін итереді, ал ол бөлік үшінші бөлікті итереді және бұл шексіз жалғасады; қозғалыстың үшінші заңы бойынша, бірінші defg бөлігі екінші fghi бөлігінің кері әсерінен fg бетінде қаншалықты итеріліп қысылса, екінші бөлік те соншалықты итеріліп қысылатыны анық. Демек, degf бөлігі Ade конусы мен fhig бөлігі арасында екі жағынан да сығылады, сондықтан (XIX тұжырымның 6-салдары бойынша), егер ол жан-жағынан бірдей күшпен сығылмаса, өз пішінін сақтай алмайды. Сондықтан, de және fg беттерінде қандай күшпен қысылса, дәл сондай қарқынмен df, eg бүйірлеріне қарай шығуға тырысады; ол жерде (ол қатты дене емес, әбден аққыш сұйықтық болғандықтан), егер бұл ұмтылысты тежейтін қоршаған сұйықтық болмаса, сыртқа шығып, кеңейеді. Демек, ол сыртқа шығу ұмтылысымен бүйірдегі df, eg қоршаған сұйықтықты да, fghi бөлігін де бірдей қарқынмен қысады; сондықтан қысым fg бетінен PQ-ға қарай қалай таралса, df, eg бүйірлерінен NO, KL бос орындарына да солай тарайды. Д. К. К.

Қозғалыс А нүктесінен BC тесігі арқылы таралсын және (мүмкін болса) С нүктесінен тарайтын түзу сызықтар бойынша BCQP конустық кеңістігінде ілгерілесін. Алдымен бұл қозғалыс тоқтап тұрған су бетіндегі толқындардың қозғалысы деп есептейік. de, fg, hi, kl және т.б. әрбір толқынның ең биік бөліктері болсын және олар бір-бірінен аралық ойпаттармен бөлінген. Демек, су толқын қырларында сұйықтықтың LK, NO қозғалыссыз бөліктеріне қарағанда жоғары болғандықтан, ол e, g, i, l және т.б. және d, f, h, k және т.б. қыр жиектерінен екі жаққа KL және NO-ға қарай ағады; ал толқын ойпаттарында сұйықтықтың LK, NO қозғалыссыз бөліктеріне қарағанда төмен болғандықтан, су сол қозғалыссыз бөліктерден толқын ойпаттарына қарай ағады. Бірінші ағынның әсерінен толқын қырлары, екіншісінің әсерінен толқын ойпаттары жан-жаққа кеңейіп, KL және NO-ға қарай таралады. А-дан PQ-ға қарай толқын қозғалысы қырлардың көрші ойпаттарға үздіксіз ағып түсуі арқылы жүретіндіктен және бұл қозғалыс судың төмен түсу жылдамдығынан жылдам емес; ал судың екі жаққа KL және NO-ға қарай төмен түсуі де дәл сондай жылдамдықпен жүруі тиіс; демек, толқындардың екі жаққа KL және NO-ға қарай кеңеюі де толқындардың А-дан PQ-ға қарай түзу алға жылжу жылдамдығымен бірдей болады. Соның нәтижесінде KL және NO бағытындағы бүкіл кеңістік rfgr, shis, tklt, vmnv және т.б. кеңейген толқындармен толығады. Д. К. К. Мұның солай екеніне кез келген адам тоқтап тұрған суда тәжірибе (белгілі бір құбылысты зерттеу үшін жасалатын әрекет) жасап көре алады.

Енді de, fg, hi, kl, mn сызықтары А нүктесінен серпімді (сыртқы күш әсері тоқтағаннан кейін өз пішіні мен көлемін бастапқы қалпына келтіре алатын) орта арқылы бірінен соң бірі таралатын импульстерді (мұнда: ортаның қысқа мерзімді тығыздалуы немесе сиреуі) көрсетсін деп есептейік. Импульстердің ортаның бірізді сығылуы мен сиреуі арқылы таралатынын елестетіңіз, сонда әрбір импульстің ең тығыз бөлігі А орталығының айналасындағы сфералық бетті иеленеді және бірізді импульстер арасында бірдей аралықтар болады. de, fg, hi, kl және т.б. сызықтары BC тесігі арқылы таралатын импульстердің ең тығыз бөліктерін көрсетсін. Орта ол жерде KL және NO бағытындағы кеңістіктерге қарағанда тығызырақ болғандықтан, ол екі жақтағы KL, NO кеңістіктеріне қарай да, импульстер арасындағы сирек аралықтарға қарай да кеңейеді; осылайша, ол аралықтар тұсында әрдайым сиреп, импульстер тұсында тығыздала отырып, солардың қозғалысына қатысады. Импульстердің ілгерілемелі қозғалысы тығызырақ бөліктердің алдыңғы жақтағы сирегірек аралықтарға қарай үздіксіз босаңсуынан (кеңеюінен) туындайтындықтан және импульстер ортаның тыныш тұрған KL, NO бөліктеріне де дәл сондай жылдамдықпен босаңсуы тиіс болғандықтан; сол импульстер А орталығынан тікелей таралатын жылдамдықпен KL, NO қозғалыссыз кеңістіктеріне қарай жан-жаққа кеңейеді; осылайша бүкіл KLON кеңістігін иеленеді. Д. К. К. Біз мұны дыбыстардан байқаймыз; олар үйдің тасасында тұрса да естіледі немесе терезе арқылы бөлмеге еніп, бөлменің барлық бөлігіне тарайды және барлық бұрыштарда естіледі, бұл қабырғалардан шағылысудың емес, терезеден тікелей таралудың әсері (белгілі бір іс-әрекеттің нәтижесі).

Соңында, кез келген түрдегі қозғалыс А-дан BC тесігі арқылы таралсын деп есептейік: бұл таралу тек ортаның А орталығына жақынырақ бөліктері одан әрірек жатқан бөліктерді итеріп, қозғалысқа келтіргенде ғана жүзеге асады; ал итерілетін бөліктер сұйық болғандықтан, олар қысым азырақ болатын аймақтарға қарай жан-жаққа ығысады: олар ортаның бүкіл тыныш тұрған бөліктеріне, яғни бүйірдегі KL мен NO-ға да, алдыңғы жақтағы PQ-ға да қарай ығысады, осылайша кез келген қозғалыс BC тесігінен өткен бойда кеңи бастайды және сол жерден жаңа бастау мен орталық ретінде барлық бағытқа тікелей таралады. Д. К. К.

Дірілдейтін дененің бөліктері кезекпен алға және артқа қозғалып, алға жүргенде өздеріне жақын орта бөліктерін итеріп, ілгері жылжытады, сонымен бірге оларды сығып, тығыздайды; содан кейін кері қайтқанда сығылған бөліктердің кейін шегініп, кеңеюіне мүмкіндік береді. Демек, дірілдейтін денеге жақын орта бөліктері сол дірілдейтін дененің бөліктері сияқты кезекпен алға-артқа қозғалады: бұл дененің бөліктері ортаның осы бөліктерін қалай қозғалысқа келтірсе, дәл солай бұл бөліктер де сондай тербелістермен қозғала отырып, өздеріне жақын бөліктерді қозғалтады, ал олар да өз кезегінде одан әрірек жатқандарын қозғалтады және бұл шексіз жалғаса береді. Ортаның алғашқы бөліктері алға жүргенде тығыздалып, артқа қайтқанда босаңсығаны сияқты, қалған бөліктері де алға жылжыған сайын тығыздалып, артқа қайтқан сайын кеңейеді. Сондықтан олардың бәрі бір уақытта алға барып, бір уақытта артқа қайтпайды (өйткені бұл жағдайда олар арақашықтықтарын сақтап, кезекпен сиреп және тығыздала алмас еді), керісінше, тығыздалған жерде бір-біріне жақындап, сиреген жерде бір-бірінен алыстап, кейбіреулері алға жүрсе, басқалары артқа қайтады; бұл кезекпен шексіз жалғасады. Алға жүріп, соның барысында тығыздалған, ілгерілемелі қозғалысымен кедергілерді соғатын бөліктер – бұл импульстер; демек, кез келген дірілдейтін денеден бірізді импульстер түзу сызық бойымен таралады; дененің әрбір дірілімен әрбір импульс туындайтындықтан, олардың арасындағы қашықтықтар да шамамен бірдей болады. Д. К. К.

Егер су KL, MN тік канал тізелерінде кезекпен көтеріліп, төмен түссе; ал іліну нүктесі мен тербеліс орталығы арасындағы ұзындығы каналдағы су ұзындығының жартысына тең маятник (бір нүктеге асылып, еркін тербелетін дене) жасалса: су маятниктің тербеліс уақытымен бірдей уақытта көтеріліп, төмен түседі деп айтамын.

Демек, көтеріліп-түсетін судың қозғалысы қарқынды немесе бәсең болса да, барлық ауысулар изохронды (уақыт аралығы бірдей).

Егер каналдағы судың жалпы ұзындығы 6-1/9 Париждік фут болса, су бір секунд уақытта төмен түседі және келесі секундта көтеріледі; осылайша кезекпен шексіз жалғасады. Өйткені ұзындығы 3-1/18 фут болатын маятник бір секундта бір рет тербеледі.

Мен толқын ені деп ең терең ойпаттар немесе ең биік қырлар арасындағы көлденең өлшемді атаймын. ABCDEF бірінен соң бірі келетін толқындармен көтеріліп-түсетін тоқтап тұрған су беті болсын, A, C, E және т.б. толқын қырлары, ал B, D, F және т.б. олардың арасындағы ойпаттар болсын. Толқындардың қозғалысы судың бірізді көтерілуі мен түсуі арқылы жүретіндіктен, қазір ең төменгі болып тұрған A, C, E және т.б. бөліктері жақын арада ең биік болады; ең биік бөліктерді төмен түсіретін және ең төменгі бөліктерді көтеретін қозғаушы күш – көтерілген судың салмағы; бұл кезектескен көтерілу мен түсу каналдағы судың кері қозғалысына ұқсас болады және сондай уақыт заңдылықтарына бағынады: сондықтан (XLIV тұжырым бойынша) егер толқынның ең биік A, C, E және ең төмен B, D, F нүктелері арасындағы қашықтық маятник ұзындығының екі еселенген мәніне тең болса, ең биік A, C, E бөліктері бір тербеліс уақытында ең төменгі болады, ал келесі тербеліс уақытында қайтадан көтеріледі. Демек, әрбір толқынның өтуі арасындағы уақыт екі тербеліс уақытына тең болады; яғни толқын өз енін маятник екі рет тербелген уақытта жүріп өтеді; бірақ дәл сол уақытта ұзындығы төрт есе үлкен, демек, толқын еніне тең маятник бір рет тербеледі. Д. К. К.

Демек, ені 3-1/18 Париждік фут болатын толқындар бір секундта өз еніне тең қашықтықты жүріп өтеді; осылайша, бір минутта олар 183-1/3 фут, ал бір сағатта шамамен 11000 фут жерді басып өтеді.

Бұл су бөліктері тік көтеріледі немесе тік түседі деген жорамалға (ғылыми негізделген болжам) негізделген; бірақ бұл көтерілу мен түсу шын мәнінде көбінесе шеңбер бойымен жүреді, сондықтан бұл Тұжырыммен анықталған уақыт тек жуық мән екенін айтамын.

Сондықтан тығыздығы мен серпімділік күші бірдей орталарда барлық импульстердің жылдамдықтары бірдей. Ал егер ортаның тығыздығы немесе серпімділік күші артса, қозғаушы күш серпімділік күшіне қарай, ал қозғалатын материя тығыздыққа қарай артатындықтан; дәл сол бұрынғы қозғалыстардың орындалу уақыты тығыздықтың квадрат түбіріне қарай артады және серпімділік күшінің квадрат түбіріне қарай азаяды. Сондықтан импульстердің жылдамдығы орта тығыздығының квадрат түбіріне кері және серпімділік күшінің квадрат түбіріне тура пропорционал болады. Д. К. К.

PHSh шеңберінде HI, IK немесе hi, ik тең доғалары алынсын, олардың бүкіл шеңберге қатынасы EF, FG тең түзулерінің бүкіл импульс аралығына (BC) қатынасындай болсын. IM, KN немесе im, kn перпендикулярлары түсірілсін; E, F, G нүктелері ұқсас қозғалыстармен бірінен соң бірі қозғалатындықтан, егер PH немесе PHSk E нүктесі қозғалысы басталғаннан бергі уақыт болса, PI немесе PHSi F нүктесі қозғалысы басталғаннан бергі уақыт, ал PK или PHSh G нүктесі қозғалысы басталғаннан бергі уақыт болады; сондықтан E[epsilon], F[phi], G[gamma] нүктелердің ілгері жүруінде сәйкесінше PL, PM, PN-ге, ал кейін қайтуында Pn, Pm, Pl-ге тең болады. Осыдан [epsilon][gamma] ілгері жүруде EG - LN-ге, ал кейін қайтуда EG + ln-ге тең болады. Бірақ [epsilon][gamma] – [epsilon][gamma] орнындағы ортаның EG бөлігінің ені немесе кеңеюі, сондықтан сол бөліктің ілгері жүрудегі кеңеюінің орташа кеңеюіне қатынасы (EG - LN)-нің EG-ге қатынасындай; ал кейін қайтуда (EG + ln) немесе (EG + LN)-нің EG-ге қатынасындай болады. LN-нің KH-қа қатынасы IM-нің OP радиусына қатынасындай, ал EG-нің BC-ге қатынасы HK-ның PHShP шеңберіне қатынасындай, және керісінше EG-нің HK-ға қатынасы BC-нің PHShP шеңберіне (шеңберді Z деп атайық) қатынасындай болғандықтан, яғни (OP × BC ÷ Z)-тің OP-ға қатынасындай; демек, LN-нің EG-ге қатынасы IM-нің (OP × BC ÷ Z)-ке қатынасындай: EG бөлігінің [epsilon][gamma] орнындағы кеңеюінің ол өзінің алғашқы орнында болғандағы орташа кеңеюіне қатынасы ілгері жүруде {OP × BC ÷ Z} - IM-нің OP × BC ÷ Z-ке қатынасындай...

Осыдан пульстердің таралу саны тербелмелі дененің тербеліс санымен бірдей болатыны және олардың ілгерілеу барысында көбеймейтіні анық болады. Өйткені [epsilon][gamma] физикалық кесіндісі өзінің алғашқы орнына оралған бойда тыныштық табады; егер тербелмелі дененің екпінімен немесе тербелмелі денеден таралатын пульстердің екпінімен жаңа қозғалысқа түспесе, бұдан былай қозғалмайды. Сондықтан тербелмелі денеден пульстердің таралуы тоқтаған бойда ол тынышталады.

1. 2-салдар. Егер берілген қалыптағы ось маңында біртекті және шексіз тыныш сұйықтықта шар біркелкі қозғалыспен айналса, қозғалыс сұйықтыққа иірім түрінде беріледі және бұл қозғалыс біртіндеп шексіздікке дейін таралады; әрбір бөліктің периодтық уақыттары шар орталығынан қашықтықтың квадратына тең болмайынша, сұйықтықтың әрбір бөлігіндегі үдеу тоқтамайды.

1. 3-салдар. Иірімнің ішкі бөліктері жоғары жылдамдығына байланысты сыртқы бөліктерді үйкеп, итеріп, оларға осы әрекет арқылы үздіксіз қозғалыс беретіндіктен, ал сыртқы бөліктер сол қозғалыс мөлшерін одан әрі сыртқы бөліктерге тасымалдап, өз қозғалыс мөлшерін өзгеріссіз сақтайтындықтан, қозғалыс орталықтан иірімнің шетіне үздіксіз беріліп, шексіз шеткі аймақта жұтылатыны анық. Иіріммен концентрлі (орталығы бірдей) кез келген екі сфералық беттің арасындағы материя ешқашан үдемейді, өйткені ол ішкі материядан алған барлық қозғалысты әрқашан сыртқы материяға өткізеді.

1. 4-салдар. Сондықтан иірімді тұрақты бір қозғалыс күйінде сақтау үшін, шар иірім материясына беретін қозғалыс мөлшерін иірімнен әрқашан қабылдап отыратын қандай да бір белсенді бастау (принцип) қажет. Мұндай бастау болмаса, өз қозғалысын әрқашан сыртқы бөліктерге тарататын және жаңа қозғалыс алмайтын шар мен иірімнің ішкі бөліктері біртіндеп баяулап, айналуын тоқтатуы сөзсіз.

1. 5-салдар. Егер осы иірімнің орталығынан белгілі бір қашықтықта басқа бір шар жүзіп жүрсе және ол берілген еңістіктегі ось маңында қандай да бір күшпен үздіксіз айналса, оның қозғалысы сұйықтықты иірімге тартар еді: алдымен бұл жаңа әрі шағын иірім шармен бірге екіншісінің орталығының маңында айналатын еді, сонымен бірге оның қозғалысы кеңінен жайылып, алғашқы иірім сияқты біртіндеп шексіздікке таралатын еді. Осы шар екінші иірімнің қозғалысына тартылған сияқты, екінші шар да осы шардың қозғалысына тартылар еді, осылайша екі шар қандай да бір аралық нүктенің айналасында айналып, егер қандай да бір күшпен тежелмесе, сол шеңберлік қозғалысқа байланысты бір-бірінен қашар еді. Кейінірек, егер шарлардың қозғалысын сақтап тұрған үздіксіз берілетін күштер тоқтаса және бәрі механикалық заңдарға қалдырылса, шарлардың қозғалысы біртіндеп әлсіреп (3 және 4-салдарда көрсетілген себеппен), иірімдер соңында тынышталар еді.

1. 6-салдар. Егер берілген орындарда берілген осьтердің маңында бірнеше шарлар белгілі бір жылдамдықтармен үздіксіз айналса, шексіздікке дейін жалғасатын соншама иірімдер пайда болар еді. Өйткені әрбір шар, кез келген біреуі өз қозғалысын шексіздікке таратқандай, өз қозғалыстарын шексіздікке таратады, осылайша шексіз сұйықтықтың әрбір бөлігі барлық шарлардың әрекетінен туындаған қозғалыспен қозғалады. Сондықтан иірімдер белгілі бір шекаралармен шектелмейді, бірақ біртіндеп бір-біріне өтеді; шарлар болса иірімдердің бір-біріне әсері арқылы өз орындарынан үздіксіз қозғалады, бұл жоғарыдағы леммада (дәлелденген көмекші тұжырым) айтылған; егер қандай да бір күшпен ұстап тұрылмаса, олар өз арасында белгілі бір қалыпты сақтамайды. Шарларға үздіксіз берілетін және осы қозғалыстарды сақтайтын күштер тоқтаған кезде, материя үшінші және төртінші салдарда көрсетілген себеппен біртіндеп тынышталып, иірім ретінде қозғалуын тоқтатады.

1. 7-салдар. Егер біртекті сұйықтық сфералық ыдысқа жабылса және орталықта орналасқан шардың біркелкі айналуы арқылы иірімге келтірілсе, ал шар мен ыдыс бір бағытта бір осьтің маңында айналса және олардың периодтық уақыттары жарты диаметрлерінің (радиустарының) квадраттарына тең болса, сұйықтық бөліктері олардың периодтық уақыттары иірім орталығынан қашықтықтың квадраттарына тең болмайынша, үдеусіз және баяулаусыз өз қозғалыстарын сақтамайды. Иірімнің басқа ешқандай құрылымы тұрақты бола алмайды.

1. 8-салдар. Егер ыдыс, оған жабылған сұйықтық және шар осы қозғалысты сақтаса және сонымен бірге кез келген берілген ось маңында ортақ бұрыштық қозғалыспен айналса, бұл жаңа қозғалыс сұйықтық бөліктерінің бір-біріне үйкелісін өзгертпейтіндіктен, бөліктердің өзара қозғалысы да өзгермейді. Өйткені бөліктердің өзара ауысуы үйкеліске байланысты. Кез келген бөлік өзінің қозғалысын сақтайды, нәтижесінде бір жағынан үйкеліс арқылы баяуласа, екінші жағынан үйкеліс арқылы соншалықты үдейді.

1. 9-салдар. Осыдан, егер ыдыс тыныштықта болса және шардың қозғалысы берілсе, сұйықтықтың қозғалысы да анықталады. Шардың осі арқылы өтетін және қарама-қарсы қозғалыспен айналатын жазықтықты елестетіңіз; осы айналым уақытының осы уақыт пен шардың айналым уақытының қосындысына қатынасы ыдыс радиусының квадратының шар радиусының квадратына қатынасындай болсын: сонда сұйықтық бөліктерінің осы жазықтыққа қатысты периодтық уақыттары олардың шар орталығынан қашықтықтарының квадраттарына пропорционал болады.

1. 10-салдар. Демек, егер ыдыс шармен бір остің маңында немесе басқа бір ось маңында кез келген берілген жылдамдықпен қозғалса, сұйықтықтың қозғалысы белгілі болады. Себебі, бүкіл жүйеден ыдыстың бұрыштық қозғалысын алып тастасақ, барлық қозғалыстар өзара 8-салдар бойынша бұрынғыдай қалады. Ал бұл қозғалыстар 9-салдар бойынша белгілі болады.

1. 11-салдар. Егер ыдыс пен сұйықтық тыныштықта болса және шар біркелкі қозғалыспен айналса, қозғалыс біртіндеп бүкіл сұйықтық арқылы ыдысқа таралады және ыдыс күшпен ұстап тұрылмаса, айнала бастайды; сұйықтық пен ыдыстың үдеуі олардың периодтық уақыттары шардың периодтық уақыттарына тең болғанға дейін тоқтамайды. Егер ыдыс қандай да бір күшпен ұстап тұрылса немесе кез келген тұрақты және біркелкі қозғалыспен айналса, орта (медиум) біртіндеп 8, 9 және 10-салдарда анықталған қозғалыс күйіне келеді және басқа ешқандай күйде тұрақты болмайды. Одан кейін, ыдыс пен шарды айналдырып тұрған күштер тоқтағанда, бүкіл жүйе механикалық заңдарға берілсе, ыдыс пен шар сұйықтық арқылы бір-біріне әсер етеді және олардың периодтық уақыттары өзара теңескенше және бүкіл жүйе бір тұтас қатты дене сияқты бірге айналғанша, өз қозғалыстарын сұйықтық арқылы бір-біріне таратқанын тоқтатпайды.

Мұның бәрінде мен сұйықтықтың тығыздығы мен аққыштығы бойынша біртекті материядан тұратынын болжаймын. Мұндай ортада бірдей шар бірдей қозғалыспен, бірдей уақыт аралығында, өзінен бірдей қашықтықта, сұйықтықтың кез келген жерінде орналасса да, ұқсас және тең қозғалыстарды тарата алады. Материя өз шеңберлік қозғалысы арқылы иірім осінен алыстауға тырысады, сондықтан барлық алыс материяны қысады. Осы қысымнан бөліктердің үйкелісі күшейіп, бір-бірінен ажырауы қиындайды; нәтижесінде материяның аққыштығы азаяды. Екінші жағынан, егер сұйықтық бөліктері бір жерде ірірек немесе үлкенірек болса, бөліктердің бір-бірінен ажырайтын беттері аз болғандықтан, ол жерде аққыштық төмен болады. Мұндай жағдайларда жетіспейтін аққыштықты бөліктердің тайғақтығымен немесе тұтқырлығымен немесе басқа бір жағдаймен қалпына келеді деп есептеймін. Егер бұлай болмаса, материя аққыштығы аз жерде көбірек жабысып, баяу болады, сондықтан қозғалысты жоғарыда көрсетілген пропорциядан баяу қабылдап, алысқа таратады. Егер ыдыстың пішіні сфералық болмаса, бөлшектер шеңберлік емес, сол ыдыстың пішініне сәйкес сызықтармен қозғалады және периодтық уақыттар орталықтан орташа қашықтықтардың квадраттарына жуық болады. Орталық пен шеткі аймақ арасындағы кеңістік кең жерде қозғалыстар баяу болады, ал тар жерде жылдам болады; бірақ жылдамырақ бөлшектер шетке ұмтылмайды. Өйткені олар азырақ қисық доғалар сызады және орталықтан қашуға тырысу бұл қисықтықтың азаюы арқылы жылдамдықтың артуына қарағанда кемімейді. Тар кеңістіктен кеңірекке өткенде орталықтан сәл алыстайды, бірақ сол алыстау кезінде баяулайды; кейін кеңірек жерден тарырақ жерге жақындағанда үдейді, осылайша әрбір бөлшек мәңгілікке кезекпен баяулап және үдеп отырады. Бұл қатты ыдыста осылай болады. Ал шексіз сұйықтықта иірімдердің құрылымы осы пропозицияның (теореманың) алтыншы салдары арқылы белгілі болады.

Мен иірімдердің қасиеттерін осы пропозиция арқылы аспан құбылыстарын иірімдер арқылы түсіндіруге болатынын тексеру үшін зерттеуге тырыстым. Өйткені Юпитердің маңында айналатын планеталардың периодтық уақыттары Юпитер орталығынан қашықтықтың бір жарым еселік қатынасында (3/2 қатынасы) болуы — белгілі құбылыс; дәл осы ереже Күннің маңында айналатын планеталар үшін де орындалады. Бұл ережелер екі топ планеталар үшін де, осы уақытқа дейін жарияланған астрономиялық бақылаулар көрсеткендей, өте дәл орындалады. Сондықтан, егер бұл планеталар Юпитер мен Күннің маңында айналатын иірімдер арқылы тасымалданса, бұл иірімдер де осы заңмен айналуы тиіс. Бірақ иірім бөліктерінің периодтық уақыттары қозғалыс орталығынан қашықтықтардың квадраттық қатынасында шықты: бұл қатынасты азайтып, бір жарым еселік қатынасқа келтіру мүмкін емес, егер иірім материясы орталықтан алыстаған сайын аққыштығы артпаса немесе сұйықтық бөліктерінің тайғақтығының жетіспеушілігінен туындайтын қарсылық, бөліктердің бір-бірінен ажырау жылдамдығының артуына қарағанда үлкенірек қатынаста өспесе. Бірақ бұлардың ешқайсысы парасатқа (рационалдылыққа) сәйкес келмейтін сияқты. Ірірек және аққыштығы аз бөліктер (егер орталыққа қарай ауыр болмаса) шетке ұмтылады; және мен демонстрация үшін осы бөлімнің басында қарсылық жылдамдыққа пропорционал болады деген жорамалды ұсынсам да, қарсылық жылдамдыққа қарағанда азырақ қатынаста болуы ықтимал. Егер бұл қабылданса, иірім бөліктерінің периодтық уақыттары оның орталығынан қашықтықтардың квадраттық қатынасынан да үлкен болады. Ал егер иірімдер (кейбіреулердің пікірінше) орталыққа жақын жерде жылдамырақ, содан кейін белгілі бір шекке дейін баяу, сосын қайтадан шетке жақын жерде жылдамырақ қозғалса, әрине, не бір жарым еселік қатынас, не басқа кез келген нақты әрі анықталған қатынас орындалуы мүмкін емес. Сондықтан философтар сол бір жарым еселік қатынас құбылысының иірімдер арқылы қалай түсіндірілетінін өздері көрсін.

Себебі, егер иірімнің физикалық нүктелері өзара белгілі бір қалыпты сақтайтын шағын бір бөлігі қатып қалды деп есептелсе: бұл бөлік өз тығыздығы бойынша да, ішкі күші немесе пішіні бойынша да өзгермейтіндіктен, бұрынғы заңмен қозғалады; және керісінше, егер иірімнің қатып қалған және қатты бөлігі қалған иіріммен бірдей тығыздыққа ие болса және ол сұйықтыққа айналса; ол бұрынғы заңмен қозғалады, тек оның бөлшектері сұйыққа айналғандықтан, өзара қозғалуы мүмкін. Сондықтан бөлшектердің өзара қозғалысын бүкіл дененің ілгерілемелі қозғалысына қатысы жоқ деп ескермесек, бүкіл дененің қозғалысы бұрынғыдай болады. Ал бұл қозғалыс иірімнің орталықтан бірдей қашықтықтағы басқа бөліктерінің қозғалысымен бірдей болады, өйткені сұйықтыққа айналған қатты дене иірімнің басқа бөліктеріне ұқсас бөлігіне айналады. Демек, егер қатты дене иірім материясымен бірдей тығыздықта болса, ол оның бөліктерімен бірдей қозғалыспен қозғалады және жақын қоршаған материяға қатысты тыныштықта болады. Егер ол тығызырақ болса, енді иірім орталығынан алыстауға бұрынғыдан да көбірек тырысады; осылайша иірімнің оны орбитада тепе-теңдікте ұстап тұрған күшін жеңіп, орталықтан алыстайды және айналу барысында спираль сызып, бұрынғы орбитасына оралмайды. Дәл осы дәлелмен, егер ол сирегірек болса, орталыққа жақындайды. Сондықтан ол сұйықтықпен бірдей тығыздықта болмаса, бұрынғы орбитасына қайтып оралмайды. Ал бұл жағдайда оның иірім орталығынан бірдей қашықтықтағы сұйықтық бөліктерімен бірдей заңмен айналатыны көрсетілді. Д.Э.К.

Алдыңғы кітаптарда мен философияның принциптерін (негізгі қағидаларын) баяндадым, бірақ олар философиялық емес, тек математикалық сипатта, яғни олардың негізінде философиялық мәселелерді талқылауға болады. Бұл — қозғалыстар мен күштердің заңдары мен шарттары, олар философияға ең жақын нәрселер. Дегенмен, олар құрғақ көрінбеуі үшін мен оларды кейбір философиялық схолийлермен толықтырып, жалпы мәселелерді және философияның негізі болып табылатын денелердің тығыздығы мен қарсылығын, денелерден бос кеңістіктерді, жарық пен дыбыстың қозғалысын қарастырдым. Енді сол принциптер негізінде Әлем Жүйесінің құрылымын көрсету ғана қалды. Бұл тақырып бойынша мен үшінші кітапты көпшілікке түсінікті әдіспен жазған едім. Бірақ баяндалған принциптерді жеткілікті деңгейде түсінбегендер бұл салдарлардың күшін сезіне алмайды және көп жылдар бойы үйреніп қалған жалған түсініктерінен арыла алмайды; сондықтан мәселе айтыс-тартысқа ұласпауы үшін, мен сол кітаптың мазмұнын математикалық түрде пропозицияларға ауыстырдым, оларды тек принциптерді алдын ала зерделегендер ғана оқи алады. Дегенмен, онда тіпті математикалық білімі бар оқырмандардың өзін тым бөгеп тастауы мүмкін көптеген пропозициялар кездесетіндіктен, мен кез келген адамның олардың бәрін зерделеуін талап етпеймін; егер оқырман бірінші кітаптың анықтамаларын, қозғалыс заңдарын және алғашқы үш бөлімін мұқият оқып шықса, содан кейін Әлем Жүйесі туралы осы кітапқа көшсе және мұнда келтірілген алдыңғы кітаптардың қалған пропозицияларын қалауы бойынша қарап отырса жеткілікті.

1. 2-жорамал. Сондықтан бір тектес табиғи әсерлердің себептері де бірдей болады. Мысалы, адам мен аңның тыныс алуы; Еуропа мен Америкадағы тастардың құлауы; ас үйдегі от пен Күндегі жарық; Жер мен планеталардағы жарықтың шағылысуы сияқты.

1. 3-жорамал. Кез келген дене кез келген басқа түрдегі денеге айнала алады және қасиеттердің барлық аралық деңгейлерін біртіндеп қабылдай алады.

1. 4-жорамал. Әлем жүйесінің орталығы тыныштық күйінде болады. Кейбіреулер Жерді, басқалары Күнді орталықта деп есептесе де, бұл қағиданы бәрі мойындайды.

1. 5-жорамал. Юпитер маңындағы планеталар (серіктер), Юпитер орталығына бағытталған радиустар арқылы уақытқа пропорционал аудандарды сызады және олардың периодтық уақыттары оның орталығынан қашықтықтардың бір жарым еселік қатынасында (3/2 қатынасы) болады. Бұл астрономиялық бақылаулардан белгілі. Бұл планеталардың орбиталары Юпитермен концентрлі шеңберлерден айтарлықтай ерекшеленбейді және олардың бұл шеңберлердегі қозғалыстары біркелкі екені анықталды. Ал периодтық уақыттардың орбиталардың жарты диаметрлерінің бір жарым еселік қатынасында болуын астрономдар мақұлдайды; бәрін микрометрмен және серіктердің тұтылуы арқылы дәлірек анықтаған Флемстид маған жолдаған хаттарында және сандарымен бөлісе отырып, сол бір жарым еселік қатынастың сезіммен қабылдау мүмкін болатын ең жоғары дәлдікпен орындалатынын көрсетті. Бұл келесі кестеден айқын көрінеді.

1. 7-жорамал. Бес негізгі планетаның және (не Күннің Жер маңында, не) Жердің Күн маңында периодтық уақыттары Күннен орташа қашықтықтардың бір жарым еселік қатынасында болады. Кеплер тапқан бұл қатынас баршаға мәлім. Планеталар Жердің маңында айналса да, Күннің маңында айналса да, периодтық уақыттар мен орбиталардың өлшемдері бірдей болады. Периодтық уақыттарды өлшеу туралы барлық астрономдар келіседі. Ал орбиталардың шамаларын Кеплер мен Буллиальд бақылаулар негізінде аса мұқият анықтады; периодтық уақыттарға сәйкес келетін орташа қашықтықтар олар тапқан қашықтықтардан айтарлықтай ерекшеленбейді және көбінесе олардың арасында орналасады; бұны келесі кестеден көруге болады.

Әлі байқалмаған кейбір басқа да әркелкіліктер бар, олар Ай қозғалысын сондайлықты бұзатындықтан, осы уақытқа дейін ешқандай заңдылықпен белгілі бір ережеге келтіру мүмкін болмады. Айдың апогейі мен түйіндерінің жылдамдықтары немесе сағаттық қозғалыстары, сондай-ақ олардың теңдеулері, сизигиялардағы ең жоғары және квадратуралардағы ең төмен эксцентриситет арасындағы айырмашылық және Вариация (Ай қозғалысындағы Күн тартуынан болатын ауытқу) деп аталатын әркелкілік (LXVI-ұсыныстың 14-салдары бойынша) Күннің көрінерлік диаметрінің кубына пропорционалды түрде жыл сайын артып немесе азайып отырады. Бұдан бөлек, Вариация квадратуралар арасындағы уақыттың квадратына пропорционалды түрде артады немесе азаяды (I кітаптың X-леммасының 1 және 2-салдарлары мен LXVI-ұсыныстың 16-салдары). Бірақ астрономиялық есептеулерде бұл әркелкілік әдетте Айдың простаферезисіне (орташа және нақты орын арасындағы айырма) жатқызылып, сонымен шатастырылады.

Алайда, екі шырақ тудыратын екі қозғалыс бөлек-бөлек байқалмайды, олар аралас қозғалыс түзеді. Шырақтардың қосылуы (жаңа ай) немесе қарама-қарсы тұруы (толған ай) кезінде олардың әсерлері бірігіп, ең үлкен толысу мен қайтуды құрайды. Квадратураларда Күн суды Ай төмендететін жерде көтереді, ал Ай көтеретін жерде төмендетеді; осы әсерлердің айырмашылығынан ең кіші толысу пайда болады. Тәжірибе көрсеткендей, Айдың әсері Күннен үлкен болғандықтан, судың ең жоғары деңгейі Ай уақытымен үшінші сағатқа сәйкес келеді. Сизигиялар мен квадратуралардан тыс уақытта, тек Ай күшімен Айдың үшінші сағатына, ал тек Күн күшімен Күннің үшінші сағатына келуі тиіс ең үлкен толысу, екі күш біріккенде Айдың үшінші сағатына жақынырақ болатын аралық уақытқа келеді. Осылайша, Ай сизигиядан квадратураға өткенде, Күннің үшінші сағаты Айдың үшінші сағатынан бұрын келетін кезде, судың ең жоғары деңгейі де Айдың үшінші сағатынан бұрын болады және бұл ең үлкен алшақтық Айдың октанттарынан (фазалардың сегізден бір бөлігі) кейін байқалады. Ай квадратурадан сизигияға өткенде, бірдей аралықтармен ең үлкен толысу Айдың үшінші сағатынан кейін болады. Бұл ашық теңізде осылай. Ал өзен сағаларында, басқа жағдайлар тең болғанда, үлкен толысулар өз шыңына ([Greek: akmên]) кешірек жетеді.

Сондай-ақ, әрбір шырақтың әсері оның еңістігіне (аспан экваторынан қашықтығы) немесе экватордан қашықтығына байланысты. Егер шырақ полюсте орналасса, ол судың әрбір бөлігін әсерін күшейтпей не бәсеңдетпей, тұрақты түрде тартар еді, сондықтан ешқандай қайталама қозғалыс тудырмас еді. Демек, шырақтар экватордан полюске қарай алыстаған сайын өз әсерлерін біртіндеп жоғалтады, сондықтан Күн тоқырауындағы (Күннің экватордан ең алыс нүктесі) сизигияларда күн мен түннің теңелу кезіндегіге қарағанда кішірек толысулар тудырады. Ал Күн тоқырауындағы квадратураларда күн мен түннің теңелу кезіндегі квадратураларға қарағанда үлкенірек толысулар тудырады; себебі экваторда орналасқан Айдың әсері Күннің әсерінен барынша асып түседі. Сонымен, ең үлкен толысулар екі күн мен түннің теңелу кезіндегі сизигияларға, ал ең кіші толысулар квадратураларға сәйкес келеді. Сизигиядағы ең үлкен толысуды әрқашан квадратурадағы ең кіші толысу ерітіп жүретіні тәжірибемен дәлелденген. Қыс мезгілінде Күннің Жерге жазғы уақыттан жақынырақ болуына байланысты, ең үлкен және ең кіші толысулар көктемгі күн мен түннің теңелуінен бұрын, ал күзгі теңелуден кейін жиірек болады.

Шырақтардың әсерлері орындардың ендігіне де байланысты. ApEP — терең сумен қоршалған Жерді, C — оның орталығын, Pp — полюстерді, AE — Экваторды, F — экватордан тыс кез келген орынды, Ff — сол орынның параллелін, Dd — экватордың екінші жағындағы сәйкес параллельді, L — Айдың үш сағат бұрынғы орнын, H — оның астындағы Жер бетіндегі нүктені, h — оған қарама-қарсы нүктені, K және k — олардан 90 градус қашықтықтағы орындарды көрсетсін. CH және Ch — Жер орталығынан өлшенген теңіздің ең жоғары биіктіктері, ал CK және Ck — ең төмен биіктіктері болсын. Егер Hh және Kk осьтерімен эллипс сызылып, содан кейін осы эллипстің үлкен Hh осі айналасында айналуынан HPKhpk сфероиды (созылыңқы шар тәріздес дене) түзілсе, бұл теңіздің пішінін жуықтап көрсетеді және CF, Cf, CD, Cd — F, f, D, d орындарындағы теңіз биіктіктері болады. Сондай-ақ, егер аталған эллипстің айналуы барысында кез келген N нүктесі NM шеңберін сызып, ол Ff, Dd параллельдерін R, T нүктелерінде, ал AE экваторын S нүктесінде қиып өтсе, онда CN осы шеңбердің бойында орналасқан барлық R, S, T орындарындағы теңіз биіктігі болады. Осыған сәйкес, кез келген F орнының тәуліктік айналуы барысында , Ай көктажиектің үстіндегі меридианға келгеннен кейін үш сағат өткенде F нүктесінде ең үлкен толысу болады; содан кейін Ай батқаннан кейін үш сағат өткенде Q нүктесінде ең үлкен қайту болады; содан соң Ай көктажиектің астындағы меридианға келгеннен кейін үш сағат өткенде f нүктесінде ең үлкен толысу болады; соңында Ай шыққаннан кейін үш сағат өткенде Q нүктесінде ең үлкен қайту болады; және f-тегі кейінгі толысу F-тегі алдыңғы толысудан кішірек болады. Өйткені бүкіл теңіз екі жартышарлық толқынға бөлінеді: бірі — Солтүстікке қарай бағытталған KHkC жартышарында, екіншісі — оған қарама-қарсы KhkC жартышарында; оларды Солтүстік толқын және Оңтүстік толқын деп атауға болады. Бұл толқындар бір-біріне әрқашан қарама-қарсы келеді және он екі Ай сағаты аралықпен кезек-кезек әрбір орынның меридианына жетеді. Солтүстік аймақтар Солтүстік толқынға, ал Оңтүстік аймақтар Оңтүстік толқынға көбірек қатысатындықтан, экватордан тыс әрбір орында кезек-кезек үлкенірек және кішірек толысулар болады. Ай орынның зенитіне (төбе нүктесіне) қарай еңкейгенде, үлкенірек толысу Ай көктажиектің үстіндегі меридианға келгеннен кейін шамамен үшінші сағатқа сәйкес келеді, ал Ай еңістігін өзгерткенде ол кішірек толысуға айналады. Толысулардың ең үлкен айырмашылығы күн тоқыраулары кезінде, әсіресе Айдың көтерілу түйіні Тоқты шоқжұлдызының басында болғанда орын алады. Осылайша, тәжірибе көрсеткендей, Плимутта қыс мезгілінде таңғы толысулар кешкілерден, ал жазда кешкі толысулар таңғылардан шамамен бір футқа, ал Бристольда он бес дюймге асып түсетінін Колепресс пен Штурм байқаған.

Осы уақытқа дейін сипатталған қозғалыстар судың қайталану күшінің әсерінен сәл өзгереді, соның арқасында теңіз толысуы шырақтардың әрекеті тоқтаса да біршама уақыт сақталуы мүмкін. Бұл берілген қозғалыстың сақталуы кезектесіп келетін толысулардың айырмашылығын азайтады және сизигиялардан кейінгі толысуларды үлкенірек, ал квадратуралардан кейінгілерді кішірек етеді. Осыдан Плимут пен Бристольдағы кезектесіп келетін толысулардың бір-бірінен айырмашылығы бір фут немесе он бес дюймнен аспайды; сондай-ақ бұл порттардағы ең үлкен толысулар сизигиядан кейінгі бірінші емес, үшінші толысу болып табылады. Барлық қозғалыстар таяз жерлерден өткенде баяулайды, сондықтан кейбір бұғаздар мен өзен сағаларында ең үлкен толысулар сизигиядан кейінгі төртінші немесе бесінші болып келеді.

Біз Айдың Жерге қарай жүргізілген радиус-векторымен сызатын ауданы, егер Ай қозғалысы Күн әрекетінен бұзылмаса, уақытқа пропорционал болатынын айтқанбыз. Бұл жерде моменттің (немесе сағаттық өсімнің) әркелкілігін зерттеуді ұсынамыз. Есептеуді жеңілдету үшін Ай орбитасын шеңбер деп есептейік және осы қарастырылып отырғаннан басқа барлық әркелкіліктерді ескермейік. Күннің өте алыс қашықтығына байланысты QP және QS сызықтарын бір-біріне параллель деп алайық. Осылайша, LM күші әрқашан өзінің орташа шамасы SP-ге, ал SM күші өзінің орташа шамасы 3PK-ге дейін азайтылады. Бұл күштер Заңдардың 2-салдары бойынша SL күшін құрайды; ал бұл күш, егер SP радиусына LE перпендикуляры түсірілсе, SE және EL күштеріне жіктеледі. Оның SE бөлігі әрқашан SP радиусы бойымен әрекет ететіндіктен, сол радиуспен жасалатын QSP ауданының сызылуын тездетпейді де, баяулатпайды да; ал EL бөлігі перпендикуляр бойымен әрекет ете отырып, Айды қаншалықты тездетсе немесе баяулатса, ауданның сызылуын да соншалықты тездетеді немесе баяулатады. Айдың C квадратурасынан A қосылу нүктесіне өтуі кезіндегі әрбір уақыт сәтіндегі үдеуі EL үдеткіш күшіне, яғни 3PK × SK ÷ SP шамасына тең. Уақытты Айдың орташа қозғалысымен немесе (бұл шамамен бірдей) CSP бұрышымен, не болмаса CP доғасымен белгілейік. CS-ке оған тең CG перпендикулярын тұрғызайық. AC ширек доғасын сансыз көп тең Pp және т.б. бөлшектерге бөлейік, олар арқылы уақыттың соншама тең бөлшектері белгіленсін. CS-ке pk перпендикулярын түсіріп, KP және kp созындыларымен F және f нүктелерінде қиылысатын SG сызығын қосайық. Сонда Kk-ның PK-ге қатынасы Pp-нің Sp-ге қатынасындай, яғни берілген қатынаста болады, сондықтан FK × Kk немесе FKkf ауданы 3PK × SK ÷ SP-ге, яғни EL-ге пропорционал болады; демек, бүкіл GCKF ауданы CP уақыты ішінде Айға әсер еткен барлық EL күштерінің қосындысына, демек, осы қосындыдан туындаған жылдамдыққа, яғни CSP ауданының сызылу үдеуіне немесе моменттің өсіміне пропорционал болады. Айдың қозғалмайтын Жер айналасында SP қашықтығында 27 күн 7 сағат 43 минуттық CADBC айналу периодымен қозғалуын қамтамасыз ететін күш, дененің CS уақыты ішінде құлауы арқылы ½CS ұзындығын сызуына және сонымен бірге Айдың орбитадағы қозғалыс жылдамдығына тең жылдамдық алуына әкелер еді. Бұл I кітаптың IV-ұсынысының схолиясынан (түсіндірме жазбасы) анық. SP-ге түсірілген Kd перпендикуляры EL-дің үштен бір бөлігі, ал октанттардағы SP немесе ML-дің жартысы болғандықтан, октанттардағы ең үлкен EL күші ML күшінен 3-тің 2-ге қатынасындай басым болады, сондықтан ол Айдың айналуын қамтамасыз ететін күшке қатынасы 100-дің 2/3 × 17872½ немесе 11915-ке қатынасындай болады және CS уақытында Ай жылдамдығының 100/11915 бөлігіне тең жылдамдық тудыруы тиіс, ал CPA уақытында CA-ның CS немесе SP-ге қатынасына сәйкес үлкенірек жылдамдық тудырар еді. Октанттардағы ең үлкен EL күшін белгілейік.

Түйіндер сизигияда сизигия — Күн, Жер және Айдың бір түзу бойында орналасуы болғанда, еңістік 5 гр. 17' 46" болса, дәл сол жағдай түйіндер квадратурада квадратура — аспан денелерінің арасындағы бұрыштық қашықтық 90 градус болуы және Ай сизигияда болғанда 5 гр. болады. Бұл бақылаулар арқылы расталады. Өйткені астрономдар түйіндер квадратурада, ал Ай Күнге қарама-қарсы тұрғанда, Ай орбитасының эклиптика жазықтығына еңістігін шамамен 5 гр. деп белгілейді. Ал түйіндер сизигияда болғанда, оны 5 гр. 17'½ немесе 5 гр. 18' деп көрсетеді.

Егер Ай сизигияда және түйіндер кез келген жерде болғандағы орбита еңістігін табу қажет болса; AB-ның AD-ға қатынасын 5 гр. синусының 5 гр. 17' 46" синусына қатынасындай етіп алыңыз; және AEG бұрышын түйіндердің квадратурадан қашықтығының екі еселенген мөлшеріне тең етіп алыңыз; сонда AH ізделіп отырған еңістіктің синусы болады. Орбитаның бұл еңістігі Ай түйіндерден 90 гр. қашықтықта болғандағы еңістікке тең. Айдың басқа нүктелеріндегі еңістік өзгерісінен туындайтын айлық теңсіздік, Ай ендігін есептеу барысында (жоғарыда айтқанымыздай) түйіндер қозғалысының айлық теңсіздігі арқылы өтеліп, белгілі бір дәрежеде жойылады, сондықтан сол ендікті есептеуде оны ескермеуге болады.

Осы уақытқа дейін Айдың қозғалыстары орбитаның эксцентриситеті эксцентриситет — орбитаның сопақтық дәрежесі ескерілмеген жағдайда қарастырылды. Ұқсас есептеулер арқылы мен апогейдің апогей — Ай орбитасының Жерден ең алыс нүктесі Күнмен түйіскенде немесе оған қарама-қарсы тұрғанда, қозғалмайтын жұлдыздарға қатысты күн сайын 23' алға жылжитынын; ал квадратурада болғанда күн сайын шамамен 16-1/3 шегінетінін таптым; оның орташа жылдық қозғалысы шамамен 40 гр. құрайды. Атақты Флемстидтің Хоррокс жорамалына бейімдеген астрономиялық кестелері бойынша, апогей өзінің сизигияларында тәуліктік 24'. 28" қозғалыспен алға жылжиды, ал квадратураларда тәуліктік 20'. 12" қозғалыспен шегінеді және орташа жылдық қозғалысы 40 гр. 41' болып алға қарай бағытталады. Кестелер бойынша апогейдің сизигиялардағы ілгерілеу тәуліктік қозғалысы мен квадратуралардағы шегіну тәуліктік қозғалысы арасындағы айырмашылық 4'. 16" болса, біздің есептеуіміз бойынша ол 6'-2/3 құрайды, мұны біз кестелердің қателігінен деп күмәнданамыз. Бірақ біз өз есептеуімізді де жеткілікті дәл деп есептемейміз. Өйткені белгілі бір есептеу жолына сүйенсек, апогейдің сизигиялардағы тәуліктік ілгерілеу қозғалысы мен квадратуралардағы тәуліктік шегіну қозғалысы сәл жоғарырақ болып шықты. Есептеулер тым күрделі әрі жуықтауларға толы болғандықтан, әрі жеткілікті дәл емес болғандықтан, оларды бұл жерге келтіруді жөн көрмедік.

Күннің ML немесе PS күші Ай квадратураларында Ай қозғалыстарын бұзу үшін (осы кітаптың XXV Тұжырымы бойынша) біздегі тартылыс күшіне қатынасы 1-ден 638092,6-ға дейін болды. Ал Ай сизигияларындағы SM - LM немесе 2PK күші екі есе үлкен. Егер Жер бетіне дейін төмендесек, бұл күштер Жер орталығынан қашықтықтардың арақатынасына қарай азаяды, яғни 60½-ден 1-ге дейінгі қатынаста; демек, Жер бетіндегі алғашқы күштің тартылыс күшіне қатынасы 1-ден 38604600-ге дейін болады. Бұл күшпен Күннен 90 гр. қашықтықта орналасқан жерлерде теңіз деңгейі төмендейді. Екі есе үлкен екінші күштің әсерінен әсер — эффект теңіз деңгейі Күннің астындағы және Күнге қарама-қарсы аймақтарда көтеріледі. Күштердің қосындысының тартылыс күшіне қатынасы 1-ден 12868200-ге дейін. Бұл күш Күннен 90 гр. қашықтықтағы аймақтарда суды төмендетсе де, Күннің астындағы және Күнге қарама-қарсы аймақтарда оны көтерсе де, бірдей қозғалыс тудыратындықтан, бұл қосынды Күннің теңізді тебірентуге жұмсалатын толық күші болады; ол бүкіл күш Күннің астындағы және оған қарама-қарсы аймақтарда теңізді көтеріп, Күннен 90 гр. қашықтықтағы аймақтарда ештеңе істемегендей әсер береді.

Айдың теңізді қозғалысқа келтіретін күшін оның Күн күшіне қатынасынан есептеу керек, ал бұл қатынас осы күштерден туындайтын теңіз қозғалыстарының барыс — процесс арақатынасынан анықталады. Авона өзенінің сағасының алдында, Бристольден төменірек үшінші миляда, көктемгі және күзгі уақытта шырақтардың (Күн мен Айдың) тоғысуы мен қарама-қарсы тұруы кезінде судың толық көтерілуі (Самуэль Штурмның бақылауынша) шамамен 45 футты құрайды, ал квадратураларда небәрі 25 фут болады. Бірінші биіктік күштердің қосындысынан, екіншісі олардың айырмашылығынан туындайды. Экваторда орналасқан және Жерден орташа қашықтықтағы Күн мен Айдың күштері S және L болсын. Ай квадратураларда, көктемгі және күзгі уақытта экватордан тыс, шамамен 23½ градус еңістікте орналасқандықтан және экватордан ауытқыған шырақтың теңізді қозғалту күші азырақ болғандықтан (менің пайымдауымша, еңістіктің толықтауыш синусының квадратына жуық қатынаста), Айдың квадратуралардағы күші (сол синустың радиусқа қатынасы 91706-дан 100000-ға дейін болғандықтан) 841/1000 L болады. Сонда сизигиялардағы күштердің қосындысы L + S, ал квадратуралардағы айырмашылық 841/1000 L - S болады; демек, L + S-тің 841/1000 L - S-ке қатынасы 45-тің 25-ке немесе 9-дың 5-ке қатынасындай болады, осыдан 5L + 5S тең болады 7569/1000 L - 9S-ке, ал 14S тең болады 2569/1000 L-ге, сондықтан L-дің S-ке қатынасы 14000-нан 2569-ға немесе 5-7/15-тен 1-ге дейін болады. Плимут портында теңіз толысуы (Самуэль Колепресс бақылауы бойынша) орташа биіктікте шамамен он алты футқа дейін көтеріледі, ал көктемгі және күзгі уақытта Ай сизигияларындағы толысу биіктігі квадратуралардағы биіктіктен жеті немесе сегіз футқа асуы мүмкін. Егер осы уақыттағы орташа артықшылық жеті жарым фут болса; сизигиялардағы толысу 19¾ футқа, квадратураларда 12¼ футқа дейін көтеріледі және осылайша L + S-тің 841/1000 L - S-ке қатынасы 19¾-нің 12¼-ге қатынасындай болады, сонда L-дің S-ке қатынасы 734-тен 100-ге немесе 7-1/3-тен 1-ге дейін болады. Олай болса, Ай күшінің Күн күшіне қатынасы алғашқы есептеу бойынша 5-7/15-тен 1-ге, екіншісі бойынша 7-1/3-тен 1-ге дейін. Дәлірек жүргізілген бақылаулардан нақтырақ мәлімет алғанға дейін, біз 6-1/3-тен 1-ге дейінгі орташа қатынасты қолданамыз. Осыдан Күн күшінің тартылыс күшіне қатынасы 1-ден 12868200-ге дейін болса, Ай күшінің тартылыс күшіне қатынасы 1-ден 2031821-ге дейін болады.

Егер Ай денесі біздің теңізіміз сияқты сұйық болса, Жердің сол сұйықтықты жақын және алыс бөліктерінде көтеру күшінің Айдың біздің теңізімізді Айдың астындағы және оған қарама-қарсы бөліктерде көтеру күшіне қатынасы; Айдың Жерге қарай үдеулі тартылысының Жердің Айға қарай үдеулі тартылысына қатынасы мен Ай диаметрінің Жер диаметріне қатынасының көбейтіндісіне тең болар еді; яғни 26-ның 1-ге және 5-тің 18-ге қатынастарының көбейтіндісі немесе 65-тің 9-ға қатынасындай. Осыдан, біздің теңіз Ай күшімен он екі футқа көтерілсе, Ай сұйықтығы Жер күшімен шамамен тоқсан футқа көтерілуі тиіс еді. Сол себепті Айдың пішіні сфероид сфероид — шарға ұқсас, бірақ екі жағынан қысылған пішін болар еді, оның ең үлкен диаметрі Жердің орталығы арқылы өтіп, перпендикуляр диаметрлерден 180 фут артық болар еді. Осылайша Ай сондай пішінге ие болуға бейім және оны ең басында иеленуі тиіс еді. Дәлелденбекші болғаны осы.

Ай түйіндерінің шеңберлік орбитадағы орташа сағаттық қозғалысы, түйіндер квадратурада болғанда, 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v болды және оның жартысы 8". 17"'. 38^{iv}. 18^v (жоғарыда түсіндірілген себептер бойынша) мұндай орбитадағы түйіндердің орташа сағаттық қозғалысы болып табылады; ол бүкіл сидериялық жыл ішінде 20 гр. 11'. 46" болады. Олай болса, Ай түйіндері мұндай орбитада жыл сайын кері бағытта 20 гр. 11'. 46" жүріп өтер еді; егер Ай қозғалыстары көп болса, әрқайсысының түйіндер қозғалысы (1-кітаптың LXVI Тұжырымының 16-қорытындысы бойынша) периодтық уақыттарға кері пропорционал болар еді; сондықтан егер Ай сидериялық тәулік ішінде Жер бетіне жақын айналса, түйіндердің жылдық қозғалысының 20 гр. 11'. 46"-қа қатынасы 23 сағат 56 минуттық сидериялық тәуліктің Айдың 27 күн 7 сағат 43 минуттық периодтық уақытына қатынасындай, яғни 1436-ның 39343-ке қатынасындай болар еді. Жерді қоршаған Айлар сақинасының түйіндеріне де дәл осындай қатынас тән; сол Айлар бір-біріне тиіп тұрмаса да, немесе олар еріп тұтас сақина түзсе де, не болмаса сол сақина қатып, иілмейтін күйге енсе де солай болады.

Енді бұл сақина зат мөлшері жағынан PapE шарынан жоғары тұрған бүкіл PapAPepE Жер бөлігіне тең деп есептейік; және бұл шардың сол жоғарғы Жер бөлігіне қатынасы aC кв. -тың AC кв. - aC кв. қатынасындай, яғни (Жердің кіші диаметрі PC немесе aC үлкен диаметрі AC-ға 689-дан 692-ге дейін қатынаста болғандықтан) 4143-тің 474721-ге немесе 1000-ның 114585-ке қатынасындай; егер бұл сақина Жерді экватор бойымен қоршаса және екеуі бірге сақина диаметрі айналасында айналса, сақина қозғалысының ішкі шар қозғалысына қатынасы (осы бөлімнің II Леммасы бойынша) 4143-тің 474721-ге және 1000000-ның 925275-ке қатынастарының көбейтіндісіне тең, яғни 4143-тің 439248-ге қатынасындай: сондықтан сақина қозғалысының сақина мен шар қозғалыстарының қосындысына қатынасы 4143-тің 443991-ге қатынасындай болады. Осыдан, егер сақина шарға жабысып тұрса және өзінің түйіндері немесе күн мен түннің теңелу нүктелері шегінетін қозғалысын шарға берсе: сақинада қалатын қозғалыстың оның алғашқы қозғалысына қатынасы 4143-тің 443391-ге қатынасындай болады; демек, күн мен түннің теңелу нүктелерінің қозғалысы дәл осындай қатынаста азаяды. Сондықтан шар мен сақинадан тұратын дененің күн мен түннің теңелу нүктелерінің жылдық қозғалысының 20 гр. 11'. 46" қозғалысына қатынасы 1436-ның 39343-ке және 4143-тің 443391-ге қатынастарының көбейтіндісіне тең болады, яғни 1-дің 2932-ге қатынасындай. Ал Ай түйіндері (жоғарыда түсіндіргенімдей), демек, сақинаның күн мен түннің теңелу нүктелері шегінетін күштер (яғни 444-беттегі суреттегі 3IT күштері) әрбір бөлшекте бөлшектердің QR жазықтығынан қашықтығына пропорционал және осы күштермен сол бөлшектер жазықтықтан қашады; сондықтан (I Лемма бойынша), егер сақина заты бүкіл шар бетіне PapAPepE пішінінде Жердің сол жоғарғы бөлігін құрау үшін жайылса, барлық бөлшектердің Жерді кез келген экватор диаметрі айналасында айналдыруға және күн мен түннің теңелу нүктелерін қозғалтуға бағытталған жалпы күші мен пәрмені бұрынғыдан төрт есе аз болар еді. Сондықтан күн мен түннің теңелу нүктелерінің жылдық шегінуінің 20 гр. 11'. 46"-қа қатынасы енді 1-дің 11728-ге қатынасындай болады, демек ол 6". 12"'. 2^{iv} құрайды. Бұл — Күн күшінен туындайтын күн мен түннің теңелу нүктелерінің прецессиясы прецессия — Жердің айналу білігінің баяу тербелуі. Ал Айдың теңізді қозғалту күші Күн күшіне 6-1/3-тен 1-ге дейінгі қатынаста болды және бұл күш өзінің шамасына қарай күн мен түннің теңелу нүктелерінің прецессиясын да арттырады. Сондықтан екі себептен туындайтын сол прецессия енді 7-1/3-тен 1-ге дейінгі қатынаста артып, 45". 24"'. 15^{iv} болады. Бұл — Күн мен Айдың Pape шарының үстінде орналасқан Жер бөліктеріне әсерінен туындайтын күн мен түннің теңелу нүктелерінің қозғалысы. Өйткені Жер сол әсерлерден шардың өзіне бағытталған ешбір жаққа еңкейе алмайды.

Енді APEp эллипс пішінді және біркелкі заттан тұратын Жер денесін білдірсін. Егер ол сансыз көп концентрлі және ұқсас эллипс пішіндерге бөлінсе: APEp, BQbq, CRcr, DSds және т.б., олардың диаметрлері геометриялық прогрессияда болсын: пішіндер ұқсас болғандықтан, Күн мен Айдың күн мен түннің теңелу нүктелерін шегіндіретін күштері, бөлек қарастырылған басқа пішіндердің де сол күн мен түннің теңелу нүктелерін дәл сондай жылдамдықпен шегіндіруіне әкелер еді. Сол пішіндердің айырмашылығы болып табылатын AQEq, BRbr, CScs және т.б. әрбір қабаттарының қозғалыс қатынасы да сондай. Әрбір қабат, егер ол жалғыз болса, оның күн мен түннің теңелу нүктелері дәл сондай жылдамдықпен шегінуі тиіс еді. Егер қабат біркелкі тығыз заттан құралса, оның тығызырақ немесе сирегірек болуы маңызды емес. Осыдан, тіпті қабаттар орталыққа қарай шеңберге қарағанда тығызырақ болса да, бүкіл Жердің күн мен түннің теңелу нүктелерінің қозғалысы бұрынғыдай болады; егер әрбір қабат бөлек қарастырылғанда біркелкі тығыз заттан тұрса және қабаттың пішіні өзгермесе. Ал егер қабаттардың пішіні өзгерсе және Жер орталықтағы заттың тығыздығына байланысты экваторда (AE) бұрынғыдан жоғарырақ көтерілсе; күн мен түннің теңелу нүктелерінің шегінуі артқан биіктіктен көбейеді және ол бөлек тұрған әрбір қабатта сол қабаттың экваторындағы заттың жоғары биіктігіне пропорционалды болады; ал бүкіл Жерде ол ең сыртқы AQEq қабатының да, ең ішкі Gg қабатының да емес, орташа бір CScs қабатының экваторындағы заттың жоғары биіктігіне пропорционалды болады. Жердің орталыққа қарай тығызырақ екенін, сондықтан экватор астында полюстерге қарағанда 692-ден 689-ға дейінгі қатынастан үлкенірек мөлшерде биік екенін жоғарыда аңғартқанбыз. Және бұл жоғары биіктіктің қатынасын экватор астындағы тартылыс күшінің 692-ден 689-ға дейінгі қатынастан туындайтын мөлшерден көбірек азаюынан анықтауға болады. Горе аралында және Кайеннада секунд сайын тербелетін маятниктің ұзындығының Парижде дәл сондай уақытта тербелетін маятник ұзындығынан артықшылығын француздар дюймнің оннан бір және сегізден бір бөлігі деп тапты, алайда 692-ден 689-ға дейінгі пропорциядан олар 81/1000 және 89/1000 болып шықты. Сондықтан Кайеннадағы маятниктің ұзындығы тиісті мөлшерден 1/8-ден 89/1000-ға немесе 1000-нан 712-ге дейінгі қатынаста артық; ал Горе аралында 1/10-нан 81/1000-ға немесе 1000-нан 810-ға дейінгі қатынаста артық. Егер біз 1000-нан 760-қа дейінгі орташа қатынасты алсақ; Жердің экватордағы тартылыс күшін азайтып, сол жерде оның биіктігін шамамен 1000-нан 760-қа дейінгі қатынаста арттыру керек болады. Осыдан күн мен түннің теңелу нүктелерінің қозғалысы (жоғарыда айтылғандай) Жер биіктігінің қатынасында артады, ол ең сыртқы қабатқа емес, ...