Арнайы және жалпы салыстырмалылық теориясы туралы
Albert Einstein
Жазылымсыз режим: 20-беттен кейін жазылым беті ашылады, әрі қарай әр 10 бет сайын (ең көбі 5 рет).
20 px
1.85
0.30 px
0.95 em
Редакторы: Карл Шеель
Алғысөз
Осы шағын кітапша теориялық физиканың математикалық аппаратын (күрделі математикалық есептеулер мен формулалар жиынтығы) меңгермеген, бірақ теорияға жалпы ғылыми, философиялық тұрғыдан қызығушылық танытатын оқырмандарға салыстырмалылық теориясы туралы барынша дәл түсінік беруді көздейді.
Кітаптың көлемі шағын болғанына қарамастан, оны оқу үшін оқырманнан шамамен аттестат деңгейіндегі білім және айтарлықтай төзімділік пен ерік-жігер талап етіледі. Автор негізгі ойларды мүмкіндігінше анық және қарапайым түрде, негізінен олардың іс жүзінде пайда болу реттілігі мен байланысына сәйкес баяндауға барынша күш салды. Түсінікті болу үшін баяндаудың әсемдігіне («элеганттылығына») мүлдем мән бермей, жиі қайталауға мәжбүр болдым; мен кемеңгер теоретик Л. Больцманның «әсемдікті тігіншілер мен етікшілерге қалдыру керек» деген қағидасын адал ұстандым.
Мәселенің өзіне тән қиындықтарын оқырманнан жасырмадым деп ойлаймын. Керісінше, физикадан алыс оқырман «ағаштардан орманды көрмей қалатын» саяхатшының күйін кешпеуі үшін, теорияның эмпирикалық физикалық негіздеріне әдейі үстірт тоқталдым. Осы кітапша көптеген адамдарға ой салудың қуанышты сәттерін сыйласын!
1916 жыл, желтоқсан. А. Эйнштейн.
Бірінші бөлім. Арнайы салыстырмалылық теориясы туралы.
§ 1. Геометриялық сөйлемдердің физикалық мазмұны.
Құрметті оқырман, сен де бала кезіңде Евклид геометриясының асқақ ғимаратымен танысқан боларсың және сені тәжірибелі мұғалімдер сансыз сағаттар бойы шаршатқан сол зәулім құрылысты (ғимаратты) сүйіспеншіліктен бұрын, үлкен құрметпен еске алатын шығарсың. Осы өткен шағыңа сүйене отырып, осы ғылымның тіпті ең елеусіз сөйлемін жалған деп айтқан кез келген адамды менсінбейтін едің. Бірақ біреу сенен: «Бұл сөйлемдердің шындық екендігі туралы тұжырымдамаңмен не айтқың келеді?» — деп сұраса, бұл сенімділік сезімің бірден жоғалып кетуі мүмкін. Осы сұраққа сәл тоқталайық.
Геометрия жазықтық, нүкте, түзу сияқты біз азды-көпті нақты елестете алатын белгілі бір негізгі ұғымдардан және осы елестетулер негізінде «ақиқат» ретінде қабылдауға бейім белгілі бір қарапайым сөйлемдерден (аксиомалардан — дәлелсіз қабылданатын бастапқы қағидалар) басталады. Барлық қалған сөйлемдер біз мойындауға мәжбүр болатын логикалық әдіс негізінде сол аксиомаларға келтіріледі, яғни дәлелденеді. Егер сөйлем аксиомалардан қабылданған тәсілмен шығарылса, ол дұрыс немесе «ақиқат» болып саналады. Сонымен, жекелеген геометриялық сөйлемдердің «ақиқаттығы» туралы сұрақ аксиомалардың «ақиқаттығы» туралы сұраққа келіп тіреледі.
Алайда, бұл соңғы сұрақтың тек геометрия әдістерімен ғана жауап берілмейтіні емес, сонымен қатар оның өздігінен мағынасыз екендігі бұрыннан белгілі. Екі нүкте арқылы тек бір түзу өтетіні ақиқат па деп сұрауға болмайды. Тек Евклид геометриясы өзі «түзу» деп атайтын және оның екі нүктесімен бірмәнді анықталу қасиетін беретін нысандармен жұмыс істейді деп қана айтуға болады. «Ақиқат» ұғымы таза геометрияның тұжырымдарына сәйкес келмейді, өйткені біз «ақиқат» сөзімен соңғы кезекте әрқашан «реалды» (нақты) затпен сәйкестікті білдіруге дағдыланғанбыз; ал геометрия болса, өз ұғымдарының тәжірибе нысандарымен байланысын емес, тек осы ұғымдардың бір-бірімен логикалық байланысын қарастырады.
Соған қарамастан біздің геометрия сөйлемдерін «ақиқат» деп атауға бейім болуымыз оңай түсіндіріледі. Геометриялық ұғымдарға табиғаттағы нысандар азды-көпті дәл сәйкес келеді және бұл нысандар сол ұғымдардың пайда болуының жалғыз себебі екені даусыз. Геометрия өз құрылымына (архитектурасына) барынша логикалық тұтастық беру үшін бұдан алшақтауы мүмкін; бірақ, мысалы, кесіндіні іс жүзінде қатты денедегі белгіленген екі орын ретінде көру әдеті біздің ойлау дағдымызға терең енген. Сондай-ақ, егер біз бір көзбен қарағанда бақылау орнын дұрыс таңдау арқылы үш орынның көрінетін жерлерін беттестіре алсақ, оларды бір түзудің бойында орналасқан деп қабылдауға дағдыланғанбыз.
Егер біз енді ойлау дағдысына сүйене отырып, Евклид геометриясының сөйлемдеріне мынадай жалғыз сөйлемді қоссақ: «іс жүзінде қатты дененің екі нүктесіне, денемен қандай орын ауыстыруларды жасасақ та, әрқашан бірдей қашықтық (кесінді) сәйкес келеді», онда Евклид геометриясының сөйлемдері іс жүзінде қатты денелердің мүмкін болатын салыстырмалы орналасуы туралы сөйлемдерге айналады. Осылай толықтырылған геометрия физиканың бір саласы ретінде қарастырылуы тиіс. Енді осылай түсіндірілген геометриялық сөйлемдердің «ақиқаттығы» туралы заңды түрде сұрауға болады, өйткені сол сөйлемдер біз геометриялық ұғымдарға сәйкестендірген реалды заттар үшін дұрыс па деп сұрауға болады. Сәл дәлсіздеу айтсақ, біз осы мағынадағы геометриялық сөйлемнің «ақиқаттығын» оның циркуль мен сызғыш арқылы жасалатын құрылымға (конструкцияға) сәйкестігі деп түсінеміз.
Геометриялық сөйлемдердің осы мағынадағы «ақиқаттығына» деген сенім, әрине, тек жетілмеген тәжірибелерге негізделген. Біз геометриялық сөйлемдердің сол ақиқаттығын алдымен қабылдап, содан кейін пайымдауларымыздың соңғы бөлімінде (жалпы салыстырмалылық теориясында) сол ақиқаттың қай жерде және қаншалықты шектеулері бар екенін көретін боламыз.
§ 2. Координаттар жүйесі.
Қашықтықтың жоғарыда аталған физикалық интерпретациясы негізінде біз қатты дененің екі нүктесі арасындағы қашықтықты өлшеулер арқылы анықтай аламыз. Ол үшін бізге біржола пайдаланылатын, бірлік масштаб ретінде қолданылатын кесінді (таяқша _S_) қажет. Егер _A_ және _B_ қатты дененің екі нүктесі болса, онда оларды қосатын түзуді геометрия заңдары бойынша тұрғызуға болады; осыдан кейін осы қосушы түзудің бойымен _A_-дан бастап _B_-ға жеткенше _S_ кесіндісін қайталап өлшеп шығуға болады. Осы өлшеудің қайталану саны _A͞B_ кесіндісінің өлшем бірлігі болып табылады. Ұзындықтарды өлшеудің барлығы осыған негізделген.
Оқиғаның немесе заттың орнын кез келген кеңістіктік сипаттау сол оқиға беттесетін қатты дененің (тірек денесінің) нүктесін көрсетуге негізделген. Бұл тек ғылыми сипаттамаға ғана емес, күнделікті өмірге де қатысты. Егер мен «Берлинде, Потсдам алаңында» деген орын көрсеткішін талдасам, ол мынаны білдіреді: Жер беті — бұл орын көрсеткіші сілтеме жасайтын қатты дене; онда «Берлиндегі Потсдам алаңы» — оқиға кеңістіктік тұрғыдан беттесетін, белгіленген, аты бар нүкте.
Орынды көрсетудің бұл қарапайым түрі тек қатты денелердің бетіндегі орындарды ғана біледі және осы беттің ерекшеленетін нүктелерінің болуына байланысты. Адам санасының орынды көрсету мәнін өзгертпестен, осы екі шектеуден қалай босатылғанын көрейік! Мысалы, Потсдам алаңының үстінде бұлт қалқып тұрса, оның Жер бетіне қатысты орнын алаңға бұлтқа дейін жететін тік баған орнату арқылы анықтауға болады. Бірлік масштабпен өлшенген бағанның ұзындығы баған табанының орны туралы мәліметпен бірге толық орын көрсеткіші болып табылады. Осы мысал арқылы орын ұғымының қалай жетілдірілгенін көреміз:
- Орын көрсеткіші қатысты болатын қатты дене локализацияланатын (орны анықталатын) нысанға сол толықтырылған қатты дене жететіндей етіп жалғастырылады.
- Орынды сипаттау үшін атаулы бағдарлау нүктелерінің орнына сан қолданылады (мұнда масштабпен өлшенген бағанның ұзындығы).
- Бұлтқа жететін баған мүлдем орнатылмаған жағдайда да бұлттың биіктігі туралы айтылады. Біздің жағдайда бұлттың жердің әртүрлі жерлерінен түсірілген оптикалық суреттерінен жарықтың таралу қасиеттерін ескере отырып, бұлтқа жету үшін бағанның қаншалықты ұзын болуы керек екендігі анықталады.
Осы пайымдаудан көріп отырғанымыздай, егер өлшем сандарын қолдану арқылы орын көрсеткіші сілтеме жасайтын қатты денедегі атаулы бағдарлау нүктелерінің болуына тәуелділіктен арылу мүмкін болса, орындарды сипаттау тиімді болады. Өлшеуші физика бұған Декарттық координаттар жүйесін (біріне-бірі перпендикуляр орналасқан үш жазықтықтан тұратын жүйе) қолдану арқылы қол жеткізеді.
Бұл жүйе бір-біріне перпендикуляр, бір қатты денеге біріктірілген үш қатты, жазық қабырғадан тұрады. Координаттар жүйесіне қатысты қандай да бір оқиғаның орны (негізінен) сол оқиғадан осы үш жазық қабырғаға түсірілген үш перпендикулярдың немесе координаттардың (_x_, _y_, _z_) ұзындығын көрсету арқылы сипатталады. Бұл үш перпендикулярдың ұзындықтары қатты таяқшалармен жасалатын манипуляциялар тізбегі арқылы анықталады, бұл манипуляциялар Евклид геометриясының заңдары мен әдістерімен белгіленеді.
Қолдану кезінде координаттар жүйесін құрайтын сол қатты қабырғалар әдетте іс жүзінде іске асырылмайды; сондай-ақ координаттар қатты таяқшалармен құру арқылы емес, жанама түрде анықталады. Дегенмен, физика мен астрономияның нәтижелері түсініксіз болып қалмауы үшін, орын көрсеткіштерінің физикалық мағынасы әрқашан жоғарыда айтылған талқылауларға сәйкес ізделуі керек.
Сонымен, мынадай қорытынды шығады: Оқиғаларды кез келген кеңістіктік сипаттау оқиғалар кеңістіктік тұрғыдан қатысты болатын қатты денені қажет етеді. Бұл қатынас «кесінділер» үшін Евклид геометриясының заңдары қолданылады деп есептейді, мұнда «кесінді» физикалық тұрғыдан қатты денедегі екі белгімен көрсетілген.
§ 3. Классикалық механикадағы кеңістік пен уақыт.
Егер мен ауыр күмәнсіз және егжей-тегжейлі түсіндірмесіз механиканың міндетін былай тұжырымдасам: «Механика денелердің уақыт өте келе кеңістіктегі өз орнын қалай өзгертетінін сипаттауы керек», онда мен анықтықтың қасиетті рухына қарсы кейбір өлімші күнәларды өз мойныма аламын; бұл күнәлар алдымен ашылуы керек.
Мұнда «орын» және «кеңістік» дегенді қалай түсіну керектігі түсініксіз. Мен бірқалыпты қозғалып бара жатқан пойыз вагонының терезесінде тұрмын және оған ешқандай серпін бермей, пойыз үйіндісіне (насыпь) бір тасты тастаймын. Содан кейін мен (ауа кедергісінің әсерін есептемегенде) тастың түзу сызықпен төмен түскенін көремін. Жаяу жүргінші жаяу жолдан бұл істі бақылап отырып, тастың жерге параболалық доға бойымен түскенін байқайды. Енді мен сұраймын: тас өтетін «орындар» «іс жүзінде» түзудің бойында ма, әлде параболада ма? Сонымен қатар «кеңістіктегі» қозғалыс нені білдіреді? Жауап § 2 пайымдауларынан кейін айдан анық. Біріншіден, біз адал мойындасақ, ешнәрсе елестете алмайтын «кеңістік» деген түсініксіз сөзді мүлдем былай қоямыз; оның орнына «іс жүзінде қатты тірек денесіне қатысты қозғалыс» деп қоямыз. Тірек денесіне (вагон немесе жер беті) қатысты орындар өткен параграфта егжей-тегжейлі анықталған болатын.
«Тірек денесінің» орнына математикалық сипаттама үшін пайдалы «координаттар жүйесі» ұғымын енгізе отырып, біз былай деп айта аламыз: тас вагонмен қатты байланысқан координаттар жүйесіне қатысты түзу сызықты, ал жермен қатты байланысқан координаттар жүйесіне қатысты параболаны сипаттайды. Бұл мысалдан траекторияның (қозғалыс жолының) өздігінен болмайтынын, тек белгілі бір тірек денесіне қатысты траекторияның болатынын анық көруге болады.
Қозғалыстың толық сипаттамасы дененің өз орнын уақыт өте келе қалай өзгертетінін көрсету арқылы ғана жүзеге асады; яғни траекторияның әрбір нүктесі үшін дененің сол жерде қай уақытта болатыны көрсетілуі тиіс. Бұл мәліметтер уақыттың сондай анықтамасымен толықтырылуы керек, бұл уақыт мәндері сол анықтама бойынша негізінен бақыланатын шамалар (өлшеу нәтижелері) ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл талапты біз — классикалық механика негізінде тұрып — өз мысалымыз үшін келесідей орындаймыз. Біз екі дәл бірдей сағатты елестетеміз; біреуі теміржол вагонының терезесіндегі адамда, екіншісі жаяу жолдағы адамның қолында. Екеуінің әрқайсысы қолындағы сағат соққанда (тықылдағанда) тастың тиісті тірек денесінің қай жерінде тұрғанын анықтайды. Бұл ретте жарықтың таралу жылдамдығының шектілігінен туындайтын дәлсіздікке тоқталмаймыз. Бұл және мұндағы екінші қиындық туралы кейінірек егжей-тегжейлі сөз болады.
§ 4. Галилейлік координаттар жүйесі.
Инерция заңы (денеге басқа денелер әсер етпегенде, оның тыныштық күйін немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалысын сақтау қасиеті) ретінде белгілі Галилей-Ньютон механикасының негізгі заңы былай дейді: басқа денелерден жеткілікті түрде алыс орналасқан дене тыныштық күйінде немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс күйінде қалады. Бұл сөйлем тек денелердің қозғалысы туралы ғана емес, сонымен бірге механикалық сипаттамада қолдануға болатын, механикада рұқсат етілген тірек денелері немесе координаттар жүйелері туралы да айтады. Инерция заңы үлкен жуықтаумен қолданылатын денелер — көрінетін тұрақты жұлдыздар.
Егер біз Жермен қатты байланысқан координаттар жүйесін қолдансақ, онда оған қатысты әрбір тұрақты жұлдыз бір (астрономиялық) күн ішінде инерция заңының тұжырымдамасына қайшы келетін орасан зор радиустағы шеңберді сипаттайды. Сондықтан, егер осы заңды ұстанатын болсақ, қозғалыстарды тек тұрақты жұлдыздар оған қатысты шеңберлік қозғалыстар жасамайтын координаттар жүйелеріне ғана жатқызуға болады. Қозғалыс күйі инерция заңы оған қатысты орындалатындай болатын координаттар жүйесін біз «Галилейлік координаттар жүйесі» деп атаймыз. Тек Галилейлік координаттар жүйесі үшін ғана Галилей-Ньютон механикасының заңдары күшіне ие болады.
§ 5. Салыстырмалылық принципі (тар мағынада).
Мүмкін болатын көрнекілікке қол жеткізу үшін біз тағы да бірқалыпты жүретін теміржол вагонының мысалына ораламыз. Оның қозғалысын біз бірқалыпты трансляция (дененің барлық нүктелері бірдей бағытта қозғалатын ілгерілемелі қозғалыс; «бірқалыпты», өйткені жылдамдығы мен бағыты тұрақты, «трансляция», өйткені вагон жолға қатысты өз орнын өзгерткенімен, бұл ретте айналмайды) деп атаймыз. Бір қарға — жол үйіндісінен бағалағанда — ауада түзу сызықты және бірқалыпты ұшып бара жатыр делік. Онда — жүріп бара жатқан вагоннан бағалағанда — қарғаның қозғалысы басқа жылдамдықпен және басқа бағыттағы қозғалыс болғанымен, ол да түзу сызықты және бірқалыпты болады. Абстрактілі түрде айтқанда:
Егер _m_ массасы _K_ координаттар жүйесіне қатысты түзу сызықты және бірқалыпты қозғалса, онда ол екінші _K′_ координаттар жүйесіне қатысты да түзу сызықты және бірқалыпты қозғалады, егер соңғысы _K_-ға қатысты бірқалыпты трансляциялық қозғалыста болса. Бұдан өткен параграфтың баяндалуын ескере отырып, мынадай қорытынды шығады:
Егер _K_ Галилейлік координаттар жүйесі болса, онда кез келген басқа _K′_ координаттар жүйесі де Галилейлік болады, егер _K′_ жүйесі _K_-ға қатысты бірқалыпты трансляциялық қозғалыс күйінде болса. _K′_-ге қатысты Галилей-Ньютон механикасының заңдары _K_-ға қатысты сияқты дәл солай қолданылады.
Біз жалпылауды тағы бір қадам алға жылжытып, мынадай сөйлемді айтамыз: Егер _K′_ жүйесі _K_-ға қатысты бірқалыпты және айналусыз қозғалатын координаттар жүйесі болса, онда табиғат барысы _K′_ жүйесінде де _K_ жүйесіндегідей дәл сол жалпы заңдар бойынша өтеді. Бұл тұжырымды біз «Салыстырмалылық принципі» (тар мағынада) деп атаймыз.
Барлық табиғат барысын классикалық механиканың көмегімен бейнелеуге болады деп сенген кезде, бұл салыстырмалылық принципінің дұрыстығына күмәндануға болмайтын еді. Бірақ электродинамика мен оптиканың соңғы дамуымен классикалық механиканың барлық физикалық табиғат сипаттамасы үшін негіз ретінде жеткіліксіз екені барған сайын айқын болды. Осылайша, салыстырмалылық принципінің дұрыстығы туралы мәселе талқылауға тұрарлық болды және бұл сұраққа жауап теріс болуы мүмкін емес болып көрінді.
Солай болса да, салыстырмалылық принципінің дұрыстығын қолдайтын екі жалпы факт бар. Атап айтқанда...
Классикалық механика +барлық+ физикалық құбылыстарды теориялық тұрғыдан сипаттау үшін жеткілікті кең негіз бола алмағанымен, оның шындыққа жанасатын мазмұны өте жоғары болуы тиіс; өйткені ол аспан денелерінің нақты қозғалыстарын таңғаларлық дәлдікпен сипаттайды. Сондықтан салыстырмалылық қағидасы (физикалық заңдардың барлық инерциалды жүйелерде бірдей сақталуы) +механика саласында+ кез келген жағдайда жоғары дәлдікпен орындалуы керек. Мұндай ауқымды жалпылыққа ие, бір құбылыстар саласында осындай дәлдікпен орындалатын қағиданың басқа құбылыстар саласында іске алғысыз болуы а приори (тәжірибеге дейінгі, алдын ала болжам) екіталай.
Кейінірек қайта оралатын екінші дәлел мынадай: егер салыстырмалылық қағидасы (тар мағынада) орындалмаса, онда бір-біріне қатысты бірқалыпты қозғалатын Галилейлік координаттар жүйелері _K_, _K′_, _K″_ және т.б. табиғат құбылыстарын сипаттау үшін +тең құқылы+ болмас еді. Онда табиғат заңдары тек барлық Галилейлік координаттар жүйелерінің ішінен белгілі бір қозғалыс күйіндегі +біреуі+ (_K₀_) санақ денесі ретінде таңдалғанда ғана ерекше қарапайым әрі табиғи түрде тұжырымдалады деп ойлауға болар еді. Оны біз (табиғатты сипаттаудағы артықшылықтарына байланысты) орынды түрде «абсолютті тыныштықтағы» жүйе деп атар едік, ал қалған Галилейлік _K_ жүйелерін «қозғалыстағы» жүйелер деп санар едік. Егер, мысалы, біздің теміржол табаны _K₀_ жүйесі болса, онда біздің пойыз вагоны _K_ жүйесі болар еді, оған қатысты _K₀_-ге қарағанда күрделірек заңдар орындалар еді. Бұл қарапайымдылықтың төмендігі _K_ вагонының _K₀_-ге қатысты («шын мәнінде») қозғалыста болуымен түсіндірілер еді. _K_-ге қатысты тұжырымдалған осы жалпы табиғат заңдарында вагонның жүру жылдамдығының шамасы мен бағыты маңызды рөл атқаруы тиіс еді. Мысалы, орган сырнайының дыбысы оның осі қозғалыс бағытына параллель қойылғанда және оған перпендикуляр қойылғанда әртүрлі болады деп күтілер еді. Бірақ біздің Жер Күнді айнала қозғалатындықтан, оны шамамен 20 км/с жылдамдықпен жүріп бара жатқан вагонмен салыстыруға болады. Сондықтан, салыстырмалылық қағидасы орындалмаған жағдайда, Жердің мезеттік қозғалыс бағыты табиғат заңдарына әсер етеді, яғни физикалық жүйелердің мінез-құлқы олардың Жерге қатысты кеңістіктегі бағдарына байланысты болады деп күтуге болар еді. Өйткені жыл бойы Жердің айналу жылдамдығы бағытының өзгеруіне байланысты, ол жыл бойы гипотетикалық _K₀_ жүйесіне қатысты тыныштықта бола алмайды. Алайда, барлық мұқияттылыққа қарамастан, жердегі физикалық кеңістіктің мұндай анизотропиясын (қасиеттердің бағытқа байланысты өзгеруі), яғни әртүрлі бағыттардың физикалық тұрғыдан тең еместігін ешқашан байқау мүмкін болмады. Бұл — салыстырмалылық қағидасының пайдасына айтылған өте салмақты дәлел.
§ 6. Классикалық механика бойынша жылдамдықтарды қосу теоремасы.
Жиі қарастырылатын пойыз вагоны рельс бойымен _v_ тұрақты жылдамдығымен қозғалып келеді. Пойыз вагонының ішінде бір адам вагонның ұзындығы бойымен, атап айтқанда, қозғалыс бағытында _w_ жылдамдығымен жүріп келе жатыр. Ол жүріп бара жатқанда теміржол табанына қатысты қаншалықты жылдам немесе қандай _W_ жылдамдығымен алға жылжиды? Жалғыз мүмкін болатын жауап мынадай пайымдаудан туындайтын сияқты:
Егер адам бір секунд бойы қозғалмай тұрса, ол теміржол табанына қатысты вагонның жүру жылдамдығына тең _v_ қашықтыққа алға жылжиды. Бірақ іс жүзінде ол осы секунд ішінде вагонға қатысты, демек теміржол табанына қатысты да өз жүрісімен оның жүру жылдамдығына тең _w_ қашықтықты өтеді. Олай болса, ол қарастырылып отырған секундта теміржол табанына қатысты жалпы алғанда:
_W_ = _v_ + _w_[CODE]
қашықтықты жүріп өтеді. Кейінірек біз классикалық механикаға сәйкес жылдамдықтарды қосу теоремасын білдіретін бұл пайымдаудың негізсіз екенін, яғни жаңағы жазылған заңның шын мәнінде дұрыс емес екенін көреміз. Әзірге біз оның дұрыстығына сүйенеміз.
§ 7. Жарықтың таралу заңы мен салыстырмалылық қағидасының айқын қайшылығы.
Физикада жарықтың бос кеңістікте таралу заңынан қарапайым заң кемде-кем. Кез келген мектеп оқушысы бұл таралудың түзу сызықты және _c_ = 300 000 км/сек жылдамдықпен жүретінін біледі немесе білемін деп ойлайды. Қалай болғанда да, біз бұл жылдамдықтың барлық түстер үшін бірдей екенін өте дәл білеміз; егер олай болмаса, қозғалмайтын жұлдызды оның күңгірт серігі жауып қалғанда, әртүрлі түстер үшін эмиссия (сәуле шығару) минимумы бір мезгілде байқалмас еді. Қос жұлдыздарды бақылауға негізделген ұқсас пайымдау арқылы голланд ақыны Де Ситтер жарықтың таралу жылдамдығы оны шығаратын дененің қозғалыс жылдамдығына тәуелді болмайтынын да көрсете алды. Бұл таралу жылдамдығының «кеңістіктегі» бағытқа тәуелді болуы туралы жорамалдың өзі екіталай.
Қысқасы, вакуумдағы (затсыз бос кеңістік) тұрақты жарық жылдамдығы _c_ туралы қарапайым заңға мектеп оқушысы орынды сенді деп алайық! Осы қарапайым заң мұқият ойланатын физикті үлкен зияткерлік қиындықтарға тап қалдырды деп кім ойлаған? Бұл қиындықтар төмендегідей туындайды.
Әрине, біз жарықтың таралу процесс (барыс)ін кез келген басқа құбылыс сияқты қатты санақ денесіне (координаттар жүйесіне) қатысты қарастыруымыз керек. Санақ денесі ретінде тағы да теміржол табанын таңдаймыз. Оның үстіндегі ауаны сорып алынған деп есептейік. Теміржол табанының бойымен жарық сәулесі жіберілсін, оның төбесі жоғарыда айтылғандай теміржол табанына қатысты _c_ жылдамдығымен таралады. Рельс бойымен тағы да біздің пойыз вагоны _v_ жылдамдығымен жарық сәулесі таралатын бағытта, бірақ, әрине, әлдеқайда баяу қозғалып бара жатсын. Біз жарық сәулесіның вагонға қатысты таралу жылдамдығын сұраймыз. Мұнда алдыңғы параграфтағы пайымдауды қолдануға болатыны анық көрініп тұр; өйткені пойыз вагонына қатысты жүгіріп бара жатқан адам жарық сәулесінің рөлін атқарады. Оның теміржол табанына қатысты _W_ жылдамдығының орнына мұнда жарықтың оған қатысты жылдамдығы келеді; _w_ — жарықтың вагонға қатысты ізделіп отырған жылдамдығы, ол үшін мынау орындалады:
_w_ = _c_ − _v_[CODE]
Жарық сәулесінің вагонға қатысты таралу жылдамдығы осылайша _c_-ден кіші болып шығады.
Бірақ бұл нәтиже § 5-те баяндалған салыстырмалылық қағидасына қайшы келеді. Салыстырмалылық қағидасына сәйкес, вакуумдағы жарықтың таралу заңы кез келген басқа жалпы табиғат заңы сияқты, пойыз вагоны санақ денесі болғанда да, рельс табаны санақ денесі болғандағыдай тұжырымдалуы тиіс. Бірақ біздің пайымдауымыз бойынша бұл мүмкін емес болып көрінеді. Егер әрбір жарық сәулесі табанға қатысты _c_ жылдамдығымен таралса, дәл осы себепті вагонға қатысты жарықтың таралу заңы басқаша болуы тиіс сияқты — бұл салыстырмалылық қағидасына қайшы келеді.
Осы дилеммаға (екіұдай таңдау) байланысты не салыстырмалылық қағидасынан, не вакуумдағы жарықтың таралу заңынан бас тарту қажет болып көрінеді. Әрине, осы уақытқа дейінгі баяндауды мұқият қадағалаған оқырман, өзінің табиғилығымен және қарапайымдылығымен санаға дерлік бұлжытпастай көрінетін салыстырмалылық қағидасын сақтап қалу керек, ал вакуумдағы жарықтың таралу заңын салыстырмалылық қағидасымен үйлесетін күрделірек заңмен алмастыру керек деп күтетіні анық. Бірақ теориялық физиканың дамуы бұл жолдың мүмкін емес екенін көрсетті. Х. А. Лоренц-тің қозғалыстағы денелердегі электродинамикалық және оптикалық құбылыстар туралы іргелі теориялық зерттеулері бұл салалардағы тәжірибелердің электромагниттік құбылыстар теориясына еріксіз алып келетінін көрсетті, ал бұл теориядан вакуумдағы жарық жылдамдығының тұрақтылық заңы бұлжытпас салдар ретінде шығады. Сондықтан жетекші теоретиктер бұл қағидаға қайшы келетін бірде-бір тәжірибелік дерек табылмағанына қарамастан, салыстырмалылық қағидасын жоққа шығаруға бейім болды.
Осы тұста салыстырмалылық теориясы іске кірісті. Уақыт пен кеңістіктің физикалық ұғымдарын талдау арқылы +шын мәнінде салыстырмалылық қағидасы мен жарықтың таралу заңының арасында ешқандай қайшылық жоқ екені+ , керісінше, осы екі заңды жүйелі түрде ұстану арқылы логикалық тұрғыдан мінсіз теорияға қол жеткізуге болатыны анықталды. Біз оны кейінірек талқыланатын кеңейтілген түрінен ажырату үшін «арнайы салыстырмалылық теориясы» деп атаймыз және төменде оның негізгі идеяларын баяндаймыз.
§ 8. Физикадағы уақыт ұғымы туралы.
Біздің теміржол табанының бір-бірінен алыс орналасқан _A_ және _B_ нүктелеріне найзағай түсті. Мен бұл екі соққы +бір мезгілде+ болды деген тұжырым қосамын. Егер мен сізден, құрметті оқырман, бұл тұжырымның мағынасы бар ма деп сұрасам, сіз маған сеніммен «Иә» деп жауап бересіз. Бірақ мен сізден бұл тұжырымның мағынасын дәлірек түсіндіруді өтінсем, біраз ойланғаннан кейін бұл сұрақтың жауабы бір қарағанда көрінгендей оңай емес екенін байқайсыз.
Біраз уақыттан кейін ойыңызға мынадай жауап келуі мүмкін: «Тұжырымның мәні өздігінен түсінікті және одан әрі түсіндіруді қажет етпейді; бірақ егер маған нақты жағдайда екі оқиғаның бір мезгілде болған-болмағанын бақылау арқылы анықтау тапсырылса, біраз ойлануыма тура келер еді». Бірақ мен мынадай себеппен бұл жауапқа қанағаттана алмаймын. Айталық, білікті метеоролог (ауа райын зерттейтін маман) терең пайымдаулар арқылы _A_ және _B_ нүктелеріне әрқашан бір мезгілде найзағай түсуі керек екенін анықтады делік, онда бұл теориялық нәтиженің шындыққа сәйкес келетін-келмейтінін тексеру міндеті туындайды. «Бір мезгілде» ұғымы рөл атқаратын барлық физикалық тұжырымдар да дәл осындай. Бұл ұғым физик үшін нақты жағдайда оның орындалатынын немесе орындалмайтынын анықтау мүмкіндігі болғанда ғана өмір сүреді. Демек, бірмезгілділікке сондай анықтама қажет, ол анықтама берілген жағдайда тәжірибелер арқылы екі найзағай соққысының бір мезгілде болған-болмағанын шешуге мүмкіндік беретін әдісті ұсынуы тиіс. Бұл талап орындалмайынша, мен физик ретінде (әрине, физик емес адам ретінде де!) бірмезгілдік туралы айтқанда, оның мағынасын түсінемін деп өзімді иллюзиямен (жалған елес) алдаған боламын. (Құрметті оқырман, бұған толық сенбейінше, әрі қарай оқымаңыз.)
Біраз ойланғаннан кейін сіз бірмезгілділікті анықтау үшін мынадай ұсыныс жасайсыз. _AB_ қосу бөлігі рельс бойымен өлшеніп, оның ортасына _M_ бақылаушы қойылады, ол бақылаушы екі орынды _A_ және _B_ бір мезгілде оптикалық тіркеуге мүмкіндік беретін құрылғымен (мысалы, бір-біріне 90° бұрышпен қисайған екі айна) жабдықталған. Егер ол екі найзағай соққысын бір мезгілде қабылдаса, онда олар бір мезгілде болған деп есептеледі.
Мен бұл ұсынысқа өте ризамын, бірақ мынадай қарсылық білдіруге мәжбүр болғандықтан, мәселені толық шешілді деп санамаймын: «Егер мен _M_-дегі бақылаушыға найзағай соққысын қабылдауға көмектесетін жарықтың _A_ ⟶ _M_ бөлігінде де, _B_ ⟶ _M_ бөлігінде де бірдей жылдамдықпен таралатынын білсем, сіздің анықтамаңыз сөзсіз дұрыс болар еді. Бірақ бұл алғышартты тексеру уақытты өлшеу құралдары болғанда ғана мүмкін болар еді. Демек, бұ жерде логикалық тұйық шеңбер пайда болатын сияқты».
Біраз ойланғаннан кейін сіз маған орынды түрде сәл менсінбеумен қарап, былай дейсіз: «Мен бәрібір өз анықтамамды қолдаймын, өйткені ол іс жүзінде жарық туралы ештеңені алдын ала болжамайды. Бірмезгілділік анықтамасына қойылатын +жалғыз+ талап — ол әрбір нақты жағдайда анықталатын ұғымның орындалатыны немесе орындалмайтыны туралы эмпирикалық шешім қабылдауға мүмкіндік беруі керек. Менің анықтамам мұны істей алатыны даусыз. Жарыққа _A_ ⟶ _M_ жолын және _B_ ⟶ _M_ жолын өту үшін бірдей уақыт қажет екендігі — шын мәнінде жарықтың физикалық табиғаты туралы +алғышарт немесе болжам+ емес, бірмезгілділік анықтамасына қол жеткізу үшін мен өз еркіммен қабылдай алатын +келісім+ ».
Бұл анықтаманы тек +екі+ оқиғаның ғана емес, сонымен бірге оқиға орындары санақ денесіне (мұнда теміржол табаны) қатысты қалай орналасса да, кез келген оқиғалар санының бірмезгілділігі туралы тұжырымға нақты мағына беру үшін қолдануға болатыны анық. Осылайша физикадағы «уақыт» ұғымының анықтамасына қол жеткізіледі. Рельстің (координаттар жүйесінің) _A_, _B_, _C_ нүктелерінде бірдей сапалы сағаттар қойылған және олардың тілдерінің көрсеткіштері бір мезгілде (жоғарыдағы мағынада) бірдей болатындай етіп реттелген деп елестетейік. Онда оқиғаның «уақыты» деп осы оқиғаға (кеңістікте) тікелей жақын орналасқан сағаттың көрсеткішін (тілдерінің орнын) атаймыз. Осылайша әрбір оқиғаға принципті түрде бақылауға болатын уақыт мәні сәйкестендіріледі.
Бұл келісімде әлі де физикалық гипотеза (жорамал) бар, оның дұрыстығына эмпирикалық себептерсіз күмәндану қиын. Атап айтқанда, егер бұл сағаттардың барлығы бірдей сапалы болса, олар «бірдей жылдамдықпен» жүреді деп есептеледі. Дәл тұжырымдасақ: егер санақ денесінің әртүрлі жерлерінде тыныштықта орналасқан екі сағат бір сағаттың +бір+ көрсеткіші екінші сағаттың +сондай+ көрсеткішімен +бір мезгілде+ (жоғарыдағы мағынада) болатындай етіп орнатылса, онда бірдей көрсеткіштер жалпы алғанда бір мезгілде болады (жоғарыдағы анықтама мағынасында).
§ 9. Бірмезгілділіктің салыстырмалылығы.
Осы уақытқа дейін біз барлық пайымдауларды «теміржол табаны» деп атаған белгілі бір санақ денесіне қатысты қарастырдық. Енді рельс бойымен 1-суретте көрсетілген бағытта _v_ тұрақты жылдамдығымен өте ұзын пойыз жүріп бара жатсын. Осы пойызда жүріп бара жатқан адамдар пойызды қатны санақ денесі (координаттар жүйесі) ретінде тиімді пайдаланады; олар барлық оқиғаларды пойызға қатысты қарастырады. Рельс бойында болатын әрбір оқиға пойыздың белгілі бір нүктесінде де болады. Бірмезгілділік анықтамасын теміржол табанына қатысты сияқты, пойызға қатысты да дәл солай беруге болады. Бірақ енді табиғи түрде мынадай сұрақ туындайды:
Теміржол табанына қатысты бір мезгілде болатын екі оқиға (мысалы, екі найзағай соққысы _A_ және _B_), пойызға қатысты да бір мезгілде бола ма? Біз қазір жауаптың теріс болуы тиіс екенін көрсетеміз.
Егер біз _A_ және _B_ найзағай соққылары теміржол табанына қатысты бір мезгілде болды десек, бұл: _A_ және _B_ найзағай орындарынан шығатын жарық сәулелері _A–B_ теміржол табаны бөлігінің _M_ ортасында кездеседі дегенді білдіреді. Бірақ _A_ және _B_ оқиғаларына пойыздағы _A_ және _B_ орындары да сәйкес келеді. Қозғалып бара жатқан пойыздың _A—B_ бөлігінің ортасы _M′_ болсын. Бұл _M′_ нүктесі найзағай соққан сәтте _M_ нүктесімен сәйкес келгенімен, суретте пойыздың _v_ жылдамдығымен оңға қарай қозғалады. Егер пойызда _M′_ нүктесінде отырған бақылаушының мұндай жылдамдығы болмаса, ол үнемі _M_ нүктесінде қалар еді және оған _A_ және _B_ найзағай соққыларынан шыққан жарық сәулелері бір мезгілде жетер еді, яғни бұл екі сәуле дәл оның қасында кездесер еді. Бірақ іс жүзінде ол (теміржол табанынан қарағанда) _B_-ден келе жатқан жарық сәулесіне қарай ұмтылады, ал _A_-дан келе жатқан жарық сәулесінен алға қарай қашады. Олай болса, бақылаушы _B_-ден шыққан жарық сәулесін _A_-дан шыққан сәулеге қарағанда ертерек көреді. Демек, теміржол пойызын санақ денесі ретінде пайдаланатын бақылаушылар _B_ найзағайы _A_ найзағайынан ертерек соқты деген қорытындыға келуі тиіс. Осылайша біз маңызды нәтижеге қол жеткіземіз:
Теміржол табанына қатысты бір мезгілде болатын оқиғалар пойызға қатысты бір мезгілде болмайды және керісінше (бірмезгілділіктің салыстырмалылығы). Әрбір санақ денесінің (координаттар жүйесінің) өз уақыты болады; уақытты көрсетудің мағынасы тек сол уақыт жататын санақ денесі көрсетілгенде ғана болады.
Физика салыстырмалылық теориясына дейін уақыт көрсеткіштерінің мағынасы абсолютті, яғни санақ денесінің қозғалыс күйіне тәуелсіз деп үнсіз есептеп келді. Бірақ бұл алғышарттың бірмезгілділіктің ең жақын анықтамасымен үйлеспейтінін біз жаңа ғана көрдік; егер одан бас тартсақ, § 7-де баяндалған вакуумдағы жарықтың таралу заңы мен салыстырмалылық қағидасының арасындағы қайшылық жойылады.
Ол қайшылыққа § 6-дағы пайымдау алып келеді, ол енді негізсіз болып табылады. Біз ол жерде вагон ішіндегі адам вагонға қатысты _w_ қашықтықты +бір секундта+ жүріп өтсе, бұл қашықтықты теміржол табанына қатысты да +бір секундта+ жүріп өтеді деп қорытындыладық. Бірақ енді ғана жасалған пайымдауларға сәйкес, вагонға қатысты белгілі бір барысқа қажетті уақытты теміржол табаны санақ денесі ретінде қарастырылғандағы сол барыстың ұзақтығына тең деп санауға болмайтындықтан, адамның рельске қатысты өз жүрісімен _w_ қашықтықты — теміржол табанынан қарағанда — бір секундқа тең уақытта жүріп өтеді деп айтуға болмайды.
§ 6-дағы пайымдау тағы бір екінші алғышартқа негізделген, ол қатаң пайымдау тұрғысынан, салыстырмалылық теориясы жасалғанға дейін әрқашан (үнсіз) қабылданғанымен, ерікті болып көрінеді.
§ 10. Кеңістіктік қашықтық ұғымының салыстырмалылығы туралы.
Біз теміржол табаны бойымен _v_ жылдамдығымен жүріп бара жатқан пойыздың екі белгілі бір нүктесін қарастырамыз және олардың арасындағы қашықтықты сұраймыз. Біз қашықтықты өлшеу үшін оған қатысты қашықтық өлшенетін санақ денесі қажет екенін білеміз. Ең қарапайымы — пойыздың өзін санақ денесі (координаттар жүйесі) ретінде пайдалану. Пойызда жүріп бара жатқан бақылаушы қашықтықты өлшеу үшін өзінің өлшеуіш таяғын түзу сызық бойымен, айталық вагон едендері бойымен, бір белгіленген нүктеден екіншісіне жеткенше неше рет қойылғанын санайды. Таяқтың неше рет қойылғанын көрсететін сан — ізделіп отырған қашықтық болады.
Егер қашықтықты рельс табанынан қарап бағалау керек болса, жағдай басқаша болады. Мұнда мынадай әдіс ұсынылады. Пойыздың қашықтығы өлшенуі тиіс екі нүктесін _A′_ және _B′_ деп атасақ, бұл екі нүкте теміржол табаны бойымен _v_ жылдамдығымен қозғалып келеді.
қозғалады. Біз алдымен теміржол төсемінің (теміржол бойындағы топырақ үйіндісі) А және В нүктелерін анықтаймыз, бұл нүктелерден пойыздың А′ және В′ нүктелері белгілі бір уақытта t — теміржол төсемінен бағалағанда — дәл өтіп бара жатады. Теміржол төсемінің бұл А және В нүктелерін 8-параграфта берілген уақыт анықтамасының көмегімен табуға болады. Содан кейін теміржол төсемінің бойымен метрлік таяқшаны қайталап қою арқылы осы А және В нүктелерінің арақашықтығы өлшенеді.
Бұл соңғы өлшемнің алғашқысымен бірдей нәтиже беретіні а priori (тәжірибесіз-ақ алдын ала белгілі нәрсе) мүлдем анық емес. Демек, теміржол төсемінен өлшенген пойыздың ұзындығы пойыздан өлшенген ұзындықтан өзгеше болуы мүмкін. Бұл жағдай 6-параграфтағы өте айқын болып көрінген пайымдауға қарсы екінші қарсылықты тудырады. Атап айтқанда, егер вагондағы адам уақыт бірлігінде — пойыздан өлшегенде — w қашықтықты жүріп өтсе, бұл қашықтық — теміржол төсемінен өлшегенде — міндетті түрде w-ға тең болуы шарт емес.
§ 11. Лоренц түрлендіруі.
Соңғы үш параграфтағы толғаныстар бізге жарықтың таралу заңы мен салыстырмалылық қағидатының арасындағы 7-параграфта байқалған қайшылықтың классикалық механикадан алынған, еш негізсіз екі жорамалға сүйенгенін көрсетеді. Бұл жорамалдар (гипотезалар) мынадай: [LEAD]
- Екі оқиға арасындағы уақыт аралығы санақ денесінің қозғалыс күйіне тәуелсіз.
- Қатты дененің екі нүктесі арасындағы кеңістіктік қашықтық санақ денесінің қозғалыс күйіне тәуелсіз.
Егер бұл жорамалдардан бас тартсақ, 7-параграфтағы тығырық жойылады, өйткені 6-параграфта шығарылған жылдамдықтарды қосу теоремасы күшін жояды. Осылайша, вакуумдағы (кеңістіктегі) жарықтың таралу заңы салыстырмалылық қағидатымен үйлесімді болуы мүмкін деген ықтималдық туындайды. Енді біз мынадай сұраққа келеміз: тәжірибеден алынған осы екі іргелі нәтиже арасындағы қайшылықты жою үшін 6-параграфтағы пайымдауды қалай өзгерту керек? Бұл сұрақ жалпы сипаттағы мәселеге алып келеді. 6-параграфтағы пайымдауда пойыз бен теміржол төсеміне қатысты орындар мен уақыттар қарастырылады. Егер оқиғаның теміржол төсеміне қатысты орны мен уақыты белгілі болса, оның пойыздағы орны мен уақытын қалай табуға болады? Бұл сұраққа вакуумдағы жарықтың таралу заңы салыстырмалылық қағидатына қайшы келмейтіндей қисынды жауап бар ба? Басқаша айтқанда: әрбір жарық сәулесі теміржол төсеміне және пойызға қатысты бірдей с таралу жылдамдығына ие болатындай, екі санақ денесіне қатысты оқиғалардың орны мен уақыты арасында байланыс (реляция) орнату мүмкін бе? Бұл сұраққа оң әрі нақты жауап бар: ол бір санақ денесінен екіншісіне өткенде оқиғаның кеңістік-уақыттық шамалары үшін қолданылатын нақты бір түрлендіру заңы.
Бұған тоқталмас бұрын, мынадай аралық толғанысты енгізейік. Осы уақытқа дейін біз тек теміржол төсемінің бойында болған оқиғаларды ғана қарастырдық, ол математикалық тұрғыдан түзу сызық қызметін атқарды. Бірақ 2-параграфта айтылғандай, бұл санақ денесін жан-жағына және жоғары қарай таяқшалардан жасалған қаңқа (құрылым) түрінде елестетуге болады, сонда кез келген жерде болған оқиғаны осы қаңқаға қатысты орналастыруға мүмкіндік туады. Сол сияқты, v жылдамдығымен жүріп бара жатқан пойызды да бүкіл кеңістік бойынша жалғасып жатқан қаңқа деп елестетсек, кез келген алыстағы оқиғаны осы екінші қаңқаға қатысты да орналастыруға болады. Шын мәнінде бұл қаңқалар қатты денелердің өтімсіздігінен бір-бірін бұзып өтуі тиіс болса да, біз мұны ескермей-ақ іргелі қателіктерге ұрынбаймыз. Әрбір осындай қаңқада біз бір-біріне перпендикуляр үш қабырғаны бөліп көрсетіп, оларды «үйлестірімдер жазықтығы» («үйлестірімдер жүйесі») деп атаймыз. Сонда теміржол төсеміне K үйлестірімдер жүйесі, ал пойызға K′ үйлестірімдер жүйесі сәйкес келеді. Кез келген жерде болған оқиға K жүйесіне қатысты үйлестірім жазықтықтарына түсірілген үш x, y, z перпендикулярлары (лоты) арқылы кеңістіктік тұрғыдан, ал t уақыт мәні арқылы уақыттық тұрғыдан бекітіледі. Дәл сол оқиға K′ жүйесіне қатысты сәйкес x′, y′, z′, t′ мәндерімен бекітіледі, олар әрине x, y, z, t мәндерімен сәйкес келмейді. Бұл шамаларды физикалық өлшеулердің нәтижесі ретінде қалай түсіну керектігі бұрын егжей-тегжейлі баяндалған болатын.
Біздің мәселеміз нақты тұжырымдағанда былай болады: Егер оқиғаның K жүйесіндегі x, y, z, t мәндері берілсе, оның K′ жүйесіне қатысты x′, y′, z′, t′ мәндері қандай болады? Бұл қатынастар жарықтың вакуумда таралу заңы бір жарық сәулесі үшін (және кез келгені үшін) K және K′ жүйелерінде бірдей орындалатындай етіп таңдалуы тиіс. Бұл мәселе суретте (Fig. 2) көрсетілген үйлестірімдер жүйесінің салыстырмалы кеңістіктік бағыты үшін мына теңдеулер арқылы шешіледі:
x′ = (x−vt) / sqrt (1 − v²/c²)
y′ = y
z′ = z
t′ = (t − vx/c² ) / sqrt (1 − v²/c²)
Бұл теңдеулер жүйесі «Лоренц түрлендіруі» деп аталады.
Егер біз жарықтың таралу заңының орнына ескі механиканың уақыт пен ұзындықтың абсолюттік сипаты туралы жасырын жорамалдарын негізге алған болсақ, бұл түрлендіру теңдеулерінің орнына мынадай теңдеулерге келер едік:
x′ = x − vt
y′ = y
z′ = z
t′ = t
Бұл жүйе жиі «Галилей түрлендіруі» деп аталады. Галилей түрлендіруі Лоренц түрлендіруінен жарық жылдамдығы с-ны шексіз үлкен мәнге теңестіру арқылы шығады.
Лоренц түрлендіруіне сәйкес вакуумдағы жарықтың таралу заңы K және K′ санақ денелері үшін де орындалатынын мына мысалдан оңай көруге болады. Жарық сигналы оң x осі бойымен жіберілсін және жарық толқыны мына теңдеуге сәйкес:
x = ct
яғни с жылдамдығымен таралсын. Лоренц түрлендіруінің теңдеулеріне сәйкес, x пен t арасындағы бұл қарапайым байланыс x′ пен t′ арасындағы қатынасты да айқындайды. Шынында да, егер Лоренц түрлендіруінің бірінші және төртінші теңдеулеріне x-тың орнына ct мәнін қойсақ:
x′ = (c−v)t / sqrt (1−v²/c²)
t′ = (1−v/c)t / sqrt (1−v²/c²)
бұдан кейін оларды бір-біріне бөлу арқылы тікелей:
x′ = ct′
шығады. Бұл теңдеу бойынша, егер жарық толқыны K′ жүйесіне қатысты қарастырылса, ол сонда да с жылдамдығымен таралады. Кез келген басқа бағытта таралатын жарық сәулелері үшін де жағдай осындай. Бұл, әрине, таңқаларлық емес, өйткені Лоренц түрлендіруінің теңдеулері дәл осы тұрғыдан шығарылған.
§ 12. Қозғалыстағы таяқшалар мен сағаттардың әрекеті.
Мен метрлік таяқшаны K′ жүйесінің x′ осіне басы x′ = 0, ұшы x′ = 1 нүктесіне келетіндей етіп қоямын. Метрлік таяқшаның K жүйесіне қатысты ұзындығы қандай? Мұны білу үшін K жүйесінің белгілі бір t уақытында таяқшаның басы мен ұшы K-ға қатысты қай жерде орналасқанын сұрауымыз керек. Лоренц түрлендіруінің бірінші теңдеуінен бұл екі нүкте үшін мынаны табамыз:
x_{(таяқша басы)} = 0 · sqrt(1−v²/c²)
x_{(таяқша ұшы)} = 1 · sqrt(1−v²/c²)
бұл екі нүктенің арақашықтығы sqrt(1−v²/c²) болады. Бірақ K-ға қатысты метрлік таяқша v жылдамдығымен қозғалады. Демек, өз ұзындығының бағытында v жылдамдығымен қозғалатын қатты метрлік таяқшаның ұзындығы sqrt(1−v²/c²) метрді құрайды. Олай болса, қозғалыстағы қатты таяқша тыныштық күйіндегі дәл осындай таяқшадан қысқарақ болады және ол неғұрлым жылдам қозғалса, соғұрлым қысқара түседі. v = c жылдамдығы үшін sqrt(1−v²/c²) = 0 болар еді, ал одан да жоғары жылдамдықтар үшін түбір жорамал санға айналады. Бұдан біз салыстырмалылық теориясында с жылдамдығы кез келген нақты дене жете алмайтын немесе одан аса алмайтын шектеулі жылдамдық рөлін атқарады деген қорытынды жасаймыз.
Жылдамдық с-ның шектеулі жылдамдық ретіндегі бұл рөлі Лоренц түрлендіруінің теңдеулерінің өзінен-ақ шығады. Өйткені v шамасы с-дан үлкен болып таңдалса, бұл теңдеулер мағынасыз болып қалады. Керісінше, егер біз K жүйесіне қатысты тыныштықта тұрған метрлік таяқшаны қарастырсақ, оның K′ жүйесінен бағалағанда ұзындығы sqrt(1−v²/c²) болатынын табар едік; бұл біздің пайымдауларымыздың негізі болып табылатын салыстырмалылық қағидатына толық сәйкес келеді.
Түрлендіру теңдеулерінен өлшеуіш таяқшалар мен сағаттардың физикалық әрекеті туралы бірдеңе білуіміз керек екендігі а priori айқын. Өйткені x, y, z, t шамалары өлшеуіш таяқшалар мен сағаттар арқылы алынатын өлшеу нәтижелерінен басқа ештеңе емес. Егер біз Галилей түрлендіруін негізге алсақ, қозғалыс салдарынан таяқшаның қысқаруын байқамас едік.
Енді біз K′ жүйесінің бас нүктесінде (x′ = 0) тұрақты тыныштықта тұрған секундтық сағатты қарастырамыз. t′ = 0 және t′ = 1 осы сағаттың бірінен соң бірі болатын екі соғуы болсын. Бұл екі соғу үшін Лоренц түрлендіруінің бірінші және төртінші теңдеулері мынаны береді:
t = 0
және
t = 1/sqrt(1−v²/c²)
K жүйесінен бағалағанда, сағат v жылдамдығымен қозғалады; бұл санақ денесінен бағалағанда оның екі соғуының арасында бір секунд емес, 1/sqrt(1−v²/c²) секунд, яғни сәл көбірек уақыт өтеді. Сағат қозғалысының салдарынан тыныштық күйіне қарағанда баяу жүреді. Мұнда да с жылдамдығы қол жетпейтін шектеулі жылдамдық рөлін атқарады.
§ 13. Жылдамдықтарды қосу теоремасы. Физо тәжірибесі.
Іс жүзінде біз сағаттар мен өлшеуіш таяқшаларды тек жарық жылдамдығы с-мен салыстырғанда өте аз жылдамдықтармен ғана қозғалта алатындықтан, өткен параграфтың нәтижелерін шындықпен тікелей салыстыру мүмкін емес дерлік. Екінші жағынан, олар оқырманға өте оғаш көрінетіндіктен, мен енді теориядан осы уақытқа дейін айтылғандардан оңай шығатын және тәжірибе жүзінде тамаша расталған басқа бір салдарды келтіргім келеді.
6-параграфта біз классикалық механиканың жорамалдарынан шығатын бір бағыттағы жылдамдықтарды қосу теоремасын жасадық. Соны Галилей түрлендіруінен де (§ 11) оңай шығаруға болады. Вагондағы жүріп бара жатқан адамның орнына K′ үйлестірімдер жүйесіне қатысты мына теңдеу бойынша:
x′ = wt′
қозғалатын нүктені енгіземіз. Галилей түрлендіруінің бірінші және төртінші теңдеулерінен x′ пен t′-ті x пен t арқылы өрнектеп, мынаны аламыз:
x = (v + w) t
Бұл теңдеу нүктенің K жүйесіне қатысты (адамның теміржол төсеміне қатысты) қозғалыс заңынан басқа ештеңені білдірмейді, бұл жылдамдықты біз W деп белгілейміз, сонда 6-параграфтағыдай мынау шығады:
W = v + w (A)
Бірақ біз бұл пайымдауды салыстырмалылық теориясына сүйеніп те жүргізе аламыз. Онда x′ = wt′ теңдеуіндегі x′ пен t′-ті Лоренц түрлендіруінің бірінші және төртінші теңдеулерін қолдана отырып, x пен t арқылы өрнектеу керек. Сонда (A) теңдеуінің орнына мына теңдеуді аламыз:
W = (v + w) / (1 + vw/c²) (B)
бұл салыстырмалылық теориясы бойынша бір бағыттағы жылдамдықтарды қосу теоремасына сәйкес келеді. Ендігі мәселе — осы екі теореманың қайсысы тәжірибеге төтеп бере алатынында. Бұл туралы бізге осыдан жарты ғасырдан астам уақыт бұрын данышпан физик Физо жасаған және содан бері ең үздік экспериментатор-физиктер қайталаған, нәтижесі күмән тудырмайтын өте маңызды тәжірибе мәлімет береді. Тәжірибе мынадай сұрақты қарастырады: Тыныштықтағы сұйықтықта жарық белгілі бір w жылдамдығымен таралсын. Егер суреттегі R түтігі арқылы аталған сұйықтық v жылдамдығымен ағып жатса, жарық көрсетілген бағытта қандай жылдамдықпен таралады?
Мұнда тағы да 6-параграфтағы тапсырма тұрғаны анық. Түтік теміржол төсемінің немесе K үйлестірімдер жүйесінің рөлін, сұйықтық вагонның немесе K′ үйлестірімдер жүйесінің рөлін, ал жарық вагонда жүгіріп бара жатқан адамның немесе осы параграфтағы қозғалыстағы нүктенің рөлін атқарады. Егер W арқылы жарықтың түтікке қатысты жылдамдығын белгілесек, ол шындыққа Галилей түрлендіруі немесе Лоренц түрлендіруі сәйкес келетініне байланысты (A) немесе (B) теңдеуімен беріледі.
Тәжірибе салыстырмалылық теориясынан шыққан (B) теңдеуін өте дәл растайды. Зееманның соңғы, нақтыланған өлшеулері бойынша v ағын жылдамдығының жарықтың таралуына әсері (B) формуласымен 1 пайыздан да жоғары дәлдікпен сипатталады.
Айта кету керек, бұл құбылыстың теориясын салыстырмалылық теориясы жасалғанға дейін көп уақыт бұрын Х. А. Лоренц материяның электромагниттік құрылымы туралы нақты жорамалдарды қолдана отырып, таза электродинамикалық жолмен берген болатын. Бірақ бұл жағдай тәжірибенің салыстырмалылық теориясының пайдасына experimentum crucis (шешуші тәжірибе) ретіндегі дәлелдік күшін еш төмендетпейді. Өйткені бастапқы теория негізделген Максвелл-Лоренц электродинамикасы салыстырмалылық теориясына еш қайшы келмейді. Керісінше, соңғысы электродинамикадан өсіп шықты, ол электродинамика негізделген бұрынғы бір-біріне тәуелсіз жорамалдарды таңқаларлық қарапайым жинақтау және жалпылау болып табылады.
§ 14. Салыстырмалылық теориясының эвристикалық құндылығы.
Эвристикалық (heuristisch) — жаңа ғылыми деректерді немесе заңдылықтарды іздеп табуға көмектесетін тәсіл.
Осы уақытқа дейін айтылған ой жүйесін қысқаша былай түйіндеуге болады. Тәжірибе бір жағынан (тар мағынадағы) салыстырмалылық қағидатының орындалатынына, екінші жағынан вакуумдағы жарықтың таралу жылдамдығын с тұрақтысына тең деп алу керектігіне сенім ұялатты. Осы екі постулатты біріктіру арқылы табиғат құбылыстарын құрайтын оқиғалардың тікбұрышты x, y, z үйлестірімдері мен t уақыты үшін түрлендіру заңы шықты, бұл заң Галилей түрлендіруі емес, (классикалық механикадан өзгеше) Лоренц түрлендіруі болып шықты.
Бұл ой желісінде біздің нақты білімімізбен дәлелденген жарықтың таралу заңы маңызды рөл атқарды. Бірақ біз Лоренц түрлендіруін меңгергеннен кейін, оны салыстырмалылық қағидатымен біріктіріп, теорияны мынадай тұжырыммен жинақтай аламыз:
Кез келген жалпы табиғат заңы мынадай қасиетке ие болуы тиіс: егер бастапқы K үйлестірімдер жүйесінің кеңістік-уақыттық x, y, z, t айнымалыларының орнына K′ үйлестірімдер жүйесінің жаңа x′, y′, z′, t′ кеңістік-уақыттық айнымалыларын енгізсе, ол заң дәл сондай пішіндегі заңға ауысуы керек; бұл ретте штрихталған және штрихталмаған шамалар арасындағы математикалық байланыс Лоренц түрлендіруі арқылы беріледі. Қысқаша айтқанда: жалпы табиғат заңдары Лоренц түрлендірулеріне қатысты ковариантты. [IMPORTANT]
Коварианттылық — үйлестірімдер жүйесі өзгергенде заңның математикалық формасының сақталуы.
Бұл — салыстырмалылық теориясы табиғат заңына қоятын нақты математикалық шарт; осы арқылы ол жалпы табиғат заңдарын іздеуде құнды эвристикалық көмекші құралға айналады. Егер осы шартқа сәйкес келмейтін жалпы табиғат заңы табылса, онда теорияның екі негізгі алғышартының кем дегенде біреуі теріске шығарылған болар еді. Енді соңғысының осы уақытқа дейін қандай жалпы нәтижелер бергенін көрейік.
§ 15. Теорияның жалпы нәтижелері.
Осыған дейінгі баяндалғандардан (арнайы) салыстырмалылық теориясының электродинамика мен оптикадан өсіп шыққаны көрініп тұр. Бұл салаларда ол теорияның тұжырымдарын көп өзгерткен жоқ, бірақ теориялық құрылымды, яғни заңдардың шығарылуын айтарлықтай жеңілдетті және — бұдан да маңыздысы — теория негізделген бір-біріне тәуелсіз жорамалдардың санын едәуір азайтты. [LEAD]
Ол Максвелл-Лоренц теориясына сондай дәрежедегі айқындық бергені сонша, егер тәжірибе оның пайдасына азырақ сендіретіндей болса да, физиктер арасында бұл теория жалпыға бірдей қабылданған болар еді.
Классикалық механика арнайы салыстырмалылық теориясының талабымен сәйкес келуі үшін өзгертуді қажет етті. Бұл өзгеріс негізінен материяның жарық жылдамдығымен салыстырғанда өте аз емес v жылдамдықпен жылдам қозғалыстарына қатысты заңдарға ғана қатысты. Мұндай жылдам қозғалыстарды тәжірибеде тек электрондар мен иондардан ғана көреміз; басқа қозғалыстарда классикалық механика заңдарынан ауытқулар практикалық түрде байқалмайтындай тым аз. Аспан денелерінің қозғалысы туралы тек жалпы салыстырмалылық теориясында айтылады. Салыстырмалылық теориясы бойынша m массалы материалдық нүктенің кинетикалық энергиясы (қозғалыс қуаты) бұрыннан белгілі:
m v²/2
өрнегімен емес, мына өрнекпен беріледі:
mc² / sqrt(1 − v²/c²)
Егер v жылдамдығы жарық жылдамдығы с-ға жақындаса, бұл өрнек шексіздікке ұмтылады. Демек, үдеуге қаншалықты үлкен энергия жұмсалса да, жылдамдық әрқашан с-дан кіші болып қалуы тиіс. Егер кинетикалық теорияның өрнегін қатарға жіктесек, мынаны аламыз:
mc² + m v²/2 + 3/8 m v⁴/c² + ...
Егер v²/c² 1-ден әлдеқайда кіші болса, бұл мүшелердің үшіншісі тек классикалық механикада ғана ескерілген екіншісімен салыстырғанда әрқашан аз болады. Бірінші мүше mc² жылдамдыққа тәуелсіз, сондықтан материалдық нүктенің энергиясы жылдамдыққа қалай тәуелді екендігі туралы сұрақ туындағанда ол есепке алынбайды. Оның принципті маңызы туралы кейінірек айтылады.
Арнайы салыстырмалылық теориясы алып келген жалпы сипаттағы ең маңызды нәтиже масса ұғымына қатысты. Салыстырмалылыққа дейінгі физика іргелі маңызы бар екі сақталу заңын біледі, олар: энергияның сақталу заңы және массаның сақталу заңы; бұл екі іргелі заң бір-бірінен мүлдем тәуелсіз болып көрінетін. Салыстырмалылық теориясы арқылы олар бір заңға біріктірілді. Бұл қалай болғаны және бұл бірігуді қалай түсіну керектігі енді қысқаша баяндалады.
Салыстырмалылық қағидаты энергияның сақталу заңы тек бір K үйлестірімдер жүйесіне қатысты ғана емес, K-ға қатысты бірқалыпты ілгерілемелі қозғалыстағы кез келген K′ үйлестірімдер жүйесіне (қысқаша айтқанда, кез келген «Галилейлік» үйлестірімдер жүйесіне) қатысты да орындалуын талап етеді. Арасындағы өту үшін...
Мұндай екі жүйе арасындағы ауысу үшін классикалық механикадан айырмашылығы Лоренц түрлендіруі (Лоренц түрлендіруі — координаттар жүйесі ауысқанда кеңістік пен уақыт мәндерінің өзгеруін сипаттайтын математикалық теңдеулер) шешуші рөл атқарады.
Осы алғышарттарды Максвелл электродинамикасының негізгі теңдеулерімен байланыстыра отырып, салыстырмалы түрде қарапайым пайымдаулар арқылы мынадай бұлжытпас қорытынды шығаруға болады:
Жылдамдығы _v_ болатын, сәулелену түрінде _E₀_ энергиясын қабылдайтын және бұл ретте өз жылдамдығын өзгертпейтін дене энергиясының артуы мына мөлшерге тең болады:
E₀ / sqrt(1−v²/c²).
Олай болса, дененің ізделіп отырған энергиясы, кинетикалық энергия үшін бұған дейін көрсетілген өрнекті ескере отырып, мына формуламен беріледі:
(m + E₀ / c²) c² / sqrt((1−v²/c²).
Демек, дененің энергиясы _m + E₀ / c²_ массасы бар және _v_ жылдамдығымен қозғалатын дененің энергиясымен бірдей. Сондықтан былай деуге болады: егер дене _E₀_ энергиясын қабылдаса, оның инертті массасы (Инертті масса — дененің қозғалыс күйінің өзгеруіне қарсылық көрсету өлшемі) _E₀/c²_ мөлшеріне артады; дененің инертті массасы тұрақты емес, ол энергияның өзгеруіне қарай құбылмалы болады.
Денелер жүйесінің инертті массасын оның энергиясының өлшемі ретінде қарастыруға болады. Жүйе массасының сақталу заңы энергияның сақталу заңымен сәйкес келеді және ол тек жүйе энергияны қабылдамаған немесе шығармаған жағдайда ғана жарамды.
Кинетикалық энергияның өрнегін мына түрде жазсақ:
mc² + E₀ / sqrt(1−v²/c²)
бұған дейін назарымызды аударған _mc²_ түрі — дененің _E₀_ энергиясын қабылдағанға дейінгі ие болған энергиясы екенін көреміз.
Бұл қағиданы тәжірибемен тікелей салыстыру әзірге мүмкін емес, өйткені біз жүйеге бере алатын _E₀_ энергия өзгерістері жүйенің инертті массасының өзгеруі ретінде байқалуы үшін жеткілікті емес. _E₀/c²_ шамасы энергия өзгерісіне дейінгі _m_ массасымен салыстырғанда тым аз. Осы жағдайға байланысты массаның сақталу заңы дербес күшке ие қағида ретінде сәтті қолданылып келді.
Тағы бір маңызды ескерту. Фарадей-Максвелл электромагниттік қашықтықтан әсер етуді шекті таралу жылдамдығы бар аралық барыстар арқылы түсіндіруі физиктер арасында мынадай сенімді тудырды: Ньютон тартылыс заңы секілді делдалсыз, лездік қашықтықтан әсер ету құбылысы болмайды. Салыстырмалылық теориясына сәйкес, лездік қашықтықтан әсер етудің немесе шексіз жылдамдықпен таралатын әсердің орнын әрқашан жарық жылдамдығымен таралатын қашықтықтан әсер ету басады. Бұл осы теориядағы _c_ жылдамдығы атқаратын іргелі рөлмен байланысты. Екінші бөлімде бұл нәтиженің жалпы салыстырмалылық теориясында қалай өзгеретіні көрсетіледі.
§ 16. Арнайы салыстырмалылық теориясы және тәжірибе.
Арнайы салыстырмалылық теориясының тәжірибе арқылы қаншалықты дәлелденгені туралы сұраққа жауап беру оңай емес. Бұған Физо (Арман Ипполит Луи Физо — француз физигі) іргелі тәжірибесі кезінде айтылған себеп негіз болады. Арнайы салыстырмалылық теориясы электромагниттік құбылыстардың Максвелл-Лоренц теориясынан бөлініп шықты. Сондықтан сол электромагниттік теорияны растайтын барлық тәжірибелік деректер салыстырмалылық теориясын да қолдайды.
Мұнда өте маңызды нәрсе ретінде мынаны айтамын: салыстырмалылық теориясы қозғалмайтын жұлдыздардан бізге келетін жарыққа Жердің сол жұлдыздарға қатысты салыстырмалы қозғалысының тигізетін әсерін тәжірибемен сәйкес келетін өте қарапайым жолмен анықтауға мүмкіндік береді. Бұл — Жердің Күнді айнала қозғалуы салдарынан жұлдыздардың көрінерлік орнының жыл сайынғы ауытқуы (аберрация — бақылаушының қозғалысы салдарынан аспан шырақтарының көрінерлік бағытының өзгеруі) және жұлдыздардың Жерге қатысты салыстырмалы қозғалысының радиалды құраушысының бізге жететін жарық түсіне әсері; соңғы әсер жұлдыздан келетін жарықтың спектрлік сызықтарының жердегі жарық көзінен алынған дәл сондай спектрлік сызықтың орнына қарағанда сәл ығысуынан байқалады (Доплер қағидасы — бақылаушы мен жарық көзінің бір-біріне қатысты қозғалысынан толқын жиілігінің өзгеруі). Максвелл-Лоренц теориясын қолдайтын, сонымен бірге салыстырмалылық теориясының дәлелі болып табылатын эксперименттік дәйектер өте көп, сондықтан олардың бәрін мұнда баяндау мүмкін емес. Олар іс жүзінде теориялық мүмкіндіктерді сондайлық шектейді, сондықтан Максвелл-Лоренц теориясынан басқа ешбір теория тәжірибе алдында өз өміршеңдігін дәлелдей алмады.
Алайда, осы уақытқа дейін анықталған эксперименттік деректердің екі тобы бар, оларды Максвелл-Лоренц теориясы тек қосымша болжамды (гипотезаны) енгізу арқылы ғана түсіндіре алады, ал ол болжам салыстырмалылық теориясынсыз оғаш көрінеді.
- Катодтық сәулелер мен радиоактивті заттардан шығатын β-сәулелер инерттілігі өте төмен және жылдамдығы үлкен теріс электрлі бөлшектерден (электрондардан) тұратыны белгілі. Осы сәулелердің электрлік және магниттік өрістер әсерінен ауытқуын зерттеу арқылы осы бөлшектердің қозғалыс заңын өте дәл зерделеуге болады.
Бұл электрондарды теориялық тұрғыдан қарастыруда электродинамиканың жалғыз өзі олардың табиғатын түсіндіре алмайтындығымен бетпе-бет келеміз. Өйткені бірдей таңбалы электрлік массалар бір-бірін итеретіндіктен, егер олардың арасында бізге беймәлім басқа сипаттағы күштер әсер етпесе, электронды құрайтын теріс электрлік массалар өздерінің өзара әрекеттесуінен жан-жаққа шашырап кетуі керек еді.
Егер енді электронды құрайтын электрлік массалардың арасындағы салыстырмалы қашықтықтар оның қозғалысы кезінде өзгермейді деп есептесек (классикалық механика мағынасындағы қатты байланыс), онда тәжірибеге сәйкес келмейтін қозғалыс заңына келеміз. Х. А. Лоренц (Хендрик Антон Лоренц — голланд физигі) бірінші болып, тек формальды тұрғыдан ғана, электрон денесі қозғалыс кезінде қозғалыс бағыты бойынша _sqrt(1−v²/c²)_ өрнегіне пропорционал сығылуға (контракцияға) ұшырайды деген болжам енгізді. Электродинамикалық тұрғыдан ешқандай негізі жоқ бұл болжам соңғы жылдары тәжірибеде үлкен дәлдікпен расталған қозғалыс заңын береді.
Салыстырмалылық теориясы электронның құрылымы мен мінез-құлқы туралы ешқандай арнайы болжамсыз-ақ дәл осы қозғалыс заңын береді. Дәл осындай жағдайды біз 13-параграфта Физо тәжірибесінен көрдік, онда сұйықтықтың физикалық табиғаты туралы болжам жасамай-ақ, салыстырмалылық теориясы қажетті нәтижені берді.
Мұнда көрсетілген деректердің екінші тобы Жердегі тәжірибелер кезінде оның әлемдік кеңістіктегі қозғалысы байқала ма деген сұраққа қатысты. 5-параграфта мұндай талпыныстардың бәрі теріс нәтиже бергені айтылды. Салыстырмалылық теориясы жасалғанға дейін ғылым бұл теріс нәтижені түсіндіруде қиналды; жағдай мынадай еді: Уақыт пен кеңістік туралы қалыптасқан түсініктер бір координаттар жүйесінен екіншісіне ауысу үшін Галилей түрлендіруі (Галилей түрлендіруі — классикалық механикадағы координаттарды ауыстыру ережелері) негізгі болып табылатынына күмән келтірмеді. Енді Максвелл-Лоренц теңдеулері бір _K_ жүйесі үшін орындалады деп есептесек, онда _K_-ға қатысты бірқалыпты қозғалатын _K′_ жүйесі үшін, егер _K_ мен _K′_ координаттары арасында Галилей түрлендіруі бар десек, бұл теңдеулер орындалмайтыны анықталады. Бұдан барлық Галилейлік координаттар жүйесінің ішінде қозғалыс күйі белгілі бір біреуі (_K_) физикалық тұрғыдан ерекшеленетін сияқты көрінеді. Физикалық тұрғыдан бұл нәтижені _K_ жүйесі гипотетикалық жарық эфиріне (эфир — жарық таралатын орта деп есептелген беймәлім зат) қатысты тыныштықта деп түсіндірді. Ал _K_-ға қатысты қозғалатын барлық _K′_ жүйелері эфирге қатысты қозғалыста болуы керек еді. _K′_-тің эфирге қатысты осы қозғалысына («эфир желісі») байланысты _K′_-те күрделірек заңдар орындалуы тиіс болатын. Сонымен қатар Жерге қатысты да осындай эфир желісі болуы керек еді және физиктер ұзақ уақыт бойы соны дәлелдеуге тырысты.
Ол үшін Майкельсон (Альберт Абрахам Майкельсон — американдық физик) сәтсіздікке ұшырауы мүмкін емес болып көрінген жол тапты. Қатты денеде бір-біріне шағылыстыратын жағымен қаратылған екі айна орналасқан деп елестетейік. Егер бұл жүйе жарық эфиріне қатысты тыныштықта болса, жарық сәулесіне бір айнадан екіншісіне барып қайту үшін белгілі бір _T_ уақыты қажет. Ал егер дене айналарымен бірге эфирге қатысты қозғалыста болса, бұл барыс үшін басқа _T′_ уақыты табылады. Тіпті одан да көп! Есептеулер көрсеткендей, эфирге қатысты берілген _v_ жылдамдығында, егер дене айна жазықтықтарына перпендикуляр қозғалса, бұл _T′_ уақыты дене айна жазықтықтарына параллель қозғалғандағы уақыттан басқаша болады. Бұл екі уақыт аралығының есептелген айырмашылығы өте аз болса да, Майкельсон мен Морли интерференциялық тәжірибе жүргізді, онда бұл айырмашылық анық көрінуі тиіс еді. Бірақ тәжірибе теріс нәтиже беріп, физиктерді үлкен тығырыққа тіреді. Лоренц пен Фитцджеральд дененің эфирге қатысты қозғалысы қозғалыс бағытында сығылуды тудырады, бұл аталған уақыт айырмашылығын жояды деп жорамалдап, теорияны осы тығырықтан алып шықты. 12-параграфтағы түсініктемелермен салыстыру көрсеткендей, бұл жол салыстырмалылық теориясы тұрғысынан да дұрыс болды. Бірақ жағдайды түсіну салыстырмалылық теориясы бойынша анағұрлым қанағаттанарлық. Ол бойынша эфир идеясын енгізуге себеп болатын ерекше координаттар жүйесі жоқ, демек, эфир желісі де, оны дәлелдейтін тәжірибе де жоқ.
Қозғалыстағы денелердің сығылуы (контракциясы) мұнда теорияның екі негізгі қағидасынан ешқандай арнайы болжамсыз-ақ шығады; бұл ретте сығылу үшін шешуші нәрсе — біз ешқандай мағына бере алмайтын қозғалыстың өзі емес, таңдалған тірек денесіне қатысты қозғалыс болып табылады. Осылайша, Жермен бірге қозғалатын тірек жүйесі үшін Майкельсон мен Морлидің айналы денесі қысқармайды, бірақ Күнге қатысты тыныштықтағы тірек жүйесі үшін ол қысқарады.
§ 17. Минковскийдің төрт өлшемді кеңістігі.
Математик емес адам «төрт өлшемді» дегенді естігенде, бойын мистикалық үрей билейді, бұл сезім театрдағы елестен туатын қорқынышқа ұқсайды. Дегенмен, біздің үйреншікті әлеміміз — төрт өлшемді кеңістік-уақыт континуумы (Континуум — үзіліссіз, тұтас орта) дегеннен асқан қарапайым тұжырым жоқ.
Кеңістік — үш өлшемді континуум. Бұл (тыныштықтағы) нүктенің орнын үш санмен (координаттармен) _x_, _y_, _z_ сипаттауға болатынын және әрбір нүктенің кез келген «көршілес» нүктелері бар екенін білдіреді. Соңғы қасиетіне байланысты біз оны «континуум», ал координаттардың үшеу болғанына байланысты «үш өлшемді» деп атаймыз.
Сол сияқты, Минковский (Герман Минковский — неміс математигі) қысқаша «әлем» деп атаған физикалық оқиғалар әлемі, әрине, кеңістік-уақыттық мағынада төрт өлшемді. Өйткені ол жеке оқиғалардан тұрады, олардың әрқайсысы төрт санмен, атап айтқанда, үш кеңістіктік координатпен _x_, _y_, _z_ және бір уақыттық координатпен, яғни _t_ уақыт мәнімен сипатталады. «Әлем» бұл мағынада да континуум болып табылады. Біздің әлемді мұндай мағынада төрт өлшемді континуум ретінде қабылдауға дағдыланбағанымыздың себебі — салыстырмалылық теориясына дейінгі физикада уақыттың кеңістіктік координаттарға қарағанда өзгеше, дербес рөл атқаруында.
Сондықтан біз уақытты дербес континуум ретінде қарастыруға дағдыландық. Шындығында, классикалық физика бойынша уақыт абсолютті, яғни тірек жүйесінің орналасуы мен қозғалыс күйіне тәуелсіз. Бұл Галилей түрлендіруінің соңғы теңдеуінде (_t′ = t_) көрініс тапқан.
Салыстырмалылық теориясы «әлемді» төрт өлшемді тұрғыдан қарастыруды талап етеді, өйткені бұл теорияға сәйкес уақыт өзінің дербестігінен айырылады, бұған Лоренц түрлендіруінің төртінші теңдеуі дәлел:
t′ = t − v/c² x / sqrt(1−v²/c²)
Бұл теңдеу бойынша, екі оқиғаның _K_ жүйесіне қатысты уақыт айырмашылығы _Δt_ нөлге тең болса да, олардың _K′_ жүйесіне қатысты уақыт айырмашылығы _Δt′_ жалпы жағдайда жойылмайды. Екі оқиғаның _K_ жүйесіне қатысты таза кеңістіктік қашықтығы олардың _K′_ жүйесіне қатысты уақыттық қашықтығына әкеп соғады.
Минковскийдің салыстырмалылық теориясының формальды дамуы үшін маңызды жаңалығы бұл емес. Оның жаңалығы — салыстырмалылық теориясының төрт өлшемді кеңістік-уақыт континуумы өзінің негізгі формальды қасиеттері бойынша Евклидтік геометриялық кеңістіктің үш өлшемді континуумына өте ұқсас екенін түсінуінде. Бұл ұқсастықты толық көрсету үшін әдеттегі _t_ уақыт координатының орнына оған пропорционал жорамал шаманы _sqrt(−1) ct_ енгізу керек. Сонда (арнайы) салыстырмалылық теориясының талаптарына жауап беретін табиғат заңдары математикалық түрге ие болады, онда уақыт координаты үш кеңістіктік координатпен дәл бірдей рөл атқарады. Бұл төрт координат формальды түрде Евклидтік геометрияның үш кеңістіктік координатымен толық сәйкес келеді.
Математик емес адамға да бұл таза формальды таным теорияның түсініктілігін айтарлықтай арттырғаны түсінікті болуы тиіс. Бұл қысқаша нұсқаулар оқырманға Минковскийдің маңызды идеясы туралы тек жалпылама түсінік береді, онсыз келесі бөлімдерде негізгі идеялары баяндалатын жалпы салыстырмалылық теориясы мүмкін болмас еді.
[10] _E₀_ — қабылданған энергия, денемен бірге қозғалатын координаттар жүйесі тұрғысынан бағаланған.
[11] Бірге қозғалатын координаттар жүйесі тұрғысынан бағаланған.
Екінші бөлім. Жалпы салыстырмалылық теориясы туралы.
§ 18. Арнайы және жалпы салыстырмалылық қағидасы.
Осы уақытқа дейінгі барлық баяндаулардың өзегі — арнайы салыстырмалылық қағидасы, яғни барлық бірқалыпты қозғалыстың физикалық салыстырмалылығы болды. Оның мазмұнын тағы бір рет мұқият талдап көрейік.
Кез келген қозғалыс өзінің ұғымы бойынша тек салыстырмалы қозғалыс ретінде ғана қарастырылуы тиіс екені барлық уақытта түсінікті болды. Біз жиі қолданатын теміржол табаны мен вагон мысалында қозғалыс фактісін екі түрде де айтуға болады:
а) Вагон теміржол табанына қатысты қозғалады,
б) Теміржол табаны вагонға қатысты қозғалады.
а) жағдайында теміржол табаны, б) жағдайында вагон тірек денесі болып табылады. Қозғалысты тек анықтау немесе сипаттау кезінде оны қандай тірек денесіне қатысты қарастыру принципі бойынша бәрібір. Бұл өз-өзінен түсінікті және біздің зерттеулерімізге негіз болған «салыстырмалылық қағидасымен» шатастырмау керек.
Біз қолданған қағида кез келген оқиғаны сипаттау үшін вагонды да, теміржол табанын да тірек денесі ретінде таңдауға болатынын ғана айтпайды (өйткені бұл да өз-өзінен түсінікті). Біздің қағида мынаны бекітеді: Тәжірибеден шығатын жалпы табиғат заңдарын: а) теміржол табанын тірек денесі ретінде пайдаланып, б) вагонды тірек денесі ретінде пайдаланып тұжырымдасақ, бұл жалпы табиғат заңдары (мысалы, механика заңдары немесе вакуумдағы жарықтың таралу заңы) екі жағдайда да дәл бірдей болады.
Мұны былай да айтуға болады: табиғат құбылыстарын физикалық сипаттау үшін _K_, _K′_ тірек денелерінің ешқайсысы бір-бірінен ерекшеленбейді. Бұл соңғы тұжырым біріншісі сияқты априори (алдын ала) міндетті түрде дұрыс болуы шарт емес; ол «қозғалыс» және «тірек денесі» ұғымдарының ішінде жоқ және олардан шықпайды, оның дұрыстығын немесе бұрыстығын тек тәжірибе ғана шеше алады.
Алайда біз осы уақытқа дейін табиғат заңдарын тұжырымдауға қатысты барлық тірек денелерінің _K_ тең құқылы екенін айтқан жоқпыз. Біздің жолымыз мынадай болды: Біз алдымен оған қатысты Галилей қағидасы орындалатын қозғалыс күйіндегі _K_ тірек денесі бар деп есептедік: өз еркіне қалдырылған, басқалардан жеткілікті түрде алыс орналасқан материалдық нүкте бірқалыпты және түзу сызықты қозғалады.
Түзу сызықты. _K_ (Галилейлік санақ жүйесі — инерция заңы мүлтіксіз орындалатын үйлесімді кеңістік) негізінде табиғат заңдары барынша қарапайым болуы тиіс. _K_ жүйесінен бөлек, осы мағынада басымдыққа ие және табиғат заңдарын тұжырымдау үшін _K_ жүйесімен мүлдем тең дәрежелі болатын барлық _K′_ санақ жүйелері — _K_ жүйесіне қатысты түзу сызықты біркелкі, айналусыз қозғалыс жасайтындар. Бұл санақ жүйелерінің барлығы Галилейлік санақ жүйелері болып саналады. Салыстырмалылық ұстанымының жарамдылығы тек осы санақ жүйелері үшін ғана қабылданды, ал басқалары (өзгеше қозғалатындар) үшін ескерілмеді. Осы тұрғыда біз арнайы салыстырмалылық ұстанымы немесе арнайы салыстырмалылық теориясы туралы айтамыз.
Бұған қарама-қайшы ретінде, «салыстырмалылықтың жалпы ұстанымы» дегенді келесідей пайымдау деп түсінеміз: барлық _K_, _K′_ және т.б. санақ жүйелері, олардың қозғалыс күйі қандай болса да, табиғатты сипаттау (жалпы табиғат заңдарын тұжырымдау) үшін тең құқылы. Бірақ айта кететін жайт, бұл тұжырымдама кейінірек, тек алдағы уақытта белгілі болатын себептерге байланысты, дерексізденген түріне ауыстырылуы тиіс.
Арнайы салыстырмалылық ұстанымын енгізу өзін ақтағаннан кейін, жалпылауға ұмтылған кез келген зияткерлік сана үшін салыстырмалылықтың жалпы ұстанымына қадам жасау қызықты көрінуі заңды. Алайда, бір қарағанда қарапайым әрі сенімді болып көрінетін пайымдау мұндай талпынысты бастапқыда нәтижесіз етіп көрсетеді.
Оқырман өзін бұған дейін талай рет қарастырылған, біркелкі қозғалып бара жатқан теміржол вагонындамын деп елестетсін. Вагон бірқалыпты жүріп тұрғанда, жолаушы оның қозғалысын сезбейді. Сондықтан жолаушы ешқандай ішкі қарсылықсыз, вагон тыныштықта тұр, ал теміржол төсемі қозғалыста деп түсіндіре алады. Бұл түсіндірме, айтпақшы, арнайы салыстырмалылық ұстанымы бойынша физикалық тұрғыдан толық негізді.
Егер енді вагонның қозғалысы, мысалы, қатты тежеу арқылы бірқалыпсыз күйге ауысса, жолаушы алға қарай сәйкесінше күшті жұлқынысты сезеді. Вагонның үдемелі қозғалысы оған қатысты денелердің механикалық әрекетінен көрінеді; механикалық әрекет бұған дейінгі жағдайдан өзгеше болады, сондықтан бірқалыпсыз қозғалатын вагонға қатысты механикалық заңдар, тыныштықтағы немесе бірқалыпты қозғалатын вагонмен салыстырғанда бірдей болуы мүмкін емес сияқты көрінеді. Қалай болғанда да, бірқалыпсыз қозғалатын вагонға қатысты Галилейдің негізгі қағидасы орындалмайтыны анық. Сондықтан біз, салыстырмалылықтың жалпы ұстанымына қарама-қайшы, бірқалыпсыз қозғалысқа қандай да бір абсолютті физикалық шынайылық беруге мәжбүр боламыз. Бірақ төменде біз бұл тұжырымның қисынсыз екенін көреміз.
§ 19. Тартылыс өрісі.
«Неліктен біз көтеріп барып жібере салған тас жерге құлайды?» деген сұраққа әдетте: «Өйткені оны Жер өзіне тартады», — деп жауап береді. Қазіргі заманғы физика бұл жауапты келесі себеппен сәл басқаша тұжырымдайды. Электрмагниттік құбылыстарды мұқият зерттеу нәтижесінде қашықтыққа тікелей әсер ету болмайды деген тұжырымға келді. Мысалы, магнит темір кесегін тартса, магнит бос кеңістік арқылы темірге тікелей әсер етеді деген түсінікпен шектелмеу керек, керісінше Фарадей бойынша, магнит өзін қоршаған кеңістікте әрқашан физикалық шынайы бір нәрсені тудырады, оны «магниттік өріс» (магниттік өріс — магниттелген денелердің айналасындағы күштік әсер аймағы) деп атайды деп елестетеді. Бұл магниттік өріс өз кезегінде темір кесегіне әсер етеді, нәтижесінде ол магнитке қарай қозғалуға ұмтылады. Осы бір өзіндік еркін аралық ұғымның негізділігін біз бұл жерде талқыламаймыз. Тек оның көмегімен электрмагниттік құбылыстарды, әсіресе электрмагниттік толқындардың таралуын, онсыз қарағаннан гөрі әлдеқайда қанағаттанарлық теориялық түрде сипаттауға болатынын айта кеткен жөн.
Тартылыс (гравитация — денелердің өзара тартылыс қасиеті) әсерлері де осыған ұқсас қабылданады. Жердің тасқа әсері жанама түрде жүзеге асады. Жер өз айналасында тартылыс өрісін тудырады. Ол тасқа әсер етіп, оның құлау қозғалысын тудырады. Тәжірибе көрсеткендей, денеге әсер ету күші Жерден алыстаған сайын белгілі бір заңдылық бойынша азаяды.
Бұл біздің түсінігімізде мынаны білдіреді: тартылыс өрісінің кеңістіктік қасиеттерін басқаратын заң, тартылыс әсерінің әсер етуші денеден алыстаған сайын азаюын дұрыс көрсету үшін өте нақты болуы тиіс. Дене өрісті тікелей өзінің жақын маңында тудырады деп елестетеміз; ал үлкен қашықтықтағы өрістің күші мен бағыты тартылыс өрістерінің кеңістіктік қасиеттерін басқаратын осы заң арқылы анықталады.
Тартылыс өрісі электрлік және магниттік өрістерге қарағанда, кейінгі мәселелер үшін іргелі маңызы бар өте таңқаларлық қасиетке ие. Тек ауырлық өрісінің әсерімен қозғалатын денелер дененің материалына да, физикалық күйіне де мүлдем тәуелді емес үдеу алады. Мысалы, қорғасын кесегі мен ағаш кесегі ауырлық өрісінде (ауасыз кеңістікте), егер оларды бастапқы жылдамдықсыз немесе бірдей бастапқы жылдамдықпен жіберсе, дәл бірдей құлайды. Мүлтіксіз дәл орындалатын бұл заңды келесі пайымдау негізінде басқаша да тұжырымдауға болады.
(Күш) = (инертті масса) . (Үдеу),
[/CODE]
мұндағы «инертті масса» (инертті масса — дененің қозғалыс жылдамдығының өзгеруіне кедергі жасау қабілетінің өлшемі) — үдемелі дененің сипаттамалық тұрақтысы. Егер енді үдетуші күш ауырлық күші болса, онда екінші жағынан:
(Күш) = (ауырлық массасы) . (Ауырлық өрісінің қарқындылығы),
[/CODE]
мұндағы «ауырлық массасы» (ауырлық массасы — дененің басқа денелермен тартылыс әрекетіне түсу қабілетінің өлшемі) де дене үшін сипаттамалық тұрақты болып табылады. Осы екі қатынастан мынау шығады:
(Үдеу) = (ауырлық массасы) / (инертті масса) . (Ауырлық өрісінің қарқындылығы)
[/CODE]
Егер тәжірибе көрсеткендей, берілген ауырлық өрісінде үдеу дененің табиғаты мен күйіне қарамастан әрқашан бірдей болуы керек болса, онда ауырлық массасының инертті массаға қатынасы да барлық денелер үшін бірдей болуы тиіс. Сондықтан өлшем бірліктерін сәйкес таңдау арқылы бұл қатынасты 1-ге теңестіруге болады; сонда мына қағида орындалады: дененің ауырлық және инертті массасы өзара тең.
Осы уақытқа дейінгі механика бұл маңызды қағиданы тіркегенімен, бірақ оған түсіндірме берген жоқ. Қанағаттанарлық түсіндіру тек мынаны түсіну арқылы ғана мүмкін болады: дененің дәл сол бір қасиеті жағдайға байланысты «инерттілік» немесе «ауырлық» ретінде көрінеді. Бұл іс жүзінде қаншалықты орынды екені және бұл сұрақтың салыстырмалылықтың жалпы постулатымен қалай байланысатыны келесі параграфта баяндалады.
§ 20. Инертті және ауырлық массасының теңдігі салыстырмалылықтың жалпы постулатының дәлелі ретінде.
Біз жұлдыздар мен қомақты массалардан соншалықты алыс орналасқан кең бос әлем кеңістігін елестетеміз, мұнда Галилейдің негізгі қағидасында қарастырылған жағдай жоғары дәлдікпен орындалады. Сонда әлемнің бұл бөлігі үшін Галилейлік санақ жүйесін таңдауға болады, оған қатысты тыныштықтағы нүктелер тыныштықта қалады, ал қозғалыстағылар түзу сызықты біркелкі қозғалысын жалғастырады. Санақ жүйесі ретінде бөлме пішінді кең жәшікті елестетейік; оның ішінде құралдармен жабдықталған бақылаушы болсын. Ол үшін әрине ауырлық күші жоқ. Егер ол еденге сәл соғылғанда жәшік төбесіне қарай баяу қалықтап кеткісі келмесе, өзін баулармен еденге байлап қоюы керек.
Жәшік төбесінің ортасына сыртқы жағынан арқан байланған ілмек орнатылсын және осы арқанды бізге беймәлім бір тіршілік иесі тұрақты күшпен тарта бастасын. Сонда жәшік бақылаушымен бірге «жоғары» қарай бірқалыпты үдемелі ұшуды бастайды. Уақыт өте келе оның жылдамдығы керемет деңгейге дейін артады — егер біз мұның бәрін арқанмен тартылмаған басқа санақ жүйесінен бағалайтын болсақ.
Ал жәшік ішіндегі адам бұл барысты қалай бағалайды? Жәшіктің үдеуі оған еденнің кері қысымы арқылы беріледі. Егер ол еденге толықтай созылып жатып қалғысы келмесе, бұл қысымды аяқтарымен қабылдауы керек. Сонда ол жәшік ішінде дәл біздің Жердегі үйдің бөлмесінде тұрғандай тұрады. Егер ол бұрын қолында ұстап тұрған денені жібере салса, оған жәшіктің үдеуі бұдан былай берілмейді; сондықтан дене үдемелі салыстырмалы қозғалыспен жәшік еденіне жақындайды. Бақылаушы бұдан әрі дененің еденге қарай үдеуі, ол қандай денемен тәжірибе жасаса да, әрқашан бірдей екеніне көз жеткізеді.
Жәшік ішіндегі адам, біз өткен параграфта талқылаған тартылыс өрісі туралы біліміне сүйене отырып, өзінің жәшікпен бірге уақыт бойынша тұрақты тартылыс өрісінде екендігі туралы тұжырымға келеді. Ол әрине, жәшіктің бұл тартылыс өрісінде неге құламайтынына бір сәт таңғалады. Бірақ ол төбенің ортасындағы ілмекті және оған байланған керілген арқанды байқайды, содан кейін ол жәшік тартылыс өрісінде тыныштықта асылып тұр деген қисынды қорытындыға келеді.
Біз бұл адамға күліп, оның түсінігі қате деп айта аламыз ба? Меніңше, егер біз бірізді болғымыз келсе, бұлай істей алмаймыз, керісінше оның түсіндіру тәсілі парасаттылыққа да, белгілі механикалық заңдарға да қайшы келмейтінін мойындауымыз керек. Жәшікті, ол бірінші қарастырылған «Галилейлік кеңістікке» қатысты үдетілген болса да, тыныштықта деп есептей аламыз. Демек, бізде салыстырмалылық ұстанымын бір-біріне қатысты үдемелі қозғалатын санақ жүйелеріне таратуға жақсы негіз бар және осылайша жалпыланған салыстырмалылық постулаты үшін қуатты дәлел алдық.
Бұл түсіндіру тәсілінің мүмкіндігі тартылыс өрісінің барлық денелерге бірдей үдеу беретін іргелі қасиетіне немесе, бұл мағынасы жағынан бірдей, инертті және ауырлық массасының теңдігі туралы қағидаға негізделгенін ескеру керек. Егер бұл табиғат заңы болмаса, онда үдемелі жәшіктегі адам айналасындағы денелердің мінез-құлқын тартылыс өрісі бар деген болжаммен түсіндіре алмас еді және ол ешқандай тәжірибе негізінде өзінің санақ жүйесін «тыныштықта» деп есептеуге құқылы болмас еді.
Жәшік ішіндегі адам жәшік төбесінің ішкі жағына арқан байлап, оның бос ұшына бір дене ілсін. Осы дененің әсерінен арқан керілген күйде «тік» төмен салбырап тұрады. Біз арқанның керілу себебін сұраймыз. Жәшіктегі адам: «Ілінген дене тартылыс өрісінде төмен қарай бағытталған күшті сезеді, ол арқанның керілуімен теңгеріледі; арқан керілуінің шамасын ілінген дененің ауырлық массасы анықтайды», — дейді. Екінші жағынан, кеңістікте еркін қалықтап жүрген бақылаушы жағдайды былай бағалайды: «Арқан жәшіктің үдемелі қозғалысына ілесуге мәжбүр және бұл қозғалысты өзіне бекітілген денеге береді. Арқанның керілуі соңғысының үдеуін тудыруға жететіндей үлкен. Арқандағы керілу шамасын дененің инертті массасы анықтайды». Осы мысалдан біз салыстырмалылық ұстанымын кеңейту инертті және ауырлық массасының теңдігі туралы қағиданы қажетті ететінін көреміз. Осылайша бұл қағиданың физикалық түсіндірмесі алынды.
Үдемелі жәшікті қарастырудан салыстырмалылықтың жалпы теориясы тартылыс заңдары туралы маңызды нәтижелер беруі тиіс екені көрінеді. Шын мәнінде, жалпы салыстырмалылық идеясын бірізділікпен қадағалау тартылыс өрісі бағынатын заңдарды берді. Алайда, мен оқырманды осы пайымдаулардан туындауы мүмкін түсінбеушіліктен алдын ала сақтандыруым керек. Жәшіктегі адам үшін тартылыс өрісі бар, бірақ алғашқы таңдалған координаттар жүйесі үшін ол жоқ еді. Енді тартылыс өрісінің болуы әрқашан тек жалған ғана деп ойлауға болар еді. Қандай тартылыс өрісі болса да, оған қатысты тартылыс өрісі жоқ болатын басқа санақ жүйесін әрқашан таңдауға болады деп ойлауға болады. Бірақ бұл барлық тартылыс өрістеріне қатысты емес, тек өте ерекше құрылымдағы өрістерге ғана қатысты. Мысалы, Жердің тартылыс өрісі (оның барлық ауқымында) жоғалып кететіндей санақ жүйесін таңдау мүмкін емес.
Салыстырмалылықтың жалпы ұстанымына қарсы § 18-дің соңында келтірілген дәлелдің неліктен бұлтартпас емес екенін енді түсіндік. Тежелген теміржол вагонындағы бақылаушы тежелу салдарынан алға қарай жұлқынысты сезінетіні және содан вагонның бірқалыпсыздығын (үдеуін) байқайтыны дұрыс. Бірақ ешкім оны бұл жұлқынысты вагонның «шынайы» үдеуімен түсіндіруге мәжбүрлемейді. Ол өз басынан өткенді былай деп те түсіндіре алады: «Менің санақ жүйем (вагон) үнемі тыныштықта қалады. Бірақ (тежелу кезеңінде) оған қатысты алға бағытталған, уақыт бойынша өзгермелі тартылыс өрісі орнайды. Соңғысының әсерінен теміржол төсемі Жермен бірге бірқалыпсыз қозғалады, оның бастапқы артқа бағытталған жылдамдығы барған сайын азаяды».
§ 21. Классикалық механика мен арнайы салыстырмалылық теориясының негіздері қаншалықты қанағаттанарлықсыз?
Бірнеше рет айтылғандай, классикалық механика мына қағидадан басталады: басқа материалдық нүктелерден жеткілікті түрде алыстаған материалдық нүктелер түзу сызықты біркелкі қозғалады немесе тыныштық күйін сақтайды. Біз сондай-ақ бұл негізгі заң тек бір-біріне қатысты біркелкі ілгерілемелі қозғалыста болатын белгілі бір ерекше қозғалыс күйіндегі _K_ санақ жүйелері үшін ғана жарамды бола алатынын бірнеше рет атап өттік. Басқа _K_ санақ жүйелеріне қатысты бұл қағида орындалмайды. Классикалық механикада да, арнайы салыстырмалылық теориясында да, сәйкесінше табиғат заңдары орындалатын _K_ санақ жүйелері мен табиғат заңдары орындалмайтын санақ жүйелерін ажыратады.
Бірақ бұл жағдаймен ешбір бірізді ойлайтын адам қанағаттана алмайды. Ол: «Неліктен белгілі бір санақ жүйелері (немесе олардың қозғалыс күйлері) басқа санақ жүйелерінен (немесе олардың қозғалыс күйлерінен) ерекшеленеді? Бұл артықшылықтың себебі неде?» — деп сұрайды. Бұл сұрақпен не айтқым келгенін анық көрсету үшін мен бір теңеуді қолданамын.
Мен газ плитасының алдында тұрмын. Оның үстінде бір-біріне айнытпай ұқсайтын екі кастрөл тұр. Екеуі де жартылай суға толтырылған. Мен біреуінен үздіксіз бу шығып жатқанын, ал екіншісінен шықпайтынын байқаймын. Бұған мен тіпті газ плитасы мен кастрөлді өмірімде көрмеген болсам да таңғаламын. Егер мен бірінші кастрөлдің астынан көгілдір жанып тұрған бірдеңені байқасам, ал екіншісінің астынан көрмесем, онда менің таңғалысым, тіпті газ жалынын ешқашан көрмеген болсам да, сейіледі. Өйткені мен бұл көгілдір нәрсе будың шығуына себеп болады немесе кем дегенде мүмкін себеп болады деп айта аламын. Бірақ егер мен ешбір кастрөлдің астынан көгілдір нәрсені көрмесем және біреуінен үздіксіз бу шығып, екіншісінен шықпай тұрғанын көрсем, онда мен екі кастрөлдің екі түрлі әрекеті үшін жауапты деп санауға болатын қандай да бір жағдайды байқамайынша, таңданысым басылмайды және көңілім көншімейді.
Сол сияқты мен классикалық механикада (немесе арнайы салыстырмалылық теориясында) денелердің _K_ және _K′_ санақ жүйелеріне қатысты әртүрлі әрекетін түсіндіретіндей нақты бір нәрсені бекер іздеймін. Бұл кемшілікті Ньютон да сезінді және оны босқа жоққа шығаруға тырысты. Бірақ оны Е. Мах бәрінен де анық түсініп, сол себепті механиканы жаңа негізге қою керек деп талап етті. Бұл қарсылықтан тек салыстырмалылықтың жалпы ұстанымына сәйкес келетін физика арқылы ғана құтылуға болады. Өйткені мұндай теорияның теңдеулері қандай қозғалыс күйінде болса да, кез келген санақ жүйесі үшін жарамды.
§ 22. Салыстырмалылықтың жалпы ұстанымынан шығатын кейбір қорытындылар.
§ 20-дағы пайымдаулар салыстырмалылықтың жалпы ұстанымы бізге таза теориялық жолмен тартылыс өрісінің қасиеттерін анықтауға мүмкіндік беретінін көрсетеді. Айталық, қандай да бір табиғи барыстың кеңістік-уақыттық өтуі Галилейдік аймақта Галилейлік _K_ санақ жүйесіне қатысты белгілі болсын. Онда таза теориялық операциялар арқылы, яғни жай есептеу арқылы бұл белгілі табиғи барыстың _K_ жүйесіне қатысты үдемелі _K′_ санақ жүйесінен қалай көрінетінін табуға болады. Бірақ бұл жаңа _K′_ санақ жүйесіне қатысты тартылыс өрісі болғандықтан, біз бақылау барысында тартылыс өрісі зерттеліп жатқан үдеріске қалай әсер ететінін білеміз.
Осылайша, біз, мысалы, _K_ жүйесіне қатысты түзу сызықты біркелкі қозғалыс жасайтын дене (Галилей қағидасына сәйкес), үдемелі _K′_ санақ жүйесіне (жәшікке) қатысты үдемелі, жалпы алғанда қисық сызықты қозғалыс жасайтынын білеміз. Бұл үдеу немесе қисықтық _K′_ жүйесіне қатысты орнаған тартылыс өрісінің қозғалыстағы денеге әсеріне сәйкес келеді. Тартылыс өрісінің денелердің қозғалысына осылай әсер ететіні белгілі, сондықтан бұл пайымдау принципті түрде жаңа ештеңе бермейді.
Бірақ осыған ұқсас пайымдауды жарық сәулесі үшін жүргізсек, іргелі маңызы бар жаңа нәтиже аламыз. Галилейлік _K_ санақ жүйесіне қатысты ол c жылдамдығымен түзу сызық бойымен таралады. Үдемелі жәшікке (_K′_ санақ жүйесіне) қатысты, оңай анықталатындай, сол жарық сәулесінің траекториясы енді түзу сызық емес. Осыдан мынадай қорытынды шығаруға болады: жарық сәулелері тартылыс өрістерінде жалпы алғанда қисық сызық бойымен таралады. Бұл нәтиже екі тұрғыдан өте маңызды.
Біріншіден, оны шындықпен салыстыруға болады. Мұқият пайымдау нәтижесінде жалпы салыстырмалылық теориясы беретін жарық сәулелерінің қисықтығы біздің тәжірибемізде қолжетімді тартылыс өрістері үшін өте аз болғанымен, Күннің жанынан өтетін жарық сәулелері үшін ол 1,7 доғалық секундты құрауы тиіс. Бұл Күннің жанында көрінетін, толық күн тұтылуы кезінде бақылауға болатын қозғалмайтын жұлдыздардың, Күн аспанның басқа жерінде тұрғандағы бізге көрінетін орнымен салыстырғанда Күннен осы шамаға алшақтау болып көрінуінен байқалуы тиіс. Бұл салдардың дұрыстығын немесе бұрыстығын тексеру — өте маңызды міндет, оның тез арада шешілуін біз астрономдардан күтеміз.
Екіншіден, бұл салдар жалпы салыстырмалылық теориясына сәйкес, арнайы салыстырмалылық теориясының екі негізгі жорамалының бірі болып табылатын вакуумдағы жарық жылдамдығының тұрақтылық заңы шексіз жарамдылыққа ие бола алмайтынын көрсетеді. Жарық сәулелерінің қисаюы тек жарықтың таралу жылдамдығы орынға байланысты өзгерген (вариацияланған) жағдайда ғана орын алуы мүмкін. Мұндай салдар арнайы салыстырмалылық теориясын, ал онымен бірге жалпы салыстырмалылық теориясын да құлатады деп ойлауға болар еді. Бірақ бұл шындыққа жанаспайды. Тек арнайы салыстырмалылық теориясының шексіз қолданылу аймағы бола алмайтынын қорытындылауға болады; оның нәтижелері тек тартылыс өрісінің құбылыстарға (мысалы, жарыққа) әсерін ескермеуге болатын жағдайда ғана жарамды.
Салыстырмалылық теориясына қарсы шығушылар арнайы салыстырмалылық теориясын жалпы салыстырмалылық теориясы жоққа шығарды деп жиі алға тартатындықтан, мен нақты жағдайды салыстыру арқылы түсіндіргім келеді. Электр динамикасы (электромагниттік құбылыстар туралы ілім) құрылғанға дейін, электр статикасының заңдары жалпы электр заңдары болып есептелді. Бүгінде біз электр статикасының электр өрістерін тек электрлік массалар бір-біріне және координаттар жүйесіне қатысты толық тыныштықта болған (бұл іс жүзінде ешқашан толық орындалмайды) жағдайда ғана дұрыс бере алатынын білеміз.
Олай болса, электр статикасы +Maxwell+ (Максвелл) өріс теңдеулері арқылы жоққа шығарылды ма? Әрине, жоқ! Электр статикасы электр динамикасының шекті жағдайы (параметрлердің шекті мәндеріндегі күй) ретінде оның құрамында қалады; соңғысының заңдары өрістер уақыт бойынша өзгермейтін жағдайда тікелей біріншісіне әкеледі.
Физикалық теорияның ең тамаша тағдыры — оның өзі шекті жағдай ретінде өмір сүретін неғұрлым ауқымды теорияны құруға жол көрсетуі.
Жоғарыда қарастырылған жарықтың таралу мысалында біз жалпы салыстырмалылық принципі тартылыс өрісі болмаған жағдайдағы заңдары белгілі барыстардың (процестердің) ағымына тартылыс өрісінің әсерін теориялық жолмен қорытып шығаруға мүмкіндік беретінін көрдік.
Тартылыс өрісінің заңдары
Бірақ жалпы салыстырмалылық принципі шешімін беретін ең қызықты мәселе — тартылыс өрісінің өзі бағынатын заңдарды анықтау. Мұндағы жағдай мынадай. Біз санақ денесін (салыстыру нысанын) дұрыс таңдағанда (шамамен) «галилейлік» болатын кеңістік-уақыт аймақтарын, яғни тартылыс өрісі жоқ аймақтарды білеміз. Егер осындай аймақты кез келген қозғалыстағы _K′_ санақ денесіне қатысты қарастырсақ, онда _K′_-ке қатысты уақыт пен кеңістік бойынша өзгеретін тартылыс өрісі пайда болады[13].
Соңғысының сипаты, әрине, біздің _K′_ қозғалысын қалай таңдайтынымызға байланысты. Тартылыс өрісінің жалпы заңы жалпы салыстырмалылық теориясына сәйкес осылайша алынған барлық тартылыс өрістері үшін орындалуы тиіс. Барлық тартылыс өрістерін осылайша тудыру мүмкін болмаса да, осы ерекше түрдегі тартылыс өрістерінен тартылыстың жалпы заңын қорытып шығаруға үміт бар. Бұл үміт керемет түрде орындалды!
Бірақ бұл мақсатты анық көруден оған нақты жетуге дейін мәселенің мәнінде жатқан үлкен қиындықты жеңу қажет болды, оны мен оқырманнан жасыра алмаймын. Кеңістік-уақыт үзіліссіз ортасы (континуум) — кеңістік пен уақыттың бөлінбейтін біртұтас төрт өлшемді құрылымы — туралы ұғымдарды тағы да тереңдету қажет.
§ 23. Айналмалы санақ денесіндегі сағаттар мен өлшеуіш таяқшалардың әрекеті.
Осы уақытқа дейін мен жалпы салыстырмалылық теориясы жағдайындағы кеңістіктік және уақыттық деректердің физикалық түсіндірмесі туралы әдейі айтқан жоқпын. Осылайша мен белгілі бір ұқыпсыздыққа жол бердім, ал арнайы салыстырмалылық теориясынан біз мұның ешқандай да маңызсыз немесе кешірімді емес екенін білеміз. Енді бұл олқылықтың орнын толтыратын кез келді; бірақ мен алдын ала ескертемін, бұл мәселе оқырманның шыдамы мен дерексіз ойлау (абстракциялау) қабілетіне үлкен талаптар қояды.
- Біз тағы да жиі қолданылатын өте ерекше жағдайлардан бастаймыз. Тиісті қозғалыс күйіндегі _K_ санақ денесіне қатысты тартылыс өрісі жоқ кеңістік-уақыт аймағы берілсін.
- Онда қарастырылып отырған аймаққа қатысты _K_ — +Galilei+лік (Галилейлік) санақ денесі болып табылады және _K_-ға қатысты арнайы салыстырмалылық теориясының нәтижелері жарамды.
- Дәл осы аймақты _K_-ға қатысты бірқалыпты айналатын екінші _K′_ санақ денесіне қатысты деп есептейік. Көзге елестету үшін _K′_-ті өз жазықтығында орталығынан бірқалыпты айналатын тегіс дөңгелек диск түрінде қарастырайық.
_K′_ дискісінде орталықтан тыс отырған бақылаушы радиалды (орталықтан сыртқа қарай) бағытта әсер ететін күшті сезеді, ал бастапқы _K_ санақ денесіне қатысты тыныштықта тұрған бақылаушы мұны инерция әсері (орталықтан тепкіш күш) деп түсіндіреді. Алайда дискіде отырған бақылаушы өз дискісін «тыныштықтағы» санақ денесі ретінде қабылдауы мүмкін; ол бұған жалпы салыстырмалылық принципі негізінде құқылы. Өзіне және жалпы дискіге қатысты тыныштықтағы денелерге әсер ететін күшті ол тартылыс өрісінің әсері ретінде қарастырады.
Әрине, бұл ауырлық өрісінің кеңістіктік үлестірілуі +Newton+ (Ньютон) тартылыс теориясы бойынша мүмкін болмайтын сипатта болады[14]. Бірақ бақылаушы жалпы салыстырмалылыққа сенетіндіктен, бұл оны мазаламайды; ол тек аспан денелерінің қозғалысын ғана емес, өзі байқаған күш өрісін де дұрыс түсіндіретін жалпы тартылыс заңын орнатуға болады деп орынды үміттенеді.
Бұл бақылаушы өз дискісінде сағаттармен және өлшеуіш таяқшалармен тәжірибе жасайды, оның мақсаты — өз бақылаулары негізінде _K′_ дискісіне қатысты уақыттық және кеңістіктік деректердің мағынасына нақты анықтамалар алу. Ол мұнда қандай нәтижелерге тап болады?
- **Сағаттардың жүрісі:** Бақылаушы алдымен бірдей екі сағаттың бірін дискінің ортасына, екіншісін оның шетіне (перифериясына) орналастырады. Айналмайтын +Galilei+лік _K_ санақ денесі тұрғысынан алғанда, орталықтағы сағаттың жылдамдығы жоқ, ал шеттегі сағат айналу салдарынан _K_-ға қатысты қозғалыста болады.
- **Баяулау әсері:** § 12-дегі нәтижеге сәйкес, соңғы сағат _K_ тұрғысынан бағалағанда ортадағы сағатқа қарағанда үнемі баяу жүреді. Дәл осыны дискідегі бақылаушы да анықтауы тиіс. Демек, кез келген тартылыс өрісінде сағат орналасқан орнына байланысты тезірек немесе баяуырақ жүреді.
Сондықтан санақ денесіне қатысты тыныштықта орналасқан сағаттардың көмегімен уақытқа парасатты (рационалды) анықтама беру мүмкін емес. Осыған ұқсас қиындық біздің бірмезгілділік туралы бұрынғы анықтамамызды осында қолдануға тырысқанда да туындайды.
Кеңістіктік координаттардың (есептік жолдардың) анықтамасы да мұнда шешілмес қиындықтар туғызады. Егер бақылаушы өзінің бірлік өлшеуішін диск жиегіне жанама бағытта (тангенциалды) қойса, онда ол § 12 бойынша қозғалыс бағытында қысқарады. Ал өлшеуішті диск радиусының бағытында қойса, ешқандай қысқару болмайды.
Егер бақылаушы алдымен дискінің шеңбер ұзындығын, содан кейін оның диаметрін өлшеп, осы екі нәтижені бір-біріне бөлсе, ол бөлінді ретінде белгілі π = 3,14... санын емес, одан үлкенірек санды алады. Ал тыныштықтағы дискіде бұл операция дәл π санын беруі тиіс еді.
Бұл Евклидтік геометрияның сөйлемдері айналмалы дискіде, демек жалпы тартылыс өрісінде дәл орындалмайтынын дәлелдейді. Осыған байланысты түзу сызық ұғымы да өз мәнін жоғалтады. Біз дискіге қатысты _x_, _y_, _z_ координаттарын арнайы салыстырмалылықта қолданылған әдіспен дәл анықтай алмаймыз.
Оқиғалардың координаттары мен уақыттары анықталмайынша, олар кездесетін табиғат заңдарының да нақты мағынасы болмайды. Жалпы салыстырмалылық постулатын (жария ұстанымын) дәл қолдану үшін нәзік жанама жол қажет.
§ 24. Евклидтік және Евклидтік емес үзіліссіз орта (континуум).
Алдымда мәрмәр үстелдің беті жатыр. Мен оның кез келген нүктесінен кез келген басқа нүктесіне «көршілес» нүктеге өте отырып немесе «секірістер» жасамай, нүктеден нүктеге көше отырып жете аламын. Осылайша үстел беті — үзіліссіз орта (континуум).
- Үстел бетінің өлшемдерімен салыстырғанда кішкентай, ұзындығы бірдей көптеген таяқшалар жасалды деп есептейік.
- Осы таяқшалардың төртеуін үстел бетіне ұштары диагоналдары тең шаршы құрайтындай етіп қоямыз.
- Бұл шаршыға онымен бір қабырғасы ортақ бірдей шаршыларды жапсырамыз, бүкіл үстел беті шаршылармен жабылғанша жалғастырамыз.
Бұл істі үлкен қиындықтарсыз орындауға болатыны — нағыз ғажайып (феномен)! Егер бәрі шынымен де ойдағыдай өтсе, онда үстел бетінің нүктелері қолданылған таяқшаға қатысты Евклидтік үзіліссіз ортаны құрайды деймін. Бір бұрышты «бастапқы нүкте» деп алып, кез келген басқа нүктені екі санмен («Декарттық координаттармен») сипаттай аламын.
Тәжірибенің сәтсіз болатын жағдайлары да болады. Таяқшалар температураға сәйкес ұзарсын. Үстелдің ортасы жылытылсын, ал жиегі жылытылмасын. Шаршы құрылымымыз бұл жерде міндетті түрде былыққа (хаосқа) ұшырайды, өйткені үстелдің ішкі бөлігіндегі таяқшалар ұзарады, ал сыртқы бөлігіндегілер ұзармайды.
Бірлік кесінділер ретінде анықталған таяқшаларымызға қатысты үстел беті енді Евклидтік үзіліссіз орта емес. Егер барлық таяқшалар температураға бірдей сезімтал болса, Декарттық координаттар әдісінен бас тартып, оны Евклидтік геометрияның жарамдылығын талап етпейтін басқа әдіспен алмастыру керек. Бұл жағдай жалпы салыстырмалылық жария ұстанымы (постулаты) алып келген жағдайға сәйкес келеді (§ 23).
§ 25. Гаусс координаттары.
Бұл аналитикалық-геометриялық өңдеу әдісіне +Gauß+ (Гаусс) бойынша келесідей қол жеткізуге болады. Үстел бетіне біз _u_-қисықтары деп атайтын кез келген қисықтар жүйесі салынған деп елестетіңіз. Олар бүкіл үстел бетін шексіз тығыз жауып тұрады. Әрбір нүкте арқылы тек қана бір қисық өтеді. Сол сияқты бетке _v_-қисықтарының жүйесі сызылсын.
Үстел бетінің әрбір нүктесіне бір _u_ мәні мен бір _v_ мәні сәйкес келеді, бұл екі санды біз үстел бетінің координаттары (**+Gauß+ (Гаусс) координаттары**) деп атаймыз. Сызбадағы _P_ нүктесінің координаттары: _u_ = 3; _v_ = 1.
Екі көршілес _P_ және _P′_ нүктелеріне келесі координаттар сәйкес келеді: _P: u; v_ _P′: u + du, v + dv_ Таяқшамен өлшенген арақашықтық _ds_ болса, Гаусс бойынша:
ds² = g₁₁ du² + 2g₁₂ du dv + g₂₂ dv²
мұндағы _g₁₁_, _g₁₂_, _g₂₂_ шамалары орынға байланысты өзгереді және таяқшалардың қисықтарға қатысты әрекетін анықтайды.
Тек бет Евклидтік болған жағдайда ғана қисықтарды ds² = du² + dv² болатындай етіп сызуға болады. Онда Гаусс координаттары жай ғана Декарттық координаттарға айналады.
Гаусс әдісін төрт өлшемді үзіліссіз ортаға да қолдануға болады. Онда әрбір нүктеге төрт сан _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ сәйкестендіріледі. Арақашықтық формуласы мынадай болады:
ds² = g₁₁ dx₁² + 2 g₁₂ dx₁ dx₂ ... + g₄₄ dx₄²
Қорытындылай келе: +Gauß+ (Гаусс) көршілес нүктелердің арақашықтығы анықталған кез келген үзіліссіз ортаны математикалық өңдеу әдісін ойлап тапты. Бұл әдіс Евклидтік емес орталарға да қолданылады, бірақ бұл қарастырылып отырған аймақ неғұрлым кішкентай болса, соғұрлым Евклидтік қасиетке жақын болған (температурасы тұрақты үстел бөлігі сияқты) жағдайда ғана мүмкін.
§ 26. Арнайы салыстырмалылық теориясының кеңістік-уақыт үзіліссіз ортасы (континуумы) Евклидтік үзіліссіз орта ретінде.
§ 26. Арнайы салыстырмалылық теориясының кеңістік-уақыттық континуумы Евклидтік континуум ретінде.
Біз енді § 17-де тек үстірт белгіленген Минковскийдің (Герман Минковский — математик, төрт өлшемді кеңістік-уақыт үлгісін ұсынған) ойын нақтырақ тұжырымдауға мүмкіндігіміз бар.
Арнайы салыстырмалылық теориясына сәйкес, кеңістік-уақыттық төрт өлшемді континуумды сипаттау үшін біз «Галилейлік координаттар жүйесі» (инерциялық санақ жүйесінің математикалық бейнесі) деп атаған белгілі бір координаттар жүйелеріне артықшылық беріледі. Олар үшін оқиғаны немесе — басқаша айтқанда — төрт өлшемді континуумның нүктесін анықтайтын төрт координат — _x_, _y_, _z_, _t_ — осы кітапшаның бірінші бөлімінде егжей-тегжейлі баяндалғандай, қарапайым физикалық жолмен анықталады. Бір Галилейлік жүйеден оған қатысты бірқалыпты қозғалатын екінші жүйеге ауысу үшін Лоренц түрлендірулерінің (кеңістік пен уақыт координаттарын байланыстыратын теңдеулер) теңдеулері қолданылады. Бұл теңдеулер арнайы салыстырмалылық теориясының салдарларын шығаруға негіз болады және өз кезегінде жарық таралу заңының барлық Галилейлік санақ жүйелері үшін әмбебап жарамдылығының көрінісі болып табылады.
Минковский Лоренц түрлендірулерінің келесі қарапайым шарттарды қанағаттандыратынын анықтады. Бір Галилейлік санақ жүйесіне _K_ қатысты кеңістіктік координаттар айырмасы _dx_, _dy_, _dz_ және уақыттық айырмасы _dt_ арқылы берілген төрт өлшемді континуумдағы екі көршілес оқиғаны қарастырайық. Екінші Галилейлік жүйеге қатысты осы екі оқиға үшін ұқсас айырмалар _dx′_, _dy′_, _dz′_, _dt′_ болсын. Онда олардың арасында әрдайым мынадай шарт орындалады:
_dx²_ + _dy²_ + _dz²_ − _c²_ _dt²_ = _dx′²_ + _dy′²_ + _dz′²_ − _c²_ _dt′²_
Бұл шарт Лоренц түрлендіруінің жарамдылығын білдіреді. Біз мұны былай деп айта аламыз: төрт өлшемді кеңістік-уақыттық континуумның екі көршілес нүктесіне жататын
_ds²_ = _dx²_ + _dy²_ + _dz²_ − _c²_ _dt²_
шамасы барлық таңдаулы (Галилейлік) санақ денелері үшін бірдей мәнге ие. Егер _x_, _y_, _z_, sqrt(−1) _ct_ айнымалыларын _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ деп ауыстырсақ, онда
_ds²_ = _dx₁²_ + _dx₂²_ + _dx₃²_ + _dx₄²_
шамасының санақ денесін таңдауға тәуелсіз екендігі туралы нәтиже аламыз. _ds_ шамасын біз екі оқиғаның немесе төрт өлшемді нүктенің «арақашықтығы» деп атаймыз.
Осылайша, егер уақыт айнымалысы ретінде нақты _t_ мәнінің орнына жорамал sqrt(−1) _ct_ айнымалысын таңдасақ, онда арнайы салыстырмалылық теориясына сәйкес кеңістік-уақыттық континуумды, соңғы параграфтағы түсіндірмелерден көрініп тұрғандай, «Евклидтік» (жазық геометрия заңдарына бағынатын) төрт өлшемді континуум ретінде қарастыруға болады.
§ 27. Жалпы салыстырмалылық теориясының кеңістік-уақыттық континуумы Евклидтік континуум емес.
Осы еңбектің бірінші бөлімінде біз қарапайым, тікелей физикалық түсіндіруге мүмкіндік беретін және § 26-ға сәйкес төрт өлшемді Декарттық координаттар ретінде түсіндіруге болатын кеңістік-уақыттық координаттарды пайдалана алдық.
Бұл жарық жылдамдығының тұрақтылық заңы негізінде мүмкін болды, бірақ § 21-ге сәйкес жалпы салыстырмалылық теориясы бұл заңды сақтай алмайды; керісінше, біз соңғы теорияға сәйкес, егер гравитациялық өріс бар болса, жарық жылдамдығы әрдайым координаттарға тәуелді болуы керек деген нәтижеге келдік. Сонымен қатар, біз § 23-тегі нақты мысал арқылы гравитациялық өрістің болуы арнайы салыстырмалылық теориясында мақсатқа жеткізген координаттар мен уақыттың сол анықтамасын мүмкін емес ететінін анықтадық.
Осы пайымдау нәтижелерін ескере отырып, біз жалпы салыстырмалылық принципіне сәйкес кеңістік-уақыттық континуумды Евклидтік континуум ретінде қарастыруға болмайды, керісінше, бұл жерде біз температурасы әртүрлі үстел бетінің екі өлшемді континуумы үшін білетін жалпы жағдай орын алады деген сенімге келеміз. Ол жерде бірдей таяқшалардан Декарттық координаттар жүйесін құру мүмкін болмағаны сияқты, бұл жерде де қатты денелер мен сағаттардан бір-біріне қатысты қозғалмайтын масштабтар мен сағаттар орын мен уақытты тікелей көрсететіндей жүйені (санақ денесін) құру мүмкін емес. Бұл — § 23-те біз кездестірген қиындықтың мәні.
Алайда § 25 және § 26-дағы түсіндірмелер бұл қиындықты жеңудің жолын көрсетеді. Біз төрт өлшемді кеңістік-уақыттық континуумды ерікті түрде Гаусс координаттарына (кез келген қисық бетті сипаттауға арналған тор жүйесі) жатқызамыз. Континуумның әрбір нүктесіне (оқиғаға) ешқандай тікелей физикалық мағынасы жоқ, тек континуум нүктелерін белгілі бір, бірақ ерікті түрде нөмірлеуге қызмет ететін төрт санды _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ (координаттарды) сәйкестендіреміз. Физикалық барыстарды сипаттаудың негізіне осындай координаттарды аламыз. Бұл сәйкестендіруде «кеңістіктік» және «уақыттық» созылыңқылық арасында айырмашылық жасалмайды, сондықтан _x₁_, _x₂_, _x₃_ координаттарын «кеңістіктік», ал _x₄_ координатасын «уақыттық» деп бөлуге болмайды.
Оқырман әлемнің мұндай сипаттамасы мүлдем жеткіліксіз болар еді деп ойлауы мүмкін. Егер бұл координаттардың өздері ештеңені білдірмесе, менің бір оқиғаға белгілі бір _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ координаттарын беруім нені білдіреді? Алайда мұқият ойланғанда, бұл қауіптің негізсіз екені байқалады. Мысалы, кез келген түрде қозғалатын материалдық нүктені қарастырайық! Егер ол ұзақтығы жоқ қас қағым сәтте ғана өмір сүрсе, ол кеңістік-уақыттық тұрғыдан бірегей _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ мәндер жүйесімен сипатталар еді. Оның тұрақты өмір сүруі, демек, координат мәндері бір-бірімен үздіксіз жалғасатын осындай мәндер жүйесінің шексіз көп санымен сипатталады; демек, материалдық нүктеге төрт өлшемді континуумдағы (бір өлшемді) сызық сәйкес келеді. Көптеген қозғалатын нүктелерге біздің континуумдағы осындай сызықтар сәйкес келеді.
Физикалық шындыққа таласа алатын, осы нүктелерге қатысты жалғыз тұжырымдар — бұл шын мәнінде осы нүктелердің кездесулері туралы тұжырымдар. Мұндай кездесу біздің математикалық бейнелеуімізде тиісті нүктелердің қозғалысын білдіретін екі сызықтың координат мәндерінің белгілі бір _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ жүйесінде ортақ нүктесі болуымен көрінеді. Физикалық тұжырымдарда кездесетін кеңістік-уақыттық сипаттағы жалғыз нақты айғақтар осындай кездесулер екенін оқырман терең ойланғаннан кейін сөзсіз мойындайды.
Бұрын біз материалдық нүктенің санақ денесіне қатысты қозғалысын сипаттағанда, бұл нүктенің санақ денесінің белгілі бір нүктелерімен кездесуінен басқа ештеңені көрсетпедік. Сондай-ақ тиісті уақыт көрсеткіштерін дененің сағаттармен кездесуін айғақтауға, сонымен бірге сағат тілдерінің цифрлы тақтаның белгілі бір нүктелерімен кездесуін айғақтауға дейін талдауға болады. Масштабтар арқылы жасалатын кеңістіктік өлшеулер де солай екенін аздап ойлану көрсетеді.
Жалпы алғанда: «Әрбір физикалық сипаттама бірқатар тұжырымдарға бөлінеді, олардың әрқайсысы екі А және В оқиғаларының кеңістік-уақыттық сәйкес келуіне (коинциденциясына) қатысты болады. Әрбір мұндай тұжырым Гаусс координаттарында төрт координаттың _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ сәйкес келуі арқылы өрнектеледі». Демек, кеңістік-уақыттық континуумды Гаусс координаттары арқылы сипаттау санақ денесінің көмегімен сипаттауды толығымен алмастырады және соңғы әдістің кемшіліктерінен зардап шекпейді; ол бейнеленетін континуумның Евклидтік сипатына байланысты емес.
§ 28. Жалпы салыстырмалылық принципінің дәл тұжырымдамасы.
Енді біз § 18-де берілген жалпы салыстырмалылық принципінің алдын ала тұжырымдамасын дәл тұжырымдамамен алмастыруға мүмкіндігіміз бар.
Сол кездегі: «Барлық _K_, _K′_ және т.б. санақ денелері табиғатты сипаттау (жалпы табиғат заңдарын тұжырымдау) үшін олардың қозғалыс күйі қандай болса да, тең құқылы» деген тұжырымды сақтау мүмкін емес, өйткені кеңістік-уақыттық сипаттауда арнайы салыстырмалылық теориясында қолданылған әдіс мағынасында қатты санақ денелерін пайдалану жалпы жағдайда мүмкін емес. Санақ денесінің орнына Гаусс координаттар жүйесі келуі тиіс. Жалпы салыстырмалылық принципінің негізгі идеясына мына тұжырым сәйкес келеді:
«Барлық Гаусс координаттар жүйелері жалпы табиғат заңдарын тұжырымдау үшін принципті түрде тең құқылы».
Бұл жалпы салыстырмалылық принципін оны арнайы салыстырмалылық принципінің заңды кеңеюі ретінде бұдан да анық көрсететін басқа нысанда да айтуға болады. Арнайы салыстырмалылық теориясы бойынша жалпы табиғат заңдарын білдіретін теңдеулер, егер (Галилейлік) _K_ санақ денесінің _x_, _y_, _z_, _t_ кеңістік-уақыттық айнымалыларының орнына Лоренц түрлендіруін пайдаланып, жаңа _K′_ санақ денесінің _x′_, _y′_, _z′_, _t′_ кеңістік-уақыттық айнымалыларын енгізсе, формасы өзгермейтін теңдеулерге айналады. Ал жалпы салыстырмалылық теориясы бойынша, теңдеулер _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ Гаусс айнымалыларына кез келген алмастыруларды қолданғанда формасы өзгермейтін теңдеулерге ауысуы тиіс; өйткені кез келген түрлендіру (тек Лоренц түрлендіруі емес) бір Гаусс координаттар жүйесінен екіншісіне ауысуға сәйкес келеді.
Егер үйреншікті үш өлшемді көзқарастан бас тартқымыз келмесе, онда біз жалпы салыстырмалылық теориясының негізгі идеялары бастан кешкен дамуды былайша сипаттай аламыз: Арнайы салыстырмалылық теориясы Галилейлік аймақтарға, яғни гравитациялық өріс жоқ аймақтарға қатысты. Бұл ретте санақ денесі ретінде Галилейлік санақ денесі, яғни «оқшауланған» материалдық нүктелердің бірқалыпты түзу сызықты қозғалысы туралы Галилей заңы оған қатысты орындалатындай етіп таңдалған қозғалыс күйіндегі қатты дене қызмет етеді. Белгілі бір пайымдаулар сол Галилейлік аймақтарды Галилейлік емес санақ денелеріне де жатқызуды ұсынады. Оларға қатысты ерекше түрдегі гравитациялық өріс бар болады (§ 20 және § 23).
Алайда гравитациялық өрістерде Евклидтік қасиеттері бар қатты денелер болмайды; сондықтан қатты санақ денесі туралы қиял жалпы салыстырмалылық теориясында іске аспайды. Сондай-ақ сағаттардың жүрісіне гравитациялық өрістер әсер етеді, соның салдарынан сағаттардың көмегімен тікелей физикалық уақытты анықтау арнайы салыстырмалылық теориясындағыдай айқындық деңгейіне ие болмайды.
Сондықтан тұтас алғанда ерікті түрде қозғалып қана қоймай, қозғалыс кезінде кез келген пішіндік өзгерістерге ұшырайтын қатты емес санақ денелері пайдаланылады. Уақытты анықтау үшін кез келген, тіпті ең жүйесіз жүріс заңы бар сағаттар қызмет етеді, олардың әрқайсысы қатты емес санақ денесінің бір нүктесіне бекітілген деп есептеледі және олар тек бір ғана шартты орындайды: көршілес сағаттардың бір уақытта қабылданатын көрсеткіштері бір-бірінен шексіз аз ерекшеленуі тиіс. Бұл қатты емес санақ денесін орынды түрде «сілтеме моллюскасы» (анықтама: деформацияланатын санақ жүйесі) деп атауға болады, ол негізінен кез келген төрт өлшемді Гаусс координаттар жүйесімен тең құқылы. «Моллюскаға» Гаусс координаттар жүйесімен салыстырғанда белгілі бір көрнекілік беретін нәрсе — уақыт координатасына қатысты кеңістіктік координаттардың жеке өмір сүруін (шын мәнінде негізсіз) формальды түрде сақтау. Моллюсканың әрбір нүктесі кеңістіктік нүкте ретінде қарастырылады, оған қатысты тыныштықта тұрған әрбір материалдық нүкте, моллюска санақ денесі ретінде пайдаланылып тұрғанда, жай ғана тыныштықта деп есептеледі. Жалпы салыстырмалылық принципі бұл моллюскалардың барлығын жалпы табиғат заңдарын тұжырымдау кезінде бірдей құқықпен және бірдей сәттілікпен санақ денелері ретінде пайдалануға болатынын талап етеді; заңдар моллюсканы таңдауға мүлдем тәуелсіз болуы тиіс.
Осы арқылы табиғат заңдарына қойылатын ауқымды шектеулерде жалпы салыстырмалылық принципіне тән іздеу қуаты жатыр.
§ 29. Жалпы салыстырмалылық принципі негізінде гравитация мәселесін шешу.
Егер оқырман осы уақытқа дейінгі барлық пайымдауларды түсінген болса, онда гравитация мәселесін шешуге алып келетін әдістерді түсіну оған қиындық тудырмайды.
Біз Галилейлік аймақты, яғни Галилейлік _K_ санақ денесіне қатысты гравитациялық өріс жоқ аймақты қарастырудан бастаймыз. Масштабтар мен сағаттардың _K_-ға қатысты әрекеті арнайы салыстырмалылық теориясынан белгілі, сол сияқты «оқшауланған» массалық нүктелердің әрекеті де белгілі; соңғылары түзу сызықты және бірқалыпты қозғалады.
Енді біз бұл аймақты кез келген Гаусс координаттар жүйесіне немесе санақ денесі _K′_ ретіндегі «моллюскаға» жатқызамыз. _K′_-ге қатысты онда _G_ гравитациялық өрісі (ерекше түрдегі) бар болады. Жай ғана қайта есептеу арқылы масштабтар мен сағаттардың, сондай-ақ еркін қозғалатын материалдық нүктелердің _K′_-ге қатысты әрекетін білеміз. Бұл әрекетті гравитациялық өріс _G_ әсерінен масштабтардың, сағаттардың, материалдық нүктелердің әрекеті ретінде түсіндіреміз. Осыдан кейін біз мынадай болжам енгіземіз: гравитациялық өрістің масштабтарға, сағаттарға және еркін қозғалатын материалдық нүктелерге әсері, тіпті егер орын алған гравитациялық өрісті жай ғана координаттарды түрлендіру арқылы Галилейлік ерекше жағдайдан шығару мүмкін болмаса да, дәл осы заңдар бойынша жүреді.
Осыдан кейін координаттарды жай ғана түрлендіру арқылы Галилейлік ерекше жағдайдан шығарылған _G_ гравитациялық өрісінің кеңістік-уақыттық әрекеті зерттеледі және бұл әрекет сипаттау үшін пайдаланылатын санақ денесі (моллюска) қалай таңдалса да, әрқашан жарамды болатын заң арқылы тұжырымдалады.
Бұл заң әлі гравитациялық өрістің жалпы заңы емес, өйткені зерттелген _G_ гравитациялық өрісі ерекше түрдегі өріс. Гравитацияның жалпы өріс заңын табу үшін осылайша алынған заңды жалпылау қажет, бірақ ол келесі талаптарды ескере отырып, ешқандай еріктіліксіз табылуы мүмкін:
- а) Ізделіп отырған жалпылау да жалпы салыстырмалылық постулатын қанағаттандыруы тиіс.
- б) Егер қарастырылып отырған аймақта материя бар болса, онда оның өріс тудырушы әсері үшін тек оның инертті массасы, яғни § 15-ке сәйкес тек оның энергиясы ғана шешуші мәнге ие болады.
- в) Гравитациялық өріс пен материя бірге энергияның (және импульстің) сақталу заңын қанағаттандыруы тиіс.
Соңында, жалпы салыстырмалылық принципі бізге гравитациялық өріс жоқ кезде белгілі заңдар бойынша өтетін, яғни арнайы салыстырмалылық теориясының шеңберіне енгізіліп қойған барлық барыстардың өтуіне гравитациялық өрістің әсерін анықтауға мүмкіндік береді. Бұл ретте принципті түрде масштабтар, сағаттар және еркін қозғалатын массалық нүктелер үшін жоғарыда баяндалған әдіс бойынша әрекет етеді.
Жалпы салыстырмалылық постулатынан осылайша шығарылған гравитация теориясы тек өзінің сұлулығымен ғана ерекшеленбейді, ол тек § 21-де көрсетілген классикалық механикаға тән кемшілікті жойып қана қоймайды, ол тек инертті және ауыр массаның теңдігі туралы тәжірибелік заңды түсіндіріп қана қоймайды, сонымен бірге ол классикалық механика дәрменсіз болған астрономияның бақылау нәтижесін де түсіндіріп берді.
Атап айтқанда, егер оны гравитациялық өрістер әлсіз деп саналатын және барлық массалар координаттар жүйесіне қатысты жарық жылдамдығымен салыстырғанда төмен жылдамдықпен қозғалатын жағдайға бейімдесек, онда алдымен бірінші жуықтау ретінде Ньютон[*] теориясын аламыз; демек, соңғысы бұл жерде ешқандай ерекше жорамалсыз шығады, ал Ньютон бір-біріне әсер ететін массалық нүктелердің тартылыс күшін олардың арақашықтығының квадратына кері пропорционал деп гипотеза ретінде енгізуге мәжбүр болды. Егер есептеудің дәлдігін арттырсақ, онда Ньютон теориясынан ауытқулар пайда болады, олар өздерінің аздығына байланысты бақылаудан әлі де тыс қалуы керек.
Осы ауытқулардың бірін біз бұл жерде ерекше назарға алуымыз керек. Ньютон теориясы бойынша планета Күнді эллипс бойымен айналады, егер басқа планеталардың қарастырылып отырған планетаға әсері және қозғалмайтын жұлдыздардың өз қозғалысы ескерілмесе, бұл эллипс қозғалмайтын жұлдыздарға қатысты өз орнын мәңгі сақтайды. Сондықтан, егер планеталардың бақыланатын қозғалысын осы екі әсерге байланысты түзетсе, онда Ньютон теориясы дәл болса, планетаның орбитасы ретінде қозғалмайтын жұлдыздарға қатысты тұрақты эллипс шығуы керек. Күнге ең жақын орналасқан Меркурий планетасынан басқа барлық планеталарда өте жоғары дәлдікпен тексерілетін бұл салдар бүгінгі қол жетімді бақылау өткірлігі мүмкіндік беретін дәлдікпен расталды. Бірақ Меркурий планетасы туралы біз Леверьеден (Урбен Леверье — француз астрономы) бері білеміз: оның жоғарыда аталған мағынада түзетілген орбитасының эллипсі қозғалмайтын жұлдыздарға қатысты тұрақты емес, керісінше, өте баяу болса да, орбита жазықтығында айналу қозғалысының бағытымен бұрылады. Орбиталық эллипстің бұл айналу қозғалысы үшін бір ғасырда 43 доғалық секунд шамасы алынды, бұл шама бірнеше доғалық секундқа дейінгі дәлдікпен анықталған. Бұл құбылысты классикалық механика бойынша түсіндіру тек осы үшін ғана ойлап табылған, ықтималдығы аз гипотезалар негізінде ғана мүмкін болады.
Жалпы салыстырмалылық теориясы бойынша Күн айналасындағы кез келген планеталық эллипс жоғарыда көрсетілгендей міндетті түрде айналуы керек екендігі, бұл айналу Меркурийден басқа барлық планеталарда бүгінгі қол жетімді бақылау дәлдігімен анықтау үшін тым аз екендігі, бірақ ол Меркурийде дәл бақылау талап еткендей, бір ғасырда 43 доғалық секундты құрауы тиіс екендігі шығады.
Бұдан басқа, теориядан осы уақытқа дейін өздерінің аздығына байланысты бақылаудан тыс қалмайтын тек екі салдар шығарылды, атап айтқанда: Күннің гравитациялық өрісі арқылы жарық сәулелерінің қисаюы және үлкен жұлдыздардан бізге келетін жарықтың Жерде сәйкес жолмен (яғни молекулалардың бір түрімен) алынған жарықпен салыстырғандағы спектрлік ығысуы. Мен теорияның бұл салдарлары да өз растауын табатынына күмәнданбаймын.
[12] Қарсылық, әсіресе санақ денесінің қозғалыс күйі оны сақтау үшін ешқандай сыртқы әсерді қажет етпейтіндей болғанда, мысалы, санақ денесі бірқалыпты айналған жағдайда, ерекше мәнге ие болады.
[13] Бұл § 20-дағы пайымдауды жалпылау арқылы шығады.
[14] Өріс дискінің орталығында жоғалып, одан қашықтаған сайын арақашықтыққа пропорционал түрде сыртқа қарай артады.
[15] Біздің мәселеміз математиктерге келесі нысанда кездесті. Егер Евклидтік үш өлшемді өлшеу кеңістігінде бет, мысалы, эллипсоид берілсе, онда бұл бетте жазықтықтағы сияқты екі өлшемді геометрия болады. Гаусс беттің үш өлшемді Евклидтік континуумға жататынын пайдаланбай, осы екі өлшемді геометрияны принципті түрде қарастыру мәселесін қойды. Егер беттің бойында қатты таяқшалармен конструкциялар жасалса (бұрын үстел бетінде жасалғандай), онда олар үшін жазықтықтың Евклидтік геометриясынан басқаша заңдар қолданылады. Бет осыған қатысты...
...таяқшалар үшін бұл бет Евклидтік континуум (континуум — үздіксіз математикалық орта) болып табылмайды және беттің ішінде ешқандай Декарттық координаттарды анықтау мүмкін емес. Гаусс беттегі геометриялық қатынастарды қандай принциптер бойынша қарастыруға болатынын көрсетіп, осылайша көп өлшемді, Евклидтік емес континуумдарды Римандық тәсілмен зерттеуге жол ашты. Осының нәтижесінде математиктер жалпы салыстырмалылық постулатына (постулат — дәлелсіз қабылданатын бастапқы қағида) әкелетін формалды мәселелерді әлдеқашан шешіп қойған болатын.
Пікірлер (0)
Пікір жазу үшін аккаунтқа кіріңіз. Кіру